专题02 解直角三角形实际应用的四种考法（压轴题专项训练，四川成都专用）数学北师大版九年级下册

专题02 解直角三角形实际应用的四种考法 类型一、仰角、俯角问题 1．“世界桥梁看中国，中国桥梁看贵州”．数学兴趣小组对“北盘江第一桥”主桥墩（如图①）的高度进行测量，如图②是其设计的测量示意图．已知主桥墩底端点B到参照点C的水平距离为97米，该小组从点C沿的斜坡行走80米到达坡顶平台的点D处．再沿平台行走80米到达点E处，在点E处得主桥墩顶端点A的仰角为．已知，垂足分别为B，F，点A，B，C，D，E，F均在同一平面内．（参考数据：，，，） (1)求坡顶平台到地面的距离； (2)求主桥墩的高度（结果精确到1米）． 2．如图所示，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中P处，测得楼楼顶D处的俯角为，测得楼楼顶A处的俯角为．已知楼和楼之间的距离为100米，楼的高度为10米，从楼的A处测得楼的D处的仰角为（点A、B、C、D、P在同一平面内）． (1)填空： °， °； (2)求楼的高度（结果保留根号）； (3)求此时无人机距离地面的高度． 3．某数学兴趣小组要测量山坡上的联通信号发射塔的高度，已知信号塔与斜坡的坡顶在同一水平面上，兴趣小组的同学在斜坡底处测得塔顶的仰角为，然后他们沿着坡度为的斜坡爬行了米，在坡顶处又测得该塔塔顶的仰角为． (1)求坡顶到地面的距离； (2)求联通信号发射塔的高度（结果精确到米）．（参考数据：，，） 4．综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔前有一座高为的观景台，已知，，点E，C，A在同一条水平直线上．某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为． (1)求的长； (2)设塔的高度为h（单位：）； ①用含有h的式子表示线段的长（结果保留根号）； ②求塔的高度（取，取，结果取整数）． 5．渠县賨人谷是国家级旅游景区，以“奇山奇水奇石景，古賨古洞古部落”享誉巴渠，被誉为川东“小九寨”．端坐在观音崖旁的一块奇石似一只“啸天犬”，昂首向天，望穿古今．一个周末，某数学兴趣小组的几名同学想测出“啸天犬”上嘴尖与头顶的距离．他们把蹲着的“啸天犬”抽象成四边形，想法测出了尾部看头顶的仰角为，从前脚落地点看上嘴尖的仰角刚好．景区管理员告诉同学们，上嘴尖到地面的距离是．请你算下： (1)的长度； (2)的长度．（结果精确到．参考数据：；） 类型二、坡度问题 1．2024年，元宵节迎春烟花秀在人民广场震撼上演，欢乐、祥和、喜庆、热烈的节日氛围再次拉满，欢欢和喜喜两位同学相约去人民广场看烟花，并测量烟花的燃放高度．如图，欢欢从点出发，沿坡度的山坡走了130米到达坡顶点，喜喜则沿点正东方向到达离点水平距离40米的点观看，此时烟花在与，同一水平线上的点处点燃，一朵朵灿烂的烟花在点的正上方点绽放，欢欢在坡顶处看烟花绽放处的仰角为，喜喜在处测得点的仰角为（点，，，，在同一平面内）．（参考数据：，） (1)求欢欢从斜坡处走到处上升的高度； (2)烟花燃放结束后，欢欢和喜喜两位同学来到烟花燃放地帮忙清理现场的垃圾，他们清理时发现刚才燃放的烟花盒子上的说明书写着烟花的燃放高度为米，请你帮他们计算一下说明书写的烟花燃放的高度（图中DE）是否属实？ 2．如图，信号塔坐落在山丘的一侧，某维护人员为了测量信号塔的高度，他在山脚下的点处测得塔尖的仰角为，再沿着坡度为的斜坡向上走了米到达点处，此时测得塔尖的仰角为．(图中各点均在同一平面内) (1)求点到地面的距离； (2)求信号塔的高度(结果保留根号)； (3)若维护人员从点处沿水平方向前行一段距离到点处，测得塔尖的仰角为，求的长度． 3．如图，某校一幢综合楼的楼顶竖有一块“启智求真，健体尚美”的宣传牌．该校九年级班在一次数学活动课中进行实地测量，在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为，米，米，已知斜坡的坡角为，参考数据：，，，；精确到米 (1)求综合楼的高度； (2)求宣传牌的高度． 4．如图，一楼房后有一假山，其坡度为，山坡坡面上点处有一休息亭，测得假山坡脚与楼房水平距离米，与亭子距离米，小丽从楼房顶测得点的俯角为，求楼房的高． 5．如图，某大楼正前方有一栋小楼，小明从大楼顶端A测得小楼顶端E的俯角为，小楼底端D到大楼前梯坎的底端C有80米，梯坎长65米．梯坎的坡度，求大楼的高度（结果精确到1米，参考数据：，，，） 类型三、方位角问题 1．如图，在同一平面内，今年国庆，小明和小红两位同学都在某景区游玩，他们决定在游客中心汇合，已知景点位于景点的正北方向，游客中心位于景点的正东方向，景点位于游客中心的西北方向6千米，景点位于点的北偏东方向且在游客中心的正北方向．（参考数据：） (1)求的长度（结果保留一位小数）； (2)小明从景点乘坐索道沿着方向前往游客中心，小红从景点乘坐观光车沿着方向前往游客中心，若小明和小红同时出发，索道和观光车均保持匀速行驶，并且索道的速度是观光车速度的倍，上下车和上下索道的时间忽略不计，在运动过程中，当小明位于小红的北偏东时，小红与游客中心的距离是多少？（结果保留一位小数） 2．国庆假期，小明和小蓝怀着对革命历史的崇敬，从某红色景区入口．开启红色之旅．因参观的景点不同，两人决定各自沿不同路线参观，再到达位于入口A正东方向的景点处汇合．如图为路线平面示意图，小明从入口出发，沿北偏东方向走到达景点，参观24分钟，接着沿东南方向到达景点、小蓝从入口出发，沿北偏东方向到达景点，参观15分钟后，沿南偏西方向到达景点．（参考数据：，， (1)求入口与景点之间的距离；（结果精确到） (2)若小明步行的速度为，小蓝步行的速度为，且两人同时出发，请计算并说明小明和小蓝谁先到达景点？（结果精确到） 3．如图，是某动物园入口，、、是入口附近的三个展区，小明和小华相约从入口一起去参观，但由于兴趣不同，两人决定先沿不同的路线参观，再到达展区汇合．如图是路线平面示意图，已知展区在起点的东北方向，小明从起点出发沿正北方向走了900米到展区，在展区参观10分钟，再沿北偏东的方向走一段路即可到达展区．小华从起点出发向正东方向走到展区，在展区参观14分钟，再沿北偏东方向走一段路即可到达展区．（参考数据：） (1)求的长度；（结果保留根号） (2)已知小明的平均速度为90米/分钟，小华的平均速度为100米/分钟，若两人同时出发，请通过计算说明谁会先到达展区？（结果精确到0.1） 4．中秋乐游，明月湖畔，月圆人团圆．中秋佳节将至，明月湖公园设置了如图所示A、B、C、D四个打卡点，四个打卡点位于同一平面内，B在A的正东方向，C在B的正北方向，D在A的北偏东方向且在C的北偏西方向，千米，千米． (1)求的长度；（结果保留根号） (2)小南和小开分别从D、A打卡点同时出发，小南以的速度从D打卡点沿方向步行至A打卡点，小开以的速度从A打卡点沿方向跑步至B打卡点，请通过计算说明，小南出发多少千米后恰好与小开相距千米？（结果保留小数点后两位，参考数据：，） 5．为加强凤中教共体教师联合教研，促进教育优质均衡发展，张老师和王老师从各自学校出发前往总校参加数学联合教研活动，经勘测，如图，公交站点在张老师学校点的正北方200米处，王老师学校点在点的正东方600米处，点在点的东北方向，点在点的正东方，总校点在点的正北方，点在点的北偏东方向（参考数据：， (1)求的长度；（结果精确到1米） (2)张老师的路线是从点步行至点再乘坐公交车前往点，假设张老师步行的平均速度为80米/分，公交车匀速行驶且速度为250米/分，公交车行驶途中，上下客合计耗时2分钟（张老师上车和下车时间忽略不计），王老师全程步行，他从点经过点买水（买水时间忽略不计）再前往点，假设王老师步行平均速度为100米/分，请问张老师和王老师谁先到达总校点呢？说明理由． 类型四、支架问题 1．如图1是某小车侧面示意图，图2是该车后备厢开启侧面示意图，具体数据如图所示（单位：）且，，，箱盖开起过程中，点A，C，F不随箱盖转动，点B，D，E绕点A沿逆时针方向转动相同角度，分别到点，，的位置，弹簧活塞杆随之伸长．已知直线，． (1)求的长度． (2)求的长度． 2．图是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成．图是某种工作状态下的侧面结构示意图（是基座的高，是主臂，是伸展臂，）．已知基座高度为，主臂长为，测得主臂伸展角．（参考数据：，，，） (1)求点到地面的高度； (2)若挖掘机能挖的最远处点到点的距离为，求的度数． 3．图（1）是高铁座椅靠背及小桌板打开时的实物图，其侧面可抽象成图（），支架连接靠背和小桌板，点是杯托处，此时靠背垂直于地面，小桌板平行于地面，测得，．(参考数据：，，，) (1)图（2）中，___________°； (2)靠背可以绕点旋转至与小桌板支架重合的位置，如图（），杯托处凹陷深度为，若此时乘客的水杯能竖直放在杯托处（点）． ①； ②求乘客水杯的最大高度． 4．实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小明同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧的示意图，已知试管，试管倾斜角为． (1)试管口与铁杆的水平距离的长度为________（结果用含非特殊角的三角函数表示） (2)实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点，且于点（点在一条直线上），测得：，求线段的长度．（结果精确到）（参考数据：） 5．图1 是斜式单面展架，图2是它的侧面示意图，表示画面支撑杆， 表示展架支撑杆， 表示底座，，垂足为D，点C在 上，，画面支撑杆可绕着点C 旋转．经测量，，，． (1)求展架的高度（即点 B 到底座 的距离）； (2)一般地，展架的标准高度为，画面支撑杆 要绕着点C 顺时针旋转多少度，展架才能达到标准高度？（参考数据：，，，，，，结果保留到小数点后一位） 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 解直角三角形实际应用的四种考法 类型一、仰角、俯角问题 1．“世界桥梁看中国，中国桥梁看贵州”．数学兴趣小组对“北盘江第一桥”主桥墩（如图①）的高度进行测量，如图②是其设计的测量示意图．已知主桥墩底端点B到参照点C的水平距离为97米，该小组从点C沿的斜坡行走80米到达坡顶平台的点D处．再沿平台行走80米到达点E处，在点E处得主桥墩顶端点A的仰角为．已知，垂足分别为B，F，点A，B，C，D，E，F均在同一平面内．（参考数据：，，，） (1)求坡顶平台到地面的距离； (2)求主桥墩的高度（结果精确到1米）． 【答案】(1)40米 (2)269米 【分析】（1）作，垂足为F，根据含30度角的直角三角形的性质即可得出答案； （2）延长交于点G，则，证明四边形为矩形，得出，米，求出的长，根据三角函数求出的长，即可得出答案． 【详解】（1）解：作，垂足为F，如图所示： ∵， ∴（米），（米）， ∴坡顶平台到地面的距离为40米； （2）解：如图，延长交于点G，则， ∵， ∴四边形为矩形． ∴，米， ∴（米）， ∵， ∴， ∴（米）， ∴（米）， ∴桥墩的高度为269米． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，勾股定理，矩形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角函数的定义． 2．如图所示，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中P处，测得楼楼顶D处的俯角为，测得楼楼顶A处的俯角为．已知楼和楼之间的距离为100米，楼的高度为10米，从楼的A处测得楼的D处的仰角为（点A、B、C、D、P在同一平面内）． (1)填空： °， °； (2)求楼的高度（结果保留根号）； (3)求此时无人机距离地面的高度． 【答案】(1)75；60 (2)米 (3)110米 【分析】 本题考查了仰角俯角问题、三角函数的应用、全等三角形的性质和判定、平行线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）过点作于点，根据三角形内角和定理即可解题； （2）由题意可得米，米，在中，用特殊角的正切值即可解题； （3）过点作于点G，交于点F，证明≌，再根据可得出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 过点作于点， 则， ∴； 故答案为：75；60； （2） 解：由题意可得米，米， 在中，， ， 解得：米， ∴米； 答：楼的高度为米； （3） 解：过点作于点G，交于点F，则，米， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 则， 在和中， ， ∴≌， ∴米， ∴米； 答：此时无人机距离地面的高度为110米． 3．某数学兴趣小组要测量山坡上的联通信号发射塔的高度，已知信号塔与斜坡的坡顶在同一水平面上，兴趣小组的同学在斜坡底处测得塔顶的仰角为，然后他们沿着坡度为的斜坡爬行了米，在坡顶处又测得该塔塔顶的仰角为． (1)求坡顶到地面的距离； (2)求联通信号发射塔的高度（结果精确到米）．（参考数据：，，） 【答案】(1)10米 (2)25米 【分析】本题考查了解直角三角形的相关性质，矩形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）过点作，垂足为，根据已知可，从而可设米，则米，然后在中，利用勾股定理进行计算即可解答； （2）延长交于点，根据题意可得：米，，然后设米，则米，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义可，从而列出关于的方程，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：过点作，垂足为， 斜坡的坡度为 ， 设米，则米， 在中，（米）， 米， ， ， 米，米， 坡顶到地面的距离为米； （2）解：延长交于点， 由题意得：， ∴四边形是矩形， 由（1）得米，米， 则米，， 设米，则米， 在中，， （米）， 米， 在中，， ， ， ， 解得：， （米）， 联通信号发射塔的高度约为米． 4．综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔前有一座高为的观景台，已知，，点E，C，A在同一条水平直线上．某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为． (1)求的长； (2)设塔的高度为h（单位：）； ①用含有h的式子表示线段的长（结果保留根号）； ②求塔的高度（取，取，结果取整数）． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查解直角三角形的应用，矩形的性质与判定，熟练掌握解直角三角形的方法是解题的关键． （1）直接解即可得到答案； （2）①分别在和中求出和的长，即可求解；②过点作，垂足为．则四边形是矩形．得出，可得．在中， 利用，列式求解即可． 【详解】（1）解：在中，， ∴； 答：的长为； （2）解：①在中，， ． 在中，， ∴． ．即的长为． ②如图，过点作，垂足为． 根据题意，， 四边形是矩形． ． ∴． 在中，， ， ∴． ． 答：塔的高度约为． 5．渠县賨人谷是国家级旅游景区，以“奇山奇水奇石景，古賨古洞古部落”享誉巴渠，被誉为川东“小九寨”．端坐在观音崖旁的一块奇石似一只“啸天犬”，昂首向天，望穿古今．一个周末，某数学兴趣小组的几名同学想测出“啸天犬”上嘴尖与头顶的距离．他们把蹲着的“啸天犬”抽象成四边形，想法测出了尾部看头顶的仰角为，从前脚落地点看上嘴尖的仰角刚好．景区管理员告诉同学们，上嘴尖到地面的距离是．请你算下： (1)的长度； (2)的长度．（结果精确到．参考数据：；） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确作垂线，构造直角三角形是解题的关键． （1）解直角三角形即可； （2）过点作于点，过点作于点，解，求出，，则，那么，而，再由勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∵， ∴， 答：的长度为； （2）解：过点作于点，过点作于点， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ 答：的长度为． 类型二、坡度问题 1．2024年，元宵节迎春烟花秀在人民广场震撼上演，欢乐、祥和、喜庆、热烈的节日氛围再次拉满，欢欢和喜喜两位同学相约去人民广场看烟花，并测量烟花的燃放高度．如图，欢欢从点出发，沿坡度的山坡走了130米到达坡顶点，喜喜则沿点正东方向到达离点水平距离40米的点观看，此时烟花在与，同一水平线上的点处点燃，一朵朵灿烂的烟花在点的正上方点绽放，欢欢在坡顶处看烟花绽放处的仰角为，喜喜在处测得点的仰角为（点，，，，在同一平面内）．（参考数据：，） (1)求欢欢从斜坡处走到处上升的高度； (2)烟花燃放结束后，欢欢和喜喜两位同学来到烟花燃放地帮忙清理现场的垃圾，他们清理时发现刚才燃放的烟花盒子上的说明书写着烟花的燃放高度为米，请你帮他们计算一下说明书写的烟花燃放的高度（图中DE）是否属实？ 【答案】(1)欢欢从斜坡走到处上升的高度为50米 (2)烟花燃放的高度属实 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用： （1）过点作，解即可； （2）过点作于点，设，分别解，进行求解即可． 【详解】（1）解：过点作于G， 由题意，得：， 设，则， ∴， ∴， ∴； 答：高度上升了50米； （2）解：作于，则四边形是矩形， 由（1）知米， 米，米，米， 又， ． ． 在中，，， ∵ ． ．     （米）． ． 答：烟花燃放的高度属实． 2．如图，信号塔坐落在山丘的一侧，某维护人员为了测量信号塔的高度，他在山脚下的点处测得塔尖的仰角为，再沿着坡度为的斜坡向上走了米到达点处，此时测得塔尖的仰角为．(图中各点均在同一平面内) (1)求点到地面的距离； (2)求信号塔的高度(结果保留根号)； (3)若维护人员从点处沿水平方向前行一段距离到点处，测得塔尖的仰角为，求的长度． 【答案】(1)米 (2)米 (3)米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键； （1）过点作，垂足为，根据得出，进而根据．即可求解； （2）设米，得出)米，米，解，即可求得的长； （3）解，得出米，根据，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作，垂足为． 坡度，米， ， ． 在中． 米． （2）由（1）可得，米． 如图，过点作，垂足为． 设米， ， 米． )米，米． 在中，， 米． （3）在中，， 即 米． 由（2）可得(米)． (米)． 3．如图，某校一幢综合楼的楼顶竖有一块“启智求真，健体尚美”的宣传牌．该校九年级班在一次数学活动课中进行实地测量，在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为，米，米，已知斜坡的坡角为，参考数据：，，，；精确到米 (1)求综合楼的高度； (2)求宣传牌的高度． 【答案】(1)综合楼的高度为 (2)宣传牌的高度为 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据正切的定义求出； 过点B作于F，，交的延长线于G，解求出，进而求出，结合图形计算，得到答案． 【详解】（1）解：在中，，米， ， ， 答：综合楼的高度约为； （2）解：如图，过点B作于F，，交的延长线于G， 则四边形为矩形， ，， 由题意得，而米， ∴在中，， ， ，， ， ， 答：宣传牌的高度约为． 4．如图，一楼房后有一假山，其坡度为，山坡坡面上点处有一休息亭，测得假山坡脚与楼房水平距离米，与亭子距离米，小丽从楼房顶测得点的俯角为，求楼房的高． 【答案】楼房的高为米． 【分析】解题思路为通过作辅助线构造直角三角形，利用坡度求出相关线段长度，再结合俯角的三角函数关系求出楼房高度．本题主要考查了解直角三角形的应用 - 坡度坡角问题、俯角仰角问题，熟练掌握坡度的定义以及三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：过点作的延长线于，于点． 在中，， 米，米 米，米 在中，， 米 米， 答：楼房AB的高为米． 5．如图，某大楼正前方有一栋小楼，小明从大楼顶端A测得小楼顶端E的俯角为，小楼底端D到大楼前梯坎的底端C有80米，梯坎长65米．梯坎的坡度，求大楼的高度（结果精确到1米，参考数据：，，，） 【答案】203米 【详解】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 根据题意可得：，从而可得，，再根据已知易得，从而设米，则米，然后在中，利用勾股定理可求出，的长，从而求出，的长，最后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【分析】解：如图： 由题意得：，， ∴，， ∵梯坎的坡度， ∴ ∴设米，则米， 在中，， ∵米， ∴， ∴， ∴米，米， ∵米， ∴（米）， 在中，（米）， 在中，（米）， ∴（米）， ∴大楼的高度约为203米． 类型三、方位角问题 1．如图，在同一平面内，今年国庆，小明和小红两位同学都在某景区游玩，他们决定在游客中心汇合，已知景点位于景点的正北方向，游客中心位于景点的正东方向，景点位于游客中心的西北方向6千米，景点位于点的北偏东方向且在游客中心的正北方向．（参考数据：） (1)求的长度（结果保留一位小数）； (2)小明从景点乘坐索道沿着方向前往游客中心，小红从景点乘坐观光车沿着方向前往游客中心，若小明和小红同时出发，索道和观光车均保持匀速行驶，并且索道的速度是观光车速度的倍，上下车和上下索道的时间忽略不计，在运动过程中，当小明位于小红的北偏东时，小红与游客中心的距离是多少？（结果保留一位小数） 【答案】(1)千米 (2)千米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）过点作于点，则，在中， 可得，在中，可得，即可求解； （2）设，则，可得，在中，可得，从而得到，在中，可得，可求出，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，则， 在中，， ， 由题可得，， 在中， ， 千米， 即的长度为千米． （2）解：如图，由题意，设，则， ， ， 在中，， ， 在中，， ， 即， 解得：， ∴千米， 即小红与游客中心点的距离是千米． 2．国庆假期，小明和小蓝怀着对革命历史的崇敬，从某红色景区入口．开启红色之旅．因参观的景点不同，两人决定各自沿不同路线参观，再到达位于入口A正东方向的景点处汇合．如图为路线平面示意图，小明从入口出发，沿北偏东方向走到达景点，参观24分钟，接着沿东南方向到达景点、小蓝从入口出发，沿北偏东方向到达景点，参观15分钟后，沿南偏西方向到达景点．（参考数据：，， (1)求入口与景点之间的距离；（结果精确到） (2)若小明步行的速度为，小蓝步行的速度为，且两人同时出发，请计算并说明小明和小蓝谁先到达景点？（结果精确到） 【答案】(1) (2)小蓝先到 【分析】该题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，理解题意是解题的关键． （1）根据题意可得，，，如图，过点作，求出，，再根据勾股定理即可求解． （2）如图，过点作交的延长线于点，则，根据，求出，从而求出，根据（1）可得，再分别算出小明和小蓝的步行时间，比较即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可得，，， 如图，过点作， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图，过点作交的延长线于点， 则， ∴， ∴， 解得：， ∴， 根据（1）可得， ∴小明步行时间， 小蓝步行时间， ， ∴小蓝先到． 3．如图，是某动物园入口，、、是入口附近的三个展区，小明和小华相约从入口一起去参观，但由于兴趣不同，两人决定先沿不同的路线参观，再到达展区汇合．如图是路线平面示意图，已知展区在起点的东北方向，小明从起点出发沿正北方向走了900米到展区，在展区参观10分钟，再沿北偏东的方向走一段路即可到达展区．小华从起点出发向正东方向走到展区，在展区参观14分钟，再沿北偏东方向走一段路即可到达展区．（参考数据：） (1)求的长度；（结果保留根号） (2)已知小明的平均速度为90米/分钟，小华的平均速度为100米/分钟，若两人同时出发，请通过计算说明谁会先到达展区？（结果精确到0.1） 【答案】(1)米 (2)小华先到 【分析】本题考查解直角三角形的应用——方位角问题，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，作辅助线构造直角三角形是解题的关键． （）过点作于点，则，故有为等腰直角三角形，，从而求出，又米，然后用线段和差即可求解； （）过点作延长线于点，求出，在中，，，则，在中，，，所以，，然后求出所花时间，再比较即可． 【详解】（1）解：过点作于点，则， 由题意得：，米， ∴， ∴为等腰直角三角形，， ∴，即， ∴米， ∴（米）， ∴（米）， 答：的长度约为米； （2）解：如图，过点作延长线于点， 在中，，米， ∴米， 在中，，（米）， ∴（米）， 在中，，（米）， ∴（米），（米）， ∴米， ∴小明所花时间：（分），小华所花时间：（分）， ∵， ∴小华先到达展区． 4．中秋乐游，明月湖畔，月圆人团圆．中秋佳节将至，明月湖公园设置了如图所示A、B、C、D四个打卡点，四个打卡点位于同一平面内，B在A的正东方向，C在B的正北方向，D在A的北偏东方向且在C的北偏西方向，千米，千米． (1)求的长度；（结果保留根号） (2)小南和小开分别从D、A打卡点同时出发，小南以的速度从D打卡点沿方向步行至A打卡点，小开以的速度从A打卡点沿方向跑步至B打卡点，请通过计算说明，小南出发多少千米后恰好与小开相距千米？（结果保留小数点后两位，参考数据：，） 【答案】(1)千米 (2)千米 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，作出辅助线并正确地进行计算是解题关键． （1）如图，过D作于H，过C作于E，证明四边形为矩形，分别求解，，，，可得答案； （2）如图，设出发小时后，小南到达点，小开到达点，他们之间的距离千米，则千米，千米，连接，过点M作于点F，分别用含x的代数式表示出、、，再利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：过D作于H，过C作于E， ∵， ∴四边形是矩形， ∴千米，， 根据题意得，，，而千米， ∴（千米）， ∴千米，（千米）， ∵， ∴千米， ∴（千米）； （2）解：如图，设出发小时后，小南到达点，小开到达点，他们之间的距离千米，则千米，千米， 连接，过点M作于点F， 由（1）可得千米， ∴千米，在左边， ∵， ∴千米，千米， ∴千米， 在中，， ∴， 解得或（舍去）， ∴千米； 即小南出发千米后恰好与小开相距千米． 5．为加强凤中教共体教师联合教研，促进教育优质均衡发展，张老师和王老师从各自学校出发前往总校参加数学联合教研活动，经勘测，如图，公交站点在张老师学校点的正北方200米处，王老师学校点在点的正东方600米处，点在点的东北方向，点在点的正东方，总校点在点的正北方，点在点的北偏东方向（参考数据：， (1)求的长度；（结果精确到1米） (2)张老师的路线是从点步行至点再乘坐公交车前往点，假设张老师步行的平均速度为80米/分，公交车匀速行驶且速度为250米/分，公交车行驶途中，上下客合计耗时2分钟（张老师上车和下车时间忽略不计），王老师全程步行，他从点经过点买水（买水时间忽略不计）再前往点，假设王老师步行平均速度为100米/分，请问张老师和王老师谁先到达总校点呢？说明理由． 【答案】(1)的长度为283米 (2)王老师先到总校点，理由见解析 【分析】本题主要考查了方位角、等腰直角三角形、解直角三角形、勾股定理等知识点，灵活应用相关知识是解题的关键， （1）如图：过点作交于点，由题意得：米，米，易得是等腰直角三角形，则米，再利用勾股定理求解即可； （2）由题意可得米，再求得，然后解直角三角形可得（米）、（米）；再根据时间、路程、速度的关系求得张老师、王老师所用的时间，然后再比较即可解答． 【详解】（1）解：如图：过点作交于点， 由题意得：米，米， ， 是等腰直角三角形， 米， （米）． 答：的长度为283米． （2）解：， 米， 点在点的北偏东方向， ， （米），（米）， 张老师花费时间 王老师花费时间（分） 王老师花费时间更少 答：王老师先到总校点． 类型四、支架问题 1．如图1是某小车侧面示意图，图2是该车后备厢开启侧面示意图，具体数据如图所示（单位：）且，，，箱盖开起过程中，点A，C，F不随箱盖转动，点B，D，E绕点A沿逆时针方向转动相同角度，分别到点，，的位置，弹簧活塞杆随之伸长．已知直线，． (1)求的长度． (2)求的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造直角三角形是解题的关键． （1）过点作于，过点作于，解，得出，进而得出，根据图示数据即可求解； （2）设，则，，，根据勾股定理得出，解方程即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点A作于P，过点作于H， 则， ∵， ∴， ∴， 在中，， 设，则， ∴， ∴， ∴， 由旋转一定角度后得到可知：旋转角度为，即，，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：设，则，，， ∵， ∴， ∴， 解得，或（舍）， ∴． 2．图是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成．图是某种工作状态下的侧面结构示意图（是基座的高，是主臂，是伸展臂，）．已知基座高度为，主臂长为，测得主臂伸展角．（参考数据：，，，） (1)求点到地面的高度； (2)若挖掘机能挖的最远处点到点的距离为，求的度数． 【答案】(1)点到地面的高度约为 (2)的度数约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点作，垂足为，延长交于点，由题意得：，，，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系求得的长； （2）在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而可知的长，利用线段的和差关系求出的长， 在中，利用锐角三角函数的定义可求出的值，从而得到的度数． 【详解】（1）解：过点作，垂足为，延长交于点， 由题意得：，，， 在中，，， ， ， 点到地面的高度约为； （2）解：由题意得：， 在中，，， ， ， ， 在中，，   ， 即的度数约为． 3．图（1）是高铁座椅靠背及小桌板打开时的实物图，其侧面可抽象成图（），支架连接靠背和小桌板，点是杯托处，此时靠背垂直于地面，小桌板平行于地面，测得，．(参考数据：，，，) (1)图（2）中，___________°； (2)靠背可以绕点旋转至与小桌板支架重合的位置，如图（），杯托处凹陷深度为，若此时乘客的水杯能竖直放在杯托处（点）． ①； ②求乘客水杯的最大高度． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题主要考查了解直角三角形的相关应用，平行线的性质等知识． （1）过点作，由平行线的性质得出，由已知条件得出，进而可求出． （2）①根据题意可知代入计算即可． ②过点作的垂线交于点F，通过解，求出，再加上即可求出答案． 【详解】（1）解：过点作， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． （2）解：①当靠背可以绕点旋转至与小桌板支架重合的位置， 由（1）知， ∴， 故答案为：． ②如图，过点作的垂线交于点F， 在中， ． 答：乘客水杯的最大高度约为． 4．实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小明同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧的示意图，已知试管，试管倾斜角为． (1)试管口与铁杆的水平距离的长度为________（结果用含非特殊角的三角函数表示） (2)实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点，且于点（点在一条直线上），测得：，求线段的长度．（结果精确到）（参考数据：） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键． （1）先求出的长，再由余弦的定义可得，据此求解即可； （2）求出的长，延长交于点，则四边形是矩形，可求出的长，进而求出的长，再证明是等腰直角三角形，求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 在中，， ∴，即， ∴， 故答案为：； （2）解：在中，∵，即， ， 由（1）得， 延长交于点，则四边形是矩形， ， ， ，， ， ， ， ∴是等腰直角三角形， ， ， 答：求线段的长度约为． 5．图1 是斜式单面展架，图2是它的侧面示意图，表示画面支撑杆， 表示展架支撑杆， 表示底座，，垂足为D，点C在 上，，画面支撑杆可绕着点C 旋转．经测量，，，． (1)求展架的高度（即点 B 到底座 的距离）； (2)一般地，展架的标准高度为，画面支撑杆 要绕着点C 顺时针旋转多少度，展架才能达到标准高度？（参考数据：，，，，，，结果保留到小数点后一位） 【答案】(1)展架的高度约为 (2)顺时针旋转约 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确理解题意，并作适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）过点B作 ，交的延长线于点 G，根据求解即可； （2）过点作 于点 P，则，根据，可得，即可求得答案． 【详解】（1）解：如图，过点B作 ，交的延长线于点 G， ， ∴点 B 到底座 的距离为， ， ， ，， ，，， ， ， 答：展架的高度约为； （2）解：如图，将线段绕着点 C 顺时针旋转到的位置， 此时到底座的距离为， 过点作 于点 P， 则，， ∵， ， ， ， ， 答：画面支撑杆要绕着点 C顺时针旋转，展架才能达到标准高度． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $