重难点06 二项式系数性质及其拓展运用（10种题型）高二数学人教B版选择性必修第二册

重难点06 二项式系数性质及其拓展运用 题型01 二项式系数及和问题 若求二项式系数和，聚焦，求某一项的二项式系数用二项式展开式通项：，其中为二项式系数 1．在二项式的展开式中，含项的二项式系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二项式的展开式，求特定项的二项式系数. 【详解】已知的展开式第项为， 当，为含项，二项式系数为. 故选：C. 2．在的展开式中，含的项的二项式系数为（   ） A．6 B．16 C．24 D．216 【答案】A 【分析】根据展开项二项式系数的特点直接计算即可. 【详解】由题可知：的项的二项式系数为. 故选：A 3．的展开式的第7项的二项式系数是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二项式的通项公式求解. 【详解】的展开式的第7项的二项式系数是. 故选：C. 4．在的展开式中，第四项的二项式系数为（    ） A．4 B． C．32 D． 【答案】A 【分析】求出的展开式的通项即可求解. 【详解】因为的展开式的通项为， 所以第四项的二项式系数为. 故选：A. 5．的展开式的二项式系数和为（    ） A．1 B．5 C．16 D．32 【答案】D 【分析】利用二项式系数性质求解. 【详解】二项式系数和为， 故选：D. 6．已知的展开式中第4项与第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（   ） A．128 B．256 C．512 D．1024 【答案】B 【分析】根据二项式系数性质，列出方程，求出参数，求出奇数项的二项式系数和. 【详解】由二项式系数性质可知，第4项的二项式系数为，第7项的二项式系数为， 当时，可知； 可得，则奇数项的二项式系数和为. 故选：B. 7．已知的展开式中二项式系数之和为16，各项系数之和为81，则其展开式中的系数是（   ） A．4 B．8 C．32 D．64 【答案】C 【分析】根据二项式系数之和以及系数之和求，再根据二项式定理运算求解即可. 【详解】由题意，展开式中二项式系数之和为16，则，即， 即二项式为，因为的展开式中各项系数之和为81， 令可得，，解得， 此时二项式为，其展开式的通项公式为 ，， 令，得，所以展开式中的系数是. 故选：C. 8．已知的展开式中第2项与第5项的系数相等，则偶数项的二项式系数和为（    ） A．8 B．16 C．32 D．64 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出，再利用二项式系数的性质求解. 【详解】依题意，，解得， 所以的展开式偶数项的二项式系数和为. 故选：B 题型02 二项式展开式中项的系数及和问题 特定项系数用通项公式，化简后提取对应系数。求和问题可以用用赋值法。 9．二项式的展开式的第4项的系数是（ ） A．8 B．35 C．280 D．60 【答案】C 【分析】利用二项式定理的通项公式求解. 【详解】通项为，则， 则第4项的系数是. 故选：C. 10．的展开式中含的项的系数为（   ） A． B． C． D．5 【答案】B 【分析】根据二项式展开式计算求解即可. 【详解】含的项的系数为. 故选：B. 11．二项式的展开式中第5项的系数为（    ） A．252 B．-252 C．210 D．-210 【答案】C 【分析】求出展开式的通项，从而可得第5项的系数． 【详解】二项式展开式的通项公式， 当时，第5项系数为210． 故选：C. 12．的展开式中第5项的系数为（    ） A．60 B．64 C．72 D．84 【答案】A 【分析】利用二项式定理求出第5项即可得解. 【详解】的展开式中第5项为， 所以所求的系数为60. 故选：A 13．若的展开式中的各项系数和为243，则该展开式中的系数为（    ） A．20 B．40 C．60 D．80 【答案】D 【分析】令求出，然后根据展开式的通项求解即可. 【详解】令，可得，则， 则的展开式的通项为，， 令，得， 则的展开式中的系数为. 故选：D. 14．在的二项展开式中，只有第6项的二项式系数最大，则各项系数之和为（   ） A． B． C．1 D．1024 【答案】C 【分析】由二项式系数的性质及系数最大项可得，再应用赋值法求各项系数之和. 【详解】由的展开式中，只有第6项的二项式系数为最大，所以， 在中，令，得，所以各项系数之和为1． 故选：C 15．若的展开式中的系数为12，则其展开式中所有项的系数的和为（    ） A．16 B．32 C．48 D．64 【答案】C 【分析】先根据已知系数列式求出，再应用赋值法计算系数和即可. 【详解】的展开式中的系数为，所以， 所以令，所以展开式中所有项的系数的和为48. 故选：C. 16．已知的展开式中，各项系数的和为243，则该展开式中的项的系数为（   ） A．24 B．80 C．160 D．240 【答案】B 【分析】写出二项式的展开式，令求得各项系数的和，解得的值，代入的值，写出二项式的展开式通项，令求出即可得到结果. 【详解】设 令，则，∴， 所以的展开式通项为， 令，则， 故选：B. 17．已知的展开式第3项的系数是60，则展开式所有项系数和是（   ） A．-1 B．1 C．64 D． 【答案】B 【分析】首先根据题意求出的值，然后在中令即可求解. 【详解】由题意，注意到是正整数，所以解得， 则展开式所有项系数和是. 故选：B. 18．在的展开式中，所有的二项式系数之和为32，则所有项系数和为（    ） A．32 B． C．0 D．1 【答案】D 【分析】根据二项式的所有二项式系数之和的表达式求得的值，再对赋值1即可求得. 【详解】依题，解得，则二项式的所有项系数之和为. 故选：D. 题型03 二项式系数最值问题 1. 明确二项式系数性质与n的奇偶性。二项式系数呈对称分布，先判断n为奇数还是偶数，确定最值项的位置规律。 2. n为偶数时，中间项（第项）系数最大；n为奇数时，中间两项（第项和第项）系数相等且最大。代入组合数公式计算具体值。 19．展开式中所有项的系数和为243，展开式中二项式系数最大值为（    ） A．6 B．10 C．15 D．20 【答案】B 【分析】令，得所有项指数和，求得指数，再根据二项式系数的性质得结论． 【详解】令得，， 展开式中二项式系数最大的项是第3和第4项，最大的二项式系数为． 故选：B． 20．已知二项式的展开式中所有项的系数和为512，函数，且，则函数取最大值时的取值为（    ） A．4 B．5 C．4或5 D．6 【答案】C 【解析】令，可得展开式中所有项的系数和，即可求出的值，从而可得出再利用二项式系数最值性即可求解. 【详解】因为二项式的展开式中所有项的系数和为512， 令，得 所以，二项式展开式有10项， 则由二项式系数最值性可知第5项和第6项的二项式系数最大， 所以当或5时，最大， 故选：C 【点睛】本题主要考查了二项式展开式所有项的系数之和，以及展开式中二项式系数最大的项，属于基础题. 21．的展开式中，前项的系数成等差数列，展开式中二项式系数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出展开式前三项的系数，根据题意可得出关于的方程，解出的值，然后利用二项式系数的基本性质可求得结果. 【详解】展开式的通项公式为， 所以，前三项的系数分别为、、且成等差数列， 所以，，即，整理可得， 由题意可知，且，解得， 故解得，二项式系数的最大值为． 故选：. 22．的展开式中的系数等于其二项式系数的最大值，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】A 【分析】根据二项展开式的通项公式赋值得展开式中的系数，而二项式系数的最大值为，据题设列式求值即可. 【详解】因为的展开式的通项公式为， 令，即时，的系数为. 而二项式系数最大值为， 所以，即. 故选：A. 23．已知，和的展开式中二项式系数的最大值分别为和，则（    ） A． B． C． D．的大小关系与有关 【答案】A 【分析】根据二项式系数的性质知，，再用组合数的定义验证. 【详解】根据二项式系数的性质，最大的二项式系数出现在正中间的1项或正中间的2项. 即，， 所以，从而. 故选：A. 24．的展开式中二项式系数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】展开式中共有5项，根据展开式中间项的二项式系数最大，故第3项的二项式系数最大，可得选项. 【详解】因为展开式中共有5项，根据展开式中间项的二项式系数最大， 所以第3项的二项式系数最大，即最大值为， 故选：C. 题型04 项的系数最值问题 系数最大项的一般解决方法是：提取系数使得第r项系数大于等于第r+1项系数以及第r项系数大于等于第r-1项系数，列不等式求解；简单系数最大问题可直接通过二项式系数配合其他关系进行判断求解 25．已知展开式的所有二项式系数之和为32，则展开式的各项中系数的最大值为（    ） A．252 B．210 C．120 D．10 【答案】B 【分析】根据二项式系数之和公式求出m， 结合通项公式进行求解即可. 【详解】因为展开式的所有二项式系数之和为32， 所以， 所以的通项公式为 ， 当或6时，展开式的系数最大，其系数最大值为， 故选：B 26．若且，则在展开式中各项系数的最大值为（    ） A．42 B．35 C．28 D．21 【答案】B 【分析】根据二项式展开式的通项解得即可求解. 【详解】展开式的通项为，，即， 解得，故展开式中共有8项， 所以展开式中间两项的系数最大，最大值为. 故选：B 27．在的展开式中，二项式系数的最大值为20，则系数的最大值为（   ） A．729 B．1243 C．1458 D．2187 【答案】C 【分析】根据二项式系数最大值求出，再列不等式得出系数的最大值. 【详解】因为，，，所以． 设展开式的第项的系数为，则，． 令得，所以取，得． 故选：C． 28．二项式展开式中，系数最大值为（    ） A．280 B．448 C．560 D．672 【答案】C 【分析】利用二项式定理写出通项，再计算其奇数项的系数. 【详解】展开式通项公式为，且为整数， 要想系数最大，则为偶数，是展开式中的奇数项， 则第项的系数为，第项的系数为，第项的系数为，第7项的系数为， 故二项式展开式中，系数最大值为. 故选：C 29．的展开式中各项系数的最大值为（    ）． A．112 B．448 C．896 D．1792 【答案】D 【分析】根据二项式的通项公式，结合展开式系数最大的性质进行求解即可. 【详解】该二项式的通项公式为， 由，可得． 因为，所以展开式中各项系数的最大值为． 故选：D 30．在的展开式中，的系数等于－5，则该展开式的各项的系数中最大值为（    ） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】B 【分析】求出二项式的通项公式，根据题意求出a，再根据二项式展开式的特征判断系数最大项． 【详解】的展开式的通项， 令5－2r＝3，则r＝1，所以－a×5＝－5，即a＝1， 展开式中第2，4，6项的系数为负数，第1，3，5项的系数为正数， 故各项的系数中最大值为， 故选：B. 31．的展开式中，各项系数的最大值是 ． 【答案】7 【分析】根据二项式展开式通项得到，由求解即可. 【详解】的展开式的通项为，且． 设展开式中第项的系数最大，则即， 又，所以或6， 故展开式中系数最大的项是第6项或第7项，且该项系数为. 故答案为：7 32．的展开式中，各项系数中的最大值为 ． 【答案】5 【分析】先设展开式中第项系数最大，则根据通项公式有，进而求出即可求解. 【详解】由题展开式通项公式为，且， 设展开式中第项系数最大，则， ，即，又，故， 所以展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数为. 故答案为：5. 题型05 赋值法求奇/偶次项系数和 1. 令变量，此时奇、偶次项系数均为正，直接累加。 2. 令变量，此时奇次项系数为负、偶次项系数为正，形成正负抵消后的结果。 3. 偶次项系数和，通过加减消元分离两类系数。 33．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】赋值法求系数和. 【详解】令，则①， 令，则②， 则（①-②）再除以2可得， 故选：B. 34．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令计算可判断A；利用展开式的通项公式计算可判断B，令计算可判断C；令结合C选项计算可判断D. 【详解】对于A，令，得，即，故A错误； 对于B，展开式的通项公式为， 所以，故B错误； 对于C，令，得， 即，故C正确； 对于D，令，得， 即， 因为， 所以， 因为， 所以不成立，故D错误. 故选：C 35．若，则的值为（   ） A．－121 B．－122 C．121 D．122 【答案】A 【分析】由求出的值，由求出的值，两式相加即可求出的值. 【详解】由， 令，得①， 令，得②， ①+②得，， 所以. 故选：A 36．已知展开式中，只有第6项的二项式系数最大，则（    ） A．-1024 B．-1 C．1 D．1024 【答案】C 【分析】由题意先求，令即可求解. 【详解】由题意有第6项的二项式系数为，又只有第6项的二项式系数最大，所以，解得， 令有， 故选：C. 37．若，则（    ） A．240 B．244 C．120 D．122 【答案】D 【分析】根据题意，分别令和，两式相减，求得，即可求解. 【详解】由， 令，可得， 令，可得， 两式相减，可得，所以. 故选：D. 38．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，由赋值法可得. 【详解】设， 则， ， 因此，. 故选：C. 39．已知，则等于（    ） A．32 B． C．64 D． 【答案】D 【分析】利用赋值法，分别令和，得到的两式相加，即可得出答案. 【详解】令，则， 令，则， 两式相加可得，，则. 故选：D. 40．， 下列说法正确的是（      ） A．各项的二项式系数和为256 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二项式系数的性质判断A的真假；利用赋值法可判断BCD的真假. 【详解】对A：各项的二项式系数和为：，故A错误； 令可得：. 令可得：①. 所以，故B正确； 令可得：② ①②可得： ，故D错误； ①②可得： ，故C错误. 故选：B 题型06 三项展开式系数问题 1. 转化二项式：将三项式（如，转化为熟悉的二项展开式。 2. 写出两层通项：先写出外层二项展开的通项，再写出内层括号展开的通项，明确每一项的构成。 3. 锁定目标条件：根据题目要求（如特定项系数、常数项等），列出字母的指数方程，求解参数值。 4. 计算系数：将符合条件的参数代入通项，累加对应项的系数，得到结果。 41．的展开式中项的系数为（ ） A．120 B．90 C．60 D．45 【答案】C 【分析】将变形成，利用二项式定理，可得项的系数. 【详解】因为， 所以的展开式中项的系数为. 故选：C. 42．的展开式中，项的系数为（   ） A．10 B．20 C．30 D．60 【答案】D 【分析】根据二项式展开的通项公式来求解展开式中项的系数. 【详解】多项式展开式的通项为 令，可得 由展开式通项为 当时，可得 所以展开式中项的系数为 故选：D 43．在的展开式中，的系数为；在的展开式中，的系数为.则（    ） A．10 B． C． D． 【答案】B 【分析】10个因式的乘积中，有8个选，有1个选，有1个选，可得的系数，9个因式的乘积中，有8个选，有1个选，可得的系数为，求解即可． 【详解】的展开式表示10个因式的乘积， 故在这10个因式中，有8个选，有1个选，有1个选， 即可得到含的项，故的系数为，即； 在的展开式表示9个因式的乘积， 故在这9个因式中，有8个选，有1个选，即可得到含的项， 故的系数为，即， 所以. 故选：B． 44．若的展开式中的常数项为31，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据二项式定理，写出指定项的系数，结合题意，建立方程，可得答案. 【详解】依题意，，所以，即． 故选：C. 45．的展开式中含项的系数为（   ） A． B． C．280 D．420 【答案】C 【分析】根据所求项确定多项式中各元素所取的次数，再应用组合数求对应项的系数即可. 【详解】由题设，对于含项，取3次，取3次，取1次， 所以，系数为. 故选：C 46．的展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先将看成一个整体，再结合的形式，利用二项式定理的通项公式求解. 【详解】的通项公式为， 当时，， 中，含项的系数为， 所以展开式中的系数为. 故选：A. 47．在的展开式中，的系数为 ． 【答案】120 【分析】先确定的展开式中含的项为，再确定的展开式中含的项和含的项，系数相加即可得解. 【详解】的展开式中，含的项为， 而的展开式中，含的项为， 含的项为， 因此项的系数为． 故答案为：120 48．在展开式中，的系数为 ． 【答案】180 【分析】根据题意其展开式为，求的展开式中通项，令，即可求解. 【详解】，若满足题意可知其展开式为， 其的展开式中通项，令可得， 所以系数得180， 故答案为：180． 题型07 整除/余数问题 1. 拆分底数：将被除数拆分为 “除式的倍数 + 常数” 形式（如，其中为常数），确保 | r| < |m|。 2. 二项式展开：对拆分后的式子展开，利用二项式定理写出通项，此时展开式中前的正整数次幂，必为的倍数。 3. 分析余项：仅需关注最后一项的余数，即为原式子的余数；若的倍数，则原式子能被 m 整除。 49．除以128的余数为（   ） A．51 B．43 C．41 D．33 【答案】C 【分析】变形为，再利用二项展开式即可得到答案. 【详解】因为 ， 且显然能被128整除， 所以所求余数即为681除以128的余数. 因为，所以除以128的余数为41. 故选：C. 50．若，则被8整除的余数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】令得，令得，两式相减即可得，即 利用二项式定理即可求解. 【详解】令得，令得， 两式相减得 ， 所以，因为 ，，因为能被8整除， 所以 被8整除的余数为4. 故选：C. 51．除以8的余数为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】B 【分析】应用二项式展开式计算得出余数即可. 【详解】， 又， 所以， 所以除以8的余数为3. 故选：B. 52．98除的余数是（   ） A．1 B．9 C．3 D．6 【答案】A 【分析】将转化为，写出其二项展开式，即可求解. 【详解】，故98除的余数是1． 故选：A 53．除以7的余数为（    ） A．3 B．2 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据二项式定理展开式研究计算即可. 【详解】， 前面10项都是7的倍数，最后一项不是7的倍数， 除以7的余数为除以7的余数， 又除以7的余数为2， 故除以7的余数为2. 故选：B. 54．南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设、、为整数，若和被除得余数相同，则称和对模同余，记为．已知，若，，则的值可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】写出二项展开式通项，分析可知，当为奇数时，；当为偶数时，.利用赋值法可求出，利用二项展开式求出被除的余数，即可得出合适的选项. 【详解】的展开式通项为， 又因为， 所以，， 当为奇数时，；当为偶数时，. 令，则， 所以，， 所以， 又， 故被除余，而被除余数为，被整除，被除余数为， 被除余数为， 故选：A. 55．今天是星期日，再过天是星期几（    ） A．星期二 B．星期三 C．星期四 D．星期五 【答案】C 【分析】由二项式定理将展开，由能被整除，只需看除以的余数，再将展开展开，可得到余数，进而得解. 【详解】因为， 由能被整除，则上式前项都能被整除， 只需看最后一项除以的余数， 由， 则除以的余数为， 所以今天是星期日，再过天，是星期四. 故选：C. 56．若既能被9整除又能被7整除，则正整数a的最小值为（    ） A．6 B．10 C．55 D．63 【答案】C 【分析】分别由和结合二项式定理得和，再一一检验时和的解的情况即可得解. 【详解】因为， 所以 ， 所以若既能被7整除，则，故 又， 所以 ， 所以若既能被9整除，则，故， 对于A，若，则由可知无解，故A错误； 对于B，若，则由可知无解，故B错误； 对于C，若，则由和得，故C正确； 对于D，若，则由可知无解，故D错误. 故选：C. 题型08 近似计算问题 1. 拆分底数：将待求式的底数拆分为的绝对值越小，近似结果越精确。 2. 二项式展开：对值极小，可忽略）。 3. 计算近似值：仅计算前几项的和，舍弃高阶小项，得到最终近似结果。 57．的小数点后第三位数字为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二项展开式可得出该小数的前四位数，即可得解. 【详解】因为 ， 因此，的小数点后第三位数字为. 故选：A. 58．最接近下列哪个数字（    ） A．1.20 B．1.21 C．1.22 D．1.23 【答案】C 【分析】利用二项式定理进行估值即可. 【详解】由题意得， 由二项式定理得， 而从第3项以后，后面的项非常小，我们进行忽略即可， 所以我们得到， 则其与1.22更接近，故C正确. 故选：C 59．某银行在2024年初给出的大额存款的年利率为，某人存入大额存款元，按照复利计算10年后得到的本利和为，下列各数中与最接近的是（    ） A．1.31 B．1.32 C．1.33 D．1.34 【答案】D 【分析】利用等比数列的通项公式、二项展开式计算可得答案. 【详解】存入大额存款元，按照复利计算， 可得每年末本利和是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 可得， 故选：D. 60．把实数写成十进制小数，则a的十分位、百分位和千分位上的数字之和等于（    ） A．0 B．9 C．27 D．前三个答案都不对 【答案】C 【分析】先根据二项式定理可得，再估计出，故可得正确答案： 【详解】 ， 故， 于是a的小数部分为， 而， 于是a的十分位、百分位和千分位均为9，和为27． 故选：C. 61．的计算结果精确到0.001的近似值是（    ） A．0.930 B．0.931 C．0.932 D．0.933 【答案】C 【分析】由二项式定理求解 【详解】. 故选：C 62．估算的结果，精确到0.01的近似值为（    ） A．30.84 B．31.84 C．30.40 D．32.16 【答案】A 【分析】利用二项式定理进行计算． 【详解】原式 + ． 故选：A． 63．某放射性物质的质量每年比前一年衰减，其初始质量为，年后的质量为，则下列各数中与最接近的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二项式定理即可估算近似值. 【详解】由题意可知 故选：C 64．已知二项式的二项式系数的和为，则 .试估算时，的值为 .（精确到） 【答案】 【分析】利用二项式系数和求出的值，再利用二项式定理可求出的近似值.（精确到） 【详解】二项式的二项式系数的和为，解得， 当时， . 故答案为：；. 题型09 二项式与数列综合问题 1. 提取二项式关联项：从二项展开式中分离出与数列相关的项（如特定系数、组合数表达式），明确其作为数列的通项或某一项。 2. 分析数列类型：根据提取的表达式，判断数列是等差、等比或递推数列，梳理首项、公差、公比等关键参数。 3. 结合数列公式计算：利用数列的通项公式、前 n 项和公式，或裂项相消、错位相减等方法，求解目标（如数列和、特定项值）。 65．已知，则（    ） A．-2 B．-1 C．0 D．2 【答案】B 【分析】根据题意，分别令和，代入计算即可求解. 【详解】根据题意，令，得， 令，得， 因此. 故选：B. 66．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件结合组合数计算公式变形和式的通项，再借助二项式性质即可得解. 【详解】依题意，， 当时， ， 于是得 . 故选：B 67．已知，展开式中的系数为，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题知，进而整理化简，并根据裂项求和法计算即可得答案. 【详解】∵，展开式中的系数为， ∴则 ， 故选：B． 【点睛】本题考查二项式定理的应用，裂项求和法求和，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据已知条件求得，进而将问题转化为裂项求和问题求解即可. 68．若 ，则的值为（　　） A． B．1 C．0 D． 【答案】D 【分析】先令求得 ，再令 ，可得的值． 【详解】根据 ， 令，可得，再令，可得， 所以． 故选：D． 69．已知，则 ； ． 【答案】 【分析】直接用二项展开式的通项可求得.用赋值法（令和），然后两式作差，可求得答案. 【详解】解：根据二项展开式的通项公式得：，所以 令, 得： ……(1) 令, 得： 即： ……(2) (1)式与(2)式作差，得：, 所以. 故答案为：； 70．若数列的前9项满足，记的前项和为，则 . 【答案】16 【分析】根据二项展开式公式和数列概念即可得到答案. 【详解】令，则有，即. 又因为根据二项展开式通项公式得， 故. 故答案为：16. 71．知识卡片：一般地，如果是区间上的连续函数，并且，那么.这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式.当，时，有如下表达式：，两边同时积分得：，从而得到如下等式：请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，由二项式定理计算： . 【答案】 【分析】根据微积分基本定理得到，再结合二项式定理及微积分基本定理计算可得. 【详解】因为， 且， 所以 ； ， 所以. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是对题干所给微积分基本定理的理解及应用，对于新定义型问题，理解定义是关键. 72．已知，则 . 【答案】0 【分析】分别令和代回原式，计算即可得答案. 【详解】令代入原式可得， 令代入原式可得， 所以. 故答案为：0 题型10 二项式与导数综合问题 明确目标与展开式：写出二项式展开式的通项公式，确定题目所求（如特定系数、系数和、参数值等）。 2. 构造函数并求导：令二项式等于函数求导（一阶或高阶导），转化系数的次数关系。 3. 赋值计算：代入或其他特殊值，结合导数式子，建立关于目标系数的方程，求解结果。 73．已知的展开式中，第5项与第3项的系数之比为7∶6． (1)求n的值； (2)求展开式中二项式系数最大的项； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3)20 【分析】（1）根据二项式展开式的通项公式求出第项与第项的系数，再根据它们的比值求出的值； （2）根据的值确定二项式系数最大的项的位置，再利用通项公式求出该项； （3）通过对已知等式求导，然后代入特定值来计算所求式子的值. 【详解】（1）在的展开式中， 因为第5项与第3项的系数之比为7∶6，所以， 即，解之得或（舍），所以. （2）因为，所以展开式中二项式系数最大的项为. （3）由得，， 两边对x求导，得， 令得：， 所以. 74．已知 . (1)求的值. (2)若，求被4除后的余数. (3)求的值. 【答案】(1) (2)3 (3) 【分析】（1）令，得到，令，得到，两式相加除以2即可 （2）将代入化简并展开即可得出答案 （3）两边同时对求导，令即可 【详解】（1）令，有， 令，有， 即， 两式相加除以2，得. （2）当时， ， 所以被4除后的余数为3. （3）因为， 等式两边同时对求导可得 ， 令，可得. 75．已知，求下列各式的值． (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）令，然后由展开式的通项公式求得，即可得到结果； （2）由通项公式判断出各项系数均为正数，再由（1）中的结论即可得到结果； （3）两边同时求导，然后令，即可得到结果. 【详解】（1）令可得， 展开式的通项公式为， 令，则， 则. （2）由展开式的通项公式可知均为正数， 均为负数， 则， 令，则， 则. （3）， 两边同时求导可得， 令，则. 76．已知函数（，）． (1)当时，求的展开式中二项式系数最大的项； (2)若，且， ①求的值； ②求的最大值． 【答案】(1)或 (2)①；② 【分析】（1）由得二项式系数最大的项为第四项或第五项，求出即可得解； （2）对①，先求通项， 由求得，求，再赋值即可得解； ②若求最大项，根据求解即可； 【详解】（1）当时，的展开式共有8项，二项式系数最大的项为第四项或第五项，所以或； （2）①的通项公式为，且，所以，解得， 所以， ，令，得         ②的通项公式为，所以，   设为()中的最大值，则， 解得，，，所以， 所以. 77．已知. (1)求 (2)求 (3) 【答案】(1)； (2)1093； (3)． 【分析】（1）根据赋值法取，然后可得； （2）使用赋值法分别取，，两式相加然后可得； （3）先求导，然后取可得． 【详解】（1）在中，取得，取得①，所以. （2）取得②，①+②得，所以. （3）令 则， 取，得. 78．已知，，求： (1)的值； (2)的值； (3)的展开式中系数绝对值最大的项． 【答案】(1)19683 (2)118098 (3) 【分析】（1）由题意得，在所给条件等式中，令即可求解； （2）求导得，令即可求解； （3）的展开式中系数绝对值通项为，令，由此解出即可得解. 【详解】（1）因为，所以， 在中，令，可得， . （2）令， 从而， 同样在上式中令，可得. （3）的展开式通项为， 从而的展开式中系数绝对值通项为， 设第项的系数绝对值最大， 则有，即， 也就是，解得，经检验符合题意， 所以此时，对应的项为. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点06 二项式系数性质及其拓展运用 题型01 二项式系数及和问题 若求二项式系数和，聚焦，求某一项的二项式系数用二项式展开式通项：，其中为二项式系数 1．在二项式的展开式中，含项的二项式系数为（    ） A． B． C． D． 2．在的展开式中，含的项的二项式系数为（   ） A．6 B．16 C．24 D．216 3．的展开式的第7项的二项式系数是（      ） A． B． C． D． 4．在的展开式中，第四项的二项式系数为（    ） A．4 B． C．32 D． 5．的展开式的二项式系数和为（    ） A．1 B．5 C．16 D．32 6．已知的展开式中第4项与第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（   ） A．128 B．256 C．512 D．1024 7．已知的展开式中二项式系数之和为16，各项系数之和为81，则其展开式中的系数是（   ） A．4 B．8 C．32 D．64 8．已知的展开式中第2项与第5项的系数相等，则偶数项的二项式系数和为（    ） A．8 B．16 C．32 D．64 题型02 二项式展开式中项的系数及和问题 特定项系数用通项公式，化简后提取对应系数。求和问题可以用用赋值法。 9．二项式的展开式的第4项的系数是（ ） A．8 B．35 C．280 D．60 10．的展开式中含的项的系数为（   ） A． B． C． D．5 11．二项式的展开式中第5项的系数为（    ） A．252 B．-252 C．210 D．-210 12．的展开式中第5项的系数为（    ） A．60 B．64 C．72 D．84 13．若的展开式中的各项系数和为243，则该展开式中的系数为（    ） A．20 B．40 C．60 D．80 14．在的二项展开式中，只有第6项的二项式系数最大，则各项系数之和为（   ） A． B． C．1 D．1024 15．若的展开式中的系数为12，则其展开式中所有项的系数的和为（    ） A．16 B．32 C．48 D．64 16．已知的展开式中，各项系数的和为243，则该展开式中的项的系数为（   ） A．24 B．80 C．160 D．240 17．已知的展开式第3项的系数是60，则展开式所有项系数和是（   ） A．-1 B．1 C．64 D． 18．在的展开式中，所有的二项式系数之和为32，则所有项系数和为（    ） A．32 B． C．0 D．1 题型03 二项式系数最值问题 1. 明确二项式系数性质与n的奇偶性。二项式系数呈对称分布，先判断n为奇数还是偶数，确定最值项的位置规律。 2. n为偶数时，中间项（第项）系数最大；n为奇数时，中间两项（第项和第项）系数相等且最大。代入组合数公式计算具体值。 19．展开式中所有项的系数和为243，展开式中二项式系数最大值为（    ） A．6 B．10 C．15 D．20 20．已知二项式的展开式中所有项的系数和为512，函数，且，则函数取最大值时的取值为（    ） A．4 B．5 C．4或5 D．6 21．的展开式中，前项的系数成等差数列，展开式中二项式系数的最大值为（    ） A． B． C． D． 22．的展开式中的系数等于其二项式系数的最大值，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D． 23．已知，和的展开式中二项式系数的最大值分别为和，则（    ） A． B． C． D．的大小关系与有关 24．的展开式中二项式系数的最大值为（    ） A． B． C． D． 题型04 项的系数最值问题 系数最大项的一般解决方法是：提取系数使得第r项系数大于等于第r+1项系数以及第r项系数大于等于第r-1项系数，列不等式求解；简单系数最大问题可直接通过二项式系数配合其他关系进行判断求解 25．已知展开式的所有二项式系数之和为32，则展开式的各项中系数的最大值为（    ） A．252 B．210 C．120 D．10 26．若且，则在展开式中各项系数的最大值为（    ） A．42 B．35 C．28 D．21 27．在的展开式中，二项式系数的最大值为20，则系数的最大值为（   ） A．729 B．1243 C．1458 D．2187 28．二项式展开式中，系数最大值为（    ） A．280 B．448 C．560 D．672 29．的展开式中各项系数的最大值为（    ）． A．112 B．448 C．896 D．1792 30．在的展开式中，的系数等于－5，则该展开式的各项的系数中最大值为（    ） A．5 B．10 C．15 D．20 31．的展开式中，各项系数的最大值是 ． 32．的展开式中，各项系数中的最大值为 ． 题型05 赋值法求奇/偶次项系数和 1. 令变量，此时奇、偶次项系数均为正，直接累加。 2. 令变量，此时奇次项系数为负、偶次项系数为正，形成正负抵消后的结果。 3. 偶次项系数和，通过加减消元分离两类系数。 33．已知，则（   ） A． B． C． D． 34．若，则（    ） A． B． C． D． 35．若，则的值为（   ） A．－121 B．－122 C．121 D．122 36．已知展开式中，只有第6项的二项式系数最大，则（    ） A．-1024 B．-1 C．1 D．1024 37．若，则（    ） A．240 B．244 C．120 D．122 38．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 39．已知，则等于（    ） A．32 B． C．64 D． 40．， 下列说法正确的是（      ） A．各项的二项式系数和为256 B． C． D． 题型06 三项展开式系数问题 1. 转化二项式：将三项式（如，转化为熟悉的二项展开式。 2. 写出两层通项：先写出外层二项展开的通项，再写出内层括号展开的通项，明确每一项的构成。 3. 锁定目标条件：根据题目要求（如特定项系数、常数项等），列出字母的指数方程，求解参数值。 4. 计算系数：将符合条件的参数代入通项，累加对应项的系数，得到结果。 41．的展开式中项的系数为（ ） A．120 B．90 C．60 D．45 42．的展开式中，项的系数为（   ） A．10 B．20 C．30 D．60 43．在的展开式中，的系数为；在的展开式中，的系数为.则（    ） A．10 B． C． D． 44．若的展开式中的常数项为31，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 45．的展开式中含项的系数为（   ） A． B． C．280 D．420 46．的展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 47．在的展开式中，的系数为 ． 48．在展开式中，的系数为 ． 题型07 整除/余数问题 1. 拆分底数：将被除数拆分为 “除式的倍数 + 常数” 形式（如，其中为常数），确保 | r| < |m|。 2. 二项式展开：对拆分后的式子展开，利用二项式定理写出通项，此时展开式中前的正整数次幂，必为的倍数。 3. 分析余项：仅需关注最后一项的余数，即为原式子的余数；若的倍数，则原式子能被 m 整除。 49．除以128的余数为（   ） A．51 B．43 C．41 D．33 50．若，则被8整除的余数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 51．除以8的余数为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 52．98除的余数是（   ） A．1 B．9 C．3 D．6 53．除以7的余数为（    ） A．3 B．2 C．4 D．5 54．南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设、、为整数，若和被除得余数相同，则称和对模同余，记为．已知，若，，则的值可以是（ ） A． B． C． D． 55．今天是星期日，再过天是星期几（    ） A．星期二 B．星期三 C．星期四 D．星期五 56．若既能被9整除又能被7整除，则正整数a的最小值为（    ） A．6 B．10 C．55 D．63 题型08 近似计算问题 1. 拆分底数：将待求式的底数拆分为的绝对值越小，近似结果越精确。 2. 二项式展开：对值极小，可忽略）。 3. 计算近似值：仅计算前几项的和，舍弃高阶小项，得到最终近似结果。 57．的小数点后第三位数字为（ ） A． B． C． D． 58．最接近下列哪个数字（    ） A．1.20 B．1.21 C．1.22 D．1.23 59．某银行在2024年初给出的大额存款的年利率为，某人存入大额存款元，按照复利计算10年后得到的本利和为，下列各数中与最接近的是（    ） A．1.31 B．1.32 C．1.33 D．1.34 60．把实数写成十进制小数，则a的十分位、百分位和千分位上的数字之和等于（    ） A．0 B．9 C．27 D．前三个答案都不对 61．的计算结果精确到0.001的近似值是（    ） A．0.930 B．0.931 C．0.932 D．0.933 62．估算的结果，精确到0.01的近似值为（    ） A．30.84 B．31.84 C．30.40 D．32.16 63．某放射性物质的质量每年比前一年衰减，其初始质量为，年后的质量为，则下列各数中与最接近的是（    ） A． B． C． D． 64．已知二项式的二项式系数的和为，则 .试估算时，的值为 .（精确到） 题型09 二项式与数列综合问题 1. 提取二项式关联项：从二项展开式中分离出与数列相关的项（如特定系数、组合数表达式），明确其作为数列的通项或某一项。 2. 分析数列类型：根据提取的表达式，判断数列是等差、等比或递推数列，梳理首项、公差、公比等关键参数。 3. 结合数列公式计算：利用数列的通项公式、前 n 项和公式，或裂项相消、错位相减等方法，求解目标（如数列和、特定项值）。 65．已知，则（    ） A．-2 B．-1 C．0 D．2 66．已知，则（    ） A． B． C． D． 67．已知，展开式中的系数为，则等于（    ） A． B． C． D． 68．若 ，则的值为（　　） A． B．1 C．0 D． 69．已知，则 ； ． 70．若数列的前9项满足，记的前项和为，则 . 71．知识卡片：一般地，如果是区间上的连续函数，并且，那么.这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式.当，时，有如下表达式：，两边同时积分得：，从而得到如下等式：请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，由二项式定理计算： . 72．已知，则 . 题型10 二项式与导数综合问题 明确目标与展开式：写出二项式展开式的通项公式，确定题目所求（如特定系数、系数和、参数值等）。 2. 构造函数并求导：令二项式等于函数求导（一阶或高阶导），转化系数的次数关系。 3. 赋值计算：代入或其他特殊值，结合导数式子，建立关于目标系数的方程，求解结果。 73．已知的展开式中，第5项与第3项的系数之比为7∶6． (1)求n的值； (2)求展开式中二项式系数最大的项； (3)若，求的值． 74．已知 . (1)求的值. (2)若，求被4除后的余数. (3)求的值. 75．已知，求下列各式的值． (1) (2) (3) 76．已知函数（，）． (1)当时，求的展开式中二项式系数最大的项； (2)若，且， ①求的值； ②求的最大值． 77．已知. (1)求 (2)求 (3) 78．已知，，求： (1)的值； (2)的值； (3)的展开式中系数绝对值最大的项． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $