精品解析：江苏省盐城市实验高级中学2024-2025学年高一上学期12月联考数学试题

2024-2025学年度第一学期 高一年级联考数学试题 （总分150分，考试时间120分钟 ） 注意事项： 1.本试卷中所有试题必须作答在答题纸上规定的位置，否则不给分. 2.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题纸上. 3.作答非选择题时必须用黑色字迹0.5毫米签字笔书写在答题纸的指定位置上，作答选择题必须用2B铅笔在答题纸上将对应题目的选项涂黑.如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，请保持答题纸清洁，不折叠、不破损. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，，则图中阴影部分表示集合为（ ） A. B. C. D. 2. “扇形窗下清风徐”.如图所示是一个扇子形窗，其所在的扇形半径为，圆心角为，窗子左右两边的边框长度都为，则该窗的面积约为（ ） A. B. C. D. 3. 已知命题，，若命题是假命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数是偶函数，若方程有且仅有两实根，，那么（ ） A. 0 B. 2 C. -6 D. 6 5. “函数的定义域为”是“”的（ ） A 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 函数，若对任意，都有成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 若关于的函数的定义域为，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 函数为偶函数，且满足对任意的均有，对，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题(共3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9. 下列说法正确的是（ ） A. 1弧度的角与的角一样大 B. 锐角一定是第一象限角 C. 若是第三象限角，则是第二或第四象限角 D. 终边在轴正半轴上角的集合为 10. 已知函数的值域为，那么的取值可以是（ ） A. 0 B. C. D. 11. 已知定义域为的函数对任意实数都有，且，则（ ） A. B. C. 函数的图象关于点对称 D. 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共计15分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 12. 设是定义在上且周期为2的函数，在区间上,其中.若，则的值是____________. 13. 已知函数的定义域为，对于任意实数，满足，且，则_____________. 14. 已知定义在R上的奇函数与偶函数满足. ，若，恒成立，则实数k的取值范围是___________. 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，且有意义. （1）试判断角α终边所在的象限； （2）若角α的终边上一点M的坐标为，且（O为坐标原点），求m的值及的值. 16. 已知幂函数在单调增，. （1）求函数的解析式； （2）如果函数在区间上是增函数，求a的取值范围； （3）求关于x的不等式解集.(其中). 17. 2024年8月16日，商务部等7部门发布《关于进一步做好汽车以旧换新工作的通知》．根据通知，对符合《汽车以旧换新补贴实施细则》规定，报废旧车并购买新车的个人消费者，补贴标准由购买新能源乘用车补1万元、购买燃油乘用车补7000元，分别提高至2万元和1.5万元，某新能源汽车配件公司为扩大生产，计划改进技术生产某种组件．已知生产该产品的年固定成本为2000万元，每生产百件，需另投入成本万元，且时，；当时，，由市场调研知，该产品每百件的售价为500万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． （1）分别写出与时，年利润（万元）与年产量（百件）的关系式（利润＝销售收入－成本）； （2）当该产品的年产量为多少百件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 18. 设常数，已知. （1）当时，求函数的单调递增区间； （2）当时，求的解集； （3）若存在，使成立，求实数最小值. 19. 黎曼函数是一个特殊的函数，是德国著名数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在数学中有广泛的应用，黎曼函数定义在上，. （1）求，，； （2）请用描述法写出满足方程的解集； （3）解不等式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期 高一年级联考数学试题 （总分150分，考试时间120分钟 ） 注意事项： 1.本试卷中所有试题必须作答在答题纸上规定的位置，否则不给分. 2.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题纸上. 3.作答非选择题时必须用黑色字迹0.5毫米签字笔书写在答题纸的指定位置上，作答选择题必须用2B铅笔在答题纸上将对应题目的选项涂黑.如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，请保持答题纸清洁，不折叠、不破损. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，，则图中阴影部分表示集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】阴影部分表示由属于集合，但不属于集合的元素构成的集合，由此即可写出答案. 【详解】图中阴影部分表示由属于集合，但不属于集合的元素构成的集合， 即. 故选：A 2. “扇形窗下清风徐”.如图所示是一个扇子形窗，其所在的扇形半径为，圆心角为，窗子左右两边的边框长度都为，则该窗的面积约为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意结合扇形的面积公式运算求解. 【详解】由题意可知：扇形的圆心角为，大扇形的半径为，小扇形的半径为， 所以该窗的面积为. 故选：C. 3. 已知命题，，若命题是假命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据特称命题的真假关系结合二次函数的性质即可得到结论． 【详解】∵命题“，”是假命题， ∴命题“，使”是真命题， 即判别式， 解得. 故选：A. 4. 已知函数是偶函数，若方程有且仅有两实根，，那么（ ） A. 0 B. 2 C. -6 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】分析函数关于直线对称，根据对称性即可得结果. 【详解】若是偶函数，则， 可知函数关于直线对称， 若方程有且仅有两实根，，根据对称性可得. 故选：D. 5. “函数的定义域为”是“”的（ ） A 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据定义域的求法及一元二次不等式的解集为实数集的求法，求出的取值范围，再根据充分不必要的定义判断即可. 【详解】函数的定义域为， 所以的解集为， 所以，即， 解得， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：B. 6. 函数，若对任意，都有成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数单调性的变形式即可判断函数单调性，然后根据分段函数的性质即可求解. 【详解】因为对任意，都有成立， 可得在上是单调递减， 则，解得. 故选：B 7. 若关于的函数的定义域为，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据定义域为实数集，转化为且恒成立， 结合二次不等式恒成立求解即可. 【详解】由题意，，且对任意， ，① 且，② 对于①，，结合，得. 若，由②知对任意，矛盾； 若，由②知对任意，即， 则，得， 综上，当时，对任意，①②同时成立. 故选：D 8. 函数为偶函数，且满足对任意的均有，对，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用单调函数的定义确定在上的单调性，再结合偶函数的性质脱去函数法则，再利用恒成立问题求解. 【详解】由对任意的均有，得在上单调递增， 由为偶函数，得， 于是， ，，而函数在上单调递增， 当时，取得最大值，因此； ，，而函数在上单调递减， 当时，取得最小值0，因此， 所以实数的取值范围为. 故选：A 二、多项选择题(共3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9. 下列说法正确的是（ ） A. 1弧度的角与的角一样大 B. 锐角一定是第一象限角 C. 若是第三象限角，则是第二或第四象限角 D. 终边在轴正半轴上的角的集合为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据弧度制定义判断A选项；由锐角的范围和第一象限角的范围判断B选项；根据象限角的范围求得的范围，结合象限角的范围判断C选项；根据角的终边可直接得到角的集合，判断D选项. 【详解】根据弧度制的定义可知1弧度的角约等于，故A选项错误； 锐角，第一象限角，B选项正确； 若是第三象限角，则，则 当时，，是第四象限角， 当时，，第二象限角，故C选项正确； 终边在轴正半轴上的角的集合为，D选项正确. 故选：BCD. 10. 已知函数的值域为，那么的取值可以是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】先求出在上的值域，再由整个函数的值域为 ，得到 部分的值域包含 ，可得到关于的不等式，解之即可. 【详解】当时，在上单调递增， 该部分的值域为 ， 要使整个函数的值域为 ， 只需 部分的值域包含 . 当  时： ，定义域为 ， 要使 此时的值域包含 ， 只需：， 解得：. 故选：ABC 11. 已知定义域为的函数对任意实数都有，且，则（ ） A. B. C. 函数的图象关于点对称 D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】通过对赋值，结合函数方程推导函数的特殊值、奇偶性、对称性，逐一判断选项. 【详解】选项A，令，则，即, ,因，故，A正确. 选项B，令，，则， 故，即，B正确. 选项C，令，，则， 故函数的图象关于点对称，C正确. 选项D，令，，则， 即，进而，即最小正周期为2， 故，D错误. 故选：ABC 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共计15分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 12. 设是定义在上且周期为2的函数，在区间上,其中.若，则的值是____________. 【答案】##-0.4 【解析】 【分析】根据函数的周期性及可得的值，进而利用周期性即可求解的值. 【详解】解：因为是定义在上且周期为2的函数，在区间上, 所以，， 又，即，解得， 所以， 故答案为：. 13. 已知函数的定义域为，对于任意实数，满足，且，则_____________. 【答案】3036 【解析】 【分析】由，且，利用赋值法求解. 【详解】因为对于任意实数，满足，且， 所以， 所以， 故答案为：3036 14. 已知定义在R上的奇函数与偶函数满足. ，若，恒成立，则实数k的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】先由函数和的奇偶性得出函数和的解析式，代入将问题转化为对恒成立，令，由单调性得出的范围，再由的单调性求得的最大值，根据恒等式的思想可求得实数的取值范围. 【详解】因为是奇函数，所以， 是偶函数，所以. 因为， 所以，即， 所以，. 所以，对恒成立， 又因为，恒成立， 因此将不等式整理得： 令，则在上单调递增， 所以， 所以， 根据基本不等式解得：当且仅当时等号成立； 所以 所以 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，且有意义. （1）试判断角α的终边所在的象限； （2）若角α的终边上一点M的坐标为，且（O为坐标原点），求m的值及的值. 【答案】（1）第四象限； （2）， 【解析】 【分析】（1）根据条件得到，，从而得到角的终边在第四象限； （2）根据得到方程，结合角终边所在象限得到，进而求出. 【小问1详解】 ，可知，有意义，可知， 所以角的终边在第四象限； 【小问2详解】 ，即， 又角的终边在第四象限，故，解得， 故. 16. 已知幂函数在单调增，. （1）求函数的解析式； （2）如果函数在区间上是增函数，求a的取值范围； （3）求关于x的不等式解集.(其中). 【答案】（1） （2） （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）依题意可得，解得即可； （2）由（1）知，再结合二次函数的性质计算可得； （3）因式分解可得，再分、、三种情况讨论，分别求出不等式的解集. 【小问1详解】 由题意：，或 又因为在单调增，，. 【小问2详解】 由（1）知，函数在区间上是增函数， ，. 【小问3详解】 不等式转化为，则. 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为. 综上可得当时，不等式的解集为或， 当时，不等式解集为或， 当时，不等式的解集为. 17. 2024年8月16日，商务部等7部门发布《关于进一步做好汽车以旧换新工作的通知》．根据通知，对符合《汽车以旧换新补贴实施细则》规定，报废旧车并购买新车的个人消费者，补贴标准由购买新能源乘用车补1万元、购买燃油乘用车补7000元，分别提高至2万元和1.5万元，某新能源汽车配件公司为扩大生产，计划改进技术生产某种组件．已知生产该产品的年固定成本为2000万元，每生产百件，需另投入成本万元，且时，；当时，，由市场调研知，该产品每百件的售价为500万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． （1）分别写出与时，年利润（万元）与年产量（百件）的关系式（利润＝销售收入－成本）； （2）当该产品的年产量为多少百件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 【答案】（1）答案见解析； （2）年产量为百件时，该企业所获年利润最大，最大年利润是万元. 【解析】 【分析】（1）结合题意，分和时利用利润=销售收入-成本求出关系式即可； （2）当时，由二次函数求出最值，当时，由基本不等式求出最值，再确定结果即可； 【小问1详解】 由题意可得当时，， 当时， 【小问2详解】 由（1）得时，， 此时（百件）时，（万元）， 当时，， 因为，，所以： ， 即 当且仅当，即时等号成立，（万元）， 而，故（百件）时，利润最大， 综上所述，年产量为百件时，该企业所获年利润最大，最大年利润是万元. 18. 设常数，已知. （1）当时，求函数的单调递增区间； （2）当时，求的解集； （3）若存在，使成立，求实数的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由定义分别证明函数为偶函数和在内单调递增可得； （2）由指数函数的运算性质可得； （3）令，由基本不等式结合和指数和对数函数的运算性质可得. 【小问1详解】 若，则的定义域为， 且，可知为偶函数， 设，且， 则， 因为，则， 可得，即， 所以函数在内单调递增， 结合偶函数对称性可知：函数在内单调递减， 所以函数的单调递增区间为. 【小问2详解】 若，则，因，即，整理可得，则，解得， 所以的解集为. 【小问3详解】 因为，即， 令，由（1）可知：， 则， 原题意等价于在内有解， 又因为，当且仅当，即时，等号成立， 则，可得解得 所以实数的最小值. 19. 黎曼函数是一个特殊的函数，是德国著名数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在数学中有广泛的应用，黎曼函数定义在上，. （1）求，，； （2）请用描述法写出满足方程的解集； （3）解不等式. 【答案】（1），， （2）{为大于的正整数} （3） 【解析】 【分析】（1）由的定义可求得，，. （2）根据黎曼函数的定义，分类讨论求解. （3）根据黎曼函数的定义，分类讨论求解. 【小问1详解】 因为， 所以R=，， 【小问2详解】 依题意，， 当时，，则方程无解， 当为内的无理数时，，则方程无解， 当（，，为既约真分数）时，则，为大于的正整数. 则由方程，解得，为大于的正整数， 综上，方程，的解集为{为大于的正整数}. 【小问3详解】 若或或为内无理数时，， 而>0，此时， 若（，，为既约真分数）， 则，为大于的正整数， 则，得，解得， 又因为（，，为既约真分数），所以 综上，不等式的解为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $