第03讲 解直角三角形+三角函数的应用+利用三角函数测高讲义（知识详解+6典例分析+习题巩固）【满分全攻略备考系列】2025-2026学年北师大版数学九年级下册重难点讲义与测试

第03讲 解直角三角形+三角函数的应用+利用三角函数测高 （知识详解+6典例分析+习题巩固） 知识详解 知识点01：解直角三角形的定义 知识点02：直角三角形中的边角关系 知识点03：解直角三角形的应用 知识点04：测量倾斜角 知识点05：测量底部可以到达的物体的高度 典例分析 （举三反三） 考点1：解直角三角形 考点2：解非直角三角形 考点3：与仰角、俯角有关的问题 考点4：与方位角有关的问题 考点5：与坡角、坡度有关的问题 考点6：利用三角函数测高 习题巩固 一、单选题（11） 二、填空题（10） 三、解答题（11） 【知识点01】解直角三角形的定义 定义：一般地，在直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角. 由直角三角形中已知的元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形. 注意：(1)在直角三角形中，除直角外的五个元素中，已知其中的两个元素(至少有一个是边)，可求出其余的三个未知元素(知二求三). (2)一个直角三角形可解，则其面积可求，但在一个解直角三角形的题中，如无特别说明，则不包括求面积. 【知识点02】直角三角形中的边角关系 1. 直角三角形中的边角关系 在Rt △ ABC 中，∠ C 为直角，∠ A，∠ B，∠ C 所对的边分别为a，b，c，那么除直角外的五个元素之间有如下关系： (1)三边之间的关系：a²+b²=c²(勾股定理). (2)两锐角之间的关系：∠ A + ∠ B=90° . (3)边角之间的关系： 2. 运用关系式解直角三角形时，常常要用到以下变形 (1)锐角之间的关系：∠ A=90°－∠ B，∠ B=90°－∠ A. (2)三边之间的关系：a= ，b= ，c=. (3)边角之间的关系：a=csin A，a=ccos B，a=btan A，b=csin B，b=ccos A，b=atan B. 【知识点03】解直角三角形的应用 1. 常见的特殊角 (1)方向角是正北或正南方向线与目标方向线所成的角，一般以“北偏…”“南偏…”的形式出现； (2)仰角和俯角是视线相对于水平线而言的，不同位置的仰角和俯角是不同的，可简记为“上仰下俯”. (3)坡角是坡面与水平面的夹角，坡度是坡角的正切值，坡角越大，坡度也就越大. 2. 利用特殊角解直角三角形解决问题的步骤 (1)审题，弄清特殊角的类型，将实际问题抽象为数学 问题； (2)认真分析题意，画出平面图形，转化为解直角三角形问题； (3)结合特殊角，选用适当的锐角三角函数解直角三角形； (4)按照题目中的要求取值. 【知识点04】测量倾斜角 1. 测倾器 测量倾斜角可以用测倾器. 简单的测倾器由度盘、铅锤和支杆组成(如图1-6-1). 2. 使用测倾器测量倾斜角的步骤 (1)把支杆竖直插入地面，使支杆的中心线、铅垂线和度盘的0°刻度线重合，这时度盘的顶线PQ 在水平位置. (2)转动度盘，使度盘的直径对准目标，记下此时铅垂线所指的度数. 根据对顶角相等及同角的余角相等可以知道，所测倾斜角(即仰角、俯角)等于铅垂线所指的度数，读出铅垂线所指的度数，即为倾斜角的度数. 【知识点05】测量底部可以到达的物体的高度 所谓“底部可以到达”，就是在地面上可以无障碍地直接测得测点与被测物体的底部之间的距离. 如图1-6-4，测量MN 高度的步骤如下： (1)在测点A 处安置测倾器，测得M 的仰角∠ MCE=α ； (2)量出测点A 到物体底部N 的水平距离AN=l； (3)量出测倾器的高度AC=a .求出MN 的高度MN=ME+EN=ltanα +a. 【题型一】解直角三角形 【典例1-1】（24-25九年级下·广东佛山·阶段练习）记内角A，B，C的对边分别为，，，已知，且，，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【典例1-2】（23-24九年级下·上海·期中）在中，，，， 【典例1-3】（2024九年级下·安徽宣城·竞赛）如图，已知在中，于点，的中点是，且，．求： (1)线段的长； (2)的正切值． 【变式1-1】（23-24九年级下·江苏淮安·阶段练习）如图，在中，，，，平分，交于点D，若点E、F分别是、上的动点，则的最小值是（    ） A．12 B． C． D． 【变式1-2】（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）如图，网格中的每个小正方形的边长均为1，点 ，，都在格点上，则的值为 ． 【变式1-3】（24-25九年级下·贵州黔东南·阶段练习）如图所示，在中，，的平分线，解这个直角三角形． 【题型二】解非直角三角形 【典例2-1】（2020九年级·四川·专题练习）在△ABC中，AB＝2，cosB，sinC，则△ABC的面积是（　　） A．3 B． C． D．2 【典例2-2】（23-24九年级下·上海·自主招生）一个三角形的边长为、、，另一个三角形的边长分别为、、，其中，若两个三角形的最小内角相等，则 ． 【典例2-3】（21-22九年级下·江苏淮安·阶段练习）等腰三角形ABC的腰长AB＝AC＝5，底边BC＝6，求． 【变式2-1】（22-23九年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，，，则的长为（    ）    A． B． C．4 D．5 【变式2-2】（2024九年级下·上海·专题练习）如图，已知在中，，，将翻折，使点与点重合，折痕交边于点，交边于点，那么的值为 ． 【变式2-3】（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，在中，，，． (1)求的长； (2)求的面积（结果保留根号）． 【题型三】与仰角、俯角有关的问题 【典例3-1】（2024九年级下·湖南·专题练习）如图，从航拍无人机看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，无人机与楼的水平距离为，则这栋楼的高度为（ ） A． B． C． D． 【典例3-2】（24-25九年级下·宁夏吴忠·期中）哈尔滨龙塔坐落于经济技术开发区，在钢结构塔中位居亚洲第一，世界第二，在塔上有一个室外观光平台A可以欣赏的哈尔滨市的全景，室外观光平台中央位置A距离塔顶 P约146米，一名同学站在C处观察 A点的仰角为，观察P点的仰角为，则龙塔 的高度为 ．（已知：）（精确到1米） 【典例3-3】（20-21九年级下·湖南湘西·期中）如图，小敏同学想测量一棵大树的高度．她站在B处仰望树顶，测得仰角为，再往大树的方向前进，测得仰角为，已知小敏同学身高（）为，求这棵树的高度约为（结果精确到，）． 【变式3-1】（24-25九年级下·贵州黔东南·阶段练习）如图所示，河旁有一座小山，从山顶A处测得河对岸点C的俯角为，测得岸边点D的俯角为，C，D，B在同一水平线上，又知河宽为50 m，则山高是（    ） A．50 m B．25 m C．m D．75 m 【变式3-2】（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，测高仪距建筑物底部，，在测高仪处观测建筑物顶端的仰角为，测高仪高度为，则建筑物的高度为 ．（精确到，，，） 【变式3-3】（2024九年级下·江西九江·专题练习）为弘扬“万众一心、众志成城、不怕困难、顽强拼搏、坚韧不拔、敢于胜利”的伟大抗洪精神，某校组织九年级学生在抗洪广场研学，研学活动中，要测量纪念塔的高度．如图，塔前有一座高为的观景台，已知，，点，，在同一条水平直线上．在观测点处测得塔顶部的仰角为，在观测点处测得塔顶部的仰角为． (1)求的长； (2)求塔的高度．（参考数据：，，结果取整数） 【题型四】与方位角有关的问题 【典例4-1】（2025九年级下·海南·专题练习）如图，学生甲在凉亭处测得湖心岛在其南偏西的方向上，又从处向正东方向行驶300米到达凉亭处，测得湖心岛在其南偏西的方向上，则凉亭与湖心岛之间的距离为（   ） A．150 B． C． D． 【典例4-2】（24-25九年级下·湖南长沙·期中）“龙舟故里”赛龙舟．丹丹在汩罗江国际龙舟竞渡中心广场点处观看200米直道竞速赛．如图所示，赛道为东西方向，赛道起点位于点的北偏西方向上，终点位于点的北偏东方向上，米，则点到赛道的距离约为 米（结果保留根号） 【典例4-3】（24-25九年级下·上海·阶段练习）已知货船在观测站的北偏西的方向上，灯塔在观测站的北偏西方向上，且与观测站的距离为海里，在货船上测得灯塔在它的南偏西方向上，求观测站与货船之间的距离精确到海里，参考数据 【变式4-1】（22-23九年级下·湖北随州·阶段练习）如图，在一笔直的海岸线上有，两个观测站，观测站在观测站的正东方向，有一艘小船在点处，从处测得小船在北偏西方向，从处测得小船在北偏东的方向，点到点的距离是千米则，两观测站之间的距离为千米注：结果有根号的保留根号 （   ）    A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24九年级下·宁夏银川·阶段练习）如图，轮船从B处沿南偏东方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东方向上，轮船航行40海里到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东方向上，则C处与灯塔A的距离是 ． 【变式4-3】（23-24九年级下·江苏淮安·阶段练习）如图，渔船和海警船同时从海岛A出发，当渔船沿南偏东方向航行80海里到达B处时，海警船沿北偏东方向航行到了C处，此时渔船发现自己位于海警船的南偏西方向，求渔船位置B和海警船位置C之间的距离．（结果保留根号，参考数据：，，） 【题型五】与坡角、坡度有关的问题 【典例5-1】（24-25九年级下·贵州黔东南·阶段练习）某校开展冰雪项目学习．某滑雪斜坡的坡角为，一位同学乘滑雪板沿斜坡下滑了，则该同学在竖直方向上下降的高度为（  ） A． B． C． D． 【典例5-2】（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）若某人沿斜坡从B到A行走了15米，上升高度为9米，则此斜坡的坡度为 ． 【典例5-3】（24-25九年级下·贵州黔东南·阶段练习）如图，拦水坝的横断面为等腰梯形，坝顶宽为，坝高为．为了提高水坝的拦水能力，需要将水坝加高，并且保持坝顶宽度不变，迎水坡的坡度不变，但是背水坡的坡度由原来的变成，求加高后的坝底的长． 【变式5-1】（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在坡角为的斜坡上要栽两棵树，它们之间的水平距离为，，则这两树间的坡面的长为（　　） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25九年级下·福建泉州·阶段练习）今年冬天哈尔滨的冰雪旅游是继夏天的淄博烧烤之后的新旅游热点，南方游客纷纷打卡哈尔滨冰雪大世界．一位游客乘滑雪板沿坡度为的斜坡滑行30米，则他下降的高度为 米． 【变式5-3】（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）如图，一个人由山底的A点爬到山顶的C点，需先从山底的A点爬坡度为的山坡到达B点，再从B点爬坡角为（即）的山坡到达山顶的C点（图中所有点都在同一平面内），A，B两点的水平距离为．（结果均精确到，参考数据：，，，） (1)求斜坡的长； (2)求这座山的高度． 【题型六】利用三角函数测高 【典例6-1】（24-25九年级下·广东茂名·期中）如图，为测量一棵与地面垂直的树的高度，在距离树的底端的B处，测得树顶A的仰角为α，则树的高度为（    ）m A． B． C． D． 【典例6-2】（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，为了测量某风景区内一座古塔的高度，某校数学兴趣小组的同学分别在古塔对面的高楼的底部B和顶部A处分别测得古塔顶部C的仰角分别为和，已知高楼的高为，则古塔的高度为 m（，，结果精确到）． 【典例6-3】（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）如图，某学习小组为了测量贵阳市甲秀楼的高度，在，处分别测得楼顶的仰角为，（即，），m，甲秀楼，垂足为，且，，三点共线，求甲秀楼的高度． 【变式6-1】（24-25九年级下·海南·阶段练习）某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物的高度，如图，在建筑物旁边有一幢高度为12米的小楼房，小李同学在小楼房楼底处测得处的仰角为，在小楼房楼顶处测得处的仰角为（、在同一平面内，、在同一水平面上），则建筑物的高为（   ） A．24米 B．米 C．18米 D．15米 【变式6-2】（2024九年级下·湖北黄冈·竞赛）如图，小明利用无人机测量教学楼的高度，无人机在点处，测得小明所在位置点的俯角为，测得教学楼顶点的俯角为，教学楼底点的俯角为，又经过人工测得，两点间的距离为米，则教学楼的高度为 米．（注：点，，，在同一平面上，参考数据：，，结果取整数） 【变式6-3】（24-25九年级下·河南驻马店·期中）如图：学校旗杆附近有一斜坡．小明准备测量学校旗杆的高度，他发现当斜坡正对着太阳时，旗杆的影子恰好落在水平地面和斜坡的坡面上，此时小明测得水平地面上的影长米，斜坡坡面上的影长米，太阳光线与水平地面成角，斜坡与水平地面成的角，求旗杆的高度． 一、单选题 1．（21-22九年级下·全国·单元测试）若，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．（2024九年级·全国·竞赛）在中，，则下列结论正确的是（    ）． A． B． C． D． 3．（24-25九年级下·贵州黔东南·阶段练习）在中，，，则等于（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习）如图，西安市的赛格国际购物中心的电梯长达50.3米，是亚洲室内最长扶梯．其与水平面所成的夹角为，则该电梯的竖直高度为（   ）米 A． B． C． D． 5．（24-25九年级下·吉林长春·期中）如图，在综合实践活动中，小明在学校门口的点处测得树的顶端仰角为，同时测得米，则树的高（单位：米）为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰，其中，，则高可表示为（   ） A． B． C． D． 7．（21-22九年级上·山东济南·期末）如图，某水库大坝的横断面是梯形，坝高，斜坡的坡比为，则斜坡（    ） A．13m B．8m C．18m D．12m 8．（22-23九年级上·山东淄博·期中）如图，在中，，，，平分交于点，则线段的长为（    ） A． B．12 C． D．6 9．（2025九年级下·吉林长春·专题练习）图1是一款用于汽车抬升的螺旋式千斤顶，旋转螺杆能起到升降千斤顶顶部高度的作用．图2是该螺旋式千斤顶的平面示意图，已知四条支撑杆的长度均为，螺杆与水平地面平行．当时，千斤顶顶部到水平地面的距离的长为（　　） A． B． C． D． 10．（2023九年级下·全国·专题练习）如图，某渔船正在海上处捕鱼，先向北偏东的方向航行到处，然后右转再航行到处．在点的正南方向，点的正东方向的处有一条船，也计划驶往处，那么它的航向是(　　) A．北偏东 B．北偏东 C．北偏东 D．北偏东 11．（24-25九年级下·贵州黔东南·阶段练习）如图所示，如图，在中，，，，过点作，垂足为，连接，则　　 A． B． C． D． 二、填空题 12．（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）比较大小： ． 13．（21-22九年级下·全国·单元测试）如果，那么 ． 14．（2023九年级下·全国·专题练习）已知，若，则 ． 15．（23-24九年级下·浙江杭州·自主招生）如果，则 ． 16．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，，则的长为 ． 17．（24-25九年级下·全国·单元测试）如图，在中，，斜边上的高，则 ． 18．（24-25九年级下·福建福州·阶段练习）如图，为订书机的托板，压柄绕着点B旋转，连接杆的一端点D固定，点E从A向B处滑动，在滑动的过程中，的长度保持不变．若， ，，则的长度为 ． 19． （24-25九年级下·四川内江·期中）为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形，斜面坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比．已知斜坡长度为20米，，求斜坡的长 米．（结果精确到米）（参考数据：，，） 20．（22-23九年级下·湖北黄冈·自主招生）如图，某地政府为解决当地农户网络销售农产品物流不畅问题，计划打通一条东西方向的隧道，无人机从处的正上方处，沿正东方向以的速度飞行到达处，此时测得A处的俯角为，然后以同样的速度沿正东方向又飞行到达处，此时测得处的俯角为．由以上测量数据，计算得隧道的长度为 m．（结果精确到；参考数据：，，） 21．（24-25九年级上·山东烟台·期中）某校组织一次定向越野拉练活动．如图，点为出发点，途中设置两个检查点，分别为点和点，行进路线为，点在点的南偏东方向处，点在点的北偏东方向，．则检查点和之间的距离 ． 三、解答题 22．（22-23九年级下·全国·单元测试）已知 ，且，求的值． 23．（2023九年级下·全国·专题练习）已知，中，，，求、、、． 24．（22-23九年级上·湖南张家界·期末）如图，在中，． (1)求的值． (2)求的面积（结果保留根号） 25．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）在中，，为锐角且，． (1)求的度数． (2)求的长． 26．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，四边形中，，，，，，求的长． 27．（22-23九年级下·甘肃武威·期末）如图，在中，，是中线，，求和． 28．（2025九年级下·全国·专题练习）在如图的直角三角形中，我们知道，，， ∴．即一个角的正弦和余弦的平方和为1． (1)请你根据上面的探索过程，探究，与之间的关系； (2)请你利用上面探究的结论解答下面问题：已知为锐角，且，求的值． 29．（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）上周末小星与小清相约攀登东山寺附近的一座小山．如图，已知山高（即图中且），他们先由山脚A处步行到达山腰B处，此后坡度变陡，他们放慢速度再由B处到达山顶D处．已知点A、B、D、E、F在同一平面内，，山坡与水平线的夹角为53°．（参考数据：，，） (1)求B，D两地的垂直高度； (2)若他们攀登第一段斜坡时的速度为，攀登第二段斜坡的速度为，求他们从山脚A处到达山顶D处需要多少分钟． 30．（24-25九年级下·湖北宜昌·阶段练习）某数学综合实践小组利用无人机测量建筑物的高度，已知无人机在距离水平地面空中水平飞行，无人机在，两点分别测得建筑物顶端的俯角为，，，两点的水平距离为，，，，四点在同一平面上．求建筑物的高度． 31．（2025九年级下·全国·专题练习）图①是一辆自行车的实物图，图②是这辆自行车的部分结构几何示意图，车架的长为60cm，且，座杆的长为，点在同一条直线上，．求： (1)车架的长； (2)车座点到车架的距离．（结果精确到1cm，参考数据：，，，，，） 32．（2023九年级下·湖北宜昌·专题练习）在东西方向的海岸线l上有一长为的码头（如图），在码头西端M的正西处有一观察站A．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于A的北偏西，且与A相距的B处，经过1小时20分钟，又测得该轮船位于A的北偏东，且与A相距的C处. (1)求该轮船航行的速度（保留精确结果）； (2)如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头靠岸？请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 解直角三角形+三角函数的应用+利用三角函数测高 （知识详解+6典例分析+习题巩固） 知识详解 知识点01：解直角三角形的定义 知识点02：直角三角形中的边角关系 知识点03：解直角三角形的应用 知识点04：测量倾斜角 知识点05：测量底部可以到达的物体的高度 典例分析 （举三反三） 考点1：解直角三角形 考点2：解非直角三角形 考点3：与仰角、俯角有关的问题 考点4：与方位角有关的问题 考点5：与坡角、坡度有关的问题 考点6：利用三角函数测高 习题巩固 一、单选题（11） 二、填空题（10） 三、解答题（11） 【知识点01】解直角三角形的定义 定义：一般地，在直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角. 由直角三角形中已知的元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形. 注意：(1)在直角三角形中，除直角外的五个元素中，已知其中的两个元素(至少有一个是边)，可求出其余的三个未知元素(知二求三). (2)一个直角三角形可解，则其面积可求，但在一个解直角三角形的题中，如无特别说明，则不包括求面积. 【知识点02】直角三角形中的边角关系 1. 直角三角形中的边角关系 在Rt △ ABC 中，∠ C 为直角，∠ A，∠ B，∠ C 所对的边分别为a，b，c，那么除直角外的五个元素之间有如下关系： (1)三边之间的关系：a²+b²=c²(勾股定理). (2)两锐角之间的关系：∠ A + ∠ B=90° . (3)边角之间的关系： 2. 运用关系式解直角三角形时，常常要用到以下变形 (1)锐角之间的关系：∠ A=90°－∠ B，∠ B=90°－∠ A. (2)三边之间的关系：a= ，b= ，c=. (3)边角之间的关系：a=csin A，a=ccos B，a=btan A，b=csin B，b=ccos A，b=atan B. 【知识点03】解直角三角形的应用 1. 常见的特殊角 (1)方向角是正北或正南方向线与目标方向线所成的角，一般以“北偏…”“南偏…”的形式出现； (2)仰角和俯角是视线相对于水平线而言的，不同位置的仰角和俯角是不同的，可简记为“上仰下俯”. (3)坡角是坡面与水平面的夹角，坡度是坡角的正切值，坡角越大，坡度也就越大. 2. 利用特殊角解直角三角形解决问题的步骤 (1)审题，弄清特殊角的类型，将实际问题抽象为数学 问题； (2)认真分析题意，画出平面图形，转化为解直角三角形问题； (3)结合特殊角，选用适当的锐角三角函数解直角三角形； (4)按照题目中的要求取值. 【知识点04】测量倾斜角 1. 测倾器 测量倾斜角可以用测倾器. 简单的测倾器由度盘、铅锤和支杆组成(如图1-6-1). 2. 使用测倾器测量倾斜角的步骤 (1)把支杆竖直插入地面，使支杆的中心线、铅垂线和度盘的0°刻度线重合，这时度盘的顶线PQ 在水平位置. (2)转动度盘，使度盘的直径对准目标，记下此时铅垂线所指的度数. 根据对顶角相等及同角的余角相等可以知道，所测倾斜角(即仰角、俯角)等于铅垂线所指的度数，读出铅垂线所指的度数，即为倾斜角的度数. 【知识点05】测量底部可以到达的物体的高度 所谓“底部可以到达”，就是在地面上可以无障碍地直接测得测点与被测物体的底部之间的距离. 如图1-6-4，测量MN 高度的步骤如下： (1)在测点A 处安置测倾器，测得M 的仰角∠ MCE=α ； (2)量出测点A 到物体底部N 的水平距离AN=l； (3)量出测倾器的高度AC=a .求出MN 的高度MN=ME+EN=ltanα +a. 【题型一】解直角三角形 【典例1-1】（24-25九年级下·广东佛山·阶段练习）记内角A，B，C的对边分别为，，，已知，且，，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解直角三角形．过点A作于点D，设，根据特殊角锐角三角函数可得，，再由，可得到，从而得到，进而得到，然后根据，可求出x的值，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作于点D， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴． 故选：C 【典例1-2】（23-24九年级下·上海·期中）在中，，，， 【答案】2 【分析】本题考查了解直角三角形，过点C作于D，解，得出，再解，得出，从而得出． 【详解】解：过点C作于D． ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴． 故答案为：2． 【典例1-3】（2024九年级下·安徽宣城·竞赛）如图，已知在中，于点，的中点是，且，．求： (1)线段的长； (2)的正切值． 【答案】(1)6 (2)4 【分析】此题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，直角三角形的性质等知识点． （1）在 中，根据已知条件求出边的长，再用勾股定理可以求出的长； （2）根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，求出，从而求出的正切值即求出了的值． 【详解】（1）解：， ， 在中，， ， 设， 又， ， 得：， 则， ． （2）解：， ， 是边的中点， ， ， ， ， ， ． 【变式1-1】（23-24九年级下·江苏淮安·阶段练习）如图，在中，，，，平分，交于点D，若点E、F分别是、上的动点，则的最小值是（    ） A．12 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查特殊角的三角函数，垂线段最短，作点关于AD的对称点，根据平分，得出点在上，且，当B，E，共线且时，值最小，即为，求出，再根据三角形函数求出即可． 【详解】解：作点关于的对称点， ∵平分， ∴点在上，且， ∴，当B，E，共线且时，值最小，即为， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C 【变式1-2】（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）如图，网格中的每个小正方形的边长均为1，点 ，，都在格点上，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了构造直角三角形和勾股定理与网格问题、正弦，熟练掌握正弦的求解方法是解题关键． 【详解】解：如图； 延长 ，作的延长线交于点 ， 根据勾股定理得：，， ∴在中， 故答案为：. 【变式1-3】（24-25九年级下·贵州黔东南·阶段练习）如图所示，在中，，的平分线，解这个直角三角形． 【答案】， 【分析】本题主要考查了利用特殊角的锐角三角函数值解直角三角形，角平分线的性质等，解题的关键是掌握解直角三角形的相关公式． 利用锐角三角函数逐个进行求解即可． 【详解】解：在中，， ∵， ∴． 又∵平分， ∴． ∴． 在中，， ∴，，且． ∴，． 【题型二】解非直角三角形 【典例2-1】（2020九年级·四川·专题练习）在△ABC中，AB＝2，cosB，sinC，则△ABC的面积是（　　） A．3 B． C． D．2 【答案】C 【分析】如图，作AH⊥BC于H．解直角三角形求出AH，BC即可解决问题． 【详解】解：如图，作AH⊥BC于H． 在Rt△ABH中，∵cosB， ∴∠B＝45°， ∵AB＝2， ∴AH＝BH， 在Rt△ACH中，∵sinC， ∴AC， ∴CH， ∴BC＝BH+CH， ∴S△ABC•BC•AH， 故选：C． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 【典例2-2】（23-24九年级下·上海·自主招生）一个三角形的边长为、、，另一个三角形的边长分别为、、，其中，若两个三角形的最小内角相等，则 ． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，解题的关键是添加合适的辅助线，构造直角三角形． 在中，，，在▲DEF中，，，．过点A作于点H，于点．设，利用勾股定理求出，再根据，推出，构建关系式，即可得出答案． 【详解】解：如图， 在中，，，在▲DEF中，，，． 过点A作于点H，于点．设 ， ， ， ， ， ，， ， ， 解得：或（负值舍去） 故答案为： 【典例2-3】（21-22九年级下·江苏淮安·阶段练习）等腰三角形ABC的腰长AB＝AC＝5，底边BC＝6，求． 【答案】 【分析】作BC边的高AD，根据等腰三角形的性质求出DC，再由已知条件和三角函数的定义求出． 【详解】解：如图，作AD⊥BC于D， ∵AB=AC， ∴DC=BC=6=3， 在Rt△ACD中，DC=3，AC=5， ∴． 【点睛】本题考查解直角三角形以及等腰三角形的性质，只要理解直角三角形中边角之间的关系即可求解． 【变式2-1】（22-23九年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，，，则的长为（    ）    A． B． C．4 D．5 【答案】D 【分析】作于，根据，，算出和，再根据，算出，最后根据计算即可． 【详解】如下图，作于，    在中，，， ，， 在中，， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了用锐角三角函数解非直角三角形，作垂直构造直角三角形是解题的关键． 【变式2-2】（2024九年级下·上海·专题练习）如图，已知在中，，，将翻折，使点与点重合，折痕交边于点，交边于点，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查翻折变换（折叠问题）、解直角三角形、勾股定理，过点作于点，连接．由翻折可知，，，设，在Rt△ABF中，，可求得，再利用勾股定理求出，在中，，即可求得，结合勾股定理可得，则，进而可得出答案． 【详解】解：过点作于点，连接． 由翻折可知，，， ， ，． 设， 在Rt△ABF中，， ， ， 在中，， ， ， ， 则， ． 故答案为：． 【变式2-3】（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，在中，，，． (1)求的长； (2)求的面积（结果保留根号）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点A作，垂足为D，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长； （2）利用锐角三角函数的定义和勾股定理分别求出和的长，从而求出的长，然后利用三角形的面积公式即可求出答案． 【详解】（1）解：过点作于． 在中， ，， ， ∵在中，， ； （2）∵在中，， ， 在中，根据勾股定理， ， △ABC的面积． 【题型三】与仰角、俯角有关的问题 【典例3-1】（2024九年级下·湖南·专题练习）如图，从航拍无人机看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，无人机与楼的水平距离为，则这栋楼的高度为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件作出正确的辅助线是解题的关键． 过点A作于点D，则，分别在和中，利用锐角三角函数求出的长，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作于点D，则， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴． 故选：C 【典例3-2】（24-25九年级下·宁夏吴忠·期中）哈尔滨龙塔坐落于经济技术开发区，在钢结构塔中位居亚洲第一，世界第二，在塔上有一个室外观光平台A可以欣赏的哈尔滨市的全景，室外观光平台中央位置A距离塔顶 P约146米，一名同学站在C处观察 A点的仰角为，观察P点的仰角为，则龙塔 的高度为 ．（已知：）（精确到1米） 【答案】336米 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，熟练掌握锐角三角函数，是解题的关键，设，分别解Rt△ABC,Rt△BPC，求出的长，根据线段的和差关系，列出方程进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：，，设， 在中，， 在中，， ∵， ∴，解得：， ∴， ∴； 故答案为：336 【典例3-3】（20-21九年级下·湖南湘西·期中）如图，小敏同学想测量一棵大树的高度．她站在B处仰望树顶，测得仰角为，再往大树的方向前进，测得仰角为，已知小敏同学身高（）为，求这棵树的高度约为（结果精确到，）． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题关键是构造直角三角形． 首先证明，然后再在直角△CDE中，利用三角函数求得的长，则即可求得． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 根据题意可得四边形是矩形， ∴， ∴． 【变式3-1】（24-25九年级下·贵州黔东南·阶段练习）如图所示，河旁有一座小山，从山顶A处测得河对岸点C的俯角为，测得岸边点D的俯角为，C，D，B在同一水平线上，又知河宽为50 m，则山高是（    ） A．50 m B．25 m C．m D．75 m 【答案】C 【分析】本题考查运用三角函数的定义解直角三角形．应用含的式子表示出，．根据得方程即可求出山高． 【详解】解：设山高为x， 在中有：， 在中有：， 而， 解得米． 故选：C． 【变式3-2】（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，测高仪距建筑物底部，，在测高仪处观测建筑物顶端的仰角为，测高仪高度为，则建筑物的高度为 ．（精确到，，，） 【答案】7.6 【分析】本题考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，构造直角三角形是解决问题的关键． 作垂线构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系进行计算即可． 【详解】解：如图，过点D作，垂足为点E，则，， 在Rt△ADE中， ∴ ∴ 故答案为：7.6． 【变式3-3】（2024九年级下·江西九江·专题练习）为弘扬“万众一心、众志成城、不怕困难、顽强拼搏、坚韧不拔、敢于胜利”的伟大抗洪精神，某校组织九年级学生在抗洪广场研学，研学活动中，要测量纪念塔的高度．如图，塔前有一座高为的观景台，已知，，点，，在同一条水平直线上．在观测点处测得塔顶部的仰角为，在观测点处测得塔顶部的仰角为． (1)求的长； (2)求塔的高度．（参考数据：，，结果取整数） 【答案】(1)的长为 (2)塔的高度为米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据计算即可得解； （2）由题意可得为等腰直角三角形，从而可得，作于，则四边形为矩形，由矩形的性质可得，，再在中，解直角三角形即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得：，，， ∴， ∴， 故的长为； （2）解：∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 如图，作于， ， 则， ∴四边形为矩形， ∴，， 在Rt△ADF中，，， ∴， ∴， ∴米， 故塔的高度为米． 【题型四】与方位角有关的问题 【典例4-1】（2025九年级下·海南·专题练习）如图，学生甲在凉亭处测得湖心岛在其南偏西的方向上，又从处向正东方向行驶300米到达凉亭处，测得湖心岛在其南偏西的方向上，则凉亭与湖心岛之间的距离为（   ） A．150 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，灵活运用锐角三角函数是解题关键．过点作与点，利用锐角三角函数求出米，米，再求出米，即可求解． 【详解】解：如图，过点作与点， ， ， ， ， 在中，，米， 米，米， ， ， ， 在Rt△ACD中，米， 米， 故选：B． 【典例4-2】（24-25九年级下·湖南长沙·期中）“龙舟故里”赛龙舟．丹丹在汩罗江国际龙舟竞渡中心广场点处观看200米直道竞速赛．如图所示，赛道为东西方向，赛道起点位于点的北偏西方向上，终点位于点的北偏东方向上，米，则点到赛道的距离约为 米（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点作，垂足为，设米，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出，的长，再根据米，列出关于的方程，进行计算即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为， 设米， 在中，， ∴（米）， 在中，， ∴（米）， ∵米， ∴， ∴， ∴， ∴米， ∴点到赛道的距离约为米， 故答案为：． 【典例4-3】（24-25九年级下·上海·阶段练习）已知货船在观测站的北偏西的方向上，灯塔在观测站的北偏西方向上，且与观测站的距离为海里，在货船上测得灯塔在它的南偏西方向上，求观测站与货船之间的距离精确到海里，参考数据 【答案】观测站A与货船B之间的距离为海里 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用-方位角的应用，作，垂足为点H．在Rt△ACH中，求出，在中，求出，即可得出结果． 【详解】解：如图所示，作，垂足为点H． 由题意，得海里． 在Rt△ACH中， ∵海里， ∴海里，海里． 在中， ∵， ∴． ∴（海里）． 答：观测站A与货船B之间的距离为海里． 【变式4-1】（22-23九年级下·湖北随州·阶段练习）如图，在一笔直的海岸线上有，两个观测站，观测站在观测站的正东方向，有一艘小船在点处，从处测得小船在北偏西方向，从处测得小船在北偏东的方向，点到点的距离是千米则，两观测站之间的距离为千米注：结果有根号的保留根号 （   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作于点，在中，可得千米，在中，，求出，根据可得答案． 【详解】解：过点作于点，    由题意得，，，千米， 在中， ， 千米， 在中，， 解得， 千米． 故选：B． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用方向角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键． 【变式4-2】（23-24九年级下·宁夏银川·阶段练习）如图，轮船从B处沿南偏东方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东方向上，轮船航行40海里到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东方向上，则C处与灯塔A的距离是 ． 【答案】海里 【分析】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，作于．由题意得，，， ，则．由，得出，那么，根据等角对等边得出，由等腰三角形三线合一的性质得到海里．然后在直角中，利用余弦函数的定义得出，代入数据计算即可， 求出海里是解题的关键． 【详解】解：如图，作于， 由题意得，，，， 则． ， ， ， ， ， 于， （海里）． 在直角三角形中，，， （海里）． 故答案为：海里． 【变式4-3】（23-24九年级下·江苏淮安·阶段练习）如图，渔船和海警船同时从海岛A出发，当渔船沿南偏东方向航行80海里到达B处时，海警船沿北偏东方向航行到了C处，此时渔船发现自己位于海警船的南偏西方向，求渔船位置B和海警船位置C之间的距离．（结果保留根号，参考数据：，，） 【答案】渔船位置B和海警船位置C之间的距离为海里 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，先根据题意得到，，过点B作于点E，分别在和中利用正弦的定义解答即可． 【详解】解：如图，南北方向线，过点B作于点E， 由题可知，，， ∴， 在中，， ∴海里， 在中，， ∴海里， 故渔船位置B和海警船位置C之间的距离为海里． 【题型五】与坡角、坡度有关的问题 【典例5-1】（24-25九年级下·贵州黔东南·阶段练习）某校开展冰雪项目学习．某滑雪斜坡的坡角为，一位同学乘滑雪板沿斜坡下滑了，则该同学在竖直方向上下降的高度为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角函数定义，熟练掌握正弦函数的定义，是解题的关键． 根据三角函数定义进行解答即可． 【详解】解：∵滑雪斜坡的坡角为，一位同学乘滑雪板沿斜坡下滑了， ∴该同学在竖直方向上下降的高度为． 故选：A． 【典例5-2】（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）若某人沿斜坡从B到A行走了15米，上升高度为9米，则此斜坡的坡度为 ． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，先利用勾股定理求得水平距离，再根据铅垂距离水平距离求解即可． 【详解】解：在中，，， ∴， ∴， 故答案为：． 【典例5-3】（24-25九年级下·贵州黔东南·阶段练习）如图，拦水坝的横断面为等腰梯形，坝顶宽为，坝高为．为了提高水坝的拦水能力，需要将水坝加高，并且保持坝顶宽度不变，迎水坡的坡度不变，但是背水坡的坡度由原来的变成，求加高后的坝底的长． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—坡度坡角问题，熟知坡面与水平面的夹角叫做坡角，坡面的铅垂高度和水平长度的比叫做坡面的坡度（或坡比）是解题的关键．先根据题意得到，，，再根据坡度定义分别求得，即可求解． 【详解】解：由题意，得，，． ∵在中，， ∴． ∵在中，， ∴， ∴． 答：加高后的坝底的长为． 【变式5-1】（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在坡角为的斜坡上要栽两棵树，它们之间的水平距离为，，则这两树间的坡面的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，正确求出的长是解题的关键． 先解直角三角形求出的长，再利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：由题意得，在中，， ， 在中，由勾股定理得： ， 故选：C． 【变式5-2】（24-25九年级下·福建泉州·阶段练习）今年冬天哈尔滨的冰雪旅游是继夏天的淄博烧烤之后的新旅游热点，南方游客纷纷打卡哈尔滨冰雪大世界．一位游客乘滑雪板沿坡度为的斜坡滑行30米，则他下降的高度为 米． 【答案】15 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，根据坡度的概念、勾股定理列出方程，解方程得到答案． 【详解】解：如图， 设他下降的高度为x米， ∵斜坡的坡度为， ∴这位同学滑行的是水平距离为米， 由勾股定理得：，即， 解得：（负值舍去）， ∴他下降的高度为15米， 故答案为：15． 【变式5-3】（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）如图，一个人由山底的A点爬到山顶的C点，需先从山底的A点爬坡度为的山坡到达B点，再从B点爬坡角为（即）的山坡到达山顶的C点（图中所有点都在同一平面内），A，B两点的水平距离为．（结果均精确到，参考数据：，，，） (1)求斜坡的长； (2)求这座山的高度． 【答案】(1)斜坡的长约为 (2)这座山的高度约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理，理解题意是解题的关键． （1）根据坡度的定义得出，在中利用勾股定理即可求解； （2）过点C作于点N，交于点F，则四边形为矩形，得到，解得到的长，利用求出的长，即可解答． 【详解】（1）解：，， ， ． 答：斜坡的长约为． （2）解：如图，过点C作于点N，交于点F． 则四边形为矩形， ． ，， ， 则． 答：这座山的高度约为． 【题型六】利用三角函数测高 【典例6-1】（24-25九年级下·广东茂名·期中）如图，为测量一棵与地面垂直的树的高度，在距离树的底端的B处，测得树顶A的仰角为α，则树的高度为（    ）m A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数求解．根据题意，在中，米，为，利用三角函数求解． 【详解】解：在中， 米，为， （米）． 故选C． 【典例6-2】（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，为了测量某风景区内一座古塔的高度，某校数学兴趣小组的同学分别在古塔对面的高楼的底部B和顶部A处分别测得古塔顶部C的仰角分别为和，已知高楼的高为，则古塔的高度为 m（，，结果精确到）． 【答案】57 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．在Rt△ACH中，，在Rt△BDC中，，根据，可得，即可求出，则问题得解． 【详解】解：如图， 根据题意可知四边形是矩形，，，， 在Rt△ACH中，， 在Rt△BDC中，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：57． 【典例6-3】（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）如图，某学习小组为了测量贵阳市甲秀楼的高度，在，处分别测得楼顶的仰角为，（即，），m，甲秀楼，垂足为，且，，三点共线，求甲秀楼的高度． 【答案】m 【分析】本题主要考查的是解直角三角形的应用，涉及三角函数的概念，在直角三角形中，利用仰角和已知的边的长度关系来求解甲秀楼的高度．我们可以设甲秀楼AB的高度为x米，然后通过在和 中分别表示出和的长度， 再根据列出方程求解． 【详解】解：设m． 在中，，则m． 在中，，则m． m， ， 解得． 答：甲秀楼的高度为m． 【变式6-1】（24-25九年级下·海南·阶段练习）某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物的高度，如图，在建筑物旁边有一幢高度为12米的小楼房，小李同学在小楼房楼底处测得处的仰角为，在小楼房楼顶处测得处的仰角为（、在同一平面内，、在同一水平面上），则建筑物的高为（   ） A．24米 B．米 C．18米 D．15米 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形的应用一仰角俯角问题，通过作辅助线构造直角三角形是解题的关键． 设过点的水平线于交于点，在中，用表示，在中，用表示，再利用列方程即可求出． 【详解】设过点的水平线于交于点，如图， 由题意知：四边形是矩形，米，， 在中， 在中， ， ， 解得（米）， 故选C． 【变式6-2】（2024九年级下·湖北黄冈·竞赛）如图，小明利用无人机测量教学楼的高度，无人机在点处，测得小明所在位置点的俯角为，测得教学楼顶点的俯角为，教学楼底点的俯角为，又经过人工测得，两点间的距离为米，则教学楼的高度为 米．（注：点，，，在同一平面上，参考数据：，，结果取整数） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点作，垂足为，延长交于点,设米，根据锐角三角函数的定义列出方程，解得，接着求出，再求出，即可解决问题． 【详解】解：如图，过点作，垂足为，延长交于点, 由题意得：米，，， 设米， ∴米 在Rt△AED中，， ∴(米)， 在Rt△DFB中，， ∴米， ∴, 解得:， ∴(米)，(米)， 在Rt△DFC中，， ∴(米)， ∴(米)． 故答案为：． 【变式6-3】（24-25九年级下·河南驻马店·期中）如图：学校旗杆附近有一斜坡．小明准备测量学校旗杆的高度，他发现当斜坡正对着太阳时，旗杆的影子恰好落在水平地面和斜坡的坡面上，此时小明测得水平地面上的影长米，斜坡坡面上的影长米，太阳光线与水平地面成角，斜坡与水平地面成的角，求旗杆的高度． 【答案】旗杆的高度为米． 【分析】本题考查了三角函数的应用.延长交于点，则，作于，根据三角函数求出米，米，即可得到米，最后根据计算即可. 【详解】解：延长交于点，则， 作于， 在R△tDCQ中，，米 米，米 在Rt△DQE中，（米） 米 在Rt△ABE中，（米）． 答：旗杆的高度为米． 一、单选题 1．（21-22九年级下·全国·单元测试）若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对原式左右两边进行平方计算，然后结合同角三角函数关系求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即：， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查同角三角函数之间的关系，熟记并熟练运用基本结论是解题关键． 2．（2024九年级·全国·竞赛）在中，，则下列结论正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查锐角三角函数的概念，勾股定理，在中，，的a，的b，的c，则，，．熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据锐角三角函数的概念，确定锐角三角函数值的取值范围用三角函数间的关系． 【详解】解：如图，在中，， A、∵，，又∵不能比较a、b大小，∴不能判定与的大小，∴错误；故此选项不符合题意； B、∵，又∵，，但不能比较a、b大小，∴，故此选项不符合题意； C、∵，，∴，又∵ ∴，故此选项不符合题意； D、∵，，∴，又由勾股定理，得，∴，∴，故此选项符合题意． 故选：D． 3．（24-25九年级下·贵州黔东南·阶段练习）在Rt△ABC中，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是互余两角三角函数的关系，掌握在直角三角形中，时，正余弦之间的关系为：一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即是解题的关键． 根据互余两角三角函数的关系解答即可． 【详解】解：， 故选：C． 4．（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习）如图，西安市的赛格国际购物中心的电梯长达50.3米，是亚洲室内最长扶梯．其与水平面所成的夹角为，则该电梯的竖直高度为（   ）米 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，由题意可得，，，再由正弦的定义求解即可，熟练掌握正弦的定义是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：，，， ∴米， 即该电梯的竖直高度为米， 故选：A． 5．（24-25九年级下·吉林长春·期中）如图，在综合实践活动中，小明在学校门口的点处测得树的顶端仰角为，同时测得米，则树的高（单位：米）为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，掌握仰角定义是解题的关键． 在中，利用正切即可求解． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴（米）， 故选：A． 6．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰，其中，，则高可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了锐角三角函数，根据是等腰△ABC的高，可得△ABC是直角三角形，根据，可以表示出的长度． 【详解】解：是等腰△ABC的高， ， 在Rt△ABC中，， 又， ， 故选： A． 7．（21-22九年级上·山东济南·期末）如图，某水库大坝的横断面是梯形，坝高，斜坡的坡比为，则斜坡（    ） A．13m B．8m C．18m D．12m 【答案】A 【分析】根据斜坡BC的坡比为i=5：12和坝高，如图可求出BF的长度，在Rt△BCF中根据勾股定理可求出BC的长度． 【详解】如图，过点C作CF⊥AB，垂足为F．那么， ∵坝高，CF⊥AB， ∴DE=CF=5cm 又斜坡的坡比为 ∴BF=12cm， 在Rt△BCF中 BC= = =13cm 【点睛】本题考查的直角三角形坡度的问题.解题的关键是理解坡度的定义． 8．（22-23九年级上·山东淄博·期中）如图，在中，，，，平分交于点，则线段的长为（    ） A． B．12 C． D．6 【答案】B 【分析】过点作的垂线，垂足分别为，在，中，求得的长，进而证明是等腰三角形，即可求解． 【详解】解：如图，过点作的垂线，垂足分别为， 在中，， 在中，， ∵中，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选:B． 【点睛】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质与判定，解决问题的关键是将作辅助线，将斜三角形划分为直角三角形． 9．（2025九年级下·吉林长春·专题练习）图1是一款用于汽车抬升的螺旋式千斤顶，旋转螺杆能起到升降千斤顶顶部高度的作用．图2是该螺旋式千斤顶的平面示意图，已知四条支撑杆的长度均为，螺杆与水平地面平行．当时，千斤顶顶部到水平地面的距离的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，连结，设与的交点为O，由题意可知四边形为菱形，故，在Rt△ADO中，，可求出的值，进一步可求出答案． 【详解】解：连结，设与的交点为O，如图， ， 四边形为菱形， ， 在直角三角形中，， ， ， 故选：B． 10．（2023九年级下·全国·专题练习）如图，某渔船正在海上处捕鱼，先向北偏东的方向航行到处，然后右转再航行到处．在点的正南方向，点的正东方向的处有一条船，也计划驶往处，那么它的航向是(　　) A．北偏东 B．北偏东 C．北偏东 D．北偏东 【答案】C 【分析】连接，由题意得：，，，，，根据得出，进而根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：如图，连接， 由题意得：，，，，， ， ， ， ， ， 即处在处的北偏东方向， 故选：C． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数关系是解题的关键． 11．（24-25九年级下·贵州黔东南·阶段练习）如图所示，如图，在中，，，，过点作，垂足为，连接，则　　 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，平行四边形的性质，勾股定理等知识，综合应用知识是解决本题的关键．根据， ，可得长度，已知，根据勾股定理可得，在中，可求，因为，可得题目所求． 【详解】解：，，， ， 在平行四边形中， ，， ，， ， ． 故选：A． 二、填空题 12．（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）比较大小： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了互余两个角的三角函数关系，熟练掌握互余两个角的三角函数关系是解题的关键．先变形，再根据，即可得出答案． 【详解】解：∵，而， ∴， 故答案为：． 13．（21-22九年级下·全国·单元测试）如果，那么 ． 【答案】/58度 【分析】根据互为余角的两个角的正切相乘等于1即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了互为余角的三角函数的关系，掌握“互为余角的两个角的正切相乘等于1”是解题的关键． 14．（2023九年级下·全国·专题练习）已知，若，则 ． 【答案】 【分析】根据三角函数的定义求解即可． 【详解】解：如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查三角函数的定义，在中，，则，，，．熟练掌握锐角三角函数定义是解题的关键． 15．（23-24九年级下·浙江杭州·自主招生）如果，则 ． 【答案】/ 【分析】此题考查了三角函数的知识，求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，扩展到钝角，通过设参数的方法求三角函数值． 根据，设出关于两边的代数表达式，再利用对称构造全等三角形，得，再根据勾股定理求出边长的表达式即可推出的值． 【详解】解：如图，在中，， 作关于对称，过点作， ∴，， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 16．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了解直角三角形以及勾股定理，熟练掌握解直角三角形的方法是解答本题的关键．作于，设，根据题意可得，进而解直角得出，，即可求解． 【详解】解：如图所示，作于， 设， ， ， ，， ， 即， 解得：， 在△ADB中，， 即：， ， ， 故答案为：． 17．（24-25九年级下·全国·单元测试）如图，在中，，斜边上的高，则 ． 【答案】 【分析】先利用等角的余角相等证明，然后在中利用的余弦求的长． 【详解】解：∵为高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在Rt△ACD中， ∵，即 ∴． 故答案为：. 【点睛】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．解决本题的关键是证明． 18．（24-25九年级下·福建福州·阶段练习）如图，为订书机的托板，压柄绕着点B旋转，连接杆的一端点D固定，点E从A向B处滑动，在滑动的过程中，的长度保持不变．若， ，，则的长度为 ． 【答案】/7厘米 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法是关键，过点D作，垂足为F，先求出，进而求出，可得出结论． 【详解】解：如图所示，过点D作，垂足为F， 在中，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 19．（24-25九年级下·四川内江·期中）为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形，斜面坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比．已知斜坡长度为20米，，求斜坡的长 米．（结果精确到米）（参考数据：，，） 【答案】10 【分析】此题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．过点作于点，在中，利用正弦函数求得，在中，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，则四边形是矩形， 在中，， ∴． ∴． ∵， ∴在Rt△ABF中，（米）． ∴斜坡的长约为10米， 故答案为：10． 20．（22-23九年级下·湖北黄冈·自主招生）如图，某地政府为解决当地农户网络销售农产品物流不畅问题，计划打通一条东西方向的隧道，无人机从处的正上方处，沿正东方向以的速度飞行到达处，此时测得A处的俯角为，然后以同样的速度沿正东方向又飞行到达处，此时测得处的俯角为．由以上测量数据，计算得隧道的长度为 m．（结果精确到；参考数据：，，） 【答案】242 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点作，垂足为，在Rt△ACD中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为， 由题意得：，，，， 在Rt△ACD中，， ∴， ∴， 在Rt△BGE中，， ∴， ∴， ∴， ∴隧道AB的长度约为. 故答案为：242 ． 21．（24-25九年级上·山东烟台·期中）某校组织一次定向越野拉练活动．如图，点为出发点，途中设置两个检查点，分别为点和点，行进路线为，点在点的南偏东方向处，点在点的北偏东方向，．则检查点和之间的距离 ． 【答案】 【分析】本题主要考查三角函数的应用．过点A作，垂足为，由等角对等边得出，再由正弦函数及正切函数求解即可． 【详解】解：过点A作，垂足为． ， ∵， ． ， 在中， ∵， ． ， 在中， ∵， ， ． 故答案为：． 三、解答题 22．（22-23九年级下·全国·单元测试）已知 ，且，求的值． 【答案】 【分析】把已知条件两边平方得到，再利用，则，然后得到，当，，于是，加上 ，利用加减法即可求得． 【详解】解：∵ ， ∴，即， 而， ∴ ， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴ ， 而 ， ∴ ， ∴ ． 【点睛】本题考查了同角的三角函数的关系，利用好，并求出是解题的关键． 23．（2023九年级下·全国·专题练习）已知，中，，，求、、、． 【答案】 【分析】根据题意，作出图形，在中，，，得到，根据，联立方程组，由，，求解即可得到；；再根据即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 中，，， ， ① 又，，② 联立①②，解得；； 又， ；． 【点睛】本题考查解直角三角形，涉及三角函数定义与性质，熟练掌握，是解决问题的关键． 24．（22-23九年级上·湖南张家界·期末）如图，在中，． (1)求的值． (2)求的面积（结果保留根号） 【答案】(1) (2)的面积为 【分析】本题考查了解三角形，解题关键是构造出直角三角形． （1）过点作于点，构造出两个直角三角形，再根据所给条件直接求解即可； （2）利用勾股定理及三角形面积求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于点． 在中，，， ， ， 在中， ， ； （2）解：由（1）知：在中，，， ， ． 25．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）在中，，为锐角且，． (1)求的度数． (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解直角三角形，勾股定理，熟练掌握各锐角的三角函数值及各锐角三角函数的计算公式是解题的关键． （1）根据函数值直接得到的度数． （2）过点A作于H，根据求出，利用勾股定理求出，再利用求出，进而求出的长． 【详解】（1）解：∵为锐角且， ∴； （2）解：过点A作于H， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， 即， 解得， ∴． 26．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，四边形中，，，，，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，锐角三角函数，过作，垂足为，得出，利用锐角三角函数即可求解，解题的关键掌握锐角三角函数的应用． 【详解】解：过作，垂足为，          ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在Rt△DBE中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 27．（22-23九年级下·甘肃武威·期末）如图，在中，，是中线，，求和． 【答案】；； 【分析】本题考查的是三角函数，勾股定理，熟练掌握三角函数是解题的关键，利用在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半求得的值后，利用勾股定理求出，再根据三角函数的定义即可求解． 【详解】解： ∵是Rt△ABC中上的中线， ∴即， ∵， ∴， ∴， ∵Rt△ABC中，， ∴， ∴；；． 28．（2025九年级下·全国·专题练习）在如图的直角三角形中，我们知道，，， ∴．即一个角的正弦和余弦的平方和为1． (1)请你根据上面的探索过程，探究，与之间的关系； (2)请你利用上面探究的结论解答下面问题：已知为锐角，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用，，，即可得出； （2）利用（1）中结论，将的分子，分母同时除以，得，进而代入求值即可． 本题考查了三角函数的定义，三角函数之间的关系，正确理解定义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴． （2）解：∵，且， ∴． 29．（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）上周末小星与小清相约攀登东山寺附近的一座小山．如图，已知山高（即图中且），他们先由山脚A处步行到达山腰B处，此后坡度变陡，他们放慢速度再由B处到达山顶D处．已知点A、B、D、E、F在同一平面内，，山坡与水平线的夹角为53°．（参考数据：，，） (1)求B，D两地的垂直高度； (2)若他们攀登第一段斜坡时的速度为，攀登第二段斜坡的速度为，求他们从山脚A处到达山顶D处需要多少分钟． 【答案】(1) (2)40分钟 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，熟练掌握锐角三角函数，解直角三角形，作出适当的辅助线是解题的关键． （1）过点B作交于点C，利用直角三角形的性质求出，再证明四边形为矩形，可得，再求的长； （2）利用的正弦值，求出的长，再分段计算从山脚A处到达山顶D处需要的时间，相加即可． 【详解】（1）由题知，于点E，则， 如图，过点B作交于点C， 则， 又，， ， 由可得四边形是矩形， ， ， B，D两地的垂直高度． （2）攀登第一段斜坡所用的时间等于， ，， ， ， 攀登第二段斜坡所用的时间等于， ， 他们从山脚A处到达山顶D处需要40分钟． 答：他们从山脚A处到达山顶D处需要40分钟． 30．（24-25九年级下·湖北宜昌·阶段练习）某数学综合实践小组利用无人机测量建筑物的高度，已知无人机在距离水平地面空中水平飞行，无人机在，两点分别测得建筑物顶端的俯角为，，，两点的水平距离为，，，，四点在同一平面上．求建筑物的高度． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，应用等角对等边的知识得到线段的长度是解决本题的关键．易得的度数，那么可得线段的长度，进而根据正弦值和线段的长度可得的长度，即为的高度． 【详解】解：如图所示，延长交于点，则，， ∵，， ， ， ， ， ． 答：建筑物的高度为． 31．（2025九年级下·全国·专题练习）图①是一辆自行车的实物图，图②是这辆自行车的部分结构几何示意图，车架的长为60cm，且，座杆的长为，点在同一条直线上，．求： (1)车架的长； (2)车座点到车架的距离．（结果精确到1cm，参考数据：，，，，，） 【答案】(1)45cm． (2)63cm． 【分析】（1）在Rt△ACD中，利用正切定义即可求解； （2）过点E作于点，由（1）得出的长，进而求出的长，在中，利用正弦的定义即可求解． 【详解】（1）解： ， 即， （cm）， 答：车架的长约为45cm． （2）解：过点作于点，如图． 在Rt△AEF中， ， ，得：， 答：车座点到车架的距离约为63cm． 【点睛】本题考查了利用三角函数的实际应用，掌握三角函数定义是解题的关键． 32．（2023九年级下·湖北宜昌·专题练习）在东西方向的海岸线l上有一长为的码头（如图），在码头西端M的正西处有一观察站A．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于A的北偏西，且与A相距的B处，经过1小时20分钟，又测得该轮船位于A的北偏东，且与A相距的C处. (1)求该轮船航行的速度（保留精确结果）； (2)如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头靠岸？请说明理由． 【答案】(1)该轮船的航行速度为 (2)能，理由见解析 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，勾股定理，含角的直角三角形三边之间的关系，相似三角形的判定与性质，读懂题目信息并作出辅助线构造成直角三角形是解题的关键． （1）根据，可知为直角三角形．根据勾股定理解答． （2）作线段于R，作线段于S，延长交l于T，比较与、的大小即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴为直角三角形． ∵， ∴ ∵1小时分钟分钟，1小时分钟， （千米/小时）． （2）能． 理由：作线段于R，作线段于S，延长交l于T． ∵， ∴． ， ∴     又∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 所以， 解得：． 所以． 又因为长为， ∴， ∵， 故轮船能够正好行至码头靠岸． 1 学科网（北京）股份有限公司 $