第九单元 对数-【学霸笔记】2025-2026学年高中数学必修第一册单元培优双测卷（人教A版）

第九单元 对数 （时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共计40分,每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的,请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上 1.[2025安徽师大附中高一月考改编]计算:log28+=(　　) A.17 B.3+ C.52 D.3+ 2.【教材变式】[2024贵阳师大附中高一月考]使式子log(3x-1)(2-x)有意义的x的取值范围是(　　) A.(,2) B.(,)∪(,2) C.(2,+∞) D.(-∞,2) 3.[2025上海市嘉定区高一期末]已知log52=a,5b=3,则log512=(　　) A.2a+b B.2ab C.a2+b D.a2b 4.[2025上海大学附中高一期中]“ln成立”是“ln M-ln N成立”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.既不充分也不必要条件 D.充要条件 5.[2024河南省许昌市高一期末]log3[log4(log5x)]=0,则x=(　　) A.64 B.125 C.256 D.625 6.[2024山东省实验中学高一月考]若lo(log2x)=lo(log3y)=lo(log5z)=1,则(　　) A.x<y<z B.x<z<y C.z<x<y D.z<y<x 7.【学科综合】[2025重庆一中、重庆八中等校联考]血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数.人体的血氧饱和度正常范围是95%~100%,当血氧饱和度低于90%时,需要吸氧治疗,在环境模拟实验室的某段时间内,可以用指数模型:S(t)=S0eKt描述血氧饱和度S(t)随给氧时间t(单位:时)的变化规律,其中S0为初始血氧饱和度,K为参数.已知S0=60%,给氧1小时后,血氧饱和度为80%.若使得血氧饱和度达到90%,则至少还需要给氧(　　) (精确到0.1,参考数据:ln 2≈0.69,ln 3≈1.10) A.0.5小时 B.0.6小时 C.0.7小时 D.0.9小时 8.【探索新定义】[2025郑州外国语学校高一月考]数学上用“∏”表示连乘运算,例如:n=1×2×3×…×99×100.设函数f(n)=log(n+1)(n+2)(n∈N*),记S=f(n),m∈N*,则使4S>100成立的m的最小值为(　　) A.8 B.9 C.10 D.11 2、 选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.[2025保定一中高一月考]若x>0,y>0,n≠0,m∈R,则下列各式中,恒等的是(　　) A.lg x+lg y=lg(x+y) B.lg =lg x-lg y C.loyn=logxy D.lg = 10.[2025大庆实验中学高一期中]已知m,n∈(0,1)∪(1,+∞),若logm2=,logn2=,则下列说法正确的是(　　) A.若a=2,则mn=2 B.mn= C.若mn=1,则a=1 D.若=4,则a=1 11.[2024长沙一中高一月考]已知a>0,b>0,且ln a+ln b=ln(a+2b),则(　　) A.ab≥8 B.a+2b≥8 C.eln(ab)·eln(a+2b)=a(a+2b) D.log2(a-2)·log2(b-1)≤ 三、填空题:本大题共3 小题，每小题5分，共计15 分 12.[2025温州中学高一下开学考试]若函数f(x-1)=ex,则f(1+ln 2)的值为　　　　.  13.[2025青岛二中高一调研]已知实数m,n满足2m=5n=10,则+的值为　　　　.  14.[2025深圳实验学校高一阶段考试]甲、乙两人同时解关于x的方程:log2x+b+clogx2=0.甲写错了常数b,得两根为及;乙写错了常数c,得两根为及64,则这个方程的真正的根为　　　　.  四、解答题:本题共5小题，共77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)[2025山西大学附中高一月考改编]计算: (1)log3++log23·log94+log32128; (2)log35·log57·log79+(lg 2)2+lg 2·lg 5+lg 5-ln(ln e)+. 16.(15分)【教材变式】[天星原创] (1)若xlog32=1,求4x+4-x的值. (2)设a,b,c都是正数,且3a=4b=6c,证明:+=. 17.(15分)[2024大连二十四中高一期中] (1)已知lg 2=a,lg 3=b,试用a,b表示log4518; (2)已知lg x+lg y=2lg(y-2x),求lo的值. 18.(17分)【学科综合】[2024巴蜀中学高一期末]我们知道,声音通过空气传播时会引起区域性的压强值改变,物理学中称为声压,用P表示(单位:Pa),声压级S(单位:dB)表示声压的相对大小.已知声压级S与声压P和基准声压P0=2×10-5 Pa的比值的常用对数值成正比,即S=klg(k是比例系数).已知当声压级S提高60 dB时,声压P会变为原来的1 000倍. (1)求声压级S关于声压P的函数解析式. (2)已知两个不同的声源产生的声压P1,P2叠加后得到的总声压P=,而一般当声压级S<45 dB时人类是可以正常的学习和休息的.现窗外同时有两个声压级为40 dB的声源,在不考虑其他因素的情况下,请问这两个声源叠加后是否会干扰我们正常的学习?并说明理由.(参考数据:lg 2≈0.3) 19.(17分)[重庆南开中学高一阶段练习]对数的运算性质降低了运算的级别,简化了运算,在数学发展史上是伟大的成就. (1)对数运算性质的推导有很多方法,请同学们推导如下的对数运算性质:如果a>0,且a≠1,M>0,那么logaMn=nlogaM(n∈R). (2)请你运用上述对数运算的性质解决下列问题:围棋和魔方都是能锻炼思维的益智游戏,围棋复杂度的上限约为M=3361,二阶魔方复杂度的上限约为N=560×38,甲、乙两个同学都估算了的近似值,甲认为是10160,乙认为是10165.现有一种定义:若实数x,y满足|x-m|<|y-m|,则称x比y更接近m,试判断哪个同学的近似值更接近,并说明理由.(参考数据:lg 2≈0.30,lg 3≈0.48,lg 7≈0.85) 学科网（北京）股份有限公司 $ 第九单元 对数 （时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共计40分,每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的,请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上 1.[2025安徽师大附中高一月考改编]计算:log28+=(　　) A.17 B.3+ C.52 D.3+ 1.C　log28+=3+=3+=3+72=52. 2.【教材变式】[2024贵阳师大附中高一月考]使式子log(3x-1)(2-x)有意义的x的取值范围是(　　) A.(,2) B.(,)∪(,2) C.(2,+∞) D.(-∞,2) 2.B　若式子log(3x-1)(2-x)有意义,则满足解得<x<2且x≠. 3.[2025上海市嘉定区高一期末]已知log52=a,5b=3,则log512=(　　) A.2a+b B.2ab C.a2+b D.a2b 3.A　由5b=3,得b=log53,又a=log52,∴log512=log53+log54=log53+2log52=b+2a. 4.[2025上海大学附中高一期中]“ln成立”是“ln M-ln N成立”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.既不充分也不必要条件 D.充要条件 4.B　若ln成立,则>0,分为和两种情况,但时不能推出ln M-ln N成立,故充分性不成立;而ln M-ln N成立一定能推出ln成立,故必要性成立.所以“ln成立”是“ln M-ln N成立”的必要不充分条件. 5.[2024河南省许昌市高一期末]log3[log4(log5x)]=0,则x=(　　) A.64 B.125 C.256 D.625 5.D　∵log3[log4(log5x)]=0,∴log4(log5x)=1,∴log5x=4,∴x=54=625. 6.[2024山东省实验中学高一月考]若lo(log2x)=lo(log3y)=lo(log5z)=1,则(　　) A.x<y<z B.x<z<y C.z<x<y D.z<y<x 6.C　由条件可知,log2x=,log3y=,log5z=,则x=,y=,z=,x6=()6=8,y6=()6=9,x6<y6,又x>0,y>0,所以x<y;y15=()15=35=243,z15=()15=125,则y15>z15,又y>0,z>0,所以y>z;x10=()10=32,z10=()10=25,则x10>z10,又x>0,z>0,所以x>z.综上可知,z<x<y. 7.【学科综合】[2025重庆一中、重庆八中等校联考]血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数.人体的血氧饱和度正常范围是95%~100%,当血氧饱和度低于90%时,需要吸氧治疗,在环境模拟实验室的某段时间内,可以用指数模型:S(t)=S0eKt描述血氧饱和度S(t)随给氧时间t(单位:时)的变化规律,其中S0为初始血氧饱和度,K为参数.已知S0=60%,给氧1小时后,血氧饱和度为80%.若使得血氧饱和度达到90%,则至少还需要给氧(　　) (精确到0.1,参考数据:ln 2≈0.69,ln 3≈1.10) A.0.5小时 B.0.6小时 C.0.7小时 D.0.9小时 7.A　设使得血氧饱和度达到90%,给氧时间至少还需要(t-1)小时,由题意可得60eK=80,60eKt=90,两边同时取自然对数并整理,得K=ln=ln=ln 4-ln 3=2ln 2-ln 3,Kt=ln=ln=ln 3-ln 2,则t=≈≈1.5,则给氧时间至少还需要0.5小时. 8.【探索新定义】[2025郑州外国语学校高一月考]数学上用“∏”表示连乘运算,例如:n=1×2×3×…×99×100.设函数f(n)=log(n+1)(n+2)(n∈N*),记S=f(n),m∈N*,则使4S>100成立的m的最小值为(　　) A.8 B.9 C.10 D.11 8.B　流程化思维解题先利用换底公式化简函数f(n)的解析式→f(n)=log(n+1)(n+2)=(n∈N*) S=f(n)=××…×==log2(m+2) 4S==(m+2)2=m2+4m+4 m2+4m+4>100→m>8或m<-12 使4S>100成立的m的最小值为9. 2、 选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.[2025保定一中高一月考]若x>0,y>0,n≠0,m∈R,则下列各式中,恒等的是(　　) A.lg x+lg y=lg(x+y) B.lg =lg x-lg y C.loyn=logxy D.lg = 9.BD　列表解析直观解疑惑 10.[2025大庆实验中学高一期中]已知m,n∈(0,1)∪(1,+∞),若logm2=,logn2=,则下列说法正确的是(　　) A.若a=2,则mn=2 B.mn= C.若mn=1,则a=1 D.若=4,则a=1 10.ABC　列表解析直观解疑惑 11.[2024长沙一中高一月考]已知a>0,b>0,且ln a+ln b=ln(a+2b),则(　　) A.ab≥8 B.a+2b≥8 C.eln(ab)·eln(a+2b)=a(a+2b) D.log2(a-2)·log2(b-1)≤ 11.ABD　因为ln a+ln b=ln(a+2b),所以ln(ab)=ln(a+2b),即a+2b=ab. 列表解析直观解疑惑 三、填空题:本大题共3 小题，每小题5分，共计15 分 12.[2025温州中学高一下开学考试]若函数f(x-1)=ex,则f(1+ln 2)的值为　　　　.  12.2e2　令x-1=1+ln 2,得x=2+ln 2,则f(1+ln 2)=e2+ln 2=e2·eln 2=2e2. 13.[2025青岛二中高一调研]已知实数m,n满足2m=5n=10,则+的值为　　　　.  13.1　因为2m=5n=10,所以m=log210,n=log510,所以+=+=lg 2+lg 5=lg 10=1. 14.[2025深圳实验学校高一阶段考试]甲、乙两人同时解关于x的方程:log2x+b+clogx2=0.甲写错了常数b,得两根为及;乙写错了常数c,得两根为及64,则这个方程的真正的根为　　　　.  14.4或8　原方程可变形为(log2x)2+blog2x+c=(方程两边同时乘以log2x).∵甲写错了b,得到两根为及,∴c=log2×log2=(-2)×(-3)=6(根与系数关系的应用);又∵乙写错了常数c,得到两根为及64,∴b=-(log2+log264)=-5.∴原方程为(log2x)2-5log2x+6=0,即(log2x-2)(log2x-3)=0,∴log2x=2或log2x=3,∴x=4或8. 四、解答题:本题共5小题，共77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)[2025山西大学附中高一月考改编]计算: (1)log3++log23·log94+log32128; (2)log35·log57·log79+(lg 2)2+lg 2·lg 5+lg 5-ln(ln e)+. 15.【解析】 (1)原式=log3+2+·+log22=-1+2+1+=.(6分) (2)原式=··+lg 2(lg 2+lg 5)+lg 5-ln 1+=2+lg 2+lg 5-0+8=11(log35·log57·log79也可用换底公式的一个推论:logab·logbc·logca=1,log35·log57·log79=2log35·log57·log73=2).(13分) 16.(15分)【教材变式】[天星原创] (1)若xlog32=1,求4x+4-x的值. (2)设a,b,c都是正数,且3a=4b=6c,证明:+=. 16.【解析】 (1)由xlog32=1,得x==log23,(2分) 所以4x+4-x=22x+2-2x=+=+=9+=.(7分) (2)令3a=4b=6c=k,得a=log3k,b=log4k,c=log6k, 则=logk3,=logk4,=logk6,则=logk4=logk2,(12分) 根据logk3+logk2=logk6可知,+=.(15分) 17.(15分)[2024大连二十四中高一期中] (1)已知lg 2=a,lg 3=b,试用a,b表示log4518; (2)已知lg x+lg y=2lg(y-2x),求lo的值. 17.【解析】 (1)log4518========.(7分) (2)∵lg x+lg y=2lg(y-2x),∴ 即y>2x>0,lg(xy)=lg(y-2x)2, ∴(y-2x)2=xy,即4x2-5xy+y2=0.(10分) ∵y≠0,∴4()2-+1=0,即(-1)(-1)=0, ∴=1或=. ∵y>2x>0,∴0<<,∴=符合题意,=1舍去,(13分) ∴lo=lo=-4.(15分) 18.(17分)【学科综合】[2024巴蜀中学高一期末]我们知道,声音通过空气传播时会引起区域性的压强值改变,物理学中称为声压,用P表示(单位:Pa),声压级S(单位:dB)表示声压的相对大小.已知声压级S与声压P和基准声压P0=2×10-5 Pa的比值的常用对数值成正比,即S=klg(k是比例系数).已知当声压级S提高60 dB时,声压P会变为原来的1 000倍. (1)求声压级S关于声压P的函数解析式. (2)已知两个不同的声源产生的声压P1,P2叠加后得到的总声压P=,而一般当声压级S<45 dB时人类是可以正常的学习和休息的.现窗外同时有两个声压级为40 dB的声源,在不考虑其他因素的情况下,请问这两个声源叠加后是否会干扰我们正常的学习?并说明理由.(参考数据:lg 2≈0.3) 18.【解析】 (1)由题意得,klg+60=klg,klg+60=k(3+lg),所以3k=60,k=20,(5分) 所以声压级S关于声压P的函数解析式为S=20lg.(8分) (2)不会干扰我们正常的学习.(9分) 理由如下: 第一步:将S=40代入解析式求出声压 将S=40代入S=20lg,得lg=2,所以=102,解得P=2×10-3,即P1=P2=2×10-3.(12分) 第二步:根据P=求出两个声源叠加后的声压,代入解析式可求得对应的声压级 P==P1=2×10-3,代入S=20lg得,S=20lg=20lg(×102)=40+10lg 2≈43.(16分) 第三步:将求出的声压级与45比较大小,判断是否会干扰学习 因为43<45, 所以不会干扰我们正常的学习.(17分) 19.(17分)[重庆南开中学高一阶段练习]对数的运算性质降低了运算的级别,简化了运算,在数学发展史上是伟大的成就. (1)对数运算性质的推导有很多方法,请同学们推导如下的对数运算性质:如果a>0,且a≠1,M>0,那么logaMn=nlogaM(n∈R). (2)请你运用上述对数运算的性质解决下列问题:围棋和魔方都是能锻炼思维的益智游戏,围棋复杂度的上限约为M=3361,二阶魔方复杂度的上限约为N=560×38,甲、乙两个同学都估算了的近似值,甲认为是10160,乙认为是10165.现有一种定义:若实数x,y满足|x-m|<|y-m|,则称x比y更接近m,试判断哪个同学的近似值更接近,并说明理由.(参考数据:lg 2≈0.30,lg 3≈0.48,lg 7≈0.85) 19.【解析】 (1)方法一　设logaM=m,∴am=M, ∴Mn==amn,∴logaMn=mn=nlogaM.(7分) 方法二　∵=amn,设am=M, ∴Mn=amn,∴mn=logaMn, ∵m=logaM, ∴logaMn=nlogaM.(7分) (2)第一步:根据题设条件用分式表达 M=3361,N=560×38,则==.(8分) 第二步:两边同时取对数,运用对数的运算性质算出的值 lg=lg 3353-lg 560=353lg 3-lg 7-3lg 2-1≈353×0.48-0.85-0.9-1=166.69, ∴≈10166.69.(13分) 第三步:根据题目定义判断出谁的近似值更接近 ∵|10165-10166.69|<|10160-10166.69|, ∴乙同学的近似值更接近.(17分) 学科网（北京）股份有限公司 $ 参考答案 1.C　log28+=3+=3+=3+72=52. 2.B　若式子log(3x-1)(2-x)有意义,则满足解得<x<2且x≠. 3.A　由5b=3,得b=log53,又a=log52,∴log512=log53+log54=log53+2log52=b+2a. 4.B　若ln成立,则>0,分为和两种情况,但时不能推出ln M-ln N成立,故充分性不成立;而ln M-ln N成立一定能推出ln成立,故必要性成立.所以“ln成立”是“ln M-ln N成立”的必要不充分条件. 5.D　∵log3[log4(log5x)]=0,∴log4(log5x)=1,∴log5x=4,∴x=54=625. 6.C　由条件可知,log2x=,log3y=,log5z=,则x=,y=,z=,x6=()6=8,y6=()6=9,x6<y6,又x>0,y>0,所以x<y;y15=()15=35=243,z15=()15=125,则y15>z15,又y>0,z>0,所以y>z;x10=()10=32,z10=()10=25,则x10>z10,又x>0,z>0,所以x>z.综上可知,z<x<y. 7.A　设使得血氧饱和度达到90%,给氧时间至少还需要(t-1)小时,由题意可得60eK=80,60eKt=90,两边同时取自然对数并整理,得K=ln=ln=ln 4-ln 3=2ln 2-ln 3,Kt=ln=ln=ln 3-ln 2,则t=≈≈1.5,则给氧时间至少还需要0.5小时. 8.B　流程化思维解题先利用换底公式化简函数f(n)的解析式→f(n)=log(n+1)(n+2)=(n∈N*) S=f(n)=××…×==log2(m+2) 4S==(m+2)2=m2+4m+4 m2+4m+4>100→m>8或m<-12 使4S>100成立的m的最小值为9. 9.BD　列表解析直观解疑惑 10.ABC　列表解析直观解疑惑 11.ABD　因为ln a+ln b=ln(a+2b),所以ln(ab)=ln(a+2b),即a+2b=ab. 列表解析直观解疑惑 12.2e2　令x-1=1+ln 2,得x=2+ln 2,则f(1+ln 2)=e2+ln 2=e2·eln 2=2e2. 13.1　因为2m=5n=10,所以m=log210,n=log510,所以+=+=lg 2+lg 5=lg 10=1. 14.4或8　原方程可变形为(log2x)2+blog2x+c=(方程两边同时乘以log2x).∵甲写错了b,得到两根为及,∴c=log2×log2=(-2)×(-3)=6(根与系数关系的应用);又∵乙写错了常数c,得到两根为及64,∴b=-(log2+log264)=-5.∴原方程为(log2x)2-5log2x+6=0,即(log2x-2)(log2x-3)=0,∴log2x=2或log2x=3,∴x=4或8. 15.【解析】 (1)原式=log3+2+·+log22=-1+2+1+=.(6分) (2)原式=··+lg 2(lg 2+lg 5)+lg 5-ln 1+=2+lg 2+lg 5-0+8=11(log35·log57·log79也可用换底公式的一个推论:logab·logbc·logca=1,log35·log57·log79=2log35·log57·log73=2).(13分) 16.【解析】 (1)由xlog32=1,得x==log23,(2分) 所以4x+4-x=22x+2-2x=+=+=9+=.(7分) (2)令3a=4b=6c=k,得a=log3k,b=log4k,c=log6k, 则=logk3,=logk4,=logk6,则=logk4=logk2,(12分) 根据logk3+logk2=logk6可知,+=.(15分) 17.【解析】 (1)log4518========.(7分) (2)∵lg x+lg y=2lg(y-2x),∴ 即y>2x>0,lg(xy)=lg(y-2x)2, ∴(y-2x)2=xy,即4x2-5xy+y2=0.(10分) ∵y≠0,∴4()2-+1=0,即(-1)(-1)=0, ∴=1或=. ∵y>2x>0,∴0<<,∴=符合题意,=1舍去,(13分) ∴lo=lo=-4.(15分) 18.【解析】 (1)由题意得,klg+60=klg,klg+60=k(3+lg),所以3k=60,k=20,(5分) 所以声压级S关于声压P的函数解析式为S=20lg.(8分) (2)不会干扰我们正常的学习.(9分) 理由如下: 第一步:将S=40代入解析式求出声压 将S=40代入S=20lg,得lg=2,所以=102,解得P=2×10-3,即P1=P2=2×10-3.(12分) 第二步:根据P=求出两个声源叠加后的声压,代入解析式可求得对应的声压级 P==P1=2×10-3,代入S=20lg得,S=20lg=20lg(×102)=40+10lg 2≈43.(16分) 第三步:将求出的声压级与45比较大小,判断是否会干扰学习 因为43<45, 所以不会干扰我们正常的学习.(17分) 19.【解析】 (1)方法一　设logaM=m,∴am=M, ∴Mn==amn,∴logaMn=mn=nlogaM.(7分) 方法二　∵=amn,设am=M, ∴Mn=amn,∴mn=logaMn, ∵m=logaM, ∴logaMn=nlogaM.(7分) (2)第一步:根据题设条件用分式表达 M=3361,N=560×38,则==.(8分) 第二步:两边同时取对数,运用对数的运算性质算出的值 lg=lg 3353-lg 560=353lg 3-lg 7-3lg 2-1≈353×0.48-0.85-0.9-1=166.69, ∴≈10166.69.(13分) 第三步:根据题目定义判断出谁的近似值更接近 ∵|10165-10166.69|<|10160-10166.69|, ∴乙同学的近似值更接近.(17分) 学科网（北京）股份有限公司 $