期中考前满分冲刺之优质压轴题-2025-2026学年七年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（人教版2024）

期中考前满分冲刺之优质压轴题 【专题过关】 类型一、正确结论(个数)(选、填) 1．若有理数在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确结论的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．若有理数、在数轴上表示的点的位置如图所示，下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．已知实数a，b，c的大小关系如图，下列说法：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（　　）    A．1 B．2 C．3 D．4 4．给出下列判断：①若互为相反数，则 ②若互为倒数，则 ③若,则；④若，则； ⑤若,则； 其中正确结论正确的个数为 个. 5．有理数在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论：①；②；③；④；⑤；⑥，其中结论正确的个数是 ．（填序号） 6．下列说法中： ①若，则； ②若与互为相反数，则； ③若，则； ④若，，，，以此类推． 其中正确结论有 （将正确答案的序号填在横线上）． 类型二、操作问题(选、填) 1．对于，先将其中任意两个加号变为减号，再对相邻的两个数间任意添加括号（不存在添加双重括号的情况），然后计算出结果，称为一种“双减添括操作”． 例如：是一种“双减添括操作”，2是其运算结果；是一种“双减添括操作”，是其运算结果．给出下列说法： ①至少存在一种“双减添括操作”的运算结果是10； ②不存在任何“双减添括操作”的运算结果是； ③所有“双减添括操作”共有6种不同的运算结果． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．对于从左到右依次排列的三个有理数x、y、z，在x与y之间、y与z之间只添加一个四则运算符号组成算式（不再添加改变运算顺序的括号），并按四则运算法则计算结果，称为对有理数x、y、z进行“四则操作”，例如：对有理数1、2、3的“四则操作”可以是：，也可以是，……；对实数、、的一种“四则操作”可以是．给出下列说法： ①对有理数、0、2进行“四则操作”后有5种不同的运算结果． ②对于有理数2、3、进行“四则操作”后，所有的结果中最小的是． ③对有理数m、2、3进行“四则操作”后的结果为2025，则m的值共有16个． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．有三个代数式：，，，其中，从M、N、P中分别取其中一项（一个字母且连同前面的符号），求和后再取绝对值，称为一次“加绝操作”，记“加绝操作”的结果为T．例如，分别从M、N、P中取，“加绝操作”的结果．则下列说法中，正确的个数是（   ） ①一定存在某种“加绝操作”，使得； ②一共只有四种“加绝操作”，使其结果； ③所有“加绝操作”的不同结果T可能有15种． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．在一次数学游戏中，老师在A、B、C三个盘子里分别放了一些糖果，糖果数依次为、、，记为．  游戏规则如下：若三个盘子中的糖果数不完全相同，则从糖果数最多的一个盘子中拿出两个，给另外两个盘子各放一个，记为一次操作；若有两个盘子中的糖果数相同，且都多于第三个盘子中的糖果数，则从这两个盘子字母顺序在前的盘子中取糖果；若三个盘子中的糖果数相同，游戏结束，n次操作后的糖果数记为． 小明发现：若，则此游戏永远无法结束，那么G2025＝ ． 5．对多项式任意加括号后仍然只含减法运算并将所得式子化简，称之为“加算操作”，例如：，，…，给出下列说法：至少存在一种“加算操作”，使其结果与原多项式相等；不存在任何“加算操作”，使其结果与原多项式之和为0；所有的“加算操作”共有8种不同的结果．以上说法中正确的是 ． 6．在一次数学游戏中，老师在、、三个盘子里分别放了一些糖果，糖果数依次为，记为，游戏规则如下：若三个盘子中的糖果数不完全相同，则从糖果数最多的一个盘子中拿出两个，给另外两个盘子各放一个（若有两个盘子中的糖果数相同，且都多于第三个盘子中的糖果数，则从这两个盘子中字母顺序在前的盘子中取糖果），记为一次操作；若三个盘子中的糖果数都相同，游戏结束．次操作后的糖果数记为． （）若则第 次操作后游戏结束； （）小明发现：若，则游戏永远无法结束，那么 ． 类型三、新定义数(选、填) 1．定义：如果一个正整数的平方可以分割为两个数字，且这两个数字相加后等于，那么就是“雷公数”．“雷公数”是自然数的一类．如：，所以2025是一个“雷公数”．对于“雷公数”的描述，下列结论错误的是（   ） A．81是最小的雷公数 B．当是正整数时，一定是雷公数 C．若是雷公数，则 D．除100外，三位数中，不存在其他的雷公数 2．我国宋朝时期的数学家杨辉，曾将大小完全相同的圆弹珠逐层堆积，形成“三角垛”，图有1颗弹珠；图有3颗弹珠；图有6颗弹珠，往下依次是第4个图，第5个图，…；如图中画出了最上面的四层．若用表示图的弹珠数，其中，2，3，…，则（    ）    A． B． C． D． 3．如图，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数字之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．若在“杨辉三角”中从第2行左边的1开始按“锯齿形”排列的箭头所指的数依次构成一个数列：a1＝1，a2＝2．a3＝3，a4＝3，a5＝6，a6＝4，a7＝10，a8＝5…，则a99+a100的值为（　　） A．1326 B．1327 C．1328 D．1329 4．如果一个四位自然数的各个数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“等差递减数”例如：四位数9753，∵，∴9753是“等差递减数”；又如四位数5681，∵，∴5681不是“等差递减数”，则最小的“等差递减数”为 ；对一个“等差递减数”，记，，，若，则满足条件的M最大值为 ． 5．一个四位数M，若它的千位数字与百位数字的差等于4，十位数字与个位数字的差等于3，则称这个四位数M为“雁塔数”．一个“雁塔数”M的千位数字与百位数字和的2倍与十位数字及个位数字的和记为P，千位数字与3的差记为Q，若能被7整除，则满足条件的M最大为 ． 6．若一个四位自然数的千位数字与百位数字之差的绝对值为十位数字，千位数字、百位数字与个位数字的和恰好为12，且这个四位数能被12整除，那么称这个数为“双12数”． 例如：，∵，，且，∴4404是“双12数”； 又如，∵，，但，∴1655不是“双12数”． 则1764 （填“是”或“否”）“双12数”；若一个“双12数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，记，当为整数时，求出所有满足条件的的平均值为 ． 类型四、进制问题(选、填、解) 1．为了区分不同的进制，常在数的右下角标明基数，例如：就是二进制数1011的简单写法，十进制数一般不标注基数．通过把二进制数表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式，可以转化成十进制数．例如：．（规定：当时，），根据以上信息，将转化成十进制数是（   ） A．29 B．30 C．58 D．62 2．年第十四届国际数学教育大会在上海召开，本次会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的卦“”是用我国古代的计数符号写出的八进制数．八进制是以作为进位基数的数字系统，有共个基本数字． 八进制数换算成十进制数是，表示的举办年份． 某同学设计了一个进制数， 换算成十进制数是， 则的值为（      ） A． B． C． D． 3．生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一，例：； 计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例：二进制数10010转化为十进制数：； 其他进制也有类似的算法… 在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示， 孩子已经出生的天数为       ． 4．根据数学活动课“自然数被3整除的规律”、综合与实践“进位制的认识与探究”的知识和方法，可知二进制数等于十进制数的25，六进制数等于十进制数的41等．仿照前面进位制转化，则八进制数等于十进制数的 ；若一个四进制三位数，与七进制三位数，转化成的十进制数的和能被8整除（．且均为整数），则的值为 ． 5．进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，例如就是二进制数的简单写法，十进制数一般不标注基数． 如十进制数3512可以表示成式子： ． 可见，一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式． 二进制是逢二进一，其各数位上的数字为0或1．类比十进制数的表示方法把二进制数表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式，可以把二进制数转化为十进制数．根据上述材料，解答下列问题： 【理解】 （1）填空：____________． （2）一个字长为7位的二进制数能表示的十进制数值范围是（   ） A．    B．    C．    D． 【迁移】把十进制数25转化为二进制数． 【创新】把二进制数转化为八进制数． 6．进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．对于任何一种进制N进制，就表示某一位置上的数运算时是逢N进一位，N进制表示的数中，右起第一位上的1表示，第二位上的1表示，第三位上的1表示，第四位上的1表示．故，其中． 例如：，，转化为十进制的数11，转化为十进制的数31（注意：对于任何非零数a都有，即）． 结合以上材料，解决下列问题： (1)把下列进制数转化为十进制表示的数（在横线上列式并写出结果）： ， ； (2)《易经》中记载：远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，一位女孩在从右到左依次排列的绳子上打结用来记数，如右图，图中表示女孩用绳结记录的数字，按照六进制记数法，即右边的绳子打结满6个，则此绳子左边的绳子打1个结，原来绳子的结全部打开清零，以此类推，最左边的绳子上的每个结都是中间绳子满6进1得来．根据图中记录的数字，写出这个六进制数字为（ ）6，若用十进制表示的数表示女孩采集到的野果数， 她一共采集到的野果数量为 个；       (3)如果五进制三位数与八进制两位数分别转化为十进制表示的数，则两数和为，根据题意请列出等式 ，此时满足条件的 ． 类型五、阴影部分问题(选、填、解) 1．如图，长为，宽为的大长方形被分割为7小块，除阴影，外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法中正确的是（　　） ①小长方形的较长边为； ②阴影的较短边和阴影的较短边之和为； ③若为定值，则阴影和阴影的周长和为定值； ④若时，则阴影的周长比阴影的周长少． A．①③ B．②④ C．①④ D．①③④ 2．如图，将图1中的长方形纸片剪成①号、②号、③号、④号正方形和⑤号长方形，并将它们按图2的方式无重叠地放入另一个大长方形中，若需求出没有覆盖的阴影部分的周长，则下列说法中错误的是（　　） A．只需知道③号正方形的边长即可 B．只需知道④号正方形的边长即可 C．只需知道⑤号长方形的周长即可 D．只需知道图1中大长方形的周长即可 3．如图，把五个长为、宽为（）的小长方形，按图1和图2两种方式放在一个宽为的大长方形上（相邻的小长方形既无重叠，又不留空隙）．设图1中两块阴影部分的周长和为，图2中阴影部分的周长为，若大长方形的长比宽大，则的值为 ． 4．把四张形状、大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形的盒子底部，按图甲和图乙两种方式摆放，若长方体盒子底部的长与宽的差为，则图甲和图乙中阴影部分的周长之差为 ． 5．如图，矩形为公园的一个花圃示意图（阴影部分种花，其他部分种草），其中矩形长为，宽为． (1)根据图中的数据，用含和的代数式表示阴影部分的面积； (2)若，种花的费用为每平方米100元，种草的费用为每平方米 50元，求共需要多少钱？ 6．用4个完全相同的边长为的小长方形（如图1）和两个阴影部分的长方形拼成1个宽（）为6的大长方形（如图2）． (1)请用含的代数式表示：①的长；②阴影的面积； (2)说明阴影与阴影的周长的和与的关系． 类型六、绝对值的最小值(选、填、解) 1．我们知道，式子的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离是，则式子的最小值（   ） A． B． C． D． 2．绝对值的几何意义：表示一个数在数轴上对应的点到原点的距离，表示x，y两数在数轴上对应两点之间的距离．则的最小值为(　  　)，的最大值为(　  　) A．1， B．1，5 C．5，5 D．1，1 3．材料阅读：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义，如表示在数轴上对应的两点之间的距离；所以表示、在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示在数轴上对应的点到原点的距离．综上，数轴上两点对应的数分别为，且两点之间的距离可以表示为，则（或）． (1)求___________；若，则___________； (2)的最小值是___________；当___________时的最小值是___________． 4．的最小值是 ，，那么的值为 ． 5．【材料阅读】通过学习数轴和绝对值之后，我们知道，表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离． (1)应用一：已知如图，点A在数轴上表示为，数轴上任意一点B表示的数为x，则两点的距离可以表示为______． (2)应用二：若点B表示的整数为x，则当x为______时，与的值相等； (3)应用三：表示数轴上有理数x所对应的点到和2所对应的两点距离之和，应用这个知识，请你写出的最小值为______，此时所有符合条件的整数x的和为______． (4)应用四：令，则M的最小值为______，当M取得最小值时，整数x的值是______． 6．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．如图，已知数轴上点分别表示，且与互为相反数，为原点． (1)___________，____________； (2)将数轴沿某个点折叠，使得点与表示的点重合，则此时与点重合的点所表示的数为____________； (3)两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为，如与两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为，从而很容易就得出在数轴上表示与两点之间的距离是． 若表示一个有理数，则的最小值____________． 若表示一个有理数，且，则满足条件的所有整数的和是__________． 当__________时，取最小值． 类型七、算筹问题(选、填、解) 1．我国是最早认识负数，并进行相关运算的国家，在古代数学名著《九章算术》里就记载了利用算筹实施“正负术”的方法，图1表示的是计算的过程．按照这种方法，图2表示的过程应是在计算（   ） A． B． C． D． 2．在《九章算术注》中用不同颜色的算筹（小棍形状的计数工具）分别表示正数和负数（白色表示正，灰色表示负），图1表示的计算过程，则图2表示的过程用算式表示为（   ） A． B． C． D． 3．魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中用不同颜色的算筹(小棍形状的记数工具)分别表示正数和负数(白色为正，黑色为负)，图1表示的是的计算过程，则图2所表示的等式是 ； 4．中国古代的算筹计数法可追溯到公元前5世纪．摆法有纵式和横式两种（如图所示），以算筹计数的方法是摆个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横……这样纵横依次交替，宋代以后出现了笔算，在个位数划上斜线以表示负数，如表示﹣752，表示2369，则表示 ． 5．算筹是世界上最古老的计数工具，算筹的摆法有如图纵式和横式两种，以算筹的计数的方法是摆个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横…这样纵横依次交替，零以空格表示如3257就表示成 ． (1)算筹所表示的数是　 　． (2)请用算筹表示下列各数： (3)用三根算筹可以表示两位数（十位不能为零，且用完三根算筹），请在图的虚线框中尽可能多的摆出来，并在下方括号里填上所表示的数．（注：图中虚线框个数过多） 6．我国在数的发展上有辉煌的成就，中国古代的算筹计数法可追溯到公元前五世纪，算筹是竹制的小棍，摆法有纵式和横式两种（如图1）．以算筹计数的方法是：摆个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横……，这样纵横依次交替，零以空格表示．如3257表示成“”． （1）请用算筹表示数23，701；（分别表示在答题卷的图2、图3中） （2）用三根算筹表示两位数（十位不能为零，且用完三根算筹），在答题卷的图4中摆出来，并在下方横线上填上所表示的数．（注：图4中的双方框个数过多）． 类型八、整除与打折问题(解) 1．对于一个三位数（，，均为正整数），若满足百位上的数字与个位上的数字之和等于十位上的数字，即，那么就称这个数为“智慧数”． 例如：因为，所以451是“智慧数”． (1)除了451，请任意写出一个“智慧数”：_____． (2)张亮说：任意一个“智慧数”都能被11整除，请判断张亮的说法是否正确，并说明理由． 2．阅读材料并完成题目 【材料一】我们可以将任意三位数记为（其中分别表示该数百位数字、十位数字和个位数字，且），显然． 【材料二】若在一个两位正整数N的个位数字与十位数字之间添上数字4，组成一个新的三位数，我们称这个三位数为N的“明礼数”，如36的“明礼数”为346；若将一个两位正整数M加4后得到一个新数，我们称这个新数为M的“修身数”，如37的“修身数”为41． (1)30的“明礼数”是______，“修身数”是______； (2)求证：对任意一个两位正整数，其“明礼数”与“修身数”之差能被9整除； 3．在小学，我们知道像12，27，36，45，108，…这样的自然数能被3整除，一般地，如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除．你能说出其中的道理吗？我们已经学习了用字母表示数，先来看两位数的情形，若一个两位数的十位、个位上的数字分别为，则通常记这个两位数为，于是，显然能被3整除，因此，如果能被3整除，那么就能被3整除，即能被3整除．根据上述材料，解答下列问题： (1)下列各数中，能被3整除的有______；（填序号） ①25；    ②225；    ③1025；    ④2025 (2)设是一个四位数，若能被3整除，试说明这个数能被3整除． 4．某种圆珠笔的售价是每支2元，甲、乙两家文具店均有促销活动：甲文具店全部九折；乙文具店20支及以内不打折，比20支多的部分打八折．设小明需要购买的圆珠笔的数量为，根据题意回答下列问题： （1）若购买多于20支的圆珠笔，则在甲文具店需要花费____元，在乙文具店需要花费_____元；（用含的式子表示） （2）当时，选择哪家文具店更优惠？当呢？ 5．某景区有两种购票方式： 方式一：购买个人票，其中一张学生票元，一张普通票元； 方式二：购买团体票（人数不少于人），团体票中每张票均在普通票的基础上打折，游客可根据情况选择合适的购票方式．某校现有名师生前往该景区秋游，其中学生有人． (1)用含，的代数式表示该校师生按方式一购票时所需费用； (2)用含，的代数式表示该校师生按方式二购票时所需费用； (3)当，时，哪种购票方式更合算？请说明理由． 6．某水果超市新进了一批秋月梨，为了合理定价，先试行了7天机动价格，售价以每千克元为标准价，超市记录了这7天秋月梨的销售价和销售量情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 每千克价格相对于标准价格(元) 售出的质量(千克) (1)这7天中，秋月梨单价最低的一天是星期 ． (2)求这7天超市销售秋月梨的总收入． (3)从第8天起，超市决定推出两种秋月梨的销售方式： 方式一：每千克售价元； 方式二：每千克售价元，若购买超过千克，则超过部分打折． 若买千克秋月梨，则两种不同的购买方式分别需要多少钱？(用含的代数式表示) 类型九、数轴动点求t问题(解) 1．定义：为数轴上三点，若点到点的距离是点到点的距离的2倍，我们就称点是的美好点．例如：如图①，点表示的数为，点表示的数为2，表示数1的点到点的距离为2，到点的距离为1，那么点是的美好点；而表示数0的点到点的距离是1，到点的距离是2，那么点就不是的美好点，但点是的美好点． 如图②，，为数轴上两点，点所表示的数为，点．所表示的数为2． (1)点表示的数分别是，，11，其中点___________是【】的美好点；【，】的美好点所表示的数是___________； (2)现有一只电子蚂蚁从点开始出发，以每秒2个单位的速度沿数轴匀速向左运动．设运动时间为秒，当为何值时，为两点的美好点？ 2．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒． 【综合运用】 (1)填空： ①A、B两点间的距离_______，线段的中点C表示的数为_______； ②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为_______；点Q表示的数为_______； (2)求当t为何值时，； (3)若点M为的中点，点N为的中点，点P在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长． 3．阅读：如图，已知数轴上有、、三个点，它们表示的数分别是，，．到的距离可以用表示，计算方法：，或．根据阅读完成下列问题： (1)填空： ， ． (2)若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，试探索：到的距离与到的距离的差（即）的值是否随着时间的变化而改变？请说明理由． (3)现有动点、都从点出发，点以每秒个单位长度的速度向右移动，当点移动秒时，点才从点出发，并以每秒个单位长度的速度向右移动．设点移动的时间为秒（），直接写出、两点间的距离（用含的代数式表示）． 4．已知多项式是关于的二次多项式，且二次项系数为，数轴上两点、对应的数分别为、，为原点．动点从点出发，在数轴上以每秒个单位长度的速度向右运动，动点从点出发，在数轴上以每秒个单位长度的速度向左运动，两点同时出发，当点到达点时停止运动，点也随之停止．设点的运动时间为（秒）． (1)的值为_____，的值为_____，、两点之间的距离为_____． (2)用含的代数式表示：秒后，点表示的数为_____，点表示的数为_____． (3)当时，通过计算判断两点的位置关系． (4)当点表示的数为正数时，问是否为定值？如果是，求出这个值，如果不是，说明理由． 5．如图，数轴上，O点与C点对应点的数分别是0、60，将一根质地均匀的直尺放在数轴上（A在B的左边），若将直尺在数轴上水平移动，当A点移动到 B点的位置时，B点与C点重合，当B点移动到A点的位置时，A点与O点重合． (1)直尺的长为______个单位长度； (2)若直尺在数轴上，且满足B点与C点的距离等于B点与O点距离的3倍时，此时A点对应的数为______； (3)当A点对应的数为20时.作为起始位置，直尺以2单位/秒的速度沿数轴匀速向右运动，同时点P从点A出发，以m个单位/秒的速度也沿数轴匀速向右移动，设运动时间为t秒． ①若B、P、C三点恰好在同一时刻重合，则m的值为______； ②当时，B、P、C三个点中恰好有一个点到另外两点的距离相等，请直接写出所有满足条件的m的值． 6．已知A、B、P、Q是数轴上互不重合的四个点，如果或者，那么点P、Q叫做A、B两点的“黄金点”．数轴上点A表示的数如图①所示，A、B两点到原点的距离相等且位于原点异侧： (1)A、B两点所表示的数分别是_______，__________； (2)若点P表示的数为1，点Q在原点的右边，且点P、Q为点A、B的“黄金点”，则点Q表示的数为________； (3)如图②，已知点O表示的数是0，把一根长为3个单位长度的木条放在数轴上（点Q在点P的左侧），使得点P与点O重合．木条以每秒3个单位长度的速度沿数轴匀速向右运动，当木条全部驶出线段时，速度变为原来的，设木条运动时间为t，当点P、Q为点A、B的“黄金点”时，求满足条件的所有t的值． 类型十、一元一次方程的新定义(选考)(解) 1．定义：若关于的一元一次方程的解为，则称该方程是“和解方程”．例如：的解为，且，则方程是“和解方程”． (1)判断是否是“和解方程”，并说明理由． (2)若关于的一元一次方程是“和解方程”，运用等式的性质求的值． 2．定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程为“和谐方程”．例如：方程和为“和谐方程”． (1)方程与方程是“和谐方程”吗？请说明理由； (2)若关于x的方程与方程是“和谐方程”，求m的值； 3．定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“对称方程”． (1)若关于的方程与方程是“对称方程”，求的值． (2)若关于的方程与方程是“对称方程”，求的值． 4．我们定义：若关于的方程的解与关于的方程的解满足，则称方程与方程是“美好方程”．例如：方程的解是，方程的解是，因为，方程与方程是“美好方程”． (1)请判断方程与方程是不是“美好方程”，并说明理由； (2)若关于的方程与关于的方程是“美好方程”，请求出的值； 5．定义：如果两个方程的解相差，为正整数，则称解较大的方程为另一个方程的“通甫方程”，例如：方程是方程的“通甫方程”． (1)若方程是方程的“通甫方程”，则　　　　　； (2)若关于x的方程是关于x的方程的“通甫方程”，求的值； (3)当时，如果关于x方程是方程的“通甫方程”，求代数式的值． 6．定义：如果两个一元一次方程的解互为倒数，则称这两个方程互为“优雅方程”．例如：和互为“优雅方程” (1)判断：________（填“是”或“不是”） 的“优雅方程”． (2)若方程与关于x的方程互为“优雅方程”，求a的值． (3)若两个关于x的方程（m为正整数）与（n为负整数）互为“优雅方程”，求出所有满足条件的m、n的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中考前满分冲刺之优质压轴题 【专题过关】 类型一、正确结论(个数)(选、填) 1．若有理数在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确结论的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查绝对值，数轴，有理数的大小比较，掌握知识点是解题的关键． 根据数轴与有理数的大小比较，逐个分析判断即可． 【详解】解：如数轴所示 ， ∴，， 故①③正确，②④错误， ∴，， 即， 故⑤错误， 综上所述，正确的个数有2个． 故选A． 2．若有理数、在数轴上表示的点的位置如图所示，下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，以及比较有理数的大小和有理数的运算法则，根据数轴可以确定a、b的正负和它们的绝对值的大小，从而判断题目中各式子是否正确． 【详解】解：由数轴可知：，，， ，则①正确； ，则②错误； ，则③正确； ，则④正确； ，则⑤正确； 综上所述，正确的结论有①③④⑤，共个， 故选：C． 3．已知实数a，b，c的大小关系如图，下列说法：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（　　）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据数轴可得，，再利用有理数的加减法法则和乘除法法则及绝对值的性质进行判断即可． 【详解】解：由数轴可得，，， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴，故②错误； ∵，，， ∴，故③错误； ∵ ，故④错误， 故选：A． 【点睛】本题考查数轴的定义、有理数的加减法法则和乘除法法则及绝对值的性质，熟练掌握运算法则和性质是解题的关键． 4．给出下列判断：①若互为相反数，则 ②若互为倒数，则 ③若,则；④若，则； ⑤若,则； 其中正确结论正确的个数为 个. 【答案】2 【分析】由题意根据相反数的性质和互为倒数的性质以及绝对值的性质依次对所给结论进行判断即可. 【详解】解：①若互为相反数，则，结论正确； ②若互为倒数，则，结论正确； ③若,则不一定有，结论错误； ④若，则或互为相反数，结论错误； ⑤若,则，结论错误； 综上有①和②正确. 故答案为：2. 【点睛】本题考查相反数的性质和互为倒数的性质以及绝对值的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键. 5．有理数在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论：①；②；③；④；⑤；⑥，其中结论正确的个数是 ．（填序号） 【答案】①②③⑤ 【分析】本题考查根据数轴判断式子的符号．由数轴可得，且，进而根据有理数的运算法则逐个判断即可． 【详解】解：由数轴可得，，在和之间，在与之间，在与之间， ，①正确； ，②正确； ，，，③正确； ，④错误； ，⑤正确； ，，⑥错误； 综上可知，正确的有①②③⑤， 故答案为：①②③⑤． 6．下列说法中： ①若，则； ②若与互为相反数，则； ③若，则； ④若，，，，以此类推． 其中正确结论有 （将正确答案的序号填在横线上）． 【答案】②③④ 【分析】此题考查了绝对值的意义，相反数的应用，有理数的乘法和数字类规律问题，解题的关键是掌握以上知识点． 根据绝对值非负性得到，即可判断①；根据相反数的概念得到，求出，，然后代入即可判断②；根据分3种情况讨论，然后分别利用有理数的乘法即可判断③；根据前4个数总结出规律，进而求解即可判断④． 【详解】解：①若，则，故选项错误； ②若与互为相反数， ∴ ∴， ∴， ∴，故选项正确； ③若， ∴当时，， ∴； ∴当时，， ∴； ∴当时，， ∴，故选项正确； ④∵ … ∴，故选项正确． 综上所述，其中正确结论有②③④． 故答案为：②③④． 类型二、操作问题(选、填) 1．对于，先将其中任意两个加号变为减号，再对相邻的两个数间任意添加括号（不存在添加双重括号的情况），然后计算出结果，称为一种“双减添括操作”． 例如：是一种“双减添括操作”，2是其运算结果；是一种“双减添括操作”，是其运算结果．给出下列说法： ①至少存在一种“双减添括操作”的运算结果是10； ②不存在任何“双减添括操作”的运算结果是； ③所有“双减添括操作”共有6种不同的运算结果． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查有理数加减混合运算，理解“双减添括操作”的定义是解题的关键．根据题意通过分类讨论的方法，将所有“双减添括操作”列式计算，并求出结果，即可求解． 【详解】解：将其中任意两个加号变为减号，有三种情况： （1）当前两个加号变成减号时：，有四种加括号的方式，分别为： ，，，， 运算结果是2或10或； （2）当第一个和第三个加号变成减号时：，有四种加括号的方式，分别为： ，，，， 运算结果是或； （3）当后两个加号变成减号时：，有四种加括号的方式，分别为： ，，，， 运算结果是或； 综上可知， “双减添括操作”共有12种，运算结果为2，10，，，，共6种． 所以：有一种“双减添括操作”的运算结果是10，故①正确； 不存在任何“双减添括操作”的运算结果是，故②正确； 所有“双减添括操作”共有6种不同的运算结果，故③正确； 正确的个数是3， 故选：D． 2．对于从左到右依次排列的三个有理数x、y、z，在x与y之间、y与z之间只添加一个四则运算符号组成算式（不再添加改变运算顺序的括号），并按四则运算法则计算结果，称为对有理数x、y、z进行“四则操作”，例如：对有理数1、2、3的“四则操作”可以是：，也可以是，……；对实数、、的一种“四则操作”可以是．给出下列说法： ①对有理数、0、2进行“四则操作”后有5种不同的运算结果． ②对于有理数2、3、进行“四则操作”后，所有的结果中最小的是． ③对有理数m、2、3进行“四则操作”后的结果为2025，则m的值共有16个． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查有理数的四则运算，解一元一次方程，在三个数之间合理的使用运算符号是解题的关键． 根据“四则操作”的定义依次对各个说法进行判断即可． 【详解】解：∵0不能做除数 ∴列出所有有效运算及结果如下， ；；；； ；；；； ；；；； 由上述可知不同的结果有、、、、、，共种，不是5种，故①错误； 对有理数、、进行“四则操作”，要找出所有结果中的最小值， 则列出如下所有的可能运算， ；；；； ；；；； ；；；； ；；；； 最小结果为，不是，故②错误； 对有理数、、进行“四则操作”，结果为2025， 由题意可知m与2之间有4种选择，2与3之间也有4种选择， ∴总共有种不同的运算， ∴①，解得； ②，解得； ③，解得； ④，解得； ⑤，解得； ⑥，解得； ⑦，解得； ⑧，解得； ⑨，解得； ⑩，解得； ⑪，解得； ⑫，解得； ⑬，解得； ⑭，解得； ⑮，解得； ⑯，解得； ∴总共16个解，故③正确， 综上所述，只有③正确，正确的个数为， 故选：B． 3．有三个代数式：，，，其中，从M、N、P中分别取其中一项（一个字母且连同前面的符号），求和后再取绝对值，称为一次“加绝操作”，记“加绝操作”的结果为T．例如，分别从M、N、P中取，“加绝操作”的结果．则下列说法中，正确的个数是（   ） ①一定存在某种“加绝操作”，使得； ②一共只有四种“加绝操作”，使其结果； ③所有“加绝操作”的不同结果T可能有15种． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查整式的加减，绝对值化简，根据“加绝操作”求出所有的种情况结果，再判断即可． 【详解】解：从M、N、P中取，“加绝操作”的结果； 从M、N、P中取，“加绝操作”的结果； 从M、N、P中取，“加绝操作”的结果； 从M、N、P中取，“加绝操作”的结果； 从M、N、P中取，“加绝操作”的结果； 从M、N、P中取，“加绝操作”的结果； 从M、N、P中取，“加绝操作”的结果； 从M、N、P中取，“加绝操作”的结果； 从M、N、P中取，“加绝操作”的结果； 从M、N、P中取，“加绝操作”的结果； 从M、N、P中取，“加绝操作”的结果； 从M、N、P中取，“加绝操作”的结果； 从M、N、P中取，“加绝操作”的结果； 从M、N、P中取，“加绝操作”的结果； 从M、N、P中取，“加绝操作”的结果； 从M、N、P中取，“加绝操作”的结果； 从M、N、P中取，“加绝操作”的结果； 从M、N、P中取，“加绝操作”的结果； 从M、N、P中取，“加绝操作”的结果； 从M、N、P中取，“加绝操作”的结果； 从M、N、P中取，“加绝操作”的结果； 从M、N、P中取，“加绝操作”的结果； 从M、N、P中取，“加绝操作”的结果； 从M、N、P中取，“加绝操作”的结果； 从M、N、P中取，“加绝操作”的结果； 从M、N、P中取，“加绝操作”的结果； 从M、N、P中取，“加绝操作”的结果； ∴①从M、N、P中取，“加绝操作”的结果，故①正确； ②一共有五种“加绝操作”，使其结果，故原说法错误； ③所有“加绝操作”的不同结果T可能有13种，故原说法错误； 故选：B． 4．在一次数学游戏中，老师在A、B、C三个盘子里分别放了一些糖果，糖果数依次为、、，记为．  游戏规则如下：若三个盘子中的糖果数不完全相同，则从糖果数最多的一个盘子中拿出两个，给另外两个盘子各放一个，记为一次操作；若有两个盘子中的糖果数相同，且都多于第三个盘子中的糖果数，则从这两个盘子字母顺序在前的盘子中取糖果；若三个盘子中的糖果数相同，游戏结束，n次操作后的糖果数记为． 小明发现：若，则此游戏永远无法结束，那么G2025＝ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字类规律探索，推理与论证等知识点，按照游戏规则，按照顺序操作找出数字变化规律，从开始3个一循环，即可进一步解决问题，根据题意找出数字变化规律是解答此题的关键． 【详解】∵， ∴，，，， ，，， ，，， ……， 由此看出从开始3个一循环， ， ， ∴与相同，也就是， 故答案为：． 5．对多项式任意加括号后仍然只含减法运算并将所得式子化简，称之为“加算操作”，例如：，，…，给出下列说法：至少存在一种“加算操作”，使其结果与原多项式相等；不存在任何“加算操作”，使其结果与原多项式之和为0；所有的“加算操作”共有8种不同的结果．以上说法中正确的是 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减，解题的关键是注意可以添加1个括号，也可以添加2个括号．根据括号前是“”，添括号后，各项的符号都不改变判断①；根据相反数判断②；通过列举判断③． 【详解】解∶①如， ，故①符合题意； ②的相反数为，不论怎么加括号都得不到这个代数式，故②符合题意； ③第1种∶ ； 第2种∶； 第3种∶； 第4种∶； 第5种∶； 第6种∶； 第7种∶； 第8种∶；故③符合题意； 故答案为∶①②③ ． 6．在一次数学游戏中，老师在、、三个盘子里分别放了一些糖果，糖果数依次为，记为，游戏规则如下：若三个盘子中的糖果数不完全相同，则从糖果数最多的一个盘子中拿出两个，给另外两个盘子各放一个（若有两个盘子中的糖果数相同，且都多于第三个盘子中的糖果数，则从这两个盘子中字母顺序在前的盘子中取糖果），记为一次操作；若三个盘子中的糖果数都相同，游戏结束．次操作后的糖果数记为． （）若则第 次操作后游戏结束； （）小明发现：若，则游戏永远无法结束，那么 ． 【答案】 【分析】（）按照游戏规则操作得出结果即可； （）利用同（）的方法找出数字变化规律，根据规律解答即可求解； 本题考查了数字类规律变化问题，根据题意找出数字变化规律是解题的关键． 【详解】解：（）若，第一次操作结果为，第二次操作结果为，第三次操作结果为， ∴经过次操作后游戏结束， 故答案为：； （）若，则，，，，，，，，，，， 由此可知从开始个一循环， ∵， ∴与相同，即， 故答案为：． 类型三、新定义数(选、填) 1．定义：如果一个正整数的平方可以分割为两个数字，且这两个数字相加后等于，那么就是“雷公数”．“雷公数”是自然数的一类．如：，所以2025是一个“雷公数”．对于“雷公数”的描述，下列结论错误的是（   ） A．81是最小的雷公数 B．当是正整数时，一定是雷公数 C．若是雷公数，则 D．除100外，三位数中，不存在其他的雷公数 【答案】C 【分析】本题主要考查了新定义“雷公数”，理解和应用新定义是解题的关键． 利用“雷公数”的定义逐项进行判断即可． 【详解】解：A. ，所以81是雷公数，且16，25,36,49,64都不是雷公数，所以81是最小的雷公数，该选项正确，故不符合题意； B. ，可以看作和两部分，当是正整数时，两部分都是正整数， ∴一定是雷公数，该选项正确，故不符合题意； C.当时，，， ∴该选项错误，故符合题意； D.通过计算剩余三位数121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,529,576,625,676, 729,784,841,900,961，都不是雷公数，该选项正确，故不符合题意； 故选：C． 2．我国宋朝时期的数学家杨辉，曾将大小完全相同的圆弹珠逐层堆积，形成“三角垛”，图有1颗弹珠；图有3颗弹珠；图有6颗弹珠，往下依次是第4个图，第5个图，…；如图中画出了最上面的四层．若用表示图的弹珠数，其中，2，3，…，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】可找出规律：，从而可将化为，对其进行裂项运算，即可求解． 【详解】解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， … 第个图：； ； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了图形规律问题，根据题意找出规律，并会利用规律对代数式进行裂项计算是解题的关键． 3．如图，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数字之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．若在“杨辉三角”中从第2行左边的1开始按“锯齿形”排列的箭头所指的数依次构成一个数列：a1＝1，a2＝2．a3＝3，a4＝3，a5＝6，a6＝4，a7＝10，a8＝5…，则a99+a100的值为（　　） A．1326 B．1327 C．1328 D．1329 【答案】A 【分析】将已知数列分为两个新数列，找出两个新数列的变化规律即可计算． 【详解】解：将所给数列分为两个新数列， 第1个数列由a1＝1，a3＝3，a5＝6，a7＝10……组成， ∵a1=1，a3=3=1+2，a5=6=1+2+3，a7=10=1+2+3+4， ∴a99是新数列第50项，a99=1+2+3+…+50=1275； 第2个数列由a2=2，a4=3，a6=4，a8=5……组成， ∵a2=2，a4=3，a6=4，a8=5， ∴a100是新数列第50项，a100=51， ∴a99+a100=1275+51=1326， 故选A． 【点睛】本题考查了根据图形数字变化找规律；能将已知数列分成两个新数列寻找规律是解题的关键． 4．如果一个四位自然数的各个数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“等差递减数”例如：四位数9753，∵，∴9753是“等差递减数”；又如四位数5681，∵，∴5681不是“等差递减数”，则最小的“等差递减数”为 ；对一个“等差递减数”，记，，，若，则满足条件的M最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式加减运算的应用，理解“等差递减数”的定义是解题关键．设一个“等差递减数”是，根据“等差递减数”的定义得到，要使这个数最小，则应尽可能的最小，从小到大依次尝试数值，即可求出最小的“等差递减数”；题意得到，再结合，得到，则，，要使最大，则应尽可能的最大，从大到小依次尝试数值，即可求出满足条件的M最大值． 【详解】解：设一个“等差递减数”是， 则， ， 要使这个数最小，则应尽可能的最小， 先尝试，则， 此时尝试，则， 此时尝试，则， 、、、互不相等且均不为0， 满足“等差递减数”的定义， 即最小的“等差递减数”为； “等差递减数”， ， ，， ， ， ， ， ，且互不相等， ，， 又∵， ， 要使最大，则应尽可能的最大， 若，则，此时， 解得，不符合题意； 若，则，此时， 解得，不符合题意； 若，则，此时， 解得，符合题意，此时； 即满足条件的M最大值为； 故答案为：，． 5．一个四位数M，若它的千位数字与百位数字的差等于4，十位数字与个位数字的差等于3，则称这个四位数M为“雁塔数”．一个“雁塔数”M的千位数字与百位数字和的2倍与十位数字及个位数字的和记为P，千位数字与3的差记为Q，若能被7整除，则满足条件的M最大为 ． 【答案】8474 【分析】本题主要考查了代数式表示数， 先设千位数是a，十位数是b，则百位数是，个位数是，则，根据题意，得，再根据能被7整除，设，可得，接下来结合题意讨论k只能取奇数，且要保证a是正整数，则是的正因数，即可得出k的取值范围，最后结合定义得出答案. 【详解】解：设千位数是a，十位数是b，则百位数是，个位数是，则，根据题意，得， 由能被7整除，设， 则， ∴. ∵，且是奇数， ∴最小只能取7，最大只能取19，一共有7个奇数. 当k取偶数时，为偶数，而不可能是整数，从而a不是整数， 所以k只能取奇数； 要保证a是正整数，则是的正因数，因而最大是19，最小是1， 即， 解得. 由k为正整数，且不是偶数，只能或3， 当时，， 当时，，此时M为6241； 当时，，此时M为8474； 当时，， 则，得， 此时，M为4085， ∴满足条件的M的最大值为8474. 故答案为：8474. 6．若一个四位自然数的千位数字与百位数字之差的绝对值为十位数字，千位数字、百位数字与个位数字的和恰好为12，且这个四位数能被12整除，那么称这个数为“双12数”． 例如：，∵，，且，∴4404是“双12数”； 又如，∵，，但，∴1655不是“双12数”． 则1764 （填“是”或“否”）“双12数”；若一个“双12数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，记，当为整数时，求出所有满足条件的的平均值为 ． 【答案】 是 【分析】本题考查了列代数式、代数式求值，理解“双12数”的定义是解题关键．根据“双12数”的定义即可得是“双12数”；先求出，，，再分两种情况：①和②，根据为整数逐个讨论的值，由此即可得． 【详解】解：∵，，， ∴是“双12数”． ∵一个“双12数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为， ∴，，， ①当时，，， ∴，， ， ∵为整数， ∴时，，此时，不能被12整除； 时，，此时，不能被12整除； 时，，此时，不能被12整除； 时，，此时，能被12整除； 时，，此时，能被12整除； 时，，此时，不能被12整除； 时，，此时，不能被12整除； 时，，此时，不能被12整除； ②当时，，， ∴，， ， ∵为整数， ∴时，，此时，不能被12整除； 时，，此时，不能被12整除； 时，，此时，能被12整除； 时，，此时，不能被12整除； 时，，此时，不能被12整除； 综上，所有满足条件的的值为，，， 则所有满足条件的的平均值为， 故答案为：是，． 类型四、进制问题(选、填、解) 1．为了区分不同的进制，常在数的右下角标明基数，例如：就是二进制数1011的简单写法，十进制数一般不标注基数．通过把二进制数表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式，可以转化成十进制数．例如：．（规定：当时，），根据以上信息，将转化成十进制数是（   ） A．29 B．30 C．58 D．62 【答案】A 【分析】本题主要考查了二进制数与十进制数的相互转化，熟练掌握二进制数转十进制数的方法是解题的关键．根据二进制转十进制的方法，将二进制数各位数字与基数的幂相乘后求和． 【详解】解： ． 故选：A． 2．年第十四届国际数学教育大会在上海召开，本次会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的卦“”是用我国古代的计数符号写出的八进制数．八进制是以作为进位基数的数字系统，有共个基本数字． 八进制数换算成十进制数是，表示的举办年份． 某同学设计了一个进制数， 换算成十进制数是， 则的值为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数乘方逆运算的应用，根据题意得，即可求得的值．熟练掌握该运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵一个进制数， 换算成十进制数是， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或（负值不符合题意，舍去）， ∴的值为． 故选：D． 3．生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一，例：； 计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例：二进制数10010转化为十进制数：； 其他进制也有类似的算法… 在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示， 孩子已经出生的天数为       ． 【答案】42 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，正确理解题中二进制转换十进制的计算方法是解题的关键． 满五进一，类似于五进制数，仿照二进制转换十进制的计算方法进行计算即可． 【详解】解：由于满五进一，类似于五进制数，图示表示的五进制数为132，转化为十进制数为 所以，孩子已经出生了42天． 故答案为42 4．根据数学活动课“自然数被3整除的规律”、综合与实践“进位制的认识与探究”的知识和方法，可知二进制数等于十进制数的25，六进制数等于十进制数的41等．仿照前面进位制转化，则八进制数等于十进制数的 ；若一个四进制三位数，与七进制三位数，转化成的十进制数的和能被8整除（．且均为整数），则的值为 ． 【答案】 2025 1 【分析】该题主要考查其它进制与十进制的转化，还考查整式的加法运算，正确进行计算是解题关键． 根据转化算法公式直接代入即可算出；把这两个数都转化为十进制数求和，再讨论这个和是否是8的整数倍，即可求解． 【详解】解：； ， ∵和能被8整除， ∴能被8整除， ∵，且均为整数， ∴． 故答案为：2025；1． 5．进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，例如就是二进制数的简单写法，十进制数一般不标注基数． 如十进制数3512可以表示成式子： ． 可见，一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式． 二进制是逢二进一，其各数位上的数字为0或1．类比十进制数的表示方法把二进制数表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式，可以把二进制数转化为十进制数．根据上述材料，解答下列问题： 【理解】 （1）填空：____________． （2）一个字长为7位的二进制数能表示的十进制数值范围是（   ） A．    B．    C．    D． 【迁移】把十进制数25转化为二进制数． 【创新】把二进制数转化为八进制数． 【答案】[理解]（1）2，1，11；（2）D；[迁移] ；[创新] 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解二进制、八进制、十进制数的定义以及核算方法是正确解答的关键． [理解]（1）根据二进制与十进制的核算方法进行计算即可； （2）根据二进制的定义以及与十进制的核算方法进行计算即可； [迁移]将25写成即可得出答案； [创新]先将二进制数转化为十进制数为89，再将十进制数89写出即可． 【详解】[理解]（1）解：， 故答案为：2，1，11； （2）解：一个字长为7位的二进制数能表示的十进制数最小为，最大为， ∴一个字长为7位的二进制数能表示的十进制数值范围是， 故选：D； [迁移]解：， ∴十进制数25转化为二进制数为； [创新]解：二进制数转化为十进制数为， 而， ∴十进制89写成8进制为， 即二进制数转化为八进制数为． 6．进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．对于任何一种进制N进制，就表示某一位置上的数运算时是逢N进一位，N进制表示的数中，右起第一位上的1表示，第二位上的1表示，第三位上的1表示，第四位上的1表示．故，其中． 例如：，，转化为十进制的数11，转化为十进制的数31（注意：对于任何非零数a都有，即）． 结合以上材料，解决下列问题： (1)把下列进制数转化为十进制表示的数（在横线上列式并写出结果）： ， ； (2)《易经》中记载：远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，一位女孩在从右到左依次排列的绳子上打结用来记数，如右图，图中表示女孩用绳结记录的数字，按照六进制记数法，即右边的绳子打结满6个，则此绳子左边的绳子打1个结，原来绳子的结全部打开清零，以此类推，最左边的绳子上的每个结都是中间绳子满6进1得来．根据图中记录的数字，写出这个六进制数字为（ ）6，若用十进制表示的数表示女孩采集到的野果数， 她一共采集到的野果数量为 个；       (3)如果五进制三位数与八进制两位数分别转化为十进制表示的数，则两数和为，根据题意请列出等式 ，此时满足条件的 ． 【答案】(1) (2) (3)（或）； 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握进制之间的换算方法，是解题的关键： （1）利用题干给定的方法列式计算即可； （2）仿照N进制计数和转化为十进制的方法分别表示计算即可； （3）仿照N进制转化为十进制的方法，分别计算表示对应得十进制数并依题意列方程求解即可． 【详解】（1） ； 故答案为： （2）由图可知，这个六进制的数为， 化为10进制数：， 故答案为： （3）依题意： 即， 解得： 故答案为：（或）， 类型五、阴影部分问题(选、填、解) 1．如图，长为，宽为的大长方形被分割为7小块，除阴影，外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法中正确的是（　　） ①小长方形的较长边为； ②阴影的较短边和阴影的较短边之和为； ③若为定值，则阴影和阴影的周长和为定值； ④若时，则阴影的周长比阴影的周长少． A．①③ B．②④ C．①④ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了整式加减、代数式的求值，掌握整式的加减实质上就是合并同类项，理解题意根据题目要求用或表示有关的线段是解题关键． ①首先明确长方形的较长边为大长方形长个小长方形的较短边； ②表示出阴影的较短边，阴影的较短边，再求它们的和； ③根据长方形周长公式，再根据用表示的边长，列式计算； ④根据长方形周长公式，再根据用表示的边长，列式计算． 【详解】解：①小长方形的较短边为，大长方形长为， 小长方形的较长边为； ①符合题意； ②阴影的较长边，较短边， 阴影的较长边，较短边， 阴影的较短边和阴影的较短边之和为； ②不符合题意； ③阴影和阴影的周长和为， 若为定值，则阴影和阴影的周长和为定值； ③符合题意； ④阴影的周长比阴影的周长少， 若时，原式， 阴影的周长比阴影的周长少； ④符合题意． 故选：D． 2．如图，将图1中的长方形纸片剪成①号、②号、③号、④号正方形和⑤号长方形，并将它们按图2的方式无重叠地放入另一个大长方形中，若需求出没有覆盖的阴影部分的周长，则下列说法中错误的是（　　） A．只需知道③号正方形的边长即可 B．只需知道④号正方形的边长即可 C．只需知道⑤号长方形的周长即可 D．只需知道图1中大长方形的周长即可 【答案】B 【分析】本题考查了整式的加减运算，熟练掌握整式加减运算法则是解题的关键． 设①号正方形的边长为，②号正方形的边长为，则③号正方形的边长为，④号正方形的边长为，⑤号长方形的长为，宽为，根据图2得没有覆盖的阴影部分的周长，计算即可得到结果． 【详解】 解：设①号正方形的边长为，②号正方形的边长为，则③号正方形的边长为，④号正方形的边长为，⑤号长方形的长为，宽为，，， 根据题意得：没有覆盖的阴影部分的周长 ， ③号正方形的边长为， ④号正方形的边长为， ⑤号长方形的周长； 图1中大长方形的周长； 选项A，C，D说法正确，不符合题意，选项说法错误，符合题意． 故选：B． 3．如图，把五个长为、宽为（）的小长方形，按图1和图2两种方式放在一个宽为的大长方形上（相邻的小长方形既无重叠，又不留空隙）．设图1中两块阴影部分的周长和为，图2中阴影部分的周长为，若大长方形的长比宽大，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是整式的加减，解题的关键是理解题意，根据图形将、表示出来，得出等式．先将图1拆成两个长方形，分别算出两个长方形的长和宽即可求出；将图2的每条边长都求出来，相加即可求出；再根据“大长方形的长比宽大”得到等式，代入中即可得出答案． 【详解】解：由图可得： ， ， ， 大长方形的长比宽大， ， 整理得：， 故答案为：． 4．把四张形状、大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形的盒子底部，按图甲和图乙两种方式摆放，若长方体盒子底部的长与宽的差为，则图甲和图乙中阴影部分的周长之差为 ． 【答案】 【分析】本题考查列代数式和整式的混合运算，由图乙可知，长方体盒子底部的长为，则长方体盒子底部的宽为，观察图甲阴影部分周长等于盒子底部长方形的周长，即；而图乙中阴影部分由两个长方形组成，其中较大的长方形阴影的长为，宽为，较小的长方形阴影的长为，宽为，再利用长方形周长公式分别求出图甲和图乙中阴影部分的周长，并求差即可．通过观察图形，用含有、的代数式准确的表示出盒子底部长方形的长和宽是解题的关键． 【详解】解：由图乙可知，长方体盒子底部的长为，则长方体盒子底部的宽为， ∴图甲中阴影部分的周长为：， 图乙中阴影部分的周长为：， ∴图甲和图乙中阴影部分周长之差为：． 故答案为：． 5．如图，矩形为公园的一个花圃示意图（阴影部分种花，其他部分种草），其中矩形长为，宽为． (1)根据图中的数据，用含和的代数式表示阴影部分的面积； (2)若，种花的费用为每平方米100元，种草的费用为每平方米 50元，求共需要多少钱？ 【答案】(1) (2)共需要2200元 【分析】本题主要考查了列代数式，代数式求值，有理数四则混合计算的实际应用： （1）用的面积减去的面积即可得到答案； （2）根据（1）所求，直接代值计算求出阴影部分的面积，再求出空白部分的面积，然后分别求出种花和种草的费用，二者求和即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：当时，， ∴阴影部分面积为； ， ， 元， ∴共需要2200元 6．用4个完全相同的边长为的小长方形（如图1）和两个阴影部分的长方形拼成1个宽（）为6的大长方形（如图2）． (1)请用含的代数式表示：①的长；②阴影的面积； (2)说明阴影与阴影的周长的和与的关系． 【答案】(1)①；② (2)阴影M与阴影N的周长的和与a、b无关 【分析】本题考查了列代数式，整式加减的应用，由拼图用含有a、b的代数式表示，，是正确解答的关键． （1）①由拼图可直接得到AD；②用代数式表示阴影M的长、宽，再根据长方形面积的计算方法即可得出答案； （2）由阴影M与阴影N的周长的和为，据此求解即可． 【详解】（1）解：①由拼图可知，， ②阴影M的长为a，宽为， 所以阴影M的面积为， （2）解：阴影M与阴影N的周长的和与a、b无关，理由： 如图， 阴影M与阴影N的周长的和为 ， 所以阴影M与阴影N的周长的和与a、b无关． 类型六、绝对值的最小值(选、填、解) 1．我们知道，式子的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离是，则式子的最小值（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，数轴上两点之间的距离，有理数的减法运算．由题意知，的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数和的点之间的距离和，据此求解作答即可． 【详解】解：， 的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离与数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离之和， 的最小值是表示数的点与表示数的点之间距离， 的最小值为， 故选：D． 2．绝对值的几何意义：表示一个数在数轴上对应的点到原点的距离，表示x，y两数在数轴上对应两点之间的距离．则的最小值为(　  　)，的最大值为(　  　) A．1， B．1，5 C．5，5 D．1，1 【答案】C 【分析】本题考查绝对值的几何意义，理解绝对值的几何意义是解题的关键． （1）表示表示x的点到表示3和的点之间的距离之和，当表示x的点位于表示3的点和表示的点之间时，取得最小值，即可解答； （2）表示表示x的点到表示3和的点之间的距离之差，当表示x的点位于表示3的点的左侧，或位于表示的点的右侧时，取得最大值，即可解答． 【详解】解：∵表示表示x的点到表示3和的点之间的距离之和， ∴当表示x的点位于表示3的点和表示的点之间时，取得最小值，最小值为． ∵表示表示x的点到表示3和的点之间的距离之差， ∴当表示x的点位于表示3的点的左侧，或位于表示的点的右侧时，取得最大值，最大值为． 故选：C 3．材料阅读：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义，如表示在数轴上对应的两点之间的距离；所以表示、在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示在数轴上对应的点到原点的距离．综上，数轴上两点对应的数分别为，且两点之间的距离可以表示为，则（或）． (1)求___________；若，则___________； (2)的最小值是___________；当___________时的最小值是___________． 【答案】(1)5，1或； (2)4，2，5 【分析】本题考查绝对值的几何含义，数轴上两点间的距离，有理数的计算，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据阅读材料，利用绝对值的几何意义进行解答计算即可； （2）根据绝对值的几何意义，表示求所对应的点到1和所对应的点的距离和， 表示求所对应的点到和4所对应的点的距离和，利用数轴进行求解即可． 【详解】（1）解：表示所对应的点之间的距离， ∴， 表示所对应的点之间的距离为3， 或， 故答案为：5，1或； （2）解：可以看作对应的点到1和对应的点的距离之和， 当点在与1之间的线段上，即时，距离和最小为； 有最小值，最小值为4； 可以看作对应的点到和4所对应的点的距离和， 当时，距离和最小为； 当时，的最小值为5， 故答案为：4，2，5； 4．的最小值是 ，，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的意义、有理数的乘法，利用绝对值的意义确定a值和b、c的符号是解答的关键．根据绝对值的意义求得a值，再确定b、c符号，然后再根据绝对值的意义化简求解即可． 【详解】解：根据绝对值的意义， 当时，取得最小值，最小值为， ∴，则， ∵， ∴，， ∴，，，， ∴ ． 故答案为：． 5．【材料阅读】通过学习数轴和绝对值之后，我们知道，表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离． (1)应用一：已知如图，点A在数轴上表示为，数轴上任意一点B表示的数为x，则两点的距离可以表示为______． (2)应用二：若点B表示的整数为x，则当x为______时，与的值相等； (3)应用三：表示数轴上有理数x所对应的点到和2所对应的两点距离之和，应用这个知识，请你写出的最小值为______，此时所有符合条件的整数x的和为______． (4)应用四：令，则M的最小值为______，当M取得最小值时，整数x的值是______． 【答案】(1) (2) (3)7； (4)11； 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，理解绝对值的几何意义是解题关键． （1）根据数轴上两点距离计算公式求解即可； （2）根据题意可得数轴上表示的数与表示4和的数的距离相等，则数轴上表示的数是表示4和的数的中点，据此求解即可； （3）根据绝对值的几何意义可得当时，有最小值，据此化简绝对值求出最小值，再求出符合题意的x的值的和即可； （4）根据题意可以将分为两组数之和，分别为和，分别表示x的范围，据此解答即可． 【详解】（1）解：∵点A在数轴上表示为，数轴上任意一点B表示的数为x， ∴两点的距离可以表示为， 故答案为：； （2）解：∵与的值相等， ∴表示x的数与表示4和的数的距离相等， ∴表示x的数是表示4和的数的中点， ∴， 故答案为：； （3）解：∵表示数轴上有理数x所对应的点到和2所对应的两点距离之和， ∴当时，有最小值，最小值为， ∴整数x有， ∴所有符合条件的整数x的和为 ， 故答案为：7；； （4）解：将分为两组： （最小值为，x在到3之间）； （最小值为，x在到1之间）； 由上述可得，当x在到1之间时，两组同时取最小值， ∴M最小值为， ∴整数x的值为到1之间的整数：． 故答案为：11；． 6．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合．如图，已知数轴上点分别表示，且与互为相反数，为原点． (1)___________，____________； (2)将数轴沿某个点折叠，使得点与表示的点重合，则此时与点重合的点所表示的数为____________； (3)两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为，如与两数在数轴上所对的两点之间的距离可以表示为，从而很容易就得出在数轴上表示与两点之间的距离是． 若表示一个有理数，则的最小值____________． 若表示一个有理数，且，则满足条件的所有整数的和是__________． 当__________时，取最小值． 【答案】(1)，； (2)； (3)；；． 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，相反数定义，绝对值非负性，根据绝对值的几何意义，探索出最小值存在时的取值的一般规律是解题的关键． （）根据绝对值非负性偶次幂非负性，通过相反数的定义得出，然后求解即可； （）先由对称性可知点与数字重合求出折痕点，然后求出点重合的点所表示的数即可； （）当时，的最小值； 当时，的值最小，最小值为，再求出符合条件的整数即可求解； 根据，，，，，，，，4的中间数即可所求． 【详解】（1）解：∵且与互为相反数， ∴， ∴，， 故答案为：，； （2）解：由（）得，， ∴点表示的数为， ∴要使点与表示的点重合， ∴折痕点为， ∴此时与点重合的点所表示的数为， 故答案为：； （3）解：∵表示与之间的距离，表示与之间的距离，表示与和之间的距离和， ∴当时，的最小值， 故答案为：； ∵表示数轴上表示的点到表示的点和的点的距离之和， 当时，的值最小，最小值为， ∴的整数值为，，，，，，，， ∴所有整数的和是， 故答案为：； ∵表示倍与的距离，表示倍与的距离，表示倍与的距离之和， ∴，，，，，，，，4的中间数是， ∴当时，取最小值， 故答案为：． 类型七、算筹问题(选、填、解) 1．我国是最早认识负数，并进行相关运算的国家，在古代数学名著《九章算术》里就记载了利用算筹实施“正负术”的方法，图1表示的是计算的过程．按照这种方法，图2表示的过程应是在计算（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加法，解题的关键是理解图1表示的计算．由图1可以看出白色表示正数，黑色表示负数，观察图2即可列式． 【详解】解：由图1知：白色表示正数，黑色表示负数， 图2表示的过程应是在计算， 故选：C． 2．在《九章算术注》中用不同颜色的算筹（小棍形状的计数工具）分别表示正数和负数（白色表示正，灰色表示负），图1表示的计算过程，则图2表示的过程用算式表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正数和负数，有理数的加法运算，理解图中的含义是解题的关键．根据图中的含义写出算式即可． 【详解】解：根据题意可得图2表示的过程是在计算， 故选：A． 3．魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中用不同颜色的算筹(小棍形状的记数工具)分别表示正数和负数(白色为正，黑色为负)，图1表示的是的计算过程，则图2所表示的等式是 ； 【答案】 【分析】本题主要考查了正数和负数，有理数的加法运算，理解图中的含义并熟练应用是解题的关键． 依据题意写出算式即可． 【详解】解：根据题意，图表示的计算过程是：， 故答案为：． 4．中国古代的算筹计数法可追溯到公元前5世纪．摆法有纵式和横式两种（如图所示），以算筹计数的方法是摆个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横……这样纵横依次交替，宋代以后出现了笔算，在个位数划上斜线以表示负数，如表示﹣752，表示2369，则表示 ． 【答案】 【分析】 本题考查了应用类问题．根据算筹记数的规定可知，“ ”表示一个4位负数，再查图找出对应关系即可得表示的数． 【详解】 解：由已知可得：“ ”表示的是4位负整数，是． 故答案为：． 5．算筹是世界上最古老的计数工具，算筹的摆法有如图纵式和横式两种，以算筹的计数的方法是摆个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横…这样纵横依次交替，零以空格表示如3257就表示成 ． (1)算筹所表示的数是　 　． (2)请用算筹表示下列各数： (3)用三根算筹可以表示两位数（十位不能为零，且用完三根算筹），请在图的虚线框中尽可能多的摆出来，并在下方括号里填上所表示的数．（注：图中虚线框个数过多） 【答案】(1)3875 (2)图形见解析 (3)图形见解析 【分析】（1）根据图形的表示进行解答即可； （2）结合（1）根据图形的表示进行解答即可； （3）根据图形的表示进行解答即可． 【详解】（1）解：算筹所表示的数是3875； 故答案为：3875； （2）解：如下图 （3）解：如下图 【点睛】此题考查数字表示事件，解决本题的关键是仔细观察题干给出的规律． 6．我国在数的发展上有辉煌的成就，中国古代的算筹计数法可追溯到公元前五世纪，算筹是竹制的小棍，摆法有纵式和横式两种（如图1）．以算筹计数的方法是：摆个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横……，这样纵横依次交替，零以空格表示．如3257表示成“”． （1）请用算筹表示数23，701；（分别表示在答题卷的图2、图3中） （2）用三根算筹表示两位数（十位不能为零，且用完三根算筹），在答题卷的图4中摆出来，并在下方横线上填上所表示的数．（注：图4中的双方框个数过多）． 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析. 【分析】根据图形的表示进行解答即可 【详解】如下图 【点睛】此题考查数字表示事件，仔细观察题干给出的规律即可 类型八、整除与打折问题(解) 1．对于一个三位数（，，均为正整数），若满足百位上的数字与个位上的数字之和等于十位上的数字，即，那么就称这个数为“智慧数”． 例如：因为，所以451是“智慧数”． (1)除了451，请任意写出一个“智慧数”：_____． (2)张亮说：任意一个“智慧数”都能被11整除，请判断张亮的说法是否正确，并说明理由． 【答案】(1)132（答案不唯一） (2)张亮说法正确，理由见解析 【分析】本题考查了整式的加减的应用，理解“智慧数”的定义是解此题的关键． （1）根据“智慧数”的定义求解即可； （2）表示出，由此判断即可． 【详解】（1）解：， 是“智慧数”， 故答案为：132（答案不唯一）； （2）解：张亮说法正确，理由如下： 任意一个“智慧数”， 任意一个“智慧数”都能被11整除， 张亮说法正确． 2．阅读材料并完成题目 【材料一】我们可以将任意三位数记为（其中分别表示该数百位数字、十位数字和个位数字，且），显然． 【材料二】若在一个两位正整数N的个位数字与十位数字之间添上数字4，组成一个新的三位数，我们称这个三位数为N的“明礼数”，如36的“明礼数”为346；若将一个两位正整数M加4后得到一个新数，我们称这个新数为M的“修身数”，如37的“修身数”为41． (1)30的“明礼数”是______，“修身数”是______； (2)求证：对任意一个两位正整数，其“明礼数”与“修身数”之差能被9整除； 【答案】(1)340；34 (2)见解析 【分析】本题主要考查了新定义在数字问题中的应用，涉及整式的加减运算，有理数的运算，正确理解“明礼数”和“修身数”的定义是解题的关键． （1）根据“明礼数”和“修身数”的定义计算即可得到答案； （2）设的十位数字为，个位数字为，则其“明礼数”为：，“修身数”为：，作差进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意可得： 30的“明礼数”是340，30的“修身数”是， 故答案为：340，34； （2）证明：设的十位数字为，个位数字为， 则其“明礼数”为：，“修身数”为：， 它们的差为：， 对任意一个两位正整数，其“明礼数”与“修身数”之差能被9整除． 3．在小学，我们知道像12，27，36，45，108，…这样的自然数能被3整除，一般地，如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除．你能说出其中的道理吗？我们已经学习了用字母表示数，先来看两位数的情形，若一个两位数的十位、个位上的数字分别为，则通常记这个两位数为，于是，显然能被3整除，因此，如果能被3整除，那么就能被3整除，即能被3整除．根据上述材料，解答下列问题： (1)下列各数中，能被3整除的有______；（填序号） ①25；    ②225；    ③1025；    ④2025 (2)设是一个四位数，若能被3整除，试说明这个数能被3整除． 【答案】(1)②④ (2)见解析 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及列代数式，能根据题意发现能被3整除的整数的规律是解题的关键． （1）根据题中所给判断两位数能否被3整除的方法，对所给各数进行判断即可； （2）根据题意，先表示出这个四位数，再结合能被3整除进行说明即可． 【详解】（1）解：由题知， 因为，7不能被3整除； ，9能被3整除； ，8不能被3整除； ，9能被3整除， 所以能被3整除的有②④． 故答案为：②④； （2）解：由题知， 四位数可表示为：， 因为，且一定能被3整除， 又因为能被3整除， 所以能被3整除， 即这个四位数能被3整除． 4．某种圆珠笔的售价是每支2元，甲、乙两家文具店均有促销活动：甲文具店全部九折；乙文具店20支及以内不打折，比20支多的部分打八折．设小明需要购买的圆珠笔的数量为，根据题意回答下列问题： （1）若购买多于20支的圆珠笔，则在甲文具店需要花费____元，在乙文具店需要花费_____元；（用含的式子表示） （2）当时，选择哪家文具店更优惠？当呢？ 【答案】（1）；；（2）当时，选择甲文具店更优惠；当时，选择乙文具店更优惠 【分析】（1）分别根据甲乙的优惠方案列式计算即可； （2）把分别代入（1）中的代数式，再比较各自费用的高低，从而可得结论. 【详解】解：（1）设小明需要购买的圆珠笔的数量为， 甲文具店全部九折； 购买的花费为：元， 乙文具店20支及以内不打折，比20支多的部分打八折， 购买的花费为：元， 故答案为：； ． （2）当时，甲文具店：（元）； 乙文具店：（元）． 因为， 所以选择甲文具店更优惠． 当时，甲文具店：（元）； 乙文具店：（元）． 因为， 所以选择乙文具店更优惠． 【点睛】本题考查的是列代数式，求解代数式的值，最优化选择问题，掌握“利用代数式的值作出最优化选择”是解题的关键. 5．某景区有两种购票方式： 方式一：购买个人票，其中一张学生票元，一张普通票元； 方式二：购买团体票（人数不少于人），团体票中每张票均在普通票的基础上打折，游客可根据情况选择合适的购票方式．某校现有名师生前往该景区秋游，其中学生有人． (1)用含，的代数式表示该校师生按方式一购票时所需费用； (2)用含，的代数式表示该校师生按方式二购票时所需费用； (3)当，时，哪种购票方式更合算？请说明理由． 【答案】(1)元 (2)元 (3)按方式二购票更合算，理由见详解 【分析】本题主要考查了列代数式，求代数式的值，根据题意列代数式是解题的关键； （1）根据一张学生票元，一张普通票元，列出代数式即可； （2）根据团体票中每张票均在普通票的基础上打折，列出代数式即可； （3）将，分别代入（1）、（2）中的代数式，通过比较计算结果即可得出结论， 【详解】（1）解：由题意可得，按方式一购票时所需费用为：元； （2）解：由题意可得，按方式二购票时所需费用为： (元)； （3）解：按方式二购票更合算；理由如下： 当，时， 方式一： (元)； 方式二：(元) 因为， 所以按方式二购票更合算； 6．某水果超市新进了一批秋月梨，为了合理定价，先试行了7天机动价格，售价以每千克元为标准价，超市记录了这7天秋月梨的销售价和销售量情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 每千克价格相对于标准价格(元) 售出的质量(千克) (1)这7天中，秋月梨单价最低的一天是星期 ． (2)求这7天超市销售秋月梨的总收入． (3)从第8天起，超市决定推出两种秋月梨的销售方式： 方式一：每千克售价元； 方式二：每千克售价元，若购买超过千克，则超过部分打折． 若买千克秋月梨，则两种不同的购买方式分别需要多少钱？(用含的代数式表示) 【答案】(1)日 (2)这7天超市出售此种秋月梨总收入元 (3)方式一：，方式二： 【分析】本题考查列代数式以及用正负数的意义，有理数的混合运算的应用； （1）根据表中数据负数中绝对值最大的即为最低价； （2）根据表中数据计算分别计算销售收入和总成本，相减即可； （3）根据题意分别列出方式一和二的花费即可． 【详解】（1）解：由表中数据可知星期日价格低于标准元，即星期日价格最低， 故答案为：日； （2）由表中数据可得： 销售收入为： （元）， 答：这7天超市出售此种秋月梨总收入元； （3）当顾客买斤秋月梨， 按照方式一应花费：元，元， 按照方式二应花费：元． 类型九、数轴动点求t问题(解) 1．定义：为数轴上三点，若点到点的距离是点到点的距离的2倍，我们就称点是的美好点．例如：如图①，点表示的数为，点表示的数为2，表示数1的点到点的距离为2，到点的距离为1，那么点是的美好点；而表示数0的点到点的距离是1，到点的距离是2，那么点就不是的美好点，但点是的美好点． 如图②，，为数轴上两点，点所表示的数为，点．所表示的数为2． (1)点表示的数分别是，，11，其中点___________是【】的美好点；【，】的美好点所表示的数是___________； (2)现有一只电子蚂蚁从点开始出发，以每秒2个单位的速度沿数轴匀速向左运动．设运动时间为秒，当为何值时，为两点的美好点？ 【答案】(1)G，或 (2)，，3，，9， 【分析】本题考查数轴上的动点问题、数轴上两点之间的距离、点是【M，N】的美好点的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据美好点的定义，结合图，直观考察点，，到点，的距离，只有点符合条件．结合图，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点的距离是到点的距离倍的点，在点的移动过程中注意到两个点的距离的变化． （2）根据美好点的定义，，和中恰有一个点为其余两点的美好点，分种情况，须区分各种情况分别确定点的位置，进而可确定的值． 【详解】（1）解：根据美好点的定义，，，，，，，，只有点G符合条件， 故答案是：． 结合图，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点的距离是到点的距离倍的点， 点N的右侧不存在满足条件的点， 点M和之间靠近点一侧应该有满足条件的点，由，则到的距离为，进而可以确定符合条件． 点的左侧距离点M的距离等于点和点的距离的点符合条件，进而可得符合条件的点是． 故答案为：或； （2）解：根据美好点的定义，，和中恰有一个点为其余两点的美好点，分种情况， 第一种情况：当为【，】的美好点，点在，之间，如图， 当时，，点P对应的数为， 因此秒； 第二种情况，当为【，】的美好点，点在，之间，如图2， 当时，，点对应的数为， 因此秒； 第三种情况，为【N，M】的美好点，点在左侧，如图3， 当时，，点对应的数为， 因此秒； 第四种情况，M为【P，N】的美好点，点在左侧，如图4， 当时，，点对应的数为， 因此秒； 第五种情况，M为【N，P】的美好点，点在左侧，如图5， 当时，，点对应的数为， 因此秒； 第六种情况，M为【N，P】的美好点，点在，中间，如图， 当时，， 因此秒； 第七种情况，为【，】的美好点，点在左侧， 当时，， 因此秒， 第八种情况，N为【M，P】的美好点，点在右侧， 当时，， 因此秒， 综上所述，的值为：，，3，，9，． 2．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒． 【综合运用】 (1)填空： ①A、B两点间的距离_______，线段的中点C表示的数为_______； ②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为_______；点Q表示的数为_______； (2)求当t为何值时，； (3)若点M为的中点，点N为的中点，点P在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长． 【答案】(1)①10，3；②，； (2)1或3； (3)不变，5． 【分析】（1）①根据题目所给的两点距离公式以及两点中点公式进行求解即可；②根据数轴上点A表示的数为，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动进行求解即可得到结果； （2）由（1）②得t秒后，点P表示的数，点Q表示的数为，则，再由，可得，由此求解即可； （3）根据两点中点公式，分别求出点M表示的数，点N表示的数，即可得出线段的长度． 【详解】（1）解：①由题意得：，线段AB的中点C为， 故答案为：10，3； ②数轴上点A表示的数为，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动． t秒后，点P表示的数为：，点Q表示的数为：； 故答案为：，； （2）解：∵t秒后，点P表示的数，点Q表示的数为， ∴， 又∵， ∴， 解得：或3， ∴当或3时，； （3）解：不发生变化，理由如下： ∵点M为的中点，点N为的中点， ∴点M表示的数为，点N表示的数为， ∴． 【点睛】本题主要考查了用数轴表示有理数，数轴上两点的距离，数轴上的动点问题，数轴上两点之间的中点表示方法，解题的关键在于理解题意，能够熟练掌握数轴上两点的距离计算公式． 3．阅读：如图，已知数轴上有、、三个点，它们表示的数分别是，，．到的距离可以用表示，计算方法：，或．根据阅读完成下列问题： (1)填空： ， ． (2)若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，试探索：到的距离与到的距离的差（即）的值是否随着时间的变化而改变？请说明理由． (3)现有动点、都从点出发，点以每秒个单位长度的速度向右移动，当点移动秒时，点才从点出发，并以每秒个单位长度的速度向右移动．设点移动的时间为秒（），直接写出、两点间的距离（用含的代数式表示）． 【答案】(1)， (2)不变，理由见解析 (3)当时，；当时，；当时， 【分析】（）根据数轴上两点间距离公式计算即可； （）根据题意求出点，，向右移动后表示的数，然后根据数轴上两点间距离公式表示，的值，最后再进行计算即可； （）分三种情况讨论，点在点处，点在点的右边，点在点的右边，根据数轴上两点间距离公式分别列出代数式即可； 本题考查了列代数式，数轴上两点间距离，整式的加减的应用，掌握数轴上两点间距离公式并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，； （2）解：不变，理由如下： ∵经过秒后，，，三点所对应的数分别是，，， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ， 的值不会随着时间的变化而改变； （3）解：经过秒后，，两点所对应的数分别是，， 当点追上点时，， 解得， 当时，点在点处， ； 当时，点在点的右边， ； 当时，点在点的右边， ； 综上所述，当时，；当时，；当时，． 4．已知多项式是关于的二次多项式，且二次项系数为，数轴上两点、对应的数分别为、，为原点．动点从点出发，在数轴上以每秒个单位长度的速度向右运动，动点从点出发，在数轴上以每秒个单位长度的速度向左运动，两点同时出发，当点到达点时停止运动，点也随之停止．设点的运动时间为（秒）． (1)的值为_____，的值为_____，、两点之间的距离为_____． (2)用含的代数式表示：秒后，点表示的数为_____，点表示的数为_____． (3)当时，通过计算判断两点的位置关系． (4)当点表示的数为正数时，问是否为定值？如果是，求出这个值，如果不是，说明理由． 【答案】(1)，， (2)， (3)重合 (4)时，不是定值；时是定值， 【分析】本题考查了列代数式，两点间的距离公式，整式的加减运算，掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）易得多项式中三次项的系数为，那么可得的值，二次项系数为，则，、两点之间的距离为表示、两点的数的差的绝对值； （2）点表示的数为：点表示的数点的运动路程，点表示的数为：点表示的数点的运动路程； （3）把代入（2）中得到的代数式，计算后即可得到、两点的位置关系； （4）根据点表示的数为正数，当点到达点时停止运动，点也随之停止，可得的大致取值范围，进而表示出所求代数式，根据不同的取值范围可得所求代数式的值是否为定值． 【详解】（1）解：多项式是关于的二次多项式， ， ， 二次项系数为， ， 、两点之间的距离为， 故答案为：，，； （2）解：动点从点出发，在数轴上以每秒个单位长度的速度向右运动， 点表示的数为：， 动点从点出发，在数轴上以每秒个单位长度的速度向左运动， 点表示的数为：， 故答案为：，； （3）解：当时，点表示的数为，点表示的数为， 点和点重合； （4）解：当时，不是定值，当时，是定值，定值为，理由如下： ， 点表示的数为正数， ， ， 点到达点时停止运动，点也随之停止， ， 解得：， ， ， 当时，， 此时不是定值； 当时，， 此时是定值． 5．如图，数轴上，O点与C点对应点的数分别是0、60，将一根质地均匀的直尺放在数轴上（A在B的左边），若将直尺在数轴上水平移动，当A点移动到 B点的位置时，B点与C点重合，当B点移动到A点的位置时，A点与O点重合． (1)直尺的长为______个单位长度； (2)若直尺在数轴上，且满足B点与C点的距离等于B点与O点距离的3倍时，此时A点对应的数为______； (3)当A点对应的数为20时.作为起始位置，直尺以2单位/秒的速度沿数轴匀速向右运动，同时点P从点A出发，以m个单位/秒的速度也沿数轴匀速向右移动，设运动时间为t秒． ①若B、P、C三点恰好在同一时刻重合，则m的值为______； ②当时，B、P、C三个点中恰好有一个点到另外两点的距离相等，请直接写出所有满足条件的m的值． 【答案】(1) (2)或 (3)①4，② m值为，，，3， 【分析】（1）由题可知：，所以，则； （2）利用图形直观得出，根据等量关系式，列式可求解； （3）①先计算点B移动到点C所用时间，进而求得速度，即可求得m的值； ②分分别为，，的中点，根据距离相等列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，B点初始位置与C点的距离=直尺的长度=A点初始位置与O点的距离 ∴， ∴可将分成三等分，其中一份为直尺的长度，即， ∴单位长度． 故答案为：； （2）解：设B点表示的数为b， 则： 由题意可知： 即： 可得：或 解得：或 ，， 所以A点表示的数为或， 故答案为：或； （3）解：①A点对应的数为时，B点对应的数为 所以， 当B和C重合时，t值为秒 此时P点运动的距离为，P点对应的数为： 又因为此时P点与C点也重合，即： 解得：， 故答案为：4； ②当时， B点对应的数为，C点对应的数为60，P点对应的数为 i．时，，整理得： 即：，无解 或，解得 所以，m值为； ii．时，，整理得： 即：，解得 或，解得 所以，m值为或 iii．时，，整理得： 即：，解得 或，解得 所以，m值为1或3 综上：m值为，，，3，． 【点睛】本题考查了数轴上动点问题，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，数形结合，分类讨论是解题的关键． 6．已知A、B、P、Q是数轴上互不重合的四个点，如果或者，那么点P、Q叫做A、B两点的“黄金点”．数轴上点A表示的数如图①所示，A、B两点到原点的距离相等且位于原点异侧： (1)A、B两点所表示的数分别是_______，__________； (2)若点P表示的数为1，点Q在原点的右边，且点P、Q为点A、B的“黄金点”，则点Q表示的数为________； (3)如图②，已知点O表示的数是0，把一根长为3个单位长度的木条放在数轴上（点Q在点P的左侧），使得点P与点O重合．木条以每秒3个单位长度的速度沿数轴匀速向右运动，当木条全部驶出线段时，速度变为原来的，设木条运动时间为t，当点P、Q为点A、B的“黄金点”时，求满足条件的所有t的值． 【答案】(1)，； (2)或； (3)或． 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用等，理解“黄金点”的定义，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是关键． （1）由数轴可知A点所表示的数，再结合A、B两点到原点的距离相等且位于原点异侧，得到B点所表示的数； （2）先求出，，再根据“黄金点”的定义，分两种情况分别求解即可； （3）分三种情况讨论：①当时，木条都在线段上，②当时，木条上的点驶出线段，点仍在线段上，③当时，木条全部驶出线段，根据“黄金点”的定义分别求解即可 【详解】（1）解：由数轴可知，A点所表示的数是， 因为A、B两点到原点的距离相等且位于原点异侧， 所以B点所表示的数是， 故答案为：，； （2）解：若点P表示的数为1， 则，， 点P、Q为点A、B的“黄金点”， 当时，则，解得：， 因为点Q在原点的右边， 所以点Q表示的数为； 当时，则，解得：， 因为点Q在原点的右边， 所以点Q表示的数为； 综上可知，点Q表示的数为或； （3）解：由题意可知，若点P、Q为点A、B的“黄金点”， ①当时，木条都在线段上， 此时点P表示的数为，点Q表示的数为， 则或， 解得：（舍）或； ②当时，木条上的点驶出线段，点仍在线段上， 此时点P表示的数为，点Q表示的数为， 则或， 解得：（舍）或（舍）； ③当时，木条全部驶出线段， 此时点P表示的数为，点Q表示的数为， 则或， 解得：（舍）或； 综上可知，满足条件的t的值为或． 类型十、一元一次方程的新定义(选考)(解) 1．定义：若关于的一元一次方程的解为，则称该方程是“和解方程”．例如：的解为，且，则方程是“和解方程”． (1)判断是否是“和解方程”，并说明理由． (2)若关于的一元一次方程是“和解方程”，运用等式的性质求的值． 【答案】(1)是．理由见解析 (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的解的应用，能理解和解方程的意义是解此题的关键． （1）求出方程的解，再根据和解方程的意义得出即可； （2）根据和解方程得出关于的方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）解：是．理由如下： 因为，所以两边同时乘，得． 因为，所以是“和解方程”． （2）由题意，得是方程的解， 所以， 去括号，得， 移项，得 合并同类项，得． 2．定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程为“和谐方程”．例如：方程和为“和谐方程”． (1)方程与方程是“和谐方程”吗？请说明理由； (2)若关于x的方程与方程是“和谐方程”，求m的值； 【答案】(1)是，理由见解析 (2) 【分析】本题以新定义题型为背景，考查了一元一次方程的求解，熟记相关求解步骤是解题关键． （1）分别求出两方程的解，再根据“和谐方程”的定义解答即可； （2）分别求出两方程的解，再根据“和谐方程”的定义得到关于m的方程，解出即可． 【详解】（1）解：方程与方程是“和谐方程”，理由如下： 由，解得； 由，解得； ∵， ∴方程与方程是“和谐方程”． （2）解：由，解得； 由，解得； ∵方程与方程是“和谐方程”， ∴， 解得． 3．定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“对称方程”． (1)若关于的方程与方程是“对称方程”，求的值． (2)若关于的方程与方程是“对称方程”，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次方程的步骤，相反数的定义，也考查对题意的理解能力．掌握“关联方程”的定义是解题关键． （1）根据解一元一次方程的步骤，可用m表示出方程的解，再解出方程的解，最后结合“关联方程”的定义和相反数的定义，可得出关于m的方程，解出m的值即可； （2）根据解一元一次方程的步骤，可用m表示出两个方程的解，结合“关联方程”的定义和相反数的定义，可得出关于m的方程，解出m的值即可； 【详解】（1）解：， 移项，得：， 系数化为“1”，得：； ， 移项，合并同类项，得：． ∵方程与方程是“关联方程”， ∴， 解得：； （2）解：， 移项，得：， 系数化为“1”，得：； ， 移项，得：， 系数化为“1”，得：． ∵方程和方程是“关联方程”， ∴， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，合并同类项，得：， 解得：． 4．我们定义：若关于的方程的解与关于的方程的解满足，则称方程与方程是“美好方程”．例如：方程的解是，方程的解是，因为，方程与方程是“美好方程”． (1)请判断方程与方程是不是“美好方程”，并说明理由； (2)若关于的方程与关于的方程是“美好方程”，请求出的值； 【答案】(1)方程与方程不是“美好方程”，理由见解析； (2)的值为或． 【分析】（）分别求出方程的解，再判断，即可求解； （）先解出方程，再代入，求出的值，最后代入即可求出的值； 本题考查一元一次方程的解，理解新定义并熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键． 【详解】（1）解：方程与方程不是“美好方程”，理由， 由 ∴， 由 ∴， ∵， ∴方程与方程不是“美好方程”， （2）解：∵， ∴ ∴， ∵关于的方程与关于的方程是“美好方程”， ∴， ∴或， 当时，， ∴， 解得：； 当时， ∴， 综上可知：的值为或． 5．定义：如果两个方程的解相差，为正整数，则称解较大的方程为另一个方程的“通甫方程”，例如：方程是方程的“通甫方程”． (1)若方程是方程的“通甫方程”，则　　　　　； (2)若关于x的方程是关于x的方程的“通甫方程”，求的值； (3)当时，如果关于x方程是方程的“通甫方程”，求代数式的值． 【答案】(1)2 (2)1 (3) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，代数式求值， 掌握“通甫方程”的定义是解题的关键． （1）先分别解出两个一元一次方程，然后用较大的方程解减去较小的方程解即可得出答案． （2）先分别解出两个一元一次方程，再根据“通甫方程”的定义列出关于a的一元一次方程求解即可． （3）先分别解出两个一元一次方程，再根据“通甫方程”的定义得出，然后再代入代数式计算即可得出答案． 【详解】（1）解：，解得：， ，解得：， ∴ （2）解：，解得： ，解得：， 根据题意可知：， 解得：． （3）解：，解得：， ，解得：， 根据题意可知：， 整理得：． ∴ 6．定义：如果两个一元一次方程的解互为倒数，则称这两个方程互为“优雅方程”．例如：和互为“优雅方程” (1)判断：________（填“是”或“不是”） 的“优雅方程”． (2)若方程与关于x的方程互为“优雅方程”，求a的值． (3)若两个关于x的方程（m为正整数）与（n为负整数）互为“优雅方程”，求出所有满足条件的m、n的值． 【答案】(1)是 (2) (3)或或或 【分析】（1）解已知条件中的两个一元一次方程，然后根据“优雅方程”的定义进行判断即可； （2）先解已知条件中的两个方程，根据新定义，列出关于a的方程，解方程即可； （3）先解含有字母参数的两个方程，然后根据新定义，列出关于m，n的方程，解方程即可． 本题主要考查了一元一次方程的解，倒数，其他应用，解题关键是熟练掌握已知条件中的新定义． 【详解】（1）解：依题意，， 解得：， 则， 移项得， ∴， 解得， ∵和是互为倒数， ∴是方程的“优雅方程”， 故答案为：是； （2）解：依题意，， 去括号得， ∴， 解得， ∴， ∴， 则， ∴， 则， ∵方程与关于x的方程互为“优雅方程”，且的倒数是， ∴， ∴， 解得； （3）解：依题意，， ∴， ∴， 依题意，， ∴， ∴， ∵关于x的方程与互为“优雅方程”， ∴， ∴， ∴， ∵m为正整数，n为负整数， ∴ 或； 或； 或； 综上可知：或或或； 1 学科网（北京）股份有限公司 $