2025-2026学年上学期北师大版初中数学九年级期中押题卷3-1

绝密★启用前 2025-2026学年初中9年级上期中押题卷3-1（北师大版） 考试范围：第1章~第4章 考试分值：120分；考试时间：120分钟；命题人：冲冠数学 题号 一 二 三 总分 得分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 评卷人 得 分 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）党的二十大报告中指出，我国全社会研发经费支出从一万亿元增加到二万八千亿元，居世界第二位，研发人员总量居世界首位．将2800000000000用科学记数法表示为（　　） A．0.28×1013 B．2.8×1011 C．2.8×1012 D．28×1011 2．（3分）下列运算中，正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）下列相似图形不是位似图形的是（　　） A． B． C．D． 4．（3分）已知，则a与b的比是（　　） A．2：5 B．3：5 C．5：3 D．5：2 5．（3分）某区为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2021年投入3000万元，预计2023年投入5000万元．设教育经费的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（　　） A．3000（1+x2）＝5000 B．3000x2＝5000 C．3000（1+x）2＝5000 D．3000（1+x%）2＝5000 6．（3分）如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，BC＝5．将△ABC沿着点A到点C的方向平移到的△DEF位置，若图中阴影部分面积为2，则△ABC平移的距离AD为（　　） A． B． C． D． 7．（3分）在盒子里放有分别写有整式2，π，x，x+1的四张卡片，从中随机抽取两张把卡片上的整式分别作为分子和分母，则能组成分式的概率是（　　） A． B． C． D． 8．（3分）如图，E，F，G，H分别在四边形ABCD的AB，BC，CD，DA的边上，对于四边形EFGH的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（　　） A．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH不可能为菱形 B．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH可以为平行四边形 C．当E，F，G，H是各边中点，且AC＝BD时，四边形EFGH为菱形 D．当E，F，G，H是各边中点，且AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形 9．（3分）已知，则代数式的值为（　　） A．1 B． C． D． 10．（3分）根据表格对应值： x 1.1 1.2 1.3 1.4 ax2+bx+c ﹣0.59 0.84 2.29 3.76 判断关于x的方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（　　） A．1.1＜x＜1.2 B．1.2＜x＜1.3 C．1.3＜x＜1.4 D．无法判断 第Ⅱ卷（非选择题） 评卷人 得 分 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．（3分）若关于x的二次三项式x2+2（m﹣3）x+16可用完全平方公式分解因式，则m的值为 　 　 ． 12．（3分）若x1、x2是方程x2+3x﹣5＝0两根，则的值为　 　 ． 13．（3分）小乐同学将新华书店的阅读二维码打印在面积为400cm2的正方形纸上，如图所示，为了估计图中黑色部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.4左右，据此可以估计黑色部分的面积约为 　 　 cm2． 14．（3分）如图，在某小区内拐角处的一段道路上，有一儿童在C处玩耍，一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的A处驶来（CM⊥DM，BD⊥DM，BC与DM相交于点O），已知OM＝4米，CO＝5米，DO＝3米，AO米，则汽车从A处前行的距离AB＝　 　 米时，才能发现C处的儿童． 15．（3分）如图，等边三角形ABC的边长为1，顶点B与原点O重合，点C在x轴的正半轴上，过点B作BA1⊥AC于点A1，过点A1作A1B1∥OA，交OC于点B1；过点B1作B1A2⊥AC于点A2，过点A2作A2B2∥OA，交OC于点B2；…，按此规律进行下去，点A2025的横坐标是　 　 ． 评卷人 得 分 三．解答题（共8小题，满分75分） 16．（6分）先化简，再求值：，其中x． 17．（8分）某汽车租赁公司拥有20辆汽车，据统计，当每辆车的日租金为400元时，可全部租出；当每辆车的日租金每增加50元，未租出的车将增加1辆．公司平均每日的各项支出共4800元，设公司每日租出x辆车．（日收益＝日租金收入﹣平均每日各项支出） （1）公司每日租出x辆车时，每辆车的日租金为 　 　 元；（用含x的代数式表示） （2）当每日租出多少辆车时，租赁公司的日收益不盈也不亏？ 18．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+2m﹣2＝0（m为常数）． （1）若方程的一个根为1，求m的值及方程的另一个根； （2）求证：不论m为何值时，方程总有两个实数根． 19．（9分）某校为丰富学生的课余生活，开设了五类社团活动（要求每人必须参加且只参加一类活动）：A．音乐社团；B．书法社团；C．文学社团；D．话剧社团；E．科创社团．该校为了解学生对这五类社团活动的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据调查结果，绘制了如图的两幅不完整的统计图． 根据图中信息，解答下列问题： （1）本次调查一共抽取了 　 　 名学生；请补全条形统计图； （2）求扇形统计图中E所在扇形圆心角的度数； （3）现从“文学社团”里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比赛，请用列表或画树状图的方法，求出恰好选中甲、乙两名同学的概率． 20．（8分）已知，如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC的延长线上，且OE＝OB，连接DE． （1）求证：DE⊥BE； （2）如果OE⊥CD，求证：BD•CE＝CD•DE． 21．（10分）取暖器，又称为“冬日里的小太阳”，是南方居民冬天的取暖神器．某商场有A型、B型两款最受顾客喜爱的取暖器，已知每台A型取暖器的售价比每台B型取暖器售价少40元，顾客用1200元购入A型取暖器的数量与用1440元购入B型取暖器的数量相等． （1）每台A型取暖器与每台B型取暖器的售价分别为多少元？ （2）每台B型取暖器的进价为140元，据统计，商场每月卖出B型取暖器60台．新年前夕，为了尽快减少库存，商场决定对B型取暖器进行降价促销活动，调查发现，每台B型取暖器的售价每降低10元，那么平均每月可多售出25台，若商场要想每月销售B型取暖器的利润达到9600元，则每台B型取暖器应降价多少元？ 22．（12分）综合与实践 【问题情境】 数学课上，某兴趣小组对“矩形的折叠”作了如下探究．将矩形纸片ABCD先沿EF折叠． 【特例探究】 （1）如图1，使点C与点A重合，点D的对应点记为D′，折痕与边AD，BC分别交于点E，F．四边形AECF的形状为 　 　 ，请说明理由； （2）如图2，若点F为BC的中点，45°＜∠EFC＜90°，延长D'C'交AB于点P．求PC′与PB的数量关系，并说明理由； 【深入探究】 （3）如图3，若AB＝3，AD＝6，BF＝1，连接C'E，当点E为AD的三等分点时，直接写出的值． 23．（14分）●问题发现 如图1，△ABC和△DEF都是等边三角形，边BC和EF在同一直线上，O是边BC的中点，BE＝CF，连接AD，则下列结论正确的是 　 　 ．（填序号即可） ①OE＝OF； ②AD＝BE； ③AD⊥BE； ④整个图形是轴对称图形． ●数学思考 将图1中的△DEF绕着点O旋转，△ABC不动，连接AD和BE，如图2，则AD和BE具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程； ●拓展应用 已知AB＝8cm，DE＝4cm，在图1中的△DEF绕着点O旋转的过程中，当BE⊥DF时，求线段AD的长度． ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( 学校:___________姓名：________班级： ________ 考号： ________ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 第3页 共4页 ◎ 第4页 共4页 第1页 共2页 ◎ 第2页 共2页 学科网（北京）股份有限公司 2025-2026学年初中9年级上期中押题卷3-1（北师大版） 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C D B C A A A B A 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）党的二十大报告中指出，我国全社会研发经费支出从一万亿元增加到二万八千亿元，居世界第二位，研发人员总量居世界首位．将2800000000000用科学记数法表示为（　　） A．0.28×1013 B．2.8×1011 C．2.8×1012 D．28×1011 【答案】C 【解答】解：2800000000000＝2.8×1012． 故选：C． 2．（3分）下列运算中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：A选项：，故A选项错误； B选项：，故B选项错误； C选项：，故C选项正确； D选项：，故D选项错误． 故选：C． 3．（3分）下列相似图形不是位似图形的是（　　） A． B． C．D． 【答案】D 【解答】解：由各选项图形可知，A，B，C选项的相似图形是位似图形，D选项的相似图形不是位似图形， 故选：D． 4．（3分）已知，则a与b的比是（　　） A．2：5 B．3：5 C．5：3 D．5：2 【答案】B 【解答】解：已知， a：b6：10＝3：5， 故选：B． 5．（3分）某区为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2021年投入3000万元，预计2023年投入5000万元．设教育经费的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（　　） A．3000（1+x2）＝5000 B．3000x2＝5000 C．3000（1+x）2＝5000 D．3000（1+x%）2＝5000 【答案】C 【解答】解：设教育经费的年平均增长率为x， 则2022的教育经费为：3000×（1+x）万元， 2023的教育经费为：3000×（1+x）2万元， 那么可得方程：3000×（1+x）2＝5000． 故选：C． 6．（3分）如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，BC＝5．将△ABC沿着点A到点C的方向平移到的△DEF位置，若图中阴影部分面积为2，则△ABC平移的距离AD为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：如图，BC与ED交点为H， ∵42+32＝52， ∴△ABC是直角三角形，即∠A＝90°， ∴， DE∥AB，且AD即为△ABC平移的距离， ∴△CDH∽△CAB， ∴，解得， ∴， ∴△ABC平移的距离为：． 故选：A． 7．（3分）在盒子里放有分别写有整式2，π，x，x+1的四张卡片，从中随机抽取两张把卡片上的整式分别作为分子和分母，则能组成分式的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：画树状图如下： 由树状图可知，共有12种等可能结果，其中组成的是分式的有6种结果， 所以能组成分式的概率是， 故选：A． 8．（3分）如图，E，F，G，H分别在四边形ABCD的AB，BC，CD，DA的边上，对于四边形EFGH的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（　　） A．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH不可能为菱形 B．当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH可以为平行四边形 C．当E，F，G，H是各边中点，且AC＝BD时，四边形EFGH为菱形 D．当E，F，G，H是各边中点，且AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形 【答案】A 【解答】解：A．如图所示，若EF＝FG＝GH＝HE，则四边形EFGH为菱形，此时E，F，G，H不是四边形ABCD各边中点，故A错误，符合题意； B．如图所示，若EF∥HG，EF＝HG，则四边形EFGH为平行四边形，此时E，F，G，H不是四边形ABCD各边中点，故B正确，不符合题意； C．当E，F，G，H是四边形ABCD各边中点，且AC＝BD时，存在EF＝FG＝GH＝HE，故四边形EFGH为菱形，故C正确，不符合题意； D．当E，F，G，H是四边形ABCD各边中点，且AC⊥BD时，存在∠EFG＝∠FGH＝∠GHE＝90°，故四边形EFGH为矩形，故D正确，不符合题意； 故选：A． 9．（3分）已知，则代数式的值为（　　） A．1 B． C． D． 【答案】B 【解答】解：∵， ∴b＝2025a， ∴． 故选：B． 10．（3分）根据表格对应值： x 1.1 1.2 1.3 1.4 ax2+bx+c ﹣0.59 0.84 2.29 3.76 判断关于x的方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（　　） A．1.1＜x＜1.2 B．1.2＜x＜1.3 C．1.3＜x＜1.4 D．无法判断 【答案】A 【解答】解：当x＝1.1时，ax2+bx+c＝﹣0.59， 当x＝1.2时，ax2+bx+c＝0.84， 所以方程的解的范围为1.1＜x＜1.2． 故选：A． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．（3分）若关于x的二次三项式x2+2（m﹣3）x+16可用完全平方公式分解因式，则m的值为 　7或﹣1　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：由题意得： x2+2（m﹣3）x+16＝（x±4）2， ∴x2+2（m﹣3）x+16＝x2±8x+16， ∴2（m﹣3）＝±8， ∴m﹣3＝±4， ∴m＝7或m＝﹣1， 故答案为：7或﹣1． 12．（3分）若x1、x2是方程x2+3x﹣5＝0两根，则的值为　　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵x1、x2是方程x2+3x﹣5＝0两根， ∴x1+x2＝﹣3，x1•x2＝﹣5， ∴， 故答案为：． 13．（3分）小乐同学将新华书店的阅读二维码打印在面积为400cm2的正方形纸上，如图所示，为了估计图中黑色部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.4左右，据此可以估计黑色部分的面积约为 　160　 cm2． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：估计黑色部分的面积约为400×0.4＝160（cm2）， 故答案为：160． 14．（3分）如图，在某小区内拐角处的一段道路上，有一儿童在C处玩耍，一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的A处驶来（CM⊥DM，BD⊥DM，BC与DM相交于点O），已知OM＝4米，CO＝5米，DO＝3米，AO米，则汽车从A处前行的距离AB＝　5.75　 米时，才能发现C处的儿童． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：在Rt△CMO中，MO＝4m，CO＝5m， ∴CM3m， ∵∠BOD＝∠MOC，∠BDO＝∠CMO＝90°， ∴△BDO∽△CMO， ∴， ∴， ∴BD＝2.25m， 在Rt△AOD中，OA米， ∴AD8m， ∴AB＝AD﹣BD＝8﹣2.25＝5.75（m）， ∴汽车从A处前行5.75米，才能发现C处的儿童， 故答案为：5.75． 15．（3分）如图，等边三角形ABC的边长为1，顶点B与原点O重合，点C在x轴的正半轴上，过点B作BA1⊥AC于点A1，过点A1作A1B1∥OA，交OC于点B1；过点B1作B1A2⊥AC于点A2，过点A2作A2B2∥OA，交OC于点B2；…，按此规律进行下去，点A2025的横坐标是　（，）　 ． 【答案】（，）． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC＝BC＝1，∠ABC＝∠A＝∠ACB＝60°， ∴A（，），C（1，0）， ∵BA1⊥AC， ∴AA1＝A1C， ∴A1（，）， ∵A1B1∥OA， ∴∠A1B1C＝∠ABC＝60°， ∴△A1B1C是等边三角形， ∴A2是A1C的中点， ∴A2（）， 同理A3（）， … ∴An（，）， ∴A2025的坐标是（，）． 故答案为：（，）． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16．（6分）先化简，再求值：，其中x． 【答案】原式． 【解答】解：原式• ， 当x时，原式． 17．（8分）某汽车租赁公司拥有20辆汽车，据统计，当每辆车的日租金为400元时，可全部租出；当每辆车的日租金每增加50元，未租出的车将增加1辆．公司平均每日的各项支出共4800元，设公司每日租出x辆车．（日收益＝日租金收入﹣平均每日各项支出） （1）公司每日租出x辆车时，每辆车的日租金为 　（1400﹣50x）　 元；（用含x的代数式表示） （2）当每日租出多少辆车时，租赁公司的日收益不盈也不亏？ 【答案】（1）（1400﹣50x）； （2）4辆． 【解答】解：（1）由题意得：公司每日租出x辆车时，每辆车的日租金为（1400﹣50x）元； 故答案为：（1400﹣50x）； （2）根据题意可得：x（1400﹣50x）﹣4800＝0， ∴﹣50x2+1400x﹣4800＝0． ∴x＝4或x＝24（不合题意，舍去）． 答：当每日租出4辆时，租赁公司的日收益不盈也不亏． 18．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+2m﹣2＝0（m为常数）． （1）若方程的一个根为1，求m的值及方程的另一个根； （2）求证：不论m为何值时，方程总有两个实数根． 【答案】（1）m＝2，另一个根为2； （2）证明见解析． 【解答】解：（1）把x＝1代入方程可得1﹣（m+1）+2m﹣2＝0， 解得m＝2， 当m＝2时，原方程为x2﹣3x+2＝0， ∴（x﹣1）（x﹣2）＝0， 解得x1＝1，x2＝2， 即方程的另一根为2； （2）∵a＝1，b＝﹣（m+1），c＝2m﹣2， ∴Δ＝[﹣（m+1）]2﹣4×1×（2m﹣2） ＝m2﹣6m+9 ＝（m﹣3）2≥0， ∴不论m为何值时，方程总有两个实数根． 19．（9分）某校为丰富学生的课余生活，开设了五类社团活动（要求每人必须参加且只参加一类活动）：A．音乐社团；B．书法社团；C．文学社团；D．话剧社团；E．科创社团．该校为了解学生对这五类社团活动的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据调查结果，绘制了如图的两幅不完整的统计图． 根据图中信息，解答下列问题： （1）本次调查一共抽取了 　200　 名学生；请补全条形统计图； （2）求扇形统计图中E所在扇形圆心角的度数； （3）现从“文学社团”里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比赛，请用列表或画树状图的方法，求出恰好选中甲、乙两名同学的概率． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）本次调查一共随机抽取的学生人数为：50÷25%＝200（名） ∴C的人数为：200﹣30﹣50﹣70﹣20＝30（名） 故答案为：200 补全条形统计图如下： （2）扇形统计图中E所在扇形圆心角的度数为． （3）画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲、乙两名同学的结果有2种， ∴恰好选中甲、乙两名同学的概率为． 20．（8分）已知，如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC的延长线上，且OE＝OB，连接DE． （1）求证：DE⊥BE； （2）如果OE⊥CD，求证：BD•CE＝CD•DE． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BO＝OD， ∵OE＝OB， ∴OE＝OD， ∴∠OBE＝∠OEB，∠OED＝∠ODE， ∵∠OBE+∠OEB+∠OED+∠ODE＝180°， ∴∠BEO+∠DEO＝∠BED＝90°， ∴DE⊥BE； （2）∵OE⊥CD ∴∠CEO+∠DCE＝∠CDE+∠DCE＝90°， ∴∠CEO＝∠CDE， ∵OB＝OE， ∴∠DBE＝∠OEB， ∴∠DBE＝∠CDE， ∵∠BED＝∠DEC， ∴△BDE∽△DCE， ∴， ∴BD•CE＝CD•DE． 21．（10分）取暖器，又称为“冬日里的小太阳”，是南方居民冬天的取暖神器．某商场有A型、B型两款最受顾客喜爱的取暖器，已知每台A型取暖器的售价比每台B型取暖器售价少40元，顾客用1200元购入A型取暖器的数量与用1440元购入B型取暖器的数量相等． （1）每台A型取暖器与每台B型取暖器的售价分别为多少元？ （2）每台B型取暖器的进价为140元，据统计，商场每月卖出B型取暖器60台．新年前夕，为了尽快减少库存，商场决定对B型取暖器进行降价促销活动，调查发现，每台B型取暖器的售价每降低10元，那么平均每月可多售出25台，若商场要想每月销售B型取暖器的利润达到9600元，则每台B型取暖器应降价多少元？ 【答案】（1）每台A型取暖器的售价为200元，则每台B型取暖器的售价为240元； （2）每台B型取暖器应降价40元． 【解答】解：（1）设每台A型取暖器的售价为x元，则每台B型取暖器的售价为（x+40）元， 由题意得：， 解得：x＝200， 经检验，x＝200是原方程的解，且符合题意， ∴x+40＝200+40＝240， 答：每台A型取暖器的售价为200元，则每台B型取暖器的售价为240元； （2）设每台B型取暖器应降价y元， 由题意得：（240﹣y﹣140）（6025）＝9600， 整理得：y2﹣76y+1440＝0， 解得：y1＝40，y2＝36， ∵尽快减少库存， ∴y＝40， 答：每台B型取暖器应降价40元． 22．（12分）综合与实践 【问题情境】 数学课上，某兴趣小组对“矩形的折叠”作了如下探究．将矩形纸片ABCD先沿EF折叠． 【特例探究】 （1）如图1，使点C与点A重合，点D的对应点记为D′，折痕与边AD，BC分别交于点E，F．四边形AECF的形状为 　菱形　 ，请说明理由； （2）如图2，若点F为BC的中点，45°＜∠EFC＜90°，延长D'C'交AB于点P．求PC′与PB的数量关系，并说明理由； 【深入探究】 （3）如图3，若AB＝3，AD＝6，BF＝1，连接C'E，当点E为AD的三等分点时，直接写出的值． 【答案】（1）菱形，理由见解析； （2）PC'＝PB，理由见解析； （3）或． 【解答】解：（1）四边形AECF为菱形，理由如下： ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠AEF＝∠CFE， 由折叠的性质得：AF＝CF，∠AFE＝∠CFE， ∴∠AEF＝∠AFE， ∴AF＝AE， ∴AE＝CF， ∴四边形AECF是平行四边形， 又∵AF＝CF， ∴平行四边形AECF为菱形， 故答案为：菱形； （2）PC′与PB的数量关系为：PC'＝PB，理由如下： 如图2，连接PF， ∵F为BC的中点， ∴BF＝CF， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝∠C＝90°， 由折叠的性质得：CF＝C'F，∠C＝∠D'C'F＝90°， ∴∠PC'F＝90°，C'F＝BF， 在Rt△PC'F和Rt△PBF中， ， ∴Rt△PC'F≌Rt△PBF（HL）， ∴PC'＝PB； （3）分两种情况： ①如图3，若点E为AD的三等分点，且AE＝2DE， ∵AD＝6， ∴AE＝4，DE＝2， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD＝3，∠A＝∠B＝∠D＝90°， 过点E作EM⊥BC于M， 则四边形ABME为矩形， ∴BM＝AE＝4，EM＝AB＝3，∠EMF＝90°， ∴FM＝BM﹣BF＝4﹣1＝3， 在Rt△EMF中，由勾股定理得：EF3， 由折叠的性质得：DE＝D'E＝2，C'D'＝CD＝3，∠D＝∠D'＝90°， 在Rt△C′D′E中，由勾股定理得：C'E， ∴； ②如图4，若点E为AD的三等分点，且DE＝2AE， 则DE＝4，AE＝2， 过点E作EN⊥BC于N， 则∠ENF＝90°， 同理可得：FN＝1，EN＝3， 在Rt△ENF中，EF， 由折叠的性质得：DE＝D'E＝4，C'D'＝CD＝3，∠D＝∠D'＝90°， 在Rt△C′D′E中，由勾股定理得：C'E5， ∴， 综上所述，的值为或． 23．（14分）●问题发现 如图1，△ABC和△DEF都是等边三角形，边BC和EF在同一直线上，O是边BC的中点，BE＝CF，连接AD，则下列结论正确的是 　①③④　 ．（填序号即可） ①OE＝OF； ②AD＝BE； ③AD⊥BE； ④整个图形是轴对称图形． ●数学思考 将图1中的△DEF绕着点O旋转，△ABC不动，连接AD和BE，如图2，则AD和BE具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程； ●拓展应用 已知AB＝8cm，DE＝4cm，在图1中的△DEF绕着点O旋转的过程中，当BE⊥DF时，求线段AD的长度． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：●问题发现： ∵O是边BC的中点，△ABC是等边三角形， ∴OB＝OC， 又∵BE＝CF， ∴OE＝OF，所以①正确； 过D作DG∥BE交AB于点G， ∴∠AGD＝∠B＝60°， ∵△ABC和△DEF都是等边三角形， ∴∠B＝∠DEF＝60°， ∴DG∥BE， ∴四边形BEDG为平行四边形， ∴DG＝BE≠AD，所以②不正确； 连接AO，DO， ∵△ABC和△DEF都是等边三角形， ∴AB＝AC，DE＝DF， ∵OB＝OC，OE＝OF ∴AO⊥BC，DO⊥BC， ∴A，D，O三点共线，即AD⊥BE，所以③正确； 由③可知整个图形关于直线AD成轴对称图形，所以④正确； 故答案为：①③④． ●数学思考：，AD⊥BE．理由如下： 连接AO，OD，由图1，OB＝OC，BE＝CF， 可得OE＝OF．△DEF绕着点O旋转，OE＝OF仍然成立． ∵△DEF是等边三角形， ∴DO⊥EF，． ∴． 同理，AO⊥OB，． ∴：1，∠AOB＝∠DOE． ∴∠BOE＝∠AOD． ∴△BOE∽△AOD． ∴，∠OAD＝∠OBE． 延长BE交AD于H点，交AO于l点， 又∠AIH＝BIO，∴△AIH∽△BIO． ∴∠HIA＝∠IOB＝90°． ∴AD⊥BE． ●拓展应用 当BE⊥DF时， ∵AD⊥BE， ∴A，D，F三点共线． 如备用图1， 设BE＝xcm，则ADxcm， ∵AD⊥BE， ∴在Rt△ABH中，． 解之得：．又x＞0， ∴， 即． 如备用图2． 设BE＝ycm，则ADycm． ∵AD⊥BE， ∴在Rt△ABH中，． 解之得：． 又y＞0， ∴， 即． 综上所述，． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $