7.2.1复数的加减运算及其几何意义教学设计-2024-2025学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学教学设计聚焦复数代数形式的加减运算及几何意义，通过复习复数与点、向量的对应关系，关联实数运算律，搭建从旧知到新知的支架，引导学生理解加法法则规定的合理性，推导减法法则。 以问题链驱动探究，如通过“和是何数”“与实数运算是否一致”培养数学眼光，类比加法推导减法、验证运算律发展数学思维，结合向量坐标运算阐释几何意义提升数学语言表达，分层例题与评估要点助力学生掌握，方便教师教学。

深度践学课堂教学设计表 课题 7.2.1复数的加、减运算及其几何意义 日期 2023.4.19 节次 第一节 来源 人教版A版（2019版）必修第二册第七章第二节 课型 新授课 授课对象 高一年级学生 设计 目标 确立 依据 课标分析 1、 课标摘录 《普通高中数学课程标准》2017年版2020年修订对本节课的相关要求：掌握复数代数式的四则运算，了解复数加减运算的几何意义。 2、 课标分解 1、 学什么：本节课主要学习复数代数式的四则运算，通过复数的几何意义及向量加减法的意义，理解复数加减法的几何意义。 2、 学到什么程度：掌握复数代数式的四则运算，就是能对复数代数式进行加减运算。理解复数加减法的几何意义，就是通过数形结合进一步认识复数加减法的几何意义，能说出复数加减法的几何意义。 3、 怎么学：通过规定复数加法的法则，去验证复数加法交换律和结合律。由加法法则，去猜想并验证减法法则；结合复数的几何意义及向量加减法的意义，通过知识应用及知识联系，理解复数加减法的几何意义。体会复数加减运算的几何意义，感知数形结合数学思想对认识数学的内在直观。 教材分析 复数的加减运算不仅是本节的重点，也是本章知识的重点之一．复数代数形式的加法运算法则是一种规定，它的合理性体现在：将实数的运算通性通法扩充到复数，有利于培养学生的学习兴趣和创新精神．复数的减法运算法则是通过转化为加法运算而得到的，渗透了转化的数学思想方法，是学生体会数学思想的素材．对于复数加法、减法运算的几何意义(即可以通过向量加法、减法法则来进行)，它不仅又一次让我们看到了向量这一工具的功能，也使数和形得到了有机的结合． 学情分析 学生通过方程求解，知道了复数学习的必要性，了解数系的扩充，会对复数进行表示，包括复数的表示，复数与复平面内的点、与向量的一一对应关系，即能说出复数的代数表示及其几何意义，能说出两个复数相等的条件。知道虚数单位i能与实数进行加法和乘法运算。再次基础上，学习复数的加减运算是必要的。 教学流程（结合五环践学教学策略） 教学环节 学与教 评 环节一 复习旧知 新课引入 环节二 探究新知 环节三 巩固新知 环节四 尝试应用 环节五 检测巩固 1.上一节我们学习了复数的几何意义，请同学们思考：复数、点、向量之间的对应关系是什么？ 2.我们知道实数有加、减、乘等运算，且有运算律： 那么复数应怎样进行加、减、乘运算呢？你认为应怎样定义复数的加、减、乘运算呢？运算律仍成立吗？ 注意到，虚数单位可以和实数进行运算且运算律仍成立，所以复数的加、减、乘运算我们已经是自然而然地在进行着，只要把这些零散的操作整理成法则即可了！ 探究点一、复数的加减运算 我们规定，复数的加法法则如下：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，那么(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i. 提出问题： 问题1：两个复数的和是个什么数，它的值唯一确定吗？ 问题2：当b＝0，d＝0时，与实数加法法则一致吗？ 问题3：它的实质是什么？类似于实数的哪种运算方法？ 提出问题：实数的加法有交换律、结合律，复数的加法满足这些运算律吗？并试着证明． 证明：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i，z2＋z1＝(c＋a)＋(d＋b)i， 显然，z1＋z2＝z2＋z1.同理可得(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． 下面我们来研究复数的减法 提出问题：类比于复数的加法法则，试着给出复数的减法法则． .我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足(c＋di)＋(x＋yi)＝a＋bi的复数x＋yi叫做复数a＋bi减去复数c＋di的差，记做(a＋bi)－(c＋di) 提出问题：你能试着推导复数减法法则吗？ 活动成果：证明：根据复数相等的定义， 有c＋x＝a，d＋y＝b， 因此x＝a－c，y＝b－d， 即(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i. 提出问题： 问题1：复数的加(减)法法则规定的合理性在哪里？ 问题2：复数的加(减)法实质是什么？ 问题3：多个复数相加减怎样运算？ 活动成果：1.它既与实数运算法则，运算律相同，又与向量完美地结合起来； 2．实质是复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加减； 3．可将各个复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加减． 例1、计算(1－3i )+(2+5i) +(-4+9i) 跟踪训练1.计算(1) (1+3i)+(-4+2i) (2) (5-6i)+(-2-i)-(3+4i) 2.已知(3+ai)-(b+4i)=2a-bi, 求实数a、b的值. 例2、设m∈R，复数z1＝ ＋(m－15)i，z2＝－2＋m(m－3)i，若z1＋z2是虚数，求m的取值范围. 解　∵z1＝＋(m－15)i，z2＝－2＋m(m－3)i， ∴z1＋z2＝＋[(m－15)＋m(m－3)]i ＝＋(m2－2m－15)i. ∵z1＋z2是虚数，∴m2－2m－15≠0，且m＋2≠0. ∴m≠5，且m≠－3，且m≠－2，m∈R. 即m的取值范围为(－∞，－3)∪(－3，－2)∪(－2,5)∪(5，＋∞)． 跟踪训练2 复数(1＋2i)＋(3－4i)－(－5－3i)对应的点在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案　A 解析　复数(1＋2i)＋(3－4i)－(－5－3i)＝(1＋3＋5)＋(2－4＋3)i＝9＋i，其对应的点为(9,1)，在第一象限． 探究点二、复数的加减法的几何意义 问题　我们知道，复数与复平面内以原点为起点的向量一一对应，平面向量的坐标运算法则是什么？向量加法的几何意义是什么？ 设＝(a，b)，＝(c，d)，则＋＝(a，b)＋(c，d)＝(a＋c，b＋d).几何意义是以，为邻边作平行四边形OZ1ZZ2的对角线. 提出问题：复数与复平面内的向量有一一对应关系，那么请同学们猜想一下，复数的加法也有这种对应关系吗？并验证． 设向量，分别与复数z1＝a＋bi， z2＝c＋di对应， 则OZ1＝(a，b)，＝(c，d)，由平面向量的坐标运算，有OZ1＋OZ2＝(a＋c，b＋d)． 说明两个向量与和就是与复数(a＋c)＋(b＋d)i对应的向量． 活动成果：复数的加法可以按照向量的加法来进行，这就是复数加法的几何意义． 例3.如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C对应的复数分别为0,3＋2i，－2＋4i.求：(1)对应的复数； (2)对应的复数；(3)对应的复数及||的长度． 解　(1)因为＝－， 所以对应的复数为－3－2i. (2)因为＝－， 所以对应的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. (3)因为＝＋，所以对应的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.所以||＝＝. 跟踪训练3　(1)已知复平面内的向量，对应的复数分别是－2＋i,3＋2i，则||＝________. 答案　 解析　∵＝＋， ∴对应的复数为(－2＋i)＋(3＋2i)＝1＋3i， ∴||＝＝. (2)若z1＝1＋2i，z2＝2＋ai，复数z2－z1所对应的点在第四象限内，则实数a的取值范围是________． 答案　(－∞，2)解析　z2－z1＝1＋(a－2)i，由题意知a－2<0，即a<2. 探究点三、复数模的综合运用 在复数减法的几何意义中，复数z1－z2与向量一一对应，那么，z1－z2的模长呢？显然，|z1－z2|＝||＝|Z1Z2|，所以，两个复数差的模的几何意义是两个复数所对应的两个点之间的距离． 思考并讨论一下问题： 1.复数等式|z－z1|＝|z－z2|(z1≠z2)在复平面上对应点Z表示什么？ 2.复数等式|z＋i|＋|z－i|＝2在复平面上对应点Z表示什么？ 3.复数等式|z1＋z2|＝|z1－z2|在复平面上表示什么？ 例3　如果复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋i＋1|的最小值是(　　) A．1 B. C．2 D. 答案　A解析　设复数z，－i，i，－1－i在复平面内对应的点分别为Z，Z1，Z2，Z3，因为|z＋i|＋|z－i|＝2， |Z1Z2|＝2，所以点Z的集合为线段Z1Z2. 所以点Z在线段Z1Z2上移动，|ZZ3|min＝1， 所以|z＋i＋1|min＝1. 跟踪训练3　△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3，复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，则z对应的点P是△ABC的(　　) A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 答案　A解析　由复数模及复数减法运算的几何意义，结合条件可知复数z对应的点P到△ABC的顶点A，B，C的距离相等，∴P为△ABC的外心． 1．知识清单： (1)复数代数形式的加、减运算法则． (2)复数加、减法的几何意义． (3)复数模的综合问题． 2．方法归纳：类比、数形结合． 3．常见误区：忽略模的几何意义． 1．计算(1－i)－(2＋i)＋3i等于(　　) A．－1＋i B．1－i C．i D．－i 答案　A 解析　原式＝1－i－2－i＋3i＝－1＋i. 2．已知z1＝2＋i，z2＝1－2i，则复数z＝z2－z1对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　C 解析　z＝z2－z1＝(1－2i)－(2＋i)＝－1－3i. 故z对应的点为(－1，－3)，位于第三象限． 3．在平行四边形ABCD中，若A，C对应的复数分别为－1＋i和－4－3i，则该平行四边形的对角线AC的长度为(　　) A. B．5 C．2 D．10 答案　B 解析　依题意，对应的复数为(－4－3i)－(－1＋i)＝－3－4i，因此AC的长度为|－3－4i|＝5. 4．已知复数z1＝(a2－2)＋(a－4)i，z2＝a－(a2－2)i(a∈R)，且z1－z2为纯虚数，则a＝________. 答案　－1 解析　∵z1－z2＝(a2－a－2)＋(a－4＋a2－2)i(a∈R)为纯虚数，∴ 解得a＝－1. 设计意图 加深对复数加法法则的理解，且与实数类比，了解规定的合理性． 活动成果：满足，对任意的z1，z2，z3∈C，有交换律：z1＋z2＝z2＋z1. 结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． 评估要点：能正确验证加法交换律和结合律 学情预测：大多数学生可能很快就会想到用复数相等的定义来验证，部分学生可能会想到把减法运算转化为加法运算，即(a＋bi)－(c＋di)＝(a＋bi)＋(－1)(c＋di) ＝(a＋bi)＋(－c－di) ＝(a－c)＋(b－d)i. 评估要点：能利用加法推导出减法的运算法则 评估要点：能对复数进行加减运算 复数加、减运算的解题思路 两个复数相加(减)，就是把两个复数的实部相加(减)，虚部相加(减).复数的减法是加法的逆运算.当多个复数相加(减)时，可将这些复数的所有实部相加(减)，所有虚部相加(减). 评估要点：能利用复数加减运算，完成此题。 学情预测：学生可能会很快类比出结果，却不知如何验证，教师适时引导，在图形中解决． 评估要点：能说出复数加减法的几何意义 评估要点：能利用复数加减法的几何意义解决向量与复数的转化，向量模的转化。 复数与向量的对应关系的两个关注点 (1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)是与以原点为起点，Z(a，b)为终点的向量一一对应的． (2)一个向量可以平移，其对应的复数不变，但是其起点与终点所对应的复数发生改变． 评估要点：能结合复数加减法的几何意义，讨论得出模与复数加减法的几何意义之间的内在联系，体会转化与化归的数学思想。 评估要点：能利用复数加减运算几何意义及模的几何意义，解决最值问题。 两个复数差的模的几何意义 (1)|z－z0|表示复数z，z0对应的点之间的距离，在应用时，要把绝对值号内变为两复数差的形式． (2)|z－z0|＝r表示以z0对应的点为圆心，r为半径的圆． (3)涉及复数模的最值问题以及点的集合所表示的图形问题，均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解． 评估要点：能准确完成本堂课的课堂检测，检验学习成果。 本节中，由于复数的加法法则是规定的，教师从问题入手，引导学生思考，让学生理解这种规定的合理性．在复数加法的运算律及几何意义的处理上，都是让学生自主探究，使学生在参与中学会学习，学会合作，突出体现以学生为主，教师为辅的新课程理念． 对于复数减法的处理，采用了类比的数学思想方法，让学生自主探究，自己总结，且法则可以用已学的知识推导，使学生体会其中的思想方法，培养学生的创新能力和运用数学思想方法解决问题的能力． 例题和练习的设计遵循由浅入深，循序渐进的原则，低起点，多落点，高终点，尽可能地照顾到各个层次的学生． 学科网（北京）股份有限公司 $