专题1.2 解直角三角形（举一反三讲义）数学北师大版九年级下册

专题1.2 解直角三角形（举一反三讲义） 【北师大版】 【题型1 已知两边解直角三角形】 2 【题型2 已知一锐角和一边解直角三角形】 3 【题型3 已知一锐角的三角比的值和一边解直角三角形】 3 【题型4 解一图多三角形的直角三角形】 4 【题型5 解非直角三角形】 6 【题型6 四边形中解直角三角形】 7 【题型7 网格中解直角三角形】 8 【题型8 坐标系中解直角三角形】 9 【题型9 解直角三角形与函数】 10 【题型10 解直角三角形解决动点问题】 12 知识点1 解直角三角形的概念 一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形． 知识点2 解直角三角形的依据 在中，，，的对边分别为a，b，c． （1）三边之间的关系：（勾股定理）； （2）两锐角之间的关系：（两角互余）； （3）边角之间的关系：，，． 知识点3 解直角三角形的基本类型及解法 解直角三角形有四种基本类型：①已知斜边和一直角边；②已知两直角边；③已知斜边和一锐角；④已知一直角边和一锐角．其解法步骤列表如下： 已知类型 已知条件 解法步骤 图示 两边 斜边c、一直角边（如a） （1）； （2）由，求； （3） 中，，，的对边分别为a，b，c，如图所示： 两直角边（a，b） （1）； （2）由，求； （3） 一边 一角 斜边c、一锐角（如） （1）； （2）由，得； （3）由，得 一直角边、一锐角（如a、） （1）； （2）由，得； （3）由，得 【题型1 已知两边解直角三角形】 【例1】（24-25九年级上·福建漳州·期末）据说古埃及人曾用下面的方法得到直角三角形：如图所示，他们用个等距的结把一根绳子分成等长的段，一个工匠同时握住绳子的第个结和第个结，两个助手分别握住第个结和第个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】在中，，，，解这个直角三角形． 【变式1-2】（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）在中，，，，解这个直角三角形． 【变式1-3】在直角三角形中，若，则的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【题型2 已知一锐角和一边解直角三角形】 【例2】（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在四边形中，，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2025·广东云浮·一模）如图小明在点C处测得树顶端A 的仰角为α，且米，则树高度为（   ）米． A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）已知在中，，，，那么的长等于（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在直角中，，点D在线段上，且，，，则 ． 【题型3 已知一锐角的三角比的值和一边解直角三角形】 【例3】（2025九年级下·河北石家庄·专题练习）如图，在等边中，点E，F在边上，，是边上的高，若，，则(   ) A． B． C． D． 【变式3-1】（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，垂足为，为的中点，连接．若，则的长为（    ） A． B．2 C．4 D．8 【变式3-2】（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，点P在线段上，，，，若，，，则的长是 ． 【变式3-3】如图，在中，，是中线，过点A作的垂线，分别交于点E、F．若，，则的长为（    ） A．39 B． C． D．19.5 【题型4 解一图多三角形的直角三角形】 【例4】（24-25九年级下·福建泉州·期中）如图，在中，，，是等边三角形．如图，将四边形折叠，使D与C重合，为折痕，则的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】如图，在中，，，，和的平分线相交于点，过点作交于点，那么的长为 ．    【变式4-2】（2025·四川绵阳·三模）在中，，，点D为中点，过点D作，与交于点E，连接，且，则的长度是（    ） A． B． C．3 D．4 【变式4-3】（24-25九年级下·黑龙江佳木斯·期中）如图，在中，，，，是的中点，点在边上，将沿翻折，使得点落在点处，若，则的长为（   ）    A． B．7 C． D．5 【题型5 解非直角三角形】 【例5】（24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，在中，，，则的值为（      ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25九年级上·湖南常德·阶段练习）如图，的底边上的高为，的底边上的高为，则有（   ） A． B． C． D．以上都有可能 【变式5-2】（24-25九年级上·重庆·期中）如图，点是外一点，，与相交于点，，连接，若，，，则 ． 【变式5-3】如图，在中，，，是中线，将沿直线翻折后，点落在点，那么的长为 ． 【题型6 四边形中解直角三角形】 【例6】（2025·广东深圳·三模）我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图，两条伞骨所成的角，点D在伞柄上，，则的长度可表示为（     ） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25九年级下·甘肃平凉·期中）如图，菱形的对角线与相交于点O，E为的中点，连接，，，则（    ） A．4 B． C．2 D． 【变式6-2】（2025·湖北·中考真题）如图，折叠正方形的一边，使点落在上的点处，折痕交于点．若，则的长是（   ） A． B．2 C． D． 【变式6-3】（2025·湖南娄底·三模）如图，在矩形中，分别为边上的点，且，将矩形沿直线折叠，得到四边形，点的对应点分别为点（点落在上方），连接，当三点共线时，的长为（    ） A．2 B． C． D．1 【题型7 网格中解直角三角形】 【例7】（2025·湖北·三模）如图，由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网格，正六边形的顶点称为格点．若每个正六边形的边长为1，的顶点都在格点上，则的面积是（　　） A．2 B． C．4 D． 【变式7-1】在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，那么的值为（　　）​ A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都为1，已知点A，B，C，D都在格点（网格线的交点）上，与相交于点P，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，、如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【题型8 坐标系中解直角三角形】 【例8】（2025·河南周口·二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别在轴，轴上，为边上一点，且，为边上一点，将四边形沿折叠，点的对应点恰好与原点重合，若，则的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】（2025·辽宁盘锦·三模）如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C为x的负半轴上的一点，连接，过点C作，与线段交于点D，若，则点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】（2025·山西晋城·三模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴上，连接对角线，是上一点，已知点的坐标为，若将线段绕点顺时针旋转，点恰好落在轴上，则点的坐标为（   ）    A． B． C． D． 【变式8-3】（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，有一个，，，直角边OB在y轴正半轴上，点A在第一象限，且，将绕原点逆时针旋转，同时把各边长扩大为原来的两倍即（）．得到，同理，将绕原点O逆时针旋转，同时把各边长扩大为原来的两倍，得到，…，依此规律，得到三角形，则的坐标为 ． 【题型9 解直角三角形与函数】 【例9】（2025·河北沧州·模拟预测）如图是一个正六边形轨道示意图，机器人P（看成点）从顶点B出发，沿着轨道按逆时针方向匀速移动，其路线为．若移动时间为x，由A，B，P三个点围成的三角形（阴影部分）的面积为y，则y与x关系的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】（24-25九年级下·河南南阳·期中）如图1，在矩形中，点从点出发，沿折线向点匀速运动．过点作对角线的垂线，交矩形的边于点．设点运动的路程为的长为．其中关于的函数图象大致如图2所示，则的值为（   ） A．3 B． C． D． 【变式9-2】（2025·河南焦作·一模）如图（1），在矩形中，是对角线，动点从点出发，沿折线运动到点停止，过点作于点．设点运动的路程为，（当点，或，重合时，设或 ），与 的函数关系的图象如图（2）所示，则的值为 ． 【变式9-3】如图1，在平行四边形中，，，动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿线段运动到点停止，同时动点从点出发，以每秒4个单位的速度沿折线运动到点停止．图2是点运动时，的面积与运动时间函数关系的图象，则的值是 ． 【题型10 解直角三角形解决动点问题】 【例10】（2025·河南南阳·模拟预测）如图，已知点A从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向正方向运动，以O，A为顶点作菱形，使点B，C在第一象限内，且，点P的坐标为，设点A运动了，则在点A的运动过程中，当 时，为等腰三角形． 【变式10-1】（2025·河北廊坊·一模）如图，直线，为上的一定点，为上的一动点，为平面内直线与之间的一点（点不在直线和直线上），连接．在点的运动过程中，若始终有（为定值），则下列说法正确的是（   ） 结论为定值． 结论II：的面积为定值． A．只有结论I正确 B．只有结论正确 C．结论I、II都正确 D．结论I、II都不正确 【变式10-2】（2025·安徽合肥·三模）如图，矩形中，，点在线段上运动（含，两点），连接，以点为旋转中心，将线段逆时针旋转到，连接，则线段的最小值为（　　） A．6 B．9 C．5 D．9 【变式10-3】（2025·安徽合肥·三模）在中，，，，动点从点出发，沿运动到点停止，，，点与点位于的同一侧，连接． （1）当时， ． （2）连接，则在点运动的整个过程中，线段长的最小值为 ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.2 解直角三角形（举一反三讲义） 【北师大版】 【题型1 已知两边解直角三角形】 2 【题型2 已知一锐角和一边解直角三角形】 5 【题型3 已知一锐角的三角比的值和一边解直角三角形】 7 【题型4 解一图多三角形的直角三角形】 10 【题型5 解非直角三角形】 15 【题型6 四边形中解直角三角形】 19 【题型7 网格中解直角三角形】 24 【题型8 坐标系中解直角三角形】 28 【题型9 解直角三角形与函数】 33 【题型10 解直角三角形解决动点问题】 39 知识点1 解直角三角形的概念 一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形． 知识点2 解直角三角形的依据 在中，，，的对边分别为a，b，c． （1）三边之间的关系：（勾股定理）； （2）两锐角之间的关系：（两角互余）； （3）边角之间的关系：，，． 知识点3 解直角三角形的基本类型及解法 解直角三角形有四种基本类型：①已知斜边和一直角边；②已知两直角边；③已知斜边和一锐角；④已知一直角边和一锐角．其解法步骤列表如下： 已知类型 已知条件 解法步骤 图示 两边 斜边c、一直角边（如a） （1）； （2）由，求； （3） 中，，，的对边分别为a，b，c，如图所示： 两直角边（a，b） （1）； （2）由，求； （3） 一边 一角 斜边c、一锐角（如） （1）； （2）由，得； （3）由，得 一直角边、一锐角（如a、） （1）； （2）由，得； （3）由，得 【题型1 已知两边解直角三角形】 【例1】（24-25九年级上·福建漳州·期末）据说古埃及人曾用下面的方法得到直角三角形：如图所示，他们用个等距的结把一根绳子分成等长的段，一个工匠同时握住绳子的第个结和第个结，两个助手分别握住第个结和第个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，余弦的计算，掌握余弦的计算方法是解题的关键． 根据题意可得，运用勾股定理逆定理可得是直角三角形，再根据余弦的计算方法即可求解． 【详解】解：如图所示，根据题意可得，， ∵， ∴是直角三角形， ∴， 故选：B ． 【变式1-1】在中，，，，解这个直角三角形． 【答案】，，． 【分析】本题考查了解直角三角形，首先根据和的长度得出，继而求出，从而得出和的度数． 【详解】解：如图，在中，，，， ∴ ∵， ∴， ∴． 【变式1-2】（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）在中，，，，解这个直角三角形． 【答案】，， 【分析】本题考查了解直角三角形：由已知元素求出未知元素的过程叫做解直角三角形，根据勾股定理和锐角三角函数以及直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，，． 【变式1-3】在直角三角形中，若，则的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查求角的余弦值．根据余弦值的定义邻边比斜边，分为直角边和斜边两种情况进行求解即可． 【详解】解：①当为直角边时， ∵， ∴， ∴； ②当为斜边时， ∵， ∴， ∴． 综上：或； 故选C． 【题型2 已知一锐角和一边解直角三角形】 【例2】（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在四边形中，，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，解题的关键是熟练掌握解直角三角形和勾股定理． 利用锐角三角函数求出的长度，然后利用勾股定理即可求解． 【详解】解：根据题意得，在中，， 由勾股定理得，， 故选：A． 【变式2-1】（2025·广东云浮·一模）如图小明在点C处测得树顶端A 的仰角为α，且米，则树高度为（   ）米． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题．根据题意可得：，，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【详解】解：根据题意，得，， 在中，米， ∴米， 故选：B． 【变式2-2】（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）已知在中，，，，那么的长等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据锐角三角函数的定义，在直角三角形中，正弦函数定义为对边与斜边的比值．已知的对边，斜边为，利用正弦函数即可求解． 【详解】解：∵在中，，，， ∴根据正弦函数的定义，， ∴，故A正确． 故选：A． 【变式2-3】（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在直角中，，点D在线段上，且，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，先利用三角形外角性质计算出，则，所以，然后在中利用的正弦可计算出的长． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴． 故答案为：． 【题型3 已知一锐角的三角比的值和一边解直角三角形】 【例3】（2025九年级下·河北石家庄·专题练习）如图，在等边中，点E，F在边上，，是边上的高，若，，则(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查等边三角形的性质，解直角三角形，根据等边三角形的性质证明，再利用锐角三角函数求出，进而可以解决问题．解决本题的关键是掌握等边三角形的性质． 【详解】解：在等边中，是边上的高， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 故选：D． 【变式3-1】（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，垂足为，为的中点，连接．若，则的长为（    ） A． B．2 C．4 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形，直角三角形斜边上的中线等于斜边一半，勾股定理，先求出，利用勾股定理求得，即可解答． 【详解】解：∵ ∴， 根据勾股定理， 为的中点， ． 故选：A． 【变式3-2】（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，点P在线段上，，，，若，，，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，根据，，，证明，由正切的定义得到，求出，进而求出，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式3-3】如图，在中，，是中线，过点A作的垂线，分别交于点E、F．若，，则的长为（    ） A．39 B． C． D．19.5 【答案】D 【分析】先求出，，过点D作于点H，再证明是的中位线，则，再利用正切的定义得到，再用勾股定理即可得到答案． 【详解】解：在中，，，， 设，则， ∵， ∴， 解得 ∴，， 过点D作于点H， ∵在中，，是中线， ∴, ∴ ∴是的中位线， ∴， ∵过点A作的垂线，分别交于点E、F． ∴， ∴， 在中， ， ∴ ∴ 故选：D 【点睛】此题考查了解直角三角形、勾股定理、三角形中位线、直角三角形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握正切的定义和三角形中位线定理是解题的关键． 【题型4 解一图多三角形的直角三角形】 【例4】（24-25九年级下·福建泉州·期中）如图，在中，，，是等边三角形．如图，将四边形折叠，使D与C重合，为折痕，则的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，由含角的直角三角形的性质和勾股定理求得的值，再由等边三角形的性质证得，然后由折叠的性质知，设，由勾股定理求出的长，最后由锐角三角函数的定义即可得出结果． 【详解】解：设， ∵中，，， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 由折叠的性质得：， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了折叠的性质、等边三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数的定义等知识，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解题的关键． 【变式4-1】如图，在中，，，，和的平分线相交于点，过点作交于点，那么的长为 ．    【答案】 【分析】过点D作DF⊥BC于点F，由题意易得∠DBC=45°，∠ACB=∠DEB，则有，然后根据三角函数及线段的和差可求解． 【详解】解：过点D作DF⊥BC于点F，如图所示：    ∵，和的平分线相交于点， ∴∠DBC=45°，∠DCB=∠ACD， ∴△DFB是等腰直角三角形，即DF=BF， ∵DE∥AC， ∴∠ACB=∠DEB，∠ACD=∠CDE， ∴∠CDE=∠DCE， ∴DE=EC， ∵AB=3，AC=5， ∴BC=4，， 设DF=BF=3x，则有：EF=4x，DE=EC=5x， ∴，解得， ∴； 故答案为． 【点睛】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数是解题的关键． 【变式4-2】（2025·四川绵阳·三模）在中，，，点D为中点，过点D作，与交于点E，连接，且，则的长度是（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】B 【分析】过作于，由，设，则，证明，可得，求解：，，同理可得：，而，可得，进一步可得结论． 【详解】解：过作于， ∵， ∴设，则， ∴， ∵点D为中点，过点D作， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， 同理可得：，而， ∴， 解得；， ∴； 故选B 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，直角三角形斜边上的直线的性质，等腰三角形的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 【变式4-3】（24-25九年级下·黑龙江佳木斯·期中）如图，在中，，，，是的中点，点在边上，将沿翻折，使得点落在点处，若，则的长为（   ）    A． B．7 C． D．5 【答案】B 【分析】本题考查三角形的中位线的定义与性质，解直角三角形，勾股定理，折叠的性质，作出正确的辅助线是解题的关键． 作的中点M，连接，易得是的中位线，可求出，再根据，易证是等腰直角三角形，即可解答． 【详解】解：作的中点M，连接，如图    ∵，，，是的中点， ∴，是的中位线， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， 由折叠，可得 ， ∴， ∴． 故选B． 【题型5 解非直角三角形】 【例5】（24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，在中，，，则的值为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】考查了解直角三角形以及勾股定理，通过解直角三角形及勾股定理，求出AD，AB的长是解题的关键．过点A作，垂足为D，在中可求出，的长，在中，利用勾股定理可求出的长，再利用正弦的定义可求出的值． 【详解】解：过点A作，垂足为D，如图所示． 在中，， ， 在中，， ， ． 故选D． 【变式5-1】（24-25九年级上·湖南常德·阶段练习）如图，的底边上的高为，的底边上的高为，则有（   ） A． B． C． D．以上都有可能 【答案】A 【分析】本题考查解直角三角形相关知识，本题理解题意构造直角三角形，熟练掌握锐角三角函数在直角三角形中的应用是解题的关键． 分别作出底边上的高为即，底边上的高为即，再利用锐角三角函数分别表示出和即可选出正确答案． 【详解】解：如图，分别作出底边上的高为即，底边上的高为即， 在中，， ， 在中，， ， 故选：A． 【变式5-2】（24-25九年级上·重庆·期中）如图，点是外一点，，与相交于点，，连接，若，，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解非直角三角形，过点作交延长线于，先由，，得到，即可得到，设，则，，在中，利用勾股定理列方程求得，即可得到，，最后根据计算即可． 【详解】解：如图，过点作交延长线于，则， ，， ， ∵， ∴， ∴设，则， ∵， ∴， 在中，，， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式5-3】如图，在中，，，是中线，将沿直线翻折后，点落在点，那么的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的翻折综合计算，涉及三角函数，等腰三角形，平行四边形及勾股定理，能正确进行线段的转换及作辅助线解非直角三角形是解题关键．本题先过点作于点，计算得出，再证明四边形是平行四边形，得，再在中求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是中线， ∴， 由翻折知， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， 由翻折知， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型6 四边形中解直角三角形】 【例6】（2025·广东深圳·三模）我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图，两条伞骨所成的角，点D在伞柄上，，则的长度可表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 连接交于点G，根据已知易得四边形是菱形，然后利用菱形的性质可得，，平分，从而可得，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答． 【详解】解：连接交于点G， ， 四边形是菱形， ，，平分， ， 在中，， ， 故选D． 【变式6-1】（24-25九年级下·甘肃平凉·期中）如图，菱形的对角线与相交于点O，E为的中点，连接，，，则（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，解直角三角形，由菱形的性质可得，由直角三角形的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵E为的中点，， ∴， 故选：C． 【变式6-2】（2025·湖北·中考真题）如图，折叠正方形的一边，使点落在上的点处，折痕交于点．若，则的长是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】如图，过作于，由对折可得：，，，，证明，而，可得，求解，，证明，，可得，再进一步求解即可. 【详解】解：如图，过作于， ∵正方形， ∴，，，，，， 由对折可得：，，，， ∴，而， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴； 故选：B. 【点睛】本题考查的是正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键. 【变式6-3】（2025·湖南娄底·三模）如图，在矩形中，分别为边上的点，且，将矩形沿直线折叠，得到四边形，点的对应点分别为点（点落在上方），连接，当三点共线时，的长为（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】D 【分析】本题主要考查了矩形的性质，折叠问题，勾股定理，解直角三角形等知识点，熟练掌握其性质，合理添加辅助线是解决此题的关键．如图，记与的交点为，延长交于，结合，则，可得，结合，设，则，，可得，求解，再进一步求解即可． 【详解】解：∵在矩形中，， ∴，，，， 由对折可得：，，， ∴， ∴， 如图，记与的交点为，延长交于， ∴， 由对折可得：， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∴， 解得：， ∴，， ∴， 同理：， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【题型7 网格中解直角三角形】 【例7】（2025·湖北·三模）如图，由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网格，正六边形的顶点称为格点．若每个正六边形的边长为1，的顶点都在格点上，则的面积是（　　） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了解直角三角形，正六边形的性质，矩形的性质与判定等等，由正六边形的性质可知，格点A、B、G、D四点共线，格点C、E、F、D四点共线，过格点P和M分别作的垂线，垂足分别为Q、N，求出，解直角三角形得到，，，证明四边形是矩形，得到，则，进而得到，则，求出点A到的距离为，根据，可得，据此求解即可． 【详解】解：如图所示，由正六边形的性质可知，格点A、B、G、D四点共线，格点C、E、F、D四点共线， 过格点P和M分别作的垂线，垂足分别为Q、N， 由正六边形的性质可得， ∴， ∴，，， 同理可得，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点A到的距离为， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【变式7-1】在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上，那么的值为（　　）​ A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形，过点作的垂线构造出直角三角形及熟知正弦的定义是解题的关键．也考查了等腰三角形的三线合一性质． 【详解】解：过点作的垂线，垂足为，设小正方形的边长为， ∵在边长相等的小正方形组成的网格中，点，，都在格点上， ∴，，， ∴， ∵， ∴点是的中点， ∴， 在中，， ∴， ∴的值为． 故选：C． 【变式7-2】（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都为1，已知点A，B，C，D都在格点（网格线的交点）上，与相交于点P，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形、平行线的性质，勾股定理，作出合适辅助线是解题关键．连接，连接，易知，由勾股定理逆定理可以证明为直角三角形，所以即可得答案． 【详解】如图，连接，连接 由图可知： ∴四边形是平行四边形 在中，有， ∴为直角三角形， 故选：A 【变式7-3】如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，、如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接DE，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得出，同理可得出，由结合可得出，设等边三角形的边长为a，则，，利用勾股定理可得出的长，由三角函数定义即可得出答案． 【详解】解：连接，如图所示： 在中，， ∴， 同理得：． 又∵， ∴． 设等边三角形的边长为a，则，， ∴， ∴． 故选：A 【点睛】此题考查解直角三角形、等边三角形的性质以及图形的变化规律，构造出含一个锐角等于的直角三角形是解题的关键． 【题型8 坐标系中解直角三角形】 【例8】（2025·河南周口·二模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别在轴，轴上，为边上一点，且，为边上一点，将四边形沿折叠，点的对应点恰好与原点重合，若，则的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，解直角三角形，折叠的性质，过作轴于点，则，由四边形是矩形，则，，通过折叠性质可知，，，则，所以，最后通过，，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过作轴于点，则， ∵四边形是矩形， ∴，， 由折叠性质可知，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴点的坐标为， 故选：． 【变式8-1】（2025·辽宁盘锦·三模）如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C为x的负半轴上的一点，连接，过点C作，与线段交于点D，若，则点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要查了一次函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，证明是解题的关键． 过点D作轴于点E，则，证明，可得，再由一次函数的性质可得，，从而得到，进而得到，，即可求解． 【详解】解：如图，过点D作轴于点E，则， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 对于， 当时，， 当时，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴点D的坐标为． 故选：D 【变式8-2】（2025·山西晋城·三模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴上，连接对角线，是上一点，已知点的坐标为，若将线段绕点顺时针旋转，点恰好落在轴上，则点的坐标为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了旋转的性质、解直角三角形、菱形的性质等知识，熟练掌握菱形的性质和旋转的性质是解题的关键．令线段绕点顺时针旋转后，与轴的交点为点，过点作轴于点．求出点的坐标为，证明．即可得到答案． 【详解】解：如图，令线段绕点顺时针旋转后，与轴的交点为点，过点作轴于点．   点的坐标为， ． 四边形是菱形， ， 点的坐标为， ，， ． 由旋转性质可得，， ， ． 点的坐标为， 点的坐标为，即点的坐标为． 故选：D 【变式8-3】（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，有一个，，，直角边OB在y轴正半轴上，点A在第一象限，且，将绕原点逆时针旋转，同时把各边长扩大为原来的两倍即（）．得到，同理，将绕原点O逆时针旋转，同时把各边长扩大为原来的两倍，得到，…，依此规律，得到三角形，则的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标变化规律，解直角三角形；根据余弦的定义求出，可分别求出,，……，找出规律，得到，根据规律解答即可，正确得到图形的变化规律是解题的关键． 【详解】解：在中，， ∴， ∴； ∴，，…， 一般地，； ∵，， ∴在x轴正半轴上， ∴，即； 故答案为：． 【题型9 解直角三角形与函数】 【例9】（2025·河北沧州·模拟预测）如图是一个正六边形轨道示意图，机器人P（看成点）从顶点B出发，沿着轨道按逆时针方向匀速移动，其路线为．若移动时间为x，由A，B，P三个点围成的三角形（阴影部分）的面积为y，则y与x关系的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数图象与实际问题，解直角三角形，矩形的性质和判定，正多边形的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 先分别求出点P在上和点P在上运动时的函数关系式，再说明当P在上运动时，所以随着时间x的增加，y不变，然后根据对称性可知点P在和上运动时，随着时间x的增加，y减小，即可判断图象． 【详解】解：设点P运动的速度是1，， 当点P在上时，过点P作交延长线于点 根据题意可知，则． 在中，， ∴， 即， ∴； 当点P在上时，过点P作交延长线于点G，过点C作， 根据题意可知， 在中，， ∴， 即． ∵， ∴四边形是矩形， ∴． 根据正六边形的对称性知， 在中，， ∴， 即， ∴ ∴； ∴点P在和上运动时，变化趋势相同，都是正比例函数（经过原点的直线），随着时间x的增加，y也随之增大； 当P在上运动时，的底不变，高不变，其面积也不变， 所以随着时间x的增加，y不变； 根据对称性可知点P在和上运动时，变化趋势相同，都是一次函数，随着时间x的增加，y也随之减小． 综上所述，图象A符合题意． 故选：A． 【变式9-1】（24-25九年级下·河南南阳·期中）如图1，在矩形中，点从点出发，沿折线向点匀速运动．过点作对角线的垂线，交矩形的边于点．设点运动的路程为的长为．其中关于的函数图象大致如图2所示，则的值为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】由点可得：当时，则，结合图象可得：，当时，重合，当时，重合，可得，如图，当时，重合，记的交点为，则，证明，此时，可得，，从而可得答案． 【详解】解：∵矩形， ∴， 由点可得：当时，则， 结合图象可得：， 当时，重合，当时，重合， ∴，而， ∴， 如图，当时，重合，记的交点为， ∵， ∴， ∴， ∴，，    此时， ∴，， ∴，即， 故选C 【点睛】本题考查的是动态问题的函数图象，解直角三角形的应用，勾股定理的应用，矩形的性质，理解函数图象的含义是解本题的关键． 【变式9-2】（2025·河南焦作·一模）如图（1），在矩形中，是对角线，动点从点出发，沿折线运动到点停止，过点作于点．设点运动的路程为，（当点，或，重合时，设或 ），与 的函数关系的图象如图（2）所示，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理，解直角三角形，动点问题的函数图象，数形结合是解题的关键；根据图（2）得出，在取点，使得，连接，进而根据勾股定理求得，得出，进而求得时，的长，即可求解． 【详解】解：如图所示，在取点，使得，连接， 由图（2）可得的最小值为，即运动到点停止，此时，则， ∴， ∴， 由时，点与点重合，，则，此时， 设，则 在中， ∵ ∴ 解得： ∴， ∴ 根据图（2）可得时，点在上运动， ∴， ∴ ∴， 故答案为：． 【变式9-3】如图1，在平行四边形中，，，动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿线段运动到点停止，同时动点从点出发，以每秒4个单位的速度沿折线运动到点停止．图2是点运动时，的面积与运动时间函数关系的图象，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了动点函数的图象，平行四边形的性质，解直角三角形，解决本题的关键是由点的运动结合图2得出的长．根据题意可得，分当点Q在上时，即时和当点Q在上时，即时，分别表示出，分析可知当点Q到达点C时，，此时，代入进行计算即可得到答案． 【详解】解：由题图2得，时，点P停止运动， 点P以每秒1个单位速度从点运动到点用了6秒， ， ， 由点P和点Q的运动可知，， 当点Q在上时，即时，， 过点P作交于，   ， ， ， 当点Q在上时，即时， 四边形是平行四边形， ， ， 由上可知，当点Q到达点C时，， 即当时，， 故答案为：． 【题型10 解直角三角形解决动点问题】 【例10】（2025·河南南阳·模拟预测）如图，已知点A从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向正方向运动，以O，A为顶点作菱形，使点B，C在第一象限内，且，点P的坐标为，设点A运动了，则在点A的运动过程中，当 时，为等腰三角形． 【答案】或2或 【分析】作轴于点，根据菱形的性质得到，解表示出的长，得到，由为等腰三角形，分三种情况讨论：①；②；③，分别利用勾股定理列出方程，解出的值即可得出答案． 【详解】解：作轴于点，则， 由题意得，， ∵菱形， ∴， ∵在中，，， ∴，， ∴， ∵点P的坐标为， ∴； ①若， ∴， 解得； ②若， ∴， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴； ③若， ∴， 解得：； ∴综上，或2或时，为等腰三角形． 故答案为：或2或． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系、菱形的性质、等腰三角形的定义、解直角三角形、勾股定理、一元二次方程的应用，运用数形结合的思想，正确表示出点的坐标是解题的关键． 【变式10-1】（2025·河北廊坊·一模）如图，直线，为上的一定点，为上的一动点，为平面内直线与之间的一点（点不在直线和直线上），连接．在点的运动过程中，若始终有（为定值），则下列说法正确的是（   ） 结论为定值． 结论II：的面积为定值． A．只有结论I正确 B．只有结论正确 C．结论I、II都正确 D．结论I、II都不正确 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质和判定及等腰三角形的性质，解直角三角形，正确添加辅助线找到线段间的关系是正确解答此题的关键． 过点作于点，延长交于点，，可证明为定值，即可判断结论I；设，假设，则，得，即随着的长发生变化，可说明的面积也发生变化，即可判断结论，进而得结论． 【详解】解：如图，过点作于点，延长交于点， ∵（为定值）， ∴当点运动时，点在上运动， ∵， ∴ 又∵（为定值）， ∴ ∴ ∴ 在中， ∵，的长为两平行线间的距离，则为定值， ∴为定值，即结论为定值，正确 设， 假设，则， ， 即随着的长发生变化，的面积也发生变化，结论II不正确 故选：A． 【变式10-2】（2025·安徽合肥·三模）如图，矩形中，，点在线段上运动（含，两点），连接，以点为旋转中心，将线段逆时针旋转到，连接，则线段的最小值为（　　） A．6 B．9 C．5 D．9 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，旋转的性质，解直角三角形，作等边，连接，设直线交于T，由矩形的性质得到，由等边三角形的性质得到，则，证明，得到，则点F在直线上运动，故当时，有最小值，可证明此时，解得到，则，解可得． 【详解】解；如图所示，作等边，连接，设直线交于T， ∵四边形是矩形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴； 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∵点G是定点， ∴点F在直线上运动， ∴当时，有最小值， ∴此时有， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴的最小值为9， 故选：B． 【变式10-3】（2025·安徽合肥·三模）在中，，，，动点从点出发，沿运动到点停止，，，点与点位于的同一侧，连接． （1）当时， ． （2）连接，则在点运动的整个过程中，线段长的最小值为 ． 【答案】 2 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形、等边三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）如图：过A作，然后根据等腰三角形的性质可得、，再求得；再证明是等边三角形，最后运用等边三角形的性质即可解答； （2）如图：过A作，延长到F，使得，连接、并延长交于G，根据等腰三角形的性质和已知条件可得、，再证明可得，解直角三角形可得，即；证明可得，再说明点Q在直线上，最后根据垂线段最短以及解直角三角形即可解答． 【详解】解：（1）如图：过A作， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∵，， ∴点Q在上，． 故答案为：2． （2）如图：过A作，延长到F，使得，连接、并延长交于G， ∵，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理：， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵F为定点，为定角， ∴点Q在直线上， ∵， ∴， ∴当点Q在点G处时，取最小值， 在中，，即，解得：， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $