专题04 圆与全等、相似、函数等结合的综合问题5大题型（压轴题专项训练）数学沪教版五四制九年级下册

专题04 圆与全等、相似、函数等结合的综合问题 目录 典例详解 类型一、圆与全等三角形的综合 类型二、圆与相似三角形的综合 类型三、圆与一次函数、反比例函数的综合 类型四、圆与二次函数的综合 类型五、圆的新定义问题 压轴专练 类型一、圆与全等三角形的综合 【例1】如图，为圆O的一条直径，长度为10，与一弦的交点为C．若弦，且，则 ．    【例2】如图，中，，点O在边上，以点O为圆心，为半径的圆交边于点D，交边于点E，且． (1)求证：是的切线． (2)若，求的半径． 【变式1-1】如图，在菱形中，，过三点的圆交的延长线于点E，连接，则 度． 【变式1-2】中，，点在上，以为半径的圆交于点，交于点．且． (1)求证：是的切线； (2)连接交于点，若，，求弧的长． 【变式1-3】如图，在中，，D是中点，E是上的动点（不与端点B，C重合），连接与交于点F，过E，F，D三点的圆与交于点G（不与B，D重合），连接． (1)若，，求的度数； (2)若，求的值； (3)求证：． 类型二、圆与相似三角形的综合 【例3】如图，在中，，以的中点为圆心，为直径的圆交于，是的中点，交的延长线于． (1)求证：是圆的切线： (2)若，，求的长． 【例4】如图，在中，，是上一点，以点为圆心，长为半径，作圆交于点，是的切线，是切点，连接交于点，已知． (1)求证：是的切线． (2)若，，，求的值． (3)连接，分别延长，交于点．当为等腰直角三角形时，是否存在，使它们的相似比为？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【变式2-1】如图1，在中，为直径，点在圆上，，，是上一动点（与A、B不重合），平分交边于点，，垂足为点．    (1)当点与圆心重合时，如图2所示，求的长． (2)当与相似时，求的值． 【变式2-2】如图，为的直径，C是圆上一点，D是的中点． (1)尺规作图：过点D作的垂线，交半圆于点E，交直径于点F（保留作图痕迹，不写作法）； (2)点P是弧上一点，连接，，，． ①求的值； ②若为的角平分线，求的长． 【变式2-3】如图1，内接于半径为的圆，，点为半圆上一动点，连接交于点， (1)如图2，连接，若，求的长； (2)如图3，过点作的平行线交射线于点，交圆于点，若，求的值． 类型三、圆与一次函数、反比例函数的综合 【例5】如图，以坐标原点为圆心，2为半径作圆，直线与相交，则的取值范围是 ． 【例6】如图，在平面直角坐标系中，是反比例函数图象上的一点，以点为圆心，长为半径作圆，与轴交于点，与轴交于点，连接． (1)求证：为线段的中点． (2)若，求点的坐标， 【变式3-1】在平面直角坐标系中，以原点为圆心的圆过点，直线与交于，两点，则弦的长的最小值为 ． 【变式3-2】已知圆的圆心在函数图象上，若圆与轴和直线都相切，则点的坐标为 ． 【变式3-3】如图，直线与反比例函数交于点和点，点，为等腰两腰的中点，过点，，做圆，连接，取的中点，连接． (1)求和的值； (2)当时，直接写出的解集； (3)求阴影部分的面积． 类型四、圆与二次函数的综合 【例7】已知抛物线与轴交于A、B两点，对称轴与抛物线交于C，与轴交于点D，圆C的半径为1.8，G为圆C上一动点，P为AG的中点，则DP的最大值为 ．    【例8】如图，已知二次函数（、为常数）的图象与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求二次函数的表达式； (2)当二次函数的自变量满足时，二次函数的最小值为，求的值； (3)点是第二象限内二次函数的图象上一动点，过点作轴，垂足为，过点、的圆与交于点，连接，求的面积． 【变式4-1】如图，二次函数的图象的顶点坐标为，与轴交于点，与轴分别交于点和点（点在点左侧），，为抛物线上的两点． (1)求该二次函数的解析式和，两点的坐标． (2)以为直径作圆，圆心为，求点与上的点的最短距离． (3)设点的横坐标为，点的横坐标为，的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 【变式4-2】如图，已知一次函数的图象分别交x轴、y轴于点N，M，抛物线经过M，N两点，在第一象限内的抛物线上有一动点G，过G作轴于E，交于点F． (1)求此抛物线的解析式． (2)设点G的横坐标为n，以M，N，G为顶点的三角形面积为S，求S关于n的函数关系式，并求出S的最大值． (3)若F为线段的中点，H为线段上一点，以H为圆心，为半径作圆，当与y轴相切时，求点G的坐标． 【变式4-3】如图，是直角三角形，，点是边上的动点，是过三点的圆，是的直径，与相交于点．设． (1)求证：． (2)令的面积为，求关于的函数关系式，并求当为何值时，的值最小． (3)当时，求的值． 类型五、圆的新定义问题 【例9】定义：顶点在圆内，并且角的两边与圆相交的角叫圆内角．例如图中为圆内角，设的两边及其反向延长线所夹的弧、的度数分别为、，则的度数是 （用、表示） 【例10】新定义：三角形两个内角的平分线相交所成的钝角称为该三角形第三个内角的好望角．    (1)如图1，是中的好望角，，请用含的代数式表示 (2)如图2，在中，的平分线与经过两点的圆交于点，且．求证：是中的好望角． (3)如图3，在（2）的条件下，若，求：线段的最大值． 【变式5-1】在平面直角坐标系中，给出如下定义：若有三个图形，，，在图形上存在点，图形上存在点，图形上存在点，使得，，则称图形是图形和图形的“关联图形”．已知：，，． (1)①在点，，中，点和点的“关联图形”是______． ②若直线是点和线段的“关联图形”，求的取值范围； (2)已知图形是以点为圆心，为半径的圆，图形是以为圆心，为半径的圆．若图形上存在点，使得点是图形和图形的“关联图形”，直接写出的取值范围． 【变式5-2】对于平面直角坐标系中的点和图形，给出如下定义：若在图形上存在一点，使得，两点间的距离小于或等于1，则称为图形的关联点． (1)如图，点，，， ①在点，，中，四边形的关联点是_____； ②点在直线上，若为四边形的关联点，求点的横坐标的取值范围； (2)正方形的对角线交点在轴上且边均与坐标轴垂直，边长为2，直线与轴、轴分别交与点，．若线段上的所有点都是正方形的关联点，直接写出正方形对角线交点横坐标的取值范围． 【变式5-3】定义：有一个角是直角，对角线相等的四边形是“近似矩形”． (1)如图1，四边形是“近似矩形”，，，，求的值． (2)如图2，在四边形中，点是上的点，是的直径，分别与交于点，连结，若平分，， ①如图3，若，求的度数； ②求证：四边形是“近似矩形”． 1．如图， 的半径为 2， 为圆上一动弦，以 为边作正方形，求的最大值 ． 2．如图，在中，，，以点B为圆心，2为半径作圆，D是上的任意一点，将点D绕点A逆时针旋转90°得到点E，连接CE、BE，则 ，线段BE的最小值为 ． 3．如图，点在反比例函数的图象上，以点为圆心的与两坐标轴都相切，为轴负半轴上的一点，交轴于点，连接． （1）点的坐标为 ； （2）若，则的长为 ． 4．如图，四边形是平行四边形，以为圆心，为半径的圆交于点，延长交于点，连接、，若． (1)求证：是的切线； (2)若的半径，求的长． 5．如图，在中，是的角平分线，平分交于点E，点O在边上，以点O为圆心的经过B，E 两点，交于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，，求阴影部分的面积． 6．如图，圆经过平面直角坐标系的原点，分别交轴、轴于，两点，是圆上一点，且平分．若反比例函数的图象经过点，则的值为 ． 7．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点是抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点是抛物线对称轴上一个动点，求点的坐标，使得的值最小． (3)设抛物线的顶点为，则点在的外接圆的______（填“内部”或“外部”或“圆上”） 8．如图，在中，，点在上，以为圆心，长为半径的圆与相切于点，与，分别相交于点，． (1)求证：平分； (2)若，，求的半径及的长． 9．如图，直线与圆相切于点，是圆的直径，点，在上，且位于点两侧，连接，，分别与圆交于点，，连接，． (1)求证：； (2)若圆的半径，，，求的长． 10．已知反比例函数与正方形交于点，，连接，以点为圆心，长为半径作四分之一圆，分别交轴，轴正半轴于点，．    (1)求反比例函数的解析式； (2)①求扇形的半径；②点是否在圆弧上？________（填“在”或“不在”）； (3)比较阴影部分与的大小． 11．【定义】数学活动课上，李老师给出如下定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称这个三角形为“智慧三角形”． 【理解】 （1）如图①，点A、B是上两点，请在圆上找出满足条件的点C，使为“智慧三角形”．（画出点C的位置，保留作图痕迹） （2）如图②，在正方形中，E是的中点，F是上一点，且，试判断是否为“智慧三角形”，并说明理由． 【运用】 （3）如图③，在平面直角坐标系中，的半径为1，Q是直线上的一点，若上存在一点P，使得为“智慧三角形”，当其面积取得最小值时，直接写出此时点P的坐标． 12．已知二次函数的图像与轴交于两点，其中点为，与轴负半轴交于点，其对称轴是直线．    (1)求二次函数的表达式； (2)圆为的外接圆，点是延长线上一点，的平分线交圆于点，连接、，求的面积； (3)在（2）的条件下，轴上存在点，使得以为顶点的三角形与相似，则点坐标为______． 13．定义：同一个圆中，互相垂直且相等的两条弦叫做等垂弦，等垂弦所在直线的交点叫做等垂点． (1)如图1，、是的等垂弦，，垂足分别为D，E．求证：四边形是正方形； (2)如图2，是的弦，作，分别交于D，C两点，连接．分别交、与点、点．求证：，是的等垂弦； (3)已知的直径为10，、是的等垂弦，P为等垂点．若．求的长． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题04圆与全等、相似、函数等结合的综合问题 目录 典例详解 类型一、圆与全等三角形的综合 类型二、圆与相似三角形的综合 类型三、圆与一次函数、反比例函数的综合 类型四、圆与二次函数的综合 类型五、圆的新定义问题 压轴专练 典例详解 ≈泛类型一、圆与全等三角形的综合 【例1】如图，心为圆O的一条直径，长度为10，与一弦4B的交点为C.若弦10B,且PC=,则 PO tan∠BAO= B 【答案】 万 【分析】 1/79 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】如图，设AB中点为M,连接OB、BP、OM、AP, 由题知：AB=AQ,OB=OQ,OA=OA, .△AOB≌△AOQ(SSS) ∴.∠OAB=∠OAQ, :OA=O0,.∠OA0=∠O0A(等腰三角形底角相等)， ∠CBP=∠OQA(弦AP所对圆周角相等)， ∴.∠CBP=∠OAB=∠CAO, 又∠BCP=∠ACO(对顶角相等)， ∴△BCP∽△ACO, .BC_PC AC OC' .PC=1 .0A=5,0C=4,QC=9 直径为10， BC 1 即AC=4,设BC=x'则AC=4x,AQ=AB=5x, :∠CBP=∠OQA,∠BCP=∠ACO, .ABCP△QCA, BC PC 瓷。即的衣解得x》 3 AB=5x=15 又AB中点为M,OA=OB=5, 0w1服M=方4a=只 2/79 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5v万 .tan∠BAO= OM.4-V万 AM 15 3· × 故答案为： 7 31 【例2】如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，点O在边AC上，以点O为圆心，OC为半径的圆交边AC于 点D,交边AB于点E,且BC=BE B E O (I)求证：AB是⊙O的切线. (2)若AE=24,BE=15,求⊙0的半径. 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】 OE,BO 【详解】(1)证明：如图：连接 B D 图1 在△OBC和△OBE中， OE=OC BE=BC BO=BO' ·aB0E2aB0C(SSS ∴.∠BEO=∠BCO ,∠BC0=90°， ∴.∠BE0=90°， 3/79 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 OE是半径， ∴.AB是⊙O的切线， (2)解：如图2，连接OE, B A D 图2 AE=24,BE=15, .BC=BE=15,AB=BE+AE=15+24=39, :AC=VAB-BC2=V392-15=36 设⊙0的半径为r,则OE=OC=r,OA=36-r, 04=0E2+AE2 :(36-r2=r2+242 解得：r=10, .⊙0的半径为10 【变式1-1】如图，在菱形ABCD中，∠A=74°，过A,B,C三点的圆交AD的延长线于点E,连接BE, 则∠ABE= 度 E 【答案】69 【详解】解：如图，设圆心为O,连接OA,OB,OC,OE, ∴.OA=OB=OC=OE, 4/79 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E 在菱形ABCD中，AD∥BC,AB=CB, .∠ABC=180°-∠EAB=180°-74°=106°， 在△AOB和△COB中， 「OA=OC OB=OB AB=CB' :△AOB≌aCOB(SSS ∴∠OBA=∠OBC, :∠0BA=∠0BC=∠0AB=∠0CB=)∠ABC=53°， .OA=OE,OB=OE. ,∴.∠OAE=∠OEA,∠OBE=∠OEB, ,∠AEB+∠EAB+∠EBA=180°， ∴.2∠EAO+2∠EBO+2∠OAB=180° .∠EAO+∠EBO+∠OAB=90°， ∠EA0+∠OAB=74°， ∴.∠EB0=16°， .∠ABE=∠EB0+∠OBA=16°+53°=69°， 故答案为：69. 【变式1-2】Rt△ABC中，∠ACB=90°，点O在AC上，以OC为半径的圆交AB于点D,交AC于点E. 且BD=BC, 5/79 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D E (I)求证：AB是⊙O的切线： ②连接OB交0于点F,若4D=3,板=5，求CF的长 【答案】(1)见解析 23 3 【分析】 【详解】(1)证明：连接OD, B D A C BD=BC OB=OB 在 和 中， △OBD △OBC OD=OC' ∴△OBD≌△OBC(SSS) .∠ODB=∠0CB=90°： OD为⊙O的半径， :AB是⊙O的切线： (2)解：∠ODB=90°， .∠ODA=90°， 设⊙O的半径为x, 在Rt△AOD中，AO2=OD2+AD2, 6/79 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 即(x+5=2+32,解得x=5, :0D=0C=√50A=2W3 六cos∠AOD=OD1 OA2· .LAOD=60°， △OBD≌△OBC, .∠BOD=∠COF=60°， 孤CF的长为60x5-V5r 1803 【点睛】本题考查了切线的判定，勾股定理，三角函数的定义，弧长公式.正确引出辅助线解决问题是解 题的关键. 【变式1-3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB中点，E是BC上的动点（不与端点B,C重 合)，连接AE与CD交于点F,过E,F,D三点的圆与BD交于点G(不与B,D重合)，连接EG. (I)若CE=CF,∠B=50°，求∠EGD的度数： CE1EF (②)若BE2,求AF的值： (3)求证：EG+EF=AF 【答案】(1)65 EF 1 (②)AF3 (3)见解析 【分析】 【详解】(I)解：~D是斜边AB上的中点， :CD=BD, 7/79 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠DCE=∠B=50°， .CE=CF, .ZCFE=ZCEF180-ZDCE)=65 :四边形EFDG内接于圆， ∴.∠EGD=∠CFE=65°： (2)如图，过E作EH∥CD交BD于点H, F D H G B CE 1 .:EH∥CD BE 2 DH CE 1 BHBE2· AD=BD, .DH=1 AD 3, .:EH∥CD EF_DH_⊥ AF AD 3 (3)如图，过B作BM∥CD,交AE延长线于点M,在BD上作BH=BM, M E A1 :BM∥CDAD=DB AF AD FM DB 1, .AF FM, :BM∥CD, 8/79 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠MBE=∠DCB=∠CBD,∠M=∠CFE=∠EGD, 又，BM=BH,BE=BE, ∴.△EMB≌△EHB(SAS) .EH=EM,∠EHG=∠M=∠EGH, :EH=EG, ∴.EG+EF=EM+EF=FM=AF 【点睛】本题主要考查了圆内接四边形、直角三角形的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质、平 行线分线段成比例定理、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键。 类型二、圆与相似三角形的综合 【例3】如图，在Rt△ABC中，∠ABC=9O°，以AB的中点O为圆心，AB为直径的圆交AC于D,E是 BC的中点，DE交BA的延长线于F. (I)求证：FD是圆O的切线： (2)若BC=4,FB=8,求AB的长. 【答案】(1)见解析 (2②B=Vi7-1 【分析】 【详解】(1)证明：连接OD,如图： 9/79 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由题可知∠ABC=90°， :AB为直径， ∴.∠ADB=∠BDC=90°， :点E是BC的中点， .DE-BEC .∠EDC=∠ECD. 又：∠ECD+∠CBD=90°，∠ABD+∠CBD=90°， ∴.∠ECD=∠ABD, ,OB和OD是圆的半径， ∴.∠ODB=∠OBD ∴.∠ODB+∠BDE=∠EDC+∠BDE=9O°， 即∠ODE=90°， 故：FD是OO的切线. (2)解：由(1)可知BE=EC=DE=)BC=2 在RtaFBE中， FE=VFB2+BE2=V82+22=2√17 :.FD=FE-DE=27-2 又：在RtAFDO和Rt△FBE中∠FDO=∠FBE=90°，∠OFD=∠EFB, ∴.△FDO∽△FBE, ∴0品即202- 2W17-2_8 求得OD=厅-1 2 :B=20D=V7-1 【点睛】本题考查了圆的切线判定，直角三角形的性质，等边对等角，勾股定理，等角的余角相等，相似 三角形的判定和性质等，利用角的等量转化是解决本题的关键. 【例4】如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，O是AC上一点，以点O为圆心，OA长为半径，作圆交 AC于点F,BD是OO的切线，D是切点，连接OB交OO于点M,已知∠DBO=∠CBO. 10/79