第九章 计数原理、统计与概率（测）（北京专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

第九章 计数原理、统计与概率（测） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项: 1. 答卷前，考生务必将白己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的. 1．抛掷两枚质地均匀的骰子，则向上的数字之和是4的倍数的概率为（    ） A． B． C． D． 2．一组数11，13，15，26，29，30，32，33，36，若去掉11和36，则该组数以下哪个数字特征不变（   ） A．平均数 B．中位数 C．方差 D．极差 3．在的展开式中，x的系数为（   ） A．9 B．15 C． D． 4．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况． 加油时间 加油量（升） 加油时的累计里程（千米） 2023年5月1日 12 35000 2023年5月15日 60 35500 注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程 在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（    ） A．6升 B．8升 C．10升 D．12升 5．中国民族五声调式音阶的各音依次为：宫、商、角、徵、羽，如果用这五个音，排成一个没有重复音的五音音列，且商、角不相邻，徵位于羽的左侧，则可排成的不同音列有（    ） A．18种 B．24种 C．36种 D．72种 6．已知的平均数为5，方差为1，则，，，，的平均数和方差分别为（    ） A．11，3 B．11，4 C．10，1 D．10，4 7．一袋中有大小相同的个红球和个白球，若从中不放回地取球次，每次任取个球，记“第一次取到红球”为事件，“第二次取到白球”为事件，则（    ） A． B． C． D． 8．设，则（    ） A． B． C． D． 9．袋中有5个大小相同的小球，其中3个白球，2个黑球.从袋中随机摸出1个小球，观察颜色后放回，同时放入一个与其颜色大小相同的小球，然后再从袋中随机摸出1个小球，则两次摸到的小球颜色不同的概率为（    ） A． B． C． D． 10．现有一种检验方法，对患疾病的人化验结果呈阳性，对未患疾病的人化验结果呈阴性．我们称检验为阳性的人中未患病比例为误诊率．已知一地区疾病的患病率为，则这种检验方法在该地区的误诊率为（   ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共110分） 2、 填空题：本题共5小题，每小题5分，共25 分. 11．下表记录了某地区一年之内的月降水量. 月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 月降水量/mm 58 48 53 46 56 56 51 71 56 53 64 66 根据上述统计表，该地区月降水量的中位数是 ；分位数是 ． 12．银行储蓄卡的密码由6位数字组成，某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后1位数字，如果记得密码的最后1位是偶数，则第2次按对的概率是 . 13．已知随机变量，，且，，则 ． 14．甲袋中有5个红球和3个白球，乙袋中有4个红球和2个白球，如果所有小球只存在颜色的差别，并且整个取球过程是盲取，分两步进行：第一步，先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，分别用、表示由甲袋中取出红球、白球的事件；第二步，再从乙袋中随机取出两球，用B表示第二步由乙袋中取出的球是“两球都为红球”的事件，则事件B的概率是 . 15．甲乙两人分别投掷两颗骰子与一颗骰子，设甲的两颗骰子的点数分别为与，乙的骰子的点数为，则的概率为 （用最简分数表示） 3、 解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步或证明过程. 16．（13分）2025年冰雪节来临之际，搭建冰雕主题乐园需要大量的冰块，A，B，C三个工程队负责从冰冻的江中采出尺寸相同的冰块.在雕刻的过程中，有时会导致冰块碎裂，且一旦有裂痕冰块就不能使用了.A，B，C三个工程队所采冰块总数之比为6：7：5，冰块利用率即所使用冰块数占所采冰块总数的比例分别为0.8，0.6，0.6.在计算以上数值的过程中忽略了少量冰块对计算结果的影响，这种思路可用于整个问题求解的过程中.现在从三个工程队采出的所有冰块中随机抽取冰块，用频率估计概率. (1)若只取1块，求它是由B队所采的概率； (2)若抽取2块，其中由A队采出的冰块数记为，求的分布列和数学期望； (3)假设每年使用的冰块数一样多，已知往年任意一块冰被利用的概率为0.65，那么能否判断今年冰块的利用率有显著提升？你有什么好的建议？ 17．（13分）京广高速铁路是世界上运营里程最长的高速铁路之一，也是中国客运量最大、运输最为繁忙的高速铁路之一.某日从北京西到广州南的部分G字头高铁车次情况如下表：注：以下高铁车次均能准点到达 (1)某乘客从上表中随机选取一趟高铁车次从北京西出发到广州南，求这趟列车的运行时长不超过10小时的概率； (2)甲、乙、丙3人分别从上表中随机选取一趟高铁车次从北京西出发到广州南，其中甲必须上午出发，乙必须下午出发，丙的出发时间没有限制，且甲、乙、丙3人的选择互不影响. （ⅰ）记随机变量为甲、乙、丙选取的列车中运行时长不超过10小时的个数，求的分布列和数学期望； （ⅱ）甲、乙、丙3人中，谁选取的列车运行时长最短的概率最大？（结论不要求证明） 18．（14分）某老师为了解班里甲、乙两位同学的数学学习情况，从他们的数学小练习成绩中各随机抽取10份，.获得数据如下表： 甲同学 8 6.5 6 6 7.5 8 8 5.5 9 7.5 乙同学 6 7 7 7.5 7.5 8.5 9 7 9.5 9 已知数学小练习满分为10分，最低分为0分.若小练习得分不低于7.5分视为“得分达到良好”，若小练习得分不低于8.5分视为“得分达到优秀”. 假设用频率估计概率，且甲和乙小练习成绩相互独立. (1)从甲同学的样本中随机抽取1个，求“得分达到良好”的概率； (2)从乙同学的所有数学小练习成绩中随机抽取 3 份，记随机变量X为“得分达到优秀”的次数.估计X的分布列和期望： (3)样本中，甲、乙两位同学小练习成绩的方差分别为记为和，试比较和的大小（结论不要求证明）. 19．（15分）某地区教育研究部门为了解当前本地区中小学教师在教育教学中运用人工智能的态度、经验、困难等情况，从该地区2000名中小学教师中随机抽取100名进行了访谈．在整理访谈结果的过程中，统计他们对“人工智能助力教学”作用的认识，得到的部分数据如下表所示： 假设用频率估计概率，且每位教师对“人工智能助力教学”作用的认识相互独立． (1)估计该地区中小学教师中认为人工智能对于教学“没有帮助”的人数； (2)对受访教师关于“人工智能助力教学”的观点进行赋分：“没有帮助”记0分，“有一些帮助”记2分，“很有帮助”记4分． ①从该地区男教师中抽取4名教师，求这4名教师得分总和为8分的概率； ②统计受访教师的得分，将这100名教师得分的平均值记为，其中年龄在40岁以下（含40岁）教师得分的平均值记为，年龄在40岁以上教师得分的平均值记为，请直接写出的大小关系．（结论不要求证明） 20．（15分）投壶是中国古代传统礼仪游戏，起源于春秋战国时期，盛行于汉唐.参与者将无镞箭矢投向特定壶具，以入壶数量和姿态评判胜负，兼具竞技与礼仪功能. 为发扬传统文化，某校利用午休时间举办投壶比赛老师预设口径不同的三个壶，学生可以根据自身情况，选择不同壶进行挑战.为方便统计，投壶时，仅统计“投中”与“未投中”两种结果. 活动中，高三年级500名学生体验了投壶，每位学生都只选择一个壶进行挑战.现将投壶结果统计如下表. 壶1 壶2 壶3 投中 未投中 投中 未投中 投中 未投中 高三年级 40 160 90 60 60 90 假设用频率估计概率 (1)若从所有选择投壶2的学生中，随机选择一位学生，求这位学生在活动中投中壶2的概率. (2)投壶活动结束后，高三学生自发组织“过关比赛”比赛中，学生手拿三支箭，从壶1开始，按照壶1、壶2、壶3的次序，进行投壶挑战.每次投壶时，学生投一支箭，若投中，学生按照顺序投下一个投壶；若未投中，学生需要继续投该壶，直到投中或箭矢耗尽当学生投完三支箭，挑战结束. 某位高三学生即将参赛，假设用高三年级学生投中各壶的频率估计这位学生投中各壶的概率，求这位学生在“过关比赛”中仅投中一次的概率. (3)为锻炼投壶技巧，某高三同学投壶2，一共投20次.假设每次投壶的结果互不影响，用高三年级学生投中壶2的频率估计这位学生投中壶2的概率，那么在投完20次之后，这位同学投中壶2多少次的概率最大?（只需写出结论）. 21．（15分）不同AI大模型各有千秋，适用领域也各有所长．为了解某高校甲、乙两个学院学生对两款不同大模型是否使用，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表： 甲学院 乙学院 使用 不使用 使用 不使用 A款 40人 80人 60人 20人 款 70人 50人 30人 50人 假设所有学生对两款大模型是否使用相互独立，用频率估计概率． (1)分别估计该校甲学院学生使用A款大模型的概率、该校乙学院学生使用A款大模型的概率； (2)从该校甲学院全体学生中随机抽取2人，从乙学院全体学生中随机抽取1人，记这3人中使用款大模型的人数为，求的分布列及数学期望； (3)从该校甲学院全体学生中随机抽取2人，记这2人中使用款大模型的人数为，其方差估计值为，从该校乙学院全体学生中随机抽取2人，记这2人中使用款大模型的人数为，其方差估计值为，比较与的大小． 学科 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第九章 计数原理、统计与概率（测） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项: 1. 答卷前，考生务必将白己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的. 1．抛掷两枚质地均匀的骰子，则向上的数字之和是4的倍数的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】抛掷两枚质地均匀的骰子共有种不同的结果， 向上的点数之和为4的倍数， 共有（1，3），（3，1），（2，2），（3，5），（5，3），（2，6），（6，2），（4，4），（6，6），共9种情况， 所以概率为． 故选：B． 2．一组数11，13，15，26，29，30，32，33，36，若去掉11和36，则该组数以下哪个数字特征不变（   ） A．平均数 B．中位数 C．方差 D．极差 【答案】B 【详解】对于A，去掉前的平均数为， 去掉后的平均数为，故A错误； 去掉最小的数和最大的数对中位数无影响，故B正确； 对于C，去掉前的方差为， 去掉后的方差为，故C错误； 对于D，去掉前的极差为，去掉后的极差为，故D错误. 故选：B. 3．在的展开式中，x的系数为（   ） A．9 B．15 C． D． 【答案】A 【详解】 易知，的展开式中，没有x项； 因为的展开式的通项为：， 令，即，所以展开式中，x的系数为； 又因为的展开式的通项为：， 令，即，所以展开式中，x的系数为； 综上，在的展开式中，x的系数为， 故选：A. 4．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况． 加油时间 加油量（升） 加油时的累计里程（千米） 2023年5月1日 12 35000 2023年5月15日 60 35500 注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程 在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（    ） A．6升 B．8升 C．10升 D．12升 【答案】D 【详解】由表中的数据可知，行驶路径500千米耗油量为60升， 则该车每100千米平均耗油量为升. 故选：D 5．中国民族五声调式音阶的各音依次为：宫、商、角、徵、羽，如果用这五个音，排成一个没有重复音的五音音列，且商、角不相邻，徵位于羽的左侧，则可排成的不同音列有（    ） A．18种 B．24种 C．36种 D．72种 【答案】C 【详解】解：先将宫、徽、羽三个音节进行排序，且徽位于羽的左侧，有， 再将商、角插入4个空中的2个，有， 所以共有种． 故选：C． 6．已知的平均数为5，方差为1，则，，，，的平均数和方差分别为（    ） A．11，3 B．11，4 C．10，1 D．10，4 【答案】B 【详解】因的平均数为5，方差为1， 则数据，，，，的平均数为，方差是. 故答案为：B 7．一袋中有大小相同的个红球和个白球，若从中不放回地取球次，每次任取个球，记“第一次取到红球”为事件，“第二次取到白球”为事件，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，， 所以. 故选：B 8．设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，， 令，得； 令，得， 所以. 故选：B. 9．袋中有5个大小相同的小球，其中3个白球，2个黑球.从袋中随机摸出1个小球，观察颜色后放回，同时放入一个与其颜色大小相同的小球，然后再从袋中随机摸出1个小球，则两次摸到的小球颜色不同的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】若第一次从袋中摸出个白球，则放入个白球，第二次摸出黑球的概率为， 若第一次从袋中摸出个黑球，则放入个黑球，第二次摸出白球的概率为， 故两次摸到的小球颜色不同的概率为. 故选：B. 10．现有一种检验方法，对患疾病的人化验结果呈阳性，对未患疾病的人化验结果呈阴性．我们称检验为阳性的人中未患病比例为误诊率．已知一地区疾病的患病率为，则这种检验方法在该地区的误诊率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】记事件检查结果呈阳性，事件被检查确实患疾病， 由题意可知，，，，， 所以，， 因此，这种检验方法在该地区的误诊率为， 故选：A. 第二部分（非选择题 共110分） 2、 填空题：本题共5小题，每小题5分，共25 分. 11．下表记录了某地区一年之内的月降水量. 月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 月降水量/mm 58 48 53 46 56 56 51 71 56 53 64 66 根据上述统计表，该地区月降水量的中位数是 ；分位数是 ． 【答案】 56 64 【详解】数据按从小到大排序得：46，48，51，53，53，56，56，56，58，64，66，71， 它的中位数为56； ，第10个数是64 故答案为：56，64 12．银行储蓄卡的密码由6位数字组成，某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后1位数字，如果记得密码的最后1位是偶数，则第2次按对的概率是 . 【答案】/0.2 【详解】连续按两个不同的偶数共有种不同的按法，其中第二次才按对的按法有4种，所以事件记得密码的最后1位是偶数，则第2次按对的概率, 故答案为：. 13．已知随机变量，，且，，则 ． 【答案】 【详解】因为且，所以，则， 又且，所以，解得. 故答案为： 14．甲袋中有5个红球和3个白球，乙袋中有4个红球和2个白球，如果所有小球只存在颜色的差别，并且整个取球过程是盲取，分两步进行：第一步，先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，分别用、表示由甲袋中取出红球、白球的事件；第二步，再从乙袋中随机取出两球，用B表示第二步由乙袋中取出的球是“两球都为红球”的事件，则事件B的概率是 . 【答案】 【详解】因为， 所以, 故答案为： 15．甲乙两人分别投掷两颗骰子与一颗骰子，设甲的两颗骰子的点数分别为与，乙的骰子的点数为，则的概率为 （用最简分数表示） 【答案】 【详解】甲乙两人分别投掷两颗骰子与一颗骰子，设甲的两颗骰子的点数分别为与，乙的骰子的点数为，则基本事件总数， 掷出的点数满足包含的基本事件有： ， ， 共30个， ∴掷出的点数满足的概率为． 故答案为：． 3、 解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步或证明过程. 16．（13分）2025年冰雪节来临之际，搭建冰雕主题乐园需要大量的冰块，A，B，C三个工程队负责从冰冻的江中采出尺寸相同的冰块.在雕刻的过程中，有时会导致冰块碎裂，且一旦有裂痕冰块就不能使用了.A，B，C三个工程队所采冰块总数之比为6：7：5，冰块利用率即所使用冰块数占所采冰块总数的比例分别为0.8，0.6，0.6.在计算以上数值的过程中忽略了少量冰块对计算结果的影响，这种思路可用于整个问题求解的过程中.现在从三个工程队采出的所有冰块中随机抽取冰块，用频率估计概率. (1)若只取1块，求它是由B队所采的概率； (2)若抽取2块，其中由A队采出的冰块数记为，求的分布列和数学期望； (3)假设每年使用的冰块数一样多，已知往年任意一块冰被利用的概率为0.65，那么能否判断今年冰块的利用率有显著提升？你有什么好的建议？ 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3)不能，建议见解析 【详解】（1）由题意知，冰块之间是没有差异的，所以，从三个工程队采出的所有冰块 中随机抽取一块抽到每一块冰的可能性可以看作是相等的. 因为A，B，C三个工程队所采冰块总量之比为6：7：5， 所以若只取1块，它是B队所采的概率为. （2）据题意知在计算过程中可以忽略少量冰块对计算结果的影响， 即可以将“从三个工程队采出的所有冰块中随机抽取”看作是有放回的抽取. 设事件A，B，C分别表示随机抽取的一块冰是由A，B，C二个队分別采回的， 与（1）同理可求得若只取1块，则， 由B，C两队所采的概率为. 依题意可知的取值为0，1，2，且. 所以，，， 所以的分布列为： 0 1 2 P 数学期望. （3）设事件表示冰块被利用，由（2）知，. 所以，，. 又 ，即今年冰块的利用率约为0.67. 可见，今年冰块的利用率比往年提升了约. 但依据该数据还不能判断今年冰块的利用率有显著提升.若要判断提升是否显著， 可以进一步查阅数据，构造相关统计量再进行判断. 17．（13分）京广高速铁路是世界上运营里程最长的高速铁路之一，也是中国客运量最大、运输最为繁忙的高速铁路之一.某日从北京西到广州南的部分G字头高铁车次情况如下表：注：以下高铁车次均能准点到达 (1)某乘客从上表中随机选取一趟高铁车次从北京西出发到广州南，求这趟列车的运行时长不超过10小时的概率； (2)甲、乙、丙3人分别从上表中随机选取一趟高铁车次从北京西出发到广州南，其中甲必须上午出发，乙必须下午出发，丙的出发时间没有限制，且甲、乙、丙3人的选择互不影响. （ⅰ）记随机变量为甲、乙、丙选取的列车中运行时长不超过10小时的个数，求的分布列和数学期望； （ⅱ）甲、乙、丙3人中，谁选取的列车运行时长最短的概率最大？（结论不要求证明） 【答案】(1) (2)（ⅰ）分布列见解析，数学期望为；（ⅱ）甲，理由见解析 【详解】（1）从北京西出发到广州南的高铁车次共7个， 运行时长不超过10小时的有4个，超过10小时的有3个， 故这趟列车的运行时长不超过10小时的概率为； （2）（ⅰ）上午运行时长不超过10小时的列车有2个，超过10小时的列车有2个， 下午运行时长不超过10小时的列车有2个，超过10小时的列车有1个， 甲选取的列车中运行时长不超过10小时的概率为， 乙选取的列车中运行时长不超过10小时的概率为， 丙选取的列车中运行时长不超过10小时的概率为， 的可能取值为0,1,2,3， ， ， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 数学期望为； （ⅱ）甲选取的列车运行时长最短的概率最大，理由如下： 列车运行时长最短为7小时17分，在上午，甲选取此列车的概率为， 乙选取此列车的概率为0，丙选取此列车的概率为， 故甲选取的列车运行时长最短的概率最大. 18．（14分）某老师为了解班里甲、乙两位同学的数学学习情况，从他们的数学小练习成绩中各随机抽取10份，.获得数据如下表： 甲同学 8 6.5 6 6 7.5 8 8 5.5 9 7.5 乙同学 6 7 7 7.5 7.5 8.5 9 7 9.5 9 已知数学小练习满分为10分，最低分为0分.若小练习得分不低于7.5分视为“得分达到良好”，若小练习得分不低于8.5分视为“得分达到优秀”. 假设用频率估计概率，且甲和乙小练习成绩相互独立. (1)从甲同学的样本中随机抽取1个，求“得分达到良好”的概率； (2)从乙同学的所有数学小练习成绩中随机抽取 3 份，记随机变量X为“得分达到优秀”的次数.估计X的分布列和期望： (3)样本中，甲、乙两位同学小练习成绩的方差分别为记为和，试比较和的大小（结论不要求证明）. 【答案】(1) (2)分别列见详解，期望 (3)相等 【详解】（1）根据题意甲同学“得分达到良好”的有：8，7.5，8，8，9，7.5共6个， 所以从甲同学的样本中随机抽取1个，求“得分达到良好”的概率为. （2）乙同学“得分达到优秀”的有：8.5，9，9.5，9共4个， 所以乙同学所以数学小练习中“得分达到优秀”的概率为， 从中随机抽取3份，随机变量X服从二项分布， ，， ，， 所以分布列为 X 0 1 2 3 P 期望. （3）根据题意样本中甲同学成绩的均值 ， 乙同学成绩的均值， 所以甲同学成绩的方差， 乙同学成绩的方差， 所以甲、乙两位同学小练习成绩的方差相等. 19．（15分）某地区教育研究部门为了解当前本地区中小学教师在教育教学中运用人工智能的态度、经验、困难等情况，从该地区2000名中小学教师中随机抽取100名进行了访谈．在整理访谈结果的过程中，统计他们对“人工智能助力教学”作用的认识，得到的部分数据如下表所示： 假设用频率估计概率，且每位教师对“人工智能助力教学”作用的认识相互独立． (1)估计该地区中小学教师中认为人工智能对于教学“没有帮助”的人数； (2)对受访教师关于“人工智能助力教学”的观点进行赋分：“没有帮助”记0分，“有一些帮助”记2分，“很有帮助”记4分． ①从该地区男教师中抽取4名教师，求这4名教师得分总和为8分的概率； ②统计受访教师的得分，将这100名教师得分的平均值记为，其中年龄在40岁以下（含40岁）教师得分的平均值记为，年龄在40岁以上教师得分的平均值记为，请直接写出的大小关系．（结论不要求证明） 【答案】(1)140 (2)①；② 【详解】（1）根据表格中数据，完善表格， 可以得到100名教师中，认为人工智能对于教学“没有帮助”的频率为，用频率估计概率，估计该地区中小学教师中认为人工智能对于教学“没有帮助”的人数为； （2）①男教师认为人工智能对于教学“没有帮助”的概率为， 男教师认为人工智能对于教学“有一些帮助”的概率为， 男教师认为人工智能对于教学“很有帮助”的概率为， 因为， 所以 . ②， ， ， 因为，所以. 20．（15分）投壶是中国古代传统礼仪游戏，起源于春秋战国时期，盛行于汉唐.参与者将无镞箭矢投向特定壶具，以入壶数量和姿态评判胜负，兼具竞技与礼仪功能. 为发扬传统文化，某校利用午休时间举办投壶比赛老师预设口径不同的三个壶，学生可以根据自身情况，选择不同壶进行挑战.为方便统计，投壶时，仅统计“投中”与“未投中”两种结果. 活动中，高三年级500名学生体验了投壶，每位学生都只选择一个壶进行挑战.现将投壶结果统计如下表. 壶1 壶2 壶3 投中 未投中 投中 未投中 投中 未投中 高三年级 40 160 90 60 60 90 假设用频率估计概率 (1)若从所有选择投壶2的学生中，随机选择一位学生，求这位学生在活动中投中壶2的概率. (2)投壶活动结束后，高三学生自发组织“过关比赛”比赛中，学生手拿三支箭，从壶1开始，按照壶1、壶2、壶3的次序，进行投壶挑战.每次投壶时，学生投一支箭，若投中，学生按照顺序投下一个投壶；若未投中，学生需要继续投该壶，直到投中或箭矢耗尽当学生投完三支箭，挑战结束. 某位高三学生即将参赛，假设用高三年级学生投中各壶的频率估计这位学生投中各壶的概率，求这位学生在“过关比赛”中仅投中一次的概率. (3)为锻炼投壶技巧，某高三同学投壶2，一共投20次.假设每次投壶的结果互不影响，用高三年级学生投中壶2的频率估计这位学生投中壶2的概率，那么在投完20次之后，这位同学投中壶2多少次的概率最大?（只需写出结论）. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由用频率估计概率可知，从所有选择投壶2的学生中，随机选择一位学生，这位学生在活动中投中壶2的概率为. （2）用高三年级学生投中各壶的频率估计这位学生投中各壶的概率， 则壶1投中的概率为，壶1未投中的概率为， 壶2投中的概率为，壶2未投中的概率为， 则这位学生在“过关比赛”中仅投中一次的概率为. （3）用表示投完20次之后，这位同学投中壶2的次数，则， 则， 假设投中壶2的次数为时最大，则 ，即， 解得，因，则， 故投完20次之后，这位同学投中壶2的次数为时，概率最大. 21．（15分）不同AI大模型各有千秋，适用领域也各有所长．为了解某高校甲、乙两个学院学生对两款不同大模型是否使用，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表： 甲学院 乙学院 使用 不使用 使用 不使用 A款 40人 80人 60人 20人 款 70人 50人 30人 50人 假设所有学生对两款大模型是否使用相互独立，用频率估计概率． (1)分别估计该校甲学院学生使用A款大模型的概率、该校乙学院学生使用A款大模型的概率； (2)从该校甲学院全体学生中随机抽取2人，从乙学院全体学生中随机抽取1人，记这3人中使用款大模型的人数为，求的分布列及数学期望； (3)从该校甲学院全体学生中随机抽取2人，记这2人中使用款大模型的人数为，其方差估计值为，从该校乙学院全体学生中随机抽取2人，记这2人中使用款大模型的人数为，其方差估计值为，比较与的大小． 【答案】(1) (2)答案见详解 (3) 【详解】（1）由表格可知：该校甲学院学生使用款大模型的概率为， 该校乙学院学生使用款大模型的概率为； （2）由题意可知的可能取值为：， 则， ， ， ， 的分布列如下： 0 1 2 3 P 所以； （3）同第一问，可知该校甲学院学生使用款大模型的概率为, 该校乙学院学生使用款大模型的概率为， 易知， 由二项分布的方差公式可知， ， 所以. 学科 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $