第二单元 充分条件与必要条件、全称量词与存在量词-【学霸笔记】2025-2026学年高中数学必修第一册单元培优双测卷（人教A版）

第二单元 充分条件与必要条件、全称量词与存在量词 （时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共计40分,每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的,请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上 1.[2024长沙市德成学校高一月考]下列命题中是存在量词命题的是(　　) A.有些自然数是13的约数 B.正方形是菱形 C.能被6整除的数也能被3整除 D.∀x∈R,|x|≤0 2.[2025枣庄八中高一期末]命题“∀x∈R,x2-3x+4<0”的否定是(　　) A.∃x∉R,x2-3x+4≥0 B.∃x∈R,x2-3x+4>0 C.∃x∈R,x2-3x+4≥0 D.∀x∉R,x2-3x+4≥0 3.[2025梅州东山中学高一期末]“x>0”是“x+2>1”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.[2025杭州二中、杭州学军中学等校高一联考]设a,b,c分别是△ABC的三条边,则“△ABC为直角三角形”是“a2+b2=c2”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.[2025郑州中学高一月考]下列命题中为真命题的是(　　) A.∀x∈Q,x2∈Z B.∃x∈R,x2+1<0 C.∀x∈R,|x|>3 D.∃x∈Z,3x+1是整数 6.[2025绥化一中高一月考]元末明初小说家罗贯中的作品《三国演义》第49回有以下内容“欲破曹公,宜用火攻;万事倶备,只欠东风”,比喻一切都准备好了,只差最后一个重要的条件.你认为“东风”是“赤壁之战东吴打败曹操”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.[2025江西师大附中高一月考]下列选项中,使|x-1|<2成立的一个必要不充分条件是(　　) A.-1<x<3 B.-3<x<3 C.0<x<3 D.0<x<4 8.[2025华中师大一附中高一月考]已知集合A={x|0≤x≤a},集合B={x|m2+3≤x≤m2+4},如果命题“∃m∈R,A∩B≠∅”为假命题,则实数a的取值范围为(　　) A.{a|a<3} B.{a|0≤a<3} C.{a|0<a≤3} D.{a|0<a<3} 2、 选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.[2025宜春中学高一段考]已知p是r的充分不必要条件,q是r的充分条件,s是r的充要条件,q是s的必要条件,则(　　) A.q是s的充要条件 B.p是s的充分不必要条件 C.q是s的充分不必要条件 D.p是s的充要条件 10.【学科综合】[2025贵阳一中高一月考] 设计如图所示的四个电路图,p:“开关S闭合”,q:“灯泡L亮”,则p是q的充要条件的电路图是(　　) 11.【探索新定义】[2025东北师大附中高一阶段考试]用C(A)表示非空集合A中元素的个数,定义A*B=已知集合A={x|x2+x=0},B={x|(x2+ax)(x2+ax+1)=0},则下面结论正确的是(　　) A.∃a∈R,C(B)=3 B.∀a∈R,C(B)≥2 C.“a=0”是“A*B=1”的充分不必要条件 D.若S={a∈R|A*B=1},则C(S)=4 三、填空题:本大题共3 小题，每小题5分，共计15 分 12.【开放创新】[2024景德镇一中高一期中改编]写出使命题“二次函数y=x2-3x+9a的图象恒在x轴上方”为真命题的实数a的一个值:　　　　.  13.[2025上海同济大学一附中月考]对于实数x,y,“x2+y2<1”是“|x|<1且|y|<1”的　　　　条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)  14.[石家庄二中高一期中]已知条件p:条件q:1-m≤x≤1+m(m≥0),条件r:1-t<x≤1+2t.若p是r的充要条件,则t=　　　　.若p是q的必要不充分条件,则实数m的取值范围是　　　　.(本题第一空2分,第二空3分)  四、解答题:本题共5小题，共77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)[2025云南师大附中高一质量监测]写出下列命题的否定,并判断该命题否定的真假: (1)任何一个平行四边形的对边都平行; (2)非负数的平方是正数; (3)有的四边形没有外接圆; (4)∃x,y∈Z,使得x+y=5. 16.(15分)[2025合肥六中高一月考改编]已知p:-2≤x≤6,q:m≤x≤m+1. (1)若m=2,那么p是q的什么条件; (2)若p是q的必要不充分条件,求实数m的取值范围. 17.(15分)[2025贵阳六中、思南中学等校高一联考]已知命题p:∃x∈R,使得x2-12x+4n2=0,当命题p为真命题时,实数n的取值集合为A. (1)求集合A; (2)设非空集合B={a|3m≤a+2≤m+1},若“x∈A”是“x∈B”的必要条件,求实数m的取值范围. 18.(17分)[2025青海湟川中学高一月考]已知集合A={x|1<x<3},集合B={x|2m<x≤1-m}. (1)若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,求实数m的取值范围; (2)若命题“∀x∈B,都有x∈A”是真命题,求实数m的取值范围; (3)若命题“∃x∈A,x∈B”是真命题,求实数m的取值范围. 19.(17分)[2024新余一中高一开学考试]记关于x的方程|x2+ax+b|=2的解集为M,其中a,b∈R. (1)求M恰有3个元素的充要条件; (2)在(1)的条件下,试求:以M中的元素为边长的三角形恰好为直角三角形的充要条件. 学科网（北京）股份有限公司 $ 参考答案 1.A　有些自然数是13的约数,“有些”是存在量词,故A符合题意. 2.C　全称量词命题的否定,先将“∀”改为“∃”,再否定结论.可得命题“∀x∈R,x2-3x+4<0”的否定为“∃x∈R,x2-3x+4≥0”. 3.A　方法一　解不等式x+2>1可得x>-1,因为x>0⇒x>-1,但x>-1 x>0,所以“x>0”是“x+2>1”的充分不必要条件. 方法二　解不等式x+2>1可得x>-1,因为{x|x>0}⫋{x|x>-1},所以“x>0”是“x+2>1”的充分不必要条件. 4.B　当a=5,b=4,c=3时,易知△ABC是直角三角形,但a2+b2≠c2,所以充分性不成立;根据勾股定理逆定理,由a2+b2=c2,可得△ABC是直角三角形,所以必要性成立.所以“△ABC为直角三角形”是“a2+b2=c2”的必要不充分条件. 5.D　列表【解析】直观解疑惑 6.B　“东风”是“赤壁之战东吴打败曹操”的必要条件,但不是充分条件. 7.B　必要不充分条件 解题路线　你能区分条件p与结论q吗?→p:选项,q:|x-1|<2→p是q的必要不充分条件告诉了你什么? 不等式|x-1|<2的解集是选项构成的集合的真子集→判断. 由不等式|x-1|<2解得-1<x<3,根据充分条件、必要条件的定义可知: A(✕)-1<x<3是|x-1|<2成立的充要条件. B(√){x|-1<x<3}⫋{x|-3<x<3},-3<x<3是|x-1|<2成立的一个必要不充分条件. C(✕){x|0<x<3}⫋{x|-1<x<3},0<x<3是|x-1|<2成立的一个充分不必要条件. D(✕){x|0<x<4}与{x|-1<x<3}没有包含关系,0<x<4是|x-1|<2成立的既不充分也不必要条件. 8.A　由“∃m∈R,A∩B≠∅”为假命题得“∀m∈R,A∩B=∅”为真命题,进而分A=∅和A≠∅两种情况讨论求解即可.因为命题“∃m∈R,A∩B≠∅”为假命题,所以命题“∀m∈R,A∩B=∅”为真命题.集合A={x|0≤x≤a},集合B={x|m2+3≤x≤m2+4},当A={x|0≤x≤a}=∅时,a<0,A∩B=∅成立;当A={x|0≤x≤a}≠∅时,由“∀m∈R,A∩B=∅”得解得0≤a<3(提示:m2+3≥3).综上所述,实数a的取值范围为{a|a<3}. 9.AB　A(√)B(√)C(✕)D(✕)因为p是r的充分不必要条件,q是r的充分条件,所以p⇒r,r p,q⇒r.因为s是r的充要条件,所以s⇔r.因为q是s的必要条件,所以s⇒q.综上可得,q⇒r⇒s⇒q,p⇒r⇒s,但s⇔r p,即q是s的充要条件,p是s的充分不必要条件. 10.BD　A(✕)A中电路图,开关S闭合,灯泡L亮,而灯泡L亮,开关S不一定闭合,故A中p是q的充分不必要条件. B(√)B中电路图,开关S闭合,灯泡L亮,且灯泡L亮,则开关S闭合,故B中p是q的充要条件. C(✕)C中电路图,开关S闭合,灯泡L不一定亮,灯泡L亮,则开关S一定闭合,故C中p是q的必要不充分条件. D(√)D中电路图,开关S闭合,则灯泡L亮,灯泡L亮,则开关S闭合,故D中p是q的充要条件. 11.AC　A(√)当a=2时,B={0,-2,-1},此时C(B)=3. B(✕)当a=0时,B={0},此时C(B)=1. C(√)当a=0时,由B知C(B)=1,而A={0,-1},C(A)=2,因此A*B=1,充分性成立.当A*B=1时,因为C(A)=2,所以C(B)=1或3,若C(B)=1,则解得a=0;若C(B)=3,因为方程x2+ax=0的两个根x1=0,x2=-a都不是方程x2+ax+1=0的根,所以x2+ax+1=0有两个相等实根,则a2-4=0,解得a=±2,必要性不成立.因此“a=0”是“A*B=1”的充分不必要条件. D(✕)由C知当A*B=1时,a=0或a=±2,因此S={0,2,-2},C(S)=3. 12.1(答案不唯一,满足a>即可)　由题意,“二次函数y=x2-3x+9a的图象恒在x轴上方”为真命题,则Δ=(-3)2-4×9a<0,解得a>.故a的一个值可以为1. 13.充分不必要　由x2+y2<1,可得x2<1且y2<1,所以|x|<1且|y|<1,所以“x2+y2<1”是“|x|<1且|y|<1”的充分条件;x=y=满足|x|<1且|y|<1,但x2+y2=1,所以“x2+y2<1”不是“|x|<1且|y|<1”的必要条件.所以“x2+y2<1”是“|x|<1且|y|<1”的充分不必要条件. 14.2　{m|0≤m<2}　由条件p可得-1<x≤5,因为p是r的充要条件,所以解得t=2.因为p是q的必要不充分条件,所以解得0≤m<2. 15.【解析】 (1)原命题的否定为“存在一个平行四边形的对边不平行”,(2分) 由平行四边形的定义知原命题的否定是假命题.(3分) (2)原命题的否定为“存在一个非负数的平方不是正数”(原命题省略了全称量词“所有”,若没有察觉到这点容易只把结论中的“是”改为“不是”,从而致错),(5分) 因为02=0,不是正数,所以原命题的否定是真命题.(6分) 16.【解析】 (1)当m=2时,q:2≤x≤3,(2分) 显然{x|2≤x≤3}是{x|-2≤x≤6}的真子集,所以p是q的必要不充分条件(注:必要条件也正确).(7分) (2)若p是q的必要不充分条件,则{x|m≤x≤m+1}是{x|-2≤x≤6}的真子集,(10分) 则有或解得-2≤m≤5, 故实数m的取值范围为{m|-2≤m≤5}.(15分) 17.【解析】 (1)由题意可得方程x2-12x+4n2=0有解,(2分) 所以Δ=(-12)2-4×4n2≥0,即n2≤9,(5分) 解得-3≤n≤3, 所以A={n|-3≤n≤3}.(7分) (2)因为“x∈A”是“x∈B”的必要条件,所以B⊆A,(9分) 又因为B为非空集合,且B={a|3m-2≤a≤m-1}, 所以解得-≤m≤, 所以实数m的取值范围为{m|-≤m≤}.(15分) 18.【解析】 (1)若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,则A是B的真子集,(2分) 所以解得m≤-2,(4分) 所以实数m的取值范围为{m|m≤-2}.(5分) (2)第一步:由已知条件得集合A,B的关系 若命题“∀x∈B,都有x∈A”是真命题,则B是A的子集.(7分) 第二步:分B=∅,B≠∅求解 当B=∅时,满足B⊆A,此时2m≥1-m,得m≥;(8分) 当B≠∅时,若B⊆A,则不等式组无解.(9分) 第三步:得结论 综上,实数m的取值范围为{m|m≥}.(10分) (3)方法一　“∃x∈A,x∈B”是真命题,则A∩B≠∅,所以B≠∅,所以m<.(13分) 所以解得m<0, 所以实数m的取值范围为{m|m<0}.(17分) 方法二　“∃x∈A,x∈B”是真命题,则A∩B≠∅.(12分) 当A∩B=∅时, 若B=∅,则m≥; 若B≠∅,则或解得0≤m<. 综上,当A∩B=∅时,m≥0. 所以当A∩B≠∅时,m<0,即实数m的取值范围为{m|m<0}.(17分) 19.【解析】 (1)原方程等价于x2+ax+b=2或x2+ax+b=-2, 即x2+ax+b-2=0或x2+ax+b+2=0, 由于Δ1=a2-4b+8>a2-4b-8=Δ2, 所以当Δ2=0时,M恰有3个元素,即M恰有3个元素的充要条件是a2-4b=8.(8分) (2)必要性:由(1)知,方程x2+ax+-4=0或x2+ax+=0, 两个方程的三个根分别为--2,-+2,-, 若它们是直角三角形的三边长,则(-)2+(--2)2=(-+2)2,且--2>0, 解得a=-16,b=62.(14分) 充分性:若a=-16,b=62,可解得M={6,8,10},以6,8,10为边长的三角形恰为直角三角形. 所以a=-16,b=62为所求的充要条件.(17分) 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二单元 充分条件与必要条件、全称量词与存在量词 （时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共计40分,每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的,请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上 1.[2024长沙市德成学校高一月考]下列命题中是存在量词命题的是(　　) A.有些自然数是13的约数 B.正方形是菱形 C.能被6整除的数也能被3整除 D.∀x∈R,|x|≤0 1.A　有些自然数是13的约数,“有些”是存在量词,故A符合题意. 2.[2025枣庄八中高一期末]命题“∀x∈R,x2-3x+4<0”的否定是(　　) A.∃x∉R,x2-3x+4≥0 B.∃x∈R,x2-3x+4>0 C.∃x∈R,x2-3x+4≥0 D.∀x∉R,x2-3x+4≥0 2.C　全称量词命题的否定,先将“∀”改为“∃”,再否定结论.可得命题“∀x∈R,x2-3x+4<0”的否定为“∃x∈R,x2-3x+4≥0”. 3.[2025梅州东山中学高一期末]“x>0”是“x+2>1”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.A　方法一　解不等式x+2>1可得x>-1,因为x>0⇒x>-1,但x>-1 x>0,所以“x>0”是“x+2>1”的充分不必要条件. 方法二　解不等式x+2>1可得x>-1,因为{x|x>0}⫋{x|x>-1},所以“x>0”是“x+2>1”的充分不必要条件. 4.[2025杭州二中、杭州学军中学等校高一联考]设a,b,c分别是△ABC的三条边,则“△ABC为直角三角形”是“a2+b2=c2”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.B　当a=5,b=4,c=3时,易知△ABC是直角三角形,但a2+b2≠c2,所以充分性不成立;根据勾股定理逆定理,由a2+b2=c2,可得△ABC是直角三角形,所以必要性成立.所以“△ABC为直角三角形”是“a2+b2=c2”的必要不充分条件. 5.[2025郑州中学高一月考]下列命题中为真命题的是(　　) A.∀x∈Q,x2∈Z B.∃x∈R,x2+1<0 C.∀x∈R,|x|>3 D.∃x∈Z,3x+1是整数 5.D　列表【解析】直观解疑惑 6.[2025绥化一中高一月考]元末明初小说家罗贯中的作品《三国演义》第49回有以下内容“欲破曹公,宜用火攻;万事倶备,只欠东风”,比喻一切都准备好了,只差最后一个重要的条件.你认为“东风”是“赤壁之战东吴打败曹操”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.B　“东风”是“赤壁之战东吴打败曹操”的必要条件,但不是充分条件. 7.[2025江西师大附中高一月考]下列选项中,使|x-1|<2成立的一个必要不充分条件是(　　) A.-1<x<3 B.-3<x<3 C.0<x<3 D.0<x<4 7.B　必要不充分条件 解题路线　你能区分条件p与结论q吗?→p:选项,q:|x-1|<2→p是q的必要不充分条件告诉了你什么? 不等式|x-1|<2的解集是选项构成的集合的真子集→判断. 由不等式|x-1|<2解得-1<x<3,根据充分条件、必要条件的定义可知: A(✕)-1<x<3是|x-1|<2成立的充要条件. B(√){x|-1<x<3}⫋{x|-3<x<3},-3<x<3是|x-1|<2成立的一个必要不充分条件. C(✕){x|0<x<3}⫋{x|-1<x<3},0<x<3是|x-1|<2成立的一个充分不必要条件. D(✕){x|0<x<4}与{x|-1<x<3}没有包含关系,0<x<4是|x-1|<2成立的既不充分也不必要条件. 8.[2025华中师大一附中高一月考]已知集合A={x|0≤x≤a},集合B={x|m2+3≤x≤m2+4},如果命题“∃m∈R,A∩B≠∅”为假命题,则实数a的取值范围为(　　) A.{a|a<3} B.{a|0≤a<3} C.{a|0<a≤3} D.{a|0<a<3} 8.A　由“∃m∈R,A∩B≠∅”为假命题得“∀m∈R,A∩B=∅”为真命题,进而分A=∅和A≠∅两种情况讨论求解即可.因为命题“∃m∈R,A∩B≠∅”为假命题,所以命题“∀m∈R,A∩B=∅”为真命题.集合A={x|0≤x≤a},集合B={x|m2+3≤x≤m2+4},当A={x|0≤x≤a}=∅时,a<0,A∩B=∅成立;当A={x|0≤x≤a}≠∅时,由“∀m∈R,A∩B=∅”得解得0≤a<3(提示:m2+3≥3).综上所述,实数a的取值范围为{a|a<3}. 2、 选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.[2025宜春中学高一段考]已知p是r的充分不必要条件,q是r的充分条件,s是r的充要条件,q是s的必要条件,则(　　) A.q是s的充要条件 B.p是s的充分不必要条件 C.q是s的充分不必要条件 D.p是s的充要条件 9.AB　A(√)B(√)C(✕)D(✕)因为p是r的充分不必要条件,q是r的充分条件,所以p⇒r,r p,q⇒r.因为s是r的充要条件,所以s⇔r.因为q是s的必要条件,所以s⇒q.综上可得,q⇒r⇒s⇒q,p⇒r⇒s,但s⇔r p,即q是s的充要条件,p是s的充分不必要条件. 10.【学科综合】[2025贵阳一中高一月考] 设计如图所示的四个电路图,p:“开关S闭合”,q:“灯泡L亮”,则p是q的充要条件的电路图是(　　) 10.BD　A(✕)A中电路图,开关S闭合,灯泡L亮,而灯泡L亮,开关S不一定闭合,故A中p是q的充分不必要条件. B(√)B中电路图,开关S闭合,灯泡L亮,且灯泡L亮,则开关S闭合,故B中p是q的充要条件. C(✕)C中电路图,开关S闭合,灯泡L不一定亮,灯泡L亮,则开关S一定闭合,故C中p是q的必要不充分条件. D(√)D中电路图,开关S闭合,则灯泡L亮,灯泡L亮,则开关S闭合,故D中p是q的充要条件. 11.【探索新定义】[2025东北师大附中高一阶段考试]用C(A)表示非空集合A中元素的个数,定义A*B=已知集合A={x|x2+x=0},B={x|(x2+ax)(x2+ax+1)=0},则下面结论正确的是(　　) A.∃a∈R,C(B)=3 B.∀a∈R,C(B)≥2 C.“a=0”是“A*B=1”的充分不必要条件 D.若S={a∈R|A*B=1},则C(S)=4 11.AC　A(√)当a=2时,B={0,-2,-1},此时C(B)=3. B(✕)当a=0时,B={0},此时C(B)=1. C(√)当a=0时,由B知C(B)=1,而A={0,-1},C(A)=2,因此A*B=1,充分性成立.当A*B=1时,因为C(A)=2,所以C(B)=1或3,若C(B)=1,则解得a=0;若C(B)=3,因为方程x2+ax=0的两个根x1=0,x2=-a都不是方程x2+ax+1=0的根,所以x2+ax+1=0有两个相等实根,则a2-4=0,解得a=±2,必要性不成立.因此“a=0”是“A*B=1”的充分不必要条件. D(✕)由C知当A*B=1时,a=0或a=±2,因此S={0,2,-2},C(S)=3. 三、填空题:本大题共3 小题，每小题5分，共计15 分 12.【开放创新】[2024景德镇一中高一期中改编]写出使命题“二次函数y=x2-3x+9a的图象恒在x轴上方”为真命题的实数a的一个值:　　　　.  12.1(答案不唯一,满足a>即可)　由题意,“二次函数y=x2-3x+9a的图象恒在x轴上方”为真命题,则Δ=(-3)2-4×9a<0,解得a>.故a的一个值可以为1. 13.[2025上海同济大学一附中月考]对于实数x,y,“x2+y2<1”是“|x|<1且|y|<1”的　　　　条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)  13.充分不必要　由x2+y2<1,可得x2<1且y2<1,所以|x|<1且|y|<1,所以“x2+y2<1”是“|x|<1且|y|<1”的充分条件;x=y=满足|x|<1且|y|<1,但x2+y2=1,所以“x2+y2<1”不是“|x|<1且|y|<1”的必要条件.所以“x2+y2<1”是“|x|<1且|y|<1”的充分不必要条件. 14.[石家庄二中高一期中]已知条件p:条件q:1-m≤x≤1+m(m≥0),条件r:1-t<x≤1+2t.若p是r的充要条件,则t=　　　　.若p是q的必要不充分条件,则实数m的取值范围是　　　　.(本题第一空2分,第二空3分)  14.2　{m|0≤m<2}　由条件p可得-1<x≤5,因为p是r的充要条件,所以解得t=2.因为p是q的必要不充分条件,所以解得0≤m<2. 四、解答题:本题共5小题，共77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)[2025云南师大附中高一质量监测]写出下列命题的否定,并判断该命题否定的真假: (1)任何一个平行四边形的对边都平行; (2)非负数的平方是正数; (3)有的四边形没有外接圆; (4)∃x,y∈Z,使得x+y=5. 15.【解析】 (1)原命题的否定为“存在一个平行四边形的对边不平行”,(2分) 由平行四边形的定义知原命题的否定是假命题.(3分) (2)原命题的否定为“存在一个非负数的平方不是正数”(原命题省略了全称量词“所有”,若没有察觉到这点容易只把结论中的“是”改为“不是”,从而致错),(5分) 因为02=0,不是正数,所以原命题的否定是真命题.(6分) 16.(15分)[2025合肥六中高一月考改编]已知p:-2≤x≤6,q:m≤x≤m+1. (1)若m=2,那么p是q的什么条件; (2)若p是q的必要不充分条件,求实数m的取值范围. 16.【解析】 (1)当m=2时,q:2≤x≤3,(2分) 显然{x|2≤x≤3}是{x|-2≤x≤6}的真子集,所以p是q的必要不充分条件(注:必要条件也正确).(7分) (2)若p是q的必要不充分条件,则{x|m≤x≤m+1}是{x|-2≤x≤6}的真子集,(10分) 则有或解得-2≤m≤5, 故实数m的取值范围为{m|-2≤m≤5}.(15分) 17.(15分)[2025贵阳六中、思南中学等校高一联考]已知命题p:∃x∈R,使得x2-12x+4n2=0,当命题p为真命题时,实数n的取值集合为A. (1)求集合A; (2)设非空集合B={a|3m≤a+2≤m+1},若“x∈A”是“x∈B”的必要条件,求实数m的取值范围. 17.【解析】 (1)由题意可得方程x2-12x+4n2=0有解,(2分) 所以Δ=(-12)2-4×4n2≥0,即n2≤9,(5分) 解得-3≤n≤3, 所以A={n|-3≤n≤3}.(7分) (2)因为“x∈A”是“x∈B”的必要条件,所以B⊆A,(9分) 又因为B为非空集合,且B={a|3m-2≤a≤m-1}, 所以解得-≤m≤, 所以实数m的取值范围为{m|-≤m≤}.(15分) 18.(17分)[2025青海湟川中学高一月考]已知集合A={x|1<x<3},集合B={x|2m<x≤1-m}. (1)若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,求实数m的取值范围; (2)若命题“∀x∈B,都有x∈A”是真命题,求实数m的取值范围; (3)若命题“∃x∈A,x∈B”是真命题,求实数m的取值范围. 18.【解析】 (1)若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,则A是B的真子集,(2分) 所以解得m≤-2,(4分) 所以实数m的取值范围为{m|m≤-2}.(5分) (2)第一步:由已知条件得集合A,B的关系 若命题“∀x∈B,都有x∈A”是真命题,则B是A的子集.(7分) 第二步:分B=∅,B≠∅求解 当B=∅时,满足B⊆A,此时2m≥1-m,得m≥;(8分) 当B≠∅时,若B⊆A,则不等式组无解.(9分) 第三步:得结论 综上,实数m的取值范围为{m|m≥}.(10分) (3)方法一　“∃x∈A,x∈B”是真命题,则A∩B≠∅,所以B≠∅,所以m<.(13分) 所以解得m<0, 所以实数m的取值范围为{m|m<0}.(17分) 方法二　“∃x∈A,x∈B”是真命题,则A∩B≠∅.(12分) 当A∩B=∅时, 若B=∅,则m≥; 若B≠∅,则或解得0≤m<. 综上,当A∩B=∅时,m≥0. 所以当A∩B≠∅时,m<0,即实数m的取值范围为{m|m<0}.(17分) 19.(17分)[2024新余一中高一开学考试]记关于x的方程|x2+ax+b|=2的解集为M,其中a,b∈R. (1)求M恰有3个元素的充要条件; (2)在(1)的条件下,试求:以M中的元素为边长的三角形恰好为直角三角形的充要条件. 19.【解析】 (1)原方程等价于x2+ax+b=2或x2+ax+b=-2, 即x2+ax+b-2=0或x2+ax+b+2=0, 由于Δ1=a2-4b+8>a2-4b-8=Δ2, 所以当Δ2=0时,M恰有3个元素,即M恰有3个元素的充要条件是a2-4b=8.(8分) (2)必要性:由(1)知,方程x2+ax+-4=0或x2+ax+=0, 两个方程的三个根分别为--2,-+2,-, 若它们是直角三角形的三边长,则(-)2+(--2)2=(-+2)2,且--2>0, 解得a=-16,b=62.(14分) 充分性:若a=-16,b=62,可解得M={6,8,10},以6,8,10为边长的三角形恰为直角三角形. 所以a=-16,b=62为所求的充要条件.(17分) 学科网（北京）股份有限公司 $