期中考前满分冲刺之解答题覆盖训练（42题）（十九种覆盖训练）-2025-2026学年七年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（人教版2024新教）

期中考前满分冲刺之解答题覆盖训练 思维导图 覆盖训练01:在数轴上表示数并比较大小 1．在数轴上画出表示下列各数的点，并用“<”把这些数连接起来．2，，，1.6，0，． 2．在如图所示的数轴上表示下列各数，并用“”将它们连起来． 4，，，． 覆盖训练02:相反数、倒数、绝对值的结合应用 3．若a，b互为倒数，x，y互为相反数，，求的值． 4．已知、互为相反数，、互为倒数，的绝对值等于2，求：的值． 覆盖训练03:新定义运算 5．定义一种新运算“”，规则为，例如：，解答下列问题： (1)； (2)． 6．定义一种新运算：观察下列各式，并解决问题， ； ； ． 请你想一想： (1)________； (2)若，那么____，（填“”或“”）； (3)计算：． 覆盖训练04:有理数的实际应用 7．教师节当天，出租车司机小王在东西向的街道上免费接送教师，规定向东为正，向西为负，当天出租车的行程如下（单位：千米）：，，，，，，，． (1)将最后一名老师送到目的地时，小王距出发地多少千米？方位如何？ (2)若汽车耗油量为升千米，则当天耗油多少升？若汽油价格为元升，则小王共花费了多少元钱？ 8．在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从地出发，晚上到达地，约定向东记为正，向西记为负，当天的航行路程记录如下（单位：千米）： ． (1)请你帮忙确定地相对于地的位置； (2)若冲锋舟每千米耗油0.5升，早上出发前油箱油量为19升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？ 覆盖训练05:有理数分类 9．把下列各数分别填入相应的括号内： ，，，0，，，，，，，． (1)正数：{             }． (2)整数：{             }． (3)负分数：{             }． (4)负数：{             }． 10．把下列各数填在相应的横线上：，，，，，，，． (1)正数：______________________． (2)负数：______________________． (3)既不是正数也不是负数：___________． (4)整数：_______________________． 覆盖训练06:代数式表示数并计算 11．如图，某中学为美化校园环境，计划在一块长为15米，宽为12米的空地上修建一个长方形喷泉，喷泉的周围修建等宽的小路，路宽为a米． (1)喷泉的长和宽各为多少米？（用含a的代数式表示） (2)用含a的代数式表示喷泉的周长，并求出当米时，喷泉的周长． 12．四季上东小区，为美化环境，提高居民区生活质量，要建一个居民休闲广场（平面图如图所示），广场中间是一个正方形，边长为x米，以正方形的各边为长建四个长方形长廊（图中阴影部分），长方形的宽为y米，且广场的四角为四个扇形． (1)求该休闲广场的占地面积（用含x、y的式子表示） (2)现计划在正方形区域上建雕塑和花坛，平均每平方米造价为2100元，在四个相同的矩形区域上铺设花岗岩，平均每平方米造价为105元，在四个扇形区域上铺设草坪，平均每平方米造价为40元，该工程总造价多少钱？（用含x、y的式子表示） 覆盖训练07:墨迹覆盖问题 13．【教材呈现】下面是华师版七年级上册数学教材第38页的“第6题”内容． 6．求出下列每对数在数轴上的对应点之间的距离： (1)与；        (2)与；    (3)与；    (4)与． 你能发现所得的距离与这两数的差有什么关系吗？ 【阅读完成】下面是聪聪同学在完成第38页的“第6题”内容后，写的一篇数学日记，其中一部分不小心被墨迹所覆盖，请你把覆盖部分补充完整． 9月20日星期二晴 我发现，数轴上，若，两点分别表示数，，那么，两点之间的距离与，两数的差有如下关系：或． 我认识到，数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，这样能够用“数形结合”的方法解决一些问题． 我自编自答了如下这个问题： 如图，数轴上的点，分别表示有理数，．    (1)求，两点之间的距离． 解：因为在数轴上，点表示的数是，点表示的数是，    (2)点为数轴上一点，且，请你求出点所表示的数． 解：   14．小乐和小程分别化简两个代数式，小乐化简后的代数式A为其中的系数被墨迹●覆盖了，小程待化简的代数式B为“”，小乐原来打算重新化简一次代数式A．此时有以下对话： 小程说：我记得如果知道代数式A的值，就可以知道代数式B的值了． 小乐说：你这样说的话，我就知道被墨迹覆盖的系数是多少了． 根据以上的对话，请回答下列问题： (1)求被墨迹●覆盖的系数． (2)当代数式A的值为2时，求代数式B的值． 覆盖训练08:一元一次方程的应用(选考) 15．小红正在读一本故事书，第一天读了全书的，第二天读了全书的，还剩10页没读完，这本故事书一共多少页？ 16．A、B两地相距，一列快车以的速度从A地匀速驶往B地，到达B地后立刻原路原速返回A地，一列慢车以的速度从地匀速驶往A地．两车同时出发，截止到它们都到达终点时 (1)经过多长时间两车第一次相遇？ (2)经过多长时间两车第二次相遇？ (3)两车恰好相距时，行驶了多长时间？ 覆盖训练09:代数式的水、电收费问题 17．某市居民生活用水费用由“城市供水费”和“污水处理费”两部分组成，为了鼓励市民节约用水，其中城市供水费按阶梯式计费：一个月用水10吨以内（包括10吨）的用户，每吨收元；一个月用水超过10吨的用户，10吨水仍按每吨元收费，超过10吨的部分，按每吨2元收费．另外污水处理费一律按每吨元收取． (1)某居民10月份用水6吨，应交水费多少元？11月份用水20吨，应交水费多少元？ (2)若某户某月用水x吨，请你用含有x的代数式表示应交的水费． 18．为响应国家节能减排的号召，鼓励人们节约用电，保护能源，某市实施用电“阶梯价格”收费制度．收费标准如表： 居民每月用电量 单价（元/度） 不超过50度的部分 0.5 超过50度但不超过200度的部分 0.6 超过200度的部分 0.8 已知小刚家上半年的用电情况如表（以200度为标准，超出200度记为正、低于200度记为负）： 一月份 二月份 三月份 四月份 五月份 六月份 根据上述数据，解答下列问题： (1)小刚家用电量最多的是______月份，实际用电量为______度； (2)小刚家一月份应交纳电费______元； (3)若小刚家七月用电量为度，求小刚家七月份应交纳的电费（用含的代数式表示）． 覆盖训练10:代数式的整体思想 19．【阅读材料】“我们知道计算，我们可以这样解． 【类比模仿】类似材料方法，把看成一个整体：． 【尝试应用】仿照上面的解题方法，完成下面的问题． (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 20．阅读材料：代数式运算中：，，类似的，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． (1)把看成一个整体，计算：； (2)已知，求的值； (3)已知，，，求的值． 覆盖训练11:数轴点的重合问题 21．数轴是数学中重要的工具，它建立了数与点之间的对应关系，是“数形结合”的基础．小明在草稿纸上画了一条数轴并进行如下操作探究：在一条可以折叠的数轴上，表示的数分别是，4． (1)若点在之间且，则点表示的数为 ； (2)若将此数轴沿着某一点折叠，使点A与点B重合，则表示的点与 表示的点重合； (3)如图，以点为折点，将此数轴向右对折，且点在点的右边，且，则点表示的数是 ． 22．如图，按下列方法将数轴的正半轴绕在一个圆上（该圆的周长为个单位长度，且在圆周的三等分点处分别标上数字，，）．先让原点与圆周上数字所对应的点重合，再将正半轴按顺时针方向绕在该圆周上，使数轴上，，，，所对应的点分别与圆周上数字，，，，所对应的点重合这样，正半轴上的整数就与圆周上的数字建立了一种对应关系． (1)若圆周上的数字与数轴上的对应，则 (2)若数轴绕圆周圈后，数轴上的一个整数所对应的点刚好落在圆周上数字所对应的点的位置，求这个整数． 覆盖训练12:代数式的数字规律 23．观察下面三行数： ；① ；② ；③ 观察发现：每一行的数都是按一定的规律排列的．通过你发现的规律，解决下列问题． (1)第①行的第8个数是_____； (2)第②行的第个数是_____； (3)取每行数的第10个数，计算这三个数的和． 24．观察下列等式：，，，将以上三个等式两边分别相加得． (1)猜想并写出：______（用含n的代数式表示）； (2)______； (3)探究并计算：． 覆盖训练13:代数式的图形规律 25．用同样大小的两种不同颜色的正方形纸片，按如图方式拼正方形． 第①个图形中有1张正方形纸片； 第②个图形中有（张）正方形纸片： 第③个图形中有（张）正方形纸片； 第④个图形中有（张）正方形纸片； … (1)根据上面的发现我们可以猜想：第5个图形中有________张正方形纸片（直接写出结果）． (2)请根据你的发现计算：①；②． 26．综合探究 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法． 如图1所示，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，以此类推… (1)根据图形填写下表； ① ② ③ 阴影面积 面积 ______ (2)计算：；（请写出计算过程） (3)类比：小华在计算时利用了如图2所示的正方形模型． 设正方形的面积为1，第1次分割，把正方形的面积三等分，阴影部分的面积为；第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积三等分，阴影部分的面积之和为；第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积三等分，阴影部分的面积之和为；… ①第n次分割后，空白部分的面积是______； ②由此计算的值． (4)拓展：计算______． 覆盖训练14:整除问题 27．若四位数满足，则称这样的四位数为“和谐四位数”．例如：四位数2154，因为，所以四位数2154是和谐四位数． (1)填空：3122___________和谐四位数（填“是”或“不是”）； (2)若是和谐四位数，将的千位数字与个位数字对调，百位数字与十位数字对调后，得到一个新的四位数，求证：与的和一定能被101整除． 28．【回顾已有经验】 图片是教科书第106页“活动2自然数被3整除的规律”的一部分． 活动2  自然数被3整除的规律 在小学，我们知道像12，27，36，45，108，…这样的自然数能被3整除．一般地，如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除．你能说出其中的道理吗？ 先来看两位数的情形． 若一个两位数的十位、个位上的数字分别为a，b，则通常记这个两位数为．于是 ． 显然9a能被3整除，因此，如果能被3整除，那么就能被3整除，即能被3整除． 【发表个性观点】 小明利用学习经验，提出了一个观点：“一个自然数所有数位上的数字之和能被9整除，那么这个自然数就能被9整除”． （1）请你以三位数为例，说明小明的观点是否正确． 【尝试理解事实】 小强从数学课外读物中看到了这样一份材料：数字a，b，c组成一个三位数，去掉末位数字c，得到两位数，再用加上c的2倍，所得的和为，若是19的倍数，则原数就被称为“生命数”．实际上，“生命数”也可以是四位数，五位数，…，判断一个数是不是“生命数”，可以仿照上面的程序，如果第三步所得的和太大或心算不易看出是否是19的倍数，就需要继续进行上述“截尾、倍大、相加、验和”的过程，直到能清楚判断为止． （2）请你运用这个方法判断12008是不是“生命数”． 【应用并提出新发现】 （3）请直接判断“在数12008的两个0之间添加1个3或2个3，所得的数都是生命数”是否正确．___（填“正确”或“不正确”） （4）根据以上经验，你可以探索得到一个新的关于“生命数”的结论是______． 覆盖训练15:打折优惠问题 29．某商店的促销方式如下： 一次性所购物品的原价 优惠办法 不超过200元 没有优惠 超过200元，但不超过600元 200元部分没有优惠，超过200元部分打九折优惠 超过600元 所购物品可以协商打折优惠，但不低于七五折 (1)小张一次性所购物品的原价为500元，他实际付款__________元； (2)老王和小赵一起前往该商店购物，两人所购的物品各自付款需180元和425元，两人合在一起后共付款504元，问商店给他们打了几折？ 30．某商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件售价35元，且利润为进价的；乙种商品每件进价30元，进价比售价少． (1)求每件甲种商品的进价及每件乙种商品的售价分别是多少元？ (2)该商场购进甲、乙两种商品共100件，且乙种商品比甲种商品少，若全部卖出，求该商场的利润是多少元？ (3)在元旦期间，该商场对甲、乙两种商品进行如下优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过300元 不优惠 超过300元且不超过400元 售价一律打九折 超过400元 售价一律打八折 按上述优惠条件，若小李第一天只购买甲种商品一次性付款210元，第二天只购买乙种商品打折后一次性付款360元，那么这两天他在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件？ 覆盖训练16:绝对值的最值问题 31．认真阅读下面的材料，完成有关问题． 材料：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5、在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数、，那么A、B之间的距离可表示为． 问题1：点A、B、C在数轴上分别表示有理数：、、3，那么A到B的距离是_________，A到C的距离是_________．（直接填最后结果） 问题2：点A、B、C在数轴上分别表示有理数、、1，那么A到B的距离与A到C的距离之和可表示为_________（用含绝对值的式子表示）． 问题3：利用数轴探究： ①找出满足的的所有值是_________； ②设，当的值取在不小于且不大于3的范围时，的值是不变的，而且是的最小值，这个最小值是_________；当的值取在_________的范围时，的最小值是_________． 32．我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点，分别用数表示，那么两点之间的距离为，反过来式子的几何意义是：数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离． (1)利用此结论，回答以下问题． ①数轴上表示2和5的两点之间的距离是______，数轴上表示1和的两点之间的距离是______； ②数轴上表示和的两点和之间的距离是______，如果，那么为______； (2)探索规律：①当有最小值是______； ②当有最小值是______； ③当有最小值是______； (3)知识迁移：最大值是______，最小值是______． 33．我们知道，在数轴上，表示数a到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点A、B，分别用a、b表示，那么A、B两点之间的距离为：．利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示和的两点之间的距离是_______． (2)数轴上表示x和−3的两点A、B之间的距离是_______． (3)式子的最小值是_______． (4)结合数轴求的最小值为_______，此时符合条件的整数为_______． (5)结合数轴求的最小值为_______，最大值为_______． 覆盖训练17:数轴动点求t 34．我们规定：数轴上的三个点，若其中一个点到另外两个点之间的距离恰好满足3倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“快乐点”．例如数轴上点所表示的数分别为2，5，6，此时点是点的“快乐点”．若点表示数，点表示数30． (1)点是数轴上位于点的右侧，且点是点的“快乐点”，则点表示的数为 ； (2)若动点、分别从点、位置同时出发，分别以每秒1个单位长度、每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，运动时间为秒． ①当点运动多少秒时，点追上点？ ②在运动过程中，求出点运动多少秒时点成为点的“快乐点”？ 35．如图，已知点A、B、C是数轴上的三个点． (1)请直接写出点A、C所表示的数； (2)在此数轴上有点M、P、Q三个动点同时出发运动，其中，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动；动点P、Q分别从点B、C处同时出发，分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度沿数轴向右运动． ①写出运动秒时，点所表示的数（用含有的式子表示）； ②若点P与点M之间的距离表示为，点P与点Q之间的距离表示为．试探究：的值是否随时间的变化而变化？若不变，求出其值. 36．如图，在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，的相反数是，且、满足． (1)___________；___________； (2)若数轴上有一点为线段的三等分点（点在线段内），求点表示的数是多少？ (3)点、、开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，是否存在常数，使为定值，若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 覆盖训练18:一元一次方程的新定义(选考) 37．【定义】如果两个有理数的和等于这两个有理数的商，那么这两个有理数就叫做“等和商数对”．即：如果，那么与就叫做“等和商数对”，记为．例如：，则称数对是“等和商数对”． (1)下列数对：①，②，其中是“等和商数对”的是___________（填序号）； (2)若是“等和商数对”，求的值． 38．定义：如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程互为“美好方程”． 例如：方程的解为，方程的解为．因为，即这两个方程的解之和为，所以这两个方程互为“美好方程”． (1)请判断方程与方程是否互为“美好方程”． (2)若关于的方程与方程互为“美好方程”，求的值． (3)若方程与方程互为“美好方程”，求关于的方程的解． 39．【新型定义】若，则称与是关于7的“奇妙数”． 例如：如果，那么与是关于7的“奇妙数”． (1)【初步探究】求①5与___________是关于7的“奇妙数”； ②___________与是关于7的“奇妙数”； ③与___________是关于7的“奇妙数”； (2)【拓展提升】若与是关于7的“奇妙数”，求的值． 覆盖训练19:算筹问题 40．我国在数的发展上有辉煌的历史，其中算筹计数法可追溯到公元前五世纪．算筹是竹制的小棍，摆法有横式和纵式两种(如图)．它计数的方法是∶摆个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横……这样纵横依次交替，零以空格表示．如，表示为；如，表示为． (1)请用算筹表示数(在图中画出) (2)用三根算筹表示一个两位数(用完三根算筹)，在图的方框中画出四种满足要求的图形，并在下方的横线上填上所表示的数． 41．算筹是我国古代一种常用的数学工具，古人通常用算筹记数和进行数的简单运算．如图1，用算筹表示数字有两种方式：纵式和横式．我们可以使用纵横交替的十进制记数法表示数字．具体而言，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，依此类推．数字0要空位，在个位数上划上斜线以表示负数． 如“”表示38，“”表示1983． 【观察思考】 （1）请写出图2，图3中算筹表示的数为______，______． （2）利用算筹可以进行简单的加法运算，请同学们观察的计算步骤，并在第5步中填入正确的算筹摆放方式． 【迁移运用】 《孙子算经》对算筹乘法有详细阐述．将被乘数放在上排（上位），乘数放在下排（下位），乘数的个位对齐被乘数的最高位．上下排之间，留空几排，作中间积存放处．下图即为计算的演示步骤： （3）试用算式解释“利用算筹进行乘法运算”的原理； 【总结提升】 （4）观察以上计算过程，对比我们现在所使用的竖式计算，你有什么发现，请写出你的发现． 42．综合与实践 【发现问题】 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．中国的甲骨文、算筹、八卦，古巴比伦的楔形数字，古希腊的字母计数等都蕴含着进位制，它们是数学史上的伟大创造．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，即“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．“屈指可数”与十进制有关，“半斤八两”与十六进制有关，计算机内部都使用二进制． 【提出问题】 不同进位制的数之间能否互相转换？如何转换？ 【算法理解】 无论哪种进位制，都有一种固定的算法，我们以十进制的数为例来理解．因为十进制是逢十进一，所以十进制每相邻的两个计数单位之间的进率都为十．例如，十进制数中的表示个千，表示个百，表示个十，表示个一，于是我们得到下面的式子：．（注：，为非有理数） 【初步应用】 国际数学教育大会是全球数学教育界水平最高、规模最大的学术盛会，每四年一届，于年在上海举办，这是国际数学教育大会第一次在中国举办．大会标识（图1）中蕴含着很多数学文化元素，以中国传统文化中“洛书”与“河图”为原本，并将其与体现我国早期哲学思想的八卦进行了融合．体现了我国传统文化的博大精深．大会标识右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数．八进制是以作为进位基数的数字系统，有共个基本数字．八进制数换算成十进制数是，表示的举办年份．八进制数换算成十进制数是①______． 【实际应用】　 （1）请你根据以下材料，完成十进制数与二进制数的转换：将一个十进制的数转换为二进制的数，只需把该数写成若干个的和，依次写出或即可，例如十进制数可以按下述方法转换为 二进制数：． 二进制数可以转换成十进制数：． ②将十进制数化成二进制数______；（要求写出过程） ③将二进制数化成十进制数______．（要求写出过程） （2）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”． （i）如图2，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，采取满七进一的方式，用来记录孩子自出生后的天数．例如图3表示的是孩子出生后天时打绳结的情况（），那么由图4可知，孩子自出生后的天数是④_____． （ii）小庆同学周末去劳动实践基地采摘果子，准备采用“结绳计数”的方法来记录采摘果子的数量．已知他采摘的果子有颗，采取的是满五进一的方式，请你通过计算帮小庆画出此时绳子的打结图．⑤______．（请写出计算过程） 【项目实施】 根据以上分析，请将上述材料中横线上所缺内容补充完整： ①________；②________；③________；④________；⑤________． 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中考前满分冲刺之解答题覆盖训练 思维导图 覆盖训练01:在数轴上表示数并比较大小 1．在数轴上画出表示下列各数的点，并用“<”把这些数连接起来．2，，，1.6，0，． 【答案】见解析， 【分析】本题考查了数轴、绝对值和利用数轴比较有理数的大小．在数轴上进行表示，再根据各数在数轴上的位置即可比较大小． 【详解】解：各数在数轴上表示如下： 由数轴可知：． 2．在如图所示的数轴上表示下列各数，并用“”将它们连起来． 4，，，． 【答案】，图见解析 【分析】本题主要考查有理数大小比较，在数轴上表示数，解题的关键在于根据题意画出数轴，并在数轴上正确表示数． 先在数轴上表示出各数，然后依据数轴上右边的数总大于左边的数进行比较即可． 【详解】解：∵，， ∴各数在数轴上表示如下图： 依据数轴上右边的数大于左边的数可得，． 覆盖训练02:相反数、倒数、绝对值的结合应用 3．若a，b互为倒数，x，y互为相反数，，求的值． 【答案】或2 【分析】本题考查倒数，相反数，绝对值，有理数的加减，掌握这些知识点是解题的关键． 根据倒数，相反数，绝对值，得到，，，再分类讨论：①当时，②当时，逐一计算即可． 【详解】解：∵a，b互为倒数，x，y互为相反数，， ∴，，， ①当时，原式， ②当时，原式， 综上所述，的值为或2． 4．已知、互为相反数，、互为倒数，的绝对值等于2，求：的值． 【答案】1或 【分析】本题考查了相反数，绝对值的化简，倒数，代数式的值，有理数的乘法，熟练掌握相反数，倒数的性质是解题的关键． 根据相反数的两个数的和为0，互为倒数的两个数的积为1，绝对值的意义计算即可． 【详解】解：、互为相反数，、互为倒数，的绝对值等于2， ∴，或， ∴当时， ； 当时， ， 综上，的值为1或． 覆盖训练03:新定义运算 5．定义一种新运算“”，规则为，例如：，解答下列问题： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了新定义，有理数加法、乘法运算，根据新定义正确列出算式求解是解题的关键． （）根据新定义可得，然后通过运算法则即可求解； （）先求出，然后算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∴ ， ∴． 6．定义一种新运算：观察下列各式，并解决问题， ； ； ． 请你想一想： (1)________； (2)若，那么____，（填“”或“”）； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，新定义运算，理解并熟练应用新定义是解题的关键． （1）利用新运算的定义进行运算即可； （2）利用新运算的定义进行运算，比较结果即可得出结论； （3）利用新运算的定义运算小括号，再利用新运算的定义运算即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）解：，， ， ， ，即， ， 故答案为：； （3）解： ． 覆盖训练04:有理数的实际应用 7．教师节当天，出租车司机小王在东西向的街道上免费接送教师，规定向东为正，向西为负，当天出租车的行程如下（单位：千米）：，，，，，，，． (1)将最后一名老师送到目的地时，小王距出发地多少千米？方位如何？ (2)若汽车耗油量为升千米，则当天耗油多少升？若汽油价格为元升，则小王共花费了多少元钱？ 【答案】(1)小王距出发地西边千米； (2)当天耗油升，共花费元． 【分析】本题考查了正负数的应用，有理数运算的应用，绝对值的意义，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据题意列出算式，然后通过运算法则即可求解； （）先根据绝对值意义求出汽车的总路程，然后通过有理数乘法分别求出耗油和花费即可． 【详解】（1）解：， 答：小王距出发地西边千米； （2）解：汽车的总路程是：（千米）， 耗油：（升）， 花费：（元）， 答：当天耗油升，共花费元． 8．在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从地出发，晚上到达地，约定向东记为正，向西记为负，当天的航行路程记录如下（单位：千米）： ． (1)请你帮忙确定地相对于地的位置； (2)若冲锋舟每千米耗油0.5升，早上出发前油箱油量为19升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？ 【答案】(1)地在地的正东方向，距A地12千米 (2)还需补充多少升油 【分析】本题考查有理数运算的实际应用．读懂题意，正确列出算式是关键． （1）将所有数据相加，根据和的情况，进行判断； （2）将所有数据的绝对值相加，得到总路程，再乘以每千米的油耗，求出总油耗，再进行判断即可． 【详解】（1）解：（千米）， ∴地在地的正东方向，距A地12千米； （2）解：冲锋舟当天的航行的总路程为：（千米）， 总耗油量为（升）， （升）， ∴还需补充多少升油． 覆盖训练05:有理数分类 9．把下列各数分别填入相应的括号内： ，，，0，，，，，，，． (1)正数：{             }． (2)整数：{             }． (3)负分数：{             }． (4)负数：{             }． 【答案】(1)，，，，， (2)，0， ， (3)， (4)， ， ，． 【分析】本题主要考查了有理数分类，掌握正数、整数、负分数、负数的定义是解题的关键． 根据正数、整数、负分数、负数的定义分类即可． 【详解】（1）解：正数有： ，，，，，； （2）解：整数有： ，0， ， ； （3）解：负分数有：， ． （4）解：负数：， ， ，． 10．把下列各数填在相应的横线上：，，，，，，，． (1)正数：______________________． (2)负数：______________________． (3)既不是正数也不是负数：___________． (4)整数：_______________________． 【答案】(1)，，， (2)，， (3)0 (4)66，，0 【分析】本题考查了正负数的定义，解题关键是明确正负数的定义，大于0的数是正数，在正数前面添一个负号的数叫负数，0既不是正数也不是负数，解题时根据正负数的概念直接判断即可． 【详解】（1）解：根据正数的概念知，正数有：，，，； 故答案为： ，，，； （2）解：根据负数的概念知，负数有：，，； 故答案为：，，； （3）解：既不是正数也不是负数的是0； 故答案为：0； （4）解：整数有66，，0； 故答案为：66，，0． 覆盖训练06:代数式表示数并计算 11．如图，某中学为美化校园环境，计划在一块长为15米，宽为12米的空地上修建一个长方形喷泉，喷泉的周围修建等宽的小路，路宽为a米． (1)喷泉的长和宽各为多少米？（用含a的代数式表示） (2)用含a的代数式表示喷泉的周长，并求出当米时，喷泉的周长． 【答案】(1)喷泉的长为米，宽为米 (2) 喷泉的周长为米，当时，周长为35.6米 【分析】本题主要考查了根据题意列代数式并求值，整式加减运算，列出代数式是解题的关键． （1）列出长为：，宽为：，即可求解； （2）可求周长为，化简代值计算，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：长为：（米）， 宽为：（米）， 答：喷泉的长为米，宽为米； （2）由题意得： 喷泉的周长为： 当时，原式． 故当米时，喷泉的周长为米． 12．四季上东小区，为美化环境，提高居民区生活质量，要建一个居民休闲广场（平面图如图所示），广场中间是一个正方形，边长为x米，以正方形的各边为长建四个长方形长廊（图中阴影部分），长方形的宽为y米，且广场的四角为四个扇形． (1)求该休闲广场的占地面积（用含x、y的式子表示） (2)现计划在正方形区域上建雕塑和花坛，平均每平方米造价为2100元，在四个相同的矩形区域上铺设花岗岩，平均每平方米造价为105元，在四个扇形区域上铺设草坪，平均每平方米造价为40元，该工程总造价多少钱？（用含x、y的式子表示） 【答案】(1)平方米 (2)元 【分析】本题主要考查了列代数式，理解题意，是解题的关键． （1）根据正方形面积公式，圆的面积公式，长方形面积公式列出代数式即可； （2）分别求出三个区域的面积，再根据各部分的造价，求出该工程总造价即可． 【详解】（1）解：该休闲广场的占地面积为：平方米； （2）解：该工程总造价为： 元． 覆盖训练07:墨迹覆盖问题 13．【教材呈现】下面是华师版七年级上册数学教材第38页的“第6题”内容． 6．求出下列每对数在数轴上的对应点之间的距离： (1)与；        (2)与；    (3)与；    (4)与． 你能发现所得的距离与这两数的差有什么关系吗？ 【阅读完成】下面是聪聪同学在完成第38页的“第6题”内容后，写的一篇数学日记，其中一部分不小心被墨迹所覆盖，请你把覆盖部分补充完整． 9月20日星期二晴 我发现，数轴上，若，两点分别表示数，，那么，两点之间的距离与，两数的差有如下关系：或． 我认识到，数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，这样能够用“数形结合”的方法解决一些问题． 我自编自答了如下这个问题： 如图，数轴上的点，分别表示有理数，．    (1)求，两点之间的距离． 解：因为在数轴上，点表示的数是，点表示的数是，    (2)点为数轴上一点，且，请你求出点所表示的数． 解：   【答案】(1)A，B两点之间的距离为7； (2)点C所表示的数为8或． 【分析】本题考查了数轴与实数，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，绝对值的意义是解题关键． （1）根据题意，即可求出A，B两点之间的距离； （2）设点C所表示的数为，根据题意可得，求解即可得到点C所表示的数． 【详解】（1）解：因为在数轴上，点A表示的数是2，点B表示的数是， 所以A，B两点之间的距离为：； （2）解：设点C所表示的数为， 点C为数轴上一点，且， ， 或， 或， 即点C所表示的数为8或． 14．小乐和小程分别化简两个代数式，小乐化简后的代数式A为其中的系数被墨迹●覆盖了，小程待化简的代数式B为“”，小乐原来打算重新化简一次代数式A．此时有以下对话： 小程说：我记得如果知道代数式A的值，就可以知道代数式B的值了． 小乐说：你这样说的话，我就知道被墨迹覆盖的系数是多少了． 根据以上的对话，请回答下列问题： (1)求被墨迹●覆盖的系数． (2)当代数式A的值为2时，求代数式B的值． 【答案】(1)1 (2)14 【分析】本题主要考查了整式的化简求值： （1）先把代数式B去括号，然后合并同类项化简得到，再根据小程的说法可得代数式即为，据此可得答案； （2）根据（1）所求可得，据此代值计算即可． 【详解】（1）解： ， ∵知道代数式A的值，就可以知道代数式B的值了， ∴代数式即为， ∴被墨迹●覆盖的系数为1； （2）解：∵代数式A的值为2， ∴， ∴， ∴代数式B的值为14． 覆盖训练08:一元一次方程的应用(选考) 15．小红正在读一本故事书，第一天读了全书的，第二天读了全书的，还剩10页没读完，这本故事书一共多少页？ 【答案】这本故事书有页 【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．设这本故事书有x页，根据题意两天读的页数加上剩下的页数就是全书的页数列方程求解即可． 【详解】解：设这本故事书有x页， 则， 解得， 答：这本故事书有页． 16．A、B两地相距，一列快车以的速度从A地匀速驶往B地，到达B地后立刻原路原速返回A地，一列慢车以的速度从地匀速驶往A地．两车同时出发，截止到它们都到达终点时 (1)经过多长时间两车第一次相遇？ (2)经过多长时间两车第二次相遇？ (3)两车恰好相距时，行驶了多长时间？ 【答案】(1)经过两车第一次相遇； (2)经过两车第二次相遇； (3)两车恰好相距时，行驶了或或或或． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用． （1）根据题意得，解方程即可求解； （2）根据题意得，解方程即可求解； （3）设两车相距时，行驶的时间为t小时，相距要从相遇前和相遇后；追及前和追及后，快车已到终点几个方面考虑，共计5种情况，经计算检验数据是否符合题意． 【详解】（1）解：设行驶的时间为t小时， 由题意得：， 解得； 答：经过两车第一次相遇； （2）解：设行驶的时间为t小时， 由题意得：， 解得； 答：经过两车第二次相遇； （3）解：设两车相距时，行驶的时间为t小时，依题意得： ①当快车从A地开往B地，慢车从B地开往A地，两车相距时，则有：， 解得； ②当快车继续开往B地，慢车继续开往A地，相遇后背离而行，两车相距时， ， 解得； ③快车从A地到B地全程需要小时，此时慢车从B地到A地行驶， ∵ ∴快车又从B地返回A地是追慢车，则有： ， 解得； ④快车追上慢车后并超过慢车相距时，则有， 解得； ⑤快车返回A地终点所需时间是10小时，此刻慢车行驶了，距终点还需 行驶，则有：， 解得． 综上所述，两车恰好相距时，行驶了或或或或． 覆盖训练09:代数式的水、电收费问题 17．某市居民生活用水费用由“城市供水费”和“污水处理费”两部分组成，为了鼓励市民节约用水，其中城市供水费按阶梯式计费：一个月用水10吨以内（包括10吨）的用户，每吨收元；一个月用水超过10吨的用户，10吨水仍按每吨元收费，超过10吨的部分，按每吨2元收费．另外污水处理费一律按每吨元收取． (1)某居民10月份用水6吨，应交水费多少元？11月份用水20吨，应交水费多少元？ (2)若某户某月用水x吨，请你用含有x的代数式表示应交的水费． 【答案】(1)10月份：元；11月份：48元 (2)时，交元；时，交元 【分析】考查了列代数式，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．关系为：应交水费=城市供水费+污水处理费． （1）根据一个月用水10吨以内（包括10吨）的用户，每吨收元，一个月用水超过10吨的用户，10吨水仍按每吨元收费，超过10吨的部分，按每吨2元收费和污水处理费每吨元，列式计算即可； （2）分两种情况讨论，当时和时，分别根据已知条件列式整理即可． 【详解】（1）（1）10月份：（元） 11月份： （元） （2）当用水量不超过10吨时，水费为（元） 当用水量超过10吨时，水费为 元 18．为响应国家节能减排的号召，鼓励人们节约用电，保护能源，某市实施用电“阶梯价格”收费制度．收费标准如表： 居民每月用电量 单价（元/度） 不超过50度的部分 0.5 超过50度但不超过200度的部分 0.6 超过200度的部分 0.8 已知小刚家上半年的用电情况如表（以200度为标准，超出200度记为正、低于200度记为负）： 一月份 二月份 三月份 四月份 五月份 六月份 根据上述数据，解答下列问题： (1)小刚家用电量最多的是______月份，实际用电量为______度； (2)小刚家一月份应交纳电费______元； (3)若小刚家七月用电量为度，求小刚家七月份应交纳的电费（用含的代数式表示）． 【答案】(1)五，239 (2)91 (3)当时，七月份应交纳的电费为元；当时，七月份应交纳的电费为（元）；当时，七月份应交纳的电费为（元） 【分析】本题考查列代数式、正数和负数，理解题意并掌握正数和负数相反的意义、根据题意列出代数式是解题的关键． （1）比较这些记录的大小，最大的数对应的月份用电量最多，标准该数值就是实际用电量； （2）先计算小刚家一月份的用电量，再根据收费标准计算应缴纳的电费即可； （3）根据收费标准，分别讨论当、、时应交纳的电费即可． 【详解】（1）解：∵， ∴小刚家用电量最多的是五月份，实际用电量为（度）． 故答案为：五，239． （2）解：（度）， （元）， ∴小刚家一月份应交纳电费91元． 故答案为：91． （3）解：当时，七月份应交纳的电费为元； 当时，七月份应交纳的电费为（元）； 当时，七月份应交纳的电费为（元）． 覆盖训练10:代数式的整体思想 19．【阅读材料】“我们知道计算，我们可以这样解． 【类比模仿】类似材料方法，把看成一个整体：． 【尝试应用】仿照上面的解题方法，完成下面的问题． (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查的知识点是已知式子的值，求代数式的值，解题关键是熟练运用整体思想． （1）把变形为，再把整体代入即可； （2）把化简为，再把整体代入即可． 【详解】（1）解：原式 当时，原式 （2）原式 当时，原式． 20．阅读材料：代数式运算中：，，类似的，我们把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． (1)把看成一个整体，计算：； (2)已知，求的值； (3)已知，，，求的值． 【答案】(1) (2)7 (3)21 【分析】本题主要考查了整式的加减运算，已知式子的值求代数式的值，学会整体代入思想是解题的关键． （1）根据题意合并同类项即可． （2）把式子变形成，然后整体代入求解即可． （3）把式子变形，然后整体代入式子求解即可． 【详解】（1）解：把看成一个整体， 则 （2）解：∵， ∴ （3）解： ， ∵，，， ∴原式 覆盖训练11:数轴点的重合问题 21．数轴是数学中重要的工具，它建立了数与点之间的对应关系，是“数形结合”的基础．小明在草稿纸上画了一条数轴并进行如下操作探究：在一条可以折叠的数轴上，表示的数分别是，4． (1)若点在之间且，则点表示的数为 ； (2)若将此数轴沿着某一点折叠，使点A与点B重合，则表示的点与 表示的点重合； (3)如图，以点为折点，将此数轴向右对折，且点在点的右边，且，则点表示的数是 ． 【答案】(1)0 (2)16 (3) 【分析】本题考查数轴，在数轴上表示有理数，折叠，掌握知识点是解题的关键． （1）先求出，，则，得到点表示的数为，即可解答； （2）先求出折叠点为，得到到折叠点的距离，则折叠后的对应点与的距离为18，即可解答； （3）先求出折叠后点A表示的数为，可得到折叠点为，即可解答． 【详解】（1）解：∵表示的数分别是，4， ∴， ∵点在之间且， ∴， 则， ∴点表示的数为0． 故答案为：0． （2）∵表示的数分别是，4，将此数轴沿着某一点折叠，使点A与点B重合， ∴折叠点为， ∴到折叠点的距离为 ， 即折叠后的对应点与的距离为18， ∴， 即表示的点与16表示的点重合． 故答案为：16． （3）∵以点为折点，将此数轴向右对折，且点在点的右边，且，B表示的数分别是4， ∴折叠后点A表示的数为， ∴折叠点为， 即点表示的数为． 故答案为：． 22．如图，按下列方法将数轴的正半轴绕在一个圆上（该圆的周长为个单位长度，且在圆周的三等分点处分别标上数字，，）．先让原点与圆周上数字所对应的点重合，再将正半轴按顺时针方向绕在该圆周上，使数轴上，，，，所对应的点分别与圆周上数字，，，，所对应的点重合这样，正半轴上的整数就与圆周上的数字建立了一种对应关系． (1)若圆周上的数字与数轴上的对应，则 (2)若数轴绕圆周圈后，数轴上的一个整数所对应的点刚好落在圆周上数字所对应的点的位置，求这个整数． 【答案】(1)2 (2)298 【分析】本题考查的是规律型：数字的变化类，数轴的特点，先根据题意找出规律是解答此题的关键． （1）根据被3除余2的数与2重合求解即可． （2）找规律可知：被3整除的数与0重合，被3除余1的数与1重合，被3除余2的数与2重合，若数轴绕过圆周99圈后，数轴上的一个整数点刚好落在圆周上数字1所对应的位置，则与1重合的数可表示为． 【详解】（1）解：， ∴圆周上的数字与数轴上的对应，则， 故答案为：2； （2）解：数轴绕过圆周99圈后，一个整数点落在圆周上数字1所对应的位置，这个整数是． 覆盖训练12:代数式的数字规律 23．观察下面三行数： ；① ；② ；③ 观察发现：每一行的数都是按一定的规律排列的．通过你发现的规律，解决下列问题． (1)第①行的第8个数是_____； (2)第②行的第个数是_____； (3)取每行数的第10个数，计算这三个数的和． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了数字的变化规律，解题的关键是通过观察每行数字的特征，总结出第n个数的表达式． （1）分析第①行数字的符号和绝对值规律，得出第n个数的表达式，进而求出第8个数； （2）观察第②行与第①行对应数字的关系，推导第②行第n个数的表达式； （3）分析第③行与第①行对应数字的关系，得出第③行第n个数的表达式，再分别求出三行的第10个数并求和． 【详解】（1）解： ．．．， ∴第个数是：， ∴第8个数是：， 故答案为：； （2）解： ．．．， ∴第（2）行第个数是：， 故答案为：； （3）解：∵， ， ， ．．．， ∴第（3）行第个数是：， ∵第（1）行第10个数是：， ∴第（2）行第10个数是：， 第（3）行第10个数是：， ∴其和为：． 24．观察下列等式：，，，将以上三个等式两边分别相加得． (1)猜想并写出：______（用含n的代数式表示）； (2)______； (3)探究并计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了数字类规律，有理数的混合运算，结合题意得到规律是解题的关键． （1）结合题干，找到规律，即可解答； （2）利用题干中的规律，分别将原式每项裂开即可解答； （3）利用题干中的规律，分别将原式每项裂开即可解答． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解： ； （3）解： ． 覆盖训练13:代数式的图形规律 25．用同样大小的两种不同颜色的正方形纸片，按如图方式拼正方形． 第①个图形中有1张正方形纸片； 第②个图形中有（张）正方形纸片： 第③个图形中有（张）正方形纸片； 第④个图形中有（张）正方形纸片； … (1)根据上面的发现我们可以猜想：第5个图形中有________张正方形纸片（直接写出结果）． (2)请根据你的发现计算：①；②． 【答案】(1)25 (2)①2500；②7500 【分析】本题考查了图形类变化规律、有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，得出． （1）由图形的变化规律，列式计算即可得到答案； （2）观察图形的变化可得规律，根据发现的规律可计算出的值，然后分别根据得到的规律计算即可． 【详解】（1）解：根据题意得： 第（5）个图形有个小正方形， 故答案为：25； （2）解：第（1）个图形中有个正方形， 第（2）个图形有个小正方形， 第（3）个图形有个小正方形， 第（4）个图形有个小正方形， 第（5）个图形有个小正方形， 第（）个图形有个小正方形， ， ∴①； ② ． 26．综合探究 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法． 如图1所示，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，以此类推… (1)根据图形填写下表； ① ② ③ 阴影面积 面积 ______ (2)计算：；（请写出计算过程） (3)类比：小华在计算时利用了如图2所示的正方形模型． 设正方形的面积为1，第1次分割，把正方形的面积三等分，阴影部分的面积为；第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积三等分，阴影部分的面积之和为；第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积三等分，阴影部分的面积之和为；… ①第n次分割后，空白部分的面积是______； ②由此计算的值． (4)拓展：计算______． 【答案】(1) (2) (3)①；② (4) 【分析】本题考查了有理数的乘方、图形类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键． （1）根据图1分别求出部分①⑥的面积，再根据阴影部分的面积等于部分⑥的面积即可得； （2）将转化为，再去括号，计算即可得； （3）①根据第次分割后，空白部分的面积归纳类推出一般规律，由此即可得； ②根据①中的规律求出，再将所求出式子的转化为，代入计算即可； （4）类比前面的方法，推导式子的结果． 【详解】（1）解：观察图形可知：部分①的面积为， 部分②的面积为， 部分③的面积为， 阴影部分的面积是， 故答案为：； （2）解：根据图形规律可得：； （3）解：根据题意：设正方形的面积为1，第1次分割，把正方形的面积三等分， 阴影部分的面积为，空白部分面积为； 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分， 阴影部分的面积之和为，空白部分面积为； 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分， 阴影部分的面积之和为，空白部分面积为， ①则第n次分割后，阴影部分的面积和为，空白部分的面积是， 故答案为：； ②根据第n次分割阴影部分的面积和为，空白部分的面积是， ，两边同除以2，得算． （4）解：拓展：原式 第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积m等分， 所有空白部分的面积之和为，最后阴影部分的面积是． ． 故答案为：． 覆盖训练14:整除问题 27．若四位数满足，则称这样的四位数为“和谐四位数”．例如：四位数2154，因为，所以四位数2154是和谐四位数． (1)填空：3122___________和谐四位数（填“是”或“不是”）； (2)若是和谐四位数，将的千位数字与个位数字对调，百位数字与十位数字对调后，得到一个新的四位数，求证：与的和一定能被101整除． 【答案】(1)不是 (2)见解析 【分析】本题主要考查定义新运算，整式的混合运算，理解题意，掌握整式的混合运算法则是关键 （1）根据“和谐四位数”概念及计算方法求解即可； （2）根据题意得到，则，由此即可求解． 【详解】（1）解：由“和谐四位数”可知，且， 不是和谐四位数； 故答案为：不是； （2）解：是和谐四位数，将的千位数字与个位数字对调，百位数字与十位数字对调后，得到一个新的四位数 ， ， ∴， 由条件可知 ， 为整数，且， 一定能被101整除． 28．【回顾已有经验】 图片是教科书第106页“活动2自然数被3整除的规律”的一部分． 活动2  自然数被3整除的规律 在小学，我们知道像12，27，36，45，108，…这样的自然数能被3整除．一般地，如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除．你能说出其中的道理吗？ 先来看两位数的情形． 若一个两位数的十位、个位上的数字分别为a，b，则通常记这个两位数为．于是 ． 显然9a能被3整除，因此，如果能被3整除，那么就能被3整除，即能被3整除． 【发表个性观点】 小明利用学习经验，提出了一个观点：“一个自然数所有数位上的数字之和能被9整除，那么这个自然数就能被9整除”． （1）请你以三位数为例，说明小明的观点是否正确． 【尝试理解事实】 小强从数学课外读物中看到了这样一份材料：数字a，b，c组成一个三位数，去掉末位数字c，得到两位数，再用加上c的2倍，所得的和为，若是19的倍数，则原数就被称为“生命数”．实际上，“生命数”也可以是四位数，五位数，…，判断一个数是不是“生命数”，可以仿照上面的程序，如果第三步所得的和太大或心算不易看出是否是19的倍数，就需要继续进行上述“截尾、倍大、相加、验和”的过程，直到能清楚判断为止． （2）请你运用这个方法判断12008是不是“生命数”． 【应用并提出新发现】 （3）请直接判断“在数12008的两个0之间添加1个3或2个3，所得的数都是生命数”是否正确．___（填“正确”或“不正确”） （4）根据以上经验，你可以探索得到一个新的关于“生命数”的结论是______． 【答案】（1）正确，见解析；（2）是；（3）正确；（4）见解析 【分析】本题考查了整式加减的应用，有理数混合运算的应用，正确理解“生命数”的含义是解答本题的关键． （1）把变形为即可解答； （2）依次去尾，直至变形为即可解答； （3）添加3后利用去尾法验证即可； （4）利用（3）的结论解答即可． 【详解】（1）设一个三位数的百位、十位、个位上的数字分别为a，b，c． 则这个三位数 因为99a，9b都能被9整除， 已知能被9整除， 所以能被9整除． （2）， ， ， 所以12008是19的倍数，是“生命数”． （3）正确，理由： 若添加1个3，即120308， 因为， ， ， ， 所以120308是19的倍数，是“生命数”． 当添加2个3时同理可求1203308是19的倍数，是“生命数”． （4）在数12008的两个0之间无论添加多少个3，所得的数都是生命数． 覆盖训练15:打折优惠问题 29．某商店的促销方式如下： 一次性所购物品的原价 优惠办法 不超过200元 没有优惠 超过200元，但不超过600元 200元部分没有优惠，超过200元部分打九折优惠 超过600元 所购物品可以协商打折优惠，但不低于七五折 (1)小张一次性所购物品的原价为500元，他实际付款__________元； (2)老王和小赵一起前往该商店购物，两人所购的物品各自付款需180元和425元，两人合在一起后共付款504元，问商店给他们打了几折？ 【答案】(1)470 (2)商店给他们打了八折 【分析】本题考查有理数的混合运算的应用： （1）根据题意和表格中的数据，可以计算出小张实际付款多少； （2）先求出老王和小赵所购物品的原价分别为：180元，元，再计算原价总和，进而可求出答案． 【详解】（1）因为， 所以元； （2）老王和小赵所购物品的原价分别为：180元，（元）， 原价总和为（元）， ， 答：商店给他们打了八折． 30．某商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件售价35元，且利润为进价的；乙种商品每件进价30元，进价比售价少． (1)求每件甲种商品的进价及每件乙种商品的售价分别是多少元？ (2)该商场购进甲、乙两种商品共100件，且乙种商品比甲种商品少，若全部卖出，求该商场的利润是多少元？ (3)在元旦期间，该商场对甲、乙两种商品进行如下优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 不超过300元 不优惠 超过300元且不超过400元 售价一律打九折 超过400元 售价一律打八折 按上述优惠条件，若小李第一天只购买甲种商品一次性付款210元，第二天只购买乙种商品打折后一次性付款360元，那么这两天他在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件？ 【答案】(1)甲种商品的进价是20元，乙种商品的售价是50元 (2)该商场的利润是元 (3)这两天他在该商场购买甲、乙两种商品一共15件或14件 【分析】此题考查了有理数运算的应用，读懂题意正确列式计算是解题的关键． （1）根据进价、售价、利润之间的关系列式进行计算即可； （2）先求出甲乙两种商品的件数，再求出甲乙两种商品的利润之和即可； （3）根据优惠措施分别求出第一天和第二天的购买甲、乙两种商品的件数，即可得到答案． 【详解】（1）解：甲商品进价：（元） 乙商品售价：（元） 答：甲种商品的进价是20元，乙种商品的售价是50元 （2）由题意可知，甲商品与乙商品数量比为 则甲商品：（件） 乙商品：（件） （元） 答：该商场的利润是元 （3）第一天：（件） 第二天：（件）或 （件） 两天一共：（件）或（件） 答：这两天他在该商场购买甲、乙两种商品一共15件或14件 覆盖训练16:绝对值的最值问题 31．认真阅读下面的材料，完成有关问题． 材料：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5、在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数、，那么A、B之间的距离可表示为． 问题1：点A、B、C在数轴上分别表示有理数：、、3，那么A到B的距离是_________，A到C的距离是_________．（直接填最后结果） 问题2：点A、B、C在数轴上分别表示有理数、、1，那么A到B的距离与A到C的距离之和可表示为_________（用含绝对值的式子表示）． 问题3：利用数轴探究： ①找出满足的的所有值是_________； ②设，当的值取在不小于且不大于3的范围时，的值是不变的，而且是的最小值，这个最小值是_________；当的值取在_________的范围时，的最小值是_________． 【答案】问题1：4，8；问题2：；问题3：①4，；②4；，2 【分析】本题考查了绝对值的几何意义及数轴上两点间的距离，熟练掌握绝对值的几何意义是解题关键． 问题1：根据材料直接计算即可； 问题2：根据材料表示出来并化简即可； 问题3：①分三种情况讨论：x在和3之间（包含端点），x在3的右侧，x在左侧；②根据x的范围去掉绝对值符号即可得到最小值． 【详解】解：问题1：A到B的距离是，A到C的距离是； 故答案为：4，8； 问题2：A到B的距离与A到C的距离之和可表示为； 故答案为：； 问题3：①设点A、B、C在数轴上分别表示数x、3、， 则表示A到B的距离与A到C的距离之和为6， 结合数轴可知，当A在B、C之间（包含B、C）时，不符合题意， 当A在B右侧时，，解得， 当A在C左侧时，，解得； 故答案为：4，； ②对于， 当x的值取在不小于且不大于3的范围时， ； 对于， 当x的值取在不小于0且不大于2的范围时，的值保持不变，且为其最小值， 这个最小值为； 故答案为：4；，2． 32．我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点，分别用数表示，那么两点之间的距离为，反过来式子的几何意义是：数轴上表示数的点和表示数的点之间的距离． (1)利用此结论，回答以下问题． ①数轴上表示2和5的两点之间的距离是______，数轴上表示1和的两点之间的距离是______； ②数轴上表示和的两点和之间的距离是______，如果，那么为______； (2)探索规律：①当有最小值是______； ②当有最小值是______； ③当有最小值是______； (3)知识迁移：最大值是______，最小值是______． 【答案】(1)①3；4；②；1或 (2)①1；②2；③4 (3)， 【分析】此题主要考查了数轴上两点之间的距离，理解数轴上点所表示的数为，点所表示的数为，则及其几何意义，以及“两点之间，线段最短”是解答此题的关键，分类讨论是解答此题的易错点． （1）①理解并掌握及其几何意义，即可求解；②理解并掌握及其几何意义，即可求解； （2）①理解并掌握及其几何意义和“两点之间，线段最短”， 然后即可求解；②理解并掌握及其几何意义和“两点之间，线段最短”， 然后即可求解；③理解并掌握及其几何意义和“两点之间，线段最短”，然后即可求解； （3）理解表示的几何意义，然后分类讨论数的点在表示数点的左侧、数的点在表示数，5两点之间、数的点在表示数点的右侧，然后即可求解最大值和最小值． 【详解】（1）解：①数轴上表示2和5的两点之间的距离是：； 数轴上表示1和的两点之间的距离是：， 故答案为：3；4． ②数轴上表示和的两点A和B之间的距离是：， 当，则， ∴或， 由解得：， 由解得：， ∴的值为：1或， 故答案为：；1或； （2）解：①∵的几何意义是：在数轴上表示数、1两点间的距离； 的几何意义是：在数轴上表示数x、2两点间的距离； ∴的几何意义是：在数轴上表示数x、1两点间的距离与数轴上表示数、2两点间的距离之和， 根据“两点之间，线段最短”可知： ∴当表示数的点在数轴上表示数1，2两点构成的线段上时，为最小，最小值为数轴上表示数1，2两点之间的距离，即为， 即有最小值是1． 故答案为：1． ②∵的几何意义是：在数轴上表示数、1两点间的距离、数轴上表示数、2两点间的距离、数轴上表示数、3两点间的距离之和， 根据“两点之间，线段最短”可知： 当数轴上表示数的点与表示2的点重合时，为最小，最小值为数轴上表示数1，3两点之间的距离，即为， 即有最小值是2， 故答案为：2； ③∵的几何意义是：在数轴上表示数、1两点间的距离、数轴上表示数、2两点间的距离、数轴上表示数、3两点间的距离、数轴上表示数、4两点间的距离之和， 根据“两点之间，线段最短”可知： 当表示数的点在数轴上表示数2，3两点构成的线段上时， 的值为最小值，最小值为数轴上表示数1，4两点之间的距离与数轴上表示数2，3两点之间的距离之和，即为， 即有最小值是4． 故答案为：4； （3）解：∵表示的几何意义是：在数轴上表示数、两点间的距离与数轴上表示数、5两点间的距离之差， ①当在数轴上表示数的点在表示数点的左侧时，即， 则，， ∴，， ∴； ②当在数轴上表示数的点在表示数，5两点之间时，即， 则，， ∴，， ∴， ③当在数轴上表示数的点在表示数点的右侧时，即， 则，， ∴，， ∴， ∴， ∴的最大值是，的最小值是． 故答案为：9；． 33．我们知道，在数轴上，表示数a到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点A、B，分别用a、b表示，那么A、B两点之间的距离为：．利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示和的两点之间的距离是_______． (2)数轴上表示x和−3的两点A、B之间的距离是_______． (3)式子的最小值是_______． (4)结合数轴求的最小值为_______，此时符合条件的整数为_______． (5)结合数轴求的最小值为_______，最大值为_______． 【答案】(1) (2) (3) (4)；或或 (5) 【分析】本题考查了绝对值的应用，数轴上两点之间的距离，利用数轴求多点之间的距离和或差的最值是解题的关键． （1）利用两点距离公式计算即可； （2）利用两点距离公式计算即可； （3）结合数轴可知式子表示数轴上一点到的距离和，根据数轴即可求解； （4）表示数轴上一点到的距离和，根据数轴即可求解． （5）表示数轴上一点到的距离差，分，，，再画图求解即可． 【详解】（1）解：依题意，． （2）解：数轴上表示x和−3的两点A、B之间的距离是． （3）解：∵式子表示数轴上一点到的距离和，如图， ∴当时，取得最小值，最小值为． （4）解：表示数轴上一点到的距离和，如图， ∴当或或时，取得最小值，最小值为． （5）解：表示数轴上一点到的距离差，如图，当时， ∴， 当时，如图， ∴， 当时， ∴， ∴的最小值为，最大值为． 覆盖训练17:数轴动点求t 34．我们规定：数轴上的三个点，若其中一个点到另外两个点之间的距离恰好满足3倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“快乐点”．例如数轴上点所表示的数分别为2，5，6，此时点是点的“快乐点”．若点表示数，点表示数30． (1)点是数轴上位于点的右侧，且点是点的“快乐点”，则点表示的数为 ； (2)若动点、分别从点、位置同时出发，分别以每秒1个单位长度、每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，运动时间为秒． ①当点运动多少秒时，点追上点？ ②在运动过程中，求出点运动多少秒时点成为点的“快乐点”？ 【答案】(1)点M表示的数为50 (2)①当点Q运动40秒时，点Q追上点P．②点P运动8秒或秒或24秒时，点A成为点P、Q的“快乐点” 【分析】本题考查绝对值，数轴，数轴上两点之间的距离，掌握知识点是解题的关键． （1）设点M表示的数为m，，根据题意，得到或，分别求解即可． （2）①追及问题中，Q追上P时两者位置相同，列出位置相等的方程，解得，即可解答； ②点A是P、Q的“快乐点”，分两种情况：A到P的距离是A到Q距离的3倍（），或A到Q的距离是A到P距离的3倍（），分类求解即可． 【详解】（1）解：设点M表示的数为m， ， 或， 或， 或， 或， 解得 或（舍去）， 答：点M表示的数为50． （2）①， ， ， ． 答：当点Q运动40秒时，点Q追上点P． ②点P表示的数为，点Q表示的数为， ∵点A是点P、Q的“快乐点”， ∴或 情况1：当时， 当时， ， 解得， 当时， ， 解得， 情况2：当时， 当时， ， 解得，不符合题意，舍去； 当时， ， 解得． 答：点P运动8秒或秒或24秒时，点A成为点P、Q的“快乐点”． 35．如图，已知点A、B、C是数轴上的三个点． (1)请直接写出点A、C所表示的数； (2)在此数轴上有点M、P、Q三个动点同时出发运动，其中，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动；动点P、Q分别从点B、C处同时出发，分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度沿数轴向右运动． ①写出运动秒时，点所表示的数（用含有的式子表示）； ②若点P与点M之间的距离表示为，点P与点Q之间的距离表示为．试探究：的值是否随时间的变化而变化？若不变，求出其值. 【答案】(1)点A表示，点C表示 (2)①；②的值不随时间的变化而变化，值为1 【分析】本题考查数轴上的动点问题，整式的加减运算，数轴上两点间距离，用含t的代数式表示出动点所在位置表示的数是解题的关键． （1）根据点在数轴上的位置可直接得出答案； （2）①根据点的初始位置、运动速度及方向可得答案； ②用含t的代数式表示出，判断是否含t即可． 【详解】（1）解：由数轴可知，点A表示，点C表示； （2）解：①动点从点处出发，以每秒2个单位长度沿数轴向右运动，点B表示1， 运动秒时，点所表示的数为：； ②由题意知：运动秒时，点所表示的数为：，点所表示的数为：， ， ， ， 的值不随时间的变化而变化，值为1． 36．如图，在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，的相反数是，且、满足． (1)___________；___________； (2)若数轴上有一点为线段的三等分点（点在线段内），求点表示的数是多少？ (3)点、、开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，是否存在常数，使为定值，若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)存在， 【分析】本题考查了绝对值和平方的非负性，数轴动点问题，整式加减的应用． （1）根据绝对值和平方的非负性，即可求出a， c的值； （2）由三等分点的定义得出或，即可求出点D表示的数； （3）根据题意得出点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，即可得出，，进而得出，即可解答． 【详解】（1）解：，，， ，， 故答案为：，； （2）解：∵点表示的数是，点表示的数是， 由三等分点得或， ∴表示的数为或． 故答案为：或； （3）解：存在，，理由如下： 的相反数为， ，即点表示数为 ∵点表示的数是，向左的速度为每秒个单位长度，点表示的数是，向右的速度为每秒个单位长度，点表示的数是，向右的速度为每秒个单位长度，设运动时间为秒， 点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ，， 为定值， 的值与无关， ， ∴． 覆盖训练18:一元一次方程的新定义(选考) 37．【定义】如果两个有理数的和等于这两个有理数的商，那么这两个有理数就叫做“等和商数对”．即：如果，那么与就叫做“等和商数对”，记为．例如：，则称数对是“等和商数对”． (1)下列数对：①，②，其中是“等和商数对”的是___________（填序号）； (2)若是“等和商数对”，求的值． 【答案】(1)② (2) 【分析】本题考查了有理数的除法、减法，理解“等和商数对”的定义是解题的关键． （1）根据“等和商数对”的定义分别判断即可； （2）根据“等和商数对”的定义得出，即可求出的值． 【详解】（1）解：①，， ， 不是“等和商数对”； ②，， ， 是“等和商数对”； 故答案为：②； （2）解：∵是“等和商数对”， ∴， 解得． 38．定义：如果两个一元一次方程的解之和为，我们就称这两个方程互为“美好方程”． 例如：方程的解为，方程的解为．因为，即这两个方程的解之和为，所以这两个方程互为“美好方程”． (1)请判断方程与方程是否互为“美好方程”． (2)若关于的方程与方程互为“美好方程”，求的值． (3)若方程与方程互为“美好方程”，求关于的方程的解． 【答案】(1)方程与方程互为“美好方程” (2) (3) 【分析】（1）求出这两个方程的解，再根据“美好方程”的定义进行判断即可； （2）求出这两个方程的解，再根据“美好方程”的定义列出关于的方程求解即可； （3）根据“美好方程”的定义求出的值，再求解关于的方程即可． 【详解】（1）解：解方程，得． 解方程，得． ∵， ∴方程与方程互为“美好方程”． （2）解：解关于的方程，得． 解方程，得． ∵关于的方程与方程互为“美好方程”， ∴， 解得． （3）解：解方程，得． 解关于的方程，得． ∵方程与关于的方程互为“美好方程”， ， 解得． 将代入， 得， 解得． 【点睛】本题考查一元一次方程的解，掌握一元一次方程的求解方法，理解“美好方程”的定义是正确解答的关键． 39．【新型定义】若，则称与是关于7的“奇妙数”． 例如：如果，那么与是关于7的“奇妙数”． (1)【初步探究】求①5与___________是关于7的“奇妙数”； ②___________与是关于7的“奇妙数”； ③与___________是关于7的“奇妙数”； (2)【拓展提升】若与是关于7的“奇妙数”，求的值． 【答案】(1)①，②，③ (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，能灵活运用整式的运算法则进行计算是解此题的关键，也考查了解一元一次方程的应用． （1）根据已知条件得出即可； （2）根据已知条件得出，再求出方程的解即可． 【详解】（1）解：（1）①∵， ∴5与是关于7的“奇妙数” ②∵ ∴， ∴与是关于7的“奇妙数” ③∵ ∴， ∴与是关于7的“奇妙数”； ∴答案为；；． （2）∵与是关于7的“奇妙数”， ∴， ∴． 覆盖训练19:算筹问题 40．我国在数的发展上有辉煌的历史，其中算筹计数法可追溯到公元前五世纪．算筹是竹制的小棍，摆法有横式和纵式两种(如图)．它计数的方法是∶摆个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横……这样纵横依次交替，零以空格表示．如，表示为；如，表示为． (1)请用算筹表示数(在图中画出) (2)用三根算筹表示一个两位数(用完三根算筹)，在图的方框中画出四种满足要求的图形，并在下方的横线上填上所表示的数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查算筹计数法的应用． （）根据算筹计数法计数的方法，确定数位与摆法，找到对应数字的算筹符号即可解答； （）根据算筹的横式/纵式摆法(个位为纵、十位为横、百位为纵.……纵横交替)；两位数的算筹组合逻辑(十位为横式、个位为纵式，需用完根算筹)； 【详解】（1）解：∵算筹计数法计数的方法是∶摆个位为纵，十位为横，百位为纵， ∴是三位数，数位从右到左依次为个位(纵式)、十位(横式)、百位(纵式)(纵横交替)， （2） 41．算筹是我国古代一种常用的数学工具，古人通常用算筹记数和进行数的简单运算．如图1，用算筹表示数字有两种方式：纵式和横式．我们可以使用纵横交替的十进制记数法表示数字．具体而言，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，依此类推．数字0要空位，在个位数上划上斜线以表示负数． 如“”表示38，“”表示1983． 【观察思考】 （1）请写出图2，图3中算筹表示的数为______，______． （2）利用算筹可以进行简单的加法运算，请同学们观察的计算步骤，并在第5步中填入正确的算筹摆放方式． 【迁移运用】 《孙子算经》对算筹乘法有详细阐述．将被乘数放在上排（上位），乘数放在下排（下位），乘数的个位对齐被乘数的最高位．上下排之间，留空几排，作中间积存放处．下图即为计算的演示步骤： （3）试用算式解释“利用算筹进行乘法运算”的原理； 【总结提升】 （4）观察以上计算过程，对比我们现在所使用的竖式计算，你有什么发现，请写出你的发现． 【答案】（1）266；；（2）见解析；（3）见解析；（4）算筹进行乘法运算的原理是乘法分配律 【分析】本题主要考查了对于算筹的理解和数的表示，正确理解题意是解题的关键． （1）根据算筹的表示方法即可得到答案； （2）根据题意可知十位数字因为进位变成0，百位数字因为进位变为6，据此画图即可； （3）就是把38分成30和8，把76分成70和6，再根据乘法分配律求解即可； （4）根据题意可得算筹进行乘法运算的原理是乘法分配律． 【详解】解：（1）由题意得，图2表示的数为266，图3表示的数为； （2）如图所示，即为所求； （3）就是把38分成30和8，把76分成70和6， ； （4）观察以上计算过程，对比我们现在所使用的竖式计算可知，算筹进行乘法运算的原理是乘法分配律． 42．综合与实践 【发现问题】 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．中国的甲骨文、算筹、八卦，古巴比伦的楔形数字，古希腊的字母计数等都蕴含着进位制，它们是数学史上的伟大创造．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，即“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．“屈指可数”与十进制有关，“半斤八两”与十六进制有关，计算机内部都使用二进制． 【提出问题】 不同进位制的数之间能否互相转换？如何转换？ 【算法理解】 无论哪种进位制，都有一种固定的算法，我们以十进制的数为例来理解．因为十进制是逢十进一，所以十进制每相邻的两个计数单位之间的进率都为十．例如，十进制数中的表示个千，表示个百，表示个十，表示个一，于是我们得到下面的式子：．（注：，为非有理数） 【初步应用】 国际数学教育大会是全球数学教育界水平最高、规模最大的学术盛会，每四年一届，于年在上海举办，这是国际数学教育大会第一次在中国举办．大会标识（图1）中蕴含着很多数学文化元素，以中国传统文化中“洛书”与“河图”为原本，并将其与体现我国早期哲学思想的八卦进行了融合．体现了我国传统文化的博大精深．大会标识右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数．八进制是以作为进位基数的数字系统，有共个基本数字．八进制数换算成十进制数是，表示的举办年份．八进制数换算成十进制数是①______． 【实际应用】　 （1）请你根据以下材料，完成十进制数与二进制数的转换：将一个十进制的数转换为二进制的数，只需把该数写成若干个的和，依次写出或即可，例如十进制数可以按下述方法转换为 二进制数：． 二进制数可以转换成十进制数：． ②将十进制数化成二进制数______；（要求写出过程） ③将二进制数化成十进制数______．（要求写出过程） （2）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”． （i）如图2，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，采取满七进一的方式，用来记录孩子自出生后的天数．例如图3表示的是孩子出生后天时打绳结的情况（），那么由图4可知，孩子自出生后的天数是④_____． （ii）小庆同学周末去劳动实践基地采摘果子，准备采用“结绳计数”的方法来记录采摘果子的数量．已知他采摘的果子有颗，采取的是满五进一的方式，请你通过计算帮小庆画出此时绳子的打结图．⑤______．（请写出计算过程） 【项目实施】 根据以上分析，请将上述材料中横线上所缺内容补充完整： ①________；②________；③________；④________；⑤________． 【答案】①； ②；③；④天；⑤过程及图见解析， 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，解题的关键是正确理解材料中的计算方法． ①根据题中八进制数换算成十进制数的方法求解即可； ②根据题中十进制数化成二进制数的方法求解即可； ③二进制数化成十进制数的方法求解即可； ④根据题意列出算式，根据有理数的乘方进行计算即可求解； ⑤满五进一，类似于五进制数，仿照十进制转换二进制的计算方法进行计算即可． 【详解】解：①， 故答案为：； ②，则十进制数化成二进制数为， 故答案为：； ③， 故答案为：； ④由图4可知，孩子自出生后的天数是； 故答案为：天； ⑤ ， 此时绳子的打结图如图： 故答案为：此时绳子的打结图如图：，． 学科网（北京）股份有限公司 $