微专题01 二次函数的图象和性质的五大题型（专项训练）数学湘教版九年级下册

微专题01 二次函数的图象和性质的五大题型 题型一 二次函数的图象和性质 1. 二次函数的开口方向、对称轴、顶点 函数 （） （） 图象的开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 2. 二次函数的增减性 函数 （） （） 增减性 当时，随的增大而减小； 当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而减小； 3. 二次函数的最值 函数 （） （） 最值 当时，有最小值， 无最大值； 当时，有最大值， 无最小值. 高新区期 1．（25-26九年级上·安徽淮南·阶段练习）对于二次函数，下列说法中正确的是（   ） A．图象的开口向下 B．函数的最大值为1 C．图象的对称轴为直线 D．当时y随x的增大而增大 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确 【详解】解：依题意，， ∵， ∴该函数图象开口向上，故选项A不符合题意； 当时，函数的最小值为1，故选项B不符合题意； 函数图象的对称轴为直线，故选项C符合题意； 当时y随x的增大而减小，故选项D不符合题意； 故选：C． 2．（25-26九年级上·福建南平·阶段练习）关于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．时，y随x增大而增大 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键 由抛物线的解析式可求得其对称轴、开口方向、顶点坐标，进一步可得出其增减性，即可得出答案． 【详解】解：抛物线中， A．因为，所以抛物线开口向下，故A不符合题意； B．由题意知：抛物线的对称轴为直线，故B不符合题意； C．由题意知：抛物线的顶点坐标是，故C符合题意； D．时，y随x增大而减小，故D不符合题意； 故选：C． 3．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）关于二次函数的图象，下列说法正确的是(    ） A．图象的开口向下 B．函数的最大值为1 C．当时，随的增大而增大 D．当时，随的增大而增大 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，对于二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线，当时，二次函数有最小值，在对称轴右边随增大而增大，在对称轴左边，随增大而减小；当时，二次函数有最大值，在对称轴右边随增大而减小，在对称轴左边，随增大而增大．根据二次函数解析式得出二次函数的开口方向，对称轴和顶点坐标即可得到答案． 【详解】解：二次函数解析式为， 二次函数开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴函数最小值为1，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小． 故选：D． 4．（25-26九年级上·浙江金华·期中）对于，下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴为 C．当时，随增大而减小 D．顶点坐标为 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． 先将原函数化为顶点式，再由函数的图象与性质判断即可． 【详解】解：， ∴对称轴为直线，顶点坐标为，故B正确，符合题意；D不正确，不符合题意； ∵， ∴开口向下，故A不正确，不符合题意； ∵对称轴为直线， ∴当时，随增大而增大，故C不正确，不符合题意， 故选：B． 5．（25-26九年级上·浙江·阶段练习）关于二次函数的图象，下列说法错误的是(　　) A．开口向上 B．与坐标轴有三个交点 C．当时，y随的增大而增大 D．当时，y有最小值 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象的性质．根据的图象与性质，逐项分析判断即可即可求解． 【详解】解：二次函数中，， 函数图象开口向上，对称轴为直线， 当时，y随的增大而减小，当时，y随的增大而增大， 当时，y有最小值， 由于开口向上，且y有最小值，所以抛物线与坐标轴有三个交点， 当 时，y 随 x 的增大而减小，故该选项说法错误。 故选：C． 6．（25-26八年级上·安徽淮南·阶段练习）已知二次函数，则下列说法错误的是（　　） A．该二次函数的图象与轴有交点 B．该二次函数的图象的对称轴与轴交于正半轴 C．若点在该二次函数的图象上，则 D．若点，都在的图象上，则 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，由判断A，由对称轴公式判断B，根据抛物线上点的坐标特征判断C、D． 【详解】解：A、令，则， ∵， ∴图象与x轴有两个交点，故A正确，不符合题意； B、∵抛物线的对称轴且， ∴，故B正确，不符合题意； C、∵点在的图象上， ∴， 若，则， ∵， ∴，故C不正确，符合题意； D、∵点、都在的图象上，， ∴，， ∵， ∴，故D正确，不符合题意． 故选：C． 题型二 利用二次函数的性质比较大小 二次函数的增减性 函数 （） （） 增减性 当时，随的增大而减小； 当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而减小； 1．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）已知，是抛物线上的两点，则的大小关系是 ．（用“”、“”或“”填空） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数图象上的点满足二次函数解析式是解题的关键．将，两点代入抛物线求出和，即可得解． 【详解】解：，是抛物线上的两点， ，， ， 故答案为：． 2．（25-26九年级上·四川德阳·阶段练习）已知点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查比较二次函数的函数值大小，根据二次函数的增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵点，，在二次函数的图象上，且， ∴； 故答案为： 3．（25-26九年级上·青海西宁·阶段练习）二次函数图象经过三点，则从小到大依次排列为 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特点． 根据函数解析式的特点，其对称轴为，图象开口向上，有最小值；根据二次函数图象的对称性可判断；于是． 【详解】解：∵二次函数中， ∴抛物线开口向上，有最小值． ∵， ∴是顶点，最小， ∵ ∴， ∴． 故答案为：． 4．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）已知点，，都在二次函数的图像上，那么，，的大小关系是 （请用“＜”连接）． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质．先求出对称轴，利用对称性求出的对称点为，再根据二次函数的图象和性质得到当时，y随x的增大而减小，即可得出结论． 【详解】解： 对称轴， ∴的对称点为， ∵， ∴二次函数的图象开口向上， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵， ∴， 故答案为：． 5．（25-26九年级上·陕西渭南·阶段练习）已知点，都在二次函数（为常数，且）的图象上，则，的大小关系为 ．（用“”连接） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是运用数形结合思想，掌握二次函数的图象和性质．先求出对称轴和开口方向，根据抛物线开口向下时，离对称轴越近，函数值越大求解即可． 【详解】解：二次函数， 对称轴为直线， ， ， 抛物线的开口向下， ， ， ， 故答案为：． 6．（25-26九年级上·江苏南京·阶段练习）已知点，，，都在二次函数（，，为常数，且）的图象上，若，则的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质．由题意得，，，，再根据，求出，然后分和两种情况讨论即可求解． 【详解】解：∵二次函数过点，，，， ∴，，，， ∴，即有， ∵， ∴， ∴， 当时，， ∴，解得：， 当时，， ∴，解得：， 综上可知：的取值范围是或， 故答案为：或． 题型三 根据二次函数的增减性求最值 二次函数的最值 函数 （） （） 最值 当时，有最小值， 无最大值； 当时，有最大值， 无最小值. 1．（25-26九年级上·山东济宁·阶段练习）函数，当时，函数的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．先分别求出、和时，的值，再求出当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，则当时，函数的值最小，由此即可得． 【详解】解：将代入函数得：， 将代入函数得：， 将代入函数得：， ∵二次函数的图象的开口向下，对称轴为直线， ∴在内，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小， ∴当时，函数的值最小，最小值为， 故答案为：． 2．（25-26九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）二次函数，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据，得开口方向向下，对称轴为直线，越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越大，再把代入，得出，因为，再把代入，得出，即可作答． 【详解】解：∵， ∴开口方向向下，对称轴为直线， ∴把代入，得，越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越大 ∵， ∴把代入，得； ∴在，则的取值范围是， 故答案为： 3．（25-26九年级上·湖北黄冈·阶段练习）函数在有最大值6，则实数的值是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线开口方向和离抛物线的对称轴远近确定最值点是解题关键． 由二次函数解析式可知：抛物线的对称轴为，再分和两种情况，分别利用二次函数的性质求解即可得． 【详解】解：因为二次函数， ∴抛物线开口向上，对称轴为，离抛物线的对称轴越远函数值越大， （1）当时，即时， 则当时，y取得最大值，最大值为， 因此有，解得，符合题设； （2）当时， 则当时，y取得最大值，最大值为， 因此有，解得，符合题设； 综上，或， 故答案为：或． 4．（25-26九年级上·浙江·阶段练习）已知函数在上有最大值8，则常数m的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数求最值等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键．根据二次函数的性质对m进行分类讨论即可解答． 【详解】解：（1）当时，函数为， 在上，其最大值为，不符合题意； （2）当时，， ∴对称轴为：， ①当时，对称轴， ∴在上，y随x的增大而增大， ∴当时，函数有最大值8， ∴，解得； ②当时，对称轴， a．当对称轴时，， ∴在上，y随x的增大而减小， ∴当时，函数有最大值8， ∴，解得（不符合题意）； b．当对称轴时，， ∴当，函数有最大值8， ∴，即， 解得（不符合题意）； c．当对称轴时，， ∴在上，y随x的增大而增大， ∴当时，函数有最大值8， ∴，解得（符合题意）； 综上，m的值为． 故答案为：． 5．（25-26八年级上·北京·阶段练习）当时，二次函数的最大值与最小值的差为，则实数a的值为 【答案】或 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 先求出二次函数的对称轴，得到函数的增减性，再分为，和三种情况，然后分别求出对应的最大值与最小值，结合题意列出方程求解判断． 【详解】解：∵， ∴二次函数对称轴为：直线， ∴在对称轴右侧，y的值随着x的值增大而增大；在对称轴左侧，y的值随着x的值增大而减小； ①当时，即，则最小值为，最大值为， ∵函数的最大值与最小值的差为， ∴， 解得（舍）， ②当时，即， 时，则最小值，最大值， ∵函数的最大值与最小值的差为， ∴， 解得（舍）或， 时，则最小值，最大值， ∵函数的最大值与最小值的差为， ∴， 解得或（舍）， ③当时，即，则最大值为，最小值为， ∵函数的最大值与最小值的差为， ∴， 解得（舍）， 综上所述，或， 故答案为：或． 6．（25-26九年级上·黑龙江·阶段练习）已知二次函数，当时，有最小值，则的值为 ． 【答案】5或 【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是分情况讨论的正负，根据二次函数的单调性求出最小值． 先将二次函数化为顶点式，确定对称轴，再分和两种情况，根据二次函数的单调性，结合给定的的取值范围，求出的最小值，进而得到的值． 【详解】解：将二次函数化为顶点式：，所以其对称轴为直线． 时，二次函数图象开口向上，在对称轴处取得最小值， 已知当时，有最小值，所以，解得， 当时，二次函数图象开口向下，在对称轴左侧随的增大而增大，在对称轴右侧随的增大而减小． 所以在这个区间内，时，取得最小值． 把代入函数中，可得． 因为的最小值为，所以，解得． 综上，的值为5或． 故答案为：5或． 题型四 画二次函数y=ax²+bx+c的图象 1.列表取值：先确定二次函数y = ax2+bx + c（a≠0），选取关于对称轴x=-对称的自变量x的值，代入函数计算出对应的y值，形成坐标点列表。 2.描点连线：将列表中的坐标点在平面直角坐标系中准确描出，再用平滑曲线按自变量从小到大顺序依次连接各点，得到二次函数图象。图象是抛物线，a>0开口向上，a<0开口向下 。 1．（25-26九年级上·广东广州·阶段练习）已知二次函数． (1)画出这个二次函数的图象； (2)根据表格图象可知，当时，y的取值范围是______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了画二次函数的图象，二次函数的图象与性质，掌握相关知识点即可； （1）列表、描点、连线即可作图； （2）由图象可知：当时，函数在顶点处取得最大值3，在时取得最小值；即可求解； 【详解】（1）解：列表： 画出二次函数的图象如下： （2）解：由图象可知：当时，函数在顶点处取得最大值3，在时取得最小值； ∴y的取值范围是． 故答案为：． 2．（25-26九年级上·广西南宁·阶段练习）已知二次函数． (1)列表如下，请按照从左往右依次填空： … 0 2 4 … … 0 0 … (2)画出二次函数的图象； (3)当时，结合函数图象，直接写出的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）根据函数解析式求出相应的函数值或自变量的值即可； （2）运用描点法即可画出函数图象； （3）根据函数图象即可解答． 【详解】（1）解：当时，； 当时，，解得，； 当时，； ∴填表如下： … 0 1 2 3 4 … … 3 0 0 3 … （2）解：描点并连线，函数图象为： （3）解：由图象可得，当时，． 3．（25-26九年级上·山东济宁·阶段练习）已知二次函数，与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于C点，顶点坐标是D． (1)画出函数的图像（不需要列表，但要在图中标出A、B、C、D）； (2)当______________时，y都随x的增大而增大； (3)当时，直接写出函数y的取值范围______________； (4)在抛物线的对称轴上有一点P，使的值最小，则点P的坐标______________； 【答案】(1)见解析 (2) (3) (4) 【分析】本题考查二次函数的性质，抛物线与轴的交点，掌握二次函数对称轴、与坐标轴交点的性质是解题的关键． （1）令，得出关于的一元二次方程，即可得出点，的坐标，再令，得出点坐标，根据顶点公式得出点坐标，再描点作图即可； （2）根据二次函数的图象得出答案即可； （3）由函数解析式可知，当时，函数有最大值，此时，当时，，当时，，再结合函数图象即可求解； （4）由题意可知抛物线的对称轴为直线，点与点关于直线对称，得，则，由两点之间线段最短可知，连接交直线于点，此时最小，即最小，再求得直线的解析式为，代入横坐标即可求解． 【详解】（1）解：当时，，得，，即，， 当时，，即， 二次函数，即顶点， 画出函数图象，如图所示， （2）由图象可知，当时，都随的增大而增大； 故答案为：； （3）二次函数， 当时，函数有最大值，此时， 当时，，当时，， 当时，函数的取值范围为， 故答案为：； （4）二次函数， 则抛物线的对称轴为直线，点与点关于直线对称， ∴，则， 由两点之间线段最短可知，连接交直线于点，此时最小，即最小， 设直线的解析式为，代入，， 得，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，，此时点的坐标为， 故答案为：． 4．（25-26九年级上·山西大同·阶段练习）已知二次函数． (1)请把下面的表格补充完整： ．．． 0 1 2 3 ．．． ．．． 2 ．．． (2)根据上表，在下图中画出这个二次函数的图象． (3)根据图象回答问题： ①当时，随x的增大而___________ ②当时，的取值范围是___________ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)①增大；② 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、画二次函数图象，正确画出函数图象是解题的关键． （1）分别求出当，，时对应的值，即可补全表格； （2）利用描点法画出二次函数图象即可； （3）①观察二次函数的图象即可解答；②观察二次函数的图象即可解答． 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 当时，； 补全表格如下： ．．． 0 1 2 3 ．．． ．．． 2 3 2 ．．． （2）解：画出二次函数的图象如下： （3）解：①观察图象可知，当时，随x的增大而增大； 故答案为：增大； ②观察图象可知，当时，的取值范围是 故答案为：． 5．（25-26九年级上·山东滨州·阶段练习）已知二次函数，按以下步骤画图并填空： (1)将的右边配方，得 ，故抛物线的对称轴为直线 ，顶点坐标为 ； (2)列表（根据表格中所给自变量的数值，求出对应的函数值，填到下表中）： 0 (3)描点，连线； 由图象可知，对于二次函数，当 时，随的增大而增大；当 时，函数有最 （填“大”或“小”）值，为 ． 【答案】(1)，， (2)见解析 (3)图见解析，，，小， 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键． （1）先化为顶点式，再利用二次函数的性质可得结论； （2）将对应的x值代入函数表达式中求函数值，进而可完成表格； （3）描点、连线可得函数图象，再根据函数图象可得相关结论． 【详解】（1）解：， 则该抛物线的对称轴为直线 ，顶点坐标为， 故答案为：，，； （2）解：因为抛物线的对称轴为直线， ∴当和时，； 当和时，， 当时，， 完成表格如下： 0 0 （3）解：函数图象如图所示： 由图象可知，对于二次函数，当时，随的增大而增大；当时，函数有最小值，为， 故答案为：，，小， 6．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）二次函数的顶点为． … 0 1 2 3 … … 0 4 3 0 … (1)补全表格，在所给的平面直角坐标系中，画出它的图象； (2)抛物线的顶点的坐标是___________； (3)当___________时，随的增大而减小； (4)当时，的取值范围是___________． 【答案】(1)见解析 (2) (3) (4)或 【分析】本题考查了二次函数的图像绘制、顶点坐标求解、增减性判断及函数值对应自变量范围的确定，解题的关键是掌握二次函数的表达式变形（配方法）、图像性质（开口方向、对称轴）及数形结合思想的应用． （1）补全表格需将代入函数表达式求值；画图需先确定顶点、与坐标轴交点等关键点，再用平滑曲线连接． （2）求顶点坐标可通过配方法将函数化为顶点式，即可得解． （3）先判断抛物线开口方向（由的符号确定），再确定对称轴，根据开口方向判断增减性区间． （4）先求出和对应的自变量的值，再结合函数图像确定满足的取值范围． 【详解】（1）解：补全表格：将代入，得，故表格中对应的值为3；   … 0 1 2 3 … … 0 3 4 3 0 … 画图步骤：先确定关键点（顶点、与轴交点和、与轴交点及），再用平滑的抛物线将这些点依次连接，即得函数图像． （2）解：用配方法变形函数表达式：   ，   二次函数顶点式的顶点为，故顶点的坐标为， 故答案为：． （3）解：由可知，抛物线开口向下；   由顶点式可知对称轴为直线，开口向下时，对称轴右侧随的增大而减小，即， 故答案为：． （4）解：当时，，解得，；   当时，，化简得，解得，；   结合抛物线图像（开口向下，顶点），可知当时，的取值范围是 或， 故答案为：或． 题型五 二次函数图象和性质的综合问题 1. 二次函数的开口方向、对称轴、顶点 函数 （） （） 图象的开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 2. 二次函数的增减性 函数 （） （） 增减性 当时，随的增大而减小； 当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而减小； 3. 二次函数的最值 函数 （） （） 最值 当时，有最小值， 无最大值； 当时，有最大值， 无最小值. 1．（25-26九年级上·天津西青·阶段练习）已知抛物线经过点 (1)求此抛物线的函数解析式； (2)判断点是否在此抛物线上； (3)求出抛物线上纵坐标为的点的坐标． 【答案】(1)； (2)点B不在此抛物线中； (3)或 【分析】本题主要考查了二次函数的知识，涉及到待定系数法求函数的解析式、二次函数的性质以及二次函数的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的性质，此题难度不大． 把点代入抛物线中求得a的值，即可求得此抛物线的解析式； 把代入此函数解析式即可判断； 把代入抛物线的解析式中求得x的值即可． 【详解】（1）抛物线经过点， 把点代入抛物线中：， ， 此抛物线的函数解析式为：； （2）当时，， 点不在此抛物线上； （3）此抛物线上一点的纵坐标为， 把代入此抛物线中得：， ， 此抛物线上纵坐标为的点的坐标为或． 2．（25-26九年级上·宁夏吴忠·期中）已知二次函数． (1)指出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标； (2)当取何值时．随的增大而增大？ 【答案】(1)对称轴为直线，顶点坐标为； (2)当时，随的增大而增大． 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的顶点式转化以及二次函数的增减性与开口方向、对称轴的关系是解题的关键． （1）对于求二次函数的对称轴和顶点坐标，可通过将二次函数解析式化为顶点式来求解． （2）根据二次函数的开口方向和对称轴，确定随增大而增大的区间． 【详解】（1）解：∵， ∴二次函数的图象的对称轴为直线，顶点坐标为； （2）解：∵二次函数中，，抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大． 3．（25-26九年级上·山东滨州·阶段练习）已知函数（为常数）是二次函数． (1)求的值； (2)点在此函数图象上，求的值； (3)写出这个二次函数图象的对称轴和顶点坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)对称轴；顶点坐标． 【分析】本题考查了二次函数的定义、性质及函数图象上点的坐标的特征，关键是熟练应用知识点解决问题． （1）由二次函数的定义可得最高次项次数为且系数不为，进而求得的值； （2）将点的坐标代入图象解析式，即可求出的值； （3）利用对称轴公式及顶点坐标公式即可求得． 【详解】（1）解：由题意得， 解得． （2）解：∵当时，函数为， ∵点在函数上， ∴． （3）解：∵， ∴对称轴为， ∵ ， ∴顶点坐标． 4．（25-26九年级上·河南周口·阶段练习）关于的二次函数． (1)若，二次函数图像的顶点坐标为_____； (2)求出二次函数图像的顶点坐标（用含的式子表示），判断顶点是否在直线上； (3)在时二次函数的最大值与最小值的差等于15，求的值． 【答案】(1)； (2)，顶点在直线上； (3)或． 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，二次函数图像上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键． （1）把二次函数化为顶点式即可； （2）把二次函数化为顶点式，再把顶点坐标代入直线即可； （3）根据自变量的取值范围与对称轴的关系，分情况讨论即可． 【详解】（1）解：当时，， 顶点坐标为． 故答案为：． （2）解：， 顶点坐标为， 当时，， 顶点在直线上． （3）解：， 对称轴为直线且开口向上， 当时， ， ， ． 解得； 当时， ， ， ， 解得， ， 这两个解都舍去； 当时， ， ， ， 解得． ， 这两个解都舍去； 当时， ， ， ， 解得． 综上， 或． 5．（25-26九年级上·天津西青·阶段练习）已知抛物线． (1)将上述抛物线化成的形式为______； (2)该抛物线的开口向______，对称轴是直线______，顶点坐标是______； (3)当______时，函数有最______填“大”或“小”值为______； (4)该抛物线可由抛物线先向左平移______个单位长度，再向______平移______单位长度得到． 【答案】(1)； (2)上，； (3)，小，； (4)2，下，5 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）进行配方即可求解； （2）由二次项系数的符号即可判断出图象的开口方向，再运用（1）中的顶点式即可求出对称轴与顶点坐标； （3）运用（1）中的结论即可求出y的最值； （4）抛物线的平移规律是“左加右减、上加下减”，已知目标抛物线的顶点式为，顶点坐标为；原抛物线的顶点坐标为，横坐标从0到，即向左平移2个单位长度，纵坐标从0到，变化为，即向下平移5个单位长度， 【详解】（1）； 故答案为：； （2）， 图象的开口方向向上，对称轴为直线，顶点坐标为； 故答案为：上，； （3）∵，顶点坐标， 当时，y取得最小值为； 故答案为：，小，； （4）抛物线的平移规律是“左加右减、上加下减”，已知目标抛物线的顶点式为，顶点坐标为；原抛物线的顶点坐标为， 横坐标从0到，即向左平移2个单位长度，纵坐标从0到，变化为，即向下平移5个单位长度， 故答案为：2，下， 7．（25-26九年级上·安徽·阶段练习）已知抛物线． (1)若点在抛物线上． ①求抛物线的对称轴； ②当时，y的最大值为6，求抛物线的函数表达式； (2)当时，最大值与最小值的差为，求b的值． 【答案】(1)①直线；② (2) 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，解一元二次方程，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）①将点代入函数表达式求得b的值，再把原式化为顶点式求解即可；②根据二次函数的开口方向和对称轴方程可得函数在时的最大值为，结合题意求得c的值，即可得到函数表达式； （2）先得到抛物线的开口向上，对称轴为直线，然后根据题意分当时、当时和三种情况，分别利用二次函数的性质得到最大值和最小值，再根据最大值与最小值的差列方程求解即可． 【详解】（1）解：①∵点在抛物线上， ∴， 解得， ∴， ∴该抛物线的对称轴为直线； ②由①可知，该抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，当，y有最大值，最大值为， ∵当时，y的最大值为6， ∴， 解得， ∴该抛物线的函数表达式为； （2）解：∵， ∴该抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∵， ∴， ∵ ∴①当时，即， 当时，函数取得最小值为，当时，函数取得最大值为， ∵最大值与最小值的差为， ∴，即， 解得， ∵， ∴舍去； ②当时，即， 当时，函数取得最小值为，当时，函数取得最大值为， ∵最大值与最小值的差为， ∴，即， 解得， ∵， ∴舍去； ③当时，即， 当时，函数取得最大值为，当时，函数取得最小值为， ∵最大值与最小值的差为， ∴， 解得， 综上所述，当，最大值与最小值的差为时，b的值为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 微专题01二次函数的图象和性质的五大题型 题型一二次函数的图象和性质 题型二利用二次函数的性质比较大小 二次函数的图象和性质 题型三根据二次函数的增减性求最值 的五大题型 题型四画二次函数y=ax2+bx+c的图象 题型五二次函数图象和性质的综合问题 德点鱼破 题型一二次函数的图象和性质 二次函数的开口方向、对称轴、顶点 嫦方氏 函数 y=ax2+bx+c (ax0) y=ax2+bx+c (a<0) 高新区期 图象的开口方向 向上 向正 对称轴 直线x=- 2a 直线x=-b b 顶点坐标 4ac-b2 b 4ac-b2 2a 2a 4a 2。二次函数的增减性 函数 y=ax2+bx+c (ax0) y=ax2+bx+c (a<0) 当x<-力时，y随x的增大而减处： 当x<- 2a 时，y随x的增大而增大： 2a 增减性 当x> 时，y随x的增大而增大 当x>- 2a 时，y随x的增大而或少： 2a 二次函数的最值 函数 y=ax2+bx+c (ax0) y=ax2+bx+c (a<o) 1/10 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 当x=2时，y有最大值4ac-b 最值 当x=-力时，y有最小值4ac-b 2a 4a 2a 4a 无最大值： 无最小值。 1.(25-26九年级上·安徽淮南·阶段练习)对于二次函数y=3x2-12x+13,下列说法中正确的是() A.图象的开口向下 B.函数的最大值为1 C.图象的对称轴为直线x=2 D.当x<2时y随x的增大而增大 2.(25-26九年级上·福建南平·阶段练习)关于抛物线y=-2(x-1)+3,下列说法正确的是() A.开口向上 B.对称轴是直线x=-1 C.顶点坐标是(1,3) D.x>1时，y随x增大而增大 3.(24-25九年级上·安微合肥·阶段练习)关于二次函数y=2026(x-2)+1的图象，下列说法正确的是() A.图象的开口向下 B.函数的最大值为1 C.当x<2时，y随x的增大而增大 D.当x>2时，y随x的增大而增大 4.(25-26九年级上·浙江金华·期中)对于y=-x-2x+1,下列说法正确的是() A.开口向上 B.对称轴为x=-1 C.当x<-1时，y随x增大而减小 D.顶点坐标为-1，-2 5.(25-26九年级上·浙江·阶段练习)关于二次函数y=3x2-6的图象，下列说法错误的是() A.开口向上 B.与坐标轴有三个交点 C.当x>-6时，y随x的增大而增大 D.当x=0时，y有最小值-6 6.(25-26八年级上·安徽准南·阶段练习)已知二次函数y=x2-bx-1(b>1),则下列说法错误的是() A.该二次函数的图象与x轴有交点 B.该二次函数的图象的对称轴与x轴交于正半轴 C.若点(m,n在该二次函数的图象上，则n≥-1 D.若点(-3，y,（2,y2)都在y=x2-bx-1的图象上，则y>y2 2/10 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型二利用二次函数的性质比较大小 啸方法 二次函数的增减性 函数 y=ax2+bx+c (ax0) y=ax2+bx+c (a<0) 当x<-力时，y随x的增大而减小； 当x<-力时，y随x的增大而增大， 2a 2a 增减性 当x>力时，y随x的增大而增达 当x>力时，y随x的增大而域小： 2a 2a 1.(25-26九年级上·重庆阶段练习)已知A(-3,),B(-2,y2)是抛物线y=2(x-1)2+1上的两点，则 y2的大小关系是片 .(用“<”、“>”或“=”填空) 2.(25-26九年级上四川德阳阶段练习)已知点41，小，B2),C(6,)在二次函数y=x-3-a的 图象上，则，，⅓的大小关系是 3.(25-26九年级上·青海西宁阶段练习)二次函数y=x2-6x+c图象经过A(-1,y),B(4,y2),C(3,y)三点， 则y,2,乃3从小到大依次排列为 4.(25-26九年级上江苏苏州阶段练习)已知点A(-2,),B(1,y2)，C(3,y)都在二次函数 y=mx2-2x+n(m>0)的图像上，那么片，，⅓的大小关系是（请用“<”连接）. 5.(25-26九年级上陕西渭南·阶段练习)已知点A(-4,y),B-1,y2都在二次函数y=-mx2-4mx-3 (m为常数，且m>0)的图象上，则片，的大小关系为·（用“<”连接） 6.(25-26九年级上江苏南京阶段练习)已知点A(1,),B(2,y2),C(3,y),D4,a2+c都在二次函数 y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，且a≠0)的图象上，若y<y2<,则a的取值范围是 题型三根据二次函数的增减性求最值 3/10 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 啸方法 二次函数的最值 函数 y=ax2+bx+c (ax0) y=ax2+bx+c (a<0) 当x=-力时，y有最小值ac- 当x=-力时，y有最大值4ac-B 最值 2a 4a 2a 4a 无最大值： 无最小值 1.(25-26九年级上山东济宁·阶段练习)函数y=-x2-1,当-1≤x≤2时，函数y的最小值是 2.(25-26九年级上·浙江嘉兴阶段练习)二次函数y=-2x2+2x+1,若0≤x≤2，则y的取值范围是」 3.(25-26九年级上湖北黄冈阶段练习)函数y=(x-a2-a2-2在-1≤x≤2有最大值6，则实数a的值 是 4.(25-26九年级上浙江阶段练习)已知函数y=x2+(2m+1)x+1在3≤x≤4上有最大值8，则常数m的 值为 5.(25-26八年级上·北京阶段练习)当a≤x≤a+2时，二次函数y=x2+2ax-3的最大值与最小值的差为 9 '则实数a的值为 6.(25-26九年级上，黑龙江阶段练习)已知二次函数y=mx2+2mx+1(m≠0)，当-2≤x≤2时，y有最小 值-4，则m的值为」 题型四画二次函数y=ax2+bx+c的图象 妹方法 1.列表取值：先确定二次函数y=am2+bx+c(a≠0)，选取关于对称轴x号对称的自变量x的值，代入 函数计算出对应的y值，形成坐标点列表。 2.描点连线：将列表中的坐标点在平面直角坐标系中准确描出，再用平滑曲线按自变量从小到大顺序依次 连接各点，得到二次函数图象。图象是抛物线，a>0开口向上，a<0开口向下。 1.(25-26九年级上广东广州阶段练习)已知二次函数y=-x2+2x+2. 4/10 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4 3 2 -3-210123.456x 2 (1)画出这个二次函数的图象； (2)根据表格图象可知，当-1<x<2时，y的取值范围是 -1 0 1 2 3 y -1 2 3 2 -1 2.(25-26九年级上广西南宁，阶段练习)已知二次函数y=x2-4x+3. (1)列表如下，请按照从左往右依次填空： 0 2 0 -1 0 (2)画出二次函数y=x2-4x+3的图象； 5 4 3 9 5-4-3-2-1012345 -2 (3)当1<x<4时，结合函数图象，直接写出y的取值范围 0 2 3 4 1 3 0 -1 0 3 … 5/10 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 3.(25-26九年级上山东济宁·阶段练习)已知二次函数y=-x2+4x-3,与x轴交于A、B两点(A在B的 左侧)，与y轴交于C点，顶点坐标是D. -ī-2 012345x 3 (1)画出函数的图像（不需要列表，但要在图中标出A、B、C、D); (2)当 时，y都随x的增大而增大； (3)当0<x<5时，直接写出函数y的取值范围 (④)在抛物线的对称轴上有一点P,使PA+PC的值最小，则点P的坐标 4.(25-26九年级上山西大同·阶段练习)已知二次函数y=-x2+2x+2. (1)请把下面的表格补充完整： 0 y=-x2+2x+2 2 -4 -3-2-10 1.23.4.5x ..3 (②)根据上表，在下图中画出这个二次函数的图象. (3)根据图象回答问题： ①当x<1时，y随x的增大而 ②当0<x<3时，y的取值范围是 6/10 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1 2 3 y=-x2+2x+2 2 3 5.(25-26九年级上山东滨州阶段练习)已知二次函数y=x2+6x+5,按以下步骤画图并填空： y 3 2 1 -6-5-4-3-2-10 2 (1)将y=x2+6x+5的右边配方，得y=-,故抛物线的对称轴为直线_，顶点坐标为_； (2)列表（根据表格中所给自变量的数值，求出对应的函数值，填到下表中）： … -5 -4 -3 y (3)描点，连线： 由图象可知，对于二次函数y=x2+6x+5,当x时，y随x的增大而增大；当x=时，函数有最（填“大” 或“小”)值，为_ x … -5 -4 3 … 0 -3 -4 6.(25-26九年级上重庆阶段练习)二次函数y=-x2+2x+3的顶点为P. 7/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5 3291234§ 2 -3 -1 0 2 3 0 3 0 (①)补全表格，在所给的平面直角坐标系xOy中，画出它的图象； (2)抛物线的顶点P的坐标是 ； (3)当x 时，y随x的增大而减小； (4)当0≤y≤3时，x的取值范围是 -1 0 1 2 3 … … 0 3 4 0 题型五二次函数图象和性质的综合问题 妹方法 1.二次函数的开口方向、对称轴、顶点 函数 y=ax2+bx+c (a>0) y=ax2+bx+c (a<0) 图象的开口方向 向上 向下 对称轴 直线x=-b 直线x=-b 2a _2a 顶点坐标 b 4ac-b2 b 4ac-b2 2a'4a 2a'4a 2.二次函数的增减性 函数 y=ax2+bx+c (ax0) y=ax2+bx+c (a<0) 8/10 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 当x<- 时，y随x的增大而诚少： 当x<-力时，y随x的增大而增大： 2a 2a 增减性 当x> 时，y随x的增大而增太： 2a 当x> 时，y随x的增大而域小： 2a 3.二次函数的最值 函数 y=ax2+bx+c (ax0) y=ax2+bx+c (a<o) 鸟三D时，y有最小危C 当x=-力时，y有最大值oc-b 最值 4a 2a Aa 无最大值； 无最小值、 1.(25-26九年级上·天津西青·阶段练习)己知抛物线y=ax2经过点A(-2,-8) (1)求此抛物线的函数解析式： (2)判断点B(-1,-4)是否在此抛物线上： (3)求出抛物线上纵坐标为-18的点的坐标. 2.(25-26九年级上·宁夏吴忠期中)已知二次函数y=2x2-4x-6. (①)指出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标； (2)当x取何值时.y随x的增大而增大？ 3.(25-26九年级上山东滨州阶段练习)已知函数y=-(m+3)x-7-2x+1(m为常数)是二次函数. (1)求m的值； (2)点(2，a在此函数图象上，求a的值； (3)写出这个二次函数图象的对称轴和顶点坐标. 4.(25-26九年级上河南周口阶段练习)关于x的二次函数y=x2-2mx+m2+m+1. (1)若m=1,二次函数图像的顶点坐标为： (2)求出二次函数图像的顶点坐标（用含m的式子表示），判断顶点是否在直线y=x+1上； (3)在-1≤x≤2时二次函数的最大值与最小值的差等于15，求m的值. 5.(25-26九年级上·天津西青阶段练习)已知抛物线y=x2+4x-1. (①)将上述抛物线化成y=a(x-h)+k的形式为； (2)该抛物线的开口向，对称轴是直线，顶点坐标是； (3)当x=时，函数有最 (填“大”或“小”)值为； 9/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (4)该抛物线可由抛物线y=x2先向左平移 个单位长度，再向 平移 单位长度得到. 7.(25-26九年级上安徽阶段练习)已知抛物线y=x2-4bx+c. (1)若点(3，c)在抛物线上. ①求抛物线的对称轴： ②当1≤x≤4时，y的最大值为6，求抛物线的函数表达式： ②当0≤≤1时，P=-红+c(0<b<川最大值与最小值的差为及，求b的值 10/10