专题01 解直角三角形及应用（专项训练）数学浙教版九年级下册

专题01 解直角三角形及应用 目录 A题型建模・专项突破 题型一、解直角三角形（常考点） 1 题型二、解直角三角形的应用——俯角仰角问题（常考点） 5 题型三、解直角三角形的应用——建筑与构造问题（常考点） 12 题型四、解直角三角形的应用——工程与机械问题（常考点） 16 题型五、解直角三角形的应用——生活物件结构问题（重点） 22 题型六、在几何图形中运用锐角三角函数求解问题（难点） 28 B综合攻坚・能力跃升 题型一、解直角三角形 1．（2025九年级·全国·专题练习）如图，在中，，，则的面积为 ． 【答案】30 【分析】通过作等腰三角形的高，将其转化为直角三角形，利用三角函数和勾股定理求出高，进而求出面积． 【详解】解：过点作于点． ∵， ∴． ∵， ∴． 在中，， ∴． ∴． 故答案为：． 2．（25-26九年级上·山东济南·阶段练习）如图所示，在中，，，A为延长线上一点且，利用此图可求 ． 【答案】/ 【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理，等腰直角三角形，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 设，则，则可得，计算角度得到，即可解答． 【详解】解：，， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， 故答案为： 3．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知线段，按以下步骤作图：①过点作，使，连接；②以点为圆心，以长为半径画弧，交于点；③以点为圆心，以长为半径画弧，交于点．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理和正切函数，根据垂直定义可得，再根据正切函数可得，设，然后在中，利用勾股定理可得，再根据题意可得：，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 设， ∴， ∴， 由题意得：，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 4．（25-26九年级上·上海·阶段练习）在中，，，（如图），将绕点C旋转后，点A的对应点是点，点B的对应点是点，与边相交于点H，且，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理、三角函数以及旋转的性质，通过设未知数，利用勾股定理建立方程求解是解题的关键．本题可先根据三角函数关系求出与的长度，再利用旋转的性质得到与的关系，最后通过求出的值． 【详解】解：在中，，， 设，， 根据勾股定理， ， ， 解得， ，， 绕点旋转得到， ， ，， ， 又 ， 在中，， 设，， 根据勾股定理， 即，解得， ． 故答案为：． 5．（2025九年级·全国·专题练习）如图，．求的值． 【答案】 【分析】过点作于点，先用正弦求值，再利用勾股定理求，最后求的值． 【详解】解：如图，过点作于点． ， ， ． ， ， ． 6．（2025九年级·全国·专题练习）如图，在中，已知，求的长． 【答案】 【分析】过点作，交的延长线于点．设，在中，通过得出，通过表示出，从而得到，再利用，列方程求出的值，进而求出的长． 【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点． 设 ． 在中， ． 在中，， ． ， ． 题型二、解直角三角形的应用——俯角仰角问题 1．（2025九年级·全国·专题练习）如图，小明为测量校园里一棵大树的高度，在树底部所在的水平面内，将测角仪竖直放在与点相距8m的位置，在点处测得树顶的仰角为．若测角仪的高度是1m，则大树的高度约是 m（结果精确到1m，参考数据：）． 【答案】11 【分析】过点作于点，构造直角三角形，解直角三角形求出，即可求出结果． 【详解】解：过点作于点， 由题意可知，，，， 在中，，即， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，小明为了测量旗杆高度，采用如下方案：在点C处测得旗杆顶B的仰角为，从与点C相距的E处测得旗杆顶B的仰角为，若，则旗杆的高度是 （精确到）．（参考数据：） 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，熟练掌握该知识点是解题关键． 延长交于G，则，设，根据观测的角度和直角三角形的边角关系用x来表示和，进而表示出，根据点C和点E的距离列出方程并求解可得的长度，再根据和的长度确定的长度，即可求出的长度． 【详解】解：如下图所示，延长交于G，则．设， ∵在点C处测得旗杆顶B的仰角为，从点E处测得旗杆顶B的仰角为， ∴，． ∴， ∵点E与点C相距， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴． ∴． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·山东滨州·阶段练习）如图，天琪家与阿权家住在同一栋楼的同一单元，他俩想测算出所住楼对面商业大厦的高度，进行了如下操作：他俩在天琪家的窗台B处，测得商业大厦顶部N的仰角的度数，由于楼下植物的遮挡，不能在B处测得商业大厦底部M的俯角的度数．于是，他俩上楼来到阿权家，在窗台C处测得大厦底部M的俯角的度数，竟然发现与恰好相等．已知A，B，C三点共线，，商业大厦的高度 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，全等三角形的性质和判定，解决本题的关键是构造直角三角形和矩形，得出． 过点C作于点E，过点B作于点F，可得四边形和四边形均为矩形，可以证明，得，进而可得商业大厦的高． 【详解】解：如图，过点C作于点E，过点B作于点F， ∴， ∵， ∴四边形和四边形均为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 答：商业大厦的高为． 故答案为：． 4．（2025·山东德州·中考真题）暑假期间，小明一家到某旅游风景区登山．他们从山底A处出发，先步行到达B处，再从B处坐缆车到达山顶C处．已知山坡的坡角，缆车的行驶路线与水平面的夹角，这座山的高度，A，B，C，D在同一平面内． (1)求小明一家步行上升的垂直高度（结果取整数）； (2)求缆车的行驶路线的长（结果取整数）．（参考数据：，，；，，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用---坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． （1）过点作于，根据正弦的定义求出； （2）过点作于，根据矩形的性质求出，进而求出，再根据正弦的定义计算即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于， 在中，，m， 则m， 答：小明一家步行上升的垂直高度约为； （2）解：如图，过点作于， 则四边形为矩形， ， ， ， 在中，， 则， 答： 缆车的行驶路线的长约为． 5．（2025九年级·全国·专题练习）某校数学兴趣小组的同学要测量建筑物的高度，如右图，建筑物前有一段坡比的斜坡，小明在山坡上的点处，用测角仪测得建筑物屋顶处的仰角为，接着小明又向下走了，刚好到达坡底点处，这时测得建筑物屋顶处的仰角为．已知点在同一平面内．若测角仪的高度，求建筑物的高度（结果精确到0.1m，参考数据：，，）． 【答案】41.5m 【分析】设，则．延长交的延长线于点，过点作于点，过点作于点，求出，，由矩形的性质得出，，，，在中，，求出，．在中，，解方程即可． 【详解】解：延长交的延长线于点，过点作于点，过点作于点，如图． 在中，， ． 由题意，得四边形是矩形，四边形是矩形， ． 设，则． 在中，， ， ． 在中， ， ， 即建筑物的高度约为． 6．（2025·河北唐山·三模）如图，无人机甲和无人机乙同时分别从地面的点A处和楼顶B处起飞竖直上升，其中点B距离楼顶边缘点D的水平距离为，从地面点A处测得楼顶端D的仰角为（点B，D，C，A在同一平面内）．两架无人机距离地面的高度h（单位：m）与上升时间t（单位：s）之间的函数图象如图2． (1)求起飞前无人机甲和无人机乙之间的水平距离（结果保留整数，） (2)求两架无人机距离地面的高度与无人机上升的时间之间的函数关系式； (3)求一架无人机观察另一架无人机的仰角不超过的时长． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题主要考查解直角三角形及一次函数的应用，掌握求一次函数的解析式是解题的关键． （1）根据在中，，，求出结论即可； （2）用待定系数法分别求出表达式即可； （3）首先得出当两架无人机垂直距离为时，下面的一架无人机观察另一架无人机的仰角刚好，即，解出t的值，求出范围即可． 【详解】（1）解：由题意得：在中，， 由图（2）知：无人机乙刚起飞时离地面的高度， ， ， ∴起飞前无人机甲和无人机乙之间的水平距离为； （2）解：由图（2），设无人机甲距离地面的高度与无人机上升的时间之间的函数关系式为， 把代入，则， 解得：， ； 设无人机乙距离地面的高度与无人机上升的时间之间的函数关系式为， 把代入，则， 解得：， ； （3）解：∵起飞前无人机甲和无人机乙之间的水平距离为， ∴当两架无人机垂直距离为时，下面的一架无人机观察另一架无人机的仰角刚好， 即， ， 解得：或， ， ∴一架无人机观察另一架无人机的仰角不超过的时长为． 题型三、解直角三角形的应用——建筑与构造问题 1．（2025·广西来宾·模拟预测）如图①是广西传统“干栏式”民居，是壮族最具标志性的民居形式，是壮族先民适应自然生存智慧的集中体现，其屋顶可看作等腰三角形（如图②），其中，若是的中点， ，，则的长约为 m．（结果保留整数，参考数据： ） 【答案】2 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用及等腰三角形性质，先求出，再解求出结论即可． 【详解】解：，若是的中点， ， ， 在中，， ， ， 故答案为：2． 2．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图是某游乐场一个直径为的圆形摩天轮，最低点离地面．圆周上座舱A从最低点开始旋转，一段时间后A与圆心的连线与竖直方向的夹角为，则此时座舱距离地面的高度为 ． (结果根据“四舍五入”法精确到)(参考数据：，) 【答案】 【分析】本题考查锐角三角函数解三角形，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键，过点作，过点作，，根据题意可得为矩形，从而得到即，，再利用锐角三角函数可解得，从而得到座舱距离地面的高度． 【详解】解：如图，过点作，过点作，， 则四边形为矩形，即， 由题可得：，， ∵A与圆心的连线与竖直方向的夹角为， ∴， 在中，， ∴， ∴座舱距离地面的高度为． 3．（2025九年级下·福建龙岩·学业考试）如图1，塔式太阳能电站把地面上多个平面镜(定日镜)反射的太阳光汇聚到吸热塔塔顶，从而利用太阳能发电．如图2，下午某时刻，一条与水平方向成角的太阳光线，以的入射角射向定日镜上的点处，点到吸热塔垂直于水平面的距离为米，定日镜支撑柱的高米，则估计吸热塔的高为 米．(参考数据：) 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解三角函数关系是解题的关键．根据题意，结合图形，在中，利用三角函数求出的长，结合已知条件中的长，得到结果． 【详解】解：如图，过点作于点， 依题意，，，米， ， 在中，米， 米， 米， 米， 故答案为：． 4．（25-26九年级上·山东淄博·阶段练习）为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，如图①，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．在如图②的侧面示意图中，遮阳篷靠墙端离地高记为，遮阳篷长为米，与水平面的夹角为． (1)求点A到墙面的距离； (2)当太阳光线与地面的夹角为时，量得影长为米，求遮阳篷靠墙端离地高的长．（结果精确到米；参考数据：，，）． 【答案】(1)约为米 (2)遮阳篷靠墙端离地高的长约为米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用．熟练掌握三角函数的定义，是解题的关键． （1）作，在中，根据三角函数，求出的长，即可求解， （2）作，依次求出，,的长，在中，根据三角函数，求出的长，即可求解， 【详解】（1）解：过点A作，垂足为F，如图所示： 在中，（米）， ∴（米）， ∴点A到墙面的距离约为米； （2）解：过点A作，垂足为G，如图所示： 由题意得：，（米）， ∵（米）， ∴（米）， 在中，， ∴（米）， ∴（米）， 在中， ∴（米）， ∴（米）． 5．（2025·甘肃武威·一模）如图是镇远楼俗称鼓楼，又名靖远楼，位于张掖市中心，是河西走廊现存最大的鼓楼．于明正德二年（年）建在一座砖包的高台上，楼为三层木构塔型，飞檐翘角，雕梁画栋，结构精巧，造型雄伟壮观．楼上四面悬有匾额：东为“金城春雨”，西为“玉关晓月”，南为“祁连晴雪”，北为“居延古牧”，完全是中华民族的传统建筑．某数学兴趣小组将测量镇远楼的高度作为一次实践活动，同学们制定了测量方案，并完成了实地测量，测得结果如下表： 课题 测量镇远楼的高度 测量示意图 如图，镇远楼及底座在同一条直线上且垂直于地面，在地面上选取点，测得和的度数及，两点之间的距离，点，，，均在同一竖直平面内，且 测量数据 的度数 的度数 的长度 请你根据上表中的测量数据，帮助该小组求出镇远楼的高度（结果保留整数）．参考数据：，，，，， 【答案】镇远楼的高度为 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题目中的数据和锐角三角函数可以计算出、的长，从而可以计算出的长． 【详解】解： ，，，， ，， ， 答：镇远楼的高度为． 题型四、解直角三角形的应用——工程与机械问题 1．（2025九年级·全国·专题练习）某限高曲臂道路闸口如图所示，已知垂直地面于点与水平线的夹角为，，．若不考虑闸口与车辆的宽度．则下列说法：①当时，低于3.3m的车辆可以通过该闸口；②当时，2.9m高的车辆不可以通过该闸口；③当时，3.1m高的车辆不可以通过该闸口．正确有 （填序号）． 【答案】①② 【分析】根据题意列出和角度之间的关系式即可判断． 【详解】解：由题知，限高曲臂道路闸口高度为：， ①当时，当米，即米即可通过该闸口， ∴低于的车辆可以通过该闸口， 故①正确，符合题意； ②当时，米，即米即可通过该闸口， ∵， ∴高的车辆不可以通过该闸口， 故②正确，符合题意； ③当时，米，即米即可通过该闸口， ∵， ∴高的车辆可以通过该闸口， 故③错误，不符合题意； 故答案为：①②． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图①，杆AB可以绕转轴A点在竖直平面内自由转动，在A点正上方固定一个小定滑轮C，细绳通过定滑轮与杆的另一端B相连，并将杆AB从水平位置缓慢向上拉起．图②是其示意图，已知，当杆AB与水平面夹角为30°时，测得，此时点B到AD的距离为 ． 【答案】 【分析】作交于点，构造直角三角形，再利用等边三角形的性质，得出，求解即可， 【详解】解：如图：作交于点， ∵， 又∵， ∴为等边三角形， ， 中，， ， 故答案为：． 3．（2025·山西临汾·二模）手臂机器人能够在高温、高压、有毒等恶劣环境下工作，因此在工业制造中被广泛应用．如图，这是工作中的某型号手臂机器人示意图，是垂直于工作台的移动基座，，分别为机器人的大、小臂，其中小臂为2米，大臂为3米，移动基座米，其工作时某个时刻，，求点到工作台的距离．（结果精确到0.1米，参考数据：，，） 【答案】点到工作台的距离为6.1米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用；过点作于点，过点作于点，过点作交的延长线于点，则四边形是矩形，在和中分别求得，根据，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，过点作交的延长线于点， 则四边形是矩形，， 米，， ， 在中，， （米）， ， ， 在中，，， （米）， （米）， ， 点到工作台的距离和点到工作台的距离相等． 答：点到工作台的距离为6.1米． 4．（24-25九年级下·甘肃·课后作业）如图，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起．起始位置示意图如图，此时测得点到所在直线的距离，，停止位置示意图如图，此时测得（点，，在同一直线上，且直线与地面平行），图中所有点在同一平面内．定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变．求物体上升的高度（结果精确到）．（参考数据：，，，） 【答案】物体上升的高度约为 【分析】在中，根据求出、的长，再在中，利用锐角三角函数求出的长，根据绳子总长不变可求得的长，最后根据求的长即可． 【详解】解：在中，，， ， ， 在中，，， 根据勾股定理得：， 在中，，，， ， 即， ， ， ， ， 物体上升的高度约为． 5．（24-25九年级下·全国·单元测试）如图所示的是某小区门口的门禁识别设备的结构示意图，摄像头可以绕连接点O进行上下旋转．摄像头部分，点O为旋转中心，，绕点O上下旋转过程中，支撑杆垂直于水平地面，不小于，（结果保留一位小数，参考数据：）． (1)当时，求摄像头处点A到支撑杆的距离； (2)当摄像头处点A旋转至最低点时，求摄像头处点B到地面的距离． 【答案】(1)摄像头处点A到支撑杆的距离约为 (2)摄像头处点B到地面的距离约为 【分析】（1）如图，过点A作，先求解，再利用的正弦值求解； （2）过点B作垂直于地面于点G，过点O作于点H．可得，进而求得，从而求得，再利用锐角三角函数值，可求出长度，最后求的长度． 【详解】（1）解：如图①，过点A作． ，O为的中点， ． ， ． 故摄像头处点A到支撑杆的距离约为． （2）解：如图②，过点B作垂直于地面于点G，过点O作于点H． 根据题意可知，点A旋转至最低点时，． ． ， ， ， ． ． 故摄像头处点B到地面的距离约为． 6．（2025·河北沧州·模拟预测）【发现】某大型购物商场在一楼和二楼之间安装自动扶梯，截面的示意图如图所示，一楼和二楼地面平行（即点与点所在的直线与平行），层高为，坡角． （）要使身高的嘉淇爸爸（竖直站立）乘坐自动扶梯时不碰头，则之间的距离要大于多少米？ 【探究】该商场计划改造这个扶梯，将其分为三段：段（上坡段自动扶梯）、段（水平平台，即）、段（上坡楼梯），如图中虚线所示．段和段的坡度相同，为保障安全其坡度不能超过，商场希望尽可能延长平台的长度，以方便顾客休息． （）求出平台的最大长度（结果保留小数点后一位）． （参考数据：取，取，取） 【答案】（）米；（） 【分析】（）过点作交于点，由平行线的性质可得，进而由即可求解； （）延长交于点，可得四边形为平行四边形，得到，由坡度的定义可得米，解可得米，再根据线段的和差关系即可求解； 本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，平行四边形的判定和性质，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：（）解：如图，连接，过点作交于点，则， ， ， ， （米）， 答：，之间的距离要大于米； （）解：如图，延长交于点， ∵段和段的坡度相同， ∴， ∴ 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵段和段的坡度， （米）， 在中，， ∴（米）， ∴（米）， 答：平台的最大长度约为米． 题型五、解直角三角形的应用——生活物件结构问题 1．（2025·福建·模拟预测）手机支架已经很广泛的应用于生活当中，如图是手机支架，如图是手机支架的侧面示意图，人俯看手机，点为观测点，线段长度保持不变，绕点逆时针进行转动可以调整视角，在支架示意图中，水平观测点，观测点到的距离为，则观测点到直线的距离长为 ；若线段，当从铅锤位置第一次转到位置时，视线恰好经过点，则相对点上升了 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，勾股定理．过点A作于点G，则，，利用，可得，，从而得到，在中，利用勾股定理可得，从而得到；连接，过点作于点H，则点B、、D三点共线，可得，可设，，在中，利用勾股定理可得（舍去），从而得到，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作于点G，则，， 在中，， ∴，即， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴； 如图，连接，过点作于点H，则点B、、D三点共线， 在中，，， ∴， 根据题意得：， ∴， ∴， ∴可设， ∴， 在中，，， ∴， 解得：（舍去）， ∴， ∵， ∴． 即相对点上升了． 故答案为：32； 2．（24-25九年级下·福建福州·阶段练习）如图，为订书机的托板，压柄绕着点B旋转，连接杆的一端点D固定，点E从A向B处滑动，在滑动的过程中，的长度保持不变．若， ，，则的长度为 ． 【答案】/7厘米 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法是关键，过点D作，垂足为F，先求出，进而求出，可得出结论． 【详解】解：如图所示，过点D作，垂足为F， 在中，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 3．（2025·宁夏银川·二模）洗手盆上常装有一种抬启式水龙头（如图1），完全开启后，把手与水平线的夹角为，此时把手端点、出水口点和落水点在同一直线上，洗手盆及水龙头示意图如图2，在一条直线上，，其相关数据为，，则的长是 ． （结果精确到，参考数据：）． 【答案】约为 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．过点作于，过点作于，根据正弦的定义求出，根据余弦的定义求出，再根据正切的定义求出，计算即可． 【详解】解：过点作于，过点作于，如图所示， 则四边形为矩形， ，， 在中，，， ，， ，， ， ， ，即的长约为． 故答案为：约为． 4．（2024·广东·模拟预测）如图1是一款笔记本电脑支架的实物图片，图2是支架侧面的示意图，AB 为固定底座，C 为可调节活动点．实验数据表明：当，时为最佳视角，已知的长度为，当视角最佳时，求可调节活动点 C到水平面的距离．（结果精确到，参考数据： 【答案】 【分析】此题考查了解直角三角形的应用．过点C作于点，分别求出，根据列方程并解方程即可． 【详解】解：如图，过点C作于点， 在中，， 在中，， ∵， ∴， 解得， 答：可调节活动点 C到水平面的距离为． 5．（2025·安徽·模拟预测）如图1是三星堆遗址出土的陶盉（），图2是其示意图．已知管状短流，四边形是器身，，，，．器身底部距地面的高度为，则该陶盉管状短流口距地面的高度约为多少？（结果精确到）（参考数据：，，，） 【答案】该陶盉管状短流口距地面的高度约为 【分析】本题考查解直角三角形的知识，解题的关键是正确的做出辅助线． 过点作交于点，过点作交的延长线于点，根据，求出，根据，，求出进而求解即可． 【详解】解：过点作交于点，过点作交的延长线于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴该陶盉管状短流口距地面的高度为：， 答：该陶盉管状短流口距地面的高度约为． 6．（2024·福建·模拟预测）如图，图1是一盏台灯，图2是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），其中灯臂，灯罩，灯臂与底座构成的．可以绕点上下调节一定的角度．使用发现：当与水平线所成的角为时，台灯光线最佳，求此时点与桌面的距离．（结果精确到，取） 【答案】点与桌面的距离为 【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定和锐角三角函数的应用，作辅助线和构造直角三角形是解本题的关键． 过点作，交延长线于点，过点作于F，过点作于E，分别在和中，利用锐角三角函数的知识求出和的长，再由矩形的判定和性质得到，最后根据线段的和差计算出的长，问题得解． 【详解】解：过点作，交延长线于点，过点作于F，过点作于E， 在中，，， ∵， ∴， 在中，，， ∵， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴． 答：点与桌面的距离约为． 题型六、在几何图形中运用锐角三角函数求解问题 1．（24-25九年级上·重庆·期中）如图，点是外一点，，与相交于点，，连接，若，，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解非直角三角形，过点作交延长线于，先由，，得到，即可得到，设，则，，在中，利用勾股定理列方程求得，即可得到，，最后根据计算即可． 【详解】解：如图，过点作交延长线于，则， ，， ， ∵， ∴， ∴设，则， ∵， ∴， 在中，，， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 2．（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在中，，，将绕点A逆时针方向旋转，得到，连接，交于点D，则的值为 ．    【答案】5 【分析】本题考查了解三角形以及旋转的性质，作垂线构造直角三角形是解题关键． 作，设，则，，根据旋转可得，推出，；设，则，，推出，即可求解； 【详解】解：作，如图所示：    ∵， ∴设，则， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴设，则， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故答案为： 3．（21-22九年级下·上海静安·期中）如图，在菱形纸片ABCD中，AB=2，∠A=60°，将菱形纸片翻折，使得点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F．G分别在边AB．AD上，则sin∠EFG= ． 【答案】 【分析】作于，作交AD延长线于，连接，．在，，，中，根据勾股定理可求，，，的长，即可求的长，即可得值． 【详解】解：如图：作于，作于，连接， 四边形是菱形， ， 是中点 ， ，且 ，， 折叠， ，， 在中，， ， ， 在中，，， ， ， ，， 是等边三角形， 点是中点， ，，， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， 在中，， ． 4．（25-26九年级上·山东济南·阶段练习）如图，已知矩形的边在轴上，，，双曲线与矩形相交于点，，沿折叠，点恰好落在边上的点处． (1)求和； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了矩形与折叠，待定系数法求反比例函数解析式，勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由矩形的性质和折叠可知，在中根据勾股定理可求，进而求出，在中，由勾股定理可求，，从而可得到答案； （2）设，，根据点A，E都在双曲线上，得出关于m的方程，然后求解即可． 【详解】（1）四边形ABCD是矩形， ，，， 是由翻折得到， ，，设， 在中，， ， 在中，， ， ，， ； （2）设，则， 双曲线过、点， ， 解得， 5．（2025·贵州·一模）如图，在中，分别平分，交于点与相交于点，分别过点作，交于点H． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)3 【分析】本题考查了平行四边形的性质、矩形的判定与性质、角平分线的性质及三角函数的应用，解题的关键是利用平行四边形和矩形的性质，结合角的关系与三角函数推导线段长度． （1）通过“两组对边分别平行”证四边形是平行四边形，再结合平行四边形邻角互补、角平分线性质证有一个角为直角，从而判定为矩形； （2）根据平行四边形对边平行且相等、三角函数推出，利用矩形性质，推出，结合线段关系求出的长． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵四边形是平行四边形， ，， 分别平分， ， ， ∴四边形是矩形； （2）解：∵， ， 由（1）知， 即， ， ， ， ∵四边形是平行四边形， ， 由题意，得， ， ， ． 6．（2025·山东泰安·模拟预测）知识再现 如图①，在正方形中，，，，分别是边，，，上的点，，当时， ； 问题探究 如图②，在中，，分别是边，上的点，，猜想与的数量关系，并说明理由； 实践应用 如图③，在中，，，，分别是，上的点，交于点，，，，求的长． 【答案】知识再现：10；问题探究：，见解析；实践应用： 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，正方形的性质，相似三角形的判定以及性质，全等三角形的判定以及性质，锐角三角函数的应用，等知识，掌握这些判定定理以及性质是解题的关键． （1）知识再现，作于M，于N，利用正方形的性质得出，再利用同角的余角相等得出，证明，由全等三角形的性质即可得出． （2）问题探究，利用平行四边形的性质先证得由相似三角形的性质得出，再证明，再得出，结合，即可得出. （3）实践应用：作于H，设，由，，解出x，求出，再由（2）结论，求出． 【详解】解：（1）知识再现：作于M，于N，如下图： ∵四边形是正方形， ∴四边形和四边形为矩形， ∴，， ∵四边形为正方形， ∴， ∴，， ∵， 设交于P， ∴，， ∴， ∴， ∴． （2）问题探究：，理由如下： ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）实践应用： 如图，作于H， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， 由(2)可知，， ∴， ∴， ∴， ∵， 即， 解得：． 1．（2025九年级·全国·专题练习）如图所示的是某厂家新开发的一款摩托车，它的大灯射出的光线与地面的夹角分别为和．该大灯照亮地面的宽度为2.1 m，则该大灯距地面的高度约为（参考数据：，，，）（   ） A．1.0m B．1.5m C．2.0m D．2.5m 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点作，垂足为，由锐角三角函数的定义得出，，再利用，即可求得． 【详解】解：过点作，垂足为， 根据题意，得，， ∴，即， ∴， 故选：B ． 2．（2025九年级·全国·专题练习）如图，某梯子长5m，斜靠在竖直的墙面上．当梯子与水平地面所成角为时，梯子顶端靠在墙面上的点处，底端落在水平地面的点处．现将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为．已知，则梯子顶端上升了（   ） A． B． C．1m D． 【答案】C 【分析】利用三角函数求出梯子顶端在两次位置时的高度，再求高度差． 【详解】解：在中， . 在中，， ， ， 梯子顶端上升了． 故选：C． 3．（15-16九年级上·山西·期末）如图所示，在中，于，于，且，已知，那么等于（   ） A． B． C．5 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解直角三角形，根据正切的定义可得，则，解直角三角形可得的长，则可得到的长，再解直角三角形即可求出的长． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 4．（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，点是坐标原点，矩形的顶点在反比例函数的图象上，反比例函数的图象经过点，当时，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过A、B作轴于E，轴于F，利用三角函数、勾股定理解可得，结合矩形的性质可得，再证，推出，根据反比例函数k的几何意义可得，即可求解． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 过A、B作轴于E，轴于F，如图： ∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数在第二象限， ∴， ∴， 故选：D． 5．（2025九年级·全国·专题练习）某市正在进行轻轨九号线的建设，为了缓解市区一些主要路段的交通拥堵现状，交警大队在主要路口设置了交通路况指示牌（如图）．小明在离指示牌水平距离3m的点处测得指示牌顶端点和底端点的仰角分别为和，则路况指示牌的高为 m． 【答案】 【分析】过作，交于点，在中，利用锐角三角函数定义求出的长，在中，利用锐角三角函数定义求出的长，由求出的长即可． 【详解】解：过作，交于点， 由题意得：，， 在中，，， ∴，即 ∴， 在中，，， ∴，即 ∴， ∴， 故答案为：． 6．（2025·内蒙古·模拟预测）在呼和浩特东郊开阔的平川上，一座灰白色的宝塔拔地凌空，直刺云天，大有“一柱擎天”之势，这便是驰名塞外的万部华严经塔，因其白色，所以俗称“白塔”．某数学小组测量白塔的高度，如图，他们选取的测量点A与塔的底部B在同一水平线上．已知塔顶为高14米的塔刹，在A处测得塔顶D的仰角为，塔刹底部C的仰角为，则塔的高约为 ．（结果精确到．参考数据：，，，，，）    【答案】54.3 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—仰角、俯角问题，熟练掌握知识点，准确理解题意是解题的关键． 先根据正切的定义表示出，，再根据求出，进而求解即可． 【详解】解：在中，， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴米， 故答案为：54.3． 7．（2025九年级·全国·专题练习）在一次数学活动中，小明利用一根拴有小锤的细线和一个半圆形量角器制作了一个测角仪，去测量学校内一座假山的高度．如图，已知小明距假山的水平距离为9m，他的眼睛距地面的高度为1.6m，小明的视线经过量角器零刻度线和假山的最高点，此时铅垂线经过量角器的刻度线，则假山的高为 m． 【答案】 【分析】本题考查三角函数的实际应用，掌握通过作辅助线构造直角三角形，利用正切函数求解对边长度，结合实际高度的叠加关系计算假山高度是解题的关键． 通过作辅助线构造直角三角形，利用三角函数求出假山超出小明眼睛高度的部分，再加上小明眼睛的高度得到假山的总高度． 【详解】解：作， 由题意有：， ， 是矩形， ， 在中，， ， 解得：． 假山高度． 故答案为：． 8．（2025八年级上·全国·专题练习）如图2，是某款台灯（图1）的示意图，处于水平位置的横杆可以绕着点转动．当分别转到，的位置时，测得，，的高度差，，的水平距离，，若该台灯底座高度，则点到桌面的距离为 ． 【答案】27 【分析】本题考查了勾股定理的应用，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，矩形的性质，解一元二次方程，难度较大，综合性较强，正确地作出辅助线是解题的关键． 过点M作于P，过点N作于Q，由题意得四边形是矩形，四边形是矩形，，根据矩形的性质得到，，，，根据全等三角形的性质得到，，设，则，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：过点M作于P，过点N作于Q， 由题意得，四边形是矩形，四边形是矩形，， ∴，，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 设 则 故， 在中，， ∴， 整理得 则 解得或（舍去）， ∴ ∴点O到桌面的距离为 故答案为：27． 9．（2025九年级·全国·专题练习）图①是外翻窗的示意图，图②是外翻窗的侧面示意图．当外翻窗从下面打开时，窗的一边沿绕点旋转到．已知，旋转角最大为．当最大时，求点到的距离（结果精确到0.01）． 【答案】0.31m． 【分析】过点作于点，由旋转得：，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答． 【详解】解：过点作于点，如图． 由旋转得：， 在中，， ． 故点到的距离约为0.31m． 10．（24-25九年级上·山东烟台·期末）图1为《天工开物》记载的用于舂chōng捣谷物的工具——“碓duì”的结构简图，图2为其平面示意图，已知于点，与水平线相交于点，．若分米，分米，，求点到水平线的距离的长． 【答案】点C到水平线l的距离的长为dm 【分析】 本题考查了勾股定理，解三角形及利用三角形等面积法求解，作出辅助线是解题关键．延长交于点，连接，根据题意及解三角形确定，，再由等面积法即可求解． 【详解】解：延长交于点，连接， 在中，，， ，， ， ， ， ， 答：点到水平线的距离的长为． 11．（2025九年级·全国·专题练习）某大型购物中心为方便顾客地铁换乘，准备在底层至层之间安装扶梯，截面图如下图所示．底层与层平行，层高为9m，点之间的距离为6m，（参考数据：，，）． (1)身高1.9m的人在竖直站立的情况下搭乘扶梯，在处______碰到头（填“会”或“不会”）． (2)若采取中段平台设计（如折线所示），已知平台，且段和段的坡度．求平台的长度． 【答案】(1)不会 (2)平台的长度约为7m 【分析】（1）连接，过点作，交于点，根据，底层与层平行，得出，再根据正切值求出的长，然后与人的身高进行比较，即可得出答案； （2）根据的长求出，再过点作于点，过点作于点,设，则，根据段和段的坡度，求出的长，最后根据，即可求出答案． 【详解】（1）解：连接，过点作，交于点， ∵，底层与层平行， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴不会碰到头部； 故答案为：不会； （2）解：在中，， ． 如图，过点作于点， 过点作于点． 设，则． 段和段的坡度， ， ， ． 答：平台的长度约为． 12．（2024九年级下·浙江·学业考试） 已知为的直径，以为边作矩形，点和点是上两点，连结，和．   (1)如图①，设，用含有的代数式表示 ； (2)如图②，连接，已知，用含有的代数式表示和 的面积之比； (3)如图③，过点作，垂足为点，连结，若 ，求的长． 【答案】(1) (2)和的面积之比为 (3)3 【分析】（1）连接，，证明得出对应角相等，利用直径定理得出，然后利用等量代换即可求解； （2）连接，利用锐角三角函数得出，证明，利用相似三角形的性质进行求解即可； （3）延长交于点，连结，得出为的垂直平分线，得到，证明，利用相似三角形的性质得出线段之间的关系，即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接，， ，， ∴， ∴， ． 四边形为矩形， ， ． 为的直径， ． ， ． ， ． ． ， ． （2）解：如图所示，连接， ， ，即． ∵与为等腰三角形，且底角， ， ， ∵， ∴， 和的面积之比为； （3）解：如图，延长交于点，连接， 为的直径，， ， ． 为的垂直平分线， ． ．   ，即 ， ， ． ，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，   ． ， ∵， ∴，即， ． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 解直角三角形及应用 目录 A题型建模・专项突破 题型一、解直角三角形（常考点） 1 题型二、解直角三角形的应用——俯角仰角问题（常考点） 5 题型三、解直角三角形的应用——建筑与构造问题（常考点） 12 题型四、解直角三角形的应用——工程与机械问题（常考点） 16 题型五、解直角三角形的应用——生活物件结构问题（重点） 22 题型六、在几何图形中运用锐角三角函数求解问题（难点） 28 B综合攻坚・能力跃升 题型一、解直角三角形 1．（2025九年级·全国·专题练习）如图，在中，，，则的面积为 ． 2．（25-26九年级上·山东济南·阶段练习）如图所示，在中，，，A为延长线上一点且，利用此图可求 ． 3．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知线段，按以下步骤作图：①过点作，使，连接；②以点为圆心，以长为半径画弧，交于点；③以点为圆心，以长为半径画弧，交于点．若，则的值为 ． 4．（25-26九年级上·上海·阶段练习）在中，，，（如图），将绕点C旋转后，点A的对应点是点，点B的对应点是点，与边相交于点H，且，那么的值为 ． 5．（2025九年级·全国·专题练习）如图，．求的值． 6．（2025九年级·全国·专题练习）如图，在中，已知，求的长． 题型二、解直角三角形的应用——俯角仰角问题 1．（2025九年级·全国·专题练习）如图，小明为测量校园里一棵大树的高度，在树底部所在的水平面内，将测角仪竖直放在与点相距8m的位置，在点处测得树顶的仰角为．若测角仪的高度是1m，则大树的高度约是 m（结果精确到1m，参考数据：）． 2．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，小明为了测量旗杆高度，采用如下方案：在点C处测得旗杆顶B的仰角为，从与点C相距的E处测得旗杆顶B的仰角为，若，则旗杆的高度是 （精确到）．（参考数据：） 3．（25-26八年级上·山东滨州·阶段练习）如图，天琪家与阿权家住在同一栋楼的同一单元，他俩想测算出所住楼对面商业大厦的高度，进行了如下操作：他俩在天琪家的窗台B处，测得商业大厦顶部N的仰角的度数，由于楼下植物的遮挡，不能在B处测得商业大厦底部M的俯角的度数．于是，他俩上楼来到阿权家，在窗台C处测得大厦底部M的俯角的度数，竟然发现与恰好相等．已知A，B，C三点共线，，商业大厦的高度 ． 4．（2025·山东德州·中考真题）暑假期间，小明一家到某旅游风景区登山．他们从山底A处出发，先步行到达B处，再从B处坐缆车到达山顶C处．已知山坡的坡角，缆车的行驶路线与水平面的夹角，这座山的高度，A，B，C，D在同一平面内． (1)求小明一家步行上升的垂直高度（结果取整数）； (2)求缆车的行驶路线的长（结果取整数）．（参考数据：，，；，，） 5．（2025九年级·全国·专题练习）某校数学兴趣小组的同学要测量建筑物的高度，如右图，建筑物前有一段坡比的斜坡，小明在山坡上的点处，用测角仪测得建筑物屋顶处的仰角为，接着小明又向下走了，刚好到达坡底点处，这时测得建筑物屋顶处的仰角为．已知点在同一平面内．若测角仪的高度，求建筑物的高度（结果精确到0.1m，参考数据：，，）． 6．（2025·河北唐山·三模）如图，无人机甲和无人机乙同时分别从地面的点A处和楼顶B处起飞竖直上升，其中点B距离楼顶边缘点D的水平距离为，从地面点A处测得楼顶端D的仰角为（点B，D，C，A在同一平面内）．两架无人机距离地面的高度h（单位：m）与上升时间t（单位：s）之间的函数图象如图2． (1)求起飞前无人机甲和无人机乙之间的水平距离（结果保留整数，） (2)求两架无人机距离地面的高度与无人机上升的时间之间的函数关系式； (3)求一架无人机观察另一架无人机的仰角不超过的时长． 题型三、解直角三角形的应用——建筑与构造问题 1．（2025·广西来宾·模拟预测）如图①是广西传统“干栏式”民居，是壮族最具标志性的民居形式，是壮族先民适应自然生存智慧的集中体现，其屋顶可看作等腰三角形（如图②），其中，若是的中点， ，，则的长约为 m．（结果保留整数，参考数据： ） 2．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图是某游乐场一个直径为的圆形摩天轮，最低点离地面．圆周上座舱A从最低点开始旋转，一段时间后A与圆心的连线与竖直方向的夹角为，则此时座舱距离地面的高度为 ． (结果根据“四舍五入”法精确到)(参考数据：，) 3．（2025九年级下·福建龙岩·学业考试）如图1，塔式太阳能电站把地面上多个平面镜(定日镜)反射的太阳光汇聚到吸热塔塔顶，从而利用太阳能发电．如图2，下午某时刻，一条与水平方向成角的太阳光线，以的入射角射向定日镜上的点处，点到吸热塔垂直于水平面的距离为米，定日镜支撑柱的高米，则估计吸热塔的高为 米．(参考数据：) 4．（25-26九年级上·山东淄博·阶段练习）为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，如图①，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．在如图②的侧面示意图中，遮阳篷靠墙端离地高记为，遮阳篷长为米，与水平面的夹角为． (1)求点A到墙面的距离； (2)当太阳光线与地面的夹角为时，量得影长为米，求遮阳篷靠墙端离地高的长．（结果精确到米；参考数据：，，）． 5．（2025·甘肃武威·一模）如图是镇远楼俗称鼓楼，又名靖远楼，位于张掖市中心，是河西走廊现存最大的鼓楼．于明正德二年（年）建在一座砖包的高台上，楼为三层木构塔型，飞檐翘角，雕梁画栋，结构精巧，造型雄伟壮观．楼上四面悬有匾额：东为“金城春雨”，西为“玉关晓月”，南为“祁连晴雪”，北为“居延古牧”，完全是中华民族的传统建筑．某数学兴趣小组将测量镇远楼的高度作为一次实践活动，同学们制定了测量方案，并完成了实地测量，测得结果如下表： 课题 测量镇远楼的高度 测量示意图 如图，镇远楼及底座在同一条直线上且垂直于地面，在地面上选取点，测得和的度数及，两点之间的距离，点，，，均在同一竖直平面内，且 测量数据 的度数 的度数 的长度 请你根据上表中的测量数据，帮助该小组求出镇远楼的高度（结果保留整数）．参考数据：，，，，， 题型四、解直角三角形的应用——工程与机械问题 1．（2025九年级·全国·专题练习）某限高曲臂道路闸口如图所示，已知垂直地面于点与水平线的夹角为，，．若不考虑闸口与车辆的宽度．则下列说法：①当时，低于3.3m的车辆可以通过该闸口；②当时，2.9m高的车辆不可以通过该闸口；③当时，3.1m高的车辆不可以通过该闸口．正确有 （填序号）． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图①，杆AB可以绕转轴A点在竖直平面内自由转动，在A点正上方固定一个小定滑轮C，细绳通过定滑轮与杆的另一端B相连，并将杆AB从水平位置缓慢向上拉起．图②是其示意图，已知，当杆AB与水平面夹角为30°时，测得，此时点B到AD的距离为 ． 3．（2025·山西临汾·二模）手臂机器人能够在高温、高压、有毒等恶劣环境下工作，因此在工业制造中被广泛应用．如图，这是工作中的某型号手臂机器人示意图，是垂直于工作台的移动基座，，分别为机器人的大、小臂，其中小臂为2米，大臂为3米，移动基座米，其工作时某个时刻 ，，求点到工作台的距离．（结果精确到0.1米，参考数据：，，） 4．（24-25九年级下·甘肃·课后作业）如图，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起．起始位置示意图如图，此时测得点到所在直线的距离，，停止位置示意图如图，此时测得（点，，在同一直线上，且直线与地面平行），图中所有点在同一平面内．定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变．求物体上升的高度（结果精确到）．（参考数据：，，，） 5．（24-25九年级下·全国·单元测试）如图所示的是某小区门口的门禁识别设备的结构示意图，摄像头可以绕连接点O进行上下旋转．摄像头部分，点O为旋转中心，，绕点O上下旋转过程中，支撑杆垂直于水平地面，不小于，（结果保留一位小数，参考数据：）． (1)当时，求摄像头处点A到支撑杆的距离； (2)当摄像头处点A旋转至最低点时，求摄像头处点B到地面的距离． 6．（2025·河北沧州·模拟预测）【发现】某大型购物商场在一楼和二楼之间安装自动扶梯，截面的示意图如图所示，一楼和二楼地面平行（即点与点所在的直线与平行），层高为，坡角． （）要使身高的嘉淇爸爸（竖直站立）乘坐自动扶梯时不碰头，则之间的距离要大于多少米？ 【探究】该商场计划改造这个扶梯，将其分为三段：段（上坡段自动扶梯）、段（水平平台，即）、段（上坡楼梯），如图中虚线所示．段和段的坡度相同，为保障安全其坡度不能超过，商场希望尽可能延长平台的长度，以方便顾客休息． （）求出平台的最大长度（结果保留小数点后一位）． （参考数据：取，取，取） 题型五、解直角三角形的应用——生活物件结构问题 1．（2025·福建·模拟预测）手机支架已经很广泛的应用于生活当中，如图是手机支架，如图是手机支架的侧面示意图，人俯看手机，点为观测点，线段长度保持不变，绕点逆时针进行转动可以调整视角，在支架示意图中，水平观测点，观测点到的距离为，则观测点到直线的距离长为 ；若线段，当从铅锤位置第一次转到位置时，视线恰好经过点，则相对点上升了 ． 2．（24-25九年级下·福建福州·阶段练习）如图，为订书机的托板，压柄绕着点B旋转，连接杆的一端点D固定，点E从A向B处滑动，在滑动的过程中，的长度保持不变．若， ，，则的长度为 ． 3．（2025·宁夏银川·二模）洗手盆上常装有一种抬启式水龙头（如图1），完全开启后，把手与水平线的夹角为，此时把手端点、出水口点和落水点在同一直线上，洗手盆及水龙头示意图如图2，在一条直线上，，其相关数据为，，则的长是 ． （结果精确到，参考数据：）． 4．（2024·广东·模拟预测）如图1是一款笔记本电脑支架的实物图片，图2是支架侧面的示意图，AB 为固定底座，C 为可调节活动点．实验数据表明：当，时为最佳视角，已知的长度为，当视角最佳时，求可调节活动点 C到水平面的距离．（结果精确到，参考数据： 5．（2025·安徽·模拟预测）如图1是三星堆遗址出土的陶盉（），图2是其示意图．已知管状短流，四边形是器身，，，，．器身底部距地面的高度为，则该陶盉管状短流口距地面的高度约为多少？（结果精确到）（参考数据：，，，） 6．（2024·福建·模拟预测）如图，图1是一盏台灯，图2是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），其中灯臂，灯罩，灯臂与底座构成的．可以绕点上下调节一定的角度．使用发现：当与水平线所成的角为时，台灯光线最佳，求此时点与桌面的距离．（结果精确到，取） 题型六、在几何图形中运用锐角三角函数求解问题 1．（24-25九年级上·重庆·期中）如图，点是外一点，，与相交于点，，连接，若，，，则 ． 2．（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在中，，，将绕点A逆时针方向旋转，得到，连接，交于点D，则的值为 ．    3．（21-22九年级下·上海静安·期中）如图，在菱形纸片ABCD中，AB=2，∠A=60°，将菱形纸片翻折，使得点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F．G分别在边AB．AD上，则sin∠EFG= ． 4．（25-26九年级上·山东济南·阶段练习）如图，已知矩形的边在轴上，，，双曲线与矩形相交于点，，沿折叠，点恰好落在边上的点处． (1)求和； (2)求的值． 5．（2025·贵州·一模）如图，在中，分别平分，交于点与相交于点，分别过点作，交于点H． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求的长． 6．（2025·山东泰安·模拟预测）知识再现 如图①，在正方形中，，，，分别是边，，，上的点，，当时， ； 问题探究 如图②，在中，，分别是边，上的点，，猜想与的数量关系，并说明理由； 实践应用 如图③，在中，，，，分别是，上的点，交于点，，，，求的长． 1．（2025九年级·全国·专题练习）如图所示的是某厂家新开发的一款摩托车，它的大灯射出的光线与地面的夹角分别为和．该大灯照亮地面的宽度为2.1 m，则该大灯距地面的高度约为（参考数据：，，，）（   ） A．1.0m B．1.5m C．2.0m D．2.5m 2．（2025九年级·全国·专题练习）如图，某梯子长5m，斜靠在竖直的墙面上．当梯子与水平地面所成角为时，梯子顶端靠在墙面上的点处，底端落在水平地面的点处．现将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为．已知，则梯子顶端上升了（   ） A． B． C．1m D． 3．（15-16九年级上·山西·期末）如图所示，在中，于，于，且，已知，那么等于（   ） A． B． C．5 D． 4．（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，点是坐标原点，矩形的顶点在反比例函数的图象上，反比例函数的图象经过点，当时，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．（2025九年级·全国·专题练习）某市正在进行轻轨九号线的建设，为了缓解市区一些主要路段的交通拥堵现状，交警大队在主要路口设置了交通路况指示牌（如图）．小明在离指示牌水平距离3m的点处测得指示牌顶端点和底端点的仰角分别为和，则路况指示牌的高为 m． 6．（2025·内蒙古·模拟预测）在呼和浩特东郊开阔的平川上，一座灰白色的宝塔拔地凌空，直刺云天，大有“一柱擎天”之势，这便是驰名塞外的万部华严经塔，因其白色，所以俗称“白塔”．某数学小组测量白塔的高度，如图，他们选取的测量点A与塔的底部B在同一水平线上．已知塔顶为高14米的塔刹，在A处测得塔顶D的仰角为，塔刹底部C的仰角为，则塔的高约为 ．（结果精确到．参考数据：，，，，，）    7．（2025九年级·全国·专题练习）在一次数学活动中，小明利用一根拴有小锤的细线和一个半圆形量角器制作了一个测角仪，去测量学校内一座假山的高度．如图，已知小明距假山的水平距离为9m，他的眼睛距地面的高度为1.6m，小明的视线经过量角器零刻度线和假山的最高点，此时铅垂线经过量角器的刻度线，则假山的高为 m． 8．（2025八年级上·全国·专题练习）如图2，是某款台灯（图1）的示意图，处于水平位置的横杆可以绕着点转动．当分别转到，的位置时，测得，，的高度差，，的水平距离，，若该台灯底座高度，则点到桌面的距离为 ． 9．（2025九年级·全国·专题练习）图①是外翻窗的示意图，图②是外翻窗的侧面示意图．当外翻窗从下面打开时，窗的一边沿绕点旋转到．已知，旋转角最大为．当最大时，求点到的距离（结果精确到0.01）． 10．（24-25九年级上·山东烟台·期末）图1为《天工开物》记载的用于舂chōng捣谷物的工具——“碓duì”的结构简图，图2为其平面示意图，已知于点，与水平线相交于点，．若分米，分米，，求点到水平线的距离的长． 11．（2025九年级·全国·专题练习）某大型购物中心为方便顾客地铁换乘，准备在底层至层之间安装扶梯，截面图如下图所示．底层与层平行，层高为9m，点之间的距离为6m，（参考数据：，，）． (1)身高1.9m的人在竖直站立的情况下搭乘扶梯，在处______碰到头（填“会”或“不会”）． (2)若采取中段平台设计（如折线所示），已知平台，且段和段的坡度．求平台的长度． 12．（2024九年级下·浙江·学业考试） 已知为的直径，以为边作矩形，点和点是上两点，连结，和．   (1)如图①，设，用含有的代数式表示 ； (2)如图②，连接，已知，用含有的代数式表示和 的面积之比； (3)如图③，过点作，垂足为点，连结，若 ，求的长． 16 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $