24.1.3 弧 弦 圆心角 课件2025-2026学年人教版九年级数学上册

第二十四章 圆 24.1 圆的有关性质 24.1.3 圆心角、弧、弦 1.掌握圆的中心对称性和旋转不变性. 2.理解圆心角的概念，探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题.（重点） 3.理解圆心角关系定理中的“在同圆或等圆中”条件的意义.（难点） 学习目标 圆是中心对称图形。 . 1.将圆绕圆心旋转180°后，得到的图形与原图形重合吗？ 探究 由此你得到什么结论呢？ 重合 观察 1. 将圆绕圆心旋转 180° 后，得到的图形与原图形重合吗？由此你得到什么结论呢？ 重合， 圆是中心对称图形. . O A B 180° 知识点：圆心角、弧、弦之间的关系 2. 把圆绕圆心 O 顺时针旋转 45°、90° ，所得图形与原图形重合吗？旋转任意角度呢？ A A′ B B′ 旋转角______ = 45° 旋转角______ = 90° ∠AOA′ ∠BOB′ 仍重合. 顶点在圆心上 圆心角的定义：我们把顶点在圆心的角叫圆心角. 45° 90° 有什么特点？ 想一想 圆心角、弧、弦三个量之间有什么关系？ O A B 任意给圆心角，对应出现三角量： 圆心角 ∠AOB 弦 AB 弧 　　如图，∠AOB为⊙O 的圆心角． 圆心角 　　顶点在圆心的角叫做圆心角． B A 　　圆心角∠AOB所对的弦为AB，所对的弧为 ． O 　　判断下列各图中的角是不是圆心角． 不是 是 不是 是 不是 练习 O O O O O 两个圆心角 两条弦 两条弧 知一求二 弧、弦、圆心角之间的关系 1.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等. 2.在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等. 3.在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等. 9 思考 “在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.”可否把“在同圆或等圆中”去掉？ B' A' O B A AB=A'B' ∠AOB∠A'OB' 前提条件“在同圆或等圆中”一定不能丢. 10 在 中，相等的圆心角所对的 ，所对的 ． ①∠AOB = ∠COD ③ AB = CD 要点归纳 弧、弦与圆心角的关系定理 A B O D C ② 同圆或等圆 弧相等 弦也相等 在 中，如果两条 ，那么它们所对的 ，所对的 ． 弧、弦与圆心角关系定理的推论 类比探究可得 在 中，如果两条 ，那么它们所对的 ，所对的 分别相等． 同圆或等圆 弧相等 圆心角相等 弦相等 同圆或等圆 弦相等 圆心角相等 优弧和劣弧 证明： ∴ AB=AC，△ABC是等腰三角形 又∠ACB=60° ∴△ABC是等边三角形 ∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC 如图，在⊙O中，AB=AC ，∠ACB=60° 求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC A B C O ⌒ ⌒ ∵AB=AC ⌒ ⌒ 典例解析 ∴ AB=BC=CA 练习 如图，AB，CD是⊙O的两条弦． 如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F， OE与OF相等吗？为什么？ · C A B D E F O 答：OE=OF， 理由如下： 连结OA，OC ∵ OE⊥AB，OF⊥CD   ∵AB=CD ∴ AE=CF 又∵OA=OC ∴ OE=OF (3) 圆心角相等，所对的弦相等. （ ） (2) 等弧所对的弦相等. （ ） (1) 等弦所对的弧相等. （ ） × × √ 1、判断正误： 当堂检测 2、如图，AB、CD 是⊙O 的两条弦． （1）如果 AB = CD，那么_________，__________ __； （2）如果 ， 那么_________， ； （3）如果∠AOB =∠COD， 那么_________，________； AB = CD AB = CD AB = CD ( ( ∠AOB =∠COD ∠AOB =∠COD AB = CD ( ( AB = CD ( ( · C A B D O 15 · C A B D E F O （4）如果 AB = CD，OE⊥AB 于 E，OF⊥CD 于 F，那么 OE 与 OF 相等吗？为什么？ 解：OE = OF. 理由如下： ∵ OE⊥AB，OF⊥CD， ∵ AB = CD， ∴ AE = CF. ∵ OA = OC， ∴ Rt△AOE≌Rt△COF (HL). ∴ OE = OF. ∴ 基础练习 1. 如果两个圆心角相等，那么 ( ) A．这两个圆心角所对的弦相等 B．这两个圆心角所对的弧相等 C．这两个圆心角所对的弦和弧分别相等 D．以上说法都不对 D 2. 如图，C 为 的中点，CN⊥OB 于 N，弦 CD⊥OA于 M，CN = 4 cm，则 CD =_______cm. 8 4. 如图，AB，CD 是⊙O 的两条弦． （1）如果 AB = CD，那么_________，_______________； （2）如果 ， 那么_________，__________________； （3）如果∠AOB =∠COD， 那么_________，________. · C A B D O AB = CD AB = CD AB = CD ( ( ∠AOB =∠COD ∠AOB =∠COD AB = CD ( ( AB = CD ( ( 随 堂 练 习 （4）如果 AB = CD，OE⊥AB 于 E，OF⊥CD 于 F，那么 OE 与 OF 相等吗？为什么？ · C A B D O 解：OE = OF. 理由如下： ∵ OE⊥AB，OF⊥CD， ∵ AB = CD， ∴ AE = CF. ∵ OA = OC， ∴ Rt△AOE≌Rt△COF . ∴ OE = OF. ∴ 随 堂 练 习 6. 如图，A,B是⊙O上的两点，∠AOB=120°，C是AB的中点，求证：四边形OACB是菱形. 综合应用 ⌒ 证明：∵C是AB的中点， ∴AC=BC，∴AC=BC, ∠AOC=∠BOC= ∠AOB=60°. 又∵OA=OC=OB, ∴△AOC与△BOC是等边三角形. ∴∠A=60°. 又∠AOB=120°, ∴AC∥OB. ∵AC=OC=OB, ∴四边形OACB是平行四边形. 又OA=AC, ∴四边形OACB是菱形. ⌒ ⌒ ⌒ 7.如图，在⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB=CD． (1)求证：△AEC≌△DEB； (2)点B与点C关于直线OE对称吗？试说明理由． 拓展延伸 (1)证明：连接AD. ∵AB=CD, ∴AB=CD. ∴AB-AD=CD-AD. 即BD=AC. ∴BD=AC. 在△ADB和△DAC中， ∴△ADB≌△DAC(SSS). ∴∠ABD＝∠DCA. 在△AEC和△DEB中， ∠DCA＝∠ABD, ∠AEC＝∠DEB, AC=BD, ∴△AEC≌△DEB(AAS). ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ $