4.1 指数【五大题型】讲义-2025-2026学年高一数学必修第一册《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版2019）

4.1 指数 【考点归纳】 【知识梳理】 知识点一：根式 (1)如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根． (2)式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数． (3)()n＝a，当n为奇数时，＝a， 当n为偶数时，＝|a|＝ 知识点二：分数指数幂 正数的正分数指数幂，＝(a>0，m，n∈N*，n>1)． 正数的负分数指数幂，＝＝(a>0，m，n∈N*，n>1)． 0的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂没有意义． 知识点三：指数幂的运算性质 aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr ； (a>0，b>0，r，s∈R)． 【例题详解】 题型一、利用根式的性质化简或求值 【例1】．（25-26高一上·全国）化简下列各式： (1)； (2)； (3)； (4). 【变式1】．（23-24高一上·江苏无锡·期中）当有意义时，化简的结果是（    ）． A． B． C． D． 【变式2】．（24-25高一上·全国·课后作业）化简： (1)； (2)已知，化简. 题型二、根式与分数指数幂的互化 【例2】．（23-24高一·上海·课堂例题）用有理数指数幂的形式表示下列各式（其中，）： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1】．（2023高一·全国·专题练习）把下列根式化成分数指数幂的形式，其中 (1)； (2)； (3) 【变式2】．（22-23高一·全国·课堂例题）用分数指数幂的形式表示下列根式（式中字母都是正数）： (1)； (2)； (3)． 题型三、指数和指数幂的运算 【例三】．（25-26高一上·全国·课后作业）计算下列各式： (1)；(2)． 【变式1】．（24-25高一上·全国·周测）完成下列式子的化简： (1)； (2)． 【变式2】．（24-25高一上·全国）计算下列各式： (1) ； (2)； (3)． 题型四、运用指数幂运算公式化简求值 【例4】．（25-26高一上·全国·单元测试）（1）计算：； （2）已知，求； （3）已知，求的值． 【变式1】．（25-26高一上·全国） （1）已知，且，求的值． （2）已知，求的值． 【变式2】．（25-26高一上·全国·单元测试）（1）计算：； （2）已知，，求的值； （3）已知，求的值． 题型五、分数指数幂运算的综合应用 【例5】．（24-25高一上·福建莆田·期中）（1）将根式化简为指数式； （2）求值：； （3）已知，求的值． 【变式1】．（24-25高一上·全国）计算下列各式（式中字母都是正数）： (1)； (2)； (3)； (4). 【变式2】．（24-25高一上·广西南宁·期中）（1）计算：； （2）已知且，求下列各式的值： ①； ②． 【高分演练】 一、单选题 1．（25-26高一上·广东·期中）式子的值为（    ） A． B． C． D．1 2．（25-26高一上·全国·课前预习）用分数指数幂可表示为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·全国·课后作业）已知且，下列三个式子，正确的个数为（    ） ①；②；③． A．0 B．1 C．2 D．3 4．（24-25高一上·全国·周测）若，，则下列式子值为的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·陕西汉中·期末）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，则（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·全国）若，则（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一下·辽宁·期末）人们发现，可以通过公式来求方程（均为正实数）的正实数根.例如，方程的正实数根为，我们知道是的唯一正实数根，所以，这里规定.根据以上材料可得（    ） A．3 B．6 C．9 D．4 二、多选题 9．（25-26高一上·江苏南京·阶段练习）下列等式中正确的是（   ） A． B． C．（） D．（） 10．（25-26高一上·全国·课后作业）下列运算（化简）中正确的有（ ）． A． B． C． D． 11．（25-26高一·全国·假期作业）已知，下列各式正确的是（ ） A． B． C． D． 12．（24-25高一上·全国·课后作业）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A． B． C． D． 13．（22-23高一上·江苏宿迁·期中）已知，则，满足的关系是（    ） A． B． C． D． 15．（23-24高一上·河南漯河·阶段练习）已知，下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 15．（25-26高一上·上海·阶段练习）将化简为指数幂的形式： ． 16．（25-26高一上·江苏镇江·阶段练习）已知，则 . 17．（24-25高三上·山东潍坊·期末）计算： 18．（25-26高一上·全国·课前预习）已知，则关于的表达式 ． 19．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，则 ． 四、解答题 20．（24-25高一上·全国·课前预习）用分数指数幂表示下列各式： (1)； (2)； (3)． 21．（2025高一上·江苏·专题练习）（1）求值： （2）化简：； （3）已知，求的值. 22．（25-26高一上·江苏南通·阶段练习）已知，求下列各式的值： (1)； (2)； (3). 23．（24-25高一上·内蒙古乌兰察布·期末）计算： (1)； (2)； (3)若，求的值. 24．（25-26高一上·全国·单元测试）回答下列问题： (1)计算：； (2)已知，求； (3)若，且，求代数式的值． 25．（24-25高一上·广东广州·期中）计算或化简． (1)化简：； (2)计算：； (3)已知，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.1 指数 【考点归纳】 【知识梳理】 知识点一：根式 (1)如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根． (2)式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数． (3)()n＝a，当n为奇数时，＝a， 当n为偶数时，＝|a|＝ 知识点二：分数指数幂 正数的正分数指数幂，＝(a>0，m，n∈N*，n>1)． 正数的负分数指数幂，＝＝(a>0，m，n∈N*，n>1)． 0的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂没有意义． 知识点三：指数幂的运算性质 aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr ； (a>0，b>0，r，s∈R)． 【例题详解】 题型一、利用根式的性质化简或求值 【例1】．（25-26高一上·全国）化简下列各式： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)(2)(3)(4)答案见解析 【详解】（1）； （2） ； （3） ； （4） ， 当时，， 当时，， 所以当时，， 当时，. 【变式1】．（23-24高一上·江苏无锡·期中）当有意义时，化简的结果是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据根式有意义求得的范围，化简所求根式即可. 【详解】因为有意义，所以，则， 则 ， 故选：C. 【变式2】．（24-25高一上·全国·课后作业）化简： (1)； (2)已知，化简. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先分析的正负，再根据的奇偶进行分类讨论即可； （2）先分析的正负，再根据的奇偶进行分类讨论即可. 【详解】（1）， 当为偶数时，；当为奇数时，； 综上所述，. （2）， 当是奇数时，原式； 当是偶数时，原式； 综上所述，. 题型二、根式与分数指数幂的互化 【例2】．（23-24高一·上海·课堂例题）用有理数指数幂的形式表示下列各式（其中，）： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）； 【变式1】．（2023高一·全国·专题练习）把下列根式化成分数指数幂的形式，其中 (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1） （2） （3）因为，所以 【变式2】．（22-23高一·全国·课堂例题）用分数指数幂的形式表示下列根式（式中字母都是正数）： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】根据分数指数幂与根式的互化，结合指数幂的运算法则，求解各小题，即得答案. 【详解】（1）； （2）； （3）． 题型三、指数和指数幂的运算 【例三】．（25-26高一上·全国·课后作业）计算下列各式： (1)；(2)． 【答案】(1)18 (2) 【详解】（1）原式． （2）原式． 【变式1】．（24-25高一上·全国·周测）完成下列式子的化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）原式； （2）原式：． 【变式2】．（24-25高一上·全国）计算下列各式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)4 (3) 【详解】（1）原式． （2）原式 ． （3）原式. 题型四、运用指数幂运算公式化简求值 【例4】．（25-26高一上·全国·单元测试）（1）计算：； （2）已知，求； （3）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）4 【分析】（1）根据指数幂的运算性质求解即可； （2）利用完全平方公式进行求值 （3）利用完全平方公式及立方和公式求解即可. 【详解】（1）． （2）由，所以． （3）因为，所以， 则， 所以． 【变式1】．（25-26高一上·全国） （1）已知，且，求的值． （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）6 【详解】（1）由题意可知，， ， ． （2），， . 【变式2】．（25-26高一上·全国·单元测试）（1）计算：； （2）已知，，求的值； （3）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）. 【详解】（1）原式； （2）由，， 则； （3）由于，则， 所以，， 所以. 题型五、分数指数幂运算的综合应用 【例5】．（24-25高一上·福建莆田·期中）（1）将根式化简为指数式； （2）求值：； （3）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）将根式化为分数指数幂，根据分数指数幂的运算性质化简即可求得结果； （2）根据分数指数幂的运算性质化简即可求得结果. （3）利用指数幂运算即可得出结论. 【详解】（1）；         （2）原式； （3）因为， 所以， . 【变式1】．（24-25高一上·全国·课后作业）计算下列各式（式中字母都是正数）： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式. 【变式2】．（24-25高一上·广西南宁·期中）（1）计算：； （2）已知且，求下列各式的值： ①； ②． 【答案】（1）；（2）①7；② 【详解】（1）原式； （2）①因为，所以，即，所以； ②因为，又因为，所以 【高分演练】 一、单选题 1．（25-26高一上·广东·期中）式子的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据根式的性质运算即可得解. 【详解】， 故选：A 2．（25-26高一上·全国·课前预习）用分数指数幂可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据根式和分数指数幂的化简计算即可. 【详解】, 故选:B. 3．（25-26高一上·全国·课后作业）已知且，下列三个式子，正确的个数为（    ） ①；②；③． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】利用指数幂的运算性质及根式与指数幂关系逐项判断即可. 【详解】因为且， 对于①，，错； 对于②，先将根式转化为分数指数幂的形式．，则，对； 对于③，，错． 所以，正确的个数为1. 故选：B 4．（24-25高一上·全国·周测）若，，则下列式子值为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用指数幂的运算性质化简可得结果. 【详解】因为，，所以，， 所以， 故选：C． 5．（23-24高一上·陕西汉中·期末）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数幂的计算公式及根式与分数指数幂的互化计算即可. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：C. 6．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由分数指数幂、根式先化简，再比较大小即可. 【详解】 ， 根据实数的大小关系可得，即． 故选：C 7．（24-25高一上·全国·课后作业）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分数指数幂的运算性质求解即可. 【详解】． 故选：D. 8．（23-24高一下·辽宁·期末）人们发现，可以通过公式来求方程（均为正实数）的正实数根.例如，方程的正实数根为，我们知道是的唯一正实数根，所以，这里规定.根据以上材料可得（    ） A．3 B．6 C．9 D．4 【答案】B 【分析】在公式中令求解即可. 【详解】设， 令解得则即方程的正实数根.由， 可得. 因为方程的实数根为负数， 所以，即， 故. 故选：B. 二、多选题 9．（25-26高一上·江苏南京·阶段练习）下列等式中正确的是（   ） A． B． C．（） D．（） 【答案】ACD 【分析】根据分数指数幂与根式的转化判断各个选项. 【详解】对于A：，A选项正确； 对于B：当时，，B选项不正确； 对于C：时，C选项正确； 对于D：时，D选项正确； 故选：ACD. 10．（25-26高一上·全国·课后作业）下列运算（化简）中正确的有（ ）． A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据分数指数幂的运算法则，对四个选项分别计算、求值，从而得解． 【详解】对于A：，故A正确； 对于B：，故B正确； 对于C： ，故C错误； 对于D： ，故D正确； 故选：ABD. 11．（25-26高一·全国·假期作业）已知，下列各式正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据题目条件，结合完全平方公式、立方和公式逐项判断可得答案. 【详解】A.，故A正确； B.，故B错误； C.由可知，故， 因为，所以，故C正确； D.因为， 又，所以原式，故D正确． 故选：ACD. 12．（24-25高一上·全国·课后作业）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】运用分数指数幂与根式转化公式，结合指数幂性质求解即可. 【详解】A项错误，,而； B项正确，； C项正确，； D项正确，. 故选：BCD. 13．（22-23高一上·江苏宿迁·期中）已知，则，满足的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用指数的运算性质，得到，可判断AB选项，然后利用基本不等式判断CD选项的结果. 【详解】由，则，， 即，，两式相乘得， 所以，有，A选项正确，B选项错误； 由，有， 则， C选项错误，D选项正确. 故选：AD 15．（23-24高一上·河南漯河·阶段练习）已知，下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABCD 【分析】利用完全平方，立方和展开式，指数运算计算得出结果. 【详解】A：，故A正确； B：，故B正确； C：，故C正确； D： ，故D正确； 故选：ABCD. 三、填空题 15．（25-26高一上·上海·阶段练习）将化简为指数幂的形式： ． 【答案】. 【分析】根据题意，利用指数幂的运算法则，准确计算，即可求解. 【详解】根据指数幂的运算法则，可得. 故答案为：. 16．（25-26高一上·江苏镇江·阶段练习）已知，则 . 【答案】/ 【分析】利用完全平方公式和立方和公式求解即可. 【详解】由完全平方公式得， 由立方和公式得， 则. 故答案为： 17．（24-25高三上·山东潍坊·期末）计算： 【答案】 【分析】根据题意，利用指数幂的运算法则，准确化简，即可求解； 【详解】由指数幂的运算法则得：原式. 故答案为：. 18．（25-26高一上·全国·课前预习）已知，则关于的表达式 ． 【答案】4 【分析】将根式转化为分数指数幂，结合指数幂运算性质计算即可. 【详解】原式， 故答案为：4. 19．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，则 ． 【答案】 【详解】因为，所以．因为，则，所以，因此． 四、解答题 20．（24-25高一上·全国·课前预习）用分数指数幂表示下列各式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) （2）因为，， 所以． （3）因为，，所以． 21．（2025高一上·江苏·专题练习）（1）求值： （2）化简：； （3）已知，求的值. 【答案】（1）（2）（3） 【详解】 （1） ； （2），∴， （3）由，得，， 所以. 22．（25-26高一上·江苏南通·阶段练习）已知，求下列各式的值： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)(2) (3) 【详解】（1）因为， 所以，得； （2）因为， 所以，则； （3）因为， 所以， 则 23．（24-25高一上·内蒙古乌兰察布·期末）计算： (1)； (2)； (3)若，求的值. 【答案】(1)； (2)； (3). 【详解】（1）原式 （2）原式； （3）由得. 24．（25-26高一上·全国·单元测试）回答下列问题： (1)计算：； (2)已知，求； (3)若，且，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）． （2），所以． （3）当，时，． 25．（24-25高一上·广东广州·期中）计算或化简． (1)化简：； (2)计算：； (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）原式. （2）原式. （3）对两边平方，得，可得， 再对两边平方，得，所以，， 所以，. 则. 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $