九年级上册期中模拟卷01-2025-2026学年九年级数学上册高频考点题型归纳与满分必练（北师大版）

2025-2026学年数学九年级上册期中模拟卷1 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1． 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。 4．测试范围：北师大版 九年级上册 第Ⅰ卷 一﹑单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．如图所示的几何体的俯视图为（   ） A． B． C． D． 2．关于x的方程的一个根是1，则a的值为（    ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 3．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．如图，与是位似图形，点为位似中心．已知，则与的相似比为（　　） A． B． C． D． 5．在元旦联欢会中，抽奖游戏的规则如下：选手蒙眼在一张如图所示的正方形黑白格子纸（九个小正方形面积相等）上描一个点，若所描的点落在黑色区域，获得笔记本一个；若落在白色区域，获得钢笔一支．则选手获得笔记本的概率为（    ） A． B． C． D． 6．下列命题为真命题的是（　　） A．四个角相等的四边形是矩形 B．对角线互相平分且垂直的四边形是矩形 C．对角线互相平分且相等的四边形是菱形 D．四边相等的四边形是正方形 7．如图，某小区计划在一块长为，宽为的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使道路的面积为．若设道路的宽为，则下面所列方程正确的是（    ）    A． B． C． D． 8．如图，小明周末晚上陪父母在马路上散步，他由灯下A处前进4米到达B处时，测得影子长为1米，已知小明身高1.6米，他若继续往前走4米到达D处，此时影子长为（    ） A．1米 B．2米 C．3米 D．4米 9．对于反比例函数，下列说法正确的是（    ） A．点在它的图象上 B．它的图象在第一、三象限 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时，y随x的增大而增大 10．如图，电路图上有1个小灯泡以及4个断开状态的开关A，B，C，D，现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为（　） A． B． C． D． 11．在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数（其中k为常数，）的部分图象大致是（    ） A． B． C． D． 12．如图，在正方形中，点 M 是边的中点，连接，将沿直线向正方形内翻折，点 B 的对应点为点 N，连接，，则 等于（　　） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二﹑填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 13．为了解我区九年级6000名学生中“1分钟跳绳”能获得满分的学生人数，区相关部门随机调查了其中的200名学生，结果有150名学生未获满分，那么估计我区九年级“1分钟跳绳”能获得满分的学生人数约为 名． 14．已知m、n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值是 ． 15．如图，在平面直角坐标系中，等腰的顶点A的坐标为，点B在x轴正半轴，反比例函数在第一象限的图象经过顶点C，．若的面积为10，则k的值为 ．    16．在菱形中，，连接，点M 为线段上一动点（不与点A，点C重合），点N在线段上，且 则 的最小值为 ． 三、解答题（本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）解方程： (1)； (2) 18．（10分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点都在格点上，建立平面直角坐标系． （1）以原点O为位似中心，将△ABC缩小，使变化后得到的新三角形与原三角形的位似比为1：2，请在平面直角坐标系中画出新三角形； （2）在△ABC中有一个点P（2，7），则变换后P的对应点的坐标为　　． 19．（10分）某校有一个两面有围墙的空地，如图1，墙长为米，墙长为米，现计划用长米的栅栏围出一块矩形基地给八年级的学生进行劳动实践． (1)当围成的矩形基地如图1所示，在边开一道米宽的门，若此时的矩形面积为米，求围成的矩形基地边的长． (2)当围成的矩形基地如图2所示，中间用栅栏分成两块基地用于种植不同的植物，在两块基地边上各开道米宽的门，若此时的矩形总面积为米，求围成的矩形基地边的长． 20．（10分）【基础解答】如图，和是直立在地面上的两根立柱．，某一时刻在阳光下的投影，在阳光下的投影长为．根据题中信息，求立柱的长．    【拓展拔高】如图，古树在阳光照射下，影子的一部分照射在地面，即，还有一部分影子在建筑物的墙上，墙上的影高为，同一时刻，竖直于地面上的长的竹竿，影长为，求这棵古树的高．    21．（10分）如图，在平行四边形中，的平分线交于点E，交的延长线于F，以为邻边作平行四边形． (1)证明平行四边形是菱形； (2)若，连结、，①求证：；②求的度数； 22．（12分）如图，一次函数的图像与反比例函数（）的图像交于，两点，与x轴交于点C． (1)求k，m，b的值； (2)观察图像，直接写出关于x的不等式（）的解集； (3)连接，，求的面积； (4)将一次函数的图像向下平移n（）个单位长度，若平移后的图像与反比例函数（）的图像只有一个交点，求n的值． 23．（12分）问题背景：在数学课堂上小组讨论过程中，探究小组发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论． 如图1， 已知是的角平分线， 可证 探究小组的证明思路是：如图2，过点C作，交的延长线于点E，通过构造相似三角形来证明 【问题初探】 （1）①如图2，请直接写出和的数量关系： ； ②请参照探究小组提供的思路，利用图2证明： 【结论运用】 （2）如图3， 在中，．求的长度． 【拓展提升】 （3）如图4，在平行四边形中，E、F分别是上的点，的交点为P，若平分，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年数学九年级上册期中模拟卷1 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1． 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。 4．测试范围：北师大版 九年级上册 第Ⅰ卷 一﹑单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．如图所示的几何体的俯视图为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查简单组合体的三视图，根据从上面看得到的图形是俯视图，据此可得答案．解题的关键：能看见的轮廓线用实线表示，看不见的轮廓线用虚线表示． 【详解】 解：如图所示的几何体的俯视图为 故选：B． 2．关于x的方程的一个根是1，则a的值为（    ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【答案】B 【分析】将代入方程求解即可． 【详解】解：将代入方程，得， 解得， 故选：B． 【点睛】此题考查了一元二次方程的解的定义：使方程等号左右两边相等的未知数的值是方程的解，正确理解方程的解的定义是解题的关键． 3．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用比例的性质即可得到答案． 【详解】解：， ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 4．如图，与是位似图形，点为位似中心．已知，则与的相似比为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了位似变换，位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键． 根据题意得到，得出，得到与的相似比为，即可得到答案． 【详解】解： 与是位似图形，， ， ， 与的相似比为， 故选：A． 5．在元旦联欢会中，抽奖游戏的规则如下：选手蒙眼在一张如图所示的正方形黑白格子纸（九个小正方形面积相等）上描一个点，若所描的点落在黑色区域，获得笔记本一个；若落在白色区域，获得钢笔一支．则选手获得笔记本的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先列出选手蒙眼描一个点的所有可能的结果，再找出所描点落在黑色区域的结果，然后利用概率公式计算即可. 【详解】由题意，选手蒙眼描一个点的所有可能的结果有9种，它们每一种结果的可能性相等 其中，所描点落在黑色区域的结果有5种 则所描点落在黑色区域的概率为 即选手获得笔记本的概率为 故选：D. 【点睛】本题考查了简单事件的概率计算，依据题意列出事件的所有可能的结果是解题关键. 6．下列命题为真命题的是（　　） A．四个角相等的四边形是矩形 B．对角线互相平分且垂直的四边形是矩形 C．对角线互相平分且相等的四边形是菱形 D．四边相等的四边形是正方形 【答案】A 【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定定理判断即可． 【详解】解：四个角相等的四边形是矩形，A是真命题； 对角线互相平分且相等的四边形是矩形，B是假命题； 对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，C是假命题； 四边相等的四边形是菱形，D是假命题； 故选：A． 【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 7．如图，某小区计划在一块长为，宽为的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使道路的面积为．若设道路的宽为，则下面所列方程正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的应用．观察图形，根据题意“道路的面积为”列出方程即可． 【详解】解：设道路的宽为，根据题意得： ， 故选：C． 8．如图，小明周末晚上陪父母在马路上散步，他由灯下A处前进4米到达B处时，测得影子长为1米，已知小明身高1.6米，他若继续往前走4米到达D处，此时影子长为（    ） A．1米 B．2米 C．3米 D．4米 【答案】B 【分析】利用相似三角形的性质即可求得DE的长． 【详解】如图，∵FB∥PA，GD∥PA， ∴△CFB∽△CPA，△EGD∽△EPA． ∴．   ∵FB=GD=1.6米，AB=BD=4米，BC=1米， ∴AC=AB+BC=4+1=5（米），AE=AB+BD+DE=4+4+DE=(8+DE)米， ∴． ∴AE=5DE， 即8+DE=5DE， 解得：DE=2． 即此时影长为2米． 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的实际应用，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 9．对于反比例函数，下列说法正确的是（    ） A．点在它的图象上 B．它的图象在第一、三象限 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时，y随x的增大而增大 【答案】D 【分析】根据反比例函数解析式确定函数图象所在象限及增减性，即可求解． 【详解】解：A，当时，，因此点不在它的图象上，故该选项说法错误； B，的图象在第二、四象限，该选项说法错误； C，当时，y随x的增大而增大，该选项说法错误； D，当时，y随x的增大而增大，该选项说法正确； 故选D． 【点睛】本题考查反比例函数图象和性质，解题的关键是根据比例系数确定函数图象所在象限及增减性． 10．如图，电路图上有1个小灯泡以及4个断开状态的开关A，B，C，D，现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为（　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小灯泡发光的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】解：画树状图得： ∵共有12种等可能的结果，现任意闭合其中两个开关，则小灯泡发光的有4种情况， ∴小灯泡发光的概率为， 故选：A． 11．在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数（其中k为常数，）的部分图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意知，则一次函数经过点，当时，判断一次函数与反比例函数图象，当，判断一次函数与反比例函数图象，进而可得答案． 【详解】解：， 当，， ∴一次函数经过点， ∴A、C不符合， 当时，一次函数经过第一、二、三象限，反比例函数经过第一、三象限， ∴B符合， 当时，一次函数经过第二、三、四象限，反比例函数经过第二、四象限， ∴D不符合， 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数图象、一次函数图象．解题的关键是掌握反比例函数与一次函数的性质和图像． 12．如图，在正方形中，点 M 是边的中点，连接，将沿直线向正方形内翻折，点 B 的对应点为点 N，连接，，则 等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】延长交于点，连接，利用正方形性质，折叠的性质证明，推出，，结合等腰三角形性质得到，设，，结合勾股定理推出，，进而得到，再利用等面积法求出，即可解题． 【详解】解：延长交于点，连接， 四边形为正方形， ，， 由折叠的性质可知，，， ，， ， ， ，， 即平分， ， ， 设，， ， 点 M 是边的中点， ， ，即， ， 即， 整理得， ， ， ， 解得， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形性质，折叠的性质，全等三角形性质和判定，等腰三角形性质，勾股定理，解题的关键在于利用等面积法求出． 第Ⅱ卷 二﹑填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 13．为了解我区九年级6000名学生中“1分钟跳绳”能获得满分的学生人数，区相关部门随机调查了其中的200名学生，结果有150名学生未获满分，那么估计我区九年级“1分钟跳绳”能获得满分的学生人数约为 名． 【答案】1500 【分析】本题考查了用样本估计总体，正确的理解题意是解题的关键．根据200名学生，结果有50名学生获满分求得九年级“1分钟跳绳”能获得满分的学生人数所占总数的百分比，即可得到结论． 【详解】解：随机调查了其中的200名学生，结果有150名学生未获满分， 则获满分人数为：（名）， （名）， 即估计我区九年级“1分钟跳绳”能获得满分的学生人数约为1500名． 故答案为：1500 14．已知m、n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值是 ． 【答案】5 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，可得，再代入，即可求解． 【详解】解：∵m，n是一元二次方程的两根， ∴， ∴． 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握若，是一元二次方程的两个实数根，则，是解题的关键． 15．如图，在平面直角坐标系中，等腰的顶点A的坐标为，点B在x轴正半轴，反比例函数在第一象限的图象经过顶点C，．若的面积为10，则k的值为 ．    【答案】12 【分析】过点作轴于点，利用证明，可得，利用等腰的面积为10，可得，进而利用勾股定理可得，可知点的横坐标为2，纵坐标为6，由此可得． 【详解】解：如图，过点作轴于点，    ∵的坐标为， ∴， ∵是等腰直角三角形且， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴点的横坐标为2， ∵在中，， ∴点的纵坐标为6， ∴． 故答案为：12． 【点睛】本题考查坐标与图形，反比例函数的图象和性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的定义等，解题的关键是通过构造全等三角形求出点C的坐标． 16．在菱形中，，连接，点M 为线段上一动点（不与点A，点C重合），点N在线段上，且 则 的最小值为 ． 【答案】12 【分析】连接交于点O，以为边在下面作等边，连接，根据等边三角形和菱形的对称性知点E、B、D共线，根据，得，得是等边三角形，得，，根据，得，得，得，根据，得，∴，根据，得，得，得，得，根据，得的最小值为12． 【详解】连接交于点O，以为边在下面作等边，连接， 则， ∴点E在垂直平分线上， ∵菱形中，与互相垂直平分， ∴点E、B、D共线， ∵，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当点M运动到上时，取得最小值，为， ∴， 即的最小值为12． 【点睛】本题主要考查了菱形和三角形综合．熟练掌握菱形性质，等边三角形判定和性质，含的直角三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，是解题的关键． 三、解答题（本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）解方程： (1)； (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解答的关键． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用公式法解方程即可． 【详解】（1）解：原方程化为， 则， ∴或， ∴，； （2）解：原方程化为， 则，，， ∴， ∴， ∴，． 18．（10分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点都在格点上，建立平面直角坐标系． （1）以原点O为位似中心，将△ABC缩小，使变化后得到的新三角形与原三角形的位似比为1：2，请在平面直角坐标系中画出新三角形； （2）在△ABC中有一个点P（2，7），则变换后P的对应点的坐标为　　． 【答案】（1）见解析；（2）或 【分析】（1）连接AO、BO、CO，并取它们的中点，把三个中点连接就可以得到新三角形，再分别做这三个中点关于原点的对称点，还可以得到一个满足条件的三角形； （2）先把横纵坐标缩小为原来的一半即可，还有一个点是所得的点关于原点的对称点． 【详解】解：（1）如图所示： （2）变换后横纵坐标都变为原来的一半，即， 还有关于原点对称的一个点． 故答案是：或． 【点睛】本题考查位似图形，解题的关键是掌握位似图形的画法以及点坐标的对应关系． 19．（10分）某校有一个两面有围墙的空地，如图1，墙长为米，墙长为米，现计划用长米的栅栏围出一块矩形基地给八年级的学生进行劳动实践． (1)当围成的矩形基地如图1所示，在边开一道米宽的门，若此时的矩形面积为米，求围成的矩形基地边的长． (2)当围成的矩形基地如图2所示，中间用栅栏分成两块基地用于种植不同的植物，在两块基地边上各开道米宽的门，若此时的矩形总面积为米，求围成的矩形基地边的长． 【答案】(1)米 (2)米或米 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． （1）设围成的矩形基地边的长为米，则点和点之间栅栏的长度为米，故的长为米，根据此时的矩形面积为米，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设围成的矩形基地边的长为米，则点和点之间栅栏的长度为米，则点和点之间栅栏的长度为米，的长为米，根据此时的矩形面积为米，列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设围成的矩形基地边的长为米，则点和点之间栅栏的长度为米，故的长为米， 由题意得：，且， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 故围成的矩形基地边的长为米． （2）解：设围成的矩形基地边的长为米，则点和点之间栅栏的长度为米，则点和点之间栅栏的长度为米，的长为米， 由题意得：，且， 整理得：， 解得：，， 故围成的矩形基地边的长为米或米． 20．（10分）【基础解答】如图，和是直立在地面上的两根立柱．，某一时刻在阳光下的投影，在阳光下的投影长为．根据题中信息，求立柱的长．    【拓展拔高】如图，古树在阳光照射下，影子的一部分照射在地面，即，还有一部分影子在建筑物的墙上，墙上的影高为，同一时刻，竖直于地面上的长的竹竿，影长为，求这棵古树的高．    【答案】立柱，古树． 【分析】本题主要考查了投影的性质，相似三角形的判定与性质， 基础解答：根据太阳光投影中，光线都是平行的，即可得，据此判定，问题随之得解； 拓展拔高：画出图形，根据光线都是平行的，根据“基础解答”的方法，同理可得：，，问题随之得解． 【详解】基础解答 如图，    ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴ 解得：； 拓展拔高 如图，    根据题意有：，，，， 根据【基础解答】，同理可得：，， ∴，， 即有：，， 解得：， 即有（）， 即古树． 21．（10分）如图，在平行四边形中，的平分线交于点E，交的延长线于F，以为邻边作平行四边形． (1)证明平行四边形是菱形； (2)若，连结、，①求证：；②求的度数； 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】本题主要考查平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得到，再根据角平分线的定义得到，证明，即可得到答案； （2）①先判断，根据等腰三角形的性质得出，进而证明，即可证明结论；②由①知，证明是等边三角形，即可得到答案． 【详解】（1）证明：平行四边形， ， ， 的平分线交于点E，交的延长线于F， ， ， ， ， 平行四边形是菱形； （2）①证明：由题知，， 在平行四边形中，， 由（1）知，平行四边形是菱形， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ； ②解： ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 是等边三角形， ． 22．（12分）如图，一次函数的图像与反比例函数（）的图像交于，两点，与x轴交于点C． (1)求k，m，b的值； (2)观察图像，直接写出关于x的不等式（）的解集； (3)连接，，求的面积； (4)将一次函数的图像向下平移n（）个单位长度，若平移后的图像与反比例函数（）的图像只有一个交点，求n的值． 【答案】(1)，， (2) (3) (4) 【分析】本题考查反比例函数与一次函数交点问题，解题的关键是掌握待定系数法，函数图象交点坐标与方程组的解的关系等知识． （1）要求一次函数和反比例函数的表达式，可根据待定系数法求解； （2）要求不等式的解集，实质是求一次函数的图象在反比例函数图象上方时的取值范围，即可得出的取值范围； （3）要求的面积，根据分割法即可求解； （4）先求出平移后一次函数的表达式，再联立反比例函数的表达式，利用一元二次方程根的判别式即可求解． 【详解】（1）将的坐标代入，得，∴． 当时，，∴； 将的坐标代入，得； （2）不等式（）的解集为； （3）如图， 一次函数的表达式为． 当时，，∴点C的坐标为， ∴； （4）将一次函数的图像向下平移n（）个单位长度为，令，整理得． ∵平移后的一次函数的图像与反比例函数的图像只有一个交点， ∴，解得（舍去），，∴． 23．（12分）问题背景：在数学课堂上小组讨论过程中，探究小组发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论． 如图1， 已知是的角平分线， 可证 探究小组的证明思路是：如图2，过点C作，交的延长线于点E，通过构造相似三角形来证明 【问题初探】 （1）①如图2，请直接写出和的数量关系： ； ②请参照探究小组提供的思路，利用图2证明： 【结论运用】 （2）如图3， 在中，．求的长度． 【拓展提升】 （3）如图4，在平行四边形中，E、F分别是上的点，的交点为P，若平分，求证：． 【答案】（1）①；②见解析；（2）；（3）见解析 【分析】（1）①根据平行线的性质得出，进而得出，从而得出结果； ②可证得，从而得，进一步得出结论； （2）过点B作平分，可证得，从而得，从而得出的值，的值，根据得出结果； （3）延长交于点G，得出，可证得，得到，进而得出，从而得出，即可求出结果． 本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造角平分线性质的基本图形． 【详解】（1）①（或者相等），理由如下： ∵ ∴ ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； ②证明：∵   ∴， ∴ ∴   又∵   ∴； （2）过点B作平分 ∵ ∵ ∴ 又∵   ∴ ∴ ∵，   ∴   ∴ ∴ 由（1）结论得：   ∴ （3）延长交于点G ∴ 又∵   ∴   ∴ ∴   又∵   ∴ 又∵   ∴   ∴ 又∵平分 由（1）结论得： ∴   ∴ 又∵   ∴ ∴ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $