第23章 解直角三角形（高效培优单元测试·强化卷）数学沪科版九年级上册

第23章 解直角三角形（高效培优单元测试·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．的值等于（   ） A． B． C． D．1 2．如图，有一斜坡，坡顶离地面的高度为20米，斜坡的坡度，则此斜坡的水平距离为（   ） A．75米 B．50米 C．30米 D．20米 3．如图，于，于，与相交于，则图中线段的比不能表示的式子为（   ） A． B． C． D． 4．如图，中，，点在上，若，，则的长度为（　　） A． B． C． D． 5．如图是某商店营业大厅自动扶梯的示意图，已知扶梯的长度为米，坡度，则大厅两层之间的距离为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 6．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个正方形的顶点叫做格点，点，，，都在这些小正方形的顶点上，与相交于点，则的值为（    ） A．2 B． C．3 D． 7．如图，在中，，点D在上，过点D作交于点E，交于点F，若，则长为（   ）    A． B．3 C． D． 8．如图，在中，，点为上一点，连接．若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 9．如图，在菱形中，，，动点E从点A出发沿边匀速运动，运动到点C时停止，过点E作的垂线l，在点E运动过程中，垂线l扫过菱形（即阴影部分）的面积为y，点E运动的路程为．下列图象能反映y与x之间函数关系的是（　　） A． B． C． D． 10．如图，在四边形中，平分为边的中点，连接交于．若，则线段的长度为（    ） A． B．1 C． D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．比较大小： ．(填“”，“”或“”) 12．太阳光线与水平地面的夹角称为太阳高度角，某地的太阳高度角的范围是，测得一棵树的影子长为10米，则树的最大高度可以是 米． 13．已知：一元二次方程两个不相等的实数根恰好是直角三角形两个锐角的正弦值．则这个直角三角形的斜边与斜边上的高的比为 ． 14．如图，在中，，是边上的中线，过点D作，垂足为点E，若，．则： （1）的长为 ； （2）的正切值为 ． 三.解答题（本大题共9题，满分90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．计算： (1)； (2)． 16．如图，在中，是边上的中线，过点D作，垂足为点E，若． (1)求的长； (2)求的正切值． 17．如图，若点O是矩形对角线的中点，按如图所示的方式折叠，折痕为和，使边落在上，边也落在上，A、C两点恰好重合于点O，连接交于点G，交于点H． (1)求的值； (2)求的值． 18．乡村振兴，亮化先行．如图是某地一新型太阳能路灯的示意图，灯杆垂直于地面，是灯臂，灯杆与灯臂的夹角，D，E两点分别在地面和灯杆上，斜拉绳恰好与点C在同一条直线上，且米，米． (1)求的长； (2)已知该路灯的灯臂的长为2米，求灯臂的端点距离地面的高度．（结果精确到米，） 19．如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是，，． (1)以点为位似中心，将缩小为原来的得到，请在轴右侧画出，并写出的坐标__________； (2)的正弦值为__________． 20．某海域发生事故，故障船只位于处（位置如图），位于观测站的北偏西方向，甲、乙两艘救援船分别从两地同时出发，甲在地位于观测站的正北方向处，乙在地位于观测站的北偏西方向，两船均以直线航行前往事故点处救援，15分钟后两船同时到达处． (1)求甲船的航行速度； (2)计算乙船从处航行到处的距离． （参考数据：，结果保留一位小数） 21．如图，在中，，，，分别是，，的对边． (1)求的值； (2)（填空）当为锐角时，____________； (3)利用上述规律，求式子的值． 22．（1）如图1，正方形中，点E，F分别是、边上，且于点O，求证：． （2）如图2，在（1）的条件下，连接并延长交于点G，若点G为边中点，求证：． （3）在（2）的条件下，求的值． 23．已知在中，分别表示的对边，记的面积为． (1)如图1，分别以为边向外部作正方形和正方形，记正方形的面积为，记正方形的面积为，若，求的值； (2)分别以为边向外部作等边三角形和等边三角形，记等边三角形的面积为，记等边三角形的面积为． （i）如图2，点为的中点，连接，分别交，于点、点，连接，若，求证：； （ii）如图3，以为边向上作等边三角形（点在内），连接，．若，求证：． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第23章解直角三角形（高效培优单元测试·强化卷） (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求的) 1.c0s45°的值等于() A B. v② C.V3 D.1 2 2 【答案】B 【详解】解：cos45= 2 故选：B 2.如图，有一斜坡AB,坡顶B离地面的高度BC为20米，斜坡AB的坡度i=1:2.5,则此斜坡的水平距离 AC为() B A.75米 B.50米 C.30米 D.20米 【答案】B 【详解】解：：斜坡AB的坡度i=1:2.5, BC:AC=1:2.5, :BC=20米， AC=20×2.5=50(米)， 故选：B. 3.如图，BD⊥AB于D,CE⊥AB于E，,BD与CE相交于O,则图中线段的比不能表示sinA的式子为() E D B BD CD BE A. B. C.AE D. AB Oc AD OB 1/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】c 【详解】解：：BD⊥AB于D,CE⊥AB于E, .sin A= CE BD AC AB :∠A+∠ACE=∠ACE+∠COD=90°， ·∠C0D=LA, 同理可得∠BOE=∠A, CD BE :sin∠COD= ,sin∠BOE= OC OB sin CD BE OC OB' AE 根据现有条件无法证明sinA= AD 故选：C. 4,如图，R1aABC中，∠C=90°，点D在AC上，∠DBC=LA,若AC=8,c0sA=,则BD的长度为（了 4.9 B.15 c.Is D.4 4 2 4 【答案】B 【详解】解：：∠C=90,4C=8,cosA=4C=4, AB5' AB=10, :BC=AB2-AC2=6, :∠DBC=∠A,∠C=∠C=90°， △BAC∽△DBC, BC AC BDAB' 64 BD5' 15 ∴.BD= 2 故选：B. 5.如图是某商店营业大厅自动扶梯的示意图，已知扶梯的长度AB为m米，坡度i=1:2.4,则大厅两层之 2/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 间的距离BC为() B A. 3m米 2m米 B. c.12 m米 D.2 m米 【答案】A 【详解】解：由题意可得： BC_15 AC2.412 ..AC 12BC· 5 由勾股定理可得：AB2=AC2+BC2, +BC2, ·BC= 13m米， 故选：A. 6.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个正方形的顶点叫做格点，点A,B,C,D都 在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P,则tanZAPD的值为() B A---- A.2 B.5 C.3 D.5 【答案】A 【详解】解：如图，连接BE交CD于点F, D E :四边形BCED是正方形 3/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴DF=CF= -CD,BF=BE,CD=BE,BE LCD, 2 :BF=CF=DF, 根据题意，AC∥BD, ∴.∠ACP=∠BDP,∠DBP=∠CAP, △ACPn△BDP, :.DP:CP=BD:AC=1:3, BF=CF=DF, DP:DF=1:2, :.DP=PF-1CF=1BF, 2 2 在R1aPBF中，tan∠BPF=BF E =2, :∠APD=∠BPF, .tan∠APD=2, 故选：A. Z,如图，在ABC中，AC=5,BC=6,cosC=,点D在4C上，过点D作DE∥BC交AB于点E DF⊥BC交BC于点F,若S△BFD=2S△BDE,则CD长为() B A. 5 B.3 2 c D.10 【答案】D 【详解】解：DF⊥BC, .cosC= CF 3 D5' 设CF=3x,CD=5x, AC=5,BC=6, .AD=AC-CD=5-5x,BF=BC-CF=6-3x, DE∥BC, 4/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :△AEDO△ABC，S,B= 1 DE·DF, DE_AD_5-5x-1-x, BC AC 5 .DE=6-6x, S△BFD=2 SABDE, ÷BFDF=2 DE.DF, 2 2 :BF =2DE, 6-3x=2(6-6x), 2 .x= 3' 10 :CD=5x= 3: 故选D. 8.如图，在RiA4BC中，LACB三90，点D为AB上点，连接CD.若an4)BCCD=2,则AD 的长为() A B D A.45 5 C. D. 【答案】c 【详解】解：如图，过点C作CH⊥AB, :Rt△ABC中，tanA 2BC=2, 1 A ▣ B D H :.AC=BC 2 nA=4， 2 :AB=VAC2+BC2=V22+42=2V5, LACBC=1ABCH, 5/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2*2x4= 1 2 ×25.CH, CH=4 5 2 .BH =BC2-CH2 22 45 25 5 :BC=CD,CH⊥AB, .BD=2BH 4V5 AD=AB-BD=2J5-41565 5 5 故选：C 9.如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4,动点E从点A出发沿边AB→BC匀速运动，运动到点C 时停止，过点E作AD的垂线1，在点E运动过程中，垂线1扫过菱形（即阴影部分）的面积为y,点E运 动的路程为xx>0).下列图象能反映y与x之间函数关系的是() 85 85 65 65 B 23 25 6 85 65 65 C. D 2W5 25 0 【答案】A 【详解】 解：当点E在AB上时，如图， 6/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 B ∠A=60°，1⊥AD, ∠AEF=30°， AF-TAE-EF-AE-AFT 2 2 2, -x= 222 8 :此时图象为开口向上的抛物线的一部分，排除C,D选项； 当点E在BC上且1与AD相交时，作BH⊥AD,如图， E H FD :∠A=60°，BH⊥AD, .∠ABH=30°， AH-74B-2.BH-VAB2-AH-25. ÷=5m+w2x25+25x-4=25x-65, :此时图象为直线一部分； 当点E在BC上且1与CD相交时，如图， :∠C=∠A=60°，1⊥BC,CE=AB+BC-x=8-x, ..EF CE.tan60=3(8-x), 7/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5aw2cEEF-8-小58-- 28-, ywa5w=A0-87-98-a42w58--9+8w5r-245, 2 此时图象为开口向下的抛物线的一部分，排除B选项； 故选：A 10.如图，在四边形ABCD中，∠DAB=∠B=60°，AD⊥CD,AC平分∠DAB,E为AB边的中点，连接DE交 AC于F.若CD=1,则线段AF的长度为() D 6 A. B.1 c D. 5 3-5 【答案】A 【详解】解：：∠DAB=∠B=60°，AC平分∠DAB, ∴∠DAC=∠CAB=30°， :AD⊥CD,CD=1, :AD=3,AC=2, 延长AD、BC交于点G,如图， G D B :∠DAB=∠B=60°， .∠G=60°， ·△ABG为等边三角形， :AC平分∠DAB, .C为GB的中点，且AC⊥GB, 8/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AB= AC 43 c0s30°3， 连接EC, :E为AB边的中点，AC⊥GB, .EC-14B=2 3 :C为GB的中点， EC∥AG, .△EFC∽△DFA, Fb,即4 C-AF EC .CF_EC AF AD 2V5 .2-AF 3 2, AF V33 AF=6 故选：A. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11.比较大小：sin47 sin43°.（填“>"，"="或“<"） 【答案】> 【详解】解：：0°<43°<47°<90°， .sin43°<sin47°， 即sin47°>sin43°， 故答案为：>. 12.太阳光线与水平地面的夹角称为太阳高度角，某地的太阳高度角的范围是45°≤α≤60°，测得一棵树 的影子长为10米，则树的最大高度可以是米. 【答案】105 【详解】解：当太阳高度角a=60°时，树的高度为10×tan60°=10V3米， 当太阳高度角a=45°时，树的高度为10×tan45°=10米， :太阳高度角0的范围是45°≤a≤60°， :树的高度的范围为10米到10√5米之间， :树的最大高度可以是10√5米. 9/23 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故答案为：10√5 13.已知：一元二次方程mr-(m-2)x+4m-)=0两个不相等的实数根恰好是直角三角形两个锐角的正 弦值.则这个直角三角形的斜边与斜边上的高的比为 【答案】32：9 【详解】解：作Rt△ABC斜边上的高CD,则sinA=CD AC sinB=CD BC :sinA和sinB是方程mx2-(m-2)x+,(m-)=0的两根， .sind+sinB=-2,sindsinB=-1, m 4m 即CD.CDm-1 AC BC 4m (sind+sinB)-2sin AsinB=(-22m-1 m 2m sinB cosA,sin24+cos24=1, m-2y-m-1-=1. m 2m 整理得m2+7m-8=0, 解得m=1或m=-8. 由CDc2-Coc0-m, AB 4m AC BC AB·CDAB4m CD m-1 当m=1时，无意义；当m=-8时， AB 32 CD9 故答案为：32：9， D 14,如图，在ABC中，∠C=45°，BD是AC边上的中线，过点D作DE⊥BC,垂足为点E,若BD=5, sin∠CBD=3 则： (1)BC的长为 (2)∠ABC的正切值为】 10/23