3.3.2 抛物线的简单几何性质 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第三章 圆锥曲线的方程 3.3.2 抛物线的简单几何性质 1 学习目标 1.理解抛物线的简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）. 2.能用抛物线的简单几何性质解决一些简单的问题. 2 1.范围 3 2.对称性 4 3.顶点 5 4.离心率 6 抛物线标准方程的性质 7 例题巩固 8 9 10 11 12 13 14 课堂小练 C 15 D 16 C 17 A 18 19 C 20 21 AC 22 23 24 25 26 27 28 29 小结： 回顾一下本节课学习了哪些新知识呢？ 1.范围 2.对称性 3.顶点 4.离心率 30 THANK YOU 31 因为，由方程可知，对于抛物线上的点，，，当时，抛物线在y轴的右侧，开口方向与x轴的正方向相同；当x的值增大时，的值也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸. 以代y，方程不变，所以抛物线关于x轴对称. 抛物线的对称轴叫做抛物线的轴. 抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点. 在方程中，当时，，因此抛物线的顶点就是原点. 抛物线上的点M与焦点F的距离和点M到准线的距离d的比，叫做抛物线的离心率，用e表示. 由抛物线的定义可知，. 标准方程 图形 焦点 准线 顶点 开口方向 右 左 上 下 对称轴 x轴 y轴 x的取值范围 R y的取值范围 R 离心率 解：因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在原点，并且经过点， 所以可设它的标准方程为. 因为点M在抛物线上，所以，解得. 因此，所求抛物线的标准方程是. 例1 已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在原点，并且经过点， 求它的标准方程. 例2 斜率为1的直线l经过抛物线的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长. 解：由题意可知，，，焦点F的坐标为，准线方程为. 如图，设，，A，B两点到准线的距离分别为，. 由抛物线的定义，可知，， 于是. 因为直线l的斜率为1，且过焦点， 所以直线l的方程为.① 将①代入方程，得，化简得. 所以，. 所以线段AB的长是8. 例3 经过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，经过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴. 解：如图，以抛物线的对称轴为x轴，抛物线的顶点为原点，建立平面直角坐标系.设抛物线的方程为①， 点A的坐标为，则直线OA的方程为②， 抛物线的准线方程是③，联立②③可得点D的纵坐标为. 因为焦点F的坐标是， 当时，直线AF的方程为.④ 联立①④，消去x得，即， 可得点B的纵坐标为，与点D的纵坐标相等，于是DB平行于x轴. 当时，易知结论成立. 所以，直线DB平行于抛物线的对称轴. 例4 如图，已知定点，轴于点C，M是线段OB上任意一点，轴于点，于点E，OE与MD相交于点，求点的轨迹方程. 解：设点，，其中，则点的坐标为. 由题意，直线OB的方程为，① 因为点在OB上，将点的坐标代入①，得，② 所以点的横坐标满足②. 直线OE的方程为，③ 因为点在OE上，所以点的坐标满足③. 将②代入③，消去得，即点的轨迹方程. 解析：由拋物线定义知点A到拋物线C的焦点的距离等于到准线的距离，则，解得.故选C. 1.已知A为拋物线上的一点，点A到抛物线C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p的值为( ) A.2 B.3 C.6 D.9 解析：设抛物线的焦点为F，过P作PA与抛物线的准线垂直，垂足为A， 作PB与l垂直，垂足为B，则，显然当 P，F，B三点共线（即点P在线段BF上）时，取得最小值，最小值为.故选D. 2.已知抛物线和直线，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为，到直线l的距离为，则的最小值为( ) A. B. C. D. 解析：由题意可知过焦点且倾斜角为60°的直线方程为，与抛物线方程联立得，消去y并整理，得，设点，，则，所以，解得.故选C. 3.过抛物线的焦点F作倾斜角为60°的直线交拋物线于A，B两点，若线段AB的长为8，则p的值为( ) A.-3 B.1 C.3 D.4 4.已知抛物线M的顶点在原点，焦点在y轴正半轴上，过其焦点F作直线l交抛物线于A，B两点，过点A，B分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为点C，D，，且，则该抛物线的方程为( ) A. B. C. D. 解析：设，，，抛物线的方程为，因为，所以，，所以，，，，因为，所以，所以，所以抛物线的方程为.故选A. 5.过抛物线焦点F的直线交抛物线于两点，交其准线于点C，且位于x轴同侧.若，则( ) A.2 B.3 C.4 D.5 解析：设抛物线的准线为l，准线l与x轴交于点H，则，，，过A作，垂足为D，由抛物线的定义可知，，，，则，