专项突破05 代数式的概念与整式的加减（知识技巧点拨+16种高频考察题型 共48题）期中培优讲练-2025-2026学年北师大版数学七年级上册考前冲刺

专项突破05 代数式的概念与整式的加减 （知识技巧点拨+16种高频考察题型 共48题） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：代数式 2 知识点梳理02：列代数式 2 知识点梳理03：代数式求值 3 知识点梳理04：整式 3 知识点梳理05：单项式 3 知识点梳理06：多项式 3 知识点梳理07：同类项 4 知识点梳理08：合并同类项 4 知识点梳理09：去括号法则 4 知识点梳理10：添括号法则 5 知识点梳理11：整式的加减运算法则 5 优选题型 考点讲练 5 题型1 代数式书写方法 5 题型2 已知字母的值，求代数式的值 6 题型3 已知式子的值，求代数式的值 7 题型4 程序流程图与代数式求值 7 题型5 用代数式表示数、图形的规律 8 题型6 已知同类项求指数中字母或代数式的值 9 题型7 合并同类项 10 题型8 整式的加减运算 11 题型9 整式的减中的化简求值 12 题型10 整式动减中的无关型问题 13 题型11 整式加减的应用 15 题型12 单项式规律题 17 题型13 将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 18 题型14 数字类规律探索 19 题型15 图形类规律探索 20 题型16 带有字母的绝对值化简问题 22 知识点梳理01：代数式 代数式：代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子．单独的一个数或者一个字母也是代数式．例如：ax+2b，﹣13，2b3，a+2等．带有“＜（≤）”“＞（≥）”“＝”“≠”等符号的不是代数式． 注意：①不包括等于号（＝）、不等号（≠、≤、≥、＜、＞、≮、≯）、约等号≈． ②可以有绝对值．例如：|x|，|﹣2.25|等． 知识点梳理02：列代数式 （1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式． （2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换． 【规律方法】列代数式应该注意的四个问题 1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量． 2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或者省略不写． 3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数． 4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式． 知识点梳理03：代数式求值 （1）代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值． （2）代数式的求值：求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值． 题型简单总结以下三种： ①已知条件不化简，所给代数式化简； ②已知条件化简，所给代数式不化简； ③已知条件和所给代数式都要化简． 知识点梳理04：整式 （1）概念：单项式和多项式统称为整式． 他们都有次数，但是多项式没有系数，多项式的每一项是一个单项式，含有字母的项都有系数． （2）规律方法总结： ①对整式概念的认识，凡分母中含有字母的代数式都不属于整式，在整式范围内用“+”或“﹣”将单项式连起来的就是多项式，不含“+”或“﹣”的整式绝对不是多项式，而单项式注重一个“积”字． ②对于“数”或“形”的排列规律问题，用先从开始的几个简单特例入手，对比、分析其中保持不变的部分及发展变化的部分，以及变化的规律，尤其变化时与序数几的关系，归纳出一般性的结论． 知识点梳理05：单项式 （1）单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式． 用字母表示的数，同一个字母在不同的式子中可以有不同的含义，相同的字母在同一个式子中表示相同的含义． （2）单项式的系数、次数 单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数． 在判别单项式的系数时，要注意包括数字前面的符号，而形如a或﹣a这样的式子的系数是1或﹣1，不能误以为没有系数，一个单项式的次数是几，通常称这个单项式为几次单项式． 知识点梳理06：多项式 （1）几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数． （2）多项式的组成元素的单项式，即多项式的每一项都是一个单项式，单项式的个数就是多项式的项数，如果一个多项式含有a个单项式，次数是b，那么这个多项式就叫b次a项式． 知识点梳理07：同类项 用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子叫做代数式.单独的一个数或字母也是代数式. 【名师点拨】 1)判断是否同类项的两个条件：①所含字母相同；②相同字母的指数分别相等，同时具备这两个条件的项是同类项，缺一不可． (2)同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关． (3)一个项的同类项有无数个，其本身也是它的同类项． 知识点梳理08：合并同类项 1. 概念：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项． 2．法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变． 【名师点拨】 合并同类项的根据是乘法分配律的逆运用，运用时应注意： (1)不是同类项的不能合并，无同类项的项不能遗漏,在每步运算中都含有． (2) 合并同类项，只把系数相加减，字母、指数不作运算. 知识点梳理09：去括号法则 如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同； 如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反． 【名师点拨】 (1)去括号法则实际上是根据乘法分配律推出的：当括号前为“+”号时，可以看作+1与括号内的各项相乘；当括号前为“-”号时，可以看作-1与括号内的各项相乘． （2）去括号时，首先要弄清括号前面是“+”号，还是“-”号，然后再根据法则去掉括号及前面的符号． (3)对于多重括号，去括号时可以先去小括号，再去中括号，也可以先去中括号．再去小括号．但是一定要注意括号前的符号． （4）去括号只是改变式子形式，但不改变式子的值，它属于多项式的恒等变形． 知识点梳理10：添括号法则 添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号； 添括号后，括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要改变符号． 【名师点拨】 (1)添括号是添上括号和括号前面的符号，也就是说，添括号时，括号前面的“+”号或“-”号也是新添的，不是原多项式某一项的符号“移”出来得到的． (2)去括号和添括号是两种相反的变形，因此可以相互检验正误： 如：， 知识点梳理11：整式的加减运算法则 一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项． 【名师点拨】 （1）整式加减的一般步骤是：①先去括号；②再合并同类项． （2）两个整式相加减时，减数一定先要用括号括起来． (3)整式加减的最后结果中：①不能含有同类项，即要合并到不能再合并为止；②一般按照某一字母的降幂或升幂排列；③不能出现带分数，带分数要化成假分数． 题型1 代数式书写方法 1．（24-25七年级上·上海宝山·期中）下列代数式中，符合代数式书写要求的有（） （1）；（2）；（3）；（4）；（5） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（22-23七年级上·浙江宁波·期中）下列式子中，符合代数式书写要求的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·吉林·期中）下列书写∶①；②；③；④；⑤；⑥ 千克中，正确的有 ．（填写序号即可） 题型2 已知字母的值，求代数式的值 4．（25-26七年级上·河北邯郸·阶段练习）根据所给的条件，求出各式的值： (1)若，求的值 (2)已知，且，求的值． 5．（25-26七年级上·全国·期中）若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2． (1)直接写出的值； (2)求的值． 6．（25-26七年级上·安徽亳州·阶段练习）数轴是一个非常重要的数学工具，通过数轴可以把数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，是建立“数形结合思想”的基础．如图，以为1个单位长度，用直尺画数轴，数轴上从左到右依次有，，三点，且数轴上点、点和点刚好对着刻度尺上的刻度2、刻度8和刻度10． (1)若数轴上点和点这两点所表示的数互为相反数，则数轴上原点对着直尺上的刻度是，点在数轴上所表示的数是________． (2)若点在数轴上所表示的数是，分别求出点、点在数轴上所表示的数． (3)若数轴上，，三点在数轴上所表示的数分别为，，，当点到原点的距离为2026时，求的值． 题型3 已知式子的值，求代数式的值 7．（25-26七年级上·湖南长沙·阶段练习）已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，数轴上表示数m的点与表示数的点距离为4． (1)若，那么b，d的值是多少？ (2)求的值． 8．（25-26七年级上·四川南充·阶段练习）定义为二阶行列式，规定它的运算法则为，那么当时，二阶行列式的值为 ． 9．（25-26七年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）如果有理数a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为，求的值． 题型4 程序流程图与代数式求值 10．（25-26七年级上·河北石家庄·阶段练习）如图是一个“数值转换机”的示意图．若，，则输出结果为 ． 11．（25-26七年级上·山东青岛·阶段练习）如图是一个“数值转换机”，若开始输入x的值为26，第1次输出的结果为27，则第2025次输出的结果是 ． 12．（2023七年级上·河南漯河·竞赛）有一个数值转换器，原理如图所示，若开始输入x的值是3，可发现第1次输出的结果是10，第2次输出的结果是5，第3次输出的结果是16，依次继续下去…，第101次输出的结果是（   ） A．8 B．4 C．2 D．1 题型5 用代数式表示数、图形的规律 13．（2025七年级上·江苏·专题练习）如图，由若干根火柴棒拼成小金鱼的图形： （1）拼1条金鱼需要 根火柴； （2）拼3条金鱼需要 根火柴； （3）拼n条金鱼需要 根火柴． 14．（25-26七年级上·江西上饶·阶段练习）观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：    (1)在④后面的横线上写出相应的等式：①；②；③；④ ； (2)请猜想 ； (3)请用上述规律计算：． 15．（25-26七年级上·北京·阶段练习）观察下列各数，找出规律后填空： (1)，，，，，，……，第个数是_____． (2)，，，，…，第个数是_____． (3)，，，，，…，第个数是_____． 题型6 已知同类项求指数中字母或代数式的值 16．（24-25七年级上·广东揭阳·期末）若关于x，y的单项式与的差仍为单项式，则 ． 17．（24-25七年级上·福建厦门·期中）若单项式与是同类项．试求多项式的值？ 18．（22-23七年级上·江苏苏州·期末）已知与为同类项，数轴上两点A，B对应的数分别为a，b． (1) ______， ______，线段______； (2)若数轴上有一点C，使得，点M为的中点，求的长______； (3)有一动点G从点A出发，以3个单位每秒的速度向右方向运动，同时动点H从点B出发，以1个单位每秒的速度在数轴上作同方向运动，设运动时间为t秒（），点D为线段的中点，点F为线段的中点，点E在线段上且，在G，H的运动过程中，求的值______（用含t的代数式表示） 题型7 合并同类项 19．（25-26七年级上·山东青岛·阶段练习）小红做一道数学题：“两个多项式，，已知为，试求的值”时．小红误将看成，结果答案为（计算过程正确）． (1)试求的正确结果； (2)当时，求的值． 20．（25-26七年级上·福建福州·阶段练习）一个点从数轴的原点开始，先向左移动4个单位到达A点，再向右移6个单位到达C点；接着将数轴折叠，使点A和点C重合，折点记为B；最后将数轴展开． (1)直接写出A，B，C三点所表示的数A______，B______，C______； (2)动点P从点C出发，以每秒个单位长度向左运动； ①求秒后动点P与点B之间的距离； ②动点Q，M分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度从A，B两点与点P同时出发，同向而行．记Q与M两点之间的距离为，M与P两点之间的距离为．这三个点在运动过程中，是否存在为定值，若存在，请求出该值，若不存在，请说明理由． 21．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段练习）已知在数轴上的位置如图： (1)①用“<”或“>”填空： 0， 0； ②填空： ， ； (2)化简：； (3)若，且与的距离和c与的距离相等，则 ． 题型8 整式的加减运算 22．（25-26七年级上·山东青岛·阶段练习）计算或化简求值： (1)． (2)． (3)． (4)． (5)先化简，再求值：，其中，． 23．（23-24八年级上·全国·期末）已知，． (1)化简； (2)当，，求的值； (3)若的值与y的取值无关，求的值． 24．（24-25七年级上·河南驻马店·期末）已知，晓风错将“”看成“”，算得结果． (1)计算的表达式； (2)求正确的结果的表达式； (3)晓华说（2）中的结果的大小与的取值无关，对吗？若，，求（2）中代数式的值． 题型9 整式的减中的化简求值 25．（25-26七年级上·辽宁·阶段练习）如图1，是由两个圆柱体组成的瓶子，瓶内盛满水，两个圆柱体的底圆直径分别为2a和a，高分别为6和2．如图2的底圆直径分别为，高为8．如果将图1瓶子中的水全部倒入图2的杯子中（尽可能的装满）． (1)当时，试求一共需要多少个图2这样的杯子． (2)直接回答当时，一共需要多少个图2这样的杯子． 26．（25-26七年级上·全国·课后作业）在数学课上，王老师出示了这样一道题目：“当时，求多项式的值．”解完这道题后，小明指出是多余的条件．师生讨论后，一致认为小明的说法是正确的． (1)请你说明小明的说法是正确的理由． (2)接着王老师又出示了一道题：“设为常数，关于的多项式，并且所得的差是关于的一次多项式，求代数式的值．”请你解决这道题． 27．（25-26七年级上·全国·课后作业）有这样一道题：当，时，求多项式的值． 小明说：“本题中‘，’是多余的条件．”小强马上反对说：“这不可能，多项式中含有a和b，不给出a，b的值，怎么能求出多项式的值呢？” 你同意谁的观点？请说明理由． 题型10 整式动减中的无关型问题 28．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，长为，宽为的大长方形被分割为7小块，除阴影，外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法中正确的是（　　） ①小长方形的较长边为； ②阴影的较短边和阴影的较短边之和为； ③若为定值，则阴影和阴影的周长和为定值； ④若时，则阴影的周长比阴影的周长少． A． ①③ B．②④ C．①④ D．①③④ 29．（25-26七年级上·重庆·阶段练习）某家具厂设计一款新中式屏风，结构如下：屏风整体为长方形，其中包含3个形状、大小完全相同的“梅花”艺术造型．每个“梅花”造型是由1个正方形和4个半圆形构成，该造型采用艺术玻璃制作，屏风其余部分使用实木材料（本题中取3，长度单位为米）．         (1)制作一扇该屏风需要多少平方米的艺术玻璃？需要多少平方米的实木材料？（请用含、的代数式表示） (2)某酒店需要定制50扇该屏风，在同等工艺的前提下，甲、乙两个厂商报价如下： 甲厂商：实木材料每平方米800元，艺术玻璃每平方米500元，总价打九折； 乙厂商：实木材料每平方米700元，艺术玻璃每平方米600元，且每购买1平方米实木材料赠送0.1平方米的艺术玻璃． 当，时，制作一扇该屏风分别需要多少平方米的艺术玻璃和实木材料？该酒店在哪家厂商购买屏风合算，最终总费用是多少元？ 30．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段练习）【背景介绍】：绝对值在初中数学中是一个基础核心概念和关键枢纽．它看似简单，但却是连接算术与代数、串联多种数学思想的重要节点． 【自主回忆】：（1）请写出一个你对绝对值的了解：________． 【引导思考1】：（2）分类讨论：如果，，求 【引导思考2】：几何意义：表示数、在数轴上对应的点、之间的距离 （3）如图表示数在数轴上四个点的位置关系，且它们表示的数分别为、、、．若，，，则的值是________． 【尝试应用】：（4）符号：表示：对于数轴上任一点，和是与点相距个单位长度的两点．如果点、是数轴上的两个动点，，（其中，）．两点同时从原点出发，点向左，点向右运动，当时，求点、之间的距离． 题型11 整式加减的应用 31．（24-25七年级上·安徽·期末）观察下列单项式：，，，，，，，写出第个单项式．为了解决这个问题，特提供下面解题思路： (1)这组单项式的系数的符号规律是 ；系数的绝对值规律是 ． (2)这组单项式的次数的规律是 ． (3)根据上面的归纳，可以猜想第个单项式是(只能填写一个代数式) ． (4)请你根据猜想，写出第个、第个单项式，它们分别是 、 ． 32．（24-25七年级上·江苏常州·期中）阅读下列材料，完成相应的任务： 一个含有多个字母的代数式中，如果任意交换两个字母的位置，代数式的值都不变，这样的代数式就叫做对称式．例如代数式中任意两个字母交换位置，可得到代数式、，因为，所以是对称式；而代数式中字母a、b交换位置，得到代数式，因为，所以不是对称式． 任务： (1)下列四个代数式中，是对称式的是_______（填序号即可）； ①；②；③；④；⑤ (2)写出一个只含有字母m，n的单项式，使该单项式是对称式，且次数为8次； (3)已知，求，并直接判断所得结果是否为对称式． 33．（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）阅读材料，解答问题： 一个含有多个字母的式子中，任意交换两个字母的位置，当字母的取值均不相等，且都不为0时，式子的值保持不变，这样的式子叫作对称式．例如：式子中两个字母交换位置，可得到，因为，所以是对称式．而式子中的字母，交换位置，得到式子，但是，所以不是对称式． (1)①；②；③，其中是对称式的是______；（填序号） (2)写出一个只含有字母，且次数为3的多项式，使该多项式是对称式：______； (3)已知，，求，并判断所得结果是否是对称式． 题型12 单项式规律题 34．（24-25七年级上·吉林长春·期末）有一列式子，按一定规律排列成，，，，，…，则第n个式子为（   ） A． B． C． D． 35．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）观察下列单项式： 第1个单项式：． 第2个单项式：． 第3个单项式：． 第4个单项式：． …… (1)第5个单项式为______． (2)第n个单项式为______（用含有n的式子表示）． (3)前3个（第1个到第3个）单项式中字母a，b的所有指数之和为，求前10个（第1个到第10个）单项式中字母a，b的所有指数之和． 36．（22-23七年级上·云南昆明·期末）在数学活动中，针对题目“按一定规律排列的单项式：，，．，，则第n个单项式是什么？” (1)首先杨老师给出如下四个引导问题： ①这组单项式中不变的是什么？直接写下来． ②这组单项式中系数的符号规律是什么？ ③这组单项式中系数的绝对值规律是什么？ ④这组单项式的次数规律是什么？ 同学们回答完四个问题后，继续进行了以下探究： ⑤猜想出第n个单项式是__________；（只用一个含n的式子表示，n是正整数） ⑥第2023个单项式是__________． (2)接着，数学学习小组对问题进行了迁移． 按一定规律排列的等式： 第一个等式：， 第二个等式：， 第三个等式：， 第四个等式：， …， 第n个等式是：__________（n是正整数）； (3)请你利用以上结论计算的值． 题型13 将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 37．（24-25七年级上·四川资阳·期末）下列说法：①实数在数轴上对应的点的位置如图所示，则；②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；③将多项式按b的升幂排列是；④若多项式化简后不含项，则k的值是．其中说法正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 38．（24-25七年级上·四川成都·期中）若一个多项式同时满足条件：①各项系数均为整数，②按某个字母“降幂排列”，③各项系数的绝对值从左到右也是“从大到小”排列，则称该多项式是这个字母的“和谐多项式”，简称该多项式是“和谐多项式”．例如：多项式是“和谐多项式”，多项式是y的“和谐多项式”． (1)把多项式按x的降幂排列，并判断它是不是“和谐多项式”？ (2)若关于a，b的多项式是b的“和谐多项式”，求k的值； (3)已知M，N均为关于x，y的三次三项式，其中，（m，n为整数），若新多项式是“和谐多项式”，且，求式子的值． 39．（24-25七年级上·全国·课后作业）已知关于x、y的多项式． (1)当时，该多项式的次数为__________，一次项为__________； (2)在（1）的条件下，若，求多项式的值； (3)我们称各项的次数都相同的多项式为齐次多项式，如就是齐次多项式，若多项式是齐次四项式，求的值； (4)若该多项式是一个六次三项式，求a的值，并把该多项式按x的升幂排列． 题型14 数字类规律探索 40．（25-26七年级上·重庆江北·期中）计算：的结果是 ． 41．（25-26七年级上·安徽淮北·阶段练习）某一动点在一条数轴上移动，第1次向数轴正方向移动1个单位长度，记作；第2次向数轴正方向移动2个单位长度，记作；第3次向数轴负方向移动3个单位长度，记作；第4次向数轴负方向移动4个单位长度，记作；第5次向数轴正方向移动5个单位长度，记作；第6次向数轴正方向移动6个单位长度，记作；第7次向数轴负方向移动7个单位长度，记作；第8次向数轴负方向移动8个单位长度，记作……直到第2026次移动后结束．若按照此规律，第2026次移动后，动点最终在数轴上的位置所表示的数是（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 42．（25-26七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们其持征上也可能相似的结论．在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：类比上述方法，解决以下问题． (1)猜想并写出：______． (2)探究并计算下列各式： ①； ② 题型15 图形类规律探索 43．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有6个圆点，第②个图中有10个圆点，第③个图中有14个圆点，…，按照这一规律，则第⑥个图中圆点的个数是（   ） A．24 B．26 C．28 D．30 44．（25-26七年级上·四川内江·阶段练习）在一次综合实践活动课上，张老师给每位同学发了一张边长为1的正方形纸片，请同学们思考如何通过折纸的方法求出的值． 【操作探究】“乘风”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作：如图，将边长为1的正方形纸片分割成7个部分，第①部分是边长为1的正方形纸片面积的一半，第②部分是第①部分面积的一半，第③部分是第②部分面积的一半，……，依次类推，则图中空白部分的面积为， “破浪”小组是这样思考的：设， 将等式两边同时乘得， 将上式减去下式得，即，即， 【过程思考】 (1)图中阴影部分的面积是 ， ； (2)根据以上规律，解答下列各题． ① ；（n为正整数） ② ．（n为正整数） 45．（25-26七年级上·江苏盐城·阶段练习）探索发现：；； 根据你发现的规律，回答下列问题： (1) ， ； (2)类比上述规律计算下列式子：； (3)拓展应用：我国古代数学家杨辉，曾将大小完全相同的圆弹珠逐层堆积、形成“三角垛”、图1有1颗弹珠：图2有3颗弹珠：图3有6颗弹珠，往下依次是第4个图，第5个图，…；若用表示图n的弹珠数，其中则 ． 题型16 带有字母的绝对值化简问题 46．（25-26七年级上·江苏徐州·阶段练习）【定义新知】我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离，因此，若点、在数轴上分别表示有理数、，则、两点之间的距离．若点表示的数为，请根据数轴解决以下问题：若点为数轴上一动点，点对应的数记为，请你利用数轴解决以下问题： （1）若点与表示有理数的点的距离是个单位长度，则的值为________； （2）利用数轴判断：的最小值为________； （3）利用数轴判断：的最小值为________； （4）利用数轴判断：的最大值为________； 【解决问题】如图，一条笔直的公路边有三个居民区，，在和市民广场，居民区，，分别位于市民广场左侧，右侧，右侧．居民区有居民有人喜欢购物，居民区有居民人喜欢购物，居民区有居民人喜欢购物．现因物流需要，需要在该公路上建菜鸟驿站，用于接收这个小区的快递，若快递的运输成本为元（千份·千米），那么菜鸟驿站建在何处才能使总运输成本最低，最低成本是多少? 47．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段练习）有理数a、b、c在数轴上的位置如图： (1)判断正负，用“”或“”填空：_____________________0． (2)化简： 48．（25-26七年级上·甘肃武威·阶段练习）我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离． (1)①数轴上表示1和的两点之间的距离是______； ②数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是______． (2)探索规律： ①当有最小值是______． ②当有最小值是______． ③当有最小值是______； (3)规律应用 工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着9个工作台A、B、C、D、E、F、G、H、I，一个配件箱应该放在哪个工作台处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短？最短路程是多少米？ (4)知识迁移 最大值是______，最小值是______． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项突破05 代数式的概念与整式的加减 （知识技巧点拨+16种高频考察题型 共48题） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：代数式 2 知识点梳理02：列代数式 2 知识点梳理03：代数式求值 3 知识点梳理04：整式 3 知识点梳理05：单项式 3 知识点梳理06：多项式 3 知识点梳理07：同类项 4 知识点梳理08：合并同类项 4 知识点梳理09：去括号法则 4 知识点梳理10：添括号法则 5 知识点梳理11：整式的加减运算法则 5 优选题型 考点讲练 5 题型1 代数式书写方法 5 题型2 已知字母的值，求代数式的值 7 题型3 已知式子的值，求代数式的值 9 题型4 程序流程图与代数式求值 12 题型5 用代数式表示数、图形的规律 14 题型6 已知同类项求指数中字母或代数式的值 17 题型7 合并同类项 19 题型8 整式的加减运算 22 题型9 整式的减中的化简求值 26 题型10 整式动减中的无关型问题 28 题型11 整式加减的应用 32 题型12 单项式规律题 35 题型13 将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 38 题型14 数字类规律探索 41 题型15 图形类规律探索 44 题型16 带有字母的绝对值化简问题 48 知识点梳理01：代数式 代数式：代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子．单独的一个数或者一个字母也是代数式．例如：ax+2b，﹣13，2b3，a+2等．带有“＜（≤）”“＞（≥）”“＝”“≠”等符号的不是代数式． 注意：①不包括等于号（＝）、不等号（≠、≤、≥、＜、＞、≮、≯）、约等号≈． ②可以有绝对值．例如：|x|，|﹣2.25|等． 知识点梳理02：列代数式 （1）定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式． （2）列代数式五点注意：①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辩析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分． ②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系． ③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用． ⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换． 【规律方法】列代数式应该注意的四个问题 1．在同一个式子或具体问题中，每一个字母只能代表一个量． 2．要注意书写的规范性．用字母表示数以后，在含有字母与数字的乘法中，通常将“×”简写作“•”或者省略不写． 3．在数和表示数的字母乘积中，一般把数写在字母的前面，这个数若是带分数要把它化成假分数． 4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除号），而是写成分数的形式． 知识点梳理03：代数式求值 （1）代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值． （2）代数式的求值：求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值． 题型简单总结以下三种： ①已知条件不化简，所给代数式化简； ②已知条件化简，所给代数式不化简； ③已知条件和所给代数式都要化简． 知识点梳理04：整式 （1）概念：单项式和多项式统称为整式． 他们都有次数，但是多项式没有系数，多项式的每一项是一个单项式，含有字母的项都有系数． （2）规律方法总结： ①对整式概念的认识，凡分母中含有字母的代数式都不属于整式，在整式范围内用“+”或“﹣”将单项式连起来的就是多项式，不含“+”或“﹣”的整式绝对不是多项式，而单项式注重一个“积”字． ②对于“数”或“形”的排列规律问题，用先从开始的几个简单特例入手，对比、分析其中保持不变的部分及发展变化的部分，以及变化的规律，尤其变化时与序数几的关系，归纳出一般性的结论． 知识点梳理05：单项式 （1）单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式． 用字母表示的数，同一个字母在不同的式子中可以有不同的含义，相同的字母在同一个式子中表示相同的含义． （2）单项式的系数、次数 单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数． 在判别单项式的系数时，要注意包括数字前面的符号，而形如a或﹣a这样的式子的系数是1或﹣1，不能误以为没有系数，一个单项式的次数是几，通常称这个单项式为几次单项式． 知识点梳理06：多项式 （1）几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数． （2）多项式的组成元素的单项式，即多项式的每一项都是一个单项式，单项式的个数就是多项式的项数，如果一个多项式含有a个单项式，次数是b，那么这个多项式就叫b次a项式． 知识点梳理07：同类项 用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子叫做代数式.单独的一个数或字母也是代数式. 【名师点拨】 1)判断是否同类项的两个条件：①所含字母相同；②相同字母的指数分别相等，同时具备这两个条件的项是同类项，缺一不可． (2)同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关． (3)一个项的同类项有无数个，其本身也是它的同类项． 知识点梳理08：合并同类项 1. 概念：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项． 2．法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变． 【名师点拨】 合并同类项的根据是乘法分配律的逆运用，运用时应注意： (1)不是同类项的不能合并，无同类项的项不能遗漏,在每步运算中都含有． (2) 合并同类项，只把系数相加减，字母、指数不作运算. 知识点梳理09：去括号法则 如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同； 如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反． 【名师点拨】 (1)去括号法则实际上是根据乘法分配律推出的：当括号前为“+”号时，可以看作+1与括号内的各项相乘；当括号前为“-”号时，可以看作-1与括号内的各项相乘． （2）去括号时，首先要弄清括号前面是“+”号，还是“-”号，然后再根据法则去掉括号及前面的符号． (3)对于多重括号，去括号时可以先去小括号，再去中括号，也可以先去中括号．再去小括号．但是一定要注意括号前的符号． （4）去括号只是改变式子形式，但不改变式子的值，它属于多项式的恒等变形． 知识点梳理10：添括号法则 添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号； 添括号后，括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要改变符号． 【名师点拨】 (1)添括号是添上括号和括号前面的符号，也就是说，添括号时，括号前面的“+”号或“-”号也是新添的，不是原多项式某一项的符号“移”出来得到的． (2)去括号和添括号是两种相反的变形，因此可以相互检验正误： 如：， 知识点梳理11：整式的加减运算法则 一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项． 【名师点拨】 （1）整式加减的一般步骤是：①先去括号；②再合并同类项． （2）两个整式相加减时，减数一定先要用括号括起来． (3)整式加减的最后结果中：①不能含有同类项，即要合并到不能再合并为止；②一般按照某一字母的降幂或升幂排列；③不能出现带分数，带分数要化成假分数． 题型1 代数式书写方法 1．（24-25七年级上·上海宝山·期中）下列代数式中，符合代数式书写要求的有（） （1）；（2）；（3）；（4）；（5） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【思路引导】本题考查代数式的写法，根据在含有字母的式子中如果出现乘号“”，通常将乘号写作“”或省略不写，解题的关键是正确理解代数式的书写要求，数字与字母相乘时，数字写在字母前． 【规范解答】解：（1）应书写成，书写形式不规范，不符合题意； （2）应书写成，书写形式不规范，不符合题意； （3）书写形式规范，符合题意； （4）书写形式规范，符合题意； （5）应书写成，书写形式不规范，不符合题意； ∴符合书写要求的有2个， 故选：． 2．（22-23七年级上·浙江宁波·期中）下列式子中，符合代数式书写要求的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】根据代数式的书写要求： 1、书写顺序：在乘积形式的代数式中，数字放在字母前面，字母按英文字母顺序排列，数字和字母放在括号前面，多个括号要把简单的放在复杂的前面； 2、带分数系数的处理方法：系数是带分数的要将其转化为假分数； 3、乘号的处理方法：数字与字母、字母与字母、数字与括号、字母与括号、括号与括号之间的乘号通常简写成点，或省略不写；但数字与数字之间的乘号既不能写成点，也不能省略不写； 4、除号的处理方法：当代数式中出现了除法运算时，要利用除法与分数的关系将其转化为分数形式； 5、带单位的代数式书写要求：用加号或减号连接的和差形式的代数式带单位时，要把代数式括起来，后面注明单位；据此即可一一判定． 【规范解答】解：A.正确的书写为或，故该选项不符合要求； B.正确的书写为或，故该选项不符合要求； C.符合代数式的书写要求，故该选项符合要求； D.正确的书写为，故该选项不符合要求； 故选：C． 【考点剖析】本题考查了代数式的书写要求，熟练掌握和运用代数式的书写要求是解决本题的关键． 3．（24-25七年级上·吉林·期中）下列书写∶①；②；③；④；⑤；⑥ 千克中，正确的有 ．（填写序号即可） 【答案】③ 【思路引导】本题考查代数式书写规范，根据数字与字母之间乘号省略不写，数字在前字母在后，分数写成假分数，多项式与单位之间要加括号逐个判断即可得到答案； 【规范解答】解：应写成，不符合题意， 应写成，不符合题意， 书写规范符合题意， 应写成，不符合题意， 应写成，不符合题意， 千克应写成千克，不符合题意， 故答案为：③． 题型2 已知字母的值，求代数式的值 4．（25-26七年级上·河北邯郸·阶段练习）根据所给的条件，求出各式的值： (1)若，求的值 (2)已知，且，求的值． 【答案】(1) (2)或 【思路引导】本题考查了相反数、绝对值、乘方、有理数减法和乘法，解题的关键是熟练掌握相反数、绝对值、乘方、有理数减法和乘法的法则． （）根据非负数的性质列等式，计算得和的值，然后代入即可求解； （2）根据绝对值和有理数乘法的性质，即可得到和的值，再通过有理数减法计算从而完成求解； 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∴，， ∴， 即的值为； （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴异号， ∴ ，，则； ，，则； ∴的值为或． 5．（25-26七年级上·全国·期中）若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2． (1)直接写出的值； (2)求的值． 【答案】(1)，， (2)原式的值为3或 【思路引导】此题考查了有理数的混合运算，相反数、倒数，以及绝对值，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． （1）利用相反数，倒数，以及绝对值的代数意义求出各自的值即可； （2）把各自的值代入原式计算即可求出值 【规范解答】（1）解：∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值为2， ∴，，； （2）解：当时，原式； 当时，原式， 则原式的值为3或． 6．（25-26七年级上·安徽亳州·阶段练习）数轴是一个非常重要的数学工具，通过数轴可以把数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，是建立“数形结合思想”的基础．如图，以为1个单位长度，用直尺画数轴，数轴上从左到右依次有，，三点，且数轴上点、点和点刚好对着刻度尺上的刻度2、刻度8和刻度10． (1)若数轴上点和点这两点所表示的数互为相反数，则数轴上原点对着直尺上的刻度是，点在数轴上所表示的数是________． (2)若点在数轴上所表示的数是，分别求出点、点在数轴上所表示的数． (3)若数轴上，，三点在数轴上所表示的数分别为，，，当点到原点的距离为2026时，求的值． 【答案】(1)2 (2)，． (3)2020或 【思路引导】本题主要考查了表示数轴上的有理数、两点间的距离、代数式求值等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）先确定刻度6表示原点，然后确定点B表示的数即可； （2）刻度表示原点，然后确定点A、C表示的数即可； （3）由题意可得点表示的数为2026或，然后分点表示的数为2026和两种情况解答即可． 【规范解答】（1）解：∵数轴上点、点和点刚好对着刻度尺上的刻度2、刻度8和刻度10． ∴， ∵数轴上点和点这两点所表示的数互为相反数， ∴刻度6表示原点， ∴点在数轴上所表示的数是2． 故答案为：2． （2）解：∵点在数轴上所表示的数是， ∴刻度表示原点， ∴点、点在数轴上所表示的数分别为，． （3）解：∵当点到原点的距离为2026， ∴点表示的数为2026或， 当点表示的数为2026时，点B表示2024，点A表示的数为， ∴， ∴； 当点表示的数为时，点B表示，点A表示的数为， ∴， ∴． 综上：的值为2020或． 题型3 已知式子的值，求代数式的值 7．（25-26七年级上·湖南长沙·阶段练习）已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，数轴上表示数m的点与表示数的点距离为4． (1)若，那么b，d的值是多少？ (2)求的值． 【答案】(1) (2)4或8 【思路引导】本题主要考查了代数式求值，相反数和倒数的定义，数轴上两点距离计算，非负数的性质，熟知相关知识是解题的关键． （1）互为倒数的两个数的乘积为1，互为相反数的两个数的和为0，则，再由非负数的性质得到，据此求出a、c的值即可求出b、d的值； （2）表示数m的点在表述数的点的右侧时，用加上二者之间的距离即为m的值，表示数m的点在表述数的点的左侧时，用减去二者之间的距离即为m的点，据此结合（1）所求代值计算即可． 【规范解答】（1）解：∵a，b互为相反数，c，d互为倒数， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵a，b互为相反数，c，d互为倒数， ∴； ∵数轴上表示数m的点与表示数的点距离为4， ∴或， ∴或 ． 8．（25-26七年级上·四川南充·阶段练习）定义为二阶行列式，规定它的运算法则为，那么当时，二阶行列式的值为 ． 【答案】2 【思路引导】本题考查有理数的混合运算，将代入二阶行列式后，根据规定的运算法则计算即可． 【规范解答】解：当时， ． 故答案为：2 9．（25-26七年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）如果有理数a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为，求的值． 【答案】或 【思路引导】本题主要考查了代数式求值，相反数，倒数和绝对值的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，互为倒数的两个数的乘积为1，正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，据此可得，，再代值计算即可得到答案． 【规范解答】解：∵有理数a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为， ∴，， ∴， 当，时， ； 当，时， ． 综上所述，的值为或． 题型4 程序流程图与代数式求值 10．（25-26七年级上·河北石家庄·阶段练习）如图是一个“数值转换机”的示意图．若，，则输出结果为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了有理数的乘方运算及混合运算，解题的关键是明确“数值转换机”的运算顺序（先算的平方和的立方，再求和，最后乘），并准确计算负数的乘方（负数的平方为正，负数的立方为负）． 先根据数值转换机的运算逻辑，确定计算顺序：第一步计算的平方，第二步计算的立方，第三步将前两步结果相加，第四步用相加的结果乘，最终得到输出结果． 【规范解答】解：根据“数值转换机”运算顺序，输出结果的计算式为, 将，代入,得 ； 即输出结果为. 故答案为：. 11．（25-26七年级上·山东青岛·阶段练习）如图是一个“数值转换机”，若开始输入x的值为26，第1次输出的结果为27，则第2025次输出的结果是 ． 【答案】3 【思路引导】本题考查程序流程图，数字类规律探索，由题意计算前几次的结果，总结规律是解题关键． 根据程序流程图求出前7次的结果，可知第3次开始每3次为一个循环，进而即可求解． 【规范解答】解：第1次：输入，输出结果为27， 第2次：输入，输出结果为9， 第3次：输入，输出结果为3， 第4次：输入，输出结果为1， 第5次：输入，输出结果为2， 第6次：输入，输出结果为3， 第7次：输入，输出结果为1， ……， 所以从第3次开始每3次为一个循环． ∵， 所以第2025次输出的结果与第3次输出的结果相同，即为3． 故答案为：3． 12．（2023七年级上·河南漯河·竞赛）有一个数值转换器，原理如图所示，若开始输入x的值是3，可发现第1次输出的结果是10，第2次输出的结果是5，第3次输出的结果是16，依次继续下去…，第101次输出的结果是（   ） A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】B 【思路引导】本题考查了代数式求值，根据数值转换器求出从第5次开始，每3次输出为一个循环组依次循环是解题的关键． 根据数值转换器依次求出前几次的输出的数值，再根据数值的变化规律求解． 【规范解答】第1次输出的结果是， 第2次输出的结果是， 第3次输出的结果是， 第4次输出的结果是， 第5次输出的结果是， 第6次输出的结果是， 第7次输出的结果是， 第8次输出的结果是， 所以，从第5次开始，每3次输出为一个循环组依次循环，余1， 所以，第101次输出的结果是4． 故选：B． 题型5 用代数式表示数、图形的规律 13．（2025七年级上·江苏·专题练习）如图，由若干根火柴棒拼成小金鱼的图形： （1）拼1条金鱼需要 根火柴； （2）拼3条金鱼需要 根火柴； （3）拼n条金鱼需要 根火柴． 【答案】 8 20 【思路引导】本题考查图形类规律问题，通过归纳与总结，得到其中的规律是解题关键． 根据图形可得每增加一条金鱼就增加6根火柴棒即可解答． 【规范解答】解：拼1条金鱼需要根火柴； 拼2条金鱼需要根火柴； 拼3条金鱼需要根火柴； ， 所以拼n条金鱼需要根火柴； 故答案为：8；20；． 14．（25-26七年级上·江西上饶·阶段练习）观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：    (1)在④后面的横线上写出相应的等式：①；②；③；④ ； (2)请猜想 ； (3)请用上述规律计算：． 【答案】(1) (2) (3)2500 【思路引导】本题考查了规律型：图形的变化类，解决本题的关键是通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况． （1）观察图形的变化情况即可填空． （2）根据图示和数据可知规律是：等式左边是连续的奇数和，等式右边是等式左边的首数与末数的平均数的平方，据此可得结论． （3）根据式子的特点，再利用所得规律计算． 【规范解答】（1）解：根据题意可知：④． （2）解：，，，， 猜想：． （3）解： ． 15．（25-26七年级上·北京·阶段练习）观察下列各数，找出规律后填空： (1)，，，，，，……，第个数是_____． (2)，，，，…，第个数是_____． (3)，，，，，…，第个数是_____． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题主要考查了数字规律题，含乘方的有理数混合运算，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据给定数字的变化找出变化规律，第个数是，依此规律即可得出结论． （2）根据给定数字的变化找出变化规律，第个数是，依此规律即可得出结论． （3）根据给定数字的变化找出变化规律，第个数是，依此规律即可得出结论． 【规范解答】（1）解：∵第一个数是， 第二个数是， 第三个数是， 第四个数是， 第五个数是， ∴第个数是， ∴第个数是． （2）解：∵第一个数是， 第二个数是， 第三个数是， 第四个数是， ∴第个数是， ∴第个数是． （3）解：∵第一个数是， 第二个数是， 第三个数是， 第四个数是， 第五个数是， ∴第个数是， ∴第个数是． 题型6 已知同类项求指数中字母或代数式的值 16．（24-25七年级上·广东揭阳·期末）若关于x，y的单项式与的差仍为单项式，则 ． 【答案】1 【思路引导】本题考查同类项的判断，合并同类项，代数式求值，掌握同类项的定义是解答本题的关键． 由题意可得单项式与是同类项，即可得出，，解出m、n的值，再代入所求式子计算即可． 【规范解答】解：∵单项式与的差仍为单项式， ∴单项式与是同类项， ∴，， 解得：，， ∴． 故答案为：1． 17．（24-25七年级上·福建厦门·期中）若单项式与是同类项．试求多项式的值？ 【答案】11 【思路引导】本题考查了同类项的定义，掌握两个相同是解题关键． 含有相同的字母，并且相同字母的指数也相同的两个单项式是同类项．根据同类项定义得出，，然后再代入求助即可． 【规范解答】解：∵单项式与是同类项． ∴，， ∴． 18．（22-23七年级上·江苏苏州·期末）已知与为同类项，数轴上两点A，B对应的数分别为a，b． (1) ______， ______，线段______； (2)若数轴上有一点C，使得，点M为的中点，求的长______； (3)有一动点G从点A出发，以3个单位每秒的速度向右方向运动，同时动点H从点B出发，以1个单位每秒的速度在数轴上作同方向运动，设运动时间为t秒（），点D为线段的中点，点F为线段的中点，点E在线段上且，在G，H的运动过程中，求的值______（用含t的代数式表示） 【答案】(1)，20，30 (2)3或75 (3) 【思路引导】（1）根据同类项的定义求出a，b值，从而算出线段的长； （2）注意分情况讨论，①当点在之间时，如图1，②当点在右侧时，如图2，分别计算和的长，相减可得结论； （3）本题有两个动点和，根据速度和时间可得点表示的数为：，点表示的数为：，根据中点的定义得点和点表示的数，由得的长和点表示的数，根据数轴上两点的距离可得和的长，相加可得最后的值． 【规范解答】（1）解：∵与为同类项， ∴，， ∴， ∴； （2）分两种情况： ①当点在之间时，如图1， ，， ， 点为的中点， ， ； ②当点在右侧时，如图2， ，， ， ， 综上，的长是3或75． 故答案为：3或75； （3）由题意得，点表示得数为：，点表示的数为：， ，， 点在线段之间， 为中点， 点表示的数为：， 是中点， 点表示的数为：， ，， ， 点表示的数为：， ， 的值为． 故答案为：． 【考点剖析】本题考查同类项，数轴，根据点的运动特点，分情况列出合适的代数式进行求解是解题关键． 题型7 合并同类项 19．（25-26七年级上·山东青岛·阶段练习）小红做一道数学题：“两个多项式，，已知为，试求的值”时．小红误将看成，结果答案为（计算过程正确）． (1)试求的正确结果； (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查整式的加减运算，化简求值，正确的计算是解题的关键： （1）将错就错，求出，再根据整式加减运算法则进行计算即可； （2）将代入（1）中的结果，进行求解即可． 【规范解答】（1）解：由题意， ； ∴ ； （2）由（1）知：； ∴当时，． 20．（25-26七年级上·福建福州·阶段练习）一个点从数轴的原点开始，先向左移动4个单位到达A点，再向右移6个单位到达C点；接着将数轴折叠，使点A和点C重合，折点记为B；最后将数轴展开． (1)直接写出A，B，C三点所表示的数A______，B______，C______； (2)动点P从点C出发，以每秒个单位长度向左运动； ①求秒后动点P与点B之间的距离； ②动点Q，M分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度从A，B两点与点P同时出发，同向而行．记Q与M两点之间的距离为，M与P两点之间的距离为．这三个点在运动过程中，是否存在为定值，若存在，请求出该值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①②存在， 【思路引导】本题考查了数轴上的动点问题，涉及了数轴上两点间的距离公式．根据动点的起始位置、运动方向和运动速度确定动点在数轴上对应的数是解题关键． （1）由题意得：A点所表示的数为：；C点所表示的数为：；B点所表示的数为：； （2）①秒后动点P所表示的数为：；据此即可求解； ②由题意得：动点P所表示的数为：；动点Q所表示的数为：；动点M所表示的数为：；推出，，即可求解； 【规范解答】（1）解：由题意得：A点所表示的数为：； C点所表示的数为：； B点所表示的数为：； （2）解：由题意得：动点P所表示的数为：； ①秒后动点P所表示的数为：； ∴动点P与点B之间的距离为：； ②由题意得：动点Q所表示的数为：；动点M所表示的数为：； ∴，， ∴． 21．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段练习）已知在数轴上的位置如图： (1)①用“<”或“>”填空： 0， 0； ②填空： ， ； (2)化简：； (3)若，且与的距离和c与的距离相等，则 ． 【答案】(1)①；②，； (2)； (3)． 【思路引导】本题考查了根据数轴判断代数式的符号，绝对值的化简，整式的计算等知识，根据数轴判断各式的符号是解题关键． （1）①根据数轴判断a、b、c的符号，进而即可判断各式的符号； ②根据式子的符号和绝对值的意义求解即可； （2）先去掉绝对值，在去括号计算即可． （3）由与的距离和c与的距离相等，得到，即，再算出，代入求解即可． 【规范解答】（1）解：①由数轴可得：， ∴，， 故答案为：； ②∵，， ∴，， 故答案为：，； （2）解：∵， ∴， 又∵，， ∴ ； （3）解：∵与的距离和c与的距离相等， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， 故答案为：． 题型8 整式的加减运算 22．（25-26七年级上·山东青岛·阶段练习）计算或化简求值： (1)． (2)． (3)． (4)． (5)先化简，再求值：，其中，． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5)， 【思路引导】本题考查有理数的混合运算，整式加减中的化简求值，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键： （1）先去绝对值，进行乘除运算，再进行加减运算即可； （2）先进行括号内的计算，再进行除法运算； （3）带分数化为整数和真分数的差的形式，利用乘法分配律进行计算即可； （4）根据混合运算的法则进行计算即可； （5）去括号，合并同类项，化简后，代值计算即可． 【规范解答】（1）解：原式； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ； （5）原式 ； 当，时，原式． 23．（23-24八年级上·全国·期末）已知，． (1)化简； (2)当，，求的值； (3)若的值与y的取值无关，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查了整式的加减、化简求值和无关型问题，与的取值无关即与有关的项系数为． （1）根据整式的加减运算法则计算即可； （2）根据（1）中的化简结果整体代入即可； （3）根据的值与的取值无关得到关于的方程，解方程求得的值，代入计算即可． 【规范解答】（1）解： ． （2）解：整体代入得， ． （3）解： 的值与的取值无关， ． ． ． 24．（24-25七年级上·河南驻马店·期末）已知，晓风错将“”看成“”，算得结果． (1)计算的表达式； (2)求正确的结果的表达式； (3)晓华说（2）中的结果的大小与的取值无关，对吗？若，，求（2）中代数式的值． 【答案】(1) (2) (3)结果的大小与的取值无关，0 【思路引导】本题主要考查整式的加减，涉及的知识有：去括号、合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键； （1）由得，将C、A代入计算可得； （2）将A、B代入计算即可； （3）由化简后的代数式中无字母c可知其值与c无关，将a、b的值代入计算即可. 【规范解答】（1）解：∵ ∴ . 故的表达式为. （2）解： . 故正确的结果的表达式为. （3）解：由（2）得 ∵代数式中无字母c ∴其值与c无关是对的 将，代入得： . 题型9 整式的减中的化简求值 25．（25-26七年级上·辽宁·阶段练习）如图1，是由两个圆柱体组成的瓶子，瓶内盛满水，两个圆柱体的底圆直径分别为2a和a，高分别为6和2．如图2的底圆直径分别为，高为8．如果将图1瓶子中的水全部倒入图2的杯子中（尽可能的装满）． (1)当时，试求一共需要多少个图2这样的杯子． (2)直接回答当时，一共需要多少个图2这样的杯子． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了整式的混合运算，，代数式求值； （1）利用圆柱的体积公式表示出瓶子中大圆柱与小圆柱的体积，以及杯子的体积，即可得到结果． （2）根据结果与的值无关，即可求解． 【规范解答】（1）解：瓶子中大圆柱的容积为， 瓶子中小圆柱容积， 杯子的容积为， 则所需杯子个数为， 则一共需要13个图2这样的杯子． （2）解：由（1）可得，结果与的值无关， ∴当时，一共需要13个图2这样的杯子． 26．（25-26七年级上·全国·课后作业）在数学课上，王老师出示了这样一道题目：“当时，求多项式的值．”解完这道题后，小明指出是多余的条件．师生讨论后，一致认为小明的说法是正确的． (1)请你说明小明的说法是正确的理由． (2)接着王老师又出示了一道题：“设为常数，关于的多项式，并且所得的差是关于的一次多项式，求代数式的值．”请你解决这道题． 【答案】(1)见解析 (2)0 【思路引导】本题考查求代数式的值，涉及去括号法则及合并同类项的法则，了解无关问题是解题关键． （1）去括号合并同类项可得代数式的值与无关，即可得结论； （2）先化简，根据的差是关于和的一次多项式可求出、、的值，再代入计算即可． 【规范解答】（1）解：由题意，得 ． 因为化简后的式子中不含y，所以多项式的值与y无关，所以小明的说法正确． （2）因为，， 所以 ． 因为所得的差是关于x，y的一次多项式， 所以， 所以， 所以． 27．（25-26七年级上·全国·课后作业）有这样一道题：当，时，求多项式的值． 小明说：“本题中‘，’是多余的条件．”小强马上反对说：“这不可能，多项式中含有a和b，不给出a，b的值，怎么能求出多项式的值呢？” 你同意谁的观点？请说明理由． 【答案】同意小明的观点．理由见解析 【思路引导】本题主要考查了整式的加减混合运算法则，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 根据整式的加减混合运算法则把原式化简，根据化简结果解答． 【规范解答】解：同意小明的观点． 理由：因为， ， 与的值无关，所以小明的观点正确． 题型10 整式动减中的无关型问题 28．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，长为，宽为的大长方形被分割为7小块，除阴影，外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为，下列说法中正确的是（　　） ①小长方形的较长边为； ②阴影的较短边和阴影的较短边之和为； ③若为定值，则阴影和阴影的周长和为定值； ④若时，则阴影的周长比阴影的周长少． A．①③ B．②④ C．①④ D．①③④ 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了整式加减、代数式的求值，掌握整式的加减实质上就是合并同类项，理解题意根据题目要求用或表示有关的线段是解题关键． ①首先明确长方形的较长边为大长方形长个小长方形的较短边； ②表示出阴影的较短边，阴影的较短边，再求它们的和； ③根据长方形周长公式，再根据用表示的边长，列式计算； ④根据长方形周长公式，再根据用表示的边长，列式计算． 【规范解答】解：①小长方形的较短边为，大长方形长为， 小长方形的较长边为； ①符合题意； ②阴影的较长边，较短边， 阴影的较长边，较短边， 阴影的较短边和阴影的较短边之和为； ②不符合题意； ③阴影和阴影的周长和为， 若为定值，则阴影和阴影的周长和为定值； ③符合题意； ④阴影的周长比阴影的周长少， 若时，原式， 阴影的周长比阴影的周长少； ④符合题意． 故选：D． 29．（25-26七年级上·重庆·阶段练习）某家具厂设计一款新中式屏风，结构如下：屏风整体为长方形，其中包含3个形状、大小完全相同的“梅花”艺术造型．每个“梅花”造型是由1个正方形和4个半圆形构成，该造型采用艺术玻璃制作，屏风其余部分使用实木材料（本题中取3，长度单位为米）．         (1)制作一扇该屏风需要多少平方米的艺术玻璃？需要多少平方米的实木材料？（请用含、的代数式表示） (2)某酒店需要定制50扇该屏风，在同等工艺的前提下，甲、乙两个厂商报价如下： 甲厂商：实木材料每平方米800元，艺术玻璃每平方米500元，总价打九折； 乙厂商：实木材料每平方米700元，艺术玻璃每平方米600元，且每购买1平方米实木材料赠送0.1平方米的艺术玻璃． 当，时，制作一扇该屏风分别需要多少平方米的艺术玻璃和实木材料？该酒店在哪家厂商购买屏风合算，最终总费用是多少元？ 【答案】(1)平方米的艺术玻璃，平方米的实木材料， (2)当，时，制作一扇该屏风分别需要平方米的艺术玻璃和平方米的实木材料；该酒店在乙厂商购买屏风合算，最终总费用是元． 【思路引导】本题考查了列代数式，代数式求值，有理数的混合运算的应用； （1）根据3个形状由1个正方形和4个半圆形构成的图形面积得出艺术玻璃的面积，根据长方形的面积减去艺术玻璃的面积得出实木材料的面积； （2）将，代入（1）中代数式，求得艺术玻璃和实木材料的面积，进而分别计算甲、乙的费用，比较大小，即可求解． 【规范解答】（1）解：需要平方米的艺术玻璃，平方米的实木材料 （2）解：当，时，平方米的艺术玻璃， 平方米的实木材料， 甲厂商：， 乙厂商购买实木材料费用：， ∵， ∴该酒店在乙厂商购买屏风合算，最终总费用是元． 30．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段练习）【背景介绍】：绝对值在初中数学中是一个基础核心概念和关键枢纽．它看似简单，但却是连接算术与代数、串联多种数学思想的重要节点． 【自主回忆】：（1）请写出一个你对绝对值的了解：________． 【引导思考1】：（2）分类讨论：如果，，求 【引导思考2】：几何意义：表示数、在数轴上对应的点、之间的距离 （3）如图表示数在数轴上四个点的位置关系，且它们表示的数分别为、、、．若，，，则的值是________． 【尝试应用】：（4）符号：表示：对于数轴上任一点，和是与点相距个单位长度的两点．如果点、是数轴上的两个动点，，（其中，）．两点同时从原点出发，点向左，点向右运动，当时，求点、之间的距离． 【答案】（1）①正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值还是零. ②绝对值的几何定义是数轴上某点到原点的距离. （2）或，（3）5，（4）或． 【思路引导】本题主要考查了数轴上两点距离计算，解绝对值方程，一元一次方程的应用： （1）根据绝对值的意义回答即可； （2）根据绝对值的意义即可求出，，进而代入计算即可； （3）由图可知：，化简绝对值可得，，，再根据即可求解 （4）可得设点P和点Q表示的数分别为，根据定义可得，根据得到，即，据此把看作一个整体，解绝对值方程即可得到答案． 【规范解答】（1）（1）①正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值还是零. ②绝对值的几何定义是数轴上某点到原点的距离. （2）∵，， ∴，， ∴当，时，， ∴当，时，， （3）由图可知：， ∵，，， ∴，，， ， （4）设点P和点Q表示的数分别为， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时， ∴， ∴， ∴点P、Q之间的距离为； 当时， ∴， ∴， ∴点P、Q之间的距离为； 综上所述，点P、Q之间的距离为或． 题型11 整式加减的应用 31．（24-25七年级上·安徽·期末）观察下列单项式：，，，，，，，写出第个单项式．为了解决这个问题，特提供下面解题思路： (1)这组单项式的系数的符号规律是 ；系数的绝对值规律是 ． (2)这组单项式的次数的规律是 ． (3)根据上面的归纳，可以猜想第个单项式是(只能填写一个代数式) ． (4)请你根据猜想，写出第个、第个单项式，它们分别是 、 ． 【答案】(1)， (2) (3) (4)， 【思路引导】本题主要考查了单项式规律题，单项式的系数、次数，写出满足某些特征的单项式等知识点，通过观察所给单项式发现并总结出一般规律是解题的关键． （1）通过对这组单项式的系数进行观察并总结规律，即可得出答案； （2）通过对这组单项式的次数进行观察并总结规律，即可得出答案； （3）根据（1）、（2）的归纳，即可得出答案； （4）根据（3）的猜想，直接写出第个、第个单项式即可． 【规范解答】（1）解：这组单项式的系数分别为：，，，，，，，， 可以发现，其符号规律是正负交替，即：， 其绝对值规律是，，，，，即：， 故答案为：，； （2）解：这组单项式的次数分别为：，，，，，，，，， 其规律是：从开始的连续自然数，即：， 故答案为：； （3）解：根据上面的归纳，可以猜想第个单项式是：， 故答案为：； （4）解：根据猜想，可以写出第个、第个单项式，它们分别是： ， ， 故答案为：，． 32．（24-25七年级上·江苏常州·期中）阅读下列材料，完成相应的任务： 一个含有多个字母的代数式中，如果任意交换两个字母的位置，代数式的值都不变，这样的代数式就叫做对称式．例如代数式中任意两个字母交换位置，可得到代数式、，因为，所以是对称式；而代数式中字母a、b交换位置，得到代数式，因为，所以不是对称式． 任务： (1)下列四个代数式中，是对称式的是_______（填序号即可）； ①；②；③；④；⑤ (2)写出一个只含有字母m，n的单项式，使该单项式是对称式，且次数为8次； (3)已知，求，并直接判断所得结果是否为对称式． 【答案】(1)①④ (2)（答案不唯一） (3)，是对称式 【思路引导】本题主要考查了整式的加减，正确理解对称式的定义是解题的关键． （1）根据对称式定义逐个判断即可； （2）按照要求写出一个符合要求的式子即可； （3）先将代入计算，再根据对称式的定义判断即可得答案． 【规范解答】（1）解：根据对称式的定义可知：、是对称式，、、不是对称式． 故答案为：①④． （2）解：∵只含有字母m，n，单项式是对称式，且次数为8， ∴单项式可以是：（答案不唯一）． （3）解：∵， ∴ ， ． 由根据对称式的定义可知，是对称式， ∴是对称式． 33．（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）阅读材料，解答问题： 一个含有多个字母的式子中，任意交换两个字母的位置，当字母的取值均不相等，且都不为0时，式子的值保持不变，这样的式子叫作对称式．例如：式子中两个字母交换位置，可得到，因为，所以是对称式．而式子中的字母，交换位置，得到式子，但是，所以不是对称式． (1)①；②；③，其中是对称式的是______；（填序号） (2)写出一个只含有字母，且次数为3的多项式，使该多项式是对称式：______； (3)已知，，求，并判断所得结果是否是对称式． 【答案】(1)①③； (2)； (3)，是对称式． 【思路引导】本题是新定义问题，考查了整式的加法运算，灵活运用的能力，关键是读懂材料． （1）根据对称式的含义即可作出判断； （2）根据对称式的含义及题目的要求即可完成； （3）去括号合并同类项即可求得A+2B，根据对称式的含义判断是否是对称式即可． 【规范解答】（1）解：根据加法交换律知，，故它是对称式；同理，，故也是对称式；但中字母a、b交换后变为，； 故它不是对称式； 故答案为：①③； （2）解：由题意得：所要求的对称式为； 故答案为：； （3）解：∵，， ∴ ； 它是对称式． 题型12 单项式规律题 34．（24-25七年级上·吉林长春·期末）有一列式子，按一定规律排列成，，，，，…，则第n个式子为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了与单项式有关的规律探索，观察可知单项式的系数为，次数为，据此可得答案． 【规范解答】解：第1个式子：； 第2个式子：； 第3个式子：； 第4个式子：； 以此类推，则第n个式子为， 故选：B． 35．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）观察下列单项式： 第1个单项式：． 第2个单项式：． 第3个单项式：． 第4个单项式：． …… (1)第5个单项式为______． (2)第n个单项式为______（用含有n的式子表示）． (3)前3个（第1个到第3个）单项式中字母a，b的所有指数之和为，求前10个（第1个到第10个）单项式中字母a，b的所有指数之和． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题主要考查了单项式的系数和次数规律探索等知识点，准确发现其规律是解决此题的关键． (1)观察单项式的系数和次数的规律，可以发现系数是序号的2倍，字母的次数不变，字母的次数是序号的2倍减1即可得解； (2)由(1)的规律即可得解； (3)根据规律计算前10个单项式中字母的所有指数之和即可得解． 【规范解答】（1）解：第1个单项式：， 第2个单项式：， 第3个单项式：， 第4个单项式：， …… 观察单项式的系数和次数的规律，可以发现系数是序号的2倍，字母的次数不变，字母的次数是序号的2倍减1， ∴第5个单项式为， 故答案为：； （2）解：由(1)的规律知，第n个单项式为， 故答案为：； （3）根据规律，前10个单项式中字母的所有指数之和为． 36．（22-23七年级上·云南昆明·期末）在数学活动中，针对题目“按一定规律排列的单项式：，，．，，则第n个单项式是什么？” (1)首先杨老师给出如下四个引导问题： ①这组单项式中不变的是什么？直接写下来． ②这组单项式中系数的符号规律是什么？ ③这组单项式中系数的绝对值规律是什么？ ④这组单项式的次数规律是什么？ 同学们回答完四个问题后，继续进行了以下探究： ⑤猜想出第n个单项式是__________；（只用一个含n的式子表示，n是正整数） ⑥第2023个单项式是__________． (2)接着，数学学习小组对问题进行了迁移． 按一定规律排列的等式： 第一个等式：， 第二个等式：， 第三个等式：， 第四个等式：， …， 第n个等式是：__________（n是正整数）； (3)请你利用以上结论计算的值． 【答案】(1)⑤；⑥ (2) (3)8088 【思路引导】本题主要考查了数字的变化规律．解题关键是熟练掌握数字的变化情况总结所给式子中存在的规律． （1）由所给的单项式得：奇数项为负，偶数项为正，系数的数字部分为奇数，可表示为：，指数为从1开始的自然数，据此即可归纳出规律，并求解； （2）由题意得，相邻奇数的平方差是8的倍数，结合前四个等式即可按规律推得第n个等式； （3）直接利用（2）中总结出的规律，求解即可． 【规范解答】（1）⑤观察得：奇数项为负，偶数项为正，系数的数字部分为奇数，可表示为：，指数为从1开始的自然数， ∴第n个单项式为； 故答案为：； ⑥根据该规律可得第2023个单项式， ； 故答案为： ； （2）∵第一个等式：， 第二个等式：， 第三个等式：， 第四个等式：， …， ∴可以看出，相邻两奇数的平方差是8的倍数， ∴按规律，第n个等式是： （n是正整数）；． 故答案为： ； （3）由（2）得： ， 故的值为：8088． 题型13 将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 37．（24-25七年级上·四川资阳·期末）下列说法：①实数在数轴上对应的点的位置如图所示，则；②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；③将多项式按b的升幂排列是；④若多项式化简后不含项，则k的值是．其中说法正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【思路引导】本题考查了运用数轴比较大小，整式加减中的无关型问题，将多项式按某个字母升幂（降幂）排列，据此相关内容进行逐项分析，即可作答． 【规范解答】解：由数轴得， ∴， 故①说法错误的； 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行， 故②说法正确的； 将多项式按b的升幂排列是； 故③说法正确的； ∵多项式化简后不含项， ∴， ∴， 故④说法错误的； 故选：B． 38．（24-25七年级上·四川成都·期中）若一个多项式同时满足条件：①各项系数均为整数，②按某个字母“降幂排列”，③各项系数的绝对值从左到右也是“从大到小”排列，则称该多项式是这个字母的“和谐多项式”，简称该多项式是“和谐多项式”．例如：多项式是“和谐多项式”，多项式是y的“和谐多项式”． (1)把多项式按x的降幂排列，并判断它是不是“和谐多项式”？ (2)若关于a，b的多项式是b的“和谐多项式”，求k的值； (3)已知M，N均为关于x，y的三次三项式，其中，（m，n为整数），若新多项式是“和谐多项式”，且，求式子的值． 【答案】(1)，不是 (2) (3) 【思路引导】本题考查新定义的运算，代数式，整式的运算，掌握新定义的运算法则是解题的关键． （1）直接运用“和谐多项式”的定义判断即可； （2）按的降幂排列后，由绝对值的大小得到，解题即可； （3）计算后，分两种情况分别计算，求出的值，代入代数式求值即可解题． 【规范解答】（1）解：按x的降幂排列： 因为，，所以， 所以多项式不是“和谐多项式” （2）解：把多项式按b的降幂排列为． 因为多项式是b的“和谐多项式” 所以．因为k为整数，所以． （3）解： ． 因为，所以不是x的和谐多项式 把按y的降幂排列为． 由题意，得，所以，． 而，所以．所以． 所以． 39．（24-25七年级上·全国·课后作业）已知关于x、y的多项式． (1)当时，该多项式的次数为__________，一次项为__________； (2)在（1）的条件下，若，求多项式的值； (3)我们称各项的次数都相同的多项式为齐次多项式，如就是齐次多项式，若多项式是齐次四项式，求的值； (4)若该多项式是一个六次三项式，求a的值，并把该多项式按x的升幂排列． 【答案】(1)4 ； (2)11 (3)0 (4)或 【思路引导】本题主要考查了多项式的定义和化简求值，也考查了新定义齐次多项式． （1）将代入多项式，再根据多项式相关的定义解答即可； （2）将代入（1）的条件下的多项式求值即可； （3）根据齐次多项式的定义，由多项式是齐次四项式得，，得出a、b的值代入计算即可； （4）分两种情况讨论：①当为六次项，时；②当为六次项，时；分别求出a、b的值，再代入原多项式，并把该多项式按x的升幂排列即可． 【规范解答】（1）解：当时，该多项式为，此时该多项式是一个四次三项式，所以该多项式的次数为4，一次项为， 故答案为：4，； （2）解：当时，该多项式为， 将代入，得： 原式； （3）解：由题意可知该多项式的所有项的次数为4， ∴， ∴或， ∵该多项式有四项， ∴， ∴， ∴， ∴； （4）解：因为该多项式是一个六次三项式，而和的次数不定，所以需分以下两种情况讨论： ①当为六次项，时，此时多项式为， 即， 所以， 此时该多项式为， 将该多项式按x的升幂排列为； ②当为六次项，时， 此时多项式为， 即，所以， 此时该多项式为， 将该多项式按x的升幂排列为． 题型14 数字类规律探索 40．（25-26七年级上·重庆江北·期中）计算：的结果是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了有理数的混合运算，观察式子可知：第项为：；第项为：； 第项为：；推出第项为：；根据一般规律即可求解； 【规范解答】解：观察式子可知： 第项为：； 第项为：； 第项为：； ……. ∴第项为：； ∵， ∴原式 故答案为： 41．（25-26七年级上·安徽淮北·阶段练习）某一动点在一条数轴上移动，第1次向数轴正方向移动1个单位长度，记作；第2次向数轴正方向移动2个单位长度，记作；第3次向数轴负方向移动3个单位长度，记作；第4次向数轴负方向移动4个单位长度，记作；第5次向数轴正方向移动5个单位长度，记作；第6次向数轴正方向移动6个单位长度，记作；第7次向数轴负方向移动7个单位长度，记作；第8次向数轴负方向移动8个单位长度，记作……直到第2026次移动后结束．若按照此规律，第2026次移动后，动点最终在数轴上的位置所表示的数是（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】D 【思路引导】本题考查数字的变化规律，分别求出部分点表示的数，发现规律为每移动四次相当于向左移动4个单位长度，再由，从而可求第2026次移动后，动点最终在数轴上的位置所表示的数． 【规范解答】解析：由题意可知，每四次为一个周期，其和为，，一个周期的和为． ， ， 余下的第2025次和第2026次移动，是新周期的第1、2次移动，符号均为正， 故最终位置为， 故选：D． 42．（25-26七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们其持征上也可能相似的结论．在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：类比上述方法，解决以下问题． (1)猜想并写出：______． (2)探究并计算下列各式： ①； ② 【答案】(1) (2)①；② 【思路引导】本题考查有理数的混合运算，理解题中裂项方法是解答的关键． （1）根据题中例子可写出相应的等式； （2）①根据式子特点，采用裂项的方法进行计算即可； ②将原式变形，然后采用裂项方法求解即可． 【规范解答】（1）解：根据题意，猜想， 当时，， 故答案为：； （2）解：① ； ② ． 题型15 图形类规律探索 43．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有6个圆点，第②个图中有10个圆点，第③个图中有14个圆点，…，按照这一规律，则第⑥个图中圆点的个数是（   ） A．24 B．26 C．28 D．30 【答案】B 【思路引导】本题属于规律猜想题型的图形变化类，解题的关键是通过图形的变化得出图形中圆点个数的数字变化规律． 根据第①个图案中有6个黑色圆点，第②个图案中有10个黑色圆点，第③个图案中有14个黑色圆点，则可以推出第6个图形中黑色圆点的个数． 【规范解答】第①个图案中有6个黑色圆点， 第②个图案中有10个黑色圆点， 第③个图案中有14个黑色圆点， 第④个图案中有18个黑色圆点， 所以第⑥个图中圆点的个数是26个， 故选：B． 44．（25-26七年级上·四川内江·阶段练习）在一次综合实践活动课上，张老师给每位同学发了一张边长为1的正方形纸片，请同学们思考如何通过折纸的方法求出的值． 【操作探究】“乘风”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作：如图，将边长为1的正方形纸片分割成7个部分，第①部分是边长为1的正方形纸片面积的一半，第②部分是第①部分面积的一半，第③部分是第②部分面积的一半，……，依次类推，则图中空白部分的面积为， “破浪”小组是这样思考的：设， 将等式两边同时乘得， 将上式减去下式得，即，即， 【过程思考】 (1)图中阴影部分的面积是 ， ； (2)根据以上规律，解答下列各题． ① ；（n为正整数） ② ．（n为正整数） 【答案】(1)，； (2)①；②． 【思路引导】本题考查了图形变化的规律，有理数乘方的应用，巧妙运用数形结合思想以及整体思想是解题的关键． （1）阴影部分的面积等于部分⑥的面积，设，则，用即可求解； （2）①根据示范的例子求解即可； ②根据示范的例子求解即可； 【规范解答】（1）解：由题知，正方形每次被分割的部分是前一部分面积的一半， ∴图中阴影部分的面积与第⑥部分的面积相等． 又∵第①部分的面积为：， 第②部分的面积为： 第③部分的面积为： …， 依次类推，第n部分的面积为． 当时，． ∴阴影部分的面积为， 设， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解：①设①， 将等式两边同时乘以得：②， 将①减去②得， 即， 即， 故答案为：； ②令① 将等式两边同时乘以2得：②， 将②式减去①式得， 即， 故答案为：． 45．（25-26七年级上·江苏盐城·阶段练习）探索发现：；； 根据你发现的规律，回答下列问题： (1) ， ； (2)类比上述规律计算下列式子：； (3)拓展应用：我国古代数学家杨辉，曾将大小完全相同的圆弹珠逐层堆积、形成“三角垛”、图1有1颗弹珠：图2有3颗弹珠：图3有6颗弹珠，往下依次是第4个图，第5个图，…；若用表示图n的弹珠数，其中则 ． 【答案】(1)， (2) (3) 【思路引导】本题主要考查了数字类的规律探索，图形类的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键． （1）两个连续的正整数的乘积的倒数等于较小的正整数的倒数减去较大的正整数的倒数，据此规律求解即可； （2）根据（1）的规律求解即可； （3）观察可得图n有颗弹珠，则根据（1）的规律可把原式变形为，据此求解即可． 【规范解答】（1）解：； ； ； ……， 以此类推，可知（n为正整数）， ∴，； （2）解： ； （3）解：图1有1颗弹珠： 图2有颗弹珠： 图3有颗弹珠， 图4有颗弹珠， ……， 以此类推，可知图n有颗弹珠， ∴ ． 题型16 带有字母的绝对值化简问题 46．（25-26七年级上·江苏徐州·阶段练习）【定义新知】我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离，因此，若点、在数轴上分别表示有理数、，则、两点之间的距离．若点表示的数为，请根据数轴解决以下问题：若点为数轴上一动点，点对应的数记为，请你利用数轴解决以下问题： （1）若点与表示有理数的点的距离是个单位长度，则的值为________； （2）利用数轴判断：的最小值为________； （3）利用数轴判断：的最小值为________； （4）利用数轴判断：的最大值为________； 【解决问题】如图，一条笔直的公路边有三个居民区，，在和市民广场，居民区，，分别位于市民广场左侧，右侧，右侧．居民区有居民有人喜欢购物，居民区有居民人喜欢购物，居民区有居民人喜欢购物．现因物流需要，需要在该公路上建菜鸟驿站，用于接收这个小区的快递，若快递的运输成本为元（千份·千米），那么菜鸟驿站建在何处才能使总运输成本最低，最低成本是多少? 【答案】[定义新知]（）或；（）；（）；（）；[解决问题] 菜鸟驿站建在处才能使总运输成本最低，最低成本是元． 【思路引导】本题考查了绝对值的几何意义，数轴上表示有理数，理清题意，掌握知识点的应用是解题的关键． [定义新知]（）根据两点之间的距离公式计算即可； （）根据绝对值几何意义可得表示的几何意义为有理数的点与表示有理数与的点之间的距离和，则当在与之间时，有最小值； （）表示的几何意义为有理数的点与表示有理数，，，，之间的距离和，则当时，有最小值； （）表示的几何意义为有理数的点与表示有理数，之间的距离差，当时，有最大值； [解决问题]由数轴可知，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，设菜鸟驿站在数轴上表示的数为，总运输成本最低为，由上可得，当时，总运输成本最低，然后代入即可求解． 【规范解答】解：（）∵点与表示有理数的点的距离是个单位长度， ∴或， 故答案为：或； （）∵， ∴表示的几何意义为有理数的点与表示有理数与的点之间的距离和， ∴当在与之间时，有最小值， 故答案为：； （）∵， ∴表示的几何意义为有理数的点与表示有理数，，，，之间的距离和， 当时，有最小值， 故答案为：； （）∵表示的几何意义为有理数的点与表示有理数，之间的距离差， ∴当时，有最大值为， 故答案为：； [解决问题]由数轴可知，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，设菜鸟驿站在数轴上表示的数为， ∴总运输成本最低为， 由上可得，当时，总运输成本最低，最低成本是（元）， ∴菜鸟驿站建在处才能使总运输成本最低，最低成本是元． 47．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段练习）有理数a、b、c在数轴上的位置如图： (1)判断正负，用“”或“”填空：_____________________0． (2)化简： 【答案】(1)，， (2) 【思路引导】本题考查整式的加减、数轴、绝对值的性质，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键． （1）根据数轴判断即可； （2）根据正负性去绝对值进行化简即可． 【规范解答】（1）解：根据数轴可得，， ，，； 故答案为：，，； （2）解：， ， ， ． 48．（25-26七年级上·甘肃武威·阶段练习）我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离． (1)①数轴上表示1和的两点之间的距离是______； ②数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是______． (2)探索规律： ①当有最小值是______． ②当有最小值是______． ③当有最小值是______； (3)规律应用 工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着9个工作台A、B、C、D、E、F、G、H、I，一个配件箱应该放在哪个工作台处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短？最短路程是多少米？ (4)知识迁移 最大值是______，最小值是______． 【答案】(1)①，② (2)①，②，③ (3)米 (4)， 【思路引导】此题主要考查了数轴上两点之间的距离，理解数轴上点所表示的数为，点所表示的数为，则及其几何意义，以及“两点之间，线段最短”是解答此题的关键，分类讨论是解答此题的易错点． （1）①理解并掌握及其几何意义，即可求解；②理解并掌握及其几何意义，即可求解； （2）①理解并掌握及其几何意义和“两点之间，线段最短”， 然后即可求解；②理解并掌握及其几何意义和“两点之间，线段最短”， 然后即可求解；③理解并掌握及其几何意义和“两点之间，线段最短”，然后即可求解； （3）根据（2）可知当配件箱放在工作台E处时，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，然后即可求解； （4）理解表示的几何意义，然后分类讨论数的点在表示数点的左侧、数的点在表示数，5两点之间、数的点在表示数点的右侧，然后即可求解最大值和最小值． 【规范解答】（1）解：①数轴上表示1和的两点之间的距离是：． ②数轴上表示和的两点A和B之间的距离是：． （2）解：①∵的几何意义是：在数轴上表示数、1两点间的距离； 的几何意义是：在数轴上表示数x、2两点间的距离； ∴的几何意义是：在数轴上表示数x、1两点间的距离与数轴上表示数、2两点间的距离之和， 根据“两点之间，线段最短”可知： ∴当表示数的点在数轴上表示数1，2两点构成的线段上时，为最小，最小值为数轴上表示数1，2两点之间的距离，即为， 即有最小值是1． ②∵的几何意义是：在数轴上表示数、1两点间的距离、数轴上表示数、2两点间的距离、数轴上表示数、3两点间的距离之和， 根据“两点之间，线段最短”可知： 当数轴上表示数的点与表示2的点重合时，为最小，最小值为数轴上表示数1，3两点之间的距离，即为， 即有最小值是2， ③∵的几何意义是：在数轴上表示数、1两点间的距离、数轴上表示数、2两点间的距离、数轴上表示数、3两点间的距离、数轴上表示数、4两点间的距离之和， 根据“两点之间，线段最短”可知： 当表示数的点在数轴上表示数2，3两点构成的线段上时， 的值为最小值，最小值为数轴上表示数1，4两点之间的距离与数轴上表示数2，3两点之间的距离之和，即为， 即有最小值是4． （3）解：由（2）可知：当配件箱放在工作台E处时，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程为：（米）． （4）解：∵表示的几何意义是：在数轴上表示数、两点间的距离与数轴上表示数、5两点间的距离之差， ①当在数轴上表示数的点在表示数点的左侧时，即， 则，， ∴，， ∴； ②当在数轴上表示数的点在表示数，5两点之间时，即， 则，， ∴，， ∴， ③当在数轴上表示数的点在表示数点的右侧时，即， 则，， ∴，， ∴， ∴， ∴的最大值是，的最小值是． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $