7.3 平行线的证明 第2课时 平行线的性质（教学课件）数学北师大版2024八年级上册

3 平行线的证明 第2课时　平行线的性质 第七章 证明 北师大版2024·八年级上册 章节导读 证明 1.1 为什么要证明 1.2 认识证明 定义 命题 证明 直觉或者观察未必可靠 感受证明的重要性 1.3 平行线的证明 平行线的判定 平行线的性质 7.3.3学 习 目 标 1 2 经历平行线的性质定理的证明过程，初步掌握综合法证明的步骤、格式和方法，积累分析证明思路的经验，发展几何推理能力。 了解定理“两直线平行，同位角相等”的证明，会证明定理“两直线平行，内错角相等”“两直线平行，同旁内角互补”；了解定理“平行于同一条直线的两条直线平行”。 3 通过画图、讨论、推理等活动，了解平行线的性质定理与判定定理的联系，培养学生的化归思想和分类讨论思想，初步感受互逆的思维过程。 课堂引入 1.两条直线平行的判定方法 文字叙述 符号语言 图形 相等， 两直线平行 ∵ (已知)， ∴ a∥b. _______相等， 两直线平行 ∵ (已知)， ∴ a∥b. 互补， 两直线平行 ∵ (已知)， ∴ a∥b. a b c 1 2 4 3 ∠1 =∠2 ∠3 =∠2 ∠2 +∠4 = 180° 同位角 内错角 同旁内角 2.平行线的性质有哪些呢？其中没有基本事实？ 课堂引入 3.证明的一般步骤是什么 第一步：根据题意，画出图形． 　　先根据命题的条件即已知事项，画出图形，再把命题的结论即求证的需要在图上标出必要的字母或符号，以便于叙述或推理过程的表达． 第二步：根据条件、结论，结合图形，写出已知、求证. 　　把命题的条件转化为几何符号的语言写在已知中，命题的结论转化为几何符号的语言写在求证中． 第三步：经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程．　 探究新知：两直线平行，同位角相等 已知：如图，直线a∥b∠1和∠2是直线a、b被直线c截出的同位角. 求证：∠1=∠2. 2.写已知和求证 命题 ： 两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等， 简单说成：两直线平行，同位角相等 1.画图 a b 1 2 c 如果∠1≠∠2，AB与CD的位置关系会怎样呢？ 探究新知：两直线平行，同位角相等 证明：假设∠1≠∠2， 过M点作直线e，使∠EMH =∠2， 如图所示. 根据“同位角相等，两直线平行” 可知e∥b. 又因为a∥b，这样经过点M存 在两条直线a和e都与直线b平行. 这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾. 所以∠1≠∠2的假设不成立， 所以∠1=∠2. a b c 2 1 M N e 3.证明 E H 探究新知：两直线平行，同位角相等 你能说说证明的思路吗？ a b E 2 1 F M N e 又因为a∥b，这样经过点M存在两条直线a和e都与直线b平行. 这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾. 这说明∠1≠∠2的假设不成立，所以∠1=∠2. 反证法 提出与结论相反的假设 将假设作为条件，通过推论导出矛盾 假设不成立，从而肯定原命题成立 探究新知：两直线平行，同位角相等 ∴∠1=∠2 （两直线平行，同位角相等） ∵a∥b（已知） 数学语言格式: 定理： 两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等， 简单说成：两直线平行，同位角相等 几何语言 a b 1 2 c 文字语言 探究新知：两直线平行，内错角相等 已知：如图，直线 a∥b，∠1和∠2是直线 a，b被直线 c截出的内错角. 求证：∠1=∠2. 证明：∵ a∥b（已知）， ∴ ∠1=∠3（两直线平行，同位角相等）. ∵ ∠2=∠3（对顶角相等）， ∴ ∠1=∠2（等量代换）. 命题 ： 两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等， 简单说成：两直线平行，内错角相等 a b 1 2 c 3 探究新知：两直线平行，内错角相等 ∴∠1=∠2. (两直线平行，内错角相等) ∵a∥b，(已知) 定理 ： 两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等， 简单说成：两直线平行，内错角相等 数学语言格式: a b 1 2 c 探究新知：两直线平行，同旁内角互补 已知：直线a∥b，∠1和∠2是直线a，b被直线c截出的同旁内角. 求证： ∠1+∠2=180°. 证明：∵a∥b (已知) ∴∠2＝∠3 (两条直线平行，同位角相等) ∵∠1+∠3 =180° (平角等于180°) ∴∠1+∠2=180 ° (等量代换) . 命题 ： 两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补， 简单说成：两直线平行，同旁内角互补 a b c 1 2 3 探究新知：两直线平行，同旁内角互补 ∴∠2+∠4=180 °.(两直线平行，同旁内角互补) ∵a∥b，(已知) 定理： 两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补， 简单说成：两直线平行，同旁内角互补 数学语言格式: a b c 1 2 探究新知 角的数量关系 线的位置关系 判定 性质 同位角相等 内错角相等 同旁内角互补 两直线平行 条件 结论 结论 条件 判定 性质 平行线的判定定理与性质定理互为逆命题 讨论： 平行线三个性质的条件是什么？结论是什么？它与判定有什么区别？ 探究新知：平行线的传递性 已知：如图，b∥a， c∥a， ∠1，∠2， ∠3是直线 a，b，c 被直线 d 截出的同位角. 求证：b∥c. 命题 ： 平行于同一条直线的两条直线平行 证明：∵ b∥a（已知） ∴ ∠2=∠1（两直线平行，同位角相等） ∵ c∥a（已知） ∴ ∠3=∠1（两直线平行，同位角相等） ∴ ∠2=∠3（等量代换） ∴ b∥c（同位角相等，两直线平行） 探究新知 定理1:两直线平行,同位角相等. ∵ a∥b, ∴∠1=∠2. 定理2:两直线平行,内错角相等. ∵ a∥b, ∴∠1=∠2. 定理3:两直线平行,同旁内角互补. ∵ a∥b, ∴ ∠1+∠2=1800 . a b c 2 1 a b c 1 2 a b c 1 2 定理4:平行于第三条直线的两直线平行. ∵ a∥b,b∥c ∴a∥c. a b c d 探究新知 回顾·思考 1.回顾前面的证明过程，你认为完成一个命题的证明，需要哪些主要环节? 命题证明的一般步骤： (1) 画图； (2) 写已知、求证； (3) 证明 探究新知 回顾·思考 2.对于证明思路的分析，你积累了哪些经验? (1) 从已知条件入手，综合分析探索解题途径(由因导果法)； (2) 从结论出发，用倒推来寻求证题的思路(执果索因法)； (3) 综合运用以上两种方法(因果夹击法) 课堂小结 今天，我们都有哪些收获？快来说说吧. 平行线的性质 性质定理 命题证明步骤 两直线平行，同位角相等 画图 写已知及求证 证明 两直线平行，内错角相等 两直线平行，同旁内角互补 平行于同一条直线的两条直线平行 随堂练习 1.如图，已知a∥b，小华把三角板的直角顶点放在直线b上，若∠1＝40°，则∠2的度数为(　　) A．100° B．110° C．120° D．130° 2.如图所示，要在一条公路的两侧铺设平行管道，已知一侧铺设的角度为120°，为使管道对接，另一侧铺设的角度大小应为(　　) A．120° B．100° C．80° D．60° D D 随堂练习 2.如图，已知AB∥CD，则根据图中标注的角，下列关系中成立的是(　　) A．∠1＝∠3 B．∠2＋∠3＝180° C．∠2＋∠4＜180° D．∠3＋∠5＝180° D 3.如图，AB∥DE，∠ABC=70°，∠CDE=140°,则∠BCD=( ) A. 40° B.30° C.35° D.25° B 随堂练习 5.如图，已知平行线AB、CD被直线AE所截 (1)从 ∠1=110°可以知道∠2 是多少度,为什么？ (2)从∠1=110°可以知道 ∠3是多少度,为什么？ (3)从 ∠1=110°可以知道∠4 是多少度,为什么？ 2 3 E 1 4 A B D C 解：（1）∠2=110° （两直线行，内错角相等） （2）∠3=110° （两直线平行, 同位角相等） （3）∠4=70° （两直线平行,同旁内角互补） 随堂练习 6.如图，一条公路两次拐弯前后两条路互相平行，第一次拐的∠B是142o，第二次拐的∠C是多少度？ 为什么？ 解：∠C=142° （两直线平行,内错角相等） 随堂练习 解: ∠A+∠D=180o. 理由： ∵ AB∥DE( 　) ∴∠A= ______ ( ) ∵AC∥DF( ) ∴∠D+ _______=180o ( ) ∴∠A+∠D=180o（ ） 7.如图2,若AB∥DE ,　AC∥DF，请说出∠A和∠D之间的数量关系，并说明理由. 图2 F C E B A D P 已知 ∠CPD 两直线平行,同位角相等 已知 ∠CPD 两直线平行,同旁内角互补 等量代换 随堂练习 8.如图，在三角形 ABC 中，D 是 AB 上一点，E 是 AC 上一点，∠ADE=60°，∠B = 60°，∠AED=40°. (1) DE 和 BC 平行吗？为什么？ 解：(1) DE∥BC. 理由如下： ∵ ∠ADE=60°，∠B = 60°， ∴ ∠ADE=∠B. ∴ DE∥BC. (同位角相等，两直线平行) C A B D E 随堂练习 8.如图，在三角形 ABC 中，D 是 AB 上一点，E 是 AC 上一点，∠ADE=60°，∠B = 60°，∠AED=40°. (2)∠C 是多少度？为什么？ 解：(2) ∠C =40°. 理由如下： 由(1)得 DE∥BC， ∴ ∠C=∠AED. (两直线平行，同位角相等） 又∵∠AED=40°， ∴ ∠C=∠AED =40°. C A B D E 随堂练习 9.如图，若 AB//CD，你能确定∠B、∠D 与∠BED 之间的关系吗？说说你的看法. B D C E A 解：如图，过点 E 作 EF//AB. ∴∠B=∠BEF. ∵AB//CD,∴EF//CD. ∴∠D =∠DEF. ∴∠B＋∠D＝∠BEF＋∠DEF ＝∠DEB， 即∠B＋∠D＝∠DEB. F 随堂练习 A B C D E 当AB与CD之间有一个拐点时：∠A+∠C= ∠E. C A B D E F E1 C A B D E2 F1 模型总结：如图，AB∥CD，则： 布置作业 1. 基础作业：教科书习题7.3第5、6题。 2. 拓展作业： 教科书习题7.3第8题 感谢聆听! $