精品解析：河南省商丘市第一高级中学2025-2026学年高一上学期十月份阶段性测试数学试卷

商丘市第一高级中学2025～2026学年 高一年级十月份阶段性测试数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 下列集合中，与集合相等的是（ ） A. B. C. D. 2. 使得为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则的最大值为（ ） A. 3 B. C. 1 D. 4. 若函数的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数为偶函数，则的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 6. 已知函数满足对定义域内任意实数，都有成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若关于x的不等式的解集中有且仅有2个整数，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 8. 函数在区间上单调递增，则下列说法正确的是（ ）． A. B. C. D. 9. 下列命题正确的是（ ）． A. 正实数x，y满足，且恒成立，则a的范围 B. 若对，总，使得成立，则a的范围为 C. 若集合M满足，那么这样的集合M有8个 D. 定义在R上的函数满足，则 10. 若，，且，则下列选项中正确的是（ ） A. B. C. 的最小值为 D. 的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 11. 已知幂函数的图像关于轴对称，且在上是减函数，实数a满足，则a的取值范围是_________． 12. 已知，，且，则的值等于___________. 13. 已知，若的值域是，则实数的取值范围是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 14. 已知集合． （1）若，求和； （2）若集合，是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 15. 已知是二次函数，满足且满足条件． （1）求的解析式； （2）解关于x的不等式． 16. 如图，互相垂直的两条小路，旁有一长方形花坛，其中，．现欲经过点C修一条直路l，l交小路，分别为点P，Q．计划准备将长方形花坛扩建成一个更大的三角形花坛，要求的长不小于且不大于．记三角形花坛的面积为． （1）设，试用x表示，并求x的取值范围； （2）当长是多少时，S取最大和最小值？最大和最小值是多少？ 17. 函数满足对一切x，有，且；当时，有． （1）求的值； （2）判断并证明在R上的单调性； （3）求不等式的解集． 18. 在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石，布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹•布劳威尔（），简单的讲就是对于满足一定条件的图象不间断的函数，存在点，使，那么我们称该函数为“不动点函数”，为函数的不动点. （1）若定义在上仅有一个不动点的函数满足，试求函数的解析式； （2）若对任意的实数，若函数恒有两个不动点，且满足如下条件： ①图象上两个不同点的横坐标是函数的不动点； ②点关于函数的图象对称. 试求的取值范围.（注：两个点的中点的坐标公式为） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 商丘市第一高级中学2025～2026学年 高一年级十月份阶段性测试数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 下列集合中，与集合相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的概念和性质逐项判断即可. 【详解】A选项，，A错误； B选项，，B错误； C选项，只有当和时，，故，C正确； D选项，， D错误. 故选：C 2. 使得为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求解为真命题时范围，即可根据充分不必要条件的定义求解. 【详解】若为真命题，则时，， 而，故当时，取到最小值2，故， 因此所求的充分不必要条件的范围应是的真子集，故选项中只有满足条件， 故选：B 3. 已知，则的最大值为（ ） A. 3 B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知可得，进而利用基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以， 则， 当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为. 故选：B. 4. 若函数的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用抽象函数的意义求出函数的定义域，进而求出目标函数的定义域. 【详解】由函数的定义域为，得当时，， 因此在函数中，由函数有意义，得， 解得，所以的定义域为. 故选：D 5. 已知函数为偶函数，则的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由偶函数性质求，再求. 【详解】由函数为偶函数， 定义域为关于原点对称，所以， 所以符合题意，所以. 故选：D. 6. 已知函数满足对定义域内任意实数，都有成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性直接可得. 【详解】因为对定义域内任意实数，都有成立，所以在定义域上单调递增. 当时，，所以的图象为开口向下的抛物线，对称轴为， 函数要在上单调递增，得. 当时，，函数要在上单调递增，得. 根据分段函数的单调性可得，，解得. 故选：A. 7. 已知函数，若关于x的不等式的解集中有且仅有2个整数，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】整理不等式得，然后构造函数，由函数大致图像推理出不等式解集中的2个整数解，从而知道实数m的取值范围. 【详解】，即， ，令 ， 由二次函数的图像可作函数的大致图像为： ∵，，，， 由题意可知不等式解集中有且仅有2个整数解为， ∴， 故选：C. 【点睛】 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 8. 函数在区间上单调递增，则下列说法正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】变形给定函数，再利用反比例函数单调性，分类讨论求出单调区间，进而判断列式求解. 【详解】函数的定义域为， 当，即时，函数在上单调递减，不符合题意； 当，即时，为常数函数，不符合题意； 当，即时，函数在上单调递增， 由函数在上单调递增，得，且， 因此，且，AC错误，BD正确. 故选：BD 9. 下列命题正确的是（ ）． A. 正实数x，y满足，且恒成立，则a的范围 B. 若对，总，使得成立，则a的范围为 C. 若集合M满足，那么这样的集合M有8个 D. 定义在R上的函数满足，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A：由整理得到，利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值， 即可得到的最小值，解此不等式即可得a的取值范围； 选项B：由题意可得，分别求这两个函数的最大值即可得解； 选项C：由题意可知集合M的个数即为集合的子集个数，即可得解； 选项D：因为，所以，通过这两个等式求出. 【详解】选项A：，，， ， ， “”成立，当且仅当，联立，解得，的最小值为4， ，， 的取值范围．故A正确． 选项B：对任意，总存在，使得成立， 所以， 设，对称轴为， ，当时，取最大值为， 在上单调递增，当时，取最大值为3， ，，所以．故B错误； 选项C：满足， 中一定含有元素1，2，可能含有元素3，4，5， 的个数即为集合的子集个数，有个，故C正确； 选项D：①，②， 由①+2×②得：，故D正确． 故选：ACD． 10. 若，，且，则下列选项中正确的是（ ） A. B. C. 的最小值为 D. 的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】将变形可得A；借助基本不等式“”的活用或借助消元法与换元法结合基本不等式计算可得B；借助基本不等式计算可得C；借助基本不等式计算可得，再结合换元法与基本不等式计算可得D. 【详解】对于A项，若，，且，则， 所以，故A项正确； 对于B项，解法一：因为， 所以 ， 当且仅当，即，时取等号，故B项正确； 解法二：因为，所以，因为，，所以， 所以，所以， 令，则， 当且仅当，即，时取等号，故B项正确； 对于C项， ， 当且仅当，即，时取等号，故C项错误； 对于D项，因为，所以，所以， 当且仅当，即，时取等号， 令，则 ， 当且仅当，即，时取等号，故D项正确． 故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 11. 已知幂函数的图像关于轴对称，且在上是减函数，实数a满足，则a的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】运用幂函数定义和性质求出p，再根据单调性解不等式． 【详解】因为幂函数在上是减函数， 所以，即， 解得．又因为，所以或． 当时，，，为偶函数， 图象关于轴对称，满足题意． 原不等式为，由于在R上单调递增， 则不等式化为，解得． 当时，，，为奇函数， 不满足图象关于轴对称，舍去． 综上，实数的取值范围为． 故答案为：． 12. 已知，，且，则的值等于___________. 【答案】## 【解析】 【分析】由交集结果得到，从而得到方程，求出，得到，，代入计算得到，求出答案. 【详解】，故， 所以，解得， 故， 又，故，， 所以，解得， . 故答案为； 13. 已知，若的值域是，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定的分段函数值域，结合反比例函数及二次函数值域分段求出值域，进而求出c的范围. 【详解】函数的值域是，由当时，，得， 则，于是， 当时，，而，且， 因此，解得，则， 所以实数c的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 14. 已知集合． （1）若，求和； （2）若集合，是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1）或，； （2）. 【解析】 【分析】（1）把代入，利用补集、并集的定义求解. （2）利用充分不必要条件的定义，结合集合的包含关系列式求出范围. 【小问1详解】 当时，，而， 所以或，. 【小问2详解】 由集合，是的充分不必要条件，得非空集合是的真子集， 因此或， 解得或，则， 所以实数的取值范围是. 15. 已知是二次函数，满足且满足条件． （1）求的解析式； （2）解关于x的不等式． 【答案】（1） （2）当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为或；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为或． 【解析】 【分析】（1）由题意设，由得，再由列式解得，即可得； （2）将代入按a与0和的大小关系分类讨论求解含参不等式即可． 【小问1详解】 设， 由得，，故， 因为， 所以， 即，所以，∴， 所以． 【小问2详解】 ，即，即， ①当时，此时，解集为； ②当时，不等式可化为，解集为； ③当时，此时，解集为或； ④当时，不等式化为，解集为； ⑤当时，此时，解集为或． 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或． 16. 如图，互相垂直的两条小路，旁有一长方形花坛，其中，．现欲经过点C修一条直路l，l交小路，分别为点P，Q．计划准备将长方形花坛扩建成一个更大的三角形花坛，要求的长不小于且不大于．记三角形花坛的面积为． （1）设，试用x表示，并求x的取值范围； （2）当长是多少时，S取最大和最小值？最大和最小值是多少？ 【答案】（1）， （2）时，S最小值为；当时，S最大值为 【解析】 【分析】（1）根据题意，由两三角形相似求出，即得，由得范围求出x的范围即可； （2）依题列出S的表达式，整理后利用对勾函数的单调性即可求得其最小值． 【小问1详解】 依题意可得∽，则有， 即，可得，因此． 又要求的长不小于且不大于，即， 解得，即，． 【小问2详解】 由图知， 所以， 单调递减；单调递增； 由对勾函数可得： 当时，S取得最小值2400， 当时，S取值2500， 当时，S取值3750， 因此当时，S取得最小值，最小值为． 因此当时，S取得最大值，最大值为． 17. 函数满足对一切x，有，且；当时，有． （1）求的值； （2）判断并证明在R上的单调性； （3）求不等式的解集． 【答案】（1）3 （2） 为上的单调递减函数. 证明如下： 设且，令，则， 所以， 因为当时，有，所以， 由 ， 即，所以为上的单调递减函数. （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，令，可得，令，可得， ，再令，求得； （2）设且，令，得到，根据题意，结合函数单调性的定义和判定方法，即可得证； （3）根据题意，把原不等式化为，令，得到，得到，结合，，结合函数的单调性，转化为，即可求解. 【小问1详解】 由函数满足对一切，且， 令，可得，令，可得， 再令， 所以，可得. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 令，可得 所以，原不等式化为， 令，可得，解得，即， 又由，所以， 因为为上的单调递减函数，所以， 即，解得，所以不等式的解集为. 18. 在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石，布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹•布劳威尔（），简单的讲就是对于满足一定条件的图象不间断的函数，存在点，使，那么我们称该函数为“不动点函数”，为函数的不动点. （1）若定义在上仅有一个不动点的函数满足，试求函数的解析式； （2）若对任意的实数，若函数恒有两个不动点，且满足如下条件： ①图象上两个不同点的横坐标是函数的不动点； ②点关于函数的图象对称. 试求的取值范围.（注：两个点的中点的坐标公式为） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设函数的唯一不动点为，即，由条件推出，解出，进而可得的解析式； （2）利用不动点定义求出的范围，再利用中点坐标公式及韦达定理求出与的函数关系，利用二次函数的性质求出答案． 【小问1详解】 设函数的唯一不动点为，即， ∵， ∴， ∴，得，解得或， 当时，， 由，得，解得或， 此时有两个不动点，不合题意； 当时，， 由，得，解得， 此时只有一个不动点，符合题意， 综上，函数的解析式为． 【小问2详解】 由，得， ∵对任意的实数，函数恒有两个不动点， ∴对任意的实数，恒成立， 于是，即，又，解得， 设函数的两个不动点为，则，又， 于是线段的中点，即， 由题意，点在函数的图象上，得，整理得， ∴， ∵，∴，， ∴，，， ∴． 【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的．遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $