九年级上册期中模拟卷02-2025-2026学年九年级数学上册高频考点题型归纳与满分必练（人教版）

2025-2026学年数学九年级上册期中模拟卷2 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1． 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。 4．测试范围：人教版 九年级上册第21章〜第24章。 第Ⅰ卷 一﹑单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列方程中是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：A、是二元一次方程，不符合题意； B、是一元二次方程，符合题意； C、是分式方程，不符合题意； D、最高次为3次，不符合题意． 故选B． 2．下列与杭州亚运会有关的图案中，是中心对称图形的是（   ） A．  B．  C．   D．   【答案】D 【分析】根据中心对称图形的定义进行判断． 【详解】解：A，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B． 不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C． 不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选：D 【点睛】本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 3．方程x2－3x＝0的根是（　　） A．x1＝x2＝0 B．x1＝x2＝3 C．x1＝0，x2＝3 D．x1＝0，x2＝－3 【答案】C 【分析】先将方程左边提公因式x，可解方程． 【详解】解：x2﹣3x=0，x（x﹣3）=0， 解得：x1=0，x2=3． 故选C． 【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，属于基础题，因式分解法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 4．要得到抛物线，可以将抛物线：（    ） A．向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度 B．向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度 C．向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度 D．向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度 【答案】D 【分析】根据抛物线的平移规则：左加右减，上加下减，进行判断即可； 【详解】解：将抛物线先向右平移4个单位，再向下平移1个单位，即可得到抛物线； 故选D． 【点睛】本题考查抛物线的平移．熟练掌握抛物线的平移规则：左加右减，上加下减，是解题的关键． 5．关于的一元二次方程根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】B 【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．解题的关键是证得判别式． 【详解】解：一元二次方程的根的判别式 ∵ ∴，即 所以原方程有两个不相等的实数根． 故选：B． 6．如图，把含的三角板绕点A逆时针旋转得到，使得点、A、三点共线，则旋转角的度数为（ ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】题目主要考查旋转角的计算，理解题意，找准旋转角是解题关键． 【详解】解：根据题意得， ∵点、A、三点共线， ∴， 故选：D． 7．已知抛物线，y与x的部分对应值如表所示，下列说法错误是（    ） x 0 1 2 3 y 0 3 4 3 m A．开口向下 B．顶点坐标为 C．当时，随的增大而减小 D． 【答案】C 【分析】本题考查的是抛物线的对称性，增减性，对称轴与顶点坐标，熟记二次函数图象与性质并逐一分析各选项是解本题的关键． 【详解】解：∵当，时的函数值相等， ∴抛物线的对称轴为直线， 而时的函数值为， ∴函数图象的开口向下，顶点坐标为，当时，随的增大而增大， 由对称性可得和时的函数值相等，可得， ∴C不符合题意； 故选C 8．某校组织一次篮球联赛，邀请了个球队参加比赛，每两队之间赛一场，计划安排15场比赛．可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据比赛的总场次数 参赛队伍数（参赛队伍数）列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设有支球队参加比赛， 根据比赛的总场次数 参赛队伍数（参赛队伍数）， 列出一元二次方程为， 故选：D． 9．如图，圆锥的底面半径为，高为，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要查了求圆锥的侧面积，先根据圆锥的底面半径和高，利用勾股定理求出圆锥的母线长；再结合圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开扇形的弧长，据此可得出扇形的弧长； 最后利用扇形的面积计算方法，即可． 【详解】解：由勾股定理得，圆锥的母线长为， ∵圆锥的底面周长为， ∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为， ∴圆锥的侧面积为：． 故选：C． 10．如图，一次函数与抛物线相交于A、B两点，则关于x的不等式的解集为（    ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数与不等式的关系，根据函数图象得出的取值范围． 【详解】解：观察函数图象可得：或时，抛物线在直线上方， ∴关于x的不等式的解集为或， 故选：A． 11．若是方程的两根，则（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的解，根与系数的关系，根据题意，得：，整体代入代数式进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴； 故选A． 12．二次函数的图象如图所示，对称轴是，下列结论正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抛物线的性质，对称轴，图形的信息，逐一计算判断即可． 【详解】∵， ∴， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴， ∴， 故A不符合题意； ∵， ∴， 故B不符合题意； ∵时， y=a-b+c， ∴2a-2b+2c， ∵， ∴， ∴-b-2b+2c， ∴3b-2c， 故C不符合题意； ∵时， y=a-b+c， ∵， ∴， ∴3a+c， 故D符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数图像，抛物线的性质，灵活运用图像及其性质是解题的关键． 第Ⅱ卷 二﹑填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 13．若抛物线向左平移1个单位长度，向下平移2个单位长度，则所得的抛物线的解析式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】解：抛物线向左平移1个单位长度，向下平移2个单位长度，则所得的抛物线的解析式是， 故答案为：． 14．某件羊毛衫的售价为1000元，因换季促销，在经过连续两次降价后，现售价为810元，设平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程为 ． 【答案】 【分析】第一次降价后的单价是1000（1-x），第一次降价后的单价是1000（1-x）2，根据题意列出方程即可． 【详解】解：由题意得 故答案为： 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解平均变化率并正确列出一元二次方程是解题的关键． 15．如图为二次函数图象的一部分，其对称轴为直线．若其与x轴一交点为，则由图象可知，不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】此题考查了利用二次函数的图象求不等式的解集，根据二次函数与不等式的关系解答即可，正确掌握二次函数与不等式的关系是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，图象与x轴一交点为, ∴图象与x轴的另一交点为， ∵抛物线开口向上， ∴当时，即， 故答案为：． 16．小林在练习投掷实心球，其示意图如图，第一次练习时，球从点A处被抛出，其路线是抛物线．点A距离地面，当球到OA的水平距离为时，达到最大高度为．那么投掷距离为 ． 【答案】4 【分析】此题考查了二次函数的实际应用，建立直角坐标系，由题意得：抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为，过点，利用待定系数法求出解析式，当时求出x的值即可得到． 【详解】解：建立如图所示的直角坐标系，      由题意得：抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为，过点， ∴， 解得， ∴， 当时，， 得（舍去）， ∴投掷距离为； 故答案为：4． 三、解答题（本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握解一元二次方程的方法． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， 则， 或， 解得，； （2）解：， ， 则，即， ， ，． 18．（10分）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为（每个方格的边长均为1个单位长度） (1)请画出关于原点对称的图形，并写出三点的坐标． (2)将绕点O逆时针旋转，画出旋转后得到的． 【答案】(1)A1（﹣1，﹣4），B1（﹣4，﹣2），C1（﹣3，﹣5）； (2)见解析． 【分析】（1）利用关于原点对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可； （2）根据旋转的性质作出对应点的位置即可． 【详解】（1）解：如图所示，△A1B1C1即为所求，A1（﹣1，﹣4），B1（﹣4，﹣2），C1（﹣3，﹣5）； （2）如图所示，△A2B2C2即为所求． 【点睛】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． 19．（10分）已知抛物线经过点，且对称轴为． (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线与轴的交点坐标． 【答案】(1) (2)，． 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，抛物线与轴的交点坐标： （1）根据对称轴公式以及经过点，分别求得，即可求解； （2）由题意，直接令，即可求出抛物线与轴的交点坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，且对称轴为． ∴ ∴． ． （2）令， ． 解得：，． 抛物线与轴的交点坐标是，． 20．（10分）小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头距地面，水柱在距喷水头水平距离处达到最高，最高点距地面；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中（）是水柱距喷水头的水平距离，（）是水柱距地面的高度． (1)求抛物线的表达式． (2)身高的小红在水柱下方走动，当她的头发不接触到水柱时，求她在轴上的横坐标的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的实际应用． （1）由抛物线顶点，设抛物线的表达式为，用待定系数法可得抛物线的表达式； （2）当时，，解得或，进而可得结论． 【详解】（1）解：由题意知，抛物线顶点为， 设抛物线的表达式为， 将代入得：， 解得， ∴， ∴抛物线的表达式为； （2）解：当时，， 解得或， 结合抛物线图象可得，当她的头发不接触到水柱时，她在x轴上的横坐标x的取值范围为． 21．（10分）如图，为的直径，为上一点，为的中点，过作的切线交的延长线于，交的延长线于，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)的半径为3 【分析】本题主要考查切线的判定和性质，勾股定理，在（2）中利用勾股定理求得的长是解题的关键． （1）连接，则，由D为中点可知，则有，可得，且，利用角的和差可求得，可知为切线； （2）由勾股定理求出，设的半径为，则在中，有，即，求出即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， 为切线， ， 为中点，， ，， ∴为的垂直平分线， ， ， ，即， ， 又为的半径， 为的切线； （2）解：为切线， ， 由（1）得，， 在中，有， 设的半径为，则 在中，有，即， 解得， 即的半径为3 22．（12分）阅读下面材料，并解决问题： (1)如图①等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数． 为了解决本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出______； (2)基本运用 请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题 已知如图②，中，，，E、F为上的点且，求证：； (3)能力提升 如图③，在中，，，，点O为内一点，连接，，，且，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）由全等三角形的性质得，，，，，再由等边三角形的性质与判定得，，根据勾股定理逆定理得，，进而求解即可； （2）将绕点A逆时针旋转得到，连接 、，由旋转的性质和等量代换得，从而证得，得，，证得，得，即可得证； （3）将绕点B顺时针旋转得到，连接，由全等三角形的性质和旋转的性质证得，是等边三角形，得，进而得，再由直角三角形的性质和勾股定理求得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ，，，， ∵是等边三角形， ， ，即， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：如图，将绕点A逆时针旋转得到，连接 、， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：将绕点B顺时针旋转得到，连接， ∴，， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴点C、O、、在一条直线上， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴, ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 23．（12分）如图，已知抛物线与x轴相交于两点，与y轴相交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)点P为抛物线上的一个动点，且在直线的上方，试求面积的最大值； (3)点E是线段上异于B，C的动点，过点E的直线轴于点N，交抛物线于点M．当为直角三角形时，求点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了求二次函数关系式、求二次函数的最值、等腰直角三角形的判定，二次函数的性质等知识点，正确用坐标差表示线段的长是解题的关键． （1）将点代入关系式求得a、b的值即可解答； （2）如图1：过点P作轴，垂足为M，交于点D，设点P的横坐标为m，则，求出，再根据二次函数的最值即可； （3）分和两种情况，分别根据等腰直角三角形的性质以及二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：抛物线与x轴相交于两点， 则，解得：， ∴抛物线的关系式为． （2）解：∵抛物线与y轴相交于点C，即当时，， ∴点． 设直线的关系为， 将点B，点C的坐标分别代入得： ，解得：， ∴． 如图1：过点P作轴，垂足为M，交于点D， 设点P的横坐标为m，则， ∴， ∴ ， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，的最大值为． （3）解： 如图2，当时，轴， ∴点C与点M关于对称轴直线对称， ∴点． 如图3，当，过点M作轴，垂足为F， ∵， ∴， ∴， ∴． 设，则点， ∴，解得：（不合题意，舍去），， ∴点． 综上所述，点M的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年数学九年级上册期中模拟卷2 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1． 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。 4．测试范围：人教版 九年级上册第21章〜第24章。 第Ⅰ卷 一﹑单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列方程中是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．下列与杭州亚运会有关的图案中，是中心对称图形的是（   ） A．  B．  C．   D．   3．方程x2－3x＝0的根是（　　） A．x1＝x2＝0 B．x1＝x2＝3 C．x1＝0，x2＝3 D．x1＝0，x2＝－3 4．要得到抛物线，可以将抛物线：（    ） A．向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度 B．向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度 C．向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度 D．向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度 5．关于的一元二次方程根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 6．如图，把含的三角板绕点A逆时针旋转得到，使得点、A、三点共线，则旋转角的度数为（ ）    A． B． C． D． 7．已知抛物线，y与x的部分对应值如表所示，下列说法错误是（    ） x 0 1 2 3 y 0 3 4 3 m A．开口向下 B．顶点坐标为 C．当时，随的增大而减小 D． 8．某校组织一次篮球联赛，邀请了个球队参加比赛，每两队之间赛一场，计划安排15场比赛．可列方程（    ） A． B． C． D． 9．如图，圆锥的底面半径为，高为，则圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 10．如图，一次函数与抛物线相交于A、B两点，则关于x的不等式的解集为（    ） A．或 B． C． D． 11．若是方程的两根，则（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 12．二次函数的图象如图所示，对称轴是，下列结论正确的是（   ）． A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二﹑填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分．） 13．若抛物线向左平移1个单位长度，向下平移2个单位长度，则所得的抛物线的解析式是 ． 14．某件羊毛衫的售价为1000元，因换季促销，在经过连续两次降价后，现售价为810元，设平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程为 ． 15．如图为二次函数图象的一部分，其对称轴为直线．若其与x轴一交点为，则由图象可知，不等式的解集是 ． 16．小林在练习投掷实心球，其示意图如图，第一次练习时，球从点A处被抛出，其路线是抛物线．点A距离地面，当球到OA的水平距离为时，达到最大高度为．那么投掷距离为 ． 三、解答题（本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）解方程： (1)； (2)． 18．（10分）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为（每个方格的边长均为1个单位长度） (1)请画出关于原点对称的图形，并写出三点的坐标． (2)将绕点O逆时针旋转，画出旋转后得到的． 19．（10分）已知抛物线经过点，且对称轴为． (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线与轴的交点坐标． 20．（10分）小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头距地面，水柱在距喷水头水平距离处达到最高，最高点距地面；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中（）是水柱距喷水头的水平距离，（）是水柱距地面的高度． (1)求抛物线的表达式． (2)身高的小红在水柱下方走动，当她的头发不接触到水柱时，求她在轴上的横坐标的取值范围． 21．（10分）如图，为的直径，为上一点，为的中点，过作的切线交的延长线于，交的延长线于，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 22．（12分）阅读下面材料，并解决问题： (1)如图①等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求的度数． 为了解决本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出______； (2)基本运用 请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题 已知如图②，中，，，E、F为上的点且，求证：； (3)能力提升 如图③，在中，，，，点O为内一点，连接，，，且，求的值． 23．（12分）如图，已知抛物线与x轴相交于两点，与y轴相交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)点P为抛物线上的一个动点，且在直线的上方，试求面积的最大值； (3)点E是线段上异于B，C的动点，过点E的直线轴于点N，交抛物线于点M．当为直角三角形时，求点M的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $