专题05 抛物线（12个题型）（高效培优期中专项训练）数学苏教版2019高二选择性必修第一册

专题05 抛物线（12个题型） 考点01 抛物线的定义及辨析 考点02 求抛物线的标准方程 考点03 利用抛物线方程求参数 考点04 轨迹问题——抛物线 考点05 判断抛物线的开口方向 考点06 抛物线中和、差最值问题 考点07 求抛物线上的点到定点的距离最值 考点08 抛物线的焦半径公式 考点09 抛物线的焦点和准线 考点10 抛物线的对称性及其应用 考点11 抛物线的性质 考点12 抛物线的实际应用问题 考点01 抛物线的定义及辨析 1．已知抛物线上一点到其焦点的距离为3，则（  ） A． B．2 C．3 D．4 2．已知抛物线上一点到焦点的距离是，则点到轴的距离为（  ） A． B． C． D． 3.已知抛物线的焦点为，若抛物线上一点到直线的距离为5，则（  ） A．3 B．4 C．5 D．6 4.若抛物线上一点到焦点的距离与到轴的距离之差为1，则_______ 5.已知抛物线上的点P到抛物线的焦点F的距离为6，则以线段PF的中点为圆心，为直径的圆被x轴截得的弦长为 ． 考点02 求抛物线的标准方程 6．若抛物线上一点到其焦点的距离为9，则该抛物线的方程为（  ） A． B． C． D． 7．抛物线上纵坐标为2的点到焦点的距离5，则该抛物线的方程为（  ） A． B． C． D． 8.已知抛物线C关于y轴对称，顶点在坐标原点，且焦点在直线上，则抛物线C的标准方程为（  ） A． B． C． D． 9.点到抛物线的准线的距离为6，那么该抛物线的标准方程是（  ） A． B．或 C． D．或 10.边长为1的等边，O为坐标原点，x轴，以O为顶点且过的抛物线方程是（  ） A． B． C． D． 11.焦点在直线上的抛物线的标准方程为 ． 12.求适合下列条件的抛物线的标准方程： (1)顶点在原点，准线方程为； (2)顶点在原点，且过点； (3)焦点在轴上，且抛物线上一点到焦点的距离为5. 考点03 利用抛物线方程求参数 13．抛物线上一点到其焦点的距离为6，则的值为（  ） A． B． C．-8 D．-4 14．已知是抛物线上一点，点到的焦点的距离为9，到轴的距离为4，则（  ） A．4 B．5 C．8 D．10 15.已知抛物线的焦点为F，准线为l，点A在抛物线C上，点B在准线l上，若是边长为2的等边三角形，则的值是（  ） A．1 B． C．2 D． 16.已知抛物线的焦点为，准线为，第一象限内的点在上，垂直于点，交轴于点，若，则（  ） A．1 B． C．2 D． 17.若抛物线上一点与焦点的距离等于2，则 . 考点04 轨迹问题——抛物线 18．已知动点到点的距离比它到直线的距离大1，则动点的轨迹方程为（  ） A． B． C． D． 19．与圆及圆都内切的圆的圆心在（  ） A．椭圆上 B．双曲线的左支上 C．双曲线的右支上 D．圆上 20.已知动点满足，则动点的轨迹是（  ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 21.已知动圆M与直线y=2相切，且与定圆 外切，则动圆圆心M的轨迹方程为______ 22.已知点到定点的距离比它到轴的距离大，则 ，点的轨迹点的方程为 ． 考点05 判断抛物线的开口方向 23．对抛物线，下列描述正确的是（    ） A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为 C．开口向右，焦点为 D．开口向右，焦点为 24．在同一坐标系中，方程与的曲线大致是（    ） A． B． C． D． 25.已知，则方程表示的曲线可能是（    ） A． B． C． D． 考点06 抛物线中和、差最值问题 26．已知点是抛物线上的动点，定点，则到点的距离与到轴的距离之和的最小值为（  ） A． B． C． D． 27．已知抛物线的焦点为，点，是抛物线上的一个动点，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 28.已知抛物线的焦点为，定点，若对抛物线上任一动点，都有恒成立，则的最小值为___________ 29.已知抛物线的焦点为，点在该抛物线上，点在圆上，则的最小值为__________ 30.已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是___________ 考点07 求抛物线上的点到定点的距离最值 31．已知抛物线，点在抛物线上，点，若P点是抛物线上的动点，则的最小值为（  ） A．8 B． C．9 D．3 32．已知，P为抛物线上任一点，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 33.设点为圆上的一动点，点为抛物线上的一动点，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 34.已知抛物线，圆，若点、分别在、上运动，且设点，则的最小值为_____________ 考点08 抛物线的焦半径公式 35．设抛物线的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，，A为垂足，如果直线的斜率为，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 36．已知O为坐标原点，F为抛物线的焦点，点在C上，且，则C的方程为（  ） A． B． C． D． 37.已知点为抛物线：的焦点，点在抛物线上，且，则抛物线的方程为（  ） A． B． C． D． 38.已知点P在抛物线C：上，且点P到C的焦点F的距离为，则点P到x轴的距离为 . 考点09 抛物线的焦点和准线 39．抛物线的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 40．已知抛物线的方程为，则抛物线的准线方程为（  ） A． B． C． D． 41.抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则抛物线准线方程为（    ）． A． B． C． D． 42.已知抛物线的方程为，则抛物线的焦点坐标为（  ） A． B． C． D． 43.抛物线的准线方程为__________ 考点10 抛物线的对称性及其应用 44．若点在抛物线上，则下列点中一定在该抛物线上的是（  ） A． B． C． D． 45．等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（  ） A．2 B． C．4 D． 46.已知正方形的边长为2，其中一个顶点为原点，另外三个顶点中有两个在抛物线上，则 ． 47.已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为____________ 48.已知抛物线与椭圆相交于A，B两点，若，则 . 考点11 抛物线的性质 49．已知直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，则线段的中点到准线的距离为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 50．已知抛物线的焦点为F，点在C的内部，若点B是抛物线C上的一个动点，且周长的最小值为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 51.（多选）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（  ） A． B． C．以MN为直径的圆与l相切 D．为等腰三角形 52.已知抛物线的焦点为F，过点F且斜率大于0的直线l交C于A，B两点，若，则l的斜率为（   ） A． B． C． D． 53.已知直线与抛物线交于两点，且． (1)求； (2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，，求面积的最小值． 考点12 抛物线的实际应用问题 54．如图，一座抛物线形拱桥，当桥洞内水面宽16m时，拱顶距离水面4m，当水面下降1m后，桥洞内水面宽为（  ） A． B． C． D． 55．如图，抛物线型太阳灶是利用太阳能辐射的一种装置.当旋转抛物面的主光轴指向太阳的时候，平行的太阳光线入射到旋转抛物面表面，经过反光材料的反射，这些反射光线都从它的焦点处通过，形成太阳光线的高密集区，抛物面的焦点在它的主光轴上.现有一拋物线型太阳灶，灶口直径为，灶深为，则焦点到灶底（抛物线的顶点）的距离为（  ） A． B． C． D． 56.图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度，信号处理中心位于焦点处，以顶点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，则焦点的坐标为（  ）    A． B． C． D． 57.已知某条河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽8米，一条木船宽4米，木船露出水面上的部分高为0.75米. (1)建立适当的坐标系，求拱桥所在抛物线的方程； (2)当水面上涨0.5米时，木船能否通行？ (3)当水面上涨多少米时，木船开始不能通行？ 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 抛物线（12个题型） 考点01 抛物线的定义及辨析 考点02 求抛物线的标准方程 考点03 利用抛物线方程求参数 考点04 轨迹问题——抛物线 考点05 判断抛物线的开口方向 考点06 抛物线中和、差最值问题 考点07 求抛物线上的点到定点的距离最值 考点08 抛物线的焦半径公式 考点09 抛物线的焦点和准线 考点10 抛物线的对称性及其应用 考点11 抛物线的性质 考点12 抛物线的实际应用问题 考点01 抛物线的定义及辨析 1．已知抛物线上一点到其焦点的距离为3，则（  ） A． B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据题意结合抛物线的定义运算求解即可. 【解析】根据抛物线的定义，可知，解得. 故选：B． 2．已知抛物线上一点到焦点的距离是，则点到轴的距离为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由抛物线方程求焦点坐标及准线方程，结合抛物线定义条件可转化为点到准线的距离为，由此可求结论. 【解析】由抛物线可得焦点，准线方程为， 因为点到焦点的距离是， 由抛物线的定义，可得点到准线的距离为， 所以点到轴的距离为. 故选：B. 3.已知抛物线的焦点为，若抛物线上一点到直线的距离为5，则（  ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义，结合焦半径公式即可求解. 【解析】由于抛物线的准线方程为，抛物线上点到直线的距离为5， 故点到直线的距离为4，故， 故选：B. 4.若抛物线上一点到焦点的距离与到轴的距离之差为1，则_______ 【答案】2 【分析】利用抛物线定义即可求解. 【解析】设，根据抛物线定义可知，， 又点到焦点的距离与到轴的距离之差为1， 则，解得. 故答案为：2 5.已知抛物线上的点P到抛物线的焦点F的距离为6，则以线段PF的中点为圆心，为直径的圆被x轴截得的弦长为 ． 【答案】4 【分析】由条件结合抛物线定义即可求解. 【解析】抛物线的焦点，准线为， 由题意得，结合抛物线定义知P点到准线的距离为6，      则， 代入横坐标可得，即， 所以的中点坐标为或， ， 所以以的中点为圆心，长度为直径的圆的方程为或， 圆心到轴距离为，所以与截得的弦长为， 故答案为：4. 考点02 求抛物线的标准方程 6．若抛物线上一点到其焦点的距离为9，则该抛物线的方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将抛物线上点到焦点的距离转化为到准线的距离求解. 【解析】抛物线的准线方程为， 所以点P到焦点的距离为， 所以，抛物线的方程为. 故选：B. 7．抛物线上纵坐标为2的点到焦点的距离5，则该抛物线的方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线定义将到焦点的距离转化为到准线的距离建立关系可求出. 【解析】抛物线上纵坐标为2的点到焦点的距离5，可知此点到准线的距离为， 又抛物线的准线方程为， 所以可得，解得， 所以抛物线方程为. 故选：A. 8.已知抛物线C关于y轴对称，顶点在坐标原点，且焦点在直线上，则抛物线C的标准方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出直线与y轴的交点坐标，得抛物线的焦点，进而可得抛物线的标准方程． 【解析】直线与y轴的交点为， 所以抛物线C的焦点为，故，解得， 所以抛物线C的标准方程为． 故选：D． 9.点到抛物线的准线的距离为6，那么该抛物线的标准方程是（  ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】将转化为，分类讨论和两种情况，利用抛物线性质，列出关于a的方程求解即可. 【解析】将转化为, 当时，抛物线开口向上，准线方程， 点到准线的距离为，解得， 所以抛物线方程为，即； 当时，抛物线开口向下，准线方程， 点到准线的距离为，解得或（舍去）， 所以抛物线方程为，即. 所以抛物线的方程为或 故选：D. 10.边长为1的等边，O为坐标原点，x轴，以O为顶点且过的抛物线方程是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用抛物线性质求解即可. 【解析】设抛物线方程为.设， 由题意得，，解得，， 取点A在x轴上方，故，代入抛物线中， 则有，解得， 所以抛物线方程为. 故选：C 11.焦点在直线上的抛物线的标准方程为 ． 【答案】或 【分析】先求出直线与坐标轴的点的坐标，然后根据抛物线方程的定义求出结果即可. 【解析】抛物线的标准方程中，焦点必在坐标轴上，先求直线和坐标轴的交点： 直线与轴的交点为，与轴的交点为， 所以抛物线的焦点为或． 当焦点为时，抛物线方程为；当焦点为时，抛物线方程为． 综上，抛物线的标准方程为或． 故答案为：或． 12.求适合下列条件的抛物线的标准方程： (1)顶点在原点，准线方程为； (2)顶点在原点，且过点； (3)焦点在轴上，且抛物线上一点到焦点的距离为5. 【答案】(1);(2)或;(3) 【分析】（1）根据准线方程即可确定抛物线焦点位置以及值，即可求解； （2）根据抛物线上一点，设出抛物线方程，将点坐标代入即可求解； （3）根据点在抛物线上，确定焦点位置，根据抛物线定义，确定值，即可求解. 【解析】（1）由题意顶点在原点，准线方程为， 可知抛物线焦点在轴负半轴上，且， 故抛物线标准方程为； （2）由题意顶点在原点，且过点，则抛物线焦点可能在轴正半轴或轴负半轴上， 则设抛物线标准方程为或， 分别将代入，有，，求得，， 故抛物线标准方程为或. （3）由题意抛物线焦点在x轴上，且点在抛物线上， 有抛物线焦点在轴正半轴上， 又因为抛物线上一点到焦点的距离为5， 则设抛物线方程为，焦点为，准线为， 根据抛物线定义有，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离， 故，故抛物线标准方程为. 考点03 利用抛物线方程求参数 13．抛物线上一点到其焦点的距离为6，则的值为（  ） A． B． C．-8 D．-4 【答案】A 【分析】根据抛物线方程，先求得准线方程.结合抛物线定义即可求得点到准线的距离. 【解析】因为，所以，其准线方程为 ， 根据抛物线定义，得，解得． 故选：A 14．已知是抛物线上一点，点到的焦点的距离为9，到轴的距离为4，则（  ） A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】D 【分析】确定抛物线的准线方程，根据抛物线的定义，即可求得答案. 【解析】由题意知抛物线的准线为， 因为点到的焦点的距离为9，到轴的距离为4，即A点纵坐标为4， 所以,解得. 故选：D. 15.已知抛物线的焦点为F，准线为l，点A在抛物线C上，点B在准线l上，若是边长为2的等边三角形，则的值是（  ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】利用抛物线定义可知，再由等边三角形的边长为2即可求得. 【解析】根据题意，易知，由抛物线定义可得， 设准线与l的交点为，如下图所示：    因此与平行，又是边长为2的等边三角形， 所以，即, 可得，即. 故选：A. 16.已知抛物线的焦点为，准线为，第一象限内的点在上，垂直于点，交轴于点，若，则（  ） A．1 B． C．2 D． 【答案】2 【分析】根据中线关系可得与垂直，即可得，进而可得，代入抛物线方程即可求解. 【解析】因为O为中点，轴平行于准线，所以为的中点， 因为，所以与垂直，因为，所以， 所以，故，代入可得， 化简得， 由于，所以，（舍去）， 故选：C. 17.若抛物线上一点与焦点的距离等于2，则 . 【答案】 【分析】先求抛物线的准线方程，再根据抛物线的定义得到关于的方程，求解即可. 【解析】由得，所以准线方程为， 因为点与焦点的距离等于2，所以点与准线的距离等于2， 即，解得， 故答案为：. 考点04 轨迹问题——抛物线 18．已知动点到点的距离比它到直线的距离大1，则动点的轨迹方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用抛物线的定义求解即可. 【解析】由题意可知，动点P到点的距离等于它到直线的距离， 由抛物线的定义可知，点P在以为焦点，为准线的抛物线上，其轨迹方程为， 故选：D. 19．与圆及圆都内切的圆的圆心在（  ） A．椭圆上 B．双曲线的左支上 C．双曲线的右支上 D．圆上 【答案】B 【分析】设所求圆的圆心为，半径为，根据圆与圆的位置关系，结合双曲线的定义可得出结论. 【解析】圆的圆心为，半径为， 圆的标准方程为，圆心为，半径为， 设所求圆的圆心为，半径为，如图所示， ，， 所以，且， 所以圆心的轨迹是以分别为左、右焦点的双曲线的左支． 故选：B. 20.已知动点满足，则动点的轨迹是（  ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】D 【分析】先对原方程合理变形，再结合抛物线的定义求解轨迹类型即可. 【解析】因为， 所以， 由两点间距离公式得方程左侧为点到点的距离， 由点到直线的距离公式得方程右侧为到直线的距离， 可得到点的距离和到直线的距离相等， 而且点不在直线上，结合抛物线定义得到点的轨迹是抛物线，故D正确. 故选：D 21.已知动圆M与直线y=2相切，且与定圆 外切，则动圆圆心M的轨迹方程为______ 【答案】 【分析】根据动圆M与直线y=2相切，且与定圆外切，可得动点M到C（0，-3）的距离与到直线y=3的距离相等，由抛物线的定义知，点M的轨迹是抛物线，由此易得轨迹方程． 【解析】设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，由题意可得M到C(0，－3)的距离与到直线y＝3的距离相等, 由抛物线的定义可知，动圆圆心的轨迹是以C(0，-3)为焦点，以y＝3为准线的一条抛物线， 所以，其方程为， 故答案为： 22.已知点到定点的距离比它到轴的距离大，则 ，点的轨迹点的方程为 ． 【答案】 或 【分析】利用抛物线轨迹方程的概念求解. 【解析】依题意，得，即①，则，两边平方得，则②，两边平方得，整理得，即，可得或．当时，②转化为，所以，此时①转化为，所以，所以点的轨迹的方程为或． 故答案为: 或． 考点05 判断抛物线的开口方向 23．对抛物线，下列描述正确的是（    ） A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为 C．开口向右，焦点为 D．开口向右，焦点为 【答案】A 【分析】将抛物线方程改写为标准方程形式，则可根据该方程判断开口方向，以及焦点坐标. 【解析】由题知，该抛物线的标准方程为， 则该抛物线开口向上，焦点坐标为. 故选：A. 24．在同一坐标系中，方程与的曲线大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，判断椭圆焦点在轴上，化成标准方程，即可判断焦点位置和开口方向，得出结论. 【解析】由，方程表示焦点在轴上的椭圆， 得表示焦点在轴上开口向左的抛物线. 故选：D. 25.已知，则方程表示的曲线可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由方程得或，通过分类讨论，结合抛物线的性质、直线的斜率及截距等知识进行判断即可. 【解析】方程，得或， 当时，则有 或，分别表示开口向上的抛物线满足的部分和斜率为正且在轴上截距为正的直线，故A，B，D不符合，C符合； 当时，则有 或，分别表示开口向上的抛物线满足的部分和斜率为负且在轴上截距为负的直线，故A，B，C，D均不符合， 综上，方程表示的曲线可能是C. 故选：C. 考点06 抛物线中和、差最值问题 26．已知点是抛物线上的动点，定点，则到点的距离与到轴的距离之和的最小值为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由抛物线焦半径公式可得，，当且仅当三点共线时，等号成立，从而求出距离之和的最小值. 【解析】抛物线，焦点坐标为，准线方程为， 设到轴的距离为，过点作⊥准线于点， 由抛物线焦半径公式可得，，    则，当且仅当三点共线时，等号成立， 其中，所以到点的距离与到轴的距离之和最小值为. 故选：A. 27．已知抛物线的焦点为，点，是抛物线上的一个动点，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作垂直于准线，垂足为，过点作垂直于准线，垂足为，由抛物线的定义可得，可得出，利用当、、三点共线时，取最小值，即可得解. 【解析】由题意得，准线方程为，过点作垂直于准线，垂足为， 过点作垂直于准线，垂足为，由抛物线的定义可得， ． 当且仅当为线段与抛物线的交点时，等号成立， 故的最小值为. 故选：C. 28.已知抛物线的焦点为，定点，若对抛物线上任一动点，都有恒成立，则的最小值为___________ 【答案】1 【分析】利用抛物线的定义及三角形性质可得答案. 【解析】抛物线的焦点为，准线方程是． 如图，过点作准线的垂线，垂足为，连接． 因为点在抛物线上，所以根据抛物线的定义得， 所以，当且仅当三点共线时取等号， 当时，取最小值，即，所以的最小值为1． 故答案为：1． 29.已知抛物线的焦点为，点在该抛物线上，点在圆上，则的最小值为__________ 【答案】10 【解析】如图，过点作准线的垂线，垂足为，则. 当垂直于抛物线准线时，最小， 此时记线段与圆的交点为，因为，准线为， 则的最小值为.    故答案为：10 30.已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是___________ 【答案】3 【分析】求出焦点，准线，设动点到直线的距离分别为，求出点到直线的距离为，由抛物线定义得到，进而得到． 【解析】由题意可得：拋物线的焦点，准线， 设动点直线的距离分别为， 点到直线的距离分别为， 则，可得， 当且仅当点在点到直线的垂线上且在与之间时，等号成立， 动点到直线直线的距离之和的最小值是3. 故答案为：3. 考点07 求抛物线上的点到定点的距离最值 31．已知抛物线，点在抛物线上，点，若P点是抛物线上的动点，则的最小值为（  ） A．8 B． C．9 D．3 【答案】B 【分析】把点代入抛物线中求出，再设利用两点间距离计算根据二次函数求最值即可. 【解析】因为点在抛物线上，所以，解得， 所以抛物线方程为，设， 则， 所以的最小值为. 故选：B. 32．已知，P为抛物线上任一点，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，由两点间距离公式表示出，再由二次函数的最值，即可得到结果. 【解析】依题意，是抛物线上的点，设， 则， 对于函数，当时，， 所以的最小值是， 即的最小值为. 故选：C 33.设点为圆上的一动点，点为抛物线上的一动点，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，可得，利用两点之间的距离公式可得，结合二次函数的单调性即可判断出结论． 【解析】如下图，设， 则，，当且仅当时取等号，此时， ，因此， 故选：B． 34.已知抛物线，圆，若点、分别在、上运动，且设点，则的最小值为_____________ 【答案】 【分析】要使最小，则需最大，根据抛物线的定义可得， ，然后整理换元转化为二次函数求最值. 【解析】如图，设圆心为，则为抛物线的焦点， 该抛物线的准线方程为，设， 由抛物线的定义得，要使最小，则需最大， 如图，最大时，经过圆心，且圆的半径为1， ，且， 所以，令，则， 所以，由， 而， 得，取得最小值，则的最小值为． 故答案为：． 考点08 抛物线的焦半径公式 35．设抛物线的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，，A为垂足，如果直线的斜率为，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】由抛物线，求出焦点，再结合题意求出直线的方程为：，在求出点及点，从而可求解. 【解析】由抛物线，则焦点，准线：， 又因为直线的斜率为，则直线的方程为：， 因，所以可得点， 又，所以，即得点， 则. 故选：C. 36．已知O为坐标原点，F为抛物线的焦点，点在C上，且，则C的方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义得，结合得，将代入抛物线的方程即可解得的值，进而得C的方程. 【解析】 由抛物线的定义，得， 又，，则，即， 因此，由点在C上，得，结合，解得， 所以C的方程为． 故选：B． 37.已知点为抛物线：的焦点，点在抛物线上，且，则抛物线的方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线的定义，结合已知条件，求得，即可求得抛物线方程. 【解析】根据题意，连接，过作垂直于抛物线的准线，垂足为，作图如下：    由抛物线定义可知，解得， 故抛物线方程为：. 故选：C. 38.已知点P在抛物线C：上，且点P到C的焦点F的距离为，则点P到x轴的距离为 . 【答案】4 【分析】设，，根据焦半径公式得到方程，求出，得到答案. 【详解】由，得，则抛物线C的准线方程为. 设，，则，∴， ∴点P到轴的距离为4. 故答案为：4 考点09 抛物线的焦点和准线 39．抛物线的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线的性质及焦点坐标公式计算求解. 【解析】因为抛物线，所以焦点到准线的距离，且焦点在轴的正半轴上，所以焦点坐标为. 故选：A. 40．已知抛物线的方程为，则抛物线的准线方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把抛物线方程化为标准方程可得结果. 【解析】∵抛物线的方程为， ∴标准方程为， ∴抛物线的准线方程为. 故选：A. 41.抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则抛物线准线方程为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求双曲线的右焦点坐标，根据抛物线的焦点可求的值，再根据抛物线方程求其准线方程. 【解析】对于双曲线：因为，，所以，所以. 所以双曲线的右焦点坐标为：. 对于抛物线，因为焦点为，即. 所以其准线方程为：. 故选：B 42.已知抛物线的方程为，则抛物线的焦点坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线的标准方程可得出该抛物线的焦点坐标. 【解析】抛物线的标准方程为，则，可得，， 故抛物线的焦点坐标为. 故选：C. 43.抛物线的准线方程为__________ 【答案】 【分析】由抛物线的标准方程可得结果. 【解析】依题意得，所以，所以，又抛物线开口向左， 所以抛物线的准线方程为． 故答案为： 考点10 抛物线的对称性及其应用 44．若点在抛物线上，则下列点中一定在该抛物线上的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用抛物线关于x轴对称求解即可 【解析】由抛物线关于x轴对称易知，点一定在该抛物线上. 故选：B. 45．等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（  ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】正三角形的另外两个顶点关于轴对称，设另外两个顶点坐标分别是，把顶点代入抛物线方程化简即可求解. 【解析】设正三角形得边长为， 由图可知正三角形的另外两个顶点关于轴对称，可设另外两个顶点坐标分别是， 把顶点代入抛物线方程得解得， 所以正三角形的边长为. 故选：D. 46.已知正方形的边长为2，其中一个顶点为原点，另外三个顶点中有两个在抛物线上，则 ． 【答案】 【分析】根据题意，不妨设在坐标原点，则关于轴对称，可求得的坐标，进而计算可求得. 【解析】因为正方形的边长为2，其中三个顶点在抛物线上， 则不妨设在坐标原点，则关于轴对称， 所以， 所以，解得. 故答案为：. 47.已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为____________ 【答案】 【分析】设另外两个顶点的坐标分别为，由图形的对称性可以得到方程，解此方程得到的值，即可得到答案. 【解析】由题意，依据抛物线的对称性，及等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上， 可设另外两个顶点的坐标分别为， ，解得， 故这个等边三角形的边长为. 故答案为：. 48.已知抛物线与椭圆相交于A，B两点，若，则 . 【答案】/ 【分析】设点，根据椭圆和抛物线的对称性求得，然后代入椭圆方程可得点，最后代入抛物线方程计算即可. 【解析】由椭圆和抛物线的对称性，知轴，且关于轴对称， 不妨设，则，， 由可知，代入得，即， 再将代入可得，解得. 故答案为：. 考点11 抛物线的性质 49．已知直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，则线段的中点到准线的距离为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】先求出抛物线方程为：，再与直线联立，由根与系数的关系进行求解． 【详解】直线与轴的交点为， 又经过的焦点，故焦点，可得， 即抛物线：，准线为． 由， 可得，则， 所以，线段中点的横坐标为3， 则线段的中点到准线的距离为． 故选：B 50．已知抛物线的焦点为F，点在C的内部，若点B是抛物线C上的一个动点，且周长的最小值为，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【分析】过点作准线的垂线，垂足为，交轴于，结合的周长为，结合两点间距离公式计算可得． 【解析】如图，过点作准线的垂线，垂足为，交轴于， 抛物线为，准线l的方程为 B到准线的距离为d，则由抛物线的定义可知， 所以的周长为， , , 故选：B． 51.（多选）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（  ） A． B． C．以MN为直径的圆与l相切 D．为等腰三角形 【答案】AC 【分析】先求得焦点坐标，从而求得，根据弦长公式求得，根据圆与等腰三角形的知识确定正确答案. 【解析】A选项：直线过点，所以抛物线的焦点， 所以，则A选项正确，且抛物线的方程为. B选项：设， 由消去并化简得， 解得，所以，B选项错误. C选项：设的中点为，到直线的距离分别为， 因为， 即到直线的距离等于的一半，所以以为直径的圆与直线相切，C选项正确. D选项：直线，即， 到直线的距离为， 所以三角形的面积为， 由上述分析可知， 所以， 所以三角形不是等腰三角形，D选项错误. 故选：AC. 52.已知抛物线的焦点为F，过点F且斜率大于0的直线l交C于A，B两点，若，则l的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出直线方程，联立曲线方程后借助焦点弦公式计算即可得. 【解析】依题意，设直线的方程为， 由，得，所以， 所以，解得， 所以直线l的斜率为.    故选：B. 53.已知直线与抛物线交于两点，且． (1)求； (2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，，求面积的最小值． 【答案】(1);(2) 【分析】（1）利用直线与抛物线的位置关系，联立直线和抛物线方程求出弦长即可得出； （2）设直线：，利用，找到的关系，以及的面积表达式，再结合函数的性质即可求出其最小值． 【解析】（1）设， 由可得，，所以， 所以， 即，因为，解得：． （2）因为，显然直线的斜率不可能为零， 设直线：，， 由可得，，所以，， ， 因为，所以， 即， 亦即， 将代入得， ，， 所以，且，解得或． 设点到直线的距离为，所以， ， 所以的面积， 而或，所以， 当时，的面积 考点12 抛物线的实际应用问题 54．如图，一座抛物线形拱桥，当桥洞内水面宽16m时，拱顶距离水面4m，当水面下降1m后，桥洞内水面宽为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以抛物线的顶点为坐标原点，抛物线的对称轴为轴，过原点且垂直于轴的直线为轴建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为，分析可知点在该抛物线上，求出的值，可得出抛物线的方程，将代入抛物线方程，即可得出结果. 【解析】以抛物线的顶点为坐标原点，抛物线的对称轴为轴，过原点且垂直于轴的直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 设抛物线的方程为，由题意可知点在抛物线上， 所以，可得，所以抛物线的方程为， 当水面下降后，即当时，，可得， 因此，当水面下降后，桥洞内水面宽为. 故选：D. 55．如图，抛物线型太阳灶是利用太阳能辐射的一种装置.当旋转抛物面的主光轴指向太阳的时候，平行的太阳光线入射到旋转抛物面表面，经过反光材料的反射，这些反射光线都从它的焦点处通过，形成太阳光线的高密集区，抛物面的焦点在它的主光轴上.现有一拋物线型太阳灶，灶口直径为，灶深为，则焦点到灶底（抛物线的顶点）的距离为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据在可得，即可求解. 【解析】建立如图所示的直角坐标系，设抛物线方程为， 由题意可知在抛物线上，故， 因此焦点到灶底（抛物线的顶点）的距离为， 故选：D. 56.图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度，信号处理中心位于焦点处，以顶点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，则焦点的坐标为（  ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，设抛物线方程为且，结合点在抛物线上求参数，即可得焦点坐标. 【解析】由题意，设抛物线方程为且，显然点在抛物线上， 所以，则，故焦点的坐标为. 故选：B 57.已知某条河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽8米，一条木船宽4米，木船露出水面上的部分高为0.75米. (1)建立适当的坐标系，求拱桥所在抛物线的方程； (2)当水面上涨0.5米时，木船能否通行？ (3)当水面上涨多少米时，木船开始不能通行？ 【答案】(1);(2)能;(3)3 【分析】（1）根据题意建立平面直角坐标系并设出抛物线的方程，进而求出方程; （2）（3）根据已知条件及（1）的结论，结合点在抛物线上即可求解； 【解析】（1）以拱顶为原点，拱桥的对称轴为轴建立直角坐标系.如图所示    设抛物线的方程为，则 点在抛物线上，代入方程得， 所以抛物线的方程为. （2）当水面上涨0.5米时，木船与拱顶的距离为3.75米， 设，代入方程得，故，则 ， 所以木船能通行； （3）假设当水面上涨米时，木船开始不能通行，此时木船与拱桥接触，且与拱顶的距离为， 把代入方程，得， 故，由，得. 所以当水面上涨3米时，木船开始不能通行. 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $