期中备考之圆压轴解答题训练2025-2026学年人教版数学九年级上册

期中备考之圆压轴解答题训练 1.如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E.连接AC、OC、BC. B (1)若∠AC0=30°，求∠BCD的度数. (2)若EB=4,AB=20,求CD长度， 2.如图，一座拱桥呈圆弧形，它的跨度AB=60m,拱高PD=18m. E D (1)求圆弧所在圆的半径OP的长： (2)当水位上涨至跨度只有30m时，必须采取紧急措施，若水位上涨至离拱顶4m,即PE=4m,此时是否需采 取紧急措施？ 3.如图，在△ABC中，∠C=90°，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F.若BD=6,AD=4, D AM (1)求⊙0的半径： (2若点G在F上，过点G作O0的切线分别交CA、CB于M、N,求MW长的最小值.（注：若a>0, b>0,则a+b≥2a而，当9=b时，等号成立) 4.如图，点A、B、C、D在O0上，且AB=DC 试卷第1页，共3页 B P 0 (I)求证：AC=BD; 2)诺B的度数为70°，设4C与BD的交点为P,求：∠APD的大小 5.我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工具一筒车.如图，筒车盛 水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，己知圆心O在水面的上方，⊙O被水面截得的弦AB长为8米，水面 到运行轨道最低点的距离为2米，求⊙0的半径长， O。 B水面 C 图1 图2 6.如图，B是⊙0 ⊙0 ,AC BC PC⊙O OA 是的直径，点C是上一点，连接， 是的切线，点D是“上一点，过 点D作DE⊥OA,交AC于点F,交CP于点E. P G O(D O(D 图1 图2 (I)如图1，当点D与点O重合时，己已知∠A=20°，求∠CEF的度数： e咖图2，道接OC北.当oC时，4E与0交于照G,已4G=6,8-10 、EG 求的长 7.如图， AB 是一条公路的转弯处的一段圆弧， 试卷第2页，共3页 (①)用直尺和圆规作出B所在圆的圆心0（保留作图痕迹，不写作法）： 2)若B的中点C到线段MB的距离为10m,1B=60m,求B所在圆的半径. 8.如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，切点为A,BC交⊙O于点D,点E是AC的中点，连接DE. A E D (I)求证：DE是⊙O的切线： (2)若⊙0的半径为2，∠B=45°，AC=4,求图中阴影部分的面积. 9.如图，AB是圆O的直径，O为圆心，AD、BD是半圆的弦，且∠PDA=∠PBD.延长PD交圆的切线BE于 点E. E D D B B (1)判断直线PD是否为⊙O的切线，并说明理由： ∠BED=60°，PD=4 (2)如果 ,求PA的长 (3)将线段PD以直线AD为对称轴作对称线段DF,点F正好在圆O上，如图，求证：四边形DFBE为菱形. 10.如图1，C,D是半圆1CB上的两点，若直径B上存在一点P,满足∠APC=∠BPD,则称∠CPD是CD 的“幸运角”. 试卷第3页，共3页 P 】 ○ 图1 图2 图3 ()如图2，AB是OO的直径，弦CE⊥AB,D是BC上一点，连结ED交AB于点P,连结CP,∠CPD是CD 的“幸运角”吗？请说明理由： ②在（D的条件下，直径4B=20,DE=14W5,CD的“率运角”为0°，求CP的长. 11.如图，⊙0是△ABC的外接圆，半径为6，连接OB,OC,OA, D (I)过点O作OD⊥BC,交BC于点D,若OD=3,求BC的长： (2)若∠A=60°，求阴影部分的面积. 2.如图，0,8C,D分别与，o0相切于点5，F,G,且87CD,连接 C,延长C0交o OB,OC 于 点M,过点M作MN∥OB交CD于点N. A F M (I)求证：MN是⊙O的切线； (2)当OB=6cm,OC=8cm时，求⊙0的半径及MN的长； 2+2 6)当o0半径，=V2cm时，令BE=a,CG=b,m=2+a+2+b: ①求证：m>1; ②冬n。产。，比经与，的大小并说明理由： 13.如图，在⊙O中，弦AB与半径OD交于点E. 试卷第4页，共3页 B (I)⊙0的半径为5，AB=6,OE⊥AB,垂足为E,则OE=. (2)在⊙0中，AB=6,AE=BE,OE=4,则OA= (3)⊙0的半径为5，OE⊥AB，,垂足为E,OE=4,则弦AB=. (4)DE=2,OE⊥AB,弦AB=8,求⊙O的半径 14.如图所示，AB为半圆O的直径，C在AB延长线上，P是半圆O上的一个动点，以PC为底边作等腰直角 三角形PCQ(P、C、Q逆时针排列)，已知AB=4,BC=2; (1)诺4P0B 为正三角形，求OB的长： POCO (2)求四边形 面积的最大值. 15.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC=4,O是边BC上的点，⊙O与AB相切，切点为D,AC与 ⊙O相交于点E,且AD=AE. (I)求证：AC是⊙O的切线： (2)⊙0的半径为 ；OC与⊙O相交于点M,求阴影部分的面积： 3F为DE上的一个动点（不与点D,E重合），过点F作O0的切线，分别与边4B,1C交于点G,H,连 接OG,O.嘉淇认为：随着点F位置的变化，∠GOH的度数不变.请你判断他说得是否正确，并说明理由： (4)在(3)的条件下，设 BG=x2<x<4、CH=y 直接写出y与x之间满足的函数关系. 试卷第5页，共3页 参考答案 1.(1)30° (2)16 【分析】本题考查了垂径定理，等腰三角形的性质，圆周角定理，熟练掌握垂径定理和等 腰三角形的性质是解题的关键， (1)先由OA=OC,得∠OAC=∠ACO,再根据AB为⊙O的直径得到∠ACB=90°，结合 AB⊥CD得∠BEC=90°，最后通过角的和差关系及同角的余角相等推出∠BCD的度数： (2)先由AB=20得到OC=OB=10,结合EB=4求出OE的长度，再在Rt△OEC中，用 勾股定理算EC的长，最后根据垂径定理CD=2EC得出结果. 【详解】(1)解：：OA=OC, ∴.∠OAC=∠ACO=30° ,AB为⊙O的直径， ∴.∠ACB=90°，即∠OAC+∠ABC=90°， AB⊥CD ∴.∠BEC=90°，即∠BCD+∠ABC=90°， ∴.∠BCD=∠OAC=30° (2)解：AB=20,且为⊙0的直径， ∴.0C=0B=10, EB=4, ∴.OE=OB-EB=10-4=6, .AB⊥CD ∴CE=DE,且△OEC为直角三角形， 在RIAOEC EC2+OE2=OC2 中，由勾股定理得： :BC2+62=102 .EC=8, ∴.CD=2EC=2×8=16 2.(1)圆弧所在圆的半径OP的长为34m: (2)不需要采取紧急措施，理由见解析 【分析】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用 勾股定理求解是解答此题的关键， 答案第1页，共2页 (1)连接OA,利用r表示出OD的长，在Rt△AOD中根据勾股定理求出r的值即可； (2)连接OA',在Rt△AEO中，由勾股定理得出E的长，进而可得出AB的长，据此可 得出结论 【详解】(1)解：连接OA,设圆弧所在圆的半径为r, 由圈意得D号4B=30,0D=r-1图， 在Rt△1D0中，由勾股定理得 2=302+(r-18)2 解得r=34: 答：圆弧所在圆的半径OP的长为34m: (2)解：连接OA', A .OE=OP-PE=30 在Rt4EO 中，由勾股定理得4E=A02-OE 即AE2=342-302, 解得A'E=16 .AB=32 .·A'B=32>30 ∴·不需要采取紧急措施. 3.(1)2 (24v2-4 【分析】本题考查了切线长定理，正方形的判定与性质，勾股定理等，熟练掌握以上知识 点是解题的关键。 (1)设⊙O半径为r,根据切线长定理得到OE=OF=r,AF=AD=4,BE=BD=6,同 时可证四边形OECF为正方形，CE=CF=r,然后在Rt△ABC中，利用勾股定理列出方 程解之即可： 答案第2页，共2页 (2)设N=1.MW=y CN=2-1 CM=2-y+t 结合切线长定理可推出 ，然后在 Rt△MCV中，利用勾股定理列出方程，根据题目的提示即可求得答案。 【详解】(1)解：连接OE,OF, 0 GAM ENC 设⊙0半径为r, ⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F,BD=6,AD=4, .OE=OF=r,AF=AD=4,BE=BD=6,∠OFC=∠OEC=90°， .∠C=90°， ∴，四边形OECF为矩形， 又OE=OF, ∴.四边形OECF为正方形， ∴.CE=CF=OE=OF=r, .BC=BE+CE=6+r,AC=AF+CF=4+r,AB=AD+BD=4+6=10, 在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2, 即4+2+6+2=102 解得r=2, ∴.⊙0的半径为2： (2)解：由(1)可知，CE=CF=2, 设EN=t,MN=y,则CN=CE-EN=2-t, 过点G作⊙O的切线分别交CA、CB于M、N, :EN-GN-1 FM=GM-MN-GN=y-1 :.CM=CF-FM=2-(y-1)=2-y+1 在Rt△MCN中，MN2=CN2+CM2, 答案第3页，共2页 即y=(2-2+2-y+2 整理得y=+4 1+2+8-4, t+2 t+2 :a>0,b>0时，a+b≥2Va画， 当=b时，等号成立， 12+728=45,即=42+24245-4 ”t+2 的最小值为45-4 4.(1)见详解 (2)∠APD=110° 【分析】本题主要考查弧、弦、圆心角与圆周角的关系，熟练掌握弧、弦、圆心角与圆周 角的关系是解题的关键： （1)由题意易得C=DB,然后问题可求证， AB,CD,AD,OA,OB AB=DC,∠AOB=70 (2)连接 ,由题意易得 ,则有 △ADB≌△DAC(SSS) ,然后可得∠ADB=∠D1C=35°，进而问题可求解. 【详解】(1)证明：AB=DC 4B+BC=DC+BC,C=DB .AC=BD: AB.CD.AD.OA.OB (2)解：连接 ,如图所示： D :AB=DC,且A8的度数为70° 答案第4页，共2页 AB=DC,∠AOB=70° :∠ADB=40B=3, :DB-AC:AD=DA :△ADB≌aDAC(SSS .∠ADB=∠DAC=35°， ∴.∠APD=180°-2×35°=110° 5.⊙0的半径为5米 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，连接OA,连接OC交AB于D,则AB=8米， 0D2米，0c10,由垂径定理可得40-B=4米，设00的半径为，米，则 0D=(,-2米，再由勾股定理计算即可得解。 【详解】解：如图，连接OA,连接OC交AB于点D, B水面 图2 由题意得，AB=8米，CD=2米，OC⊥AB, 404B=4米， 设⊙0的半径为r米，则00=-2米， 在Rt△AOD中，由勾股定理得AO=OD+AD, 2=(-22+4 解得r=5, .⊙0的半径为5米。 6.(1)40° 答案第5页，共2页