期末 专题二数轴动点压轴题型（三大题型）2025-2026学年人教版（2024）七年级数学上册

专题二数轴动点压轴题型 一．动点线段关系问题（共10小题） 1．（2023秋•管城区校级月考）已知数轴上A，B，C三点对应的数分别为﹣1、3、5，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．点A与点P之间的距离表示为AP，点B与点P之间的距离表示为BP． （1）若BP＝7，则x＝　 　 ； （2）若AP＝BP，则x＝　 　 ； （3）若AP+BP＝8，求x的值． 2．（2024秋•阳谷县期中）已知数轴上A，B对应的数分别为﹣2，4，点P为数轴上一动点，其对应的数为x， （1）若P到点A、点B的距离相等，求点P对应的数； （2）若P在线段AB上，且将线段AB分成1：3的两部分，求点P对应的数． 3．（2024秋•南昌期中）已知数轴上A、B两点对应的数分别为﹣1和3，数轴上的一个动点P，其对应的数为x． （1）若点P到A、B两点的距离相等，求点P对应的数x的值； （2）数轴上是否存在点P，使点P到A、B两点的距离之和为5：若存在，请求出求x的值；若不存在，请说明理由． 4．（2024秋•颍州区校级期末）已知数轴上两点A，B，其中A表示的数为﹣3，B表示的数为2．给出如下定义：若在数轴上存在一点C，使得AC+BC＝m，则称点C叫做点A，B的“m和距离点”．如图，若点C表示的数为0，有AC+BC＝5，则称点C为点A，B的“5和距离点”． （1）如果点N为点A，B的“m和距离点”，且点N在数轴上表示的数为﹣4，那么m的值是 　 　 ； （2）如果点D是数轴上点A，B的“6和距离点”，那么点D表示的数为 　 　 ； （3）如果点E在数轴上（不与A，B重合），满足BEAE，且此时点E为点A，B的“m和距离点”，求m的值． 5．（2023秋•凉州区期末）已知点O是数轴的原点，点A、B、M分别是数轴上的三个动点（点A在点B的左侧），且AM＝BM，将点A，B，M表示的数分别记作a，b，m． （1）当a＝﹣1，b＝3时，直接写出m的值； （2）当m＝2时，计算a+b的值； （3）若b＝6，BM＝2OM，求a的值． 6．（2024秋•黄石期末）已知在数轴上有A，B两点，点A表示的数为8，点B在A点的左边，且AB＝12．若有一动点P从数轴上点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动，设运动时间为t秒． （1）解决问题：①当t＝1秒时，写出数轴上点B，P所表示的数； ②若点P，Q分别从A，B两点同时出发，问点P运动多少秒与Q相距3个单位长度？ （2）探索问题：若M为AQ的中点，N为BP的中点．当点P在P、Q上运动过程中，探索线段MN与线段PQ的数量关系（写出过程）． 7．（2024秋•工业园区期末）如图，在数轴上，点A表示﹣10，点B表示11，点C表示18．动点P从点A出发，沿数轴正方向以每秒2个单位的速度匀速运动；同时，动点Q从点C出发，沿数轴负方向以每秒1个单位的速度匀速运动．设运动时间为t秒． （1）当t为何值时，P、Q两点相遇？相遇点M所对应的数是多少？ （2）在点Q出发后到达点B之前，求t为何值时，点P到点O的距离与点Q到点B的距离相等； （3）在点P向右运动的过程中，N是AP的中点，在点P到达点C之前，求2CN﹣PC的值． 8．（2024秋•濉溪县月考）如图，数轴上A，B两点所对应的有理数分别为16和24，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，点Q同时从原点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设点P，Q的运动时间为t秒 （1）当0＜t＜4时，用含t的式子填空：BP＝　 　 ，AQ＝　 　 （2）当t＝2时，求PQ的值 （3）当PQAB时，求t的值． 9．（2024秋•和平区期末）如图，数轴上A、B两点对应的数分别为﹣5、15． （1）点P是数轴上任意一点，且PA＝PB，则点P对应的数是 　 　 ； （2）点M、N分别是数轴上的两个动点，点M从点A出发以每秒3个单位长度的速度运动，同时，点N从原点O出发以每秒2个单位长度的速度运动． ①若M、N两点都向数轴正方向运动，经过几秒，点M、点N分别到原点O的距离相等？ ②当M、N两点运动到AM＝2BN时，请直接写出点M在数轴上对应的数． 10．（2024秋•巴南区期末）已知点A，B，C在数轴上对应的数分别是﹣2，1，4． （1）在下面的数轴上标出点A，B，C的位置； （2）在数轴上，若点P是点A左侧的一点，点E为线段PA的中点，点F为线段PB的中点，当点P在点A左侧运动时，计算PF﹣PE的值； （3）当点M在数轴上运动，且满足MA+MB＝MC时，求出点M所对应的数． 二．动点定值问题（共10小题） 11．（2025秋•渭滨区校级月考）【知识准备】 若数轴上点A对应的数为x，点B对应的数为y，M为AB的中点，则我们有中点公式：点M对应的数为． （1）在一条数轴上，0为原点，点C对应的数为c，点D对应的数为d，且有|c﹣3+d|+（d+2）2＝0，则CD的中点N所对应的数为 　 　 ； 【问题探究】 （2）在（1）的条件下，若点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点Q从点D出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动．设运动时间为ts，t为何值时，PQ的中点所对应的数为10？ 【拓展延伸】 （3）若数轴上点A对应的数为x，点B对应的数为y，M为AB靠近点A的三等分点，则我们有三等分点公式：点M对应的数为；若数轴上点A的对应数为x，点B的对应数为y，M为AB最靠近点A的四等分点，则我们有四等分点公式：点M对应的数为：． ①填空：若数轴上点A的对应数为x，点B的对应数为y，M为AB最靠近点B的五等分点．则点M对应的数为 　 　 ． ②在（2）的条件下，若E是PQ最靠近Q的五等分点，F为PC的中点，则是否存在t，使得为定值？若存在，请求出t的取值范围和此时的定值．若不存在，说明理由． 12．（2024秋•思明区校级期中）一个点从数轴的原点开始，先向左移动4个单位到达A点，再向右移6个单位到达C点；接着将数轴折叠，使点A和点C重合，折点记为B；最后将数轴展开． （1）直接写出A，B，C三点所表示的数A　 　 ，B　 　 ，C　 　 ； （2）动点P从点C出发，以每秒0.2个单位长度向左运动； ①求18秒后动点P与点B之间的距离； ②动点Q，M分别以每秒0.6个单位长度和0.3个单位长度的速度从A，B两点与点P同时出发，同向而行．记Q与M两点之间的距离为QM，M与P两点之间的距离为MP．在这三个点运动的过程中，是否存在有理数m，使QM+mMP的值始终保持不变？若存在，请求出m的值，若不存在，请说明理由． 13．（2023秋•都昌县期末）如图：在数轴上A点表示数﹣3，B点表示数1，C点表示数9． （1）若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数 　 　 表示的点重合； （2）若点 A、点B和点C分别以每秒2个单位、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动． ①若t秒钟过后，A，B，C三点中恰有一点为另外两点的中点，求t值； ②当点C在B点右侧时，是否存在常数m，使mBC﹣2AB的值为定值，若存在，求m的值，若不存在，请说明理由． 14．（2023秋•宣威市期末）A，B是数轴上的两点（点B在点A的右侧），点A表示的数为﹣10，A、B两点的距离是点A到原点O的距离的3倍，即AB＝3OA．点C为数轴上的动点． （1）数轴上点B表示的数是 　 　 ； （2）当AC+BC＝58时，求点C表示的数； （3）若点M为AC的中点，点N为CB的中点，点C在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若发生变化，请你说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长度． 15．（2024秋•红花岗区期末）已知a是最大的负整数，b是最小的正整数，且c＝b﹣a，请回答下列问题． （1）请直接写出a，b，c的值：a＝　 　 ，b＝　 　 ，c＝　 　 ； （2）若a，b，c在数轴上所对应的点分别为A，B，C，请画出数轴并在数轴上表示出A，B，C三点； （3）在（2）的情况下，点A，B，C开始在数轴上运动，若点A和点C以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时点B以每秒6个单位长度的速度向右运动，已知点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB．问：AB﹣BC的值是否会随着时间的变化而变化？若会，请说明理由；若不会，请求出AB﹣BC的值． 16．（2024秋•曲阳县期末）如图，已知数轴上A、B两点所表示的数分别为﹣2和8． （1）线段AB长是　 　 ； （2）若P为线段AB上的一点（点P不与A、B两点重合），M为PA的中点，N为PB的中点，请你画出图形，求MN的长； （3）若P为数轴上的一点（点P不与A、B两点重合，M为PA的中点，N为PB的中点，当点P在数轴上运动时；MN的长度是否发生改变？请你画出图形说明，直接写出你的结论． 17．（2024秋•绥宁县期中）阅读下面的材料： 如图1，在数轴上A点所示的数为a，B点表示的数为b，则点A到点B的距离记为AB．线段AB的长可以用右边的数减去左边的数表示，即AB＝b﹣a． 请用上面的知识解答下面的问题： 如图2，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动1cm到达A点，再向左移动2cm到达B点，然后向右移动7cm到达C点，用1个单位长度表示1cm． （1）请你在数轴上表示出A．B．C三点的位置： （2）点C到点A的距离CA＝　 　 cm；若数轴上有一点D，且AD＝4，则点D表示的数为　 　 ； （3）若将点A向右移动xcm，则移动后的点表示的数为　 　 ；（用代数式表示） （4）若点B以每秒2cm的速度向左移动，同时A．C点分别以每秒1cm、4cm的速度向右移动．设移动时间为t秒， 试探索：CA﹣AB的值是否会随着t的变化而改变？请说明理由． 18．（2024秋•漳州期末）已知，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动7cm到达A点，再从A点向右移动12cm到达B点，把点A到点B的距离记为AB，点C是线段AB的中点． （1）点C表示的数是 　 　 ； （2）若点A以每秒2cm的速度向左移动，同时C、B点分别以每秒1cm、4cm的速度向右移动，设移动时间为t秒， ①点C表示的数是 　 　 （用含有t的代数式表示）； ②当t＝2秒时，求CB﹣AC的值； ③试探索：CB﹣AC的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 19．（2024秋•海安市月考）已知：如图所示，O为数轴的原点，A，B分别为数轴上的两点，A点对应的数为﹣30，B点对应的数为100． （1）若点C也是数轴上的点，C到B的距离是C到原点O的距离的3倍，求C对应的数； （2）若当电子P从B点出发，以6个单位长度/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4个单位长度/秒的速度向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的D点相遇，那么D点对应的数是多少？ （3）若电子蚂蚁P从B点出发，以8个单位长度/秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出，以4个单位长度/秒向右运动．设数轴上的点N到原点O的距离等于P点到O的距离的一半，有两个结论①ON+AQ的值不变；②ON﹣AQ的值不变．请判断哪个结论正确，并求出结论的值． 20．（2024秋•西青区期末）已知数轴上的点A和点B之间的距离为28个单位长度，点A在原点的左边，距离原点8个单位长度，点B在原点的右边． （Ⅰ）求点A，点B对应的数； （Ⅱ）数轴上点A以每秒1个单位长度出发向左移动，同时点B以每秒3个单位长度的速度向左移动，在点C处追上了点A，求点C对应的数． （Ⅲ）已知在数轴上点M从点A出发向右运动，速度为每秒1个单位长度，同时点N从点B出发向右运动，速度为每秒2个单位长度，设线段NO的中点为P（O为原点），在运动的过程中，线段的值是否变化？若不变，请说明理由并求其值；若变化，请说明理由． 三．动点新定义问题（共10小题） 21．（2025秋•西安校级月考）【定义新知】 数轴上有三个点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“关联点”．例如：如图，数轴上点A，B，C所表示的数依次为1，3，4，此时点B是点A，C的“关联点”． 【尝试应用】 （1）若数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为1，点C表示的数为4，请判断点C是否为A，B的“关联点”，并说明理由． 【拓展探索】 （2）已知数轴上点A表示的数为﹣4，点B表示的数为2，P为数轴上一个动点： ①若点P在点B的左侧，且点P是点A，B的“关联点”，求此时点P所表示的数； ②若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“关联点”，请求出此时点P所表示的数． 22．（2025秋•雁塔区校级月考）如图，数轴上点A表示的数是﹣2，点B表示的数是3，阅读以下材料并解决相关问题．若在数轴上存在一点P，使得点P到点A的距离与点P到点B的距离之和等于n，则称点P为点A、B的“n格距点”．例如：在图1中，点P表示的数是﹣1，点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为1+4＝5，则称点P为点A、B的“5格距点”． （1）若点P表示的数是2，则n的值为　 　 ； （2）数轴上表示整数的点称为整点，若整点P为点A、B的“5格距点”，则这样的整点P有　 　 个； （3）若点P在数轴上运动，满足点P到点B的距离等于点P到点A的距离的2倍，且此时点P为点A、B的“n格距点”，求点P表示的数及n的值． 23．（2023秋•宣汉县校级期末）对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足3倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“倍分点”．如图，数轴上点A，B，C表示的数分别是1，4，5，此时点B是点A，C的“倍分点”． （1）当点A表示数﹣2，点B表示数2时，下列各数，1，4是点A，B的“倍分点”的是 　 　 ； （2）当点A表示数﹣10，点B表示数30时，D为数轴上一个动点． ①若点D是点A，B的“倍分点”，求此时点D表示的数； ②若点D，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“倍分点”，求出此时点D表示的数． 24．（2025秋•玄武区月考）对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“联盟点”． 例如数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“联盟点”． （1）若点A表示数﹣2，点B表示数3，点M是点A，B的“联盟点”，点M在A、B之间，且表示一个负数，则点M表示的数为　 　 ； （2）若点A表示数﹣2，点B表示数2，下列各数，0，4，6所对应的点分别为C1，C2，C3，C4，其中是点A，B的“联盟点”的是　 　 ； （3）点A表示数﹣15，点B表示数25，P为数轴上一点． ①若点P在点B的左侧，且点P是点A，B的“联盟点”，此时点P表示的数是　 　 ； ②若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“联盟点”，直接写出此时点P表示的数　 　 ． 25．（2024秋•通道县期末）【新知理解】 点C在线段AB上，若BC＝2AC或AC＝2BC，则称点C是线段AB的“优点”，线段AC，BC称作互为“优点”伴侣线段． 例如，图1，线段AB的长度为6，点C在AB上，AC的长度为2，则点C是线段AB的其中一个“优点”． （1）若点C为图1中线段AB的“优点”，且AC＝3（AC＜BC），则AB＝ 　 　 ； （2）若点D也是图1中线段AB的“优点”（不同于点C），则AC　 　 BD（填“＞”“＜”或“＝”）； 【解决问题】 如图2，数轴上有E，F两点，其中E点表示的数为1，F点表示的数为4； （3）若M点在N点的左侧，且M，N均为线段OF的“优点”，则线段MN的长为 　 　 ； （4）若点G在线段EF的延长线上，且线段EF与GF互为“优点”伴侣线段，则点G表示的数为 　 　 ． 26．（2025春•海淀区校级期末）已知点P，A，B是数轴上的三个点．若点P到原点的距离等于点A，点B到原点距离的和的一半，则称点P为点A和点B的“关联点”． （1）已知点A表示2，点B表示﹣4，下列各数﹣3，﹣2，0，3在数轴上所对应的点分别是P1，P2，P3，P4，其中是点A和点B的“关联点”的是　 　 ； （2）已知点A表示2，点B表示m，点P为点A和点B的“关联点”，且点P到原点的距离为4，求m的值； （3）已知点A表示a，将点A沿数轴正方向移动4个单位长度，得到点B．当点P为点A和点B的“关联点”时，直接写出PB﹣PA的最大值和最小值． 27．（2024秋•莒南县校级月考）在数轴上，若点C到点A的距离刚好是2个单位长度，则把点C叫作点A的“美好点”；若点C到A，B两点的距离之和是4个单位长度，则把点C叫作A，B两点的“美好中心”． （1）若点A表示的数是﹣1，求点A的“美好点”所表示的数． （2）如图，M，N为数轴上两点，点M所表示的数是3，点N所表示的数是﹣1，点C是M，N两点的“美好中心”，则点C所表示的数是（写出一种情况即可）． 28．（2024秋•西城区校级期中）我们给出如下定义：数轴上给定不重合两点A，B，若数轴上存在一点M，使得点M到点A的距离等于点M到点B的距离，则称点M为点A与点B的睿智点．解答下列问题： （1）若点A表示的数为﹣7，点A与点B的睿智点表示的数为3，则点B表示的数为 　 　 ； （2）点A表示的数为﹣7，点C，D表示的数分别是﹣4，﹣1，点O为数轴原点，点B为线段CO上一点． ①设点M表示的数为m，若点M为点A与点B的睿智点，则m的取值范围是 　 　 ； ②当点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度向正半轴方向移动，同时点Q从点C出发以每秒3个单位长度的速度向正半轴方向移动．若经过t（t≥0）秒，点P与点D的睿智点在线段OQ上，则t的取值范围是 　 　 ． 29．（2024秋•建瓯市期中）阅读理解：A，B，C为数轴上三点，我们用AB来表示A，B两点之间的距离，若点C到点A的距离是点C到点B距离的3倍，即AC＝3BC，我们称点C是（A，B）的“奇点”；若点C到点B的距离是点C到点A距离的3倍，即BC＝3AC，我们称点C是（B，A）的“奇点”． 知识运用：若已知数轴上点A表示数﹣2，点B表示数10． （1）则点A与点B间的距离是AB＝　 　 ； （2）若点C表示数14，则点B是　 　 的“奇点”； （3）若点C在点A的左侧且点A是（C，B）的奇点，求点C表示的数； （4）若点C在点A，B之间，且其中一个恰好是另两个的“奇点”，直接写出点C表示的数． 30．（2024秋•西城区校级期中）定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是【A，B】的美好点． 例如：如图1，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是【A，B】的美好点，但点D是【B，A】的美好点． 如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为﹣7，点N所表示的数为2． （1）点E，F，G表示的数分别是﹣3，6.5，11，其中是【M，N】美好点的是 　 　 ；写出【N，M】美好点H所表示的数是 　 　 ． （2）现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t为何值时，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点？ 专题二数轴动点压轴题型参考答案 一．动点线段关系问题（共10小题） 1．（2023秋•管城区校级月考）已知数轴上A，B，C三点对应的数分别为﹣1、3、5，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．点A与点P之间的距离表示为AP，点B与点P之间的距离表示为BP． （1）若BP＝7，则x＝　﹣4或10　 ； （2）若AP＝BP，则x＝　1　 ； （3）若AP+BP＝8，求x的值． 【考点】数轴．版权所有 【专题】数形结合；分类讨论；运算能力． 【分析】（l）分点P在B点的左边和右边分两种情况讨论，即可求解； （2）若AP＝BP，则P在AB中间位置，即x＝1； （3）若AP+BP＝8，①P在A左边，得﹣l﹣x+3﹣x＝8；②P在A右边，得x﹣（﹣1）+x﹣3＝8． 【解答】解：（1）BP＝7，B点对应的数为3， ①当点P在B点的左边时，x＝3﹣7＝﹣4； ②当点P在B点的右边时，x＝3+7＝10， 故答案为：﹣4或10． （2）若AP＝BP，则P点在AB的中间位置，即x1， 故答案为：1． （3）若AP+BP＝8， ①P点在A点的左边，得﹣l﹣x+3﹣x＝8， 解得：x＝﹣3； ②点P在A点的右边，得x﹣（﹣1）+x﹣3＝8， 解得：x＝5； 综上，x＝﹣3或5． 【点评】本题考查了数轴以及一元一次方程的应用，根据各线段之间的等量关系列出方程并求解是解题的关键． 2．（2024秋•阳谷县期中）已知数轴上A，B对应的数分别为﹣2，4，点P为数轴上一动点，其对应的数为x， （1）若P到点A、点B的距离相等，求点P对应的数； （2）若P在线段AB上，且将线段AB分成1：3的两部分，求点P对应的数． 【考点】数轴．版权所有 【专题】常规题型． 【分析】（1）先求出AB的长，根据PA的长，确定点P的位置即可． （2）先求出AB的长，根据PA的长，确定点P的位置即可，注意有两种情形． 【解答】解：（1）∵AB＝6，点P到点A、点B的距离相等， ∴PA＝PB＝3， ∴点P表示的数为1． （2）∵AB＝6，点P在线段AB上，且将线段AB分成1：3的两部分， ∴PAAB或PAAB， ∴点P表示的数为或． 【点评】本题考查了数轴和一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系求解． 3．（2024秋•南昌期中）已知数轴上A、B两点对应的数分别为﹣1和3，数轴上的一个动点P，其对应的数为x． （1）若点P到A、B两点的距离相等，求点P对应的数x的值； （2）数轴上是否存在点P，使点P到A、B两点的距离之和为5：若存在，请求出求x的值；若不存在，请说明理由． 【考点】数轴．版权所有 【专题】常规题型． 【分析】（1）若点P对应的数与﹣1、3差的绝对值相等，则点P到点A，点B的距离相等． （2）利用当P在A左侧时，当P在B右侧时，分别得出即可． 【解答】解：（1）由题意，得PA＝PB，∴x﹣（﹣1）＝3﹣x，解得x＝1． （2）∵3﹣（﹣1）＝4＜5，∴点P不在线段AB上． 当点P落在点B右侧时，有PB+PA＝5， ∴（x﹣3）+（x+1）＝5，解得x＝3.5． 当点P落在点A左侧时，有BP+AP＝5， ∴（﹣1﹣x）+（3﹣x）＝5，解得x＝﹣1.5． ∴x的值是3.5或﹣1.5． 【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用以及数轴上点的坐标与距离表示方法等知识，利用分类讨论得出是解题关键． 4．（2024秋•颍州区校级期末）已知数轴上两点A，B，其中A表示的数为﹣3，B表示的数为2．给出如下定义：若在数轴上存在一点C，使得AC+BC＝m，则称点C叫做点A，B的“m和距离点”．如图，若点C表示的数为0，有AC+BC＝5，则称点C为点A，B的“5和距离点”． （1）如果点N为点A，B的“m和距离点”，且点N在数轴上表示的数为﹣4，那么m的值是 　7　 ； （2）如果点D是数轴上点A，B的“6和距离点”，那么点D表示的数为 　2.5或﹣3.5　 ； （3）如果点E在数轴上（不与A，B重合），满足BEAE，且此时点E为点A，B的“m和距离点”，求m的值． 【考点】数轴．版权所有 【专题】计算题；数形结合；几何直观；运算能力． 【分析】（1）读懂题意，利用“m和距离点”计算； （2）先判断D点的可能位置，再分情况计算； （3）根据题意可判断E点的位置有可能在线段AB上，也可能在点A左边，再分情况计算m的值． 【解答】解：（1）∵点N为点A，B的“m和距离点”，且点N在数轴上表示的数为﹣4， ∴AN＝1，BN＝6， ∴m＝AN+BN＝1+6＝7； 故答案为：7； （2）设D点表示的数为x， ∵AD＝|x﹣（﹣3）|，BD＝|x﹣2|， ∴|x+3|+|x﹣2|＝6， D点不会在线段AB上（AB＝5）， ∴当D点在A点左边时， ﹣x﹣3+（﹣x+2）＝6， x＝﹣3.5， 当D点在B点右边时， x+3+x﹣2＝6， x＝2.5， ∴点D表示的数为：2.5或﹣3.5； 故答案为：2.5或﹣3.5； （3）设E点表示的数为x， ∵BEAE， ∴E的位置有两种可能， 当E点在线段AB上时（不与A，B重合）， AE＝x﹣（﹣3）＝x+3，BE＝2﹣x， ∴2﹣x（x+3）， 解得：x， 此时m＝AE+BE3+25， 当E点在线段AB延长线上时（不与B重合）， AE＝x﹣（﹣3）＝x+3，BE＝x﹣2， x﹣2（x+3）， 解得：x＝7， 此时m＝AE+BE＝7﹣2+7+3＝15， 综上所述，m的值为5或15． 【点评】本题考查数轴知识的新定义，解题的关键是读懂题意，掌握新定义，利用新定义解决问题． 5．（2023秋•凉州区期末）已知点O是数轴的原点，点A、B、M分别是数轴上的三个动点（点A在点B的左侧），且AM＝BM，将点A，B，M表示的数分别记作a，b，m． （1）当a＝﹣1，b＝3时，直接写出m的值； （2）当m＝2时，计算a+b的值； （3）若b＝6，BM＝2OM，求a的值． 【考点】数轴．版权所有 【专题】计算题；数形结合；运算能力；应用意识． 【分析】（1）利用数轴知识，已知A、B两点表示的数，求线段AB中点M表示的数； （2）已知中点表示的数，根据线段中点的定义，求出a+b的值； （3）根据线段的和差，线段中点的定义求出a的值． 【解答】解：（1）∵a＝﹣1，b＝3， ∴m＝3[3﹣（﹣1）]＝3﹣2＝1； （2）∵m＝2， ∴2＝b（b﹣a）， ∴a+b＝4； （3）∵b＝6，BM＝2OM， ∴BM＝b﹣m，OM＝|m|， ∴6﹣m＝2|m|， ∴|m|， ∴m或m， ∴m＝2或m＝﹣6， ∴BM＝6﹣2＝4或BM＝6﹣（﹣6）＝12， ∴a＝2﹣4＝﹣2或a＝﹣6﹣12＝﹣18， 综上所述，a的值为﹣2或﹣18． 【点评】本题考查了数轴，解题的关键是掌握数轴知识和线段的和差，线段中点的定义． 6．（2024秋•黄石期末）已知在数轴上有A，B两点，点A表示的数为8，点B在A点的左边，且AB＝12．若有一动点P从数轴上点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动，设运动时间为t秒． （1）解决问题：①当t＝1秒时，写出数轴上点B，P所表示的数； ②若点P，Q分别从A，B两点同时出发，问点P运动多少秒与Q相距3个单位长度？ （2）探索问题：若M为AQ的中点，N为BP的中点．当点P在P、Q上运动过程中，探索线段MN与线段PQ的数量关系（写出过程）． 【考点】数轴．版权所有 【分析】（1）①根据已知可得B点表示的数为8﹣12；点P表示的数为8﹣3t； ②点P运动x秒时，与Q相距2个单位长度，则AP＝3x，BQ＝2x，根据AP+BQ＝AB﹣3，或AP+BQ＝AB+3，列出方程求解即可； （2）根据点P在点A、B两点之间运动，故MN＝MQ+NP﹣PQ，由此可得出结论． 【解答】解：（1）①∵点A表示的数为8，B在A点左边，AB＝12， ∴点B表示的数是8﹣12＝﹣4， ∵动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， ∴点P表示的数是8﹣3×1＝5． ②设点P运动x秒时，与Q相距3个单位长度， 则AP＝3x，BQ＝2x， ∵AP+BQ＝AB﹣3， ∴3x+2x＝9， 解得：x＝1.8， ∵AP+BQ＝AB+3， ∴3x+2x＝15 解得：x＝3． ∴点P运动1.8秒或3秒时与点Q相距3个单位长度． （2）2MN+PQ＝12或2MN﹣PQ＝12；理由如下： P在Q右侧时有：MN＝MQ+NP﹣PQAQBP﹣PQ（AQ+BP﹣PQ）PQABPQ（12﹣PQ）， 即2MN+PQ＝12． 同理P在Q左侧时有：2MN﹣PQ＝12． 【点评】本题考查了数轴和一元一次方程的应用，用到的知识点是数轴上两点之间的距离，关键是根据题意画出图形，注意分两种情况进行讨论． 7．（2024秋•工业园区期末）如图，在数轴上，点A表示﹣10，点B表示11，点C表示18．动点P从点A出发，沿数轴正方向以每秒2个单位的速度匀速运动；同时，动点Q从点C出发，沿数轴负方向以每秒1个单位的速度匀速运动．设运动时间为t秒． （1）当t为何值时，P、Q两点相遇？相遇点M所对应的数是多少？ （2）在点Q出发后到达点B之前，求t为何值时，点P到点O的距离与点Q到点B的距离相等； （3）在点P向右运动的过程中，N是AP的中点，在点P到达点C之前，求2CN﹣PC的值． 【考点】数轴．版权所有 【专题】图表型；方程思想． 【分析】（1）根据题意，由P、Q两点的路程和为28列出方程求解即可； （2）由题意得，t的值大于0且小于7．分点P在点O的左边，点P在点O的右边两种情况讨论即可求解； （3）根据中点的定义得到AN＝PNAP＝t，可得CN＝AC﹣AN＝28﹣t，PC＝28﹣AP＝28﹣2t，再代入计算即可求解． 【解答】解：（1）根据题意得2t+t＝28， 解得t， ∴AM10， ∴M在O的右侧，且OM10， ∴当t时，P、Q两点相遇，相遇点M所对应的数是； （2）由题意得，t的值大于0且小于7． 若点P在点O的左边，则10﹣2t＝7﹣t，解得t＝3． 若点P在点O的右边，则2t﹣10＝7﹣t，解得t． 综上所述，t的值为3或时，点P到点O的距离与点Q到点B的距离相等； （3）∵N是AP的中点， ∴AN＝PNAP＝t， ∴CN＝AC﹣AN＝28﹣t，PC＝28﹣AP＝28﹣2t， 2CN﹣PC＝2（28﹣t）﹣（28﹣2t）＝28． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，数轴．解题时，一定要“数形结合”，这样使抽象的问题变得直观化，降低了题的难度． 8．（2025秋•濉溪县月考）如图，数轴上A，B两点所对应的有理数分别为16和24，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，点Q同时从原点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设点P，Q的运动时间为t秒 （1）当0＜t＜4时，用含t的式子填空：BP＝　8﹣2t ，AQ＝　16﹣3t （2）当t＝2时，求PQ的值 （3）当PQAB时，求t的值． 【考点】数轴．版权所有 【专题】数形结合． 【分析】（1）OQ＝3t，AP＝2t，则利用BP＝AB﹣AP，AQ＝OA﹣OQ求解； （2）t＝2满足（1）的条件，则可利用PQ＝AQ+AP进行计算； （3）利用PQ＝|OP﹣OQ|＝|OA+AP﹣OQ|＝|16﹣t|，AB＝4得方程|16﹣t|＝4，然后解绝对值方程． 【解答】解：（1）当0＜t＜4时，BP＝24﹣16﹣2t＝8﹣2t， AQ＝16﹣3t； 故答案为8﹣2t，16﹣3t； （2）当t＝2时，PQ＝AQ+AP＝16﹣3t+2t＝16﹣t＝16﹣2＝14； （3）PQ＝|OP﹣OQ|＝|OA+AP﹣OQ|＝|16+2t﹣3t|＝|16﹣t|， ∵PQAB（24﹣16）＝4， ∴|16﹣t|＝4， ∴t＝12或t＝20． 【点评】本题考查了实数与数轴：实数与数轴上的点是一一对应关系．利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小． 9．（2024秋•和平区期末）如图，数轴上A、B两点对应的数分别为﹣5、15． （1）点P是数轴上任意一点，且PA＝PB，则点P对应的数是 　5　 ； （2）点M、N分别是数轴上的两个动点，点M从点A出发以每秒3个单位长度的速度运动，同时，点N从原点O出发以每秒2个单位长度的速度运动． ①若M、N两点都向数轴正方向运动，经过几秒，点M、点N分别到原点O的距离相等？ ②当M、N两点运动到AM＝2BN时，请直接写出点M在数轴上对应的数． 【考点】数轴．版权所有 【专题】实数． 【分析】（1）利用两点间的距离公式，依据PA＝PB列方程求解可得结果； （2）①由数轴知，当M，N重合时，3t﹣5＝2t，可得t＝5；当M，N在O点异侧时，5﹣3t＝2t，解得t＝1； ②分三种情况讨论，求得t的值，进而得到点M在数轴上对应的数． 【解答】解：（1）设P点表示的数为x， 由题意得，x+5＝15﹣x， 解得，x＝5， 故答案为：5； （2）①由数轴知，当M，N重合时，3t﹣5＝2t， 解得，t＝5（秒）； 当M，N在O点异侧时，5﹣3t＝2t， 解得t＝1（秒）； 综上所述，经过5秒或1秒，点M、点N分别到原点O的距离相等； ②由题可得，ON＝2t，AM＝3t， 当点N在线段OB上时，BN＝OB﹣ON＝15﹣2t， 由AM＝2BN，可得3t＝2×（15﹣2t）， 解得t， 若点M向右移动，则点M表示的数为﹣5+3， 若点M向左移动，则点M表示的数为﹣5﹣3； 当点N在线段OB的延长线上时，BN＝ON﹣OB＝2t﹣15， 由AM＝2BN，可得3t＝2×（2t﹣15）， 解得t＝30， 若点M向右移动，则点M表示的数为﹣5+3×30＝85， 若点M向左移动，则点M表示的数为﹣5﹣3×30＝﹣95； 当点N在线段BO的延长线上时，BN＝ON+OB＝2t+15， 由AM＝2BN，可得3t＝2×（2t+15）， 解得t＝﹣30（不合题意）； 综上所述，M在数轴上对应的数为﹣95，85，，． 【点评】此题主要考查了数轴以及一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程求解． 10．（2024秋•巴南区期末）已知点A，B，C在数轴上对应的数分别是﹣2，1，4． （1）在下面的数轴上标出点A，B，C的位置； （2）在数轴上，若点P是点A左侧的一点，点E为线段PA的中点，点F为线段PB的中点，当点P在点A左侧运动时，计算PF﹣PE的值； （3）当点M在数轴上运动，且满足MA+MB＝MC时，求出点M所对应的数． 【考点】数轴．版权所有 【分析】（1）把﹣2，1，4在数轴上表示出来即可； （2）当P在A的左侧移动时，设点P对应的数为x，列式求出PF﹣PE的值即可； （3）根据已知条件结合数轴即可得到结论． 【解答】解：（1）如图所示； （2）设点P对应的数为x， ∵点E为线段PA的中点，点F为线段PB的中点， ∴PF﹣PE|PB||PA|（|PB|﹣|PA|）|AB|， ∴PF﹣PE； （3）设点M所对应的数为m， ∵MA+MB＝MC，AB＝BC＝3， 观察图象可得1﹣m+m+2＝4﹣m或1﹣m﹣2﹣m＝4﹣m， ∴m＝1或﹣5 ∴点M所对应的数是1或﹣5． 【点评】本题考查了数轴的性质，由于引进了数轴，我们把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想． 二．动点定值问题（共10小题） 11．（2025秋•渭滨区校级月考）【知识准备】 若数轴上点A对应的数为x，点B对应的数为y，M为AB的中点，则我们有中点公式：点M对应的数为． （1）在一条数轴上，0为原点，点C对应的数为c，点D对应的数为d，且有|c﹣3+d|+（d+2）2＝0，则CD的中点N所对应的数为 　1.5　 ； 【问题探究】 （2）在（1）的条件下，若点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点Q从点D出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动．设运动时间为ts，t为何值时，PQ的中点所对应的数为10？ 【拓展延伸】 （3）若数轴上点A对应的数为x，点B对应的数为y，M为AB靠近点A的三等分点，则我们有三等分点公式：点M对应的数为；若数轴上点A的对应数为x，点B的对应数为y，M为AB最靠近点A的四等分点，则我们有四等分点公式：点M对应的数为：． ①填空：若数轴上点A的对应数为x，点B的对应数为y，M为AB最靠近点B的五等分点．则点M对应的数为 　　 ． ②在（2）的条件下，若E是PQ最靠近Q的五等分点，F为PC的中点，则是否存在t，使得为定值？若存在，请求出t的取值范围和此时的定值．若不存在，说明理由． 【考点】数轴．版权所有 【专题】压轴题；运算能力；推理能力． 【分析】（1）先由非负数的性质求出c＝5，d＝﹣2，进而可得CD的中点N所对应的数； （2）首先依题意求出点P所表示的数为：5﹣t，点Q所表示的数为：﹣2+2t，然后根据PQ的中点所对应的数为10，得，由此解出/即可； （3）①依题意可得出M对应的数；②由（2）可知：点P所表示的数为：5﹣t，点Q所表示的数为：﹣2+2t，再求出点E所表示的数为，点F所表示的数为，进而求出 ，从而得．然后根据绝对值的意义进行分类讨论即可得出答案． 【解答】解：（1）∵|c﹣3+d|+（d+2）＝0， ∴d+2＝0，c﹣3+d＝0， ∴c＝5，d＝﹣2， ∵点N是CD的中点， ∴CD的中点N所对应的数为：， 故答案为：1.5； （2）由题意可得，点P表示的数为5﹣t，点Q表示的数为﹣2+2t， ∴， 解得t＝17， 当t＝17时，PQ的中点所对应的数为10； （3）①根据题意：五等分点公式：点M对应的数为：； 故答案为：； ②由题意，得点E表示的数为，点F所表示的数为， ∴， ∴， 当时，，不是定值， 当t≤10时，，是定值， 当t＞10时，，不是定值， ∴当时，存在定值，为． 【点评】此题主要考查了数轴，绝对值的意义，理解题意，读懂题目中新定义的分点公式，熟练掌握绝对值的意义，运用分类讨论思想进行分类讨论是解决问题的关键． 12．（2024秋•思明区校级期中）一个点从数轴的原点开始，先向左移动4个单位到达A点，再向右移6个单位到达C点；接着将数轴折叠，使点A和点C重合，折点记为B；最后将数轴展开． （1）直接写出A，B，C三点所表示的数A　﹣4　 ，B　﹣1　 ，C　2　 ； （2）动点P从点C出发，以每秒0.2个单位长度向左运动； ①求18秒后动点P与点B之间的距离； ②动点Q，M分别以每秒0.6个单位长度和0.3个单位长度的速度从A，B两点与点P同时出发，同向而行．记Q与M两点之间的距离为QM，M与P两点之间的距离为MP．在这三个点运动的过程中，是否存在有理数m，使QM+mMP的值始终保持不变？若存在，请求出m的值，若不存在，请说明理由． 【考点】数轴；有理数．版权所有 【专题】实数；推理能力． 【分析】（1）先求出点A和点C表示的数，点B为点A和点C的中点； （2）①根据两点间距离公式求解；②用含t的式子表示出运动时间为秒时，点P，M，Q表示的数，进而用含t和m的式子表示出QM+mMP，通过变形令t的系数为0，即可求解． 【解答】解：（1）由题意知，点A表示的数为0﹣4＝﹣4， 点C表示的数为﹣4+6＝2， 点B表示的数为， 故答案为：﹣4，﹣1，2； （2）①18秒后点P表示的数为：2﹣18×0.2＝﹣1.6， 点P与点B之间的距离为：|﹣1﹣（﹣1.6）|＝|﹣1+1.6|＝0.6； ②由题意知，运动时间为秒时，点P表示的数为2﹣0.2t， 点Q表示的数为﹣4﹣0.6t， 点M表示的数为﹣1﹣0.3t， 则QM＝|﹣1﹣0.3t﹣（﹣4﹣0.6t）|＝|3+0.3t|＝3+0.3t， MP＝|2﹣0.2t﹣（﹣1﹣0.3t）|＝|3+0.1t|＝3+0.1t， QM+mMP＝3+0.3t+m（3+0.1t）＝3m+3+（0.1m+0.3）t， 当0.1m+0.3＝0时， 解得m＝﹣3． QM+mMP＝3m+3＝﹣6，始终保持不变， 【点评】本题考查数轴上的动点问题、两点间距离公式、整式加减的应用，正确表示出各个动点表示的数是解题的关键． 13．（2023秋•都昌县期末）如图：在数轴上A点表示数﹣3，B点表示数1，C点表示数9． （1）若将数轴折叠，使得A点与C点重合，则点B与数 　5　 表示的点重合； （2）若点 A、点B和点C分别以每秒2个单位、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动． ①若t秒钟过后，A，B，C三点中恰有一点为另外两点的中点，求t值； ②当点C在B点右侧时，是否存在常数m，使mBC﹣2AB的值为定值，若存在，求m的值，若不存在，请说明理由． 【考点】数轴．版权所有 【专题】实数；运算能力． 【分析】（1）求出AB的长度和中点，然后求出B的重合点； （2）①分别以A、B、C为中点，列出等式解出即可； ②使mBC﹣2AB的值为定值，列出等式中的含t的项合并为0，从而求出m． 【解答】解：（1）AB＝9﹣（﹣3）＝12， 12÷2＝6， AB的中点表示的数为：9﹣6＝3， 3﹣1＝2，3+2＝5， 则点B与5表示的点重合； （2）①由题意可知， t 秒时，A点所在的数为：﹣3﹣2t， B点所在的数为：1﹣t， C点所在的数为：9﹣4t， （i）若B为AC中点， 则 ． ∴t＝1； （ii）若C为AB中点， 则 ， ∴t＝4； （iii）若A为BC中点， 则 ， ∴t＝16， ∴综上，当t＝1或4或16时，A，B，C三点中恰有一点为另外两点的中点； ②假设存在． ∵C在B右侧，B在A右侧， ∴BC＝9﹣4t﹣（1﹣t）＝8﹣3t， AB＝1﹣t﹣（﹣3﹣2t）＝4+t， mBC﹣2AB ＝m（8﹣3t）﹣2（4+t） ＝8m﹣3mt﹣8﹣2t ＝8m﹣8﹣（3mt+2t） ＝8m﹣8﹣（3m+2）t， 当3m+2＝0即m时， mBC﹣2AB＝8×（）﹣8为定值， ∴存在常数m，使mBC﹣2AB的值为定值． 【点评】本题考查的是数轴，解题的关键是能用中点坐标公式列出等式． 14．（2023秋•宣威市期末）A，B是数轴上的两点（点B在点A的右侧），点A表示的数为﹣10，A、B两点的距离是点A到原点O的距离的3倍，即AB＝3OA．点C为数轴上的动点． （1）数轴上点B表示的数是 　20　 ； （2）当AC+BC＝58时，求点C表示的数； （3）若点M为AC的中点，点N为CB的中点，点C在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若发生变化，请你说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长度． 【考点】数轴．版权所有 【专题】动点型；实数；数据分析观念；运算能力． 【分析】（1）利用数轴求出即可． （2）利用两点之间中点最短可知，点C不在相等AB上； （3）利用中点中点求出线段MA、BN的长度，求出点M点N表示的数，用距离公式表示出NM的长度即可． 【解答】解：（1）∵点A表示的数为﹣10， ∴OA＝10， ∵AB＝3OA， AB＝30， OB＝AB﹣OA＝20（点B在点A的右侧）， ∴点B表示的数为20， 故答案为：20； （2）设点C表示的数为x， ∵AC+BC＝58＞AB＝30， 故点C在点A的左侧或点B的右侧， 当点C在点A的左侧时， （﹣10﹣x）+（20﹣x）＝58， 解得x＝﹣24； 当C在B的右侧时，（x﹣20）+（x+10）＝58． 解得x＝34． 综上所述，点C表示的数为﹣24或34． （3）MN的长度不发生变换，理由如下： ∵AC＝﹣10﹣x，BC＝20﹣x， M是AC的中点，N是BC的中点， ∴AM，BN， OM10，ON＝20，或ON20 ∴点M表示的数为：﹣（10）， 点N表示的数为：20，或﹣（20）， MN15． 【点评】本题考查的是数轴，解题的关键是根据数轴表示出线段的长度． 15．（2024秋•红花岗区期末）已知a是最大的负整数，b是最小的正整数，且c＝b﹣a，请回答下列问题． （1）请直接写出a，b，c的值：a＝　﹣1　 ，b＝　1　 ，c＝　2　 ； （2）若a，b，c在数轴上所对应的点分别为A，B，C，请画出数轴并在数轴上表示出A，B，C三点； （3）在（2）的情况下，点A，B，C开始在数轴上运动，若点A和点C以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时点B以每秒6个单位长度的速度向右运动，已知点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB．问：AB﹣BC的值是否会随着时间的变化而变化？若会，请说明理由；若不会，请求出AB﹣BC的值． 【考点】数轴．版权所有 【专题】计算题；分类讨论；运算能力；应用意识． 【分析】（1）根据各自的定义及已知条件可以求解； （2）结合（1）即可在数轴上表示出来； （3）AB﹣BC的值在B与C相遇前会改变，相遇后不会随着时间的变化而改变，经过t秒后，A点表示的数为﹣2t﹣1，C点表示的数2﹣2t，B点表示的数为6t+1，首先分别用t表示AB，BC的长度，然后求出AB﹣BC即可解决问题． 【解答】解：（1）∵a是最大的负整数，b是最小的正整数，且c＝b﹣a， ∴a＝﹣1，b＝1，c＝b﹣a＝1﹣（﹣1）＝2； 故答案为：﹣1；1；2； （2）画出数轴，在数轴上表示A、B、C如下： （3）AB﹣BC的值在B与C相遇前会改变，相遇后不会随着时间的变化而改变，理由如下． 经过t秒后，A点表示的数为﹣2t﹣1，C点表示的数2﹣2t，B点表示的数为6t+1， ①B与C相遇前， ∴AB＝（6t+1）﹣（8t﹣1）＝8t+2，BC＝（2﹣2t）﹣（6t+1）＝1﹣8t， 即AB﹣BC＝（8t+2）﹣（1﹣8t）＝16t+1， ∴AB﹣BC的值随着时间的变化而变化； ②B与C相遇后， ∴BC＝（6t+1）﹣（2﹣2t）＝8t﹣1AB＝（6t+1）﹣（8t﹣1）＝8t+2， 即AB﹣BC＝8t+2﹣（8t﹣1）＝8t+2﹣8t+1＝3， AB﹣BC的值随着时间的变化而没有变化， 综上所叙AB﹣BC的值在B与C相遇前会改变；相遇后不会随着时间的变化而改变，AB﹣BC的值为3． 【点评】此题主要考查了数轴上面的点的运动，同时也利用了方程模型，也利用了分类讨论的数学思想，综合性比较强． 16．（2024秋•曲阳县期末）如图，已知数轴上A、B两点所表示的数分别为﹣2和8． （1）线段AB长是　10　 ； （2）若P为线段AB上的一点（点P不与A、B两点重合），M为PA的中点，N为PB的中点，请你画出图形，求MN的长； （3）若P为数轴上的一点（点P不与A、B两点重合，M为PA的中点，N为PB的中点，当点P在数轴上运动时；MN的长度是否发生改变？请你画出图形说明，直接写出你的结论． 【考点】数轴．版权所有 【专题】几何动点问题． 【分析】（1）根据数轴上两点间距离公式计算可得，即数轴上两点A、B表示的数分别为x1、x2，则AB＝|x1﹣x2|； （2）当点P在线段AB上时，MN＝MP+NP，可根据中点性质得到MPAP、NPBP，相加可得； （3）当点P在数轴上运动时，可分下面三种情况： ①点P在A、B两点之间运动时，根据MN＝MP+NP计算可得， ②点P在点A的左侧运动时，根据MN＝NP﹣MP计算可得， ③点P在点B的右侧运动时，根据MN＝MP﹣NP计算可得，最后综合三种情况得出结论． 【解答】解：（1）AB＝8﹣（﹣2）＝lO． （2）线段MN的长度为5．如图甲， ∵M为AP中点，N为BP的中点， ∴MPAP，NPBP， ∵AB＝10， ∴MN＝MP+NPAPBPAB＝5 （3）线段MN的长度不发生变化，其值为5．分下面三种情况： ①当点P在A、B两点之间运动时（如图甲）．MN＝MP+NPAPBPAB＝5 ②当点P在点A的左侧运动时（如图乙）．MN＝NP﹣MPBPAPAB＝5 ③当点P在点B的右侧运动时（如图丙） MN＝MP﹣NPAPBPAB＝5 综上所述，线段MN的长度不发生变化，其值为5． 【点评】本题考查了线段的计算和中点的性质及数轴的知识，由于引进了数轴，我们把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想． 17．（2024秋•绥宁县期中）阅读下面的材料： 如图1，在数轴上A点所示的数为a，B点表示的数为b，则点A到点B的距离记为AB．线段AB的长可以用右边的数减去左边的数表示，即AB＝b﹣a． 请用上面的知识解答下面的问题： 如图2，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动1cm到达A点，再向左移动2cm到达B点，然后向右移动7cm到达C点，用1个单位长度表示1cm． （1）请你在数轴上表示出A．B．C三点的位置： （2）点C到点A的距离CA＝　5　 cm；若数轴上有一点D，且AD＝4，则点D表示的数为　﹣5或3　 ； （3）若将点A向右移动xcm，则移动后的点表示的数为　﹣1+x ；（用代数式表示） （4）若点B以每秒2cm的速度向左移动，同时A．C点分别以每秒1cm、4cm的速度向右移动．设移动时间为t秒， 试探索：CA﹣AB的值是否会随着t的变化而改变？请说明理由． 【考点】数轴．版权所有 【分析】（1）根据题意容易画出图形； （2）由题意容易得出CA的长度；设D表示的数为a，由绝对值的意义容易得出结果； （3）将点A向右移动xcm，则移动后的点表示的数为﹣1+x； （4）表示出CA和AB，再相减即可得出结论． 【解答】解：（1）如图所示： （2）CA＝4﹣（﹣1）＝4+1＝5（cm）； 设D表示的数为a， ∵AD＝4cm， ∴|﹣1﹣a|＝4， 解得：a＝﹣5或3， ∴点D表示的数为﹣5或3； 故答案为：5，﹣5或3； （3）将点A向右移动xcm，则移动后的点表示的数为﹣1+x； 故答案为：﹣1+x； （4）CA﹣AB的值不会随着t的变化而变化，理由如下： 根据题意得：CA＝（4+4t）﹣（﹣1+t）＝（5+3t）cm，AB＝（﹣1+t）﹣（﹣3﹣2t）＝（2+3t）cm， ∴CA﹣AB＝（5+3t）﹣（2+3t）＝3（cm）， ∴CA﹣AB的值不会随着t的变化而变化． 【点评】此题考查了数轴，掌握数轴上两点之间的距离求解方法是解决问题的关键． 18．（2024秋•漳州期末）已知，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动7cm到达A点，再从A点向右移动12cm到达B点，把点A到点B的距离记为AB，点C是线段AB的中点． （1）点C表示的数是 　﹣1　 ； （2）若点A以每秒2cm的速度向左移动，同时C、B点分别以每秒1cm、4cm的速度向右移动，设移动时间为t秒， ①点C表示的数是 　﹣1+t （用含有t的代数式表示）； ②当t＝2秒时，求CB﹣AC的值； ③试探索：CB﹣AC的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【考点】数轴．版权所有 【专题】常规题型． 【分析】（1）根据题意可以求得点C表示的数； （2）①根据题意可以用代数式表示点C运动时间t时表示的数； ②根据题意可以求得当t＝2秒时，CB﹣AC的值； ③先判断是否变化，然后求出CB﹣AC的值即可解答本题． 【解答】解：（1）由题意可得， AC＝126， ∴点C表示的数为：0﹣7+6＝﹣1， 故答案为：﹣1； （2）①由题意可得， 点C移动t秒时表示的数为：﹣1+t， 故答案为：﹣1+t； ②当t＝2时， CB﹣AC ＝[（0﹣7+12+4t）﹣（﹣1+t）]﹣[（﹣1+t）﹣（0﹣7﹣2t）] ＝（5+4t+1﹣t）﹣（﹣1+t+7+2t） ＝6+3t﹣6﹣3t ＝0； ③CB﹣AC的值不随着时间t的变化而改变， ∵CB﹣AC ＝[（0﹣7+12+4t）﹣（﹣1+t）]﹣[（﹣1+t）﹣（0﹣7﹣2t）] ＝（5+4t+1﹣t）﹣（﹣1+t+7+2t） ＝6+3t﹣6﹣3t ＝0， ∴CB﹣AC的值不随着时间t的变化而改变，CB﹣AC的值为0cm． 【点评】本题考查数轴，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 19．（2025秋•海安市月考）已知：如图所示，O为数轴的原点，A，B分别为数轴上的两点，A点对应的数为﹣30，B点对应的数为100． （1）若点C也是数轴上的点，C到B的距离是C到原点O的距离的3倍，求C对应的数； （2）若当电子P从B点出发，以6个单位长度/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4个单位长度/秒的速度向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的D点相遇，那么D点对应的数是多少？ （3）若电子蚂蚁P从B点出发，以8个单位长度/秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出，以4个单位长度/秒向右运动．设数轴上的点N到原点O的距离等于P点到O的距离的一半，有两个结论①ON+AQ的值不变；②ON﹣AQ的值不变．请判断哪个结论正确，并求出结论的值． 【考点】数轴．版权所有 【专题】方程思想． 【分析】（1）设C对应的数为x，根据C到B的距离是C到原点O的距离的3倍列出方程，解方程即可； （2）设从出发到相遇时经历时间为t秒，根据相遇时两只电子蚂蚁运动的路程之差＝A、B间的距离列出方程，解方程即可； （3）设运动时间为t秒，则PO＝100+8t，AQ＝4t．由数轴上的点N到原点O的距离等于P点到O的距离的一半可知ONPO＝50+4t，所以ON﹣AQ＝50+4t﹣4t＝50，从而判断结论②正确． 【解答】解：（1）设C对应的数为x，根据题意得 |x﹣100|＝3|x|， 解得x＝﹣50或25， 故C对应的数为﹣50或25； （2）设从出发到相遇时经历时间为t，则： 6t﹣4t＝130， 解得：t＝65， 65×4＝260，则260+30＝290， 所以D点对应的数为﹣290； （3）②ON﹣AQ的值不变．理由如下： 设运动时间为t秒，则PO＝100+8t，AQ＝4t． 由数轴上的点N到原点O的距离等于P点到O的距离的一半，得ONPO＝50+4t， 所以ON﹣AQ＝50+4t﹣4t＝50． 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，数轴，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 20．（2024秋•西青区期末）已知数轴上的点A和点B之间的距离为28个单位长度，点A在原点的左边，距离原点8个单位长度，点B在原点的右边． （Ⅰ）求点A，点B对应的数； （Ⅱ）数轴上点A以每秒1个单位长度出发向左移动，同时点B以每秒3个单位长度的速度向左移动，在点C处追上了点A，求点C对应的数． （Ⅲ）已知在数轴上点M从点A出发向右运动，速度为每秒1个单位长度，同时点N从点B出发向右运动，速度为每秒2个单位长度，设线段NO的中点为P（O为原点），在运动的过程中，线段的值是否变化？若不变，请说明理由并求其值；若变化，请说明理由． 【考点】数轴．版权所有 【专题】动点型；方程思想． 【分析】（Ⅰ）利用数形结合的方法即可知A、B两点分别表示的是﹣8与20； （Ⅱ）把点的运动看成行程问题中的追及问题，在相等的时间内，路程差等于28，列一元一次方程即可解决； （Ⅲ）设运动时间为 t秒，用含有t的代数式分别表示出题目中涉及的线段长，NO＝20+2t，AM＝t，OB＝20，即可表示要求的线段的值． 【解答】（Ⅰ）解：∵点A在原点的左边，距离原点8个单位长度， ∴点A表示的数为﹣8， 而|AB|＝28，且B在原点的右边， ∴点B表示的数为20． 即A、B点对应的数分别为﹣8，20． （Ⅱ）解：由题意可设经过x秒后，点B在C处追上了点A， 列方程得3x﹣x＝28 解得x＝14 因此C点在A点向左14个单位处，即﹣8﹣14＝﹣22 故C点表示的数为﹣22． （Ⅲ）解：设运动时间为t秒，则NO＝20+2t，AM＝t，OB＝20 而P为线段NO的中点，所以OP（20+2t）＝10+t 于是 故该线段的值不随时间变化而变化，为常数 【点评】本题考查的是数轴上点的距离，用代数式或者方程来表达距离及其等量关系，是解决这类题目的基本方法． 三．动点新定义问题（共10小题） 21．（2025秋•西安校级月考）【定义新知】 数轴上有三个点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“关联点”．例如：如图，数轴上点A，B，C所表示的数依次为1，3，4，此时点B是点A，C的“关联点”． 【尝试应用】 （1）若数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为1，点C表示的数为4，请判断点C是否为A，B的“关联点”，并说明理由． 【拓展探索】 （2）已知数轴上点A表示的数为﹣4，点B表示的数为2，P为数轴上一个动点： ①若点P在点B的左侧，且点P是点A，B的“关联点”，求此时点P所表示的数； ②若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“关联点”，请求出此时点P所表示的数． 【考点】数轴．版权所有 【专题】实数；运算能力． 【分析】（1）根据“关联点”的定义进行判断即可； （2）①先求出A、B两点之间的距离，分当点P在点A与点B之间时和当点P在点A的左侧时两种情况进行讨论即可； ②分三种情况进行讨论，即当点A、B、P分别为“关联点”的时候进行求解． 【解答】解：（1）点C是点A，B的“关联点” 理由：点A与点C之间的距离为4﹣（﹣2）＝6， 点B与点C之间的距离为4﹣1＝3， ∵3×2＝6， ∴点C是点A，B的“关联点”； （2）由条件可知点A与点B之间的距离为2﹣（﹣4）＝6． 分两种情况讨论如下： ①当点P在点A与点B之间时： 点P与点A之间的距离为6÷3＝2， 或点P与点B之间的距离为6÷3＝2， 所以此时点P表示的数为﹣4+2＝﹣2或2﹣2＝0； 当点P在点A的左侧时： 点P与点B之间的距离等于点P与点A之间距离的2倍． 所以此时点P表示的数为﹣4﹣6＝﹣10． 综上可知，点P所表示的数为0或﹣2或﹣10． ②当点P为点A，B的“关联点”时： 因为点P在点B的右侧， 所以点P与点A之间的距离等于点P与点B之间距离的2倍， 所以此时点P所表示的数为2+6＝8； 当点A为点P，B的“关联点”时： 因为点P在点B的右侧，点A在点B的左侧， 所以点A与点P之间的距离等于点B与点P之间距离的2倍， 所以此时点P所表示的数为2+6＝8； 当点B为点P，A的“关联点”时： 点B与点P之间的距离等于点B与点A之间距离的2倍或， 又因为点P在点B的右侧， 所以此时点P所表示的数为14或． 综上可知，点P所表示的数为8或14或5． 【点评】本题主要考查了实数和数轴，利用数轴上两点之间的距离表示有理数，解题的关键是掌握分类讨论的思想． 22．（2025秋•雁塔区校级月考）如图，数轴上点A表示的数是﹣2，点B表示的数是3，阅读以下材料并解决相关问题．若在数轴上存在一点P，使得点P到点A的距离与点P到点B的距离之和等于n，则称点P为点A、B的“n格距点”．例如：在图1中，点P表示的数是﹣1，点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为1+4＝5，则称点P为点A、B的“5格距点”． （1）若点P表示的数是2，则n的值为　5　 ； （2）数轴上表示整数的点称为整点，若整点P为点A、B的“5格距点”，则这样的整点P有　6　 个； （3）若点P在数轴上运动，满足点P到点B的距离等于点P到点A的距离的2倍，且此时点P为点A、B的“n格距点”，求点P表示的数及n的值． 【考点】数轴．版权所有 【专题】实数；运算能力． 【分析】（1）由题意可求出点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为5，即可求解； （2）根据题意可得出，即说明点P在线段AB上，从而得出整点P所表示的数是﹣2，﹣1，0，1，2，3； （3）分两种情况讨论：当P在AB之间时，AB＝5，点P表示的数为，此时n＝5；当P在点A左边时，PA＝AB＝5，点P表示的数为﹣7，此时n＝15． 【解答】解：（1）∵点P表示的数为2， ∴点P到点A的距离是2﹣（﹣2）＝4，点P到点B的距离为3﹣2＝1， ∴点P到点A的距离与点P到点B的距离之和为4+1＝5， ∴n＝5． 故答案为：5； （2）∵整点P为点A、B的“5格距点”， ∴PA+PB＝5，即P在线段AB上， ∴整点P所表示的数是﹣2，﹣1，0，1，2，3，共6个， 故答案为：6； （3）①当P在AB之间时，AB＝5， 点P表示的数为：， 此时n＝5； ②当P在点A左边时，PA＝AB＝5， 点P表示的数为：﹣2﹣5＝﹣7， 此时n＝5+10＝15． 【点评】本题考查了新定义，用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，理解题意，利用数形结合的思想是解题关键． 23．（2023秋•宣汉县校级期末）对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足3倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“倍分点”．如图，数轴上点A，B，C表示的数分别是1，4，5，此时点B是点A，C的“倍分点”． （1）当点A表示数﹣2，点B表示数2时，下列各数，1，4是点A，B的“倍分点”的是 　1，4　 ； （2）当点A表示数﹣10，点B表示数30时，D为数轴上一个动点． ①若点D是点A，B的“倍分点”，求此时点D表示的数； ②若点D，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“倍分点”，求出此时点D表示的数． 【考点】数轴．版权所有 【专题】新定义；实数；运算能力；应用意识． 【分析】根据题干提供新定义求解． （1）分别计算各数，1，4到A和B的距离，根据“倍分点”进行判断即可； （2）①分类讨论点D位置求解； ②分类讨论：D，A，B分别是“倍分点”，列方程可解答． 【解答】解：（1）∵﹣20.5，24.5， ∴数不是点A，B的“倍分点”； ∵1+2＝3，2﹣1＝1， ∴数1是点A，B的“倍分点”； ∵4﹣（﹣2）＝6，4﹣2＝2， ∴数4是点A，B的“倍分点”； 故答案为：1，4； （2）设点D对应的数为x， ①当点D在A，B之间时，因为AB＝30+10＝40， 所以当时，BD＝10，即x＝30﹣10＝20； 当时，BD＝30，即x＝30﹣30＝0； 当点D在点B右侧，AD＝3BD，即x+10＝3（x﹣30），解得x＝50； 当点D在点A左侧，BD＝3AD，即30﹣x＝3（﹣10﹣x），解得x＝﹣30； 综上，点D表示的数可为20，0，50，﹣30； ②由①得点D是倍分点时，点D表示的数可为20，0，50，﹣30； 当点A为倍分点，点D在A，B之间时，AB＝3AD，即40＝3（x+10），解得； 点D在点A左侧时，AD＝3AB，即﹣10﹣x＝3×40，解得x＝﹣130；AB＝3AD，40＝3（﹣10﹣x），解得； 点D在点B右侧，AD＝3AB，即x﹣（﹣10）＝3×40，解得x＝110； 当点B为倍分点时，同理可求，﹣90，150，． 综上，点D表示的数可为：20，0，50，﹣30，，﹣130，，110，，﹣90，150，． 【点评】本题考查数轴相关知识点和新定义：“倍分点”，解题关键是根据题意分类讨论符合题干的情况． 24．（2025秋•玄武区月考）对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“联盟点”． 例如数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“联盟点”． （1）若点A表示数﹣2，点B表示数3，点M是点A，B的“联盟点”，点M在A、B之间，且表示一个负数，则点M表示的数为　　 ； （2）若点A表示数﹣2，点B表示数2，下列各数，0，4，6所对应的点分别为C1，C2，C3，C4，其中是点A，B的“联盟点”的是C1，C4 ； （3）点A表示数﹣15，点B表示数25，P为数轴上一点． ①若点P在点B的左侧，且点P是点A，B的“联盟点”，此时点P表示的数是　或或﹣55　 ； ②若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“联盟点”，直接写出此时点P表示的数　65或45或105　 ． 【考点】数轴；正数和负数．版权所有 【专题】实数；运算能力． 【分析】（1）根据“联盟点”的定义可得AM＝2BM或BM＝2AM，设点M表示的数为m，得出m的取值范围为﹣2＜m＜3，然后进行分类讨论即可； （2）根据题目所给“联盟点”的定义，逐个进行判断即可； （3）①设点P标示的数为x，进行分类讨论：当点P在点A和点B之间时，当点P在点A左边时，即可解答；②设点P表示的数为x，然后进行分类讨论：当点A是点B和点P的“联盟点”时，当点B是点A和点P的“联盟点”时，当点P是点A和点B的“联盟点”时． 【解答】解：（1）∵点M是点A，B的“联盟点”， ∴MA＝2BM或MB＝2AM， 设点M表示数为m， ∵点M在A、B之间，且表示负数， ∴﹣2＜m＜3， 若MA＝2MB，则m+2＝2（3﹣m）， 解得：，舍去； 若BM＝2AM，则3﹣m＝2（m+2）， 解得：，行， 故答案为：； （2）根据题意可得： ， ∵2AC1＝BC1， ∴C1是点A，B的“联盟点”， AC2＝0﹣（﹣2）＝2，BC2＝2﹣0＝2， ∵AC2＝BC2， ∴C2不是点A，B的“联盟点”， AC3＝4﹣（﹣2）＝6，BC2＝4﹣2＝2， ∵AC3＝3BC3， ∴C3不是点A，B的“联盟点”， AC4＝6﹣（﹣2）＝8，BC4＝6﹣2＝4， ∵AC4＝2BC4， ∴C4是点A，B的“联盟点”， 总之，C1，C4是点A，B的“联盟点”， 故答案为：C1，C4； （3）①设点P标示的数为x， 当点P在A和B之间时， 若AP＝2BP，则x﹣（﹣15）＝2（25﹣x）， 解得； 若2AP＝BP，则2[x﹣（﹣15）]＝25﹣x， 解得； 当P在A左边时，2PA＝PB， 则2（﹣15﹣x）＝25﹣x， 解得：x＝﹣55； 故答案为：或或﹣55； ②设点P表示的数为x， 当A是B和P的“联盟点”时，AP＝2AB， 则x﹣（﹣15）＝2[25﹣（﹣15）]， 解得x＝65； 当B是A和P的“联盟点”时， 若BA＝2PB，则25﹣（﹣15）＝2（x﹣25）， 解得x＝45， 若2BA＝PB，则2[25﹣（﹣15）]＝x﹣25， 解得x＝105； 当P是A和B的“联盟点”时，AP＝2BP， 则x﹣（﹣15）＝2（x﹣25）， 解得x＝﹣35（舍去）， 总之，点P表示的数为65或45或105， 故答案为：65或45或105． 【点评】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，解一元一次方程，解题的关键是正确理解题目所给“联盟点”的定义，以及求数轴上两点之间距离的方法． 25．（2024秋•通道县期末）【新知理解】 点C在线段AB上，若BC＝2AC或AC＝2BC，则称点C是线段AB的“优点”，线段AC，BC称作互为“优点”伴侣线段． 例如，图1，线段AB的长度为6，点C在AB上，AC的长度为2，则点C是线段AB的其中一个“优点”． （1）若点C为图1中线段AB的“优点”，且AC＝3（AC＜BC），则AB＝ 　9　 ； （2）若点D也是图1中线段AB的“优点”（不同于点C），则AC　＝　 BD（填“＞”“＜”或“＝”）； 【解决问题】 如图2，数轴上有E，F两点，其中E点表示的数为1，F点表示的数为4； （3）若M点在N点的左侧，且M，N均为线段OF的“优点”，则线段MN的长为 　　 ； （4）若点G在线段EF的延长线上，且线段EF与GF互为“优点”伴侣线段，则点G表示的数为 　5.5或10　 ． 【考点】数轴．版权所有 【专题】实数；运算能力． 【分析】（1）根据“优点”的定义解答，即可求解； （2）根据“优点”的定义解答，即可求解； （3）根据“优点”的定义可得，即可求解； （4）根据题意可得EF＝3，再由“优点”伴侣线段的定义解答，即可求解． 【解答】解：（1）由条件可知BC＝2AC＝6， ∴AB＝AC+BC＝9； 故答案为：9； （2）由条件可知AD＝2BD， ∴， ∴AC＝BD； 故答案为：＝； （3）由条件可知OF＝4， 根据题意可知， ∴； 故答案为：； （4）由条件可知EF＝3， ∵线段EF与GF互为“优点”伴侣线段， 当EF＝2GF时，GF＝1.5， ∴点G表示的数为5.5， 当GF＝2EF时，GF＝6， ∴点G表示的数为10， 综上，点G表示的数为5.5或10． 故答案为：5.5或10． 【点评】本题主要查了线段的和与差，熟练掌握线段和差的计算是关键． 26．（2025春•海淀区校级期末）已知点P，A，B是数轴上的三个点．若点P到原点的距离等于点A，点B到原点距离的和的一半，则称点P为点A和点B的“关联点”． （1）已知点A表示2，点B表示﹣4，下列各数﹣3，﹣2，0，3在数轴上所对应的点分别是P1，P2，P3，P4，其中是点A和点B的“关联点”的是P1，P4 ； （2）已知点A表示2，点B表示m，点P为点A和点B的“关联点”，且点P到原点的距离为4，求m的值； （3）已知点A表示a，将点A沿数轴正方向移动4个单位长度，得到点B．当点P为点A和点B的“关联点”时，直接写出PB﹣PA的最大值和最小值． 【考点】数轴．版权所有 【专题】实数；运算能力． 【分析】（1）根据两点之间距离的计算，“关联点”的概念计算即可求解； （2）根据题意得到，点P表示的数为﹣4，4，结合“关联点”的概念计算即可求解； （3）根据题意分别表示出点B，P在数轴上表示的，分类讨论即可求解． 【解答】解：（1）由条件可知点A到原点的距离为2，点B到原点的距离为4， ∴， ∴到原点距离等于3的点是﹣3，3， ∴是点A和点B的“关联点”的是P1，P4； 故答案为：P1，P4； （2）由条件可知点A到原点的距离为2，点B到原点的距离为|m|，点P为点A和点B的“关联点”，且点P到原点的距离为4， ∴点P表示的数为﹣4，4， ∴当时，|m|＝﹣10，不符合题意，舍去； 当时， 解得，m＝±6， ∴m的值是﹣6或6； （3）由条件可知点B表示的数为a+4， ∵点P为点A和点B的“关联点”， ∴即点P到原点的距离为|a+2|， 当点P在原点左边时，点P表示的数为﹣（a+2）， ∴PA＝|a﹣[﹣（a+2）]|＝|2a+2|，PB＝|a+4﹣[﹣（a+2）]|＝|2a+6|， ∴PB﹣PA＝|2a+6|﹣|2a+2|， 当a≤﹣3时，PB﹣PA＝|2a+6|﹣|2a+2|＝﹣2a﹣6+2a+2＝﹣4； 当﹣3＜a≤﹣1时，PB﹣PA＝|2a+6|﹣|2a+2|＝2a+6+2a+2＝4a+8， ∴﹣4＜4a+8≤4， 当a＞﹣1时，PB﹣PA＝|2a+6|﹣|2a+2|＝2a+6﹣2a﹣2＝4， 当点P在原点右边时，点P表示的数为（a+2）， PA＝（a+2）﹣a﹣＝2，PB＝（a+4）﹣（a+2）＝2， ∴PB﹣PA＝2﹣2＝0， ∴PB﹣PA的最大值是4，最小值是﹣4． 【点评】本题主要考查数轴上点表示数，两点之间距离的计算，理解题意，掌握两点之间距离的计算是关键． 27．（2024秋•莒南县校级月考）在数轴上，若点C到点A的距离刚好是2个单位长度，则把点C叫作点A的“美好点”；若点C到A，B两点的距离之和是4个单位长度，则把点C叫作A，B两点的“美好中心”． （1）若点A表示的数是﹣1，求点A的“美好点”所表示的数． （2）如图，M，N为数轴上两点，点M所表示的数是3，点N所表示的数是﹣1，点C是M，N两点的“美好中心”，则点C所表示的数是（写出一种情况即可）． 【考点】数轴．版权所有 【专题】实数；运算能力． 【分析】（1）根据“美好点”的定义直接求解即可； （2）根据“美好中心”的定义可知点C在点M与点N之间时，点C到点M、N的距离之和为4，则任选点M、N之间任意一个数即可． 【解答】解：（1）在点A左侧距离点的距离刚好是A2个单位长度的点表示的数是﹣3， 在点A右侧距离点A的距离刚好是2个单位长度的点表示的数是1， 故点A的“美好点”所表示的数是﹣3或1． （2）根据“美好中心”的定义可知点C在点M与点N之间时，点C到点M、N的距离之和为4，则任选点M、N之间任意一个数即可．不妨选取0（答案不唯一）． 【点评】本题考查的是数轴上两点之间的距离，理解新定义是解题的关键． 28．（2024秋•西城区校级期中）我们给出如下定义：数轴上给定不重合两点A，B，若数轴上存在一点M，使得点M到点A的距离等于点M到点B的距离，则称点M为点A与点B的睿智点．解答下列问题： （1）若点A表示的数为﹣7，点A与点B的睿智点表示的数为3，则点B表示的数为 　13　 ； （2）点A表示的数为﹣7，点C，D表示的数分别是﹣4，﹣1，点O为数轴原点，点B为线段CO上一点． ①设点M表示的数为m，若点M为点A与点B的睿智点，则m的取值范围是 　﹣5.5≤m≤﹣3.5　 ； ②当点P从点A出发以每秒1个单位长度的速度向正半轴方向移动，同时点Q从点C出发以每秒3个单位长度的速度向正半轴方向移动．若经过t（t≥0）秒，点P与点D的睿智点在线段OQ上，则t的取值范围是 t＝0或t≥8．　 ． 【考点】数轴．版权所有 【专题】分类讨论；数感；运算能力． 【分析】（1）由题意得，点B到3的距离与点A（数﹣7）到3的距离相等，由此可数形结合求B表示的数，若设B表示的数为b，也可以用公式3﹣（﹣7）＝b﹣3； （2）①设B表示的数为b，由（1）可知，当点M为点A与点B的睿智点时，2m＝b+（﹣7），由点B为线段CO上一点得，B表示的最小数是﹣4，B表示的最大的数是0，可得﹣5.5≤m≤﹣3.5； ②可利用公式，点P表示的数是﹣7+t，点Q表示的数﹣4+3t，点P与点D的睿智点在数轴上表示的数为，若要该点在线段OQ上，则当时，，当时，，解不等式求解． 【解答】解：（1）设B表示的数为b， 由题意得：b﹣3＝3﹣（﹣7）， 解得：b＝13， 故答案为：13； （2）①设B表示的数为b， ∵点B为线段CO上一点， ∴﹣4≤b≤0， ∵点M为点A与点B的睿智点， ∴m， ∴﹣5.5≤m≤﹣3.5， 故答案为：﹣5.5≤m≤﹣3.5； ②由题意得：点P表示的数为﹣7+t，点Q表示的点为﹣4+3t， 点P与点D的睿智点在数轴上表示的数为， 分两种情况： Ⅰ．当时，， 解得：t≤0， 又∵t≥0， ∴t＝0； Ⅱ．当时，， 解得：t≥8， 综上可知，t取值范围为t＝0或t≥8． 故答案为：t＝0或t≥8． 【点评】本题考查了数轴上两点间的距离，分类讨论思想，一元一次不等式组，根据（1）问推理出睿智点（中点）坐标公式是解决问题的关键，也可以利用数轴数形结合解决问题． 29．（2024秋•建瓯市期中）阅读理解：A，B，C为数轴上三点，我们用AB来表示A，B两点之间的距离，若点C到点A的距离是点C到点B距离的3倍，即AC＝3BC，我们称点C是（A，B）的“奇点”；若点C到点B的距离是点C到点A距离的3倍，即BC＝3AC，我们称点C是（B，A）的“奇点”． 知识运用：若已知数轴上点A表示数﹣2，点B表示数10． （1）则点A与点B间的距离是AB＝　12　 ； （2）若点C表示数14，则点B是　（A，C）　 的“奇点”； （3）若点C在点A的左侧且点A是（C，B）的奇点，求点C表示的数； （4）若点C在点A，B之间，且其中一个恰好是另两个的“奇点”，直接写出点C表示的数． 【考点】数轴．版权所有 【专题】实数；运算能力． 【分析】（1）根据A、B两点之间的距离求解即可； （2）根据题意求得BA＝3BC，结合“奇点”的定义得到答案； （3）设点C表示的数为c（c＜﹣2），则AC＝﹣2﹣c，结合“奇点”的概念得到AC＝3AB，由此求得c的值； （4）设点C表示的数为x（﹣2＜x＜10），可得AC＝x﹣（﹣2）＝x+2，AB＝10﹣（﹣2）＝12，BC＝10﹣x，分四种情况讨论：①当点A是（B，C）的“奇点”时，AB＝3AC；②当点B是（A，C）的“奇点”时，AB＝3BC；③当点C是（B，A）的“奇点”时，BC＝3AC；④当点C是（A，B）的“奇点”时，AC＝3BC．利用两点间的距离公式列出方程并解答． 【解答】解：（1）∵已知数轴上点A表示数﹣2，点B表示数10 ∴AB＝10﹣（﹣2）＝12， 故答案为：12； （2）AB＝10﹣（﹣2）＝10+2＝12，BC＝14﹣10＝4， ∴BA＝3BC， ∴点B是（A，C）的“奇点”， 故答案为：（A，C）； （3）设点C表示的数为c（c＜﹣2）， ∵点A表示数﹣2，点B表示数10， ∴AC＝﹣2﹣c，AB＝10﹣（﹣2）＝10+2＝12， ∵点A是（C，B）的“奇点”， ∴AC＝3AB， ∴﹣2﹣c＝3×12， ∴c＝﹣38， 即：点C表示的数为﹣38； （4）设点C表示的数为x（﹣2＜x＜10）， ∵点A表示数﹣2，点B表示数10， ∴AC＝x﹣（﹣2）＝x+2，AB＝10﹣（﹣2）＝12，BC＝10﹣x， ①当点A是（B，C）的“奇点”时， ∴AB＝3AC， ∴3（x+2）＝12， ∴x＝2， ②当点B是（A，C）的“奇点”时， ∴AB＝3BC， ∴3（10﹣x）＝12， ∴x＝6， ③当点C是（B，A）的“奇点”时， ∴BC＝3AC， ∴10﹣x＝3（x+2）， ∴x＝1， ④当点C是（A，B）的“奇点”时， ∴AC＝3BC， ∴x+2＝3（10﹣x）， ∴x＝7， 即：点C表示的数为1或2或6或7． 【点评】本题考查了数轴及数轴上两点的距离、动点问题，认真理解新定义：奇点表示的数是与前面的点A的距离是到后面的数B的距离的3倍，再建立一元一次方程求解是解本题的关键． 30．（2024秋•西城区校级期中）定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是【A，B】的美好点． 例如：如图1，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为2．表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是【A，B】的美好点，但点D是【B，A】的美好点． 如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为﹣7，点N所表示的数为2． （1）点E，F，G表示的数分别是﹣3，6.5，11，其中是【M，N】美好点的是 G ；写出【N，M】美好点H所表示的数是 　﹣4或﹣16　 ． （2）现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t为何值时，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点？ 【考点】数轴．版权所有 【专题】数形结合；实数． 【分析】（1）根据美好点的定义，结合图2，直观考查点E，F，G到点M，N的距离，只有点G符合条件．结合图2，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点N的距离是到点M的距离2倍的点，在点的移动过程中注意到两个点的距离的变化． （2）根据没好点的定义，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点分6种情况，须区分各种情况分别确定P点的位置，进而可确定t的值． 【解答】解：（1）根据美好点的定义，GM＝18，GN＝9，GM＝2GN，只有点G符合条件， 故答案为：G． 结合图2，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点N的距离是到点M的距离2倍的点，点N的右侧不存在满足条件的点，点M和N之间靠近点M一侧应该有满足条件的点，进而可以确定﹣4符合条件．点M的左侧距离点M的距离等于点M和点N的距离的点符合条件，进而可得符合条件的点是﹣16． 故答案为：﹣4或﹣16． （2）根据美好点的定义，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点分6种情况， 第一情况：当P为【M，N】的美好点，点P在M，N之间，如图1， 当MP＝2PN时，PN＝3，点P对应的数为2﹣3＝﹣1，因此t＝1.5秒； 第二种情况，当P为【N，M】的美好点，点P在M，N之间，如图2， 当2PM＝PN时，NP＝6，点P对应的数为2﹣6＝﹣4，因此t＝3秒； 第三种情况，P为【N，M】的美好点，点P在M左侧，如图3， 当PN＝2MN时，NP＝18，点P对应的数为2﹣18＝﹣16，因此t＝9秒； 第四种情况，M为【P，N】的美好点，点P在M左侧，如图4， 当MP＝2MN时，NP＝27，点P对应的数为2﹣27＝﹣25，因此t＝13.5秒； 第五种情况，M为【N，P】的美好点，点P在M左侧，如图5， 当MN＝2MP时，NP＝13.5，点P对应的数为2﹣13.5＝﹣11.5，因此t＝6.75秒； 第六种情况，M为【N，P】的美好点，点P在M左侧，如图6， 当MN＝2MP时，NP＝4.5，因此t＝2.25秒； 第七种情况，N为【P，M】的美好点，点P在M左侧， 当PN＝2MN时，NP＝18，因此t＝9秒， 第八种情况， N为【M，P】的美好点，点P在M右侧， 当MN＝2PN时，NP＝4.5，因此t＝2.25秒， 综上所述，t的值为：1.5，2.25，3，6.75，9，13.5． 【点评】本题考查实数与数轴、点是【M，N】的美好点的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考创新题目． 考点卡片 1．正数和负数 1、在以前学过的0以外的数叫做正数，在正数前面加负号“﹣”，叫做负数，一个数前面的“+”“﹣”号叫做它的符号． 2、0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数． 3、用正负数表示两种具有相反意义的量．具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是它们都是数量． 2．有理数 我们学习过正整数，如1，2，3，…；0；负整数，如﹣1，﹣2，﹣3，…．正整数、0、负整数统称为整数． 我们还学习过正分数，如，，，0.1，5.32，0.，……；负分数，如，，，﹣0.5，﹣150.5，…它们都是分数． 进一步地，正整数可以写成分数的形式，例如2；负整数也可以写成负分数的形式，例如﹣3；0也可以写成分数的形式．这样，整数可以写成分数的形式． 可以写成分数形式的数称为有理数．其中，可以写成正分数形式的数为正有理数，可以写成负分数形式的数称为负有理数． 0.1，﹣0.5，0.，…，事实上，有限小数和无限循环小数都可以化分为分数，因此它们也可以看成分数． 3．数轴 （1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴． 数轴的三要素：原点，单位长度，正方向． （2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．） （3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大． 4．实数与数轴 （1）实数与数轴上的点是一一对应关系． 任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数． （2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离． （3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $