专题03 圆的最值与隐圆问题6大题型（压轴题专项训练）数学沪教版五四制九年级下册

专题03圆的最值与隐圆问题 目录 典例详解 类型一、将军饮马中的最值问题 类型二、定点定长（隐圆）的最值问题 类型三、定弦定角（隐圆）的最值问题 类型四、直角圆（隐圆）的最值问题 类型五、四点共圆（隐圆）的最值问题 类型六、折叠圆的最值问题 压轴专练 类型一、将军饮马中的最值问题 ①确定动点所在圆的圆心与半径，明确圆的约束条件； ②找定点关于圆的对称点（或利用圆心对称转化点）； ③连接对称点与另一定点，与圆的交点即为使路径最短的饮马点； ④计算线段长度（减去/加上半径，视位置而定），得到最短路径长。 例1．在如图所示的圆中，是半圆的中点，是弧的三等分点，是直径上的任意点，若，则的最小值为 ． 例2．如图，已知圆O的面积为，为直径，弧的度数为，弧的度数为，点P为直径上任一点；则的最小值为 ． 变式1-1．如图，已知圆的面积为，为圆的直径，，，点为直线AB上任意一点，则的最小值是 ． 变式1-2．如图，在中，是的直径，是上一动点，的最小值是 ． 变式1-3．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A，B，O均落在格点上，以点O为圆心长为半径的圆交于点C．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示，结果用实线表示． (1)线段的长等于______； (2)画出的切线； (3)P为上的动点，当取得最小值时，画出点P． 类型二、定点定长（隐圆）的最值问题 动点定长模型 若为动点，但， 则三点共圆，圆心，半径 原理：圆中， 备注：常转全等或相似证明出定长 例3．如图，矩形中，，，动点分别从点同时出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿向终点运动，过点作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则的最大值为（    ） A． B． C．5 D．3 例4．如图，已知等边的边长为10．点P是AB边上的一点且．直线是经过点P的一条直线，把沿直线折叠，点B的对应点是点．在直线的变化过程中，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 变式2-1．如图，等边三角形和等边三角形，点N，点M分别为、的中点，，，绕点A旋转的过程中，的最大值为 ，最小值为 ． 变式2-2．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，，点C为平面内一动点，，连接，点M是线段上的一点，且满足，则的最大值为 ． 变式2-3．如图，在矩形中，，， 是平面内一动点，且，则线段的最大值为 ．    类型三、定弦定角（隐圆）的最值问题 定弦定角模型 固定线段所对动角∠P为定值， 则点P运动轨迹为过A、B、C三点的圆 原理：弦所对同侧圆周角恒相等 备注：点P在优弧、劣弧上运动皆可 例5．如图，为等边三角形，．若P为内一动点，且满足，则线段长度的最小值为（    ） A． B． C． D．2 例6．如图，等边的边长为，D、E分别是和上的点，且，、交于点P，连接，则长度的最小值是 ． 变式3-1．如图，在边长为6的等边中，点，分别是边，上的动点，且，连接，交于点，连接，则的最小值为 ． 变式3-2．如图，中，，动点M、N在斜边上，，求的最小值 ． 变式3-3．在中，，，点为平面上一个动点，，则线段长度的最小值为    类型四、直角圆（隐圆）的最值问题 直角圆周角模型 固定线段所对动角恒为 则三点共圆，AB为直径 原理：圆O中，圆周角为90°所对弦是直径 备注：常通过互余转换等证明出动角恒为直角 例7．如图，直线分别与轴、轴相交于点、．点在平面内，，点，则长度的最大值是 ． 例8．如图，在中，，，是内部的一个动点，且始终有，则长的最小值是 ． 变式4-1．如图，点M是矩形边的中点，，，若点P是平面内的点，且是直角，则线段的最大值为 ，最小值为 ． 变式4-2．如图，在中，，，，点D是边上一动点，交的延长线于点E，则   的最大值为 ． 变式4-3．如图，在中，，，，点是内部一点，且，连接，则长的最小值为 类型五、四点共圆（隐圆）的最值问题 四点共圆模型① 若动角∠A+动角∠C=180° 则四点共圆 原理：圆内接四边形对角互补 备注：点A与点C在线段AB异侧 四点共圆模型② 固定线段AB所对同侧动角∠P=∠C 则四点共圆 原理：弦AB所对同侧圆周角恒相等 备注：点P与点C需在线段AB同侧 例9．如图，在矩形中，，点E、F分别是所在直线上的动点，连接，以为边，在上方作等边，H为的中点，连接， 则 °，的最小值为 ．    例10．如图，在中，点D为上一点，，点E在线段上，，若，，则的最大值为 ．    变式5-1．如图，两条互相垂直的射线，，相交于点O，以为斜边的直角三角板的两个锐角顶点分别在两条射线上，且，，，连接，则面积的最大值为（    ） A． B． C．3 D．2 变式5-2．已知，在中，， ，、，垂足分别为D、E，、相交于点G，则的长度的最大值为（       ） A．2 B． C．1 D． 变式5-3．如图，已知∠ MON=120°，点A，B分别在OM，ON上，且OA=OB=a，将射线OM绕点O逆时针旋转得到OM ′，旋转角为α（0°＜α＜120°且α≠60°），作点A关于直线OM ′的对称点C，画直线BC交OM′于点D，连接AC，AD，则当α= 度时，四边形OADC为菱形；△ ACD面积的最大值为 ． 类型六、折叠圆的最值问题 例11．如图，在半圆中，直径，是半圆上一点，将弧沿弦折叠交于，点是的中点．连接，当取最小值时，的长为（　　） A． B． C． D． 例12．如图，将⊙O沿弦AB折叠，使折叠后的弧恰好经过圆心O，点P是优弧上的一个动点（与A、B两点不重合），若⊙O的半径是2cm，则△APB面积的最大值是 cm2 变式6-1．如图，为半径为8的的弦，沿弦折叠经过圆心，点P为上一动点，连接，过点F作的垂线，垂足为H，连接，则最小值为 ． 变式6-2．如图，在中，将劣弧沿弦折叠得弧，P是弧上一动点，过点P作弧的切线与交于C，D两点，若⊙O的半径为13，，则的长度最大值为 ． 变式6-3．如图，在半圆中，是半圆上的一个点，将沿弦折叠交直径于点，点是的中点，连接，若的最小值为，则 ．    1．如图，已知中，，，，，过点作的垂线，与的延长线交于点，则的最大值为（    ）    A．4 B．5 C． D． 2．如图，点E在边长为2的正方形内，且，点F是边的中点，点G是边上的一动点，连接，，则的最小值为 ． 3．如图，在平行四边形中，，，，是边的中点，是线段上的动点，将沿所在直线折叠得到，连接，则的最小值是（    ）    A． B．6 C．4 D． 4．如图，是的直径，点E在上，垂足为C，点G在上运动（不与E重合），点F为的中点，则的最大值为（     ） A． B．6 C． D．8 5．如图，，点在射线上滑动，点在射线上滑动，且线段的长始终保持不变；以为斜边在的右侧作，则在滑动的过程中线段长的最大值是 ． 6．如图，线段，以为斜边构造等腰直角和直角，、在两侧，平分交于点，则的最小值为 ． 7．如图，在四边形中，为边的中点，，于．    （1）若，则 ； （2）若，则的最小值为 ． 8．在四边形中，，，，则长度的最大值为 ． 9．如图，在中，，过点作，且，连接，则的最大值为 ． 10．如图，，点是平面内一动点，且，连接，将绕点逆时针旋转，得到，连接，则的最小值为 ，最大值为    11．已知如图，将圆的一部分沿着弦折叠，使圆上一点折叠后，恰好落在圆心上，切于点，直线交切线于D，交于另一点，已知圆的半径是2，那么如图所示阴影部分的面积是 ． 1/10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题03圆的最值与隐圆问题 目录 典例详解 类型一、将军饮马中的最值间题 类型二、定点定长（隐圆）的最值问题 类型三、定弦定角（隐圆）的最值问题 类型四、直角圆（隐圆）的最值问题 类型五、四点共圆（隐圆）的最值间题 类型六、折叠圆的最值问题 压轴专练 典例详解 类型一、将军饮马中的最值问题 ①确定动点所在圆的圆心与半径，明确圆的约束条件； ②找定点关于圆的对称点（或利用圆心对称转化点）； ③连接对称点与另一定点，与圆的交点即为使路径最短的饮马点； ④计算线段长度（减去加上半径，视位置而定），得到最短路径长。 例1.在如图所示的圆中，D是半圆的中点，E是弧CD的三等分点，P是直径AC上的任意点，若AO=2 ,则EP+PD的最小值为一 D 【答案】25 【详解】解：如图：作点D关于AC的对称点D,连接D,E,交AC于一点为P,过点EH⊥DD,连接OE 1/48 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 H E D :D是半圆的中点， .DD=20A=4 :E是弧CD的三等分点， .∠D0E=60°，0E=0A=2 DE=DE ∠DD,E=30°， 则HE=OE·sin∠D0E=2xsin60°=√3 则EP+PD的最小值即为D,E ∠DD,E=309 .RtAHED ED,=2HE =23, 故答案为：2√5 例2.如图，已知圆O的面积为3π，AB为直径，弧AC的度数为80°，弧BD的度数为20°，点P为直径 AB上任一点；则PC+PD的最小值为一· C D B P 【答案】3 【详解】解：设圆O的半径为”， :⊙0的面积为3π， 2/48 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 3m=2,即r=5. 作点C关于AB的对称点C,连接OD,OC',DC',PC',如图， C ! : : D B 由对称可知，PC'=PC,则PC+PD=PC'+PD≥DC'(当C,P,D在同一直线上时，取等号) 则DC'的长即为PC+PD的最小值， :AC的度数为80°， AC'的度数为80°，则BC'的度数为100°， BD的度数为20°， CBD的度数为BC'与BD的度数之和，即CBD的度数为120°， .0C'=0D, .L0DC'=30°， 过O作OE⊥DC',则DC'=2DE, ÷DC=2DE=20Dco30°=2N5x5 =3,即PC+PD的最小值为3. 故答案为：3. 【点晴】本题考查圆上的最值问题，弧与圆心角的关系，解直角三角形，利用圆的对称性作对称点是解决 问题。 变式1-1.如图，已知圆O的面积为3π，AB为圆O的直径，∠AOC=80°，∠B0D=20°，点P为直线AB 上任意一点，则PC+PD的最小值是 B 3/48 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【答案】3 【详解】解：设圆O的半径为， :⊙0的面积为3π， .3元π2，即r=5, 作点C关于AB的对称点C',连接OC',DC,则DC'的长即为PC+PD的最小值， .∠AOC=80°， .∠AOC=∠AOC=80°， ∠BOC'=100°， :∠BOD=20°， ∴.∠DOC'=∠BOC'+∠BOD=100°+20°=120°， OC'=OD, ∴.∠ODC=30° :DC-20Dcos30°=25×5=3，即PC+PD的最小值为3. 2 故答案为：3. 【点晴】本题考查的是圆周角定理及轴对称-最短路线问题，根据题意作出点C关于直线AB的对称点是解 答此题的关键， 变式1-2.如图，在⊙0中，MN是⊙0的直径，MN=10cm,AM=AB=BN,P是MN上一动点，AP+BP的 最小值是 cm B 【答案】10 【详解】解：如图所示，作点A关于MN的对称点C,连接PC,OC,OB, 4/48 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 由轴对称的性质可得OM垂直平分AC, .AP CP, :MN是OO的直径， :点C在00上， LA0M=∠M0C, AM AB BN, .∠A0B=∠A0M=∠C0M=60°， ∴.∠B0C=180° B、O、C三点共线， .BC MN =10cm, AP+BP=CP+BP, 当C、P、B三点共线时，CP+BP最小，即此时AP+BP最小， .AP+BP的最小值为10cm, 故答案为：10： B N 变式1-3.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△0AB的顶点A,B,O均落在格点上，以点O为 圆心OA长为半径的圆交OB于点C.仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示，结 果用实线表示。 5/48 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (I)线段BC的长等于： (2)画出⊙0的切线BD; (3)P为OA上的动点，当CP+DP取得最小值时，画出点P. 【答案】(1)3-3 (2)见解析 (3)见解析 【分析】 【详解】(1)解：：OA=3,AB=2,0A1AB, 0B=V0A2+0B2=V13, .BC=0B-OC=0B-0A=13-3; (2)如图所示：BD即为所求； 由作图可知：AD⊥OB, ∠BOD=∠BOA, 在△OBD和△OBA中， OD=OA ∠BOD=∠BOA, OB=OB :aOBD≌OBA(SAS), ∠ODB=∠OAB=90°，即OD⊥BD, ∴.BD是OO的切线； D B (3)如图，点P即为所求. 6/48 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【点晴】本题主要考查作图-复杂作图，勾股定理，轴对称-最短路径问题及垂径定理等知识，解决本题的关 键是掌握轴对称的性质。 类型二、定点定长（隐圆）的最值问题 动点定长模型 P(动) P(动) B 若P为动点，但AB=AC=AP, 则B、C、P三点共圆，A圆心，AB半径 原理：圆A中，AB=AC=AP 备注：常转全等或相似证明出定长 例3.如图，矩形ABCD中，AB=4,BC=3,动点E,F分别从点A,C同时出发，均以每秒1个单位长度 的速度分别沿AB,CD向终点B,D运动，过点E,F作直线1，过点A作直线1的垂线，垂足为G,则AG的最 大值为() G B B. 3-2 C.5 D.3 【答案】A 【详解】连接AC,BD交于点O,取OA中点为H,连接GH,如图所示， D C 四边形ABCD为矩形， B ∴.∠ABC=90°，OA=OC,AB∥CD, :在Rt△ABC中，AC=VAB2+AC2=V42+32=5, o1=c-4c= :AB‖CD, 7/48 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .∠EA0=LFC0, 在△A0E与△COF中， AE=CF ∠EAO=∠FCO, AO=CO :△A0E≌△COF, ∠AOE=LC0F, ∴O,E,F三点共线， :AG⊥EF,H是OB的中点， :在R1△4G0中，GH= ·G的轨迹为以H为圆心， 香为半径即40为直径的圆道，。 :4G的最大值为40的长，即4G=40- 例4.如图，己知等边ABC的边长为10.点P是AB边上的一点且PB=8.直线1是经过点P的一条直线， 把ABC沿直线I折叠，点B的对应点是点B.在直线I的变化过程中，则△ACB'面积的最大值为() P A.40-8V3 B.40+5V5 C.40+8√3 D.40W5 【答案】B 【详解】解：过点P作PH⊥AC,如图： 由题意得，点B在以点P为圆心，半径长为8的圆上运动， 当HP的延长线交圆P于点B时面积最大， 在Rt△APH中，AB=10,PB=8, 8/48 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .PA=2, :△ABC是等边三角形， .∠PAH=60°， ∠APH=90°-60°=30°， :AH =1,PH=3, BH=8+V3, Sce的最大值为：2×10x(8+)=55+40, 故选B. 变式2-1.如图，等边三角形ABC和等边三角形ADE,点N,点M分别为BC、DE的中点，AB=6, AD=4,ADE绕点A旋转的过程中，MN的最大值为 一，最小值为」 【答案】 5v5 5 【详解】解：连接AM,AN, :等边三角形ABC和等边三角形ADE,点N,点M分别为BC,DE的中点，AB=6,AD=4, .AM⊥DE,AN⊥BC,DM=2,BN=3, AN=AB2-BN2=33,AM=AD2-DM2=23 :ADE绕点A旋转， ·点M在以点A为圆心，AM为半径的圆上， .AM+AN≥MN, :当A,N,M三点共线时，且点M在NA延长线上时，MN的值最大， 9/48 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D 即：MN=AM+AN=5√5； 当A,N,M三点共线时，且点M在线段NA上时，MN的值最小， 即：MN=AN-AM=√5. 故答案为：5√3，√5 【点晴】本题考查等边三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，以及借助圆，求线段的最值，解题的关键 是确定点M在以点A为圆心，AM为半径的圆上， 变式2-2.如图，在平面直角坐标系中，O为原点，0A=0B=4,点C为平面内一动点，BC=√5，连接 AC,点M是线段AC上的一点，且满足CM:AM=1:2,则OM的最大值为一 【答案】25 【分析】 【详解】解：由题知，点C为平面内一动点，BC=√5，即点C在以点B为圆心，以√5为半径的圆上， .在x轴的负半轴上取点V(-2,0),连接CN, 10/48