11.1.5 旋转体课件-2024-2025学年高一下学期数学人教B版必修第四册

该高中数学课件聚焦圆柱、圆锥、圆台和球的概念、结构特征、性质及表面积，通过趣味情景导学引入，以问题探究为主线，从观察几何体生成规律到定义元素性质，再到表面积推导与应用，构建层层递进的学习支架。 其亮点在于以“思考”“想一想”驱动探究，引导学生用数学眼光观察空间图形，通过旋转生成定义培养数学思维，关联三者表面积公式体现逻辑联系。例题练习涵盖基础与综合，如球的截面、长方体与球切接问题，助力学生提升空间观念与推理能力，教师可借助其清晰结构高效教学。

11.1.5　旋转体 授课人：范忠香 数学人教B版必修四 这就是本节课所要学习的内容——圆柱、圆锥、圆台和球. 1.了解圆柱、圆锥、圆台和球的有关概念.（重点） 2.理解圆柱、圆锥、圆台和球及其简单组合体的结构特征. 3.掌握圆柱、圆锥、圆台和球的相关性质. （难点） 目标展示 思考1：下面的几何体与多面体不同，仔细观察这些几何体，它们有什么共同特点或生成规律？ 探究点1 圆柱、圆锥、圆台 直角三角形 直角梯形 圆柱 圆锥 圆台 矩形 思考2：上述几何体分别是由什么图形经过怎样旋转形成的？ 圆柱O′O 圆锥SO 圆台O′O 1.圆柱、圆锥、圆台的定义： 分别以矩形的一边、直角三角形的一直角边、直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，将矩形、直角三角形、直角梯形分别旋转一周而形成的曲面所围成的几何体， 叫做圆柱，圆锥，圆台. 用类似圆柱、圆锥、圆台的围绕着旋转轴旋转形成方式构成的几何体都是旋转体． 圆柱 圆锥 圆台 轴: 侧面: 底面 垂直于轴的边旋转而成的圆面. 不垂直于轴的边旋转而成的曲面. 母线: 可以旋转成侧面的这条不垂直于轴的边. 旋转前不动的一边所在的直线. 轴 底面: 母线 2.旋转体的元素 母线 母线 上底面 下底面 性质1：平行于底面的截面都是圆. 性质2：过轴的截面（轴截面）分别是全等 的矩形、等腰三角形、等腰梯形. 1.平行于圆柱，圆锥，圆台的底面的截面是什么图形？ 2.过圆柱、圆锥、圆台的旋转轴的截面是什么图形？ 【想一想】 圆 柱 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱． A A′ O O′ 圆柱 旋转轴 底面 侧面 母线 圆柱的表示方法： 用表示它的轴的字母表示，如圆柱OO. 圆 柱 圆柱的性质： （1）圆柱的底面是_________________，圆的半径等于矩形的边的长，两圆所在的平面互相平行； （2）通过轴的各个截面是叫做轴截面，轴截面是________； （3）母线___________，它们都垂直于底面，它们的长等于圆柱的___. 圆面 矩形 平行且相等 高 例1.圆柱的轴截面是正方形，它的面积为9 ,求圆柱的高与底面的周长。 圆 柱 答案：h=3， c=2πr=3π 圆 锥 以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，将直角三角形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥. 圆锥的表示方法： 用表示它的轴的字母表示，如圆锥SO. 顶点 A B 底面 轴 侧面 母线 S O 圆 锥 圆锥的性质： （1）圆锥的底面是______，圆的半径就是直角边的长，底面和轴垂直； （2）平行于底面的截面是 ____； （3）通过轴的各个截面是轴截面，各轴截面是___________； （4）母线都过顶点且相等，各母线与轴的夹角相等。 圆面 圆面 等腰三角形 例2 圆锥的轴截面是正三角形，它的面积是 , 求圆锥的高与母线的长。 (h= ，l=2) 圆 锥 圆 台 上底面 轴 侧面 母线 下底面 用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分，这样的几何体叫做圆台。 圆台的表示方法：如圆台OO。 O O/ 圆 台 圆台的性质 （1）圆台的底面是_________，两圆所在的平面互相平行又都和轴垂直； （2）平行于底面的截面是____； （3）通过轴的各个截面是轴截面，各轴截面是全等的 ________； （4）母线都相等，各母线延长后都 ________ 。 圆面 圆面 等腰梯形 相交于一点 三者之间的关系 上底缩小 上底扩大 圆柱体 圆锥体 圆台体 学以致用 例4 用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上下底面半径的比是1:4，截去的圆锥的母线长是3cm,求圆台的母线长. 学以致用 解：设圆台的母线为l，截得的圆锥底面与原圆锥底面半径分别是r，4r，根据相似三角形的性质得 解得l=9. 所以，圆台的母线长为9cm. 思考3：观察圆柱、圆锥、圆台，若用剪刀沿着各自的母线将其裁剪，画出 其侧面展开图，并推导出表面积. 圆柱的侧面展开图是矩形 O 圆柱 侧面积：S侧＝2πrl 表面积：S＝2πr2＋2πrl 圆锥的侧面展开图是扇形 O 圆锥 侧面积：S侧＝πrl 表面积：S＝πr2＋πrl 侧面展开图以及侧面积 例4 (1)圆锥的母线长为5,底面半径为3,则其侧面积等于(　　) A.15 B.15π C.24π D.30π 解析:S侧=πrl=π×3×5=15π.故选B. 答案:B (2)圆柱的侧面展开图是邻边长分别为6π和4π的矩形,则圆柱的表面积为( ) A.6π(4π+3)B.8π(3π+1)C.6π(4π+3)或8π(3π+1)D.6π(4π+1)或8π(3π+2) 侧面展开图以及侧面积 解析:圆柱的侧面积S侧=6π×4π=24π2.由于圆柱的底面周长和母线长不明确,因此进行分类讨论:①长为6π的边为母线时,4π为圆柱的底面周长,则2πr=4π,即r=2,∴S底=4π,∴S表=S侧+2S底=24π2+8π=8π(3π+1);②长为4π的边为母线时,6π为圆柱的底面周长,则2πr=6π,即r=3.∴S底=9π,∴S表=S侧+2S底=24π2+18π=6π(4π+3).故选C. 答案:C (3)如图所示,圆台的上、下底半径和高的比为1∶4∶4,母线长为10,则圆台的侧面积为(　) A.81π B.100π C.14π D.169π 解析:圆台的轴截面如图, 设上底半径为r,则下底半径为4r,高为4r. 因为母线长为10,所以在轴截面等腰梯形中, 有102=(4r)2+(4r-r)2.解得r=2. 所以S圆台侧=π(r+4r)·10=100π.故选B. 答案:B 侧面展开图以及侧面积 O O′ 圆台的侧面展开图是扇环 圆台 侧面积：S侧＝π(r＋r′)l 表面积：S＝πr2＋πr′2＋π(r＋r′)l 小扇形的半径： . O O′ 圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？ r′＝r 上底扩大 O r′＝0 上底缩小 O 【思考】 S＝πr2＋πr′2＋π(r＋r′)l S＝πr2＋πrl S＝2πr2＋2πrl 球 探究点 球 球 （1）从数学的角度应该怎样来刻画球面？ （2）球面可以通过什么图形旋转得到？ 球面可以看成一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面；球面围成的几何体，称为球.球也是一个旋转体. 由球面的形成过程可看出，球面可以看成空间中到一个定点的距离等于定长的点的集合. 思考1：圆可以看成平面上到定点的距离等于定长的点的集合，类比圆，球面上的点有怎样的性质？ 球面可以看成空间中到一个定点的距离等于定长的点的集合； 半圆 球 思考2：球是由什么图形经过怎样旋转形成的？ 球 球的有关概念 形成球的半圆的圆心叫做球心。 连接球面上一点和球心的线段叫做球的半径。 连接球面上两点且过球心的线段叫做球的直径。 球心O O 球的半径 A B 球的表示 用球心字母表示。如：球O 球 问题3.球的轴截面是什么平面图形？ O 用一个平面去截球体得到的截面是什么图形？ 　　　 用一个平面去截球体得到的截面是一个圆面. 球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的大圆；被不经过球心的平面截得的圆叫做球的小圆. 【想一想】 当用刀去切一个球形的西瓜时所得到的截面是什么形状？ 球 （1）球面被经过球心的平面截得的圆称为球的大圆.此时，大圆的半径等于球的半径. （2）球面被不经过球心的平面截得的圆称为球的小圆. 球 例5. 一个球内有相距9 cm的两个平行截面，它们的面积分别为49π cm2和400π cm2，求球的表面积． 球 解　(1)当截面在球心的同侧时， 如图①所示为球的轴截面，由截面性质知AO1∥BO2， O1，O2为两截面圆的圆心，且OO1⊥AO1，OO2⊥BO2， 设球的半径为R， ∵π(O2B)2＝49π，∴O2B＝7 cm， 同理得：O1A＝20 cm. 设OO1＝x，则OO2＝(x＋9) cm， 在Rt△O1OA中，R2＝x2＋202，① 在Rt△OO2B中，R2＝72＋(x＋9)2，② 联立①②可得x＝15，R＝25. ∴S球＝4πR2＝2 500π cm2， 故球的表面积为2 500π cm2. 球 经线：当我们把地球看成一个球时，经线就是 球面上从北极到南极的半个大圆，经度取值区 间为 纬线：赤道是一个大圆，其余的纬线都是小圆，纬度取值区间为 把地球看成一个半径为6370km的球，已知我国首都北京靠近北纬40°， 求北纬40°纬线的长度( π≈3.1416，cos40°≈0.7660，结果精确到1km) 作出截面图，如图所示， 设A是北纬40°圈上的一点，AK是北纬40°圈的半径，O为球心， 所以OK⊥AK. 设北纬40°的纬线长为ckm，因为∠AOB=∠OAK=40°， 所以 即北纬40°的纬线长约为30658km. 例2 解析 3.球的表面积 柱、锥的表面都可展开放在平面内，这样我们就可以根据平面图形的性质，求它们的表面积.但球面不能展平成平面，我们要用其他方法求它的表面积： 分 割 近似求和 化为准确和 已知一个长方体的8个顶点都在一个球面上，且长方体的棱长为3，4，5，求球的表面积. 所以所求的球的表面积为： 分析：确定满足到长方体的8个顶点都相等的点即为球心. 由题设可知，长方体的体对角线的中点的就是球心， 例3 解析 又因为 已知一个正方体的棱长为2.正方体的八个顶点均在同一球面上，求此球的表面积． 所以正方体的外接球直径等于正方体的对角线长，即 ∴球的表面积 解：正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面，如图， 跟踪训练 长方体、正方体与球切、接的常用结论： ①长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则 ②正方体的棱长为a，则正方体的外接球的半径 ，正方体的内切球的半径为 ，球与正方体的各棱相切，则球的半径为 6.（1）若棱长为2的正方体的各个顶点均在同一球面上，求此球的表面积． （2）将条件改为“球与棱长为2的正方体的面都相切”，如何求解？ 如图，设OO′＝d，球的半径为R， 则小圆的半径 ＝eq \r(R2－d2). 1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)矩形绕其一边所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是圆柱． (　　) (2)以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台． (　　) (3)用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台． (　　) [解析]　(1)正确；(2)错误，应以直角梯形的垂直于底边的腰为轴；(3)错误，应是平面与圆锥底面平行． 2．正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周，所得几何体是(　　) A．圆柱　　　　　 B．圆锥 C．圆台 D．两个圆锥 D　[连接正方形的两条对角线知对角线互相垂直，故绕对角线旋转一周形成两个圆锥．] 3．关于圆台，下列说法正确的是________． ①两个底面平行且全等； ②圆台的母线有无数条； ③圆台的母线长大于高； ④两底面圆心的连线是高． ②③④　[圆台的上底面和下底面是两个大小不同的圆，则①不正确，②③④正确．] 4．一个圆锥的母线长为20 cm，母线与轴的夹角为30°，则圆锥的高为________cm. 10eq \r(3)　[如图是圆锥的轴截面， 则SA＝20 cm，∠ASO＝30°， ∴AO＝10 cm，SO＝10eq \r(3) cm.] 5．已知一个圆柱的轴截面是一个正方形且其面积是Q，求此圆柱的底面半径． [解]　设圆柱底面半径为r，母线为l，则由题意得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2r＝l，,2r·l＝Q，))解得r＝eq \f(\r(Q),2). 所以此圆柱的底面半径为eq \f(\r(Q),2). 解　正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面，如图， 所以正方体的外接球直径等于正方体的对角线长，即2R＝eq \r(22＋22＋22)， 所以R＝eq \r(3). ∴球的表面积S＝4π×(eq \r(3))2＝12π. 解　正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是六个 面(正方形)的中心，经过四个切点及球心作截面，如图， 所以球的直径是正方体的棱长，即2R＝2，∴R＝1， ∴球的表面积S＝4π×12＝4π. $