云南省文山州砚山一中2025-2026学年高二上学期10月月考数学试卷

砚山一中2025年秋季学期高二年级10月月考 数学试卷 2025.10 注意事项： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上 对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题 0 的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 3.本试卷命题范围：选择性必修第二册（第二章二第三章3.2双曲线）。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项 如 是符合题目要求的， 敢 1.直线x一√3y-1=0的倾斜角a= A.30 长 B.60° C.120 D.150° 2.直线l1经过两条直线x一y十1=0和2x+3y十2=0的交点，且平行于直线x-2y十4=0，则 分 直线1的方程为 舒 A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0 C.2x-y+2=0 D.2x+y-2=0 女 3.如图，在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中，AC与BD的交点为M,设AB=a,AD=b,AA 密 -c,则下列向量中与DM相等的向量是 A-a+号b+ c2a+号叶e D.-za-zb+c 4.已知双曲线C过点(12)且渐近线为y=士3x,则双曲线C的方程是 A.3x2-y2=1 B.x2-3y2=1 C.y2-3x2=1 D.3y2-x2=1 5.已知圆0：x2+y2=1与圆C:x2+y2-2x-4y十1=0，则两圆的位置关系是 A.外切 B.相离 C.相交 D.内切 【高二月考·数学第1页（共4页）】 11045B 6已知F,F分别是双曲线2-芳=1的左右焦点，点P在该双曲线上，若1PF,=5,则 PF= A.4 B.4或6 C.3 D.3或7 7.设椭圆C的离心率为品，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C,上的点到椭圆C,的两个焦点 的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为 Bg苦-1 c若-若-1 D若-苦-1 8.已知F1,F2是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且|PF1|>|PF2|,线段 P℉，的垂直平分线过F,若椭圆的离心率为e,双曲线的离心率为？，则子+号的最小值为 A√6 B.3 C.6 D.√3 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.设圆锥曲线T的两个焦点分别为F1,F2.若曲线T上存在点P满足|PF|:|F1F2|:|PF2| =4:3:2,则曲线Γ的离心率等于 A司 B号 c号 D含 10.已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点F1,F2在x轴上，短轴长等于2，焦距为2√3，过焦点 F1作x轴的垂线交椭圆C于P,Q两点，则下列说法正确的是 A.椭圆C的方程为号+y=1 B稀圆C的离心率为吗 C1PQ1=号 nPE:=号 11.设圆C:(x一3)2+(y-4)2=9,过点P(1,2)的直线1与圆C交于A,B两点，则下列结论正 确的为 A.P可能为AB中点 B.AB|的最小值为3 C.若|AB|=2√5，则l的方程为y=2 D,△ABC的面积最大值为号 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分， 12.若直线2x-y十1=0与直线x十ay十3=0垂直，则a= 13.已知a=(一1,1,2)，b=(0,2,3),若ka十b与2a一b垂直，则k= 14.若双曲线若-常=1(a>0,b>0)与直线y=3x无交点，则离心率e的取值范围 是 【高二月考·数学第2页（共4页）】 11045B 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。 15.(13分) 双曲线C若-苦=1a>0,b6>0)的离心率e=5,且过点M-2,23). (1)求a,b的值； (2)求与双曲线C有相同渐近线，且过点P(W3,25)的双曲线的标准方程. 16.(15分) 已知圆C的圆心在直线y=2x十4上，且经过点M(0,2)和N(2,4). (1)求圆C的标准方程； (2)若过点P(1,0)的直线L与圆C交于A,B两点，且|AB引=2√3，求直线l的方程. 17.(15分) 已知直线方程为(2-m)x+(2m十1)y十3m+4=0,其中m∈R. (1)当m变化时，求点Q(3,4)到直线的距离的最大值； (2)若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A,B两点，求△AOB面积的最小值. 【高二月考·数学第3页（共4页）】 11045B 18.(17分) 图1是由等边三角形ABD和等腰直角三角形BDC组成的一个平面图形，其中BD=2, ∠BDC=交.若将△ABD沿BD折起，连接AC,且AC=2√2，如图2， (1)求证：平面ABD⊥平面BCD; (2)求二面角C-AB-D的余弦值. 图1 图2 知 赵 19.(17分) 长 设A,B两点的坐标分别为（一2,0），(2,0)，直线AE,BE相交于点E,且它们的斜率之积为 -},直线1：x=4,直线AE,BE与直线1分别相交于M,N两点，AN交轨迹E于点R. 都 (1)求点E的轨迹方程； (2)求证：M,B,F三点共线； 廊 (3)求证：以MN为直径的圆过定点. 多 B 【高二月考·数学第4页（共4页）】 11045B砚山一中2025年秋季学期高二年级10月月考·数学 参考答案、提示及评分细则 1.A可得直线x一By一1=0的斜率为6=一音-号，由斜率和倾斜角的关系可得am®=气又0<a< 180°，∴.a=30°. x-y+1=0, 2.B由 得两直线交点为(-1,0)，直线1斜率与x一2y十4=0相同，为2，侧直线1方程为y 2x+3y+2= 0=2(x+1D,即x-2+1=0 3.B DM-AM-AD-ZAC-(AA+AD)=(AB+AD)-(-c+)=(a+)+e-6-2a-b 十c. 4.A由y=士√3x,可得y2=3.x2,可设双曲线的方程为3.x2一y2=入（入≠0），又双曲线经过点(1，W√2)，可得3一 2=A,即入=1，所以双曲线的方程为3x2一y2=1. 5.C圆C:(x一1)2+(y一2)2=4，故CO=√/(1-0)+(2-0)=√5，两圆半径之和为3，半径之差的绝对值 为1，而1<5<3，故两圆的位置关系是相交. 6.D由双曲线定义知：PF|一PF2|=2a=2,而|PF1|=5,∴.5-PF2=士2，∴.PF2=3或7，故选D. 2a=26,(a=13, 7.D在椭圆C1中，由 c=5. 得 椭圆C1的焦点为F1(一5,0)，F2(5,0),曲线C2是以F1,F2为焦点，实 a13’ (c=5. 轴长为8的双曲线，故C,的标准方程为：后苦-1 8.C如图，设椭圆长轴2a1,双曲线实轴2a2,由题意可知：F1F2=F2P|=2c, 又|F1P|+|F2P|=2a1,lF1P|-|F2P|=2a2,..|F1P|+2c=2a1,F1P| 式相减，可得a1=a2=2c,2+g=2a十) e 2 42士a+c_8@+士=4+2g+六>4+2√ 2caz ·2am =6,当且仅 当经-云时取等号一号+号的最小值为6 9.AD设圆锥曲线的离心率为，由PF1|:FF2:|PF2=4：3:2,知①若圆锥曲线为椭圆，由椭圆的定 |F1F2 3 1 义，则有e=PF干PF阿=4千2=乞：@若圆锥曲线为双曲线，由双曲线的定义，则有e= P同=己2=子综上，所求的离心率为宁或号放选AD FF 【高二月考·数学参考答案第1页（共4页）】 11045B 2b=2, 10.AD对于椭圆C,由已知可得 则b=1,c=5,所以a=√6十c2=2.对于A,因为椭圆C的焦点 2e=23, 在1轴上，放椭圆C的方程为+=1，故A正确：对于B椭圆C的离心串为：一台-受，放B错误：对 a 于C,设点F为椭圆C的左焦点，易知点F(一，0)，将x=一代人椭圆方程可得y=士令，故PQ- 1,放C错误；对于D,PF=号PQ=之，放PF=2a-PF=子，放D正确.故选AD 11.AD圆C:(x-3)2+(y-4)2=9,圆心(3,4)，半径r=3.对于A,(1-3)2+(2-4)2=8<9,即点P在圆 的内部，当CPL直线L时，P为AB中点，放A正确；对于B,当CPL直线1时，AB最小.：-胃 16=-1,则直线1的方程为x十y3=0,圆心(3,4)到直线1的距商d=危=2E,AB- 2√一平=2，故B错误；对于C,当直线l斜率不存在时，即x=1,此时|AB=2√32一22=2√5，符合；当 直线1斜率存在时，设直线l的方程为k.x-y一k+2=0,由AB引=2√9一d=2√5，得d=2,则圆心(3,4) 到直线1的距离d=3k一4一+2=2，解得=0，即y=2,所以满足题意的直线为)y=2或x=1,故C错 /k2+1 误：对于D.Sam=AB1·d=合×2V-d:V厅<9+止=号，当且仅当9-d=,即4= 2 32时等号成立，所以△AC的面积最大值为号，故D正确.故选AD 12.-2 由题意得：2·1+(-1)·a=0,解得：a=2. 13.- 因为a=(一1,1,2)，b=(0,2,3),所以ka+b=(一k,k+2,2k+3),2a-b=(一2,0,1)，因为ka十b与 2a-b垂直，所以（如+b)·(2a-b)=-k×(-2)+(k十2）×0十(2k+3)X1=0,解得k=-3 4 141,2]“双曲线号-若=1a>0,6>0)与直线=厅x无交点，取双曲线的渐近线y=女小女<3， ∴.l<e= -√+答≤十(=2∴双曲线离心率e的取值范用是1,2 15.解：(1)因为离心率=C=+E =/5,所以2=402。.2分 a 又因为点M冰-2,2)在双曲线C上，所以号号=1 ……4分 联立上述方程，解得a2=1,b=4,即a=1,b=2.…7分 (2)设所求双曲线的方程为x2-兰=A(以≠0)， 由双曲线经过点P(5,25),得3-9-，即X=一2. 10分 【高二月考·数学参考答案第2页（共4页）】 11045B 所以双由线的方程为上一兰=一2，其标准方程为芳- =1 13分 16.解：(1)设圆心C的坐标为(a,2a十4)，由题意可得，CM=CN,…1分 所以V(a-0)2+(2a+4-2)7=√(a-2)2+(2a+4-4)7,解得，a=0.…3分 所以圆心坐标为C(0,4),半径r=CM=2.…5分 所以圆C的标准方程为x2十(y一4)2=4.… …6分 (2)若直线l的斜率不存在，直线l的方程为x=1,此时AB=23,符合题意. …8分 若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k(x一1)，即kx一y一k=0, 因为AB引=25，所以圆心C到直线1的距离d=√4-(W3)=1.…11分 即6X04包=1.解之得，k=一号.所以直线1的方程为15x十8y-15=0. 14分 √+1 综上所述，直线1的方程为x=1和15x十8y一15=0.……15分 17.解：(1)直线方程为(2-m)x+(2m十1)y十3m+4=0即为m(2y-x+3)+(2x+y+4)=0,…2分 2x+y+4=0, x=一1， 由 可得 则已知直线恒过定，点P(一1，一2)，…4分 2y-x+3=0 y=-2, 所以Q(3,4)到直线的最大距离为QP|=√(3+1)2+(4+2=2√3.…6分 (2)设直线的斜率为k(k<0),则其方程为y十2=(x十1)， 可得10A=号-1,0B=k-2,… …8分 则5ss=71o1·10B=(层-1)k-2=-2.… …11分 由k<0,可得-k>0,所以Sam=[-。2]=[4+(-)+(一)]≥4，当且仅当-冬=-6， 即k=一2时取等号. 14分 所以△AOB的面积最小值是4.… …15分 18.(1)证明：如图，取BD的中点E,连接EA,EC. …1分 AB=AD,.BD⊥AE,… …2分 :BD=2,∠BDC=交，△ABD为等边三角形， △BDC为等腰直角三角形，.AE=5,EC=√5，…4分 又.'AC=2√2，∴.ACe=AE+EC,即AE⊥EC, 又.BD∩EC=E,BD,ECC平面BCD,∴.AE⊥平面BCD, 又.'AEC平面ABD,∴.平面ABD⊥平面BCD. …6分 (2)解：由(1)知AE⊥平面BCD,又平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,CD⊥BD,所以CD ⊥平面ABD.…7分 【高二月考·数学参考答案第3页（共4页）】 11045B 过点E作EH∥CD交BC于点H,则EH⊥平面ABD,所以EB,EH,EA两两垂直. 以点E为坐标原点，EB,EH,EA所在的直线分别为x,y,之轴，建立如图所示的空间直角坐标系Exy, 则E(0,0,0),A(0,0,5),B(1,0,0),C(-1,2,0),H(0,1,0),AB=(1,0,-5),CA=(1,-2,3),Ei =(0,1,0）.… …9分 设m=(x,y,)为平面CAB的一个法向量，则m·AB=0,m·C=0, 即x√52=0，x-2y十5x=0, .令之=1，则x=5,y=√3m=(W5,√3,1).… 12分 又E萌=(0,10)为平面ABD的一个法向量，0s（(m,本)=m·頭 m·|EH7 7 15分 由图可知，二面角C-AB-D为锐角，∴二面角C-AB-D的余弦值为牙。 … 17分 1.（1D解：设E,),由题意e=十2≠-2》，征=产2≠2)， 2分 由已知有产2产=子（≠士2)，化简得号+=1士2.4分 (2)证明：设直线AE的方程为y=k(x+2)(k≠0)，令x=4,得M(4,6k). [y=k(x+2), 由 消元得：(1+4k)x2+16k2x+16k2-4=0,显然△>0恒成立. x2+4y2=4 由E管安，且=一2.得-行瓷，代人直线AE的方程得E=。…7分 4k 又因为B(2,0),所以kE=一 2,所以直线BE为：y=一(x一2)，令x=4,得N(4,一），kN=一 12k y=- -12k 72k2-2 联立 12x+2), 消去x得：(362+1)y+12ky=0,所以=36k干，xr=36+1 …10分 x2+4y2=4, -12k 6k 因为kw=4”2-3k,km 36k2+1 72k2-2 3k=kM,又BM,BF有公共点B,所以M,B,F三点共线. 36k2+1 ……12分 (3)证明：设以MN为直径的圆上点P(x,y),则MP⊥NP,…13分 所以圆方程为(x-40x-40+(y-6k)(y+)=0,即(x-4)2+y+(一6k)小-3=0，…15分 当y=0时，x=4士√3，所以以MN为直径的圆过定点(4士3,0). …17分 【高二月考·数学参考答案第4页（共4页）】 11045B