精品解析：福建省石狮市石光中学2025-2026学年高二上学期10月阶段考试数学试卷

石光中学2025-2026学年第一学期阶段考试卷（高二年数学科） 考试时间长度120分钟，总分150分，命题人：王志勇林丽浇邱育群 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线l经过点，则直线l的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由直线过的两点的坐标，可得直线的斜率，进而求出直线的倾斜角的大小. 【详解】直线l经过点，所以直线的斜率为， 设直线的倾斜角为， 即，所以. 故选：B. 2. 从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用列举法，结合古典概型的计算公式进行求解即可. 【详解】从1，2，3，4，5中任取两个不同的数的结果为： ，共10个， 取出的2个数之差的绝对值为2的结果为：，共3个， 所以取出的2个数之差的绝对值为2的概率是. 故选：B. 3. 设，向量，，，且，，则（　　） A. B. C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量平行和垂直求的值，进而求和. 【详解】因为向量，，， 若，则，解得，所以； 且，则，解得，所以； 可得，所以. 故选：C. 4. 在三棱柱中，为棱的中点．设，用基底表示向量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】取的中点，连接，，根据空间向量线性运算法则计算可得. 【详解】取的中点，连接，， 因为是的中点，， 所以. 故选：A 5. 有5件产品，其中3件正品，2件次品，从中任取2件，则互斥而不对立的两个事件是 A. 至少有1件次品与至多有1件正品 B. 至少有1件次品与都是正品 C. 至少有1件次品与至少有1件正品 D. 恰有1件次品与恰有2件正品 【答案】D 【解析】 【分析】根据对立事件和互斥事件的定义,依次判断每个选项得到答案. 【详解】A、至少有1件次品与至多有1件正品不互斥,它们都包括了“一件正品与一件次品”的情况,故不满足条件. B、至少有1件次品与都是正品是对立事件,故不满足条件. C、至少有1件次品与至少有1件正品不互斥,它们都包括了“一件正品与一件次品”的情况,故不满足条件. D、恰有1件次品与恰有2件正是互斥事件,但不是对立事件,因为除此之外还有“两件都是次品”的情况,故满足条件. 故选:D. 【点睛】本题考查了对立事件和互斥事件，意在考查学生对对立事件和互斥事件的理解,难度较易. 6. 在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依据题目中的垂直关系，可建立空间直角坐标系，求出向量与的坐标，即可求得异面直线与所成角的余弦值． 【详解】由题意可知， 三线两两垂直，所以可建立空间直角坐标系，如图所示： 则，． ∴． ∴． 异面直线与所成角的余弦值为． 故选：C． 7. 已知点，若直线与线段相交，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题直线过定点，作图，数形结合求解即可. 【详解】因为直线恒过定点，且， 要使得直线与线段相交由图可知，则或. 所以的取值范围为. 故选：B. 8. 在长方体中，，，，，分别是棱，，上的点，且，，，是平面内一动点，若直线与平面平行，则的最小值为（ ） A. B. 17 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面MPN的法向量，设出，根据求出，计算出，得到最小值. 【详解】以D作坐标原点，DA，DC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则， 设平面MPN的法向量为， 则， 令，则，故， 设，则， 因为直线与平面平行，所以， ， 因为，所以， 故 ， 故当时，取得最小值，最小值为. 故选：A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知的三个顶点，，，则下列描述正确的有（ ） A. 直线BC的倾斜角不存在 B. 直线AB的斜率为-2 C. 边AB上的高所在直线的方程为 D. 边AB上的中线所在直线的方程为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用斜率与倾斜角的关系可判断A选项；利用斜率公式可判断B选项；利用直线的点斜式方程可判断CD选项. 【详解】直线BC的倾斜角为，斜率不存在，A选项错误； 直线AB的斜率为，B选项正确； 边AB上的高线与AB垂直，斜率，又高线过点C， 边AB上的高所在直线的方程为，即，C选项正确； 边AB上的中点坐标为，则边AB上中线所在直线斜率为， 所以中线方程为，即，D选项正确. 故选：BCD. 10. 连续抛掷一枚质地均匀的硬币次，记录这次实验的结果.设事件表示“次实验结果中，既出现正面又出现反面”，事件表示“次实验结果中，至多出现一次正面”，则下列结论正确的有 （ ）. A. 若，则与互斥 B. 若，则与不相互独立 C. 若，则与不互斥 D. 若，则与相互独立 【答案】BCD 【解析】 【分析】依次写出和时样本总空间、事件的样本空间，以及利用古典概型求出相应的概率，再结合互斥事件和独立事件定义分析即可得解. 【详解】记抛掷一枚硬币正面向上为1，反面向上为0， 则连续抛掷一枚硬币两次的样本空间为， 此时事件的样本空间为，事件的样本空间为， 积事件的样本空间为， 所以事件交集不空，不互斥，且， 所以，故与不相互独立，故A错误，B正确； 连续抛掷一枚硬币3次的样本空间为共8个样本点， 此时事件的样本空间为共6个样本点， 事件的样本空间为共4个样本点， 积事件的样本空间为， 所以事件的交集不空，不互斥，且， 所以，故与相互独立，故CD正确； 故选：BCD 11. 伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖，在正六边形上画正方体图案，如图1，把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转成图3所示的集合体．若图3中每个正方体的棱长都为1，则（ ） A. B. 若为线段上的一个动点，则的最大值为2 C. 点到直线的距离为 D. 异面直线与所成角的正切值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，得到相关点的坐标，A求出相关向量，根据向量的数乘及加减运算计算即可；B计算出，结合二次函数的性质求解即可；C根据向量法求点到直线的距离公式求解即可；D根据向量法求异面直线的夹角即可. 【详解】以为原点，以，为轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，，，，，，. A：，，，. ，正确； B：设，则，所以. 所以，， 所以. 令，则在上单调递减，在上单调递增. 又，， 所以在上的最大值为3，即的最大值为3，错误； C：，， ，，. 所以点到直线的距离为，正确； D：，， 设异面直线与所成角为. 则， 所以，，正确. 故选：ACD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线，若，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】由条件结合直线平行结论列方程求，并对所得结果进行检验. 【详解】因为，， 所以，所以，解得或， 当时，即与重合，不满足要求， 当时，，即，则直线平行，满足要求. 故答案为：1 13. 已知直线l的方向向量为，平面α的法向量为，若l⊥α，则实数λ的值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意可得与共线，结合空间向量共线的坐标关系分析运算. 【详解】因为l⊥α，所以与共线， 则存在实数m使得，且， 可得，解得， 故答案为：. 14. 某中学根据学生的兴趣爱好，分别创建了“书法”、“诗词”、“理学”三个社团，据资料统计新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立.年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“书法”.“诗词”、“理学”三个社团的概率依次为、、，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，且.该校根据三个社团活动安排情况，对进入“书法”社的同学增加校本选修学分分，对进入“诗词”社的同学增加校本选修学分分，对进入“理学”社的同学增加校本选修学分分.求该新同学在社团方面获得校本选修课学分分数不低于分的概率为_____. 【答案】 【解析】 【分析】由相互独立事件概率乘法公式和对立事件概率计算公式列出方程组，求出、的值，令该新同学在社团方面获得校本选修课学分的 分数为，获得校本选修课学分分数不低于分为事件，利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率计算公式能求出结果． 【详解】由题意列出方程组，得： ，解得，． 令该新同学在社团方面获得校本选修课学分的分数为， 获得校本选修课学分分数不低于分为事件， 则， ， ， ． 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知直线l经过点，分别求出下列直线方程（结果用一般式方程表示） （1）直线l与直线垂直 （2）直线l在两坐标轴上截距的绝对值相等 【答案】（1） （2）或或 【解析】 【分析】（1）先根据两直线垂直关系求出直线的斜率，再利用点斜式求出直线的方程． （2）利用直线在两坐标轴上截距的绝对值相等条件，分截距都为0和不为0两种情况讨论，得出直线方程． 【小问1详解】 直线的斜率为，直线l与直线垂直，设直线的斜率为， ，解得， 又直线l经过点， 直线方程为：，一般式方程为：． 【小问2详解】 直线l在两坐标轴上截距的绝对值相等，直线l经过点， 当直线在两坐标轴上的截距都为0时，设直线方程为，代入点得， 直线方程为，一般式为：； 当直线在两坐标轴上的截距不为0时，设直线的方程为：，则， 又，或， 当时，，则直线方程为； 当时，，则直线方程为． 直线的方程为：或或． 16. 一个盒子中装有 6 支圆珠笔，其中 3 支一等品，2 支二等品和 1 支三等品.若从中任取 2 支，那么下列事件 的概率各是多少? （1）“恰有 1 支一等品 ” ； （2）“没有三等品 ”. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）列举出6支圆珠笔任取2支试验包含的所有样本点，得，然后写出事件包含的样本点，得，最后利用古典概型的概率公式即可求解； （2）写出事件包含的样本点，得，然后利用古典概型的概率公式即可求解； 【小问1详解】 用表示3支一等品，用表示2支二等品，用表示三等品， 所以从6支圆珠笔中任取2支的样本空间为： ，共15个样本点， 即， 事件， 共9个样本点，即， 所以. 【小问2详解】 事件， 共10个样本点，即， 所以. 17. 如图，在三棱柱中，平面，，，为线段上一点. （1）求证：； （2）若直线与平面所成角为，求点到平面的距离. 【答案】（1）证明:因为平面，平面， 所以，而，因此建立如图所示的空间直角坐标系： ， ，因为， 所以，即; （2）. 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的坐标运算公式进行证明即可； （2）利用空间向量夹角公式，结合空间点到面距离公式进行求解即可. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 设平面的法向量为， ， 所以有， 因为直线与平面所成角为， 所以， 解得，即，因为， 所以点到平面的距离为： . 【点睛】 18. 科技进步能够更好地推动高质量发展，如人工智能中的DeepSeek．小明、小华两位同学报名参加某公司拟开展的DeepSeek培训，培训前需要面试，面试时共有3道题目，答对2道题则通过面试（前2道题都答对或都答错，第3道题均不需要回答）．已知小明答对每道题目的概率均为，小华答对每道题目的概率依次为，且小明、小华两人每道题能否答对相互独立．记“小明只回答2道题就结束面试”为事件，记“小华3道题都回答且通过面试”为事件． （1）求事件发生的概率； （2）求事件和事件同时发生的概率； （3）求小明、小华两人恰有一人通过面试的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）若事件发生，则小明前两题都答对或都答错，利用独立事件和互斥事件的概率公式可求得的值； （2）若事件发生，则小华前两题答对一题，答错一题，第三题答对，求出的值，分析可知，事件、相互独立，由独立事件的概率公式可求得的值； （3）记小明没有通过面试为事件，小华通过面试的事件记为，求出这两个事件的概率，记小明、小华两人恰有一人通过面试的事件记为，则，利用独立事件和互斥事件的概率公式可求得的值. 【小问1详解】 若事件发生，则小明前两题都答对或都答错， 所以． 【小问2详解】 若事件发生，则小华前两题答对一题，答错一题，第三题答对， 根据题意则小华3道题都回答且通过面试的概率为， 由题意可知，事件相互独立， 则． 【小问3详解】 记小明没有通过面试为事件， 即分前两道回答对一道且最后一道错误或前两道均回答错误两种情况， 则小明没有通过面试的概率为， 可得小明通过面试的概率为． 记小华通过面试的事件为，由（2）得， 由题意可知，事件相互独立， 记小明、小华两人恰有一人通过面试的事件为， 则． 19. 已知两个非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量的夹角，记作.定义与的“向量积”为：是一个向量，它与向量都垂直，它的模.如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面为上一点，. （1）求的长； （2）若为的中点，求平面与平面所成角的余弦值； （3）若为上一点，且满足，求. 【答案】（1）2 （2） （3）10 【解析】 【分析】（1）证明，为直线与所成的角，设，结合“向量积”的模的定义由条件列方程求可得的长； （2）法一，作交的延长线于点，连接，证明为二面角的平面角，解三角形求得平面与平面所成角的余弦值； 法二，建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，然后利用向量法求解； （3）利用向量的向量积的定义可证平面，在平面内过点作，垂足为，证明平面，过点作交于点，证明，结合条件可求. 【小问1详解】 因为底面为矩形，所以， 因为底面底面，所以， 又平面， 所以平面， 又平面，所以， 因为， 所以为直线与所成的角，即， 设，则， 在中， 又，所以，解得或（舍去）， 所以； 【小问2详解】 法一：在平面内过点作交的延长线于点，连接， 因为底面底面，所以， 又平面， 所以平面，又平面，所以， 所以为二面角的平面角， 因为为的中点， 所以， 所以， 所以平面与平面所成角的余弦值为； 法二：以为坐标原点，所以直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设平面的一个法向量为， ， 令，得， ， 设平面的一个法向量为， ， 平面与平面所成角的余弦值为. 【小问3详解】 依题意，又， 所以，又，所以， 又平面，所以平面， 在平面内过点作，垂足为， 由平面平面，所以， 又平面，所以平面， 在平面内过点作交于点，在上取点，使得，连接， 所以且，所以四边形为平行四边形， 所以，又，即， 所以. 【点睛】思路点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石光中学2025-2026学年第一学期阶段考试卷（高二年数学科） 考试时间长度120分钟，总分150分，命题人：王志勇林丽浇邱育群 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线l经过点，则直线l的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率为（ ） A. B. C. D. 3. 设，向量，，，且，，则（　　） A. B. C. 3 D. 4 4. 在三棱柱中，为棱的中点．设，用基底表示向量，则（ ） A. B. C. D. 5. 有5件产品，其中3件正品，2件次品，从中任取2件，则互斥而不对立的两个事件是 A. 至少有1件次品与至多有1件正品 B. 至少有1件次品与都是正品 C. 至少有1件次品与至少有1件正品 D. 恰有1件次品与恰有2件正品 6. 在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知点，若直线与线段相交，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 在长方体中，，，，，分别是棱，，上的点，且，，，是平面内一动点，若直线与平面平行，则的最小值为（ ） A. B. 17 C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知的三个顶点，，，则下列描述正确的有（ ） A. 直线BC的倾斜角不存在 B. 直线AB的斜率为-2 C. 边AB上的高所在直线的方程为 D. 边AB上的中线所在直线的方程为 10. 连续抛掷一枚质地均匀的硬币次，记录这次实验的结果.设事件表示“次实验结果中，既出现正面又出现反面”，事件表示“次实验结果中，至多出现一次正面”，则下列结论正确的有 （ ）. A. 若，则与互斥 B. 若，则与不相互独立 C. 若，则与不互斥 D. 若，则与相互独立 11. 伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖，在正六边形上画正方体图案，如图1，把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转成图3所示的集合体．若图3中每个正方体的棱长都为1，则（ ） A. B. 若为线段上的一个动点，则的最大值为2 C. 点到直线的距离为 D. 异面直线与所成角的正切值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线，若，则______． 13. 已知直线l的方向向量为，平面α的法向量为，若l⊥α，则实数λ的值为________． 14. 某中学根据学生的兴趣爱好，分别创建了“书法”、“诗词”、“理学”三个社团，据资料统计新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立.年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“书法”.“诗词”、“理学”三个社团的概率依次为、、，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，且.该校根据三个社团活动安排情况，对进入“书法”社的同学增加校本选修学分分，对进入“诗词”社的同学增加校本选修学分分，对进入“理学”社的同学增加校本选修学分分.求该新同学在社团方面获得校本选修课学分分数不低于分的概率为_____. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知直线l经过点，分别求出下列直线方程（结果用一般式方程表示） （1）直线l与直线垂直 （2）直线l在两坐标轴上截距的绝对值相等 16. 一个盒子中装有 6 支圆珠笔，其中 3 支一等品，2 支二等品和 1 支三等品.若从中任取 2 支，那么下列事件 的概率各是多少? （1）“恰有 1 支一等品 ” ； （2）“没有三等品 ”. 17. 如图，在三棱柱中，平面，，，为线段上一点. （1）求证：； （2）若直线与平面所成角为，求点到平面的距离. 18. 科技进步能够更好地推动高质量发展，如人工智能中的DeepSeek．小明、小华两位同学报名参加某公司拟开展的DeepSeek培训，培训前需要面试，面试时共有3道题目，答对2道题则通过面试（前2道题都答对或都答错，第3道题均不需要回答）．已知小明答对每道题目的概率均为，小华答对每道题目的概率依次为，且小明、小华两人每道题能否答对相互独立．记“小明只回答2道题就结束面试”为事件，记“小华3道题都回答且通过面试”为事件． （1）求事件发生的概率； （2）求事件和事件同时发生的概率； （3）求小明、小华两人恰有一人通过面试的概率． 19. 已知两个非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量的夹角，记作.定义与的“向量积”为：是一个向量，它与向量都垂直，它的模.如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面为上一点，. （1）求的长； （2）若为的中点，求平面与平面所成角的余弦值； （3）若为上一点，且满足，求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $