九年级上册期中模拟卷02-2025-2026学年九年级数学上册高频考点题型归纳与满分必练（北师大版）

2025-2026学年数学九年级上册期中模拟卷2 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1． 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。 4．测试范围：北师大版 九年级上册 第Ⅰ卷 一﹑单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列选项中的方程，是一元二次方程的为（　　） A．x+＝1 B．x2+2y﹣3＝0 C．3x2＝1 D．x3﹣2x+1＝0 2．一个不透明的袋子中装有9个小球，其中3个红球、6个绿球，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是红球的概率是（    ） A． B． C． D． 3．如果两个相似三角形的相似比为，那么这两个三角形对应边上的高之比为（　　） A． B． C． D． 4．一元二次方程根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 5．已知在菱形中，，，则菱形的面积为（    ） A．160 B．80 C．40 D．96 6．如图，在一块长，宽的矩形花园基地上修建两横一纵三条等宽的道路，剩余空地种植花苗，设道路的宽为，若种植花苗的面积为，依题意列方程为（   ） A． B． C． D． 7．已知四边形是平行四边形，，相交于点O，下列结论错误的是（    ） A．， B．当时，四边形是菱形 C．当时，四边形是矩形 D．当且时，四边形是正方形 8．在正方形中，边长，为中点，为上一点，且垂直平分交于点，则的长度为(    ) A． B． C．1 D． 9．已知点，都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 10．如图，在矩形中，对角线，相交于点，，且，则为（   ） A． B． C． D． 11．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数（是常数，且）与反比例函数的图象交于，两点，则不等式的解集是（   ） A． B．或 C．或 D． 12．如图，在菱形中，对角线，，点分别是边边上的动点，点在上运动，在运动过程中，存在的最小值，则这个最小值是（    ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二﹑填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 13．若，则 ． 14．已知一元二次方程的一个根为1，则另一个根为 ． 15．如图，已知，，则 ． 16．如图，在中，点，分别在，上，，，且，，即的长为 ． 三、解答题（本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）解方程： (1)； (2)． 18．（10分）已知，如图所示，在中，点在边上，点在边上，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 19．（10分）已知是坐标原点，、的坐标分别为、． (1)在轴的左侧以为位似中心作的位似图形，使新图与原图的相似比为； (2)的长为______（结果保留根号）； (3)的面积为______． 20.（10分）每年的11月9日是“119消防宣传日”．本月3号，嘉祥某校区采用随机抽样的方式对学生掌握消防安全知识的情况进行书面测评，并按成绩高低分成优、良、中、差四个等级进行统计，绘制了两幅尚不完整的统计图，请根据有关信息解答：    (1)接受测评的学生共有_____人，扇形统计图中“优”部分所对应扇形的圆心角为____；并补全条形统计图； (2)若校区共有学生3200人，请估计该校区学生对消防安全知识达到“良”及“良”级以上程度的人数； (3)测评成绩前三名的学生恰好是1个女生和2个男生，现从中随机抽取2人代表学校参加区级消防安全知识竞赛，求出抽到的2个学生恰好是一男生与一女生的概率． 21．（10分）已知：如图，在平行四边形中，对角线与相交于点E，过点E作的垂线交边于点F，与的延长线交于点M，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求线段的长度． 22．（12分）在某初中的综合实践课上，老师给每一位同学发了一张直角三角形的纸片，，分别为．要求学生们利用它裁出一个面积尽可能大的正方形卡片． (1)甲同学很快完成了自己的设计（如图1），请你求出他裁出的正方形的边长． (2)乙同学看了甲同学的设计后提出了不同的设计方案，请利用图2大致画出草图，并求出乙同学裁出的正方形的边长．并比较哪位同学裁出的正方形卡片更大． 23．（12分）综合与探究 如图，在平行四边形中，E，F分别是边上的点，与交于点P． (1)【特例感知】 如图（a），若四边形是正方形，当时，则线段与的数量关系是 ； (2)【深入探究】 如图（b），若四边形是菱形，且，则线段与满足怎样的数量关系？请证明你的猜想；关于此问，数学兴趣小组给出如下两种解决思路．请选择其中一种思路解决问题． 思路一 思路二 如图，在边上取一点M使， 如图，在的延长线上取一点N使 (3)【类比迁移】 如图（c），若四边形是菱形，E为的中点，，请求出的值； (4)【联系拓广】 如图（d），在平行四边形中，，F是边的中点，当点E在直线上运动，且直线与直线所夹的锐角为时，请直接写的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年数学九年级上册期中模拟卷2 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1． 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。 4．测试范围：北师大版 九年级上册 第Ⅰ卷 一﹑单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列选项中的方程，是一元二次方程的为（　　） A．x+＝1 B．x2+2y﹣3＝0 C．3x2＝1 D．x3﹣2x+1＝0 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B．是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C．是一元二次方程，故本选项符合题意； D．是一元三次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2次的整式方程，叫一元二次方程． 2．一个不透明的袋子中装有9个小球，其中3个红球、6个绿球，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是红球的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率． 【详解】解：因为袋中共有9个球，红球有3个， 摸出的球是红球的概率为． 故选：B． 【点睛】本题考查概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率（A）． 3．如果两个相似三角形的相似比为，那么这两个三角形对应边上的高之比为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形对应边上高的比等于相似比即可得答案． 【详解】解：∵两个相似三角形的相似之比为，相似三角形对应边上的高的比等于相似比， ∴这两个三角形对应边上高的比为， 故选：B． 4．一元二次方程根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 【答案】A 【分析】由的取值可快速判断，根据可知方程有两个不相等的实数根． 【详解】由得， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选A． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的情况，可以利用的值进行快速判断方程根的个数． 5．已知在菱形中，，，则菱形的面积为（    ） A．160 B．80 C．40 D．96 【答案】D 【分析】根据菱形的性质利用勾股定理求得的长，从而得到的长，再根据菱形的面积公式即可求得其面积． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∵在中， ， ∴， ∴， ∴． 故选D． 【点睛】此题考查学生对菱形的性质及勾股定理的理解及运用，熟练掌握菱形的性质是解答本题的关键． 6．如图，在一块长，宽的矩形花园基地上修建两横一纵三条等宽的道路，剩余空地种植花苗，设道路的宽为，若种植花苗的面积为，依题意列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设道路的宽为，则种植花苗的部分可合成长，宽的矩形，根据种植花苗的面积为，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设道路的宽为，则种植花苗的部分可合成长，宽的矩形， 依题意得：， 故选：C． 7．已知四边形是平行四边形，，相交于点O，下列结论错误的是（    ） A．， B．当时，四边形是菱形 C．当时，四边形是矩形 D．当且时，四边形是正方形 【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质，菱形，矩形，正方形的判定逐一判断即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，故A正确， 四边形是平行四边形，， 不能推出四边形是菱形，故错误， 四边形是平行四边形，， 四边形是矩形，故C正确， 四边形是平行四边形，，， 四边形是正方形．故D正确． 故选B． 【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，矩形，菱形，正方形的判定，掌握以上知识是解题的关键． 8．在正方形中，边长，为中点，为上一点，且垂直平分交于点，则的长度为(    ) A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】设交于点，连接，作于点，由正方形的性质得，，则，可证明四边形是矩形，则，由垂直平分，得，，推导出，进而证明，得，由，求得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图所示，设交于点，连接，作于点， 正方形中，边长，为中点， ，，，， ， 四边形是矩形， ， 垂直平分， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 9．已知点，都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，解题人多关键是根据反比例函数的图象和性质，当且时，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，在每一象限内，随的增大而减小；当时，反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，随的增大而增大，即可． 【详解】解：∵点，都在反比例函数的图象上， ∴反比例函数在第一、三象限中，每一象限内，随的增大而减小， ∵， ∴． 故选：C． 10．如图，在矩形中，对角线，相交于点，，且，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查矩形，等边三角形的知识，解题的关键是掌握矩形的性质，则，，根据，求出，根据题意，则，求出，得到是等边三角形，即可求出． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 11．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数（是常数，且）与反比例函数的图象交于，两点，则不等式的解集是（   ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，观察函数图象，得出函数图象都在函数图象的上方的自变量的取值范围，即可求解．数形结合是解题的关键． 【详解】解：当函数图象都在函数图象的上方时，， 如函数图象可得，当或时，， ∴不等式的解集或， 故选：C． 12．如图，在菱形中，对角线，，点分别是边边上的动点，点在上运动，在运动过程中，存在的最小值，则这个最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，对称轴最短路径的计算，勾股定理等知识的运用，掌握菱形的性质，最短路径的计算方法是解题的关键． 如图所示，在上取一点，使得，连接，，过点作于点，根据菱形的性质可得点关于的对称点为点，，则有，的最小值为的长度，在中，根据勾股定理可得，结合，即可求解． 【详解】解：如图所示，在上取一点，使得，连接，，过点作于点， ∵四边形是菱形， ∴点关于的对称点为点，， ∴， ∴， ∴的最小值为的长度， 设菱形的对角交于点，则， ∴在中，， ∴， ∴， 故选：D ． 第Ⅱ卷 二﹑填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 13．若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了比例的性质，先根据已知条件得到，再把代入所求式子中求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14．已知一元二次方程的一个根为1，则另一个根为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据根与系数的关系，可知两根之和，从而求得另一个根． 【详解】解：由题意可知，， 那么有 即方程的另一个根为2． 故答案为：2． 15．如图，已知，，则 ． 【答案】/ 【分析】根据，可得，继而计算结果． 【详解】解：，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例，解题的关键在于能够熟练掌握平行线分线段成比例定理． 16．如图，在中，点，分别在，上，，，且，，即的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 根据，可得，从而得到，可证明，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，解得：， ∴． 故答案为：5． 三、解答题（本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知配方法及因式分解法解一元二次方程的步骤是解题的关键． （1）利用配方法对所给一元二次方程进行求解即可． （2）利用因式分解法对所给一元二次方程进行求解即可． 【详解】（1）解： 则 所以，． （2）解： 则或 所以，． 18．（10分）已知，如图所示，在中，点在边上，点在边上，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质定理． （1）利用三角形外角的性质及可得出，结合即可证出； （2）利用相似三角形的性质求出的长即可． 【详解】（1）证明：∵ 又， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 19．（10分）已知是坐标原点，、的坐标分别为、． (1)在轴的左侧以为位似中心作的位似图形，使新图与原图的相似比为； (2)的长为______（结果保留根号）； (3)的面积为______． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】(1)根据位似图形的性质即可求得新图形的坐标； (2)根据位似图形的性质即可算出的长度； (3)根据平面直角坐标系内三角形面积的求法即可得到的面积． 【详解】（1）解：∵是坐标原点，、的坐标分别为、，相似比为， ∴，， ∴如图所示即为所求， （2）解：∵，相似比为， ∴． （3）解：过点做，则可得，， ∴． 【点睛】本题考查了位似图形的性质，平面直角坐标系内三角形的面积，熟记位似的性质是解题的关键． 20.（10分）每年的11月9日是“119消防宣传日”．本月3号，嘉祥某校区采用随机抽样的方式对学生掌握消防安全知识的情况进行书面测评，并按成绩高低分成优、良、中、差四个等级进行统计，绘制了两幅尚不完整的统计图，请根据有关信息解答：    (1)接受测评的学生共有_____人，扇形统计图中“优”部分所对应扇形的圆心角为____；并补全条形统计图； (2)若校区共有学生3200人，请估计该校区学生对消防安全知识达到“良”及“良”级以上程度的人数； (3)测评成绩前三名的学生恰好是1个女生和2个男生，现从中随机抽取2人代表学校参加区级消防安全知识竞赛，求出抽到的2个学生恰好是一男生与一女生的概率． 【答案】(1)160，；补图见解析 (2)人 (3) 【分析】（1）根据等级为中的人数及其所占百分比可得总人数，用乘以“优”等级人数所占比例，根据四个等级人数之和等于总人数求出“良”的人数即可补全图形； （2）用总人数乘以“良”及“良”以上程度的人数所占比例即可． （3）画树状图列出所有等可能结果，从中找出符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】（1）接受测评的学生共有（人， 扇形统计图中“优”部分所对应扇形的圆心角为， 等级为“良”的人数为（人， 故答案为：160，； 补全图形如下：    （2）估计该校学生对安全知识达到“良”及“良”级以上程度的人数有：（人； （3）画树状图如下：    共有6种等可能的结果，其中抽到的2个学生恰好是一个男生与一个女生的有4种情况， 抽到的2个学生恰好是一个男生与一个女生的概率是． 【点睛】本题考查的是用列表法或树状图求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能结果，适合两步或两步以上完成的事件．注意概率等于所求情况数与总情况之比． 21．（10分）已知：如图，在平行四边形中，对角线与相交于点E，过点E作的垂线交边于点F，与的延长线交于点M，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求线段的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据相似三角形的性质与判定可知通过由可得，又，证明，可得，可得结论； （2）由矩形的性质可得，根据勾股定理求出，根据则可得出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形． （2）解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∵在中，， ∴， ∵对角线与相交于点E， ∴， ∵， ∴， ∴． 22．（12分）在某初中的综合实践课上，老师给每一位同学发了一张直角三角形的纸片，，分别为．要求学生们利用它裁出一个面积尽可能大的正方形卡片． (1)甲同学很快完成了自己的设计（如图1），请你求出他裁出的正方形的边长． (2)乙同学看了甲同学的设计后提出了不同的设计方案，请利用图2大致画出草图，并求出乙同学裁出的正方形的边长．并比较哪位同学裁出的正方形卡片更大． 【答案】(1)甲同学裁出的正方形的边长是 (2)乙同学裁出的正方形的边长是，甲同学裁出的正方形卡片更大 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质及勾股定理． （1）正方形的边长为，利用，可证明，则，即有，进而即可求出正方形的边长； （2）乙同学裁出的正方形如图所示，过点C作于点H，交于点I， 利用的面积的两种表示方法可求出高的长度，设正方形的边长为，则，证明，从而得到，因而即可求出y的值，再比较甲、乙两位同学裁出的正方形卡片的边长的大小，即可得出结论． 【详解】（1）解： ，分别为， ， 由题意可知，四边形是正方形， 设正方形的边长为， ， ， ， ， ， 解得， 故甲同学裁出的正方形的边长为； （2）解：乙同学裁出的正方形如图所示， 过点C作于点H，交于点I， ， ， 由题意可知，四边形是正方形， 设正方形的边长为，则， ， ， ， ， 解得， 故乙同学裁出的正方形的边长为； ， 甲同学裁出的正方形卡片更大． 23．（12分）综合与探究 如图，在平行四边形中，E，F分别是边上的点，与交于点P． (1)【特例感知】 如图（a），若四边形是正方形，当时，则线段与的数量关系是 ； (2)【深入探究】 如图（b），若四边形是菱形，且，则线段与满足怎样的数量关系？请证明你的猜想；关于此问，数学兴趣小组给出如下两种解决思路．请选择其中一种思路解决问题． 思路一 思路二 如图，在边上取一点M使， 如图，在的延长线上取一点N使 (3)【类比迁移】 如图（c），若四边形是菱形，E为的中点，，请求出的值； (4)【联系拓广】 如图（d），在平行四边形中，，F是边的中点，当点E在直线上运动，且直线与直线所夹的锐角为时，请直接写的长． 【答案】(1) (2)；见解析 (3) (4)或8 【分析】本题主要考查了菱形的性质、解直角三角形、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）根据正方形的性质及已知条件证明，再运用全等三角形的性质即可证明结论； （2）猜想，思路一：如图在边上取一点M使，则．再根据菱形的性质证明，再运用全等三角形的性质即可证明结论；思路二：如图，在的延长线上取一点N使，则．再根据菱形的性质证明可得，进而证明结论； （3）如图，延长，使．再证明是等边三角形，可得，再证明，再根据相似三角形的性质即可解答； （4）如图，分别与直线相交于G、I，．则为等边三角形．过点F作，垂足为J，则， ．然后运用相似三角形的判定与性质即可解答． 【详解】（1）解：∵当四边形是正方形，． ∴． ∴． 又∵． ∴． ∴． 故答案为：． （2）解：猜想，证明如下： 思路一：如图在边上取一点M使，则． ∵四边形是菱形． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 在和中，， ∴． ∴． 思路二：如图，在的延长线上取一点N使，则． 根据菱形的性质， ∴． 又∵， ∴． 在和中，， ∴． ∴， ∴． （3）解：如图，延长，使． ∵， ∴， ∴是等边三角形． ∴． ∵， ∴． 在和中，， ∴． ∴． （4）解：如图，分别与直线相交于G、I，． ∴为等边三角形． 过点F作，垂足为J，则， ． 又∵， ∴， ，， ． ∵， ∴， 又∵， ∴． ∴ ．即， ∴， ， ∴ ， ． 在和中，， ∴． ∴ ， ∴， 在和中，， ∴． ∴，则， ∴． ∴的长度为或8． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $