2025-2026学年上学期北师大版初中数学九年级期中押题卷3-3

绝密★启用前 2025-2026学年初中9年级上期中押题卷3-3（北师大版） 考试范围：第1章~第4章 考试分值：100分；考试时间：120分钟；命题人：冲冠数学 题号 一 二 三 总分 得分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 评卷人 得 分 一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1．（3分）方程（x+1）2＝9的解为（　　） A．x＝2，x＝﹣4 B．x＝﹣2，x＝4 C．x＝4，x＝2 D．x＝﹣2，x＝﹣4 2．（3分）若，则的值为（　　） A． B．5 C． D． 3．（3分）如图，已知△A'B'C'与△ABC是以点O为位似中心的位似图形，位似比为3：5，下列说法错误的是（　　） A．AC∥A'C' B．S△A'B′C′：S△ABC＝9：25 C．△BCO～△B'C'O D．OB′：BB′＝5：3 4．（3分）下列命题是真命题的是（　　） A．菱形的两条对角线相等 B．矩形的两条对角线互相垂直 C．平行四边形的两条对角线互相平分 D．矩形的邻边相等 5．（3分）如图①所示，一张纸片上有一个不规则的图案（图中画图部分），小雅想了解该图案的面积是多少，她采取了以下的办法：用一个长为5m，宽为3m的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地向长方形区域扔小球，并记录小球在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），她将若干次有效试验的结果绘制成了图②所示的折线统计图，由此她估计此不规则图案的面积大约为（　　） A．6m2 B．5m2 C．4m2 D．3m2 6．（3分）我国森林面积逐年增加，2022年森林覆盖面积为2.2亿公顷，2024年森林覆盖面积达2.3亿公顷，设森林覆盖面积年平均增长率为x，则所列方程正确的是（　　） A．2.2（1+x）2＝2.3 B．2.2（1﹣x）2＝2.3 C．2.2（1﹣2x）＝2.3 D．2.2（1+2x）＝2.3 7．（3分）某商店售卖的花架如图所示，其中AD∥BE∥CF，下列比例式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 8．（3分）如图，点E，点F分别在菱形ABCD的边AB，AD上，且AE＝DF，BF交DE于点G，延长BF交CD的延长线于点H，若3，则的值为（　　） A． B． C． D． 第Ⅱ卷（非选择题） 评卷人 得 分 二．填空题（共4小题，满分12分，每小题3分） 9．（3分）若，则　 　 ． 10．（3分）如图，l1∥l2∥l3，DE＝3，EF＝4，AB＝2，则BC的长为 　 　 ． 11．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，，DE＝3，则四边形OCED的面积为 　 　 ． 12．（3分）如图，在矩形ABCD中，AD＝12，AB＝9，E为AD边上一点，将△AEB沿着BE翻折到△BEF处，延长EF交BC边于点G，延长BF交CD边于点H，且FH＝CH，则AE的长为 　 　 ． 评卷人 得 分 三．解答题（共8小题，满分64分） 13．（6分）解方程： （1）（x﹣4）2＝（5﹣2x）2； （2）． 14．（8分）某校为了解学生参加“第二课堂”社团活动的情况，对报名参加A：足球，B：象棋，C：羽毛球，D：舞蹈这四项社团活动的学生（每人必选且只能选修一项）中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，其中图1中A所占扇形的圆心角为36°． 根据以上信息，解答下列问题： （1）这次被调查的学生共有 　 　 人，并将条形统计图补充完整； （2）若该校共有1000学生加入“第二课堂”社团活动，请你估计这1000名学生中有多少人参加了羽毛球社团； （3）在象棋社团活动中，由于甲、乙、丙、丁四人平时的表现优秀，现决定从这四人中任选两名参加市级象棋大赛．用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率． 15．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（2，1），B（1，﹣2）． （1）以原点O为位似中心，在y轴的左侧按2：1放大，画出△OAB的一个位似△OA1B1； （2）画出将△OAB向右平移3个单位，再向下平移3个单位后得到的△O2A2B2； （3）△OA1B1与△O2A2B2是位似图形吗？若是，请在图中标出位似中心M，并写出点M的坐标． 16．（6分）在“金山情一日游”的研学活动中，小明发现某农场有一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，墙长为22米，养鸡场的面积是160平方米． （1）据农场管理人员介绍，养鸡场今年养鸡320只，计划明后两年增长率相同，预估后年养鸡500只，请求出这个增长率； （2）为了改善养鸡场环境，今年对养鸡场进行重建，重建后的养鸡场如图所示，围成养鸡场的板材共用去40米，在板材上有两处各开了一扇宽为2米的门，养鸡场的面积不变，求重建后的养鸡场的宽AB为多少米？ 17．（8分）解方程x2﹣3|x|+2＝0时，我们可以运用分类的思想来解：当x≥0时，则原方程可化为x2﹣3x+2＝0，解得x＝2或x＝1；当x＜0时，则原方程可化为x2+3x+2＝0，解得x＝﹣2或x＝﹣1； 综上，原方程的解为：x1＝2，x2＝1，x3＝﹣2，x4＝﹣1； （1）请利用这种方法解方程x2﹣4|x|﹣5＝0，可得这个方程的解是 　 　 ； （2）解方程|x﹣2|2﹣4|x﹣2|+3＝0． 18．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，连接CD，过点B作BE∥CD，过点C作CE∥AB，BE、CE相交于点E． （1）求证：四边形CEBD是菱形； （2）过点D作DF⊥CE于点F，交CB于点G，若AB＝10，CF＝3，求DG的长． 19．（10分）根据以下素材，探索完成任务． 如何测量水平操场上旗杆的高度？ 背景 为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方法 方案1 如图1小张在测量时发现，自己在操场上的影长EF恰好等于自己的身高DE此时，小组同学测得旗杆AB的影长为11.3m． 方案2 如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观察到旗杆顶部A．小组同学测得小李的眼睛距地面高度DE＝1.5m，小李到镜面距离EC＝2m，镜面到旗杆的距离CB＝16m． 方案3 如图3，小王所在的小组采用图3的方法测量，身高1.5m的小王站在操场上E点处，在离自己3米远的F点处垂直放置一根长为5.5米的标杆CF，测得标杆底端F离旗杆底端B距离为6米，经过计算，小王发现结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精准度明显提高．研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了某广场雕塑的高度，方法如下： 如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M，N两点始终处于同一水平线上． 如图5，在支架上端P处，用细线系小重物Q，标高线PQ始终垂直于水平地面． 如图6，在某广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D，G两点，并标记观测视线DA与标高线交点C，测得标高CG＝1.5m，DG＝1.5m，将观测点D后移24m到D′处，采用同样方法，测得C′G′＝1.2m，D′G′＝2m． 任务1 写出方案1中小张测得的旗杆高度为 　 　 m， 方案2中小李测得的旗杆高度为 　 　 m． 任务2 如图3，求出方案3中小王测得的旗杆高度． 任务3 求出方案3优化测量方法后（如图6）测得的雕塑AB的高度． 20．（10分）【操作思考】 如图1，将正方形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在正方形ABCD的内部，点A的对应点为点G，折痕为BE，再将该纸片沿过点B的直线折叠，使BC与BG重合，折痕为BF． （1）求∠EBF的度数． 【探究应用】 将图1折叠所得的图形重新展开并铺平．如图2，连结EF，作BF的中垂线分别交BE，BC于点P，H，连结PF，PA． （2）求证：2PE2+BF2＝2EF2． （3）若AE•BH＝10，求△EPF的面积． ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( 学校:___________姓名：________班级： ________ 考号： ________ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 第3页 共4页 ◎ 第4页 共4页 第1页 共2页 ◎ 第2页 共2页 学科网（北京）股份有限公司 2025-2026学年初中9年级上期中押题卷3-3（北师大版） 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C D C A A B B 一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分） 1．（3分）方程（x+1）2＝9的解为（　　） A．x＝2，x＝﹣4 B．x＝﹣2，x＝4 C．x＝4，x＝2 D．x＝﹣2，x＝﹣4 【答案】A 【解答】解：方程（x+1）2＝9， 开方得：x+1＝3或x+1＝﹣3， 解得：x1＝2，x2＝﹣4． 故选：A． 2．（3分）若，则的值为（　　） A． B．5 C． D． 【答案】C 【解答】解：∵， ∴11． 故选：C． 3．（3分）如图，已知△A'B'C'与△ABC是以点O为位似中心的位似图形，位似比为3：5，下列说法错误的是（　　） A．AC∥A'C' B．S△A'B′C′：S△ABC＝9：25 C．△BCO～△B'C'O D．OB′：BB′＝5：3 【答案】D 【解答】解：∵△A'B'C'与△ABC是以点O为位似中心的位似图形，位似比为3：5， ∴AC∥A'C'，△A'B'C'∽△ABC，且相似比为3：5， ∴S△A'B'C'：S△ABC＝9：25． 故A，B选项正确，不符合题意； ∵△A'B'C'与△ABC是以点O为位似中心的位似图形， ∴BC∥B'C'， ∴∠C'B'O＝∠CBO，∠B'C'O＝∠BCO， ∴△BCO～△B'C'O， 故C选项正确，不符合题意； ∵△A'B'C'与△ABC是以点O为位似中心的位似图形，位似比为3：5， ∴OB'：OB＝3：5， ∴OB′：BB′＝3：2． 故D选项不正确，符合题意． 故选：D． 4．（3分）下列命题是真命题的是（　　） A．菱形的两条对角线相等 B．矩形的两条对角线互相垂直 C．平行四边形的两条对角线互相平分 D．矩形的邻边相等 【答案】C 【解答】解：A、菱形的对角线互相垂直但不相等，故错误，是假命题，不符合题意； B、矩形的对角线相等但不互相垂直，故错误，是假命题，不符合题意； C、平行四边形的对角线互相平分，正确，是真命题，符合题意； D、菱形的邻边相等，但矩形的邻边不相等，故错误，是假命题，不符合题意； 故选：C． 5．（3分）如图①所示，一张纸片上有一个不规则的图案（图中画图部分），小雅想了解该图案的面积是多少，她采取了以下的办法：用一个长为5m，宽为3m的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地向长方形区域扔小球，并记录小球在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），她将若干次有效试验的结果绘制成了图②所示的折线统计图，由此她估计此不规则图案的面积大约为（　　） A．6m2 B．5m2 C．4m2 D．3m2 【答案】A 【解答】解：假设不规则图案面积为xm2， 由已知得：长方形面积为15m2， 根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为：m2， 当事件A试验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件A发生的概率估计值，故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为0.4， 综上有：0.4， 解得x＝6． 故选：A． 6．（3分）我国森林面积逐年增加，2022年森林覆盖面积为2.2亿公顷，2024年森林覆盖面积达2.3亿公顷，设森林覆盖面积年平均增长率为x，则所列方程正确的是（　　） A．2.2（1+x）2＝2.3 B．2.2（1﹣x）2＝2.3 C．2.2（1﹣2x）＝2.3 D．2.2（1+2x）＝2.3 【答案】A 【解答】解：∵2022年森林覆盖面积为2.2亿公顷，森林覆盖面积年平均增长率为x，2024年森林覆盖面积达2.3亿公顷， ∴2.2（1+x）2＝2.3， 故选：A． 7．（3分）某商店售卖的花架如图所示，其中AD∥BE∥CF，下列比例式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：如图所示， ∵AD∥BE∥CF， ∴，，△OAD∽△OBE， ∴， 故选：B． 8．（3分）如图，点E，点F分别在菱形ABCD的边AB，AD上，且AE＝DF，BF交DE于点G，延长BF交CD的延长线于点H，若3，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD， ∵AF＝3DF，设DF＝a，则DF＝AE＝a，AF＝EB＝3a， ∴AB＝4a， ∵HD∥AB， ∴△HFD∽△BFA， ∴， ∴HDa，， ∴FHBH， ∵HD∥EB， ∴△DGH∽△EGB， ∴． 故选：B． 二．填空题（共4小题，满分12分，每小题3分） 9．（3分）若，则　　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵， ∴3x+3y＝5y﹣5x， ∴3x+5x＝5y﹣3y， ∴8x＝2y， ∴． 故答案为：． 10．（3分）如图，l1∥l2∥l3，DE＝3，EF＝4，AB＝2，则BC的长为 　　 ． 【答案】． 【解答】解：∵l1∥l2∥l3， ∴， ∵DE＝3，EF＝4，AB＝2， ∴， 解得：BC， 故答案为：． 11．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，，DE＝3，则四边形OCED的面积为 　6　 ． 【答案】6． 【解答】解：设OE与DC交于点F， ∵四边形ABCD为矩形， ∴OA＝OC，OB＝OD，且AC＝BD，即OA＝OB＝OC＝OD， ∵OD∥CE，OC∥DE， ∴四边形ODEC为平行四边形， ∵OD＝OC， ∴四边形ODEC为菱形， ∴DF＝CF，OF＝EF，DC⊥OE， ∵DE∥OA，且DE＝OA， ∴四边形ADEO为平行四边形， ∵AD＝2，DE＝3， ∴OE＝2，即OF＝EF， 在Rt△DEF中，根据勾股定理得：DF， ∴DC＝2DF＝2， 则S菱形ODECOE•DC226． 故答案为：6． 12．（3分）如图，在矩形ABCD中，AD＝12，AB＝9，E为AD边上一点，将△AEB沿着BE翻折到△BEF处，延长EF交BC边于点G，延长BF交CD边于点H，且FH＝CH，则AE的长为 　　 ． 【答案】． 【解答】解：延长BH，AD交于Q，如图1： 设FH＝HC＝x， 在Rt△BCH中，BC2+CH2＝BH2， ∴122+x2＝（9+x）2， 解得：x， ∴DH＝DC﹣HC， ∵∠BFG＝∠BCH＝90°，∠HBC＝∠FBG， ∴△BFG∽△BCH， ∴，即， ∴BG，FG， ∵EQ∥GB，DQ∥CB， ∴△EFQ∽△GFB，△DHQ∽△CHB， ∴，即， ∴DQ， 设AE＝EF＝m，则DE＝12﹣m， ∴EQ＝DE+DQ＝12﹣mm， ∵△EFQ∽△GFB， ∴， ∴， 解得，m ∴AE的长为． 故答案为：． 三．解答题（共8小题，满分64分） 13．（6分）解方程： （1）（x﹣4）2＝（5﹣2x）2； （2）． 【答案】（1）x1＝3，x2＝1； （2）x1＝x2． 【解答】解：（1）[（x﹣4）﹣（5﹣2x）][（x﹣4）+（5﹣2x）]＝0， （3x﹣9）（1﹣x）＝0， 3x﹣9＝0或1﹣x＝0， 解得：x1＝3，x2＝1； （2）∵2x2﹣2x+1＝0， ∴（x﹣1）2＝0， 则x﹣1＝0， ∴x1＝x2． 14．（8分）某校为了解学生参加“第二课堂”社团活动的情况，对报名参加A：足球，B：象棋，C：羽毛球，D：舞蹈这四项社团活动的学生（每人必选且只能选修一项）中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，其中图1中A所占扇形的圆心角为36°． 根据以上信息，解答下列问题： （1）这次被调查的学生共有 　200　 人，并将条形统计图补充完整； （2）若该校共有1000学生加入“第二课堂”社团活动，请你估计这1000名学生中有多少人参加了羽毛球社团； （3）在象棋社团活动中，由于甲、乙、丙、丁四人平时的表现优秀，现决定从这四人中任选两名参加市级象棋大赛．用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）（人）， ∴C项目的人数为200﹣20﹣80﹣40＝60（人）， 补全统计图如图所示， （2）（人）， 答：估计这1000名学生中有300人参加了羽毛球社团； （3）画树状图得： ∵共有12种等可能的情况，恰好选中甲、乙两位同学的有2种， ∴P（选中甲、乙）． 15．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（2，1），B（1，﹣2）． （1）以原点O为位似中心，在y轴的左侧按2：1放大，画出△OAB的一个位似△OA1B1； （2）画出将△OAB向右平移3个单位，再向下平移3个单位后得到的△O2A2B2； （3）△OA1B1与△O2A2B2是位似图形吗？若是，请在图中标出位似中心M，并写出点M的坐标． 【答案】（1）见解析； （2）见解析； （3）△OA1B1与△O2A2B2是位似图形，点M（2，﹣2）是位似中心． 【解答】解：（1）如图所示，△OA1B1即为所求； （2）如图所示，△O2A2B2即为所求； （3）如图所示，△OA1B1与△O2A2B2是位似图形，点M（2，﹣2）是位似中心． 16．（6分）在“金山情一日游”的研学活动中，小明发现某农场有一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，墙长为22米，养鸡场的面积是160平方米． （1）据农场管理人员介绍，养鸡场今年养鸡320只，计划明后两年增长率相同，预估后年养鸡500只，请求出这个增长率； （2）为了改善养鸡场环境，今年对养鸡场进行重建，重建后的养鸡场如图所示，围成养鸡场的板材共用去40米，在板材上有两处各开了一扇宽为2米的门，养鸡场的面积不变，求重建后的养鸡场的宽AB为多少米？ 【答案】（1）25%； （2）重建后的养鸡场的宽AB为8米． 【解答】解：（1）设这个增长率为x， 由题意得：320（1+x）2＝500， 解得：x1＝﹣2.25（不合题意舍去），x2＝0.25＝25%， 答：这个增长率为25%； （2）设重建后的养鸡场的宽AB为y米，则BC的长为（40+2×2﹣3y）米， 由题意得：y（40+2×2﹣3y）＝160， 整理得：3y2﹣44y+160＝0， 解得：y1，y2＝8， 当y时，BC的长为：40+2×2﹣3y＝40+2×2﹣324（米）＞22米，不合题意，舍去； 当y＝8时，BC的长为：40+2×2﹣3y＝40+2×2﹣3×8＝20（米）＜22米，符合题意； ∴AB＝8米， 答：重建后的养鸡场的宽AB为8米． 17．（8分）解方程x2﹣3|x|+2＝0时，我们可以运用分类的思想来解：当x≥0时，则原方程可化为x2﹣3x+2＝0，解得x＝2或x＝1；当x＜0时，则原方程可化为x2+3x+2＝0，解得x＝﹣2或x＝﹣1； 综上，原方程的解为：x1＝2，x2＝1，x3＝﹣2，x4＝﹣1； （1）请利用这种方法解方程x2﹣4|x|﹣5＝0，可得这个方程的解是 x1＝5，x2＝﹣5　 ； （2）解方程|x﹣2|2﹣4|x﹣2|+3＝0． 【答案】（1）x1＝5，x2＝﹣5； （2）x1＝3，x2＝5，x3＝﹣1，x4＝1． 【解答】解：（1）当x≥0时，则原方程可化为x2﹣4x﹣5＝0， 解得x＝5或x＝﹣1（舍去）， 当x＜0时，则原方程可化为x2+4x﹣5＝0， 解得x＝﹣5或x＝1（舍去）， 综上，原方程的解为：x1＝5，x2＝﹣5； 故答案为：x1＝5，x2＝﹣5； （2）当x≥2时，则原方程可化为x2﹣8x+15＝0， 解得：x＝3或5， 当x＜2时，则原方程可化为x2﹣1＝0， 解得：x＝﹣1或＝1， 综上，原方程的解为：x1＝3，x2＝5，x3＝﹣1，x4＝1． 18．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，连接CD，过点B作BE∥CD，过点C作CE∥AB，BE、CE相交于点E． （1）求证：四边形CEBD是菱形； （2）过点D作DF⊥CE于点F，交CB于点G，若AB＝10，CF＝3，求DG的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵BE∥CD，CE∥AB， ∴四边形CEBD是平行四边形， 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点， ∴CD＝BD， ∴四边形CEBD是菱形； （2）解：∵AB＝10， ∴CD， ∵DF⊥CE， ∴∠DFC＝90°， ∵CF＝3， ∴DF4， ∵四边形CEBD是菱形， ∴CE＝CD＝5，∠DCG＝∠ECG， ∴EF＝CE﹣CF＝2， 在△DCG与△ECG中， ， ∴△DCG≌△ECG（SAS）， ∴DG＝GE， ∵FG2+EF2＝EG2， ∴（4﹣DG）2+22＝DG2， ∴DG， 故DG的长为． 19．（10分）根据以下素材，探索完成任务． 如何测量水平操场上旗杆的高度？ 背景 为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方法 方案1 如图1小张在测量时发现，自己在操场上的影长EF恰好等于自己的身高DE此时，小组同学测得旗杆AB的影长为11.3m． 方案2 如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观察到旗杆顶部A．小组同学测得小李的眼睛距地面高度DE＝1.5m，小李到镜面距离EC＝2m，镜面到旗杆的距离CB＝16m． 方案3 如图3，小王所在的小组采用图3的方法测量，身高1.5m的小王站在操场上E点处，在离自己3米远的F点处垂直放置一根长为5.5米的标杆CF，测得标杆底端F离旗杆底端B距离为6米，经过计算，小王发现结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精准度明显提高．研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了某广场雕塑的高度，方法如下： 如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M，N两点始终处于同一水平线上． 如图5，在支架上端P处，用细线系小重物Q，标高线PQ始终垂直于水平地面． 如图6，在某广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D，G两点，并标记观测视线DA与标高线交点C，测得标高CG＝1.5m，DG＝1.5m，将观测点D后移24m到D′处，采用同样方法，测得C′G′＝1.2m，D′G′＝2m． 任务1 写出方案1中小张测得的旗杆高度为 　11.3　 m， 方案2中小李测得的旗杆高度为 　12　 m． 任务2 如图3，求出方案3中小王测得的旗杆高度． 任务3 求出方案3优化测量方法后（如图6）测得的雕塑AB的高度． 【答案】（1）11.3；12； （2）小王测得的旗杆高度为13.5m； （3）雕塑AB的高度为36米． 【解答】解：（1）∵影长EF恰好等于自己的身高DE， ∴△DEF是等腰直角三角形， 由平行投影性质可知，△ABC是等腰直角三角形， ∴AB＝BC＝11.3m， 故答案为：11.3； 如图： 由反射定律可知，∠DCE＝∠ACB， 又∠DEC＝90°＝∠ABC， ∴△DEC∽△ABC， ∴，即， 解得AB＝12， ∴旗杆高度为12米， 故答案为：12； （2）图，由题意可知：DE＝1.5m，CF＝5.5m，EF＝3m，BF＝6m． 过D作DM⊥AB 于M，交CF于N， ∵CF⊥BE，AB⊥BE，DE⊥BE， ∴AB∥CF∥DE， ∴DM⊥CF且四边形DEMN为矩形， ∴∠CND＝∠AMD＝90°DE＝FN＝BM＝1.5m，DN＝EF＝3m，NM＝BF＝6m． ∵∠CDN＝∠ADM， ∴△CDN∽△ADM， ∴， 即， ∴AM＝12m， ∴AB＝AM+BM＝12+1.5＝13.5（m）， 答：小王测得的旗杆高度为13.5m； （3）由题意可知：DD′＝24m，CG＝DG＝1.5m，且∠CGD＝90°， ∴△CDG 是等腰直角三角形，∠CDG＝45°， ∵∠ABD＝90°， ∴∠DAB＝45°， 即AB＝BD， 设AB＝BD＝xm，则BD′＝x+24（m）， ∵∠C′G′D′＝∠ABD＝90°，∠C'D'G'＝∠AD'B， ∴△C′G′D′∽∠ABD， ∴， 即， 解得：x＝36， 经检验，x＝36是此方程的根， 答：雕塑AB的高度为36米． 20．（10分）【操作思考】 如图1，将正方形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在正方形ABCD的内部，点A的对应点为点G，折痕为BE，再将该纸片沿过点B的直线折叠，使BC与BG重合，折痕为BF． （1）求∠EBF的度数． 【探究应用】 将图1折叠所得的图形重新展开并铺平．如图2，连结EF，作BF的中垂线分别交BE，BC于点P，H，连结PF，PA． （2）求证：2PE2+BF2＝2EF2． （3）若AE•BH＝10，求△EPF的面积． 【答案】（1）∠EBF的度数为45°． （2）证明见解答； （3）△EPF的面积为5． 【解答】（1）解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC＝90°， 由折叠得：∠ABE＝∠EBG∠ABG，∠CBF＝∠FBG∠CBG， ∴∠EBF＝∠EBG+∠FBG （∠ABG+∠CBG） ∠ABC＝×90° ＝45°， 故∠EBF的度数为45°． （2）证明：如图，由（1）知∠EBF＝45°， ∵PH垂直平分BF， ∴PF＝PB， ∴∠PFB＝∠PBF＝45°， ∴∠BPF＝∠EPF＝90°， ∴△BFP是等腰直角三角形， ∴BF2＝2PF2， 在Rt△EFP中，PE2+PF2＝EF2， ∴2PE2+2PF2＝2EF2， ∴2PE2+BF2＝2EF2． （3）解：如图3，过点P作BC的平行线分别交AB、CD于点M、N， 则MN⊥AB，MN⊥CD， ∴∠PMB＝∠FNP＝90°， ∴∠MBP+∠MPB＝90°， ∵∠BPF＝90°， ∴∠NPF+∠MPB＝90°， ∴∠MBP＝∠NPF， ∵PB＝PF， ∴△BPM≌△PFN（AAS）， ∴BM＝PN， 在正方形ABCD中，AB∥CD，BC＝AB， ∴四边形MBCN是平行四边形，∠AEP＝∠PBH， ∴MN＝BC＝AB， ∴MN﹣NP＝AB﹣MB， 即MP＝AM， ∵∠AMP＝90°， ∴△APM是等腰直角三角形， ∴∠APM＝∠PAM＝45°， ∴∠EAP＝∠BAD﹣∠PAM＝90°﹣45°＝45°， ∵PH⊥BF，∠PBF＝45°， ∴∠BPH＝45°， ∴∠EAP＝∠BPH， ∴△EAP∽△BPH， ∴， ∴AE•BH＝PE•PB， ∵AE•BH＝10， ∴PE•PB＝10， ∵PB＝PF， ∴PE•PF＝10， ∴S△EPFPE•PF10＝5． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $