第四章 数列（单元测试·冲刺卷）数学人教A版2019选择性必修第二册

2025-2026学年高二数学单元检测卷 第四章 数列·冲刺卷（参考答案） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 2 3 4 5 6 7 8 C D C D B A D A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9 10 11 ACD BC ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．860 13．3 14．， 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．【详解】（1）由题意可得， 4分 解得， 故， 6分 （2）， 所以， 9分 所以 ， 13分 16．【详解】（1）解：根据题意，设等差数列的首项为， 因为的部分项恰为等比数列，且， 所以成等比数列，即， 所以，整理得， 3分 所以，， 所以， 所以的部分项构成的等比数列的首项为，公比为， 所以，其通项公式为， 5分 又因为，所以， 因为，所以 7分 （2）解：因为由（1）得， 所以 9分 所以， ， 12分 两式相减得：， 所以，. 17分 17．【详解】（1）若，则，则， 这与已知条件矛盾，故， 3分 当时，， ，即， . 6分 （2）数列为等比数列，，公比，         所以当时，即，               8分 此时对应的项为满足前n项积为最大值， 解得，又，即前11项或前10项乘积最大， 11分 所以的最大值为. 15分 18．【详解】（1）数列是公比为4的等比数列，则，即， 即是公差为2的等差数列. 2分 ，，成等比数列，故，即，解得. 故. 4分 是和的等差中项，则， 当时，，解得； 当时，，，两式相减得到，即， 故是首项为1公比为2的等比数列，， 7分 验证时满足. 故. 8分 （2）令，即， 10分 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，. 故数列的前105项中有5项需要剔除，分别为. 14分 故数列的前100项和为. 17分 19．【详解】（1）由已知、、成等比数列，则，即， 整理可得，∵，∴， 所以，， ∴，，∴， 2分 所以，， ， ， 上述两个等式作差得 ， 所以，. 5分 （2）因为新的数列的前项和为数列的前项的和减去数列前n项的和， 所以， 所以. 11分 （3）∵， ∴， 14分其中，，， 假设存在正整数m、n且，使得、、依次成等差数列， 则有，即，所以，解得， 又因为，，所以，此时， 所以存在满足题设条件的m、n，. 17分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第四章 数列·冲刺卷 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知数列，，，，，，按此规律，是该数列的（    ） A．第项 B．第项 C．第项 D．第项 2．设为等差数列的前项和，已知，则的值为（    ） A．12 B．10 C．9 D．8 3．在等比数列中，是方程的两根，则等于（    ） A． B． C．或 D． 4．已知为等比数列的前n项和，若，则（   ） A．0 B．3 C． D．12 5．已知数列 满足 ，则 （     ） A．3 B．2 C． D． 6．数列满足，则数列的前9项和为（   ） A． B． C． D． 7．已知数列满足，设，，若数列是递增数列，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知是各项均为正实数的数列的前项和，，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．已知正项等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B．数列有最小项 C．数列为递减数列 D． 10．在古希腊，毕达哥拉斯学派把，这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成正三角形（如图所示）．设第个三角形数为，则下列结论错误的是（　　）    A． B． C．1024是三角形数 D． 11．若，数列和的公共项由小到大排列组成，则（     ） A．数列 的前项和 B． C．为等比数列 D．、、不是任一等差数列的三项 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．已知是数列的前项和，，，，数列是公差为3的等差数列，则 . 13．数列是正项数列，若，且，，则 ． 14．已知数列、中，，，且，，设数列、的前n项和分别为和，若数列是等差数列.则 ； . 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知等差数列的公差，前n项和为，且，成等比数列． (1)求数列的通项公式；(2)证明：． 16．已知数列为等差数列，公差，的部分项恰为等比数列，若． (1)求；(2)设数列满足：，求数列的前n项和． 17．设正项等比数列的首项，前项和为，且 . (1)求数列的公比. (2)若是数列的前项积，求的最大值. 18．已知数列是公比为4的等比数列，且满足，，成等比数列.为数列的前项和，且是1和的等差中项. (1)求数列，的通项公式； (2)若数列是由数列中的项依次剔除的项后剩下的部分组成，求数列的前100项和. 19．已知各项均为正数的等差数列的公差d不等于0，，设、、是公比为q的等比数列的前三项. (1)求数列的前n项和； (2)将数列与中相同的项去掉，中剩下的项依次构成新的数列，设其前n项和为，求的值； (3)设，数列的前n项和为，是否存在正整数m、n且，使得、、依次成等差数列，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第5页（共4页） 试题 第6页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第四章 数列·冲刺卷 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知数列，，，，，，按此规律，是该数列的（    ） A．第项 B．第项 C．第项 D．第项 2．设为等差数列的前项和，已知，则的值为（    ） A．12 B．10 C．9 D．8 3．在等比数列中，是方程的两根，则等于（    ） A． B． C．或 D． 4．已知为等比数列的前n项和，若，则（   ） A．0 B．3 C． D．12 5．已知数列 满足 ，则 （     ） A．3 B．2 C． D． 6．数列满足，则数列的前9项和为（   ） A． B． C． D． 7．已知数列满足，设，，若数列是递增数列，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知是各项均为正实数的数列的前项和，，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．已知正项等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B．数列有最小项 C．数列为递减数列 D． 10．在古希腊，毕达哥拉斯学派把，这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成正三角形（如图所示）．设第个三角形数为，则下列结论错误的是（　　）    A． B． C．1024是三角形数 D． 11．若，数列和的公共项由小到大排列组成，则（     ） A．数列 的前项和 B． C．为等比数列 D．、、不是任一等差数列的三项 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．已知是数列的前项和，，，，数列是公差为3的等差数列，则 . 13．数列是正项数列，若，且，，则 ． 14．已知数列、中，，，且，，设数列、的前n项和分别为和，若数列是等差数列.则 ； . 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知等差数列的公差，前n项和为，且，成等比数列． (1)求数列的通项公式；(2)证明：． 16．已知数列为等差数列，公差，的部分项恰为等比数列，若． (1)求；(2)设数列满足：，求数列的前n项和． 17．设正项等比数列的首项，前项和为，且 . (1)求数列的公比. (2)若是数列的前项积，求的最大值. 18．已知数列是公比为4的等比数列，且满足，，成等比数列.为数列的前项和，且是1和的等差中项. (1)求数列，的通项公式； (2)若数列是由数列中的项依次剔除的项后剩下的部分组成，求数列的前100项和. 19．已知各项均为正数的等差数列的公差d不等于0，，设、、是公比为q的等比数列的前三项. (1)求数列的前n项和； (2)将数列与中相同的项去掉，中剩下的项依次构成新的数列，设其前n项和为，求的值； (3)设，数列的前n项和为，是否存在正整数m、n且，使得、、依次成等差数列，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由. 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第四章 数列·冲刺卷 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知数列，，，，，，按此规律，是该数列的（    ） A．第项 B．第项 C．第项 D．第项 【答案】C 【详解】此数列可写为：，所以该数列的通项公式为：， 令，解之得：. 故选：C． 2．设为等差数列的前项和，已知，则的值为（    ） A．12 B．10 C．9 D．8 【答案】D 【详解】由题意得，得. 故选：D 3．在等比数列中，是方程的两根，则等于（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【详解】是方程的两根，， ，，或. 故选：C. 4．已知为等比数列的前n项和，若，则（   ） A．0 B．3 C． D．12 【答案】D 【详解】由题意有：， 所以， 故选：D. 5．已知数列 满足 ，则 （     ） A．3 B．2 C． D． 【答案】B 【详解】因为 ， 所以当 时， ，则 ，故B正确. 故选：B. 6．数列满足，则数列的前9项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由数列满足， 当时，， 两式相减，可得，所以， 当时，可得， 所以数列的通项公式为， 当时，， 所以数列的前9项和为. 故选：A. 7．已知数列满足，设，，若数列是递增数列，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，所以， 所以是以为首项、2为公比的等比数列， 所以， 所以， 若数列是递增数列，则恒成立， 所以 恒成立， 所以恒成立，所以， 所以实数的取值范围是. 故选：D. 8．已知是各项均为正实数的数列的前项和，，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得. 因为数列各项均为正实数，所以，所以，所以. 所以，即. 因为，所以数列是首项为1，公比为3的等比数列. 所以所以. 因为，所以. 因为，当且仅当，即时，等号成立. 所以.所以. 所以实数的取值范围是. 故选：A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9．已知正项等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B．数列有最小项 C．数列为递减数列 D． 【答案】ACD 【详解】设正项等比数列公比为， 对于A，由题意得， 结合，解得或（舍去），故A正确； 对于B和C，，故数列为递减数列，无最小项，故B错误，C正确； 对于D，，则，故D正确， 故选：ACD． 10．在古希腊，毕达哥拉斯学派把，这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成正三角形（如图所示）．设第个三角形数为，则下列结论错误的是（　　）    A． B． C．1024是三角形数 D． 【答案】BC 【详解】对于A，根据题意，数列满足 由此归纳可得：，故A正确； 对于B，由，则， 故，故B错误； 对于C，若1024是三角形数，则方程有正整数解， 变形可得，此方程无正整数解，故C错误； 对于D，，， 故 ，故D正确. 故选：. 11．若，数列和的公共项由小到大排列组成，则（     ） A．数列 的前项和 B． C．为等比数列 D．、、不是任一等差数列的三项 【答案】ACD 【详解】对于A，由， 得， 两式相减得，， ， 所以， 故对； 对于，设的第项与的第项相等，即， 则， 故为奇数，则，故B错，C对； 对于，设、、是等差数列的第项，的首项为，公差为， ， 因为是有理数，是无理数， 所以原假设不成立，即、、不是任一等差数列的三项，故D正确． 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．已知是数列的前项和，，，，数列是公差为3的等差数列，则 . 【答案】860 【详解】设，由题意知，为公差为3的等差数列， 则，故， 故， 故. 故答案为：860 13．数列是正项数列，若，且，，则 ． 【答案】3 【详解】因为，，所以，， 即，， 又因为，所以，， 因为，，所以， 所以， 所以. 故答案为：3. 14．已知数列、中，，，且，，设数列、的前n项和分别为和，若数列是等差数列.则 ； . 【答案】 【详解】由题设，即，又数列是等差数列， 所以其公差，故，则， 所以， 故， 当为奇数，则 ； 当为偶数，则 ； 综上，. 故答案为：， 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知等差数列的公差，前n项和为，且，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)证明：． 【详解】（1）由题意可得， 4分 解得， 故， 6分 （2）， 所以， 9分 所以 ， 13分 16．（15分）已知数列为等差数列，公差，的部分项恰为等比数列，若． (1)求； (2)设数列满足：，求数列的前n项和． 【详解】（1）解：根据题意，设等差数列的首项为， 因为的部分项恰为等比数列，且， 所以成等比数列，即， 所以，整理得， 3分 所以，， 所以， 所以的部分项构成的等比数列的首项为，公比为， 所以，其通项公式为， 5分 又因为，所以， 因为，所以 7分 （2）解：因为由（1）得， 所以 9分 所以， ， 12分 两式相减得：， 所以，. 17分 17．（15分）设正项等比数列的首项，前项和为，且 . (1)求数列的公比. (2)若是数列的前项积，求的最大值. 【详解】（1）若，则，则， 这与已知条件矛盾，故， 3分 当时，， ，即， . 6分 （2）数列为等比数列，，公比，         所以当时，即，               8分 此时对应的项为满足前n项积为最大值， 解得，又，即前11项或前10项乘积最大， 11分 所以的最大值为. 15分 18．（17分）已知数列是公比为4的等比数列，且满足，，成等比数列.为数列的前项和，且是1和的等差中项. (1)求数列，的通项公式； (2)若数列是由数列中的项依次剔除的项后剩下的部分组成，求数列的前100项和. 【详解】（1）数列是公比为4的等比数列，则，即， 即是公差为2的等差数列. 2分 ，，成等比数列，故，即，解得. 故. 4分 是和的等差中项，则， 当时，，解得； 当时，，，两式相减得到，即， 故是首项为1公比为2的等比数列，， 7分 验证时满足. 故. 8分 （2）令，即， 10分 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，. 故数列的前105项中有5项需要剔除，分别为. 14分 故数列的前100项和为. 17分 19．（17分）已知各项均为正数的等差数列的公差d不等于0，，设、、是公比为q的等比数列的前三项. (1)求数列的前n项和； (2)将数列与中相同的项去掉，中剩下的项依次构成新的数列，设其前n项和为，求的值； (3)设，数列的前n项和为，是否存在正整数m、n且，使得、、依次成等差数列，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由. 【详解】（1）由已知、、成等比数列，则，即， 整理可得，∵，∴， 所以，， ∴，，∴， 2分 所以，， ， ， 上述两个等式作差得 ， 所以，. 5分 （2）因为新的数列的前项和为数列的前项的和减去数列前n项的和， 所以， 所以. 11分 （3）∵， ∴， 14分 其中，，， 假设存在正整数m、n且，使得、、依次成等差数列， 则有，即，所以，解得， 又因为，，所以，此时， 所以存在满足题设条件的m、n，. 17分 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $