重难点05 二项式定理及其拓展运用（8种题型）高二数学人教B版选择性必修第二册

重难点05 二项式定理及其拓展运用 题型01 求的展开式 二项式定理的展开式公式为：。 其中是二项式系数，计算公式为。 展开式共有项（通项公式）为，需注意项数与的对应关系。 1．求的展开式； 【答案】 【分析】法一、法二，由二项式定理即可求解； 【详解】方法一： ． 方法二： ． 2．求的展开式； 【答案】 【分析】利用二项式展开公式直接展开即可得解 【详解】． 3．求的展开式. 【答案】； 【分析】利用二项式定理化简求值. 【详解】（1）法一: . 法二: 4．写出的展开式． 【答案】 【分析】根据二项式定理，展开求解. 【详解】在二项式定理中令，可得 ． 5．根据二项式定理完成下列各题： (1)求的展开式； (2)化简 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二项展开式直接运算即可； （2）根据二项展开式分别求的展开式，即可得结果. 【详解】（1）因为 ， 所以. （2）因为 ， 因为 ， 所以 . 6．已知二项式．写出当时的展开式； 【答案】 【分析】根据二项式定理展开即可； 【详解】（1） 7．求的二项展开式． 【答案】 【分析】 根据二项式定理直接展开作答. 【详解】由二项式定理，得 ， 所以的二项展开式是． 8．用二项式定理展开下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】利用二项式展开公式即可得解． 【详解】（1） . （2） . 题型02 二项式定理逆运用 1. 提取公共系数或调整符号，使各项系数匹配：若系数为倍数关系，先提取公因数，将系数化为标准二项式系数；若有负号，结合展开式的符号规律（奇数项正、偶数项负）调整。 2. 识别的原型：根据幂次变化规律，确定幂次递减的项为的幂次，且需满足为常数或最简代数式（无同类项可合并）。 3. 验证结构一致性：将凑配的展开，对比原式是否完全一致，若存在差异则调整或的取值。 9．设复数（是虚数单位），则（    ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【分析】先化简，再利用二项式定理变形后再计算． 【详解】由， 则 ． 故选：A. 10．的展开式中含项的系数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用二项式定理化简原式子得出，再分别求出中的系数即可. 【详解】因为 . 所以的系数为. 故选：B 11．化简：（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】C 【分析】由二项式定理写可得答案. 【详解】因为， ，所以. 故选：C. 12．的值是（    ） A． B．1 C．0 D．22024 【答案】A 【分析】利用二项式定理即可求解. 【详解】由二项式定理得 . 故选：A. 13．化简多项式的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知，将多项式的每一项都变成二项式展开式的结构，观察结构变化，即可进行合并，完成求解. 【详解】依题意可知，多项式的每一项都可看作， 故该多项式为的展开式， 化简． 故选：D. 14．化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二项式定理的逆用即可得结果. 【详解】原式 ， 故选：A. 15．若实数，则等于（    ） A． B．32 C． D．64 【答案】D 【分析】利用二项式定理可求值. 【详解】由题意可得. 故选：D. 16．设，则 . 【答案】3 【分析】由二项式定理得，代入求值即可. 【详解】由二项式定理可得， ， 则有， 当时，. 故答案为：3. 题型03 求展开式中的指定项 1. 针对二项式展开式（如），通项公式为（）。 2. 指定“含，求解为整数且在取值范围内）。 3. 将求得的代入通项公式，计算组合数、字母部分的幂次。化简结果，得到指定项的表达式（含系数和字母部分）。 17．在的展开式中，求含的项为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出展开式的通项，再根据通项求解即可. 【详解】由题知二项式展开式的通项且， 当时，解得， 此时含的项为. 故选：C. 18．的展开式中含的项为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将三项展开式变为，根据和展开式通项，结合不同的取值可求得结果. 【详解】 展开式通项为；展开式通项为， 当时，对应的项为； 当时，对应的项为； 当时，对应的项为； 当时，对应的项为； 当时，对应的项为； 展开式中含的项为. 故选：B. 19．的展开式的第7项为（   ） A． B．35 C． D． 【答案】A 【分析】根据展开式通项写出第7项即可． 【详解】由题意可得二项式展开式的通项为：， 将代入上式，可得：， 所以的展开式的第7项为． 故选：A． 20．在的展开式中，第9项为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】写出展开式通项公式，得到第9项. 【详解】，所以第9项是. 故选：B 21．展开式中的第项是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据展开式通项公式写出第项即可. 【详解】由题意可得二项式展开式的通项为：， 将代入上式，可得：， 所以展开式中的第项是：. 故选：A. 22．的展开式中的第五项为（    ） A． B． C．35 D． 【答案】D 【分析】利用二项式定理直接列式求得答案. 【详解】的展开式中的第五项为. 故选：D 23．展开式中的第3项为（    ） A． B． C．216 D． 【答案】D 【分析】根据二项展开式的通项直接运算即可. 【详解】由题意可知：展开式中的第3项为. 故选：D. 24．二项式的展开式的第3项是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二项式定理展开式的通项公式可得结果. 【详解】的二项展开式的通项公式， 令，得展开式的第3项为. 故选：A 题型04 求展开式中的常数项 1. 二项式展开：若为标准二项式为变量指数），通项公式为，整理后需突出变量的幂次部分：。 2. 根据“常数项变量指数为0”求参数，从第一步整理后的通项中，提取所有变量的指数表达式，令其和为0，建立方程。解方程求出参数，需严格验证是否为整数且在取值范围为展开式次数内，若不在范围内则说明展开式中无常数项。 3. 将第二步求得的有效值代入通项公式，重点计算常数部分：先计算组合数，再计算常数系数的幂次乘积（如第一步中）。由于常数项不含变量，此时变量部分已因指数为0化为1，只需将组合数与常数系数乘积化简，结果即为展开式的常数项。 25．的展开式中二项式系数的和为64，则展开式中的常数项为（    ） A．60 B． C．15 D． 【答案】A 【分析】根据二项式系数和的性质，求出参数；根据二项式展开式，求出指定项即可. 【详解】由题可知，解得， 则二项式展开式通项公式为， 令，解得，所以常数项为. 故选：A. 26．在的展开式中，只有第四项的二项式系数最大，则其展开式中的常数项为（    ） A．- 60 B．- 20 C．20 D．60 【答案】D 【分析】利用二项式系数的最大性求出，进而求出展开式常数项. 【详解】在的展开式中，只有第四项的二项式系数最大，则， 因此展开式中的常数项为. 故选：D 27．展开式中的常数项为（    ） A．40 B．60 C．80 D．120 【答案】B 【分析】由二项式定理写出括号展开式的通项公式，利用赋值法，可得答案. 【详解】由的展开式通项为， 则令，即，常数项为. 故选：B. 28．在的展开式中，常数项为（   ） A． B．40 C． D．80 【答案】B 【分析】由通项公式即可求解. 【详解】通项公式 令，得， 所以在的展开式中，常数项为. 故选：B． 29．的展开式的常数项为（　　） A．210 B．252 C． D． 【答案】C 【分析】根据二项式展开式的通项公式来求解展开式的常数项． 【详解】对于二项式，根据二项式展开式通项公式得： ， 对进行化简： ， 令， 解得． 将代入到中可得： 故选：C． 30．二项式的展开式中，常数项为（    ） A．24 B．6 C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，求出展开式的通项，进而确定常数项并求解. 【详解】依题意，展开式中的通项公式为， 显然无解，由，得， 所以所求常数项为. 故选：D 31．若是一组数据的方差，则的展开式的常数项为（    ） A． B．3360 C．210 D．16 【答案】B 【分析】根据数据信息，求解出方差的值，代入二项式中，求解二项式展开式的通项公式，求解常数项即可. 【详解】解：数据0，2，0，2的平均值为1，故方差， 故二项式为，其展开式的通项公式为， 令，解得， 故常数项为. 故选：B. 32．已知在的展开式中，第项为常数项，则展开式中所有的有理项共有（    ） A．5项 B．4项 C．3项 D．2项 【答案】C 【分析】写出展开式的通项，结合第项为常数项，求出，再利用通项求出有理项的项数. 【详解】二项式展开式的通项为（且）， 因为第项为常数项，所以时，有，解得， 则展开式的通项为（且）， 由，令，，则，即， 因为，所以应为偶数，所以可取，即可以取， 所以第项，第项，第项为有理项，即展开式中有理项的项数为. 故选：C. 题型05 求展开式中的有理项 1. 对于标准二项式（其中为有理数，为有理数，为正整数），通项公式为。整理后变量，系数为（组合数为有理数，系数必为有理数）。 2. 从第一步整理的通项中，提取变量的幂次表达式，令其等于整数为整数），建立关于的方程。结合的取值范围为整数），求解方程得到所有满足条件的值。需注意：若变量幂次含分数分母，需保证分母能整除分子。 3. 若题目中展开式的底数系数为有理数（如整数、分数），结合组合数为整数的性质，系数必然为有理数，可直接跳过系数验证；若系数含无理数（如），需验证代入后系数是否为有理数（如无理数的幂次化为有理数）。将第二步求得的所有有效值分别代入通项公式，计算出对应的系数和变量幂次，化简后得到展开式中的所有有理项。 33．二项式的展开式中有理项的项数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】根据题意，求得二项式的展开式的通项为，结合通项，即可求解. 【详解】由题意，二项式的展开式的通项为： ，其中， 当时，展开式为有理项， 所以二项式的展开式中有理项的项数为6项. 故选：C. 34．的展开式中所有有理项系数之和为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据的展开式的通项，要使为有理项，需，又因为的展开式的通项为，则两个二项式的展开式的系数相等， 所以问题可以转化为求的展开式的所有偶数项的系数之和，然后利用赋值法求解. 【详解】的展开式的通项为， 要使为有理项，需， 又因为的展开式的通项为， 则两个二项式的展开式的系数相等， 所以问题可以转化为求的展开式的所有偶数项的系数之和， 令， 令，则①， 令，则②， 则①+②可得：， 则的展开式中所有有理项系数之和为. 故选：C． 35．若的展开式中共有个有理项，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用二项展开式通项即可得解. 【详解】的展开式通项为，， 当时，为有理项，故. 故选：C. 36．在的展开式中，有理项共有（    ）项 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】先写出展开式的通项并进行整理，然后分析的指数部分为整数的项数即可. 【详解】因为展开式的通项为， 因为为整数且， 所以可取， 所以有理项一共有项， 故选：C. 37．若的展开式中有且仅有三个有理项，则正整数的取值为（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【解析】首先写出二项展开式的通项公式，由条件可知为整数，然后观察选项，通过列举的方法，求得正整数的值. 【详解】的通项公式是 设其有理项为第项，则的乘方指数为，依题意为整数， 注意到，对照选择项知、、， 逐一检验：时，，不满足条件； 时，、、，成立； 时，、5、8，成立 故选：B. 【点睛】关键点点睛：写出通项公式后，若展开式中有有理项，即的乘方指数为整数，根据与的关系，依次代入求值. 38．二项式的展开式中，常数项为（    ） A． B． C．60 D．120 【答案】C 【分析】由二项式的展开式通式求得常数项即可. 【详解】二项式的常数项为， 故选：C 39．的展开式中的常数项是（    ） A．第673项 B．第674项 C．第675项 D．第676项 【答案】D 【分析】根据题意，求得展开式的通项公式，结合通项公式，即可求解. 【详解】由二项式的展开式为 ， 令，解得，此时， 所以二项式的展开式的常数项为第项. 故选：D. 40．的展开式的常数项是（    ） A．40 B．-40 C．20 D．-20 【答案】D 【分析】运用二项式的通项公式进行求解即可. 【详解】二项式的通项公式为， 令 ，所以的展开式的常数项是， 故选：D 题型06 求展开式中的项问题 1. 二项式转化法（通用且易上手），合并两项转化为二项式。任意选取两项合并为一个整体，转化为“”的二项式形式。根据二项式通项公式，的通项为，其中的指数。 2. 展开“整体”并锁定内层参数，将按二项式展开，其通项为，其中的指数。若指定“含的项”（满足，则令，代入即可确定为整数且在各自取值范围内）；若指定“常数项”，则令均为一次项才可能有常数项，否则需结合具体次数分析）。 3. 代入计算指定项；多项式定理直接法（一步定位），将求得的代入两层通项，指定项为，计算组合数乘积即为系数，整理后得到指定项。 41．的展开式共（   ） A．10项 B．15项 C．20项 D．21项 【答案】B 【分析】根据二项式定理的展开式项数即可得出结论. 【详解】∵， 由二项式定理可知，展示式中共有项， ∴的展开式共有项. 故选：B． 42．的展开式中，共有多少项？（ ） A．45 B．36 C．28 D．21 【答案】A 【分析】按照展开式项含有字母个数分类，即可求出项数． 【详解】当展开式的项只含有1个字母时，有3项， 当展开式的项只含有2个字母时，有项， 当展开式的项含有3个字母时，有项， ∴的展开式共有45项. 故选:A． 43．在的展开式中，含项的系数为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把看成6个相乘，利用分类加法计数原理和分步乘法计数原理，即可得到结果. 【详解】是6个相乘，需要依次从每个的三项（1，，）中选出一项后相乘，就可得到展开式中的一项. 得到项的方法有两类： 第一类是，6个的1个里选出，1个里选出，其余里选出，相乘得，这类方法，共可得到个，合并同类项后即得到； 第二类是，6个的3个里选出，其余里选出，相乘得，这类方法，共可得到个，合并同类项后即得到. 再将上述两项合并，得，因此项的系数为. 故选：B. 44．的展开式中，的系数为（　　） A．60 B． C．30 D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用多项式乘法结合组合应用问题，列式计算作答. 【详解】因为，于是在5个多项式中，取2个用，再从余下3个多项式中取2个用， 最后1个多项式用常数项相乘，因此含的项为， 所以的系数为60. 故选：A 45．展开式中含项的系数为（    ） A．30 B． C．10 D． 【答案】B 【分析】根据排列组合与二项式定理知识直接计算即可. 【详解】由题意得，展开式中含的项为， 所以展开式中含项的系数为. 故选：B 46．在的展开式中含和含的项的系数之和为（    ） A． B． C． D．1485 【答案】A 【分析】由已知得 ，分别利用二项式展开式的通项公式求得的系数和含的项的系数，由此可求得答案. 【详解】解： ，则的系数为1， 的系数为， 所以在的展开式中含和含的项的系数之和为． 故选：A． 47．已知展开式的常数项为76，则（    ） A．1 B．61 C．2 D． 【答案】A 【分析】由，利用二项式定理求其展开式，再求各部分的展开式，确定展开式的常数项表达式，列方程求. 【详解】因为， 所以 ， 的展开式的通项为，， 当时为常数项，常数项为， 的展开式的通项为，， 展开式没有常数项， 的展开式的通项为，， 展开式没有常数项， 的展开式的通项为，， 当时为常数项，常数项为， 的展开式的通项为，， 展开式没有常数项， 的展开式没有常数项， 又为常数， 所以常数项为， 所以，又， 解得． 故选：A. 48．已知多项式展开式中所有项的系数之和为32，则该展开式中的常数项为 ． 【答案】 【分析】先用展开式中所有项的系数之和为32求出，再将化为进行求解. 【详解】由题意可得，解得，则， 故该展开式中的常数项为． 故答案为： 题型07 多个二项式和问题 1. 判断结构类型：对每个二项式，单独写出其通项公式并整理变量幂次。统一变量：若多个二项式含相同变量，需将各通项中该变量的幂次明确标注；若含不同变量，根据指定项需求锁定关联变量。 2. 多个二项式的和/差：指定项是各二项式中“满足条件的项”的和/差。具体操作：对每个二项式，令其通项中的幂次等于指定幂次，求解各自参数，记录各参数对应的项。 3. 计算单个符合条件的项：对第二步找到的每个参数（或参数组合），代入对应通项公式，计算项的系数和变量部分。按结构合并：和/差结构直接将各二项式的符合条件项相加/减。 49．设，它等于下式中的（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二项式展开式的特征即可求解. 【详解】， 故选：C 50．（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由二项式定理求解即可. 【详解】 ． 故选：B. 51．化简多项式的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过观察题目中多项式的每一项，可以看作，由此得到这个多项式是哪个对应的二项式的展开式. 【详解】依题意可知，多项式的每一项都可看作， 故为的展开式，化简. 故选：D. 52．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二项式定理可得答案. 【详解】 . 故选：B 53．的展开式中x的系数为（    ） A．30 B．40 C．70 D．80 【答案】C 【分析】利用二项式定理，写出通项公式直接求解即可 【详解】展开式的通项， 令即，此时， 展开式的通项， 令，即，此时， 所以展开式中的系数为. 故选：C. 54．若的展开式中存在常数项，则下列选项中的取值不可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二项式展开式的通项公式求得正确答案. 【详解】由题意得的展开式为， 的展开式为， 要使的展开式中存在常数项， 则或， 所以可得的值可能是3，4，6，不可能是5. 故选：C. 55．若的展开式中含有项的系数为18，则（    ） A．2 B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据二项式展开式的通项公式，可列出方程，即可求得a，即得答案. 【详解】由题意的展开式中含有项的系数为18， 即 ，即， 解得或， 故选：C 56．设，则可化简为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合公式 ，可将式子转化为，进而得到答案. 【详解】利用和的立方公式： 易知． 故选：C 题型08 多个二项式积问题 1. 写单个二项式通项，锁定幂次组合：分别写出每个二项式的通项，用不同字母等）标注参数并整理变量幂次。根据指定项的变量幂次需求，列所有满足“各通项幂次和=指定幂次”的参数组合，验证参数是否在取值范围内。 2. 算组合项系数，累加得指定项：对每组有效参数组合，代入对应通项计算系数（组合数与常数系数乘积），变量部分因幂次和为指定值合并为目标形式。将所有组合项的系数累加，结合变量部分得到指定项。 57．在的展开式中，常数项为（    ） A．182 B．42 C． D． 【答案】B 【分析】写出展开式的通项，从而确定常数项. 【详解】因为， 则的展开通项公式为， 的展开通项公式为， 令，即， 可得和， 相加得， 故选：B. 58．已知 ，则 （      ） A．8 B．10 C． D． 【答案】B 【分析】由，利用二项式定理求解指定项的系数. 【详解】， 其中展开式的通项为，且， 当时，，此时只需乘以第一个因式中的2，可得； 当时，，此时只需乘以第一个因式中的，可得. 所以. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是把表示成，利用即可二项式定理求解. 59．的展开式中常数项为（    ） A．120 B． C．180 D． 【答案】D 【分析】求出展开式中通项，进而计算即可求解. 【详解】展开式中通项为 ，，1，2，…，6， 当且仅当时，的展开式可取到常数项， 则常数项为． 故选：D． 60．的展开式中不含项，则实数a的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由二项展开式的通项公式求解即可. 【详解】的展开式的通项公式为，因为的展开式中不含项，所以，解得， 故选：C． 61．展开式中项的系数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】利用二项式展开式的通项公式，求展开式中和项的系数即可. 【详解】由题意得展开式的通项公式为， 令；令（不合题意）， 故展开式中项的系数为， 故选：B 62．展开式中的系数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分两种情况计算：①第一个多项式含1，后一个含；②第一个多项式含，后一个含，把两种情况的系数相加即可. 【详解】由知展开式中含项情况为： ①， ②， 所以展开式中的系数是：. 故选：A. 63．已知多项式，则（    ） A．0 B．32 C．16 D． 【答案】B 【分析】设，令求出，再分别求出和的展开式中一次项和常数项，得出，即可得出答案． 【详解】设，则， 令，则， 的展开式中一次项为，常数项为1， 的展开式中一次项为，常数项为16， 所以， 所以， 故选：B． 64．的展开式中的系数是（    ） A．20 B． C．10 D． 【答案】D 【分析】先把二项式分为三部分，分别求每个二项式展开式中的系数计算即可. 【详解】因为, 展开式中的项是, 则展开式中的系数是. 故选:D. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点05 二项式定理及其拓展运用 题型01 求的展开式 二项式定理的展开式公式为：。 其中是二项式系数，计算公式为。 展开式共有项（通项公式）为，需注意项数与的对应关系。 1．求的展开式； 2．求的展开式； 3．求的展开式. 4．写出的展开式． 5．根据二项式定理完成下列各题： (1)求的展开式； (2)化简 6．已知二项式．写出当时的展开式； 7．求的二项展开式． 8．用二项式定理展开下列各式： (1)； (2)． 题型02 二项式定理逆运用 1. 提取公共系数或调整符号，使各项系数匹配：若系数为倍数关系，先提取公因数，将系数化为标准二项式系数；若有负号，结合展开式的符号规律（奇数项正、偶数项负）调整。 2. 识别的原型：根据幂次变化规律，确定幂次递减的项为的幂次，且需满足为常数或最简代数式（无同类项可合并）。 3. 验证结构一致性：将凑配的展开，对比原式是否完全一致，若存在差异则调整或的取值。 9．设复数（是虚数单位），则（    ） A．0 B． C． D． 10．的展开式中含项的系数为（ ） A． B． C． D． 11．化简：（   ） A．2 B．1 C．0 D． 12．的值是（    ） A． B．1 C．0 D．22024 13．化简多项式的结果是（    ） A． B． C． D． 14．化简的结果为（    ） A． B． C． D． 15．若实数，则等于（    ） A． B．32 C． D．64 16．设，则 . 题型03 求展开式中的指定项 1. 针对二项式展开式（如），通项公式为（）。 2. 指定“含，求解为整数且在取值范围内）。 3. 将求得的代入通项公式，计算组合数、字母部分的幂次。化简结果，得到指定项的表达式（含系数和字母部分）。 17．在的展开式中，求含的项为（　　） A． B． C． D． 18．的展开式中含的项为（    ） A． B． C． D． 19．的展开式的第7项为（   ） A． B．35 C． D． 20．在的展开式中，第9项为（   ） A． B． C． D． 21．展开式中的第项是（    ） A． B． C． D． 22．的展开式中的第五项为（    ） A． B． C．35 D． 23．展开式中的第3项为（    ） A． B． C．216 D． 24．二项式的展开式的第3项是（    ） A． B． C． D． 题型04 求展开式中的常数项 1. 二项式展开：若为标准二项式为变量指数），通项公式为，整理后需突出变量的幂次部分：。 2. 根据“常数项变量指数为0”求参数，从第一步整理后的通项中，提取所有变量的指数表达式，令其和为0，建立方程。解方程求出参数，需严格验证是否为整数且在取值范围为展开式次数内，若不在范围内则说明展开式中无常数项。 3. 将第二步求得的有效值代入通项公式，重点计算常数部分：先计算组合数，再计算常数系数的幂次乘积（如第一步中）。由于常数项不含变量，此时变量部分已因指数为0化为1，只需将组合数与常数系数乘积化简，结果即为展开式的常数项。 25．的展开式中二项式系数的和为64，则展开式中的常数项为（    ） A．60 B． C．15 D． 26．在的展开式中，只有第四项的二项式系数最大，则其展开式中的常数项为（    ） A．- 60 B．- 20 C．20 D．60 27．展开式中的常数项为（    ） A．40 B．60 C．80 D．120 28．在的展开式中，常数项为（   ） A． B．40 C． D．80 29．的展开式的常数项为（　　） A．210 B．252 C． D． 30．二项式的展开式中，常数项为（    ） A．24 B．6 C． D． 31．若是一组数据的方差，则的展开式的常数项为（    ） A． B．3360 C．210 D．16 32．已知在的展开式中，第项为常数项，则展开式中所有的有理项共有（    ） A．5项 B．4项 C．3项 D．2项 题型05 求展开式中的有理项 1. 对于标准二项式（其中为有理数，为有理数，为正整数），通项公式为。整理后变量，系数为（组合数为有理数，系数必为有理数）。 2. 从第一步整理的通项中，提取变量的幂次表达式，令其等于整数为整数），建立关于的方程。结合的取值范围为整数），求解方程得到所有满足条件的值。需注意：若变量幂次含分数分母，需保证分母能整除分子。 3. 若题目中展开式的底数系数为有理数（如整数、分数），结合组合数为整数的性质，系数必然为有理数，可直接跳过系数验证；若系数含无理数（如），需验证代入后系数是否为有理数（如无理数的幂次化为有理数）。将第二步求得的所有有效值分别代入通项公式，计算出对应的系数和变量幂次，化简后得到展开式中的所有有理项。 33．二项式的展开式中有理项的项数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 34．的展开式中所有有理项系数之和为（　　） A． B． C． D． 35．若的展开式中共有个有理项，则的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 36．在的展开式中，有理项共有（    ）项 A．3 B．4 C．5 D．6 37．若的展开式中有且仅有三个有理项，则正整数的取值为（    ） A． B．或 C．或 D． 38．二项式的展开式中，常数项为（    ） A． B． C．60 D．120 39．的展开式中的常数项是（    ） A．第673项 B．第674项 C．第675项 D．第676项 40．的展开式的常数项是（    ） A．40 B．-40 C．20 D．-20 题型06 求展开式中的项问题 1. 二项式转化法（通用且易上手），合并两项转化为二项式。任意选取两项合并为一个整体，转化为“”的二项式形式。根据二项式通项公式，的通项为，其中的指数。 2. 展开“整体”并锁定内层参数，将按二项式展开，其通项为，其中的指数。若指定“含的项”（满足，则令，代入即可确定为整数且在各自取值范围内）；若指定“常数项”，则令均为一次项才可能有常数项，否则需结合具体次数分析）。 3. 代入计算指定项；多项式定理直接法（一步定位），将求得的代入两层通项，指定项为，计算组合数乘积即为系数，整理后得到指定项。 41．的展开式共（   ） A．10项 B．15项 C．20项 D．21项 42．的展开式中，共有多少项？（ ） A．45 B．36 C．28 D．21 43．在的展开式中，含项的系数为（  ） A． B． C． D． 44．的展开式中，的系数为（　　） A．60 B． C．30 D． 45．展开式中含项的系数为（    ） A．30 B． C．10 D． 46．在的展开式中含和含的项的系数之和为（    ） A． B． C． D．1485 47．已知展开式的常数项为76，则（    ） A．1 B．61 C．2 D． 48．已知多项式展开式中所有项的系数之和为32，则该展开式中的常数项为 ． 题型07 多个二项式和问题 1. 判断结构类型：对每个二项式，单独写出其通项公式并整理变量幂次。统一变量：若多个二项式含相同变量，需将各通项中该变量的幂次明确标注；若含不同变量，根据指定项需求锁定关联变量。 2. 多个二项式的和/差：指定项是各二项式中“满足条件的项”的和/差。具体操作：对每个二项式，令其通项中的幂次等于指定幂次，求解各自参数，记录各参数对应的项。 3. 计算单个符合条件的项：对第二步找到的每个参数（或参数组合），代入对应通项公式，计算项的系数和变量部分。按结构合并：和/差结构直接将各二项式的符合条件项相加/减。 49．设，它等于下式中的（    ） A． B． C． D． 50．（    ） A． B． C． D． 51．化简多项式的结果是（    ） A． B． C． D． 52．若，则（    ） A． B． C． D． 53．的展开式中x的系数为（    ） A．30 B．40 C．70 D．80 54．若的展开式中存在常数项，则下列选项中的取值不可能是（     ） A． B． C． D． 55．若的展开式中含有项的系数为18，则（    ） A．2 B． C．或 D．或 56．设，则可化简为（    ） A． B． C． D． 题型08 多个二项式积问题 1. 写单个二项式通项，锁定幂次组合：分别写出每个二项式的通项，用不同字母等）标注参数并整理变量幂次。根据指定项的变量幂次需求，列所有满足“各通项幂次和=指定幂次”的参数组合，验证参数是否在取值范围内。 2. 算组合项系数，累加得指定项：对每组有效参数组合，代入对应通项计算系数（组合数与常数系数乘积），变量部分因幂次和为指定值合并为目标形式。将所有组合项的系数累加，结合变量部分得到指定项。 57．在的展开式中，常数项为（    ） A．182 B．42 C． D． 58．已知 ，则 （      ） A．8 B．10 C． D． 59．的展开式中常数项为（    ） A．120 B． C．180 D． 60．的展开式中不含项，则实数a的值为（    ） A． B． C． D． 61．展开式中项的系数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 62．展开式中的系数是（    ） A． B． C． D． 63．已知多项式，则（    ） A．0 B．32 C．16 D． 64．的展开式中的系数是（    ） A．20 B． C．10 D． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $