2.2基本不等式 课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第二章 2.2　基本不等式 第一课时　基本不等式 课标要求 有个金店的天平坏了，天平的两臂长短不相等，店主不想购置新的天平，又怕别人说他缺斤少两，于是他想出一个办法：先把顾客要购买的黄金放入左边的托盘中，右边托盘中加砝码得到一个读数，再把黄金放入右边的托盘中，在左边托盘加砝码得到第二个读数，然后把两个读数相加除以2作为黄金的最终质量出售.你觉得店主这个买卖做到诚信无欺了吗？要解决这个问题，我们一起探究一下吧！ 引入 基本不等式 一 5 6 7 知识梳理 a＝b 小于 8 温馨提示 例1 √ (1)设0<a<b，则下列不等式中正确的是 10 (多选)若a>b>0，则下列不等式成立的是 训练1 √ √ √ 11 基本不等式与最值定理 二 13 探究5 你能尝试说明满足什么条件的代数式能够利用基本不等式求最值吗？ 提示　关键看代数式是否具备： (1)转化为两个正数的和或积的形式； (2)和或积是否是一个定值； (3)不等式中的等号是否能取到. 14 知识梳理 15 温馨提示 三个关键点：一正、二定、三相等. (1)一正：各项必须为正； (2)二定：各项之和或各项之积为定值； (3)三相等：必须验证取等号时的条件是否具备. 例2 17 ∵x<0，∴－x>0， 18 19 思维升华 利用基本不等式求最值时要注意三点 (1)各项均为正. (2)寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧). (3)考虑等号成立的条件是否具备. (1)设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为 A.80 B.77 C.81 D.82 训练2 √ 因为x>0，y>0， 21 22 利用基本不等式求最值 三 例3 角度1　配凑求最值 因为x>3，所以2x－6>0， 24 例4 角度2　拆裂项求最值 由x>1，知x－1>0. 25 例5 角度3　常数代换求最值 26 思维升华 1.为了挖掘出题目中“积”或“和”为定值的条件，常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使得“和”或“积”为定值. 2.裂项是指对分子的次数不低于分母的次数的分式进行整式分离——将分式分离为整式与“真分式”的和，再根据分式分母的情况对整式进行拆项，为应用基本不等式求最值创造条件，进而求出最值. 3.常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和式或积式为定值的式子，然后利用基本不等式求解最值. 训练3 因为x>0，y>0，2x＋3y＝6， 28 由x>0，y>0且x＋y＝1 5 29 【课堂达标】 √ A.x≥2y B.x>2y C.x≤2y D.x<2y 基本不等式成立的前提条件是各项均为正数，所以x－2y>0，则x>2y. 2 3 4 1 31 √ ∵x<0，∴－x>0， 2 3 4 1 32 3.当a，b∈R时，下列不等关系成立的是______. ③ 2 3 4 1 33 4.已知0<x<1，则x(1－x)的最大值为________，此时x＝________. 因为0<x<1，所以1－x>0， 2 3 4 1 34 本课结束 感谢聆听 1.掌握基本不等式≤(a>0，b>0). 2.能利用基本不等式求简单的最值问题. 探究1 重要不等式：a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立.当a>0，b>0时，用，分别代替重要不等式中的a，b可以得到什么样的结论？该结论中等号成立的条件是什么？ 提示　a＋b≥2，当且仅当a＝b时，“＝”成立. 法二(性质法) 要证≤，只需证2≤a＋b， 只需证2－a－b≤0，只需证－(－)2≤0， 显然(－)2≥0成立，当且仅当a＝b时，等号成立. 　 若a˃0,b˃0,则a＋b≥2，当且仅当a＝b时，“＝”成立. 探究2 你能证明上述探究1中得到的结论吗？ 提示　法一(作差法) －＝＝＝≥0， 即≥，当且仅当a＝b时，等号成立. 探究3 结合课本P45中的探究，你能否给出≥的一种几何解释？ 提示　如图AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC＝a，BC＝b，过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD，故有△ACD∽△DCB，故CD＝.由于CD小于或等于圆的半径，故用不等式表示为≤. 因此，基本不等式≤的几何意义是 “圆的半径不小于半弦”. 两个正数的算术平均数不 它们的几何平均数. 1.基本不等式：如果a>0，b>0，则 ，当且仅当 时，等号成立. ≤ 2.其中 叫做正数a，b的算术平均数， 叫做正数a，b的几何平均数. (1)“当且仅当”的含义：①当a＝b时取等号，即a＝b时，＝； ②仅当a＝b时取等号，即＝ 时，a＝b. (2)基本不等式的常见变形：①a＋b≥2； ②ab≤≤. 又－a＝(－)>0，即>a，排除D项. 法二　取a＝2，b＝8，则＝4，＝5，所以a<<<b. A.a<b<< B.a<<<b C.a<<b< D.<a<<b 法一　∵0<a<b，∴a<<b，排除A，C两项. 所以<1，即<， 故选项ABD均成立. A.> B.< C.> D.> 由a>b>0，得<，即>， 探究4 已知x>0，求x＋的最小值.本题中求最小值的“代数式”有什么特点？是否可以利用基本不等式求x＋的最小值，是否必须说明“当且仅当x＝时，等号成立”？ 提示　代数式是“x与和”的形式，且x·＝1(定值)，x＋≥2＝2. 必须说明等号成立，这才表明“2”是“x＋”的一个取值. 　 若a˃0,b˃0,则a＋b≥2，当且仅当a＝b时，“＝”成立. 最值定理：已知x，y都为正数，则： (1)如果积xy等于定值P，那么当且仅当x＝y时，和x＋y有最小值 ； (2)如果和x＋y等于定值S，那么当且仅当x＝y时，积xy有最大值 ， 简记为：积定和最小，和定积最大. 2 S2 ∴＋4x≥2＝8. 当且仅当＝4x，即x＝时，取最小值8， ∴当x>0时，＋4x的最小值为8. (1)当x>0时，求＋4x的最小值； ∵x>0，∴>0，4x>0， 当且仅当＝－4x时，即x＝－时取等号. ∴＋4x≤－8. ∴当x<0时，＋4x的最大值为－8. (2)当x<0时，求＋4x的最大值； 则＋(－4x)≥2＝8， 当且仅当4x＝，即a＝4x2＝36时取等号， ∴a＝36. (3)已知4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，求a的值. ∵x>0，a>0，∴4x>0，>0，4x＋≥2＝4， 所以≥，即xy≤＝81， 当且仅当x＝y＝9时，(xy)max＝81. 由题意知1－2x>0，则y＝x(1－2x)＝×2x×(1－2x)≤＝， 当且仅当2x＝1－2x，即x＝时，等号成立. 所以y的最大值为. (2)已知0<x<，则y＝x(1－2x)的最大值为________. 当且仅当2x－6＝，即x＝4时取等号. 所以y＝2x＋的最小值是10. 已知x>3，求y＝2x＋的最小值. 所以y＝2x＋＝(2x－6)＋＋6≥2＋6＝2×2＋6＝10， 当且仅当＝x－1，即x＝2时，取“＝”. 所以当x＝2时，y取得最小值4. 若x>1，求函数y＝的最小值. ∴y＝＝＝x＋1＋＝x－1＋＋2≥2＋2＝4， 所以x＋y＝(x＋y)＝10＋＋. 因为x>0，y>0，所以＋≥2＝6， 当且仅当＝，即y＝3x时，取等号. 因为＋＝1，所以当x＝4，y＝12时，x＋y的最小值为16. 已知x>0，y>0，且＋＝1，求x＋y的最小值. 因为＋＝1， 所以xy＝(2x·3y)≤·＝·＝. 当且仅当2x＝3y， 即x＝，y＝1时，xy取到最大值. (1)已知x>0，y>0，2x＋3y＝6，则xy的最大值为________. 当且仅当x＝y＝时，等号成立. 所以p的最小值为5. (2)已知x>0，y>0且x＋y＝1，若p＝x＋＋y＋，则p的最小值是________. 得p＝x＋＋y＋＝x＋＋y＋＝3＋＋≥3＋2＝5. 1.不等式(x－2y)＋≥2成立的前提条件为 ∴x＋－2＝－－2≤－2－2＝－4. 当且仅当－x＝－，即x＝－1时“＝”成立. 2.已知x<0，则x＋－2有 A.最大值为0 B.最小值为0 C.最大值为－4 D.最小值为－4 ①≥；②a－b≥2；③a2＋b2≥2ab；④a2－b2≥2ab. 根据≥ab，≥成立的条件判断，知①②④错，只有③正确. 所以x(1－x)≤＝＝， 当且仅当x＝1－x，即x＝时“＝”成立. 故当x＝时，x(1－x)取得最大值. $