第01讲 锐角三角函数讲义（知识详解+3典例分析+习题巩固）【满分全攻略备考系列】2025-2026学年北师大版数学九年级下册重难点讲义与测试

第01讲 锐角三角函数（知识详解+3典例分析+习题巩固） 知识详解 知识点01：正切的概念 知识点02：正切与梯子的倾斜程度的关系 知识点03：坡度与坡角 知识点04：正弦、余弦 知识点05：锐角三角函数 典例分析 （举一反三） 考点1：根据定义求锐角的三角函数值 考点2：利用设参法求锐角的三角函数值 考点3：构造直角三角形求锐角的三角函数值 习题巩固 一、单选题（10） 二、填空题（9） 三、解答题（8） 【知识点01】正切的概念 正切的概念：如图1-1-1，在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做∠A 的正切，记作tan A，即tan A= . 如果用a，b分别表示∠A的对边与邻边，那么tan A=. 【知识点02】正切与梯子的倾斜程度的关系 正切与梯子的倾斜程度的关系 (1) 当梯子与地面所成的角为锐角A 时 ，tan A的值越大，梯子越陡. 因此，可用梯子的倾斜角的正切值来描述梯子的倾斜程度. (2)当倾斜角确定时，其对边与邻边的比值随之确定，这一比值只与倾斜角的大小有关，而与物体的长度无关. (3)对“倾斜程度”的理解： ①倾斜程度，其本意指倾斜角的大小，一般来说，倾斜角越大的物体，就说它放得越“陡”. ②通过计算物体与地面夹角的正切值来判断物体的倾斜程度，夹角的正切值越大，物体放置得越“陡”. 【知识点03】坡度与坡角 名称 定义 表示方法 关系 举例 坡度 坡面的铅直高度h与水平宽度l的比称为坡度(或坡比)，记作i i = 坡度是坡角的正切值， 坡度越大，坡角越大， 坡面就越陡 当h=1，l=时， 坡度i= 1∶，坡角α 为30° 坡角 坡面与水平面的夹角叫做坡角(或倾斜角)，记作∠α tanα = 【知识点04】正弦、余弦 1. 正弦、余弦的定义 名称 定义 数学语言 图示 正弦 在Rt△ABC中，锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sin A，即sin A= 在Rt△ABC中，∠ C= 90°，BC=a，AB=c ，则 sin A= 余弦 在Rt△ABC中，锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cos A，即cos A= 在Rt△ABC 中，∠ C= 90°，AC=b，AB=c ，则cos A= 【知识点05】锐角三角函数 1.锐角三角函数的定义：锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数. 锐角三角函数sin A(或cos A或tan A)是以锐角A为自变量的函数. 对于锐角A的每一个确定的值，sin A(或cos A或tan A)都有唯一确定的值与其对应. 2. 锐角三角函数之间的关系 (1)同一锐角的三角函数之间的关系 ①平方关系：sin2A+cos2A=1. ②商除关系：= tan A. (2)互余两角的三角函数之间的关系 sin A = cos(90°－∠A)；cos A=sin(90 ° －∠A). 【题型一】根据定义求锐角的三角函数值 【典例1-1】（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）如图，在中，，，，则的值是（　　） A． B． C． D． 【典例1-2】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，，，则 ． 【典例1-3】（2025九年级下·全国·专题练习）在中，，根据下列条件分别求出的值． (1)，； (2)． 【变式1-1】（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在中，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在正方形网格中，点A，B，C均在格点上，的值为 ． 【变式1-3】（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在中，，于点D，，，求与的值． 【题型二】利用设参法求锐角的三角函数值 【典例2-1】（22-23九年级下·安徽安庆·期末）如图，在中，，，则有（    ）    A． B． C． D． 【典例2-2】（23-24九年级上·山东威海·期中）在中， ， ，则的值是（  ） A． B． C．2 D． 【典例2-3】（20-21九年级·全国）已知在中，求及的值． 【变式2-1】（22-23九年级下·吉林长春·阶段练习）如图，在中，，作交边于点D．若，则的值为 ． 【变式2-2】（21-22九年级下·上海虹口·期中）如图，AD是△ABC的角平分线，过点C作AD的垂线交边AB于点E，垂足为点 O，当CE为△ABC边AB上的中线，且CE=AD时，则 ． 【变式2-3】（2022九年级下·全国·专题练习）已知是锐角，，求，的值 【题型三】构造直角三角形求锐角的三角函数值 【典例3-1】（24-25九年级下·黑龙江佳木斯·阶段练习）如图，在网格中每个小正方形边长为1，若点A、B、C均在格点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 【典例3-2】（23-24九年级上·山东淄博·阶段练习）下面网格中，小正方形的边长为1，的顶点都是格点，则的值为 ． 【典例3-3】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，．的平分线交于点，若，求的值． 【变式3-1】（24-25九年级下·云南文山·期中）在正方形网格中，的位置如图所示，则的值为（　　） A．2 B． C． D． 【变式3-2】（24-25九年级下·江苏扬州·阶段练习）如图的三个顶点在网格中格点上，求 ． 【变式3-3】（2024九年级下·全国·专题练习）在中，已知D为中点，，，求的值． 一、单选题 1．（24-25九年级下·陕西安康·阶段练习）若，，则的值为（   ） A． B． C． D．1 2．（24-25九年级下·贵州黔东南·阶段练习）如图，在中，，，则的值为（   ） A． B． C． D．2 3．（22-23九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，，点C在射线上．若，则点C到的距离等于（　　） A．3 B． C． D．6 4．（23-24九年级下·宁夏银川·阶段练习）如图，在中，，，，则等于（ ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，，，，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级下·云南文山·阶段练习）如图所示，电线杆的高度为5米，两根拉线与交于点在同一条直线上，，则拉线的长度为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 7．（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）中，，的边长都扩大为原来的2倍，则的值（   ） A．不变 B．变大 C．变小 D．无法判断 8．（24-25九年级下·云南临沧·阶段练习）如图，在中，，设，，所对的边分别为，，，则（   ） A． B． C． D． 9．（24-25九年级下·贵州黔东南·阶段练习）的大小关系是（   ） A． B． C． D． 10．（21-22九年级下·全国·单元测试）若为锐角，且，则（    ） A．小于30° B．大于30° C．大于45°且小于60° D．大于60° 二、填空题 11．（2024九年级下·江苏泰州·专题练习）如图，在的正方形网格中，点A，B，C为网格线交点，，垂足为D，则的值为 ．    12．（21-22九年级下·全国·单元测试）在中，，，，则 ． 13．（24-25九年级下·黑龙江佳木斯·阶段练习）在中，，，则 14．（2025九年级下·浙江·专题练习）比较大小： （用“＞”或“＜”填空） 15．（2023九年级下·全国·专题练习）在中，，如果，，那么等于 ． 16．（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知正方形ABCD的边长为6，点为边上的三等分点，连接，则的值为 ． 17．（24-25九年级下·上海·阶段练习）已知锐角，如果，那么 ． 18．（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）比较大小： ． 19．（2021九年级下·全国·专题练习）用“＜”连接下列各题中的锐角α，β，γ （1）若sinα＝0.123，sinβ＝0.8456，sinγ＝0.5678，则α，β，γ的大小关系为 ； （2）若cosα＝0.0123，cosβ＝0.3879，cosγ＝0.1024，则α，β，γ的大小关系为 ． 三、解答题 20．（21-22九年级下·全国·单元测试）在中，， ， ，求的长． 21．（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，在中，，，，求的长． 22．（22-23九年级下·天津红桥·阶段练习）如图，在中，，，，求，，的值． 23．（23-24九年级上·湖南岳阳·阶段练习）如图，在矩形中，，垂足为点E，设，且，．求的长．    24．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在中，．求： (1)，． (2)，． (3)观察（1）（2）中的计算结果，你发现了什么？请说明理由． 25．（24-25九年级下·福建厦门·阶段练习）如图，矩形中，，，求的长． 26．（22-23九年级下·全国·单元测试）（1）试比较，，，，这些角的正弦值的大小和余弦值的大小． （2）利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，比较下列正弦值和余弦值的大小：，，，． 27．（2025九年级下·全国·专题练习）我们知道，锐角的三角函数值都是随着锐角的确定而确定、变化而变化的，如图所示． (1)试探索随着锐角度数的增大，正切值的变化规律； (2)根据你探索到的规律，试比较，，，角的正切值的大小． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 锐角三角函数（知识详解+3典例分析+习题巩固） 知识详解 知识点01：正切的概念 知识点02：正切与梯子的倾斜程度的关系 知识点03：坡度与坡角 知识点04：正弦、余弦 知识点05：锐角三角函数 典例分析 （举一反三） 考点1：根据定义求锐角的三角函数值 考点2：利用设参法求锐角的三角函数值 考点3：构造直角三角形求锐角的三角函数值 习题巩固 一、单选题（10） 二、填空题（9） 三、解答题（8） 【知识点01】正切的概念 正切的概念：如图1-1-1，在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做∠A 的正切，记作tan A，即tan A= . 如果用a，b分别表示∠A的对边与邻边，那么tan A=. 【知识点02】正切与梯子的倾斜程度的关系 正切与梯子的倾斜程度的关系 (1) 当梯子与地面所成的角为锐角A 时 ，tan A的值越大，梯子越陡. 因此，可用梯子的倾斜角的正切值来描述梯子的倾斜程度. (2)当倾斜角确定时，其对边与邻边的比值随之确定，这一比值只与倾斜角的大小有关，而与物体的长度无关. (3)对“倾斜程度”的理解： ①倾斜程度，其本意指倾斜角的大小，一般来说，倾斜角越大的物体，就说它放得越“陡”. ②通过计算物体与地面夹角的正切值来判断物体的倾斜程度，夹角的正切值越大，物体放置得越“陡”. 【知识点03】坡度与坡角 名称 定义 表示方法 关系 举例 坡度 坡面的铅直高度h与水平宽度l的比称为坡度(或坡比)，记作i i = 坡度是坡角的正切值， 坡度越大，坡角越大， 坡面就越陡 当h=1，l=时， 坡度i= 1∶，坡角α 为30° 坡角 坡面与水平面的夹角叫做坡角(或倾斜角)，记作∠α tanα = 【知识点04】正弦、余弦 1. 正弦、余弦的定义 名称 定义 数学语言 图示 正弦 在Rt△ABC中，锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sin A，即sin A= 在Rt△ABC中，∠ C= 90°，BC=a，AB=c ，则 sin A= 余弦 在Rt△ABC中，锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cos A，即cos A= 在Rt△ABC 中，∠ C= 90°，AC=b，AB=c ，则cos A= 【知识点05】锐角三角函数 1.锐角三角函数的定义：锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数. 锐角三角函数sin A(或cos A或tan A)是以锐角A为自变量的函数. 对于锐角A的每一个确定的值，sin A(或cos A或tan A)都有唯一确定的值与其对应. 2. 锐角三角函数之间的关系 (1)同一锐角的三角函数之间的关系 ①平方关系：sin2A+cos2A=1. ②商除关系：= tan A. (2)互余两角的三角函数之间的关系 sin A = cos(90°－∠A)；cos A=sin(90 ° －∠A). 【题型一】根据定义求锐角的三角函数值 【典例1-1】（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）如图，在中，，，，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键； 根据正弦函数的定义求解即可． 【详解】，，， ． 故选：D． 【典例1-2】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，，，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义，熟记余弦的定义是解题的关键．根据余弦的定义即可求得的值． 【详解】解：在中， 故答案为：． 【典例1-3】．（2025九年级下·全国·专题练习）在中，，根据下列条件分别求出的值． (1)，； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据和的值可以求得的值，进而得到的值； （）根据定义解答即可； 本题考查了勾股定理，锐角三角函数，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴． 【变式1-1】（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在中，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查锐角三角函数的定义，理解和掌握三角函数的定义是解题的关键． 根据正弦和余弦的定义即可得出答案． 【详解】解：，， ， 故选A． 【变式1-2】（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在正方形网格中，点A，B，C均在格点上，的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理，理解并掌握正弦的定义是解题关键．找到所在的直角三角形，利用勾股定理求得斜边长，进而求得的对边与斜边之比即可． 【详解】解：如图所示，，垂足为C， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式1-3】（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在中，，于点D，，，求与的值． 【答案】 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理．根据余角的性质得，根据勾股定理求出的长，然后根据锐角三角函数的定义求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，． 【题型二】利用设参法求锐角的三角函数值 【典例2-1】（22-23九年级下·安徽安庆·期末）如图，在中，，，则有（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，可得，设，则，可得，再利用锐角的三角函数的定义逐一求解即可． 【详解】解：∵， ∴，设，则， ∴， ∴，， ，； ∴A，B，C不符合题意，D符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查的是求解锐角的三角函数值，熟记锐角的三角函数的定义是解本题的关键． 【典例2-2】（23-24九年级上·山东威海·期中）在中， ， ，则的值是（  ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了同角三角函数的关系，先根据题意画出直角三角形，设，求出及，然后可得出的值． 【详解】解：如图： ∵， ∴可以假设，， ∴ ∴， 故选：A． 【典例2-3】（20-21九年级·全国）已知在中，求及的值． 【答案】， 【分析】根据题意可画出图形，然后设，由勾股定理可得，进而问题可求解． 【详解】解：如图： 由可设， ∴， ∴，． 【点睛】本题主要考查三角函数，熟练掌握求一个角的三角函数是解题的关键． 【变式2-1】（22-23九年级下·吉林长春·阶段练习）如图，在中，，作交边于点D．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】先求出，设，求出，在根据余弦的概念求出即可． 【详解】解：， ， ， 设， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角函数，解题的关键是求出的长度． 【变式2-2】（21-22九年级下·上海虹口·期中）如图，AD是△ABC的角平分线，过点C作AD的垂线交边AB于点E，垂足为点 O，当CE为△ABC边AB上的中线，且CE=AD时，则 ． 【答案】 【分析】过E点作EF∥AD，对应边成比例，令AD=CE=8k，则OD=2k，OA=6k，作CH⊥AE于点H，由勾股定理求出AC，在△ACE中用等面积法求出CH，从而得出答案． 【详解】如图，作EF∥AD交BC于点F， ∵AD⊥AE，AD平分∠CAB， ∴O是CD中点， ， ∵CE是△ABC的中线， ∴E为AB中点，， ∵AD=CE， 令AD=CE=8k，则OE=OC=4k=EF，OD=2k，OA=6k， 在Rt△ACO中，AC=， ∵AO垂直平分CE， ∴AC=AE=； 过C点作AH⊥AE交AE于点H， 在△ACE中，通过等面积法可得：， ∴CH=， 在Rt△ACH中， ； 故答案为：． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，中位线的性质，勾股定理，熟练掌握性质之间的线段和角度转化是解题的关键． 【变式2-3】（2022九年级下·全国·专题练习）已知是锐角，，求，的值 【答案】， 【分析】根据题意，作出包含的直角三角形，利用三角函数定义、勾股定理等知识，数形结合求解即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 在中，是锐角，， 设， 则由勾股定理得， ，． 【点睛】本题考查求锐角的三角函数值，涉及正弦、余弦和正切定义、勾股定理等知识，根据题意，作出图形，数形结合求解三角函数是解决问题的关键． 【题型三】构造直角三角形求锐角的三角函数值 【典例3-1】（24-25九年级下·黑龙江佳木斯·阶段练习）如图，在网格中每个小正方形边长为1，若点A、B、C均在格点上，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求角的余弦值，勾股定理，连接，根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，再根据余弦函数的定义求解． 【详解】解：如图，连接， 由格点及勾股定理知：，，， ， ， 是直角三角形，， ∵， ． 故选：B． 【典例3-2】（23-24九年级上·山东淄博·阶段练习）下面网格中，小正方形的边长为1，的顶点都是格点，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查求解一个角的正弦值．作边上的高，根据算出，由即可求解． 【详解】解：由图可知：，， ， 作边上的高，如图：    则， ∴， ， 故答案为：． 【典例3-3】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，．的平分线交于点，若，求的值． 【答案】 【分析】此题考查了求余弦值，角平分线的性质定理，勾股定理， 过点D作交于点E，首先得到，然后根据勾股定理求出，然后根据余弦的概念求解即可． 【详解】如图所示，过点D作交于点E ∵在中，，的平分线交于点， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 【变式3-1】（24-25九年级下·云南文山·期中）在正方形网格中，的位置如图所示，则的值为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理与格点问题，勾股定理的逆定理，正切的定义等．利用格点和勾股定理求出各边长，利用勾股定理的逆定理可证是直角三角形，再利用余弦函数的定义即可求出的值即可． 【详解】解：连接， ，，， ， 是直角三角形，， ， 故选：D． 【变式3-2】（24-25九年级下·江苏扬州·阶段练习）如图的三个顶点在网格中格点上，求 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了勾股定理，三角形的面积公式，锐角三角函数，解本题的关键是构造出直角三角形，利用三角形的面积求出，也是解本题的难点． 先利用网格线得出，再用面积求出边上的高，最后用三角函数的定义即可． 【详解】解：如图，过点作，设网格中每个小正方形的边长为1， ， 根据面积相等得，， ， ， 在中，， 故答案为：． 【变式3-3】（2024九年级下·全国·专题练习）在中，已知D为中点，，，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理以及锐角三角函数的，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解决本题的关键． 过点作，交边于点E，则，则，设，则，，再对运用勾股定理即可． 【详解】解：过点作，交边于点E． ∵，， ∴，， ∵， ，     ∴， ∴    ∴． ∵D为中点，         ∴． 设，则，． 在中，， ∴． 一、单选题 1．（24-25九年级下·陕西安康·阶段练习）若，，则的值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形，根据，得出，然后根据余弦定义求解即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 2．（24-25九年级下·贵州黔东南·阶段练习）如图，在中，，，则的值为（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了求角的正弦值，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．设，则，利用勾股定理求出的长，在中利用正弦的定义即可求解． 【详解】解：设，则， ∵， ∴， ∴在中，． 故选：C． 3．（22-23九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，，点C在射线上．若，则点C到的距离等于（　　） A．3 B． C． D．6 【答案】A 【分析】构造直角三角形，利用锐角三角函数的定义，即可得答案． 【详解】解：如图，过点C作，垂足为， 在中，， ∴, ∴， 即点C到的距离为3， 故选：A． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，解决本题的关键是能根据锐角三角函数求得线段的长度． 4．（23-24九年级下·宁夏银川·阶段练习）如图，在中，，，，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握余弦函数的定义：我们把锐角的相邻直角边与斜边的比叫做的余弦，记作． 【详解】解：在中，，，． 所以． 故选：B． 5．（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，，，，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角函数的定义根据定义逐一判断，即可求解；掌握，，是解题的关键． 【详解】解：A.，结论错误，故不符合题意； B.，结论正确；故符合题意； C.，结论错误，故不符合题意； D.，结论错误，故不符合题意； 故选：B． 6．（24-25九年级下·云南文山·阶段练习）如图所示，电线杆的高度为5米，两根拉线与交于点在同一条直线上，，则拉线的长度为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数定义成为解题的关键．根据锐角三角函数的定义解直角三角形即可解答． 【详解】解：由题意可知，，，， ∴，即， 解得：米． 故选：C． 7．（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）中，，的边长都扩大为原来的2倍，则的值（   ） A．不变 B．变大 C．变小 D．无法判断 【答案】A 【分析】本题考查了求角的正切值，解题关键是掌握正切的定义式． 求出扩大后，再作出比较． 【详解】解：中，，则， ∵的边长都扩大为原来的2倍， ∴扩大后的三边长分别为，，， ∴扩大后的， ∴的值不变， 故选：A． 8．（24-25九年级下·云南临沧·阶段练习）如图，在中，，设，，所对的边分别为，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是利用锐角三角函数求解直角三角形的边长，直接利用锐角的三角函数计算即可． 【详解】解：在中，，设，，所对的边分别为，，， ，，， ，，，， 故选：B 9．（24-25九年级下·贵州黔东南·阶段练习）的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】该题考查了特殊角的三角函数值，比较三角函数在时的大小关系，需利用三角函数在锐角范围内的变化规律．首先比较和的大小，再分析的值，最后综合得出顺序． 【详解】解：， 的值最大， 又， ， ， 故选：D． 10．（21-22九年级下·全国·单元测试）若为锐角，且，则（    ） A．小于30° B．大于30° C．大于45°且小于60° D．大于60° 【答案】D 【分析】首先确定在锐角范围内，并且在此范围内，正切函数值随角度的增大而增大，由此判断即可． 【详解】解：∵在锐角范围内，正切函数值随角度的增大而增大， ∴，即， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查三角函数的增减性，熟记特殊三角函数值，理解三角函数的增减性是解题关键． 二、填空题 11．（2024九年级下·江苏泰州·专题练习）如图，在的正方形网格中，点A，B，C为网格线交点，，垂足为D，则的值为 ．    【答案】/0.6 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理，解题的关键熟记三角函数的定义并灵活运用．先利用勾股定理求出，再证明，然后利用利用解题即可． 【详解】解：如图，在中，， ∴，    ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（21-22九年级下·全国·单元测试）在中，，，，则 ． 【答案】10 【分析】根据正弦的概念，即可解答． 【详解】解：，， ， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了已知正弦值求边长，熟知概念是解题的关键． 13．（24-25九年级下·黑龙江佳木斯·阶段练习）在中，，，则 【答案】/ 【分析】本题考查等腰三角形的性质、锐角三角函数，过点A作于点D，根据等腰三角形的性质得，再利用锐角三角函数求解即可． 【详解】解：如图，过点A作于点D， ∵，， ∴， ， 故答案为：． 14．（2025九年级下·浙江·专题练习）比较大小： （用“＞”或“＜”填空） 【答案】 【分析】本题主要考查了余弦的性质， 根据锐角三角函数值都是正值．当角度在0°～90°间变化时，余弦值随着角度的增大而减小即可得结论． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：. 15．（2023九年级下·全国·专题练习）在中，，如果，，那么等于 ． 【答案】 【分析】根据题意，作出图形，数形结合由余弦函数定义列式求解即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 在中，，，， ，即， 故答案为：． 【点睛】本题考查三角函数定义求线段长，数形结合，熟记余弦函数定义是解决问题的关键． 16．（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知正方形ABCD的边长为6，点为边上的三等分点，连接，则的值为 ． 【答案】或/或 【分析】本题主要考查求角的正切值，分和两种情况求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 当时，如图， ； 当时，如图， ， 故答案为：或． 17．（24-25九年级下·上海·阶段练习）已知锐角，如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查的是锐角三角函数的应用，根据，画图设，则，再求解，从而可得答案． 【详解】解：如图，，， ∵， ∴， 设，则， ∴， ∴， 故答案为： 18．（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）比较大小： ． 【答案】 【分析】本题考查三角函数定义，正弦定义，正切定义，根据分子相同，分母越大，分数越小，进行比较即可． 【详解】解：根据题意作图如下， 在中，，， ， ， ， 故答案为：． 19．（2021九年级下·全国·专题练习）用“＜”连接下列各题中的锐角α，β，γ （1）若sinα＝0.123，sinβ＝0.8456，sinγ＝0.5678，则α，β，γ的大小关系为 ； （2）若cosα＝0.0123，cosβ＝0.3879，cosγ＝0.1024，则α，β，γ的大小关系为 ． 【答案】 α＜γ＜β β＜γ＜α 【分析】（1）根据正弦值随度数的增大函数值越来越大得出即可； （2）根据余弦值随度数的增大函数值越来越小得出即可． 【详解】解：（1）∵ sinα＝0.123，sinβ＝0.8456，sinγ＝0.5678， ∴sinα＜sinγ＜sinβ， ∴ α＜γ＜β； （2）∵cosα＝0.0123，cosβ＝0.3879，cosγ＝0.1024， ∴cosα＜cosγ＜cosβ， ∴ β＜γ＜α． 故答案为：α＜γ＜β；β＜γ＜α． 【点睛】此题主要考查了锐角三角函数的增减性，关键在于知道正弦值随角度的增大而增大，余弦值随角度的增大而减小． 三、解答题 20．（21-22九年级下·全国·单元测试）在中，， ， ，求的长． 【答案】 【分析】根据正切函数的定义及勾股定理，即可求解． 【详解】解：在中，， ， ，， ， 解得：， 由勾股定理得：． 【点睛】本题考查了正切函数的定义及勾股定理，熟练掌握和运用解直角三角形的方法是解决本题的关键． 21．（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，在中，，，，求的长． 【答案】． 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，过点A作，交的延长线于点H，则，先根据正弦的定义求出，进而利用勾股定理求出，则，再利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图，过点A作，交的延长线于点H，则． ∵，， ∴． 在中，由勾股定理得． 又∵， ∴， ∴． 22．（22-23九年级下·天津红桥·阶段练习）如图，在中，，，，求，，的值． 【答案】， ， 【分析】本题考查了锐角三角函数，勾股定理的知识；根据勾股定理求出斜边，再根据锐角三角函数的定义求解即可． 【详解】∵中，，， ∴， ∴， ，． 23．（23-24九年级上·湖南岳阳·阶段练习）如图，在矩形中，，垂足为点E，设，且，．求的长．    【答案】． 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，同角的余角相等的性质．由已知条件可知：，，在中，，由此可以求出，然后根据勾股定理求出，最后在中，利用余弦函数的定义即可求出． 【详解】解：四边形是矩形，， ，， ， ， 在中，，即， ， 根据勾股定理得：， 在中，，即， ． 24．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在中，．求： (1)，． (2)，． (3)观察（1）（2）中的计算结果，你发现了什么？请说明理由． 【答案】(1)， (2)， (3)，理由见解析 【分析】（1）根据锐角三角函数的定义即可求出答案． （2）根据锐角三角函数的定义即可求出答案． （3）根据（1）与（2）问的结果即可得出答案． 本题考查了勾股定理，求一个角的正弦值，求一个角的余弦值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：∵ ． ∴根据勾股定理可知：， ∴，； （2）解：依题意，，； （3）解：，理由如下 由（1）、（2）可知：，，，； 即， 25．（24-25九年级下·福建厦门·阶段练习）如图，矩形中，，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，解直角三角形，勾股定理，根据矩形的性质，三角函数的定义，勾股定理即可得到结论． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 26．（22-23九年级下·全国·单元测试）（1）试比较，，，，这些角的正弦值的大小和余弦值的大小． （2）利用互余的两个角的正弦和余弦的关系，比较下列正弦值和余弦值的大小：，，，． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）利用三角函数的增减性的规律即可得答案； （2）注意正余弦的转换方法，转换为同一种锐角三角函数后，再根据锐角三角函数值的变化规律进行比较． 【详解】解：（1）∵锐角的正弦值随角度的增大而增大，锐角的余弦值随角度的增大而减小． ∴； ． （2），． ∵， ∴． 【点睛】本题考查互余两角三角函数的关系，掌握锐角三角函数的增减性的规律是解题关键． 27．（2025九年级下·全国·专题练习）我们知道，锐角的三角函数值都是随着锐角的确定而确定、变化而变化的，如图所示． (1)试探索随着锐角度数的增大，正切值的变化规律； (2)根据你探索到的规律，试比较，，，角的正切值的大小． 【答案】(1)锐角的正切值随着角度的增大而增大 (2) 【分析】本题考查比较正切值的大小： （1）根据正切的定义，结合图形，进行探究即可； （2）直接利用（1）中规律进行作答即可． 【详解】（1）解：∵， 又∵， ∴． ∴． ∴锐角的正切值随着角度的增大而增大． （2）由（1）可知：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $