3.2勾股定理的逆定理讲义 2025-2026学年苏科版八年级数学上册

2025-2026学年苏科版版八年级数学《3.2勾股定理的逆定理》精品讲义 ( 一． 学习 目标 1.理解勾股定理的逆定理的推导过程，能准确表述逆定理的内容，明确其与勾股定理的区别与联系。 2.掌握勾股定理的逆定理的应用方法，能根据三角形三边的长度判断该三角形是否为直角三角形。 3.学会运用勾股定理的逆定理解决实际问题，包括几何图形中的直角判定、生活中的方向与距离等相关问题。 4.培养逻辑推理能力、数形结合思想，提升数学建模与实际应用的能力。 ) ( 二．重点难点 1.重点： （1）勾股定理的逆定理的理解与表述。 （2）运用勾股定理的逆定理判断三角形是否为直角三角形。 2.难点 （1）勾股定理的逆定理的推导逻辑（从三边关系推导角的性质）。 （2）综合运用勾股定理及其逆定理解决复杂几何问题和实际问题。 （3）区分勾股定理与逆定理的适用场景（定理用于直角三角形求边长，逆定理用于三边关系判直角）。 ) ( 三． 课前预习 阅读教材，完成下列问题: 1.勾股定理的内容是：直角三角形两直角边的平方和等于______的平方，用字母表示为若直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c，则______。 2.若一个三角形的三边长a、b、c满足a 2 + b 2 = c 2 ，则这个三角形是______三角形，其中______边所对的角是直角。 3.已知三角形三边长分别为3、4、5，因为3 2 + 4 2 = 5 2 ，所以该三角形是______三角形，直角边为______。 4.勾股定理的逆定理是勾股定理的______定理，它是判断一个三角形是否为直角三角形的重要依据。 5.若三角形三边长为m、n、p（p为最长边），要判断其为直角三角形，需满足______。 【答案】 1.   斜边；a 2 + b 2 = c 2 2.   直角；c（或最长） 3.   直角；3和4 4.   逆 5.   m 2 + n= 2 p 2 ) 四．课堂探秘 【情境导入】 回顾勾股定理：直角三角形的三边满足a2 + b2 = c2。反过来，若一个三角形的三边满足a2 + b2 = c2，它是否一定是直角三角形？ 比如古埃及人曾用“3、4、5”的绳子围三角形来确定直角，这背后蕴含着什么数学原理？ （一）勾股定理的逆定理 【思考探究】 （1）写出“直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方”的逆命题. 解:如果一个三角形的两条边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形. （2）在△ABC中,AB=c,BC=a,AC=b,且a2+b2=c2,则△ABC是不是直角三角形?为什么? 解:△ABC是直角三角形.理由如下: 画Rt△A'B'C',使∠C'=90°,B'C'=a,A'C'=b,如图. 根据勾股定理,可得A'B'2=a2+b2 因为AB2=a2+b2,所以A'B'2=AB2，所以A'B'=AB. 根据“SSS”,可证△ABC≌△A'B'C'.于是,∠C=∠C'=90°, 所以△ABC是直角三角形. 【勾股定理的逆定理】 如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2 ，那么，这个三角形是直角三角形. 【符号语言】： ∵a2＋b2＝c2， ∴△ABC为直角三角形且∠C=90°． （1）勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较，若它们相等时，以，，为三边的三角形是直角三角形；若，时，以，，为三边的三角形是钝角三角形；若，时，以，，为三边的三角形是锐角三角形； （2）定理中，，及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长，，满足，那么以，，为三边的三角形是直角三角形，但是为斜边 （3）勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形 【易错提示】： 没有弄清三角形三边的大小关系，不能正确利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状． 【勾股定理的逆定理的延伸】 设三角形的三边长分别为a,b,c(c为最长边).如果a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形;如果a2+b2<c,2那么这个三角形是钝角三角形;如果a2+b2>c2,那么这个三角形是锐角三角形. 【归纳总结】 （二）勾股定理与勾股定理逆定理的区别和联系 勾股定理 勾股定理的逆定理 条件 在△ABC 中,∠C=90° 在△ABC 中，a2＋b2＝c2 结论 a2＋b2＝c2 ∠C=90° 区别 勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为题设，进而得到这个三角形三边的关系，即“a2＋b2＝c2（c 为斜边）”，由形到数 勾股定理的逆定理是以“一个三角形的三边满足 a2+b2=c2 （c 为最长边）”为题设，进而得到这个三角形是直角三角形，由数到形 （三）勾股数 1.概念：满足a2＋b2＝c2的三个正整数a，b，c称为勾股数。 2.常见勾股数： （1）（为正整数）； 例如：（3，4，5）；（8，6，10）；（15，8，17）；（24，10，26）等。 （2）（为正整数） 例如：（3，4，5）；（5，12，13）；（7.24，25）；（9，40，41）等。 （3）（，为正整数） 例如：（3，4，5）；（5，12，13）；（7，24，25）；（11，60，61）等。 【归纳总结】判断一组数是不是勾股数的一般步骤 （五）经典例题 例1.下列长度的两条线段与长度为12的线段首尾依次相连能组成直角形三角形的是（ ） A．6，9 B．9，15 C．10，16 D．15，18 【答案】B 【解析】A、62 +92≠122，不能组成直角三角形，故选项不符合题意; B、9 2+122 =152，能组成直角三角形，故选项符合题意;C、102 +122≠162，不能组成直角三角形，故选项不符合题意; D、122+152≠182，不能组成直角三角形，故选项不符合题意;故选:B. 例2.勾股数是指能成为直角三角形三条边长的三个正整数，世界上第一次给出勾股数公式的是中国古代数学著作《九章算术》.现有勾股数 a,b,c,其中a,b均小于c,a=m2-,c=m2+ ；m是大于1的奇数，则b=_____________(用含m的式子表示). 【答案】m 【解析】:由于现有勾股数 a，b，c，其中a，b均小于c，∴a，b为直角边，c为斜边，∴a²+b²=c²,∴(m2-)2+b²=(m2+)2,得到b²=m²，∴b=±m，∵m是大于1的奇数，:.b=m.故答案为:m. 例3.如图，在一个6×6的正方形网格中，有三个格点三角形(顶点在网格的交点上)，其中直角三角形的个数是 （  ）    A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】如图所示：∵ AB² = 2² + 1² = 5，AC² = 3² +1² = 10，BC² = 2² +1²=5,∴.AB² + BC² = AC²，∴△ ABC是直角三角形;∵ DE² = 3² +1² =10，EF²= 2² + 1² = 5，DF² = 32 + 2² =13,∴.DF² + EF² ≠ DF²，∴ΔDEF不是直角三角形;∵ PM² = 3² +3² =18，NM² = 2² + 2² = 8，PN² = 5² + 1² =26，:.PM² + MN² = PN²，∴.△PMN是直角三角形;故选C.   例4.如图,在ΔABC中,∠ACB=90°,AC=BC,P是△ABC内的一点,且PB=1,PC=2,PA=3, 则∠BPC的度数为( ) A.120° B.135° C.140° D.150° 【答案】B 【解析】如图，将△ACP绕C点旋转90°，得△BCQ，连接PQ，由旋转的性质可知:Rt△ACBRtΔPCQ，∠PCQ=90°，∴.CQ=CP=2,BQ=PA=3，∠QBC= ∠PAC，∴.PQ² = CQ² + CP² =8，且∠QPC=45°，在△BPQ中，PB² + PQ² =8+1=9，∴.PB² + PQ² = BQ²，:. ∠QPB =90°,∴.∠BPC= ∠QPB+∠QPC=135°.故选B. 例5.定义:在△ABC中,若BC=a,AC=b，AB= c，且a，b，c满足ac+a² = b²，则称这个三角形为“类勾股三角形”.请根据以上定义解决下列问题: (1)如图1，若等腰三角形ABC是“类勾股三角形”，AB=BC，AC>AB，求∠C的度数. (2)如图 2,在△ ABC中,∠B=2∠A,且∠ACB>∠A,D是AB上的点,连接CD,满足AD=CD,过点C作CEIAB，垂足为E.求证:△ABC为“类勾股三角形”. 解: (1) 设BC=a,AC=b，AB= c，∵△ ABC是“类勾股三角形”，∴.ac +a² = b²，∵AB =BC，∴a =c，∴.c+a² =b²，∴.∠B=90°,∴.△ ABC是等腰直角三角形，∴∠C=45°; (2)证明:设BC=a，AC=b，AB =c，∵AD=CD，∴.∠A=∠DCA,∴.∠CDB=∠A+∠DCA=2∠A，又∵∠B=2∠A，∴∠B=∠CDB，∴.CD =CB=a,∴.AD=CD=a,∵CE⊥AB，∴.DE=BE=, 在Rt△AEC中,AE = AD+ DE=a+=,由勾股定理得CE² = AC² - AE² =b2- ()2在Rt△CED中，由勾股定理得CE2 =CD2 - DE² = α² - ()2，∴b2-()2=a²-()2.∴.b² =α² +ac，∴.△ ABC为“类勾股三角形”. 例6.如图，一架无人机旋停在空中点A处，点A与地面上点B之间的距离AB=20米，点A与地面上点C(点 B、C处于同一水平面上)的距离AC=25米，且BC=15米. (1)求∠ABC的度数; (2)现这架无人机沿AB所在直线向下飞行至点D处，若点D恰好在边AC的垂直平分线上，连接 CD，求这架无人机向下飞行的距离(AD的长). 解:(1) ∵ AB² +BC²=20² +15² =625,AC²=25²=625,∴ AB² + BC² = AC²，∴△ ABC是直角三角形，∠ABC=90°; (2)设AD=x米，若点D恰好在边AC的垂直平分线上，则CD=AD=x米，BD =(20-x)米, 在Rt△BDC中，DC² = BD² + BC² ，:x² =(20-x)² +15²，解得x=答:这架无人机向下飞行的距离(AD的长)为米 例7.如下图，学校有一块三角形空地ABC，计划将这块三角形空地分割成四边形ABDE和三角形 EDC,分别摆放两种不同的花卉,经测量，EDC=90°，DC=15，DE=20,DB=35，AB= 40，AE =5，求四边形ABDE的面积.(单位:米) 解:∵∠EDC=90°,DC=15，DE =20，∴CE =25，∴AC =AE+CE =30, ∵BC =DB+DC =50，AB=40∴AB² +AC²=2500=BC², ∴△ABC是直角三角形，且∠A=90°∴S四边形ABDE=S△ABC-S△CDE=450(m²) 例8.线段AB的端点A，B在6x6的正方形网格的格点(网格线的交点)上，请仅用无刻度的直尺在网格中按要求作图. (1)在图①中找出格点C，并连接AC，BC，使AC2=AB²+BC2; (2)在图②中作出△ ABC的高CH，并直接写出CH的长为_______. 解: (1)如图①，由题意知，AB²=2²+42= 20,BC²=22 +12 =5,AC² = 32 + 42 = 25,∴.AC² = AB² +BC²，∴格点C，AC，BC即为所作; (2)如图②，作△BCD，CD、AB的交点为H，∵CB=4=AE,∠CBD=90°=∠AEB，BD =3=EB，∴△CBD ≌△ AEB(SAS)，∴∠BCD=∠EAB，∴∠BCD+∠ABE =∠EAB +∠ABE =90°,∴∠BHC=180°-(∠BCD+∠ABE)=90°,∴CH为△ABC的高，由勾股定理得，AB=5， ∴S△ABC=AB×CH=BC×AE,即×5×CH=×4×4,解得，CH=.    五．课堂检测 （一）选择题 1. 下列四组线段中，能组成直角三角形的是（　　） A．a=1，b=2，c=3 B．a=2，b=3，c=4 C．a=2，b=4，c=5 D．a=3，b=4，c=5 【答案】D 【解析】知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一分析即可．A、∵12+22=5≠32，∴不能构成直角三角形，故本选项错误；B、∵22+32=13≠42，∴不能构成直角三角形，故本选项错误；C、∵22+42=20≠52，∴不能构成直角三角形，故本选项错误；D、∵32+42=25=52，∴能构成直角三角形，故本选项正确．故选D． 2．△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（　　） A．∠A+∠B=∠C B．∠A：∠B：∠C=1：2：3 C．a2=c2﹣b2 D．a：b：c=3：4：6 【答案】D 【解析】A、∠A+∠B=∠C，又∠A+∠B+∠C=180°，则∠C=90°，是直角三角形；B、∠A：∠B：∠C=1：2：3，又∠A+∠B+∠C=180°，则∠C=90°，是直角三角形；C、由a2=c2﹣b2，得a2+b2=c2，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；D、32+42≠62，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形．故选D． 3．三角形的三边长a，b，c满足2ab=（a+b）2﹣c2，则此三角形是（　　） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 【答案】C 【解答】∵原式可化为a2+b2=c2，∴此三角形是直角三角形．故选：C． 4．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（　　） A．如果∠A﹣∠B=∠C，那么△ABC是直角三角形 B．如果a2=b﹣2c2，那么△ABC是直角三角形且∠C=90° C．如果∠A：∠B：∠C=1：3：2，那么△ABC是直角三角形 D．如果a2：b2：c2=9：16：25，那么△ABC是直角三角形 【答案】B 【解答】如果∠A﹣∠B=∠C，那么△ABC是直角三角形，A正确；如果a2=b﹣2c2，那么△ABC是直角三角形且∠B=90°，B错误；如果∠A：∠B：∠C=1：3：2，设∠A=x，则∠B=2x，∠C=3x，则x+3x+2x=180°，解得，x=30°，则3x=90°，那么△ABC是直角三角形，C正确；如果a2：b2：c2=9：16：25，则如果a2+b2=c2，那么△ABC是直角三角形，D正确； 故选：B． 5．由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（　　） A．∠A+∠C=∠B B．a=，b=，c= C．（b+a）（b﹣a）=c2 D．∠A：∠B：∠C=5：3：2 【答案】B 【解析】A、∵∠A+∠C=∠B，∴∠B=90°，故是直角三角形，正确；B、设a=20k，则b=15k，c=12k，∵（12k）2+（15k）2≠（20k）2，故不能判定是直角三角形；C、∵（b+a）（b﹣a）=c2，∴b2﹣a2=c2，即a2+c2=b2，故是直角三角形，正确；D、∵∠A：∠B：∠C=5：3：2，∴∠A=×180°=90°，故是直角三角形，正确．故选：B． 6．用a、b、c作三角形的三边，其中不能构成的直角三角形的是（　　） A．b2=（a+c）（a﹣c） B．a：b：c=1：2： C．a=32，b=42，c=52 D．a=6，b=8，c=10 【答案】C 【解答】A、∵b2=（a+c）（a﹣c），∴b2=a2﹣c2，∴b2+c2=a2，∴能构成直角三角形，故选项A错误；B、∵a：b：c=1：2：，∴设a=x，则b=2x，c=x，∵x2+（x）2=（2x）2，∴能构成直角三角形，故选项B错误；C、∵a=32，b=42，c=52，∴a2+b2=（32）2+（42）2=81+256=337≠（52）2，∴不能构成直角三角形，故选项C正确；D、∵a=6，b=8，c=10，62+82=36+64=100=102，∴能构成直角三角形，故选项D错误；故选C． （二）填空题 7．若三角形的边长分别为6、8、10，则它的最长边上的高为　　． 【答案】4.8 【解析】∵三角形三边的长分别为6、8和10，62+82=100=102，∴此三角形是直角三角形，边长为10的边是最大边，设它的最大边上的高是h，∴6×8=10h，解得，h=4.8． 8．一个三角形的三边长之比为5：12：13，它的周长为120，则它的面积是　　． 【答案】480 【解析】设三边的长是5x，12x，13x，则5x+12x+13x=120，解得：x=4，则三边长是20，48，52．∵202+482=522，∴三角形是直角三角形，∴三角形的面积是×20×48=480． 9．三角形的三边分别为a，b，c，且（a﹣b）2+（a2+b2﹣c2）2=0，则三角形的形状为　　． 【答案】等腰直角三角形． 【解析】∵（a﹣b）2+（a2+b2﹣c2）2=0，∴a﹣b=0，且a2+b2﹣c2=0，∴a=b，且a2+b2=c2， ∴以a，b，c为边的三角形是等腰直角三角形．故答案为等腰直角三角形． 10．所谓的勾股数就是指使等式a2+b2=c2成立的任何三个正整数．我国清代数学家罗士林钻研出一种求勾股数的方法，对于任意正整数m、n（m＞n），取a=m2﹣n2，b=2mn，c=m2+n2，则a、b、c就是一组勾股数．请你结合这种方法，写出85（三个数中最大）、84和　　组成一组勾股数． 【答案】13 【解答】∵852﹣842=132，∴85（三个数中最大）、84和13组成一组勾股数．故答案为：13．故答案是：480． （三）解答题 11. 如图，是由边长为1的小正方形组成的正方形网格，设顶点在这些小正方形顶点的三角形为格点三角形，图中已给出△ABC的一边AB的位置． （1）请在所给的网格中画出边长分别为2，2，4的一个格点△ABC； （2）根据所给数据说明△ABC是直角三角形． 【答案】（1）如图所示:（2）由图可知，AB＝4，BC＝2，AC＝2， ∵AB2＋BC2＝20，AC2＝20，∴AB2＋BC2＝AC2，∴△ABC是直角三角形． 【解析】(1) 利用勾股定理即可作出边长为2，2，4的一个格点△ABC；(2)根据勾股定理的逆定理即可证明. 12.如图，在△ABC中，BD=6，AD=8，AB=10，DC=2，求AC的长． 解：在△ABD中，∵BD2+AD2＝62+82＝100，AB2＝102＝100，∴BD2+AD2＝AB2， ∴△ABD是直角三角形，∠ADB＝90°，∴∠ADC＝180°－∠ADB＝90°，在Rt△ACD中， AC2＝CD2+AD2＝22+82＝68，∴AC＝＝2 13.如图，有一块耕地ACBD，已知AD=24m，BD=26m，AC⊥BC，且AC=6m，BC=8m．求这块耕地的面积． 解：连接AB，∵AC⊥BC，AC=6m，BC=8m，∴Rt△ABC中，AB==10m， ∵AD=24m，BD=26m，∴AD2=242=576，BD2=262=676，AB2=1002=100，∴AB2+AD2=BD2， ∴△ABD是直角三角形，∴S四边形ADBC=S△ABD﹣S△ABC=AB•AD﹣AC•BC=×10×24﹣×8×6=120﹣24=96m2．答：这块耕地的面积是96m2． 14. 阅读理解并解答问题 如果a、b、c为正整数，且满足a2+b2=c2，那么，a、b、c叫做一组勾股数． （1）请你根据勾股数的意思，说明为什么3、4、5是一组勾股数； （2）写出一组不同于3、4、5的勾股数； （3）如果m表示大于1的整数，且a=2m，b=m2－1，c=m2+1，请你根据勾股数的意思，说明a、b、c为勾股数． 解：（1）∵3、4、5是正整数，且32+42=52，∴3、4、5是一组勾股数； （2）∵122+162=202，且12，16，20都是正整数，∴一组勾股数可以是12，16，20．答案不唯一；   （3）∵m表示大于1的整数，∴由a=2m，b=m2-1，c=m2+1得到a、b、c均为正整数； 又∵a2+b2=（2m）2+（m2-1）2=4m2+m4-2m2+1=m4+2m2+1，而c2=（m2+1）2=m4+2m2+1， ∴a2+b2=c2，∴a、b、c为勾股数 六．课后作业 （一）完成知识清单 1.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c（c为最长边）满足______，那么这个三角形是______三角形。 2.判定一个三角形是否为直角三角形的步骤：①确定______；②计算______的平方和；③比较该和与______的平方是否相等。 3.常见的勾股数有：3、4、5；5、12、13；7、24、25；8、15、______等。 4.若三角形三边长为k、k+1、k+2（k > 0），且为直角三角形，则。 5.勾股定理的逆定理的作用是______，勾股定理的作用是______。 【答案】 1.a2 + b2= c2；直角 2.最长边；较短两边；最长边 3.17 4.3（解析：k2+ (k+1)2 = (k+2)2，解得k=3或k=-1，舍去负根） 5.判断三角形是否为直角三角形；直角三角形中求边长 （二）强化训练 一．选择题 1.下列各组线段能构成直角三角形的一组是（　　） A．30，40，50 B．7，12，13 C．5，9，12 D．3，4，6 【答案】A 【解析】A、∵302+402=502，∴该三角形符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形，故正确；B、∵72+122≠132，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；C、∵52+92≠122，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误；D、∵32+42≠62，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误； 故选A． 2.下列各组数为勾股数的是（　　） A. 6，12，13 B. 3，4，7 C. 8，15，16 D. 5，12，13 【答案】D 【解析】A选项：62+122≠132，故此选项错误；B选项：32+42≠72，故此选项错误；C选项：因为82+152≠162，故此选项错误；D选项：52+122=132，故此选项正确．故选D． 3.若△ABC的三边长a,b,c满足|a-3|+|4-b|+(c-5)2=0,则△ABC是(　　) A.直角三角形　　B.等腰三角形 C.等边三角形　　D.等腰直角三角形 【答案】A　 【解析】∵|a-3|+|4-b|+(c-5)2=0,∴a-3=0,4-b=0,c-5=0,∴a=3,b=4,c=5,∵a2+b2= 32+42=25,c2=52=25,∴a2+b2=c2,由勾股定理的逆定理可知,△ABC是直角三角形.故选A. 4.下列五组数:①4、5、6;②0.6、0.8、1;③7、24、25;④8、15、17; ⑤9、40、41. 其中是勾股数的组数为(　　) A.2　　　　B.3　　　　C.4　　　　D.5 【答案】B　 【解析】①中42+52≠62;②中的数不全是正整数;③中72+242=252;④中82+152=172;⑤中92+402=412.故有3组勾股数. 5.古埃及人曾经用如图所示的方法画直角:把一根长绳打上等距离的13个结,然后以3个结间距,4个结间距,5个结间距的长度为边长,用木桩钉成一个三角形,其中一角便是直角,这样做的道理是(　　) A.直角三角形两个锐角互余 B.三角形内角和等于180° C.三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边 D.如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形 【答案】D　 【解析】设相邻两个结点的距离为m,则此三角形的三边长分别为3m、4m、5m, ∵(3m)2+(4m)2=(5m)2,∴以3m、4m、5m为边长的三角形是直角三角形.(如果三角形的两条边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形)故选D. 6.下列条件中,不能判定一个三角形是直角三角形的是(　　) A.三个角的度数比为1∶2∶3 B.三条边的长度比为1∶2∶3 C.三条边满足关系a2+c2=b2 D.三个角满足关系∠B+∠C=∠A 【答案】B　 【解析】B选项中,设三边长分别为x、2x、3x(x≠0),∵x2+(2x)2=5x2,(3x)2=9x2,5x2≠9x2, ∴三条边的长度比为1∶2∶3的三角形不是直角三角形.故选B. 7．阅读理解：如果一个正整数m能表示为两个正整数a，b的平方和，即m＝a2+b2，那么称m为广义勾股数，则下面的四个结论：①7不是广义勾股数；②13是广义勾股数；③两个广义勾股数的和是广义勾股数；④两个广义勾股数的积是广义勾股数．依次正确的是（　　） A．②④ B．①②④ C．①② D．①④ 【答案】C 【解析】①∵7不能表示为两个正整数的平方和，∴7不是广义勾股数，故①结论正确；②∵13＝22+32，∴13是广义勾股数，故②结论正确；③两个广义勾股数的和不一定是广义勾股数，如5和10是广义勾股数，但是它们的和不是广义勾股数，故③结论错误；④设，，则＝a2c2+a2d2+b2c2+b2d2＝（a2c2+b2d2+2abcd）+（a2d2+b2c2﹣2abcd）＝（ac+bd）2+（ad﹣bc）2，当ad＝bc时，m1•m2不是广义勾股数，∴两个广义勾股数的积不一定是广义勾股数，故④结论错误，∴依次正确的是①②．故选：C． 8．如果正整数a、b、c满足等式a2+b2＝c2，那么正整数a、b、c叫做勾股数，某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知x+y的值为（　　） A．47 B．62 C．79 D．98 【答案】C 【解析】由题可得，3＝22﹣1，4＝2×2，5＝22+1，……∴a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1，∴当c＝n2+1＝65时，n＝8，∴x＝63，y＝16，∴x+y＝79，故选：C． 9．在学习“勾股数”的知识时，爱动脑的小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中．则当a＝24时，b+c的值为（　　） a 6 8 10 12 14 … b 8 15 24 35 48 … c 10 17 26 37 50 … A．250 B．288 C．300 D．574 【答案】B 【解析】从表中可知：a依次为6，8，10，12，14，16，18，20，22，24，•••，即24＝2×（10+2），b依次为8，15，24，35，48，•••，即当a＝24时，b＝122﹣1＝143， c依次为10，17，26，37，50，•••，即当a＝24时，c＝122+1＝145，所以当a＝24时，b+c＝143+145＝288，故选：B． 10.如图是由小正方形拼成的网格，A,B两点均在格点上，C,D两点均为小正方形一边的中点，直线AB与直线CD交于点E，则∠BED=( ) A. 60° B. 75° C.90° D.105° 【答案】C 【解析】:如图，平移CD至FG处，则F,G均在正方形格点上，连接GB，设小正方形的边长为1，由勾股定理得:BF2=12+22=5,GF2=12+22=5,BG2=12+32=10,∴BF²+GF²=BG2..∠BFG=90°∵平移CD至FG处,∴CD//GF∴∠BEC=∠BFG=90°∴∠BED=90做选:C. 二．填空题 11．若一个三角形的周长为，一边长为，其它两边之差为，则这个三角形是　 　三角形． 【答案】直角 【解析】∵较小一边长为x，则另一边长为x+，根据题意得x+x++=，解之：，∴另一边长为，∵ ∴，∴此三角形是直角三角形.故答案为：直角. 12.若 8，15，x是一组勾股数，则x的值为____-_. 【答案】17 【解析】:当x为直角边时，x2 =161，x不是正整数，不符合题意，当x为斜边时，x=17，是正整数，符合题意，综上，若8，15，x是一组勾股数，则x的值为17，故答案为:17. 13．观察下列勾股数 第一组：3=2×1+1，4=2×1×（1+1），5=2×1×（1+1）+1 第二组：5=2×2+1，12=2×2×（2+1），13=2×2×（2+1）+1 第三组：7=2×3+1，24=2×3×（3+1），25=2×3×（3+1）+1 第四组：9=2×4+1，40=2×4×（4+1），41=2×4×（4+1）+1 …观察以上各组勾股数组成特点，第7组勾股数是　 　（只填数，不填等式） 【答案】15，112，113． 【解答】∵第1组：3=2×1+1，4=2×1×（1+1），5=2×1×（1+1）+1，第2组：5=2×2+1，12=2×2×（2+1），13=2×2×（2+1）+1，第3组：7=2×3+1，24=2×3×（3+1），25=2×3×（3+1）+1，第4组：9=2×4+1，40=2×4×（4+1）41=2×4×（4+1）+1，∴第7组勾股数是2×7+1=15，2×7×（7+1）=112，2×7×（7+1）+1=113，即15，112，113．故答案为：15，112，113． 14．如图，D为△ABC的边BC上一点，已知AB=13，AD=12，AC=15，BD=5，则BC的长为　 　. 【答案】14 【解析】∵AB=13，AD=12，BD=5，∴AB2=AD2+BD2，∴△ADB是直角三角形，∠ADB=90°，∴△ADC是直角三角形，在Rt△ADC中，CD= =9．故答案为：14. 15．有一块土地的形状如图所示，∠B=∠D=90°，AB=20m，BC=15m，CD=7m，则这块土地的面积为　 　． 【答案】234m2 【解析】连接AC，在Rt△ABC中，AC为斜边，则AC= = =25（m），在Rt△ACD中，AC为斜边，则AD= = ═24（m），四边形ABCD面积S= AB×BC+ AD×CD= ×20×15+ ×7×24=234（m2）．故答案为234m2． 16．在中，，，分别是，，所对的边．若，，，则最长边上的高是　 　． 【答案】 【解析】由 ， 联立，组成方程组：解得： ∵∴ 为直角三角形，c为斜边.设斜边c上的高为h，则面积s=解得：h=故答案为：. 17．在中，，，边上的中线，则的长为_____． 【答案】13 【解析】如图，是边上的中线，，， ，是直角三角形，，．故答案为：13． 18．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，点、、均在格点上，则______． 【答案】45° 【解析】取正方形网格中格点Q，连接PQ和BQ，如下图所示：∴AE=PF，PE=QF ∠AEP=∠PFQ=90°，∴△APE≌△PQF(SAS),∴∠PAB=∠QPF，∵PF∥BE，∴∠PBA=∠BPF， ∴∠PAB+∠PBA=∠QPF+∠BPF=∠QPB，又QA²=2²+4²=20，QB²=2²+1²=5，AB²=5²=25， ∴QA²+QB²=20+5=25=AB²，∴△QAB为直角三角形，∠AQB=90°，∵PQ²=2²+1²=5=QB²， ∴△PQB为等腰直角三角形，∴∠QPB=∠QBP=(180°-90°)÷2=45°，∴∠PAB+∠PBA=∠QPF+∠BPF=∠QPB=45°，故答案为：45°． 19.如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，AD＝3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，则AG的长为__________ 【答案】 【解析】在矩形ABCD中，∠A＝90°，∵AB＝4，AD＝3，∴BD＝5，折叠后A′D＝AD＝3，∴A′B＝2.设AG＝x，则BG＝4－x，在Rt△GA′B中，A′G2＋A′B2＝GB2，∴x2＋22＝(4－x)2，∴x＝. 20.下列说法:①因为 0.6，0.8，1不是勾股数，所以以0.6，0.8，1为边的三角形不是直角三角形；②若 a，b，c是勾股数，且c>b，c>a，则必有a2+b²=c2；③因以 0.5，1.2，1.3为边长的三角形是直角三角形，所以0.5，1.2，1.3是勾股数；④若三个整数 a，b，c是直角三角形的三条边，则3a，3b，3c必是勾股数其中正确的是(填序号). 【答案】②④ 【解析】:①虽然0.6，0.8，1不是勾股数，但是0.62+0.82=12，所以以0.6，0.8，1为边的三角形是直角三角形，故①说法错误;②若a，b、c是勾股数，且c>b，c>a，则必有 a²+b² = c²，故②说法正确;③因为0.5，1.2，1.3都不是正整数，所以0.5，1.2，1.3不是勾股数，故③说法错误;④若三个整数 a，b，c是直角三角形的三边长，则3a，3b，3c-定是勾股数，故④说法正确。故答案为:②④. 三．解答题 21.图①、图②、图③是3×3的正方形网格，每个小正方形的边长都为1．线段AB的端点在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法，并保留作图痕迹． (1)在图①中以AB为直角边画一个直角三角形，使它的面积为3． (2)在图②中以AB为边画一个等腰三角形，使它的面积为3． 解：（1）如图①、图②即为所求． （2）如图③即为所求． 22.如图，△ABC中，AB的垂直平分线DE分别交AC、AB于点D，E,且AD² - DC² =BC². (1)求证:∠C=90°; (2)若AC=8，BC=4，求AD的长. 解：(1) 证明:如图所示，连接BD，:DE垂直平分AB，:AD=BD,∵ AD² - DC² =BC²，:. BD² - DC² =BC²，∴△BCD是直角三角形，∴∠C=90°; (2)设AD=BD =x，则CD=AC-AD=8-x，由(1)得BD² - DC²=BC²,∴.x²- (8-x)² =4²，解得x=5，∴.AD =5. 23．如图，AD是△ABC的中线，DE⊥AC于点E，DF是△ABD的中线，且CE=2，DE=4，AE=8． (1)求证：； (2)求DF的长． 解：(1)证明：∵DE⊥AC于点E，∴∠AED=∠CED=90°，在Rt△ADE中，∠AED=90°，∴AD2=AE2+DE2=82+42=80，同理：CD2=20，∴AD2+CD2=80+20=100，∵AC=AE+CE=8+2=10，∴AC2=100，∴AD2+CD2=AC2，∴△ADC是直角三角形，∴∠ADC=90°； (2)∵AD是△ABC的中线，∠ADC=90°，∴AD垂直平分BC，∴AB=AC=10，在Rt△ADB中，∠ADB=90°，∵点F是边AB的中点，∴DF=AB=5．∴DF的长为5． 24.能够成为直角三角形三边长的三个正整数，我们称之为一组勾股数，�观察下列表格所给出的三个数a，b，c，a<b<c． （1）试找出它们的共同点，并证明你的结论． （2）写出当a=17时，b，c的值． 3，4，5 32+42=52 5，12，13 52+122=132 7，24，25 72+242=252 9，40，41 92+402=412 … … 17，b，c 172+b2=c2 解：（1）以上各组数的共同点可以从以下方面分析： ①以上各组数均满足a2+b2=c2； ②最小的数（a）是奇数，其余的两个数是连续的正整数 ③最小奇数的平方等于另两个连续整数的和，如32=9=4+5，52=25=12+13，72=49=24+25，92=81=40+41…由以上特点我们可猜想并证明这样一个结论： 设m为大于1的奇数，将m2拆分为两个连续的整数之和，即m2=n+（n+1）， 则m，n，n+1就构成一组简单的勾股数． 证明：∵m2=n+（n+1）（m为大于1的奇数），∴m2+n2=2n+1+n2=（n+1）2，∴m，n，（n+1）是一组勾股数．（2）运用以上结论，当a=17时，∵172=289=144+145，∴b=144，c=145． 25.已知△ ABC的三边a=n²-1(n>1)，b=2n,c=n2+1. (1)求证:c是△ABC的最长边; (2)求证:△ABC是直角三角形; (3)直接写出一组满足△ABC的三边长，其中含正整数12. 解:(1) ∵c-a=(n2+1)-(n² -1)=n²+1-n²+1=2>0..c>a,.n >1,∴.n-1>0 ..c-b=(n²+1)-2n=(n-1)² >0,.∴.c>b,综上可知，c是△ ABC的最长边; (2) ∵c=(n² +1)²，a² +b²=(n² -1)²+(2n)² =n4-2n² +1+4n² =n++2n²+1=(n² +1)², ∴.a²+b² = c²,∴△ABC是直角三角形; (3)当b=2n=12时，即n=6,则此时a=n2-1=62-1=35，c=n2+1=62+1=37,∴△ ABC的三边长为12，35，37. 26.若直角三角形的三边的长都是正整数，则三边的长为“勾股数”．构造勾股数，就是要寻找3个正整数，使它们满足“其中两个数的平方和（或平方差）等于第三个数的平方”，即满足以下关系：①或②，要满足以上①、②的关系，可以从乘法公式入手，我们知道：③，如果等式③的右边也能写成“”的形式，那么它就符合②的关系．因此，只要设，，③式就可化成：．于是，当，为任意正整数，且时，“，和”就是勾股数，根据勾股数的这种关系式，就可以找出勾股数． (1)当，时，该组勾股数是__________； (2)若一组勾股数中最大的数与最小的数的和为72，且，求，的值； (3)若一组勾股数中最大的数是（是任意正整数），则另外两个数分别为_____， ___（分别用含的代数式表示）． 解：（1）当m=2，n=1时，m2+n2=5，m2-n2=3，2mn=4，∴该组勾股数是3，4，5， 故答案为：3，4，5； （2）∵（m2+n2）-（m2-n2）=2n2＞0，∴m2+n2＞m2-n2，∵m2+n2-2mn=（m-n）2＞0， ∴m2+n2＞2mn，∴最大的数为m2+n2， ①当m2-n2最小时，（m2+n2）+（m2-n2）=2m2=72，解得m=6或m=-6（舍去），又∵m-n=1，∴n=5； ②当2mn最小时，（m2+n2）+2mn=（m+n）2=72，解得m+n=±6（舍去）， 综上所述，m=6，n=5； （3）2p2+6p+5=（p2+2p+1）+（p2+4p+4）=（p+1）2+（p+2）2，令m=p+2，n=p+1，则 m2-n2=（p+2）2-（p+1）2=2p+3，2mn=2（p+2）（p+1）=2p2+6p+4，∴另外两个数分别为2p+3，2p2+6p+4，故答案为：2p+3，2p2+6p+4． 27.【问题提出】 （1）如图1,△ABC和△DCE都是等边三角形，点D在△ABC内部，连接AD，AE，BD. ①求证:BD=AE; ②若∠ADC=150°，求证:BD² = AD² +CD2;[问题探究] （2）如图 2.△ABC和△DCE都是等边三角形，点D在△ABC外部，若BD² = AD² + CD²仍然成立，求∠ADC的度数. 解:(1) 证明:①∵△ ABC和△DCE都是等边三角形，∴BC=AC，CD=CE，∠ACB= ECD =60°，∠DCB=60°-ZDCA=∠ECA，∴△DCB ≌△ ECA(SAS),∴BD = AE; ②∵△ DCE是等边三角形，∴EDC =60°,DE =CD,∵∠ADC=150°,∴∠ADE = /ADC- ZEDC =90°，∴AD² + DE² = AE²，由①知AE = BD，∴BD² = AD² + CD²; (2)△ABC和△DCE都是等边三角形，..BC=AC，CD=CE=DE,∠ACB=∠ECD=60°= ∠CDE，∴∠DCB=60°+∠ACD =∠ECA，.∴.ΔDCB ≌△ ECA(SAS)，∴BD = AE，∵ BD² = AD² + CD² , ∴AE² = AD² +DE², ∴.∠ADE =90°,∴∠ADC=∠ADE- ∠CDE =30°. 28.【阅读与思考】勾股定理神秘而美妙，它的证法多种多样，其巧妙各有不同。在进行《勾股定理》一章学习时，老师带领同学们进行探究活动:如图1，这是用纸片剪成的四个全等的直角三角形(两条直角边长分别为a，b(b>a)，斜边长为c)和一个边长为c的正方形，请你将它们拼成一个图形，该图形能验证勾股定理. [任务](1)如图2，这是小敏同学拼成的图形.请你利用图2验证勾股定理， (2)一个零件的形状如图3所示，按照规定，零件中∠ABD和∠C都是直角，才是合格零件.如图4所示,工人师傅测得零件∠ABD=90°,AD=39cm,AB=36cm,BC=9cm,CD=12cm，这个零件符合要求吗?请判断并说明理由。 解: （1）∵根据图2:大正方形面积可表示为:c²或ab×4+(b-a)2,:ab×4+(b-a)² = c2，即 2ab+b²- 2ab +a²=2，∴a²+b² =c2. (2)这个零件符合要求，理由如下:在Rt△ABD中，根据勾股定理，可得: BD²=AD? -AB²=392-36²=225，在△BCD中，BC² + CD² =9 2+122=225.BC² +CD²= BD².∴.△BCD是直角三角形，∠C是直角.且∠ABD=90°∴这个零件符合要求. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年苏科版版八年级数学《3.2勾股定理的逆定理》精品讲义 ( 一． 学习 目标 1.理解勾股定理的逆定理的推导过程，能准确表述逆定理的内容，明确其与勾股定理的区别与联系。 2.掌握勾股定理的逆定理的应用方法，能根据三角形三边的长度判断该三角形是否为直角三角形。 3.学会运用勾股定理的逆定理解决实际问题，包括几何图形中的直角判定、生活中的方向与距离等相关问题。 4.培养逻辑推理能力、数形结合思想，提升数学建模与实际应用的能力。 ) ( 二．重点难点 1.重点： （1）勾股定理的逆定理的理解与表述。 （2）运用勾股定理的逆定理判断三角形是否为直角三角形。 2.难点 （1）勾股定理的逆定理的推导逻辑（从三边关系推导角的性质）。 （2）综合运用勾股定理及其逆定理解决复杂几何问题和实际问题。 （3）区分勾股定理与逆定理的适用场景（定理用于直角三角形求边长，逆定理用于三边关系判直角）。 ) ( 三． 课前预习 阅读教材，完成下列问题: 1.勾股定理的内容是：直角三角形两直角边的平方和等于______的平方，用字母表示为若直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c，则______。 2.若一个三角形的三边长a、b、c满足a 2 + b 2 = c 2 ，则这个三角形是______三角形，其中______边所对的角是直角。 3.已知三角形三边长分别为3、4、5，因为3 2 + 4 2 = 5 2 ，所以该三角形是______三角形，直角边为______。 4.勾股定理的逆定理是勾股定理的______定理，它是判断一个三角形是否为直角三角形的重要依据。 5.若三角形三边长为m、n、p（p为最长边），要判断其为直角三角形，需满足______。 ) 四．课堂探秘 【情境导入】 回顾勾股定理：直角三角形的三边满足a2 + b2 = c2。反过来，若一个三角形的三边满足a2 + b2 = c2，它是否一定是直角三角形？ 比如古埃及人曾用“3、4、5”的绳子围三角形来确定直角，这背后蕴含着什么数学原理？ （一）勾股定理的逆定理 【思考探究】 （1）写出“直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方”的逆命题. （2）在△ABC中,AB=c,BC=a,AC=b,且a2+b2=c2,则△ABC是不是直角三角形?为什么? 【勾股定理的逆定理】 如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2 ，那么，这个三角形是直角三角形. 【符号语言】： ∵a2＋b2＝c2， ∴△ABC为直角三角形且∠C=90°． （1）勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较，若它们相等时，以，，为三边的三角形是直角三角形；若，时，以，，为三边的三角形是钝角三角形；若，时，以，，为三边的三角形是锐角三角形； （2）定理中，，及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长，，满足，那么以，，为三边的三角形是直角三角形，但是为斜边 （3）勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形 【易错提示】： 没有弄清三角形三边的大小关系，不能正确利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状． 【勾股定理的逆定理的延伸】 设三角形的三边长分别为a,b,c(c为最长边).如果a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形;如果a2+b2<c,2那么这个三角形是钝角三角形;如果a2+b2>c2,那么这个三角形是锐角三角形. 【归纳总结】 （二）勾股定理与勾股定理逆定理的区别和联系 勾股定理 勾股定理的逆定理 条件 在△ABC 中,∠C=90° 在△ABC 中，a2＋b2＝c2 结论 a2＋b2＝c2 ∠C=90° 区别 勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为题设，进而得到这个三角形三边的关系，即“a2＋b2＝c2（c 为斜边）”，由形到数 勾股定理的逆定理是以“一个三角形的三边满足 a2+b2=c2 （c 为最长边）”为题设，进而得到这个三角形是直角三角形，由数到形 （三）勾股数 1.概念：满足a2＋b2＝c2的三个正整数a，b，c称为勾股数。 2.常见勾股数： （1）（为正整数）； 例如：（3，4，5）；（8，6，10）；（15，8，17）；（24，10，26）等。 （2）（为正整数） 例如：（3，4，5）；（5，12，13）；（7.24，25）；（9，40，41）等。 （3）（，为正整数） 例如：（3，4，5）；（5，12，13）；（7，24，25）；（11，60，61）等。 【归纳总结】判断一组数是不是勾股数的一般步骤 （五）经典例题 例1.下列长度的两条线段与长度为12的线段首尾依次相连能组成直角形三角形的是（ ） A．6，9 B．9，15 C．10，16 D．15，18 例2.勾股数是指能成为直角三角形三条边长的三个正整数，世界上第一次给出勾股数公式的是中国古代数学著作《九章算术》.现有勾股数 a,b,c,其中a,b均小于c,a=m2-,c=m2+ ；m是大于1的奇数，则b=_____________(用含m的式子表示). 例3.如图，在一个6×6的正方形网格中，有三个格点三角形(顶点在网格的交点上)，其中直角三角形的个数是 （  ）    A．0 B．1 C．2 D．3  例4.如图,在ΔABC中,∠ACB=90°,AC=BC,P是△ABC内的一点,且PB=1,PC=2,PA=3, 则∠BPC的度数为( ) A.120° B.135° C.140° D.150° 例5.定义:在△ABC中,若BC=a,AC=b，AB= c，且a，b，c满足ac+a² = b²，则称这个三角形为“类勾股三角形”.请根据以上定义解决下列问题: (1)如图1，若等腰三角形ABC是“类勾股三角形”，AB=BC，AC>AB，求∠C的度数. (2)如图 2,在△ ABC中,∠B=2∠A,且∠ACB>∠A,D是AB上的点,连接CD,满足AD=CD,过点C作CEIAB，垂足为E.求证:△ABC为“类勾股三角形”. 例6.如图，一架无人机旋停在空中点A处，点A与地面上点B之间的距离AB=20米，点A与地面上点C(点 B、C处于同一水平面上)的距离AC=25米，且BC=15米. (1)求∠ABC的度数; (2)现这架无人机沿AB所在直线向下飞行至点D处，若点D恰好在边AC的垂直平分线上，连接 CD，求这架无人机向下飞行的距离(AD的长). 例7.如下图，学校有一块三角形空地ABC，计划将这块三角形空地分割成四边形ABDE和三角形 EDC,分别摆放两种不同的花卉,经测量，EDC=90°，DC=15，DE=20,DB=35，AB= 40，AE =5，求四边形ABDE的面积.(单位:米) 例8.线段AB的端点A，B在6x6的正方形网格的格点(网格线的交点)上，请仅用无刻度的直尺在网格中按要求作图. (1)在图①中找出格点C，并连接AC，BC，使AC2=AB²+BC2; (2)在图②中作出△ ABC的高CH，并直接写出CH的长为_______. 五．课堂检测 （一）选择题 1. 下列四组线段中，能组成直角三角形的是（　　） A．a=1，b=2，c=3 B．a=2，b=3，c=4 C．a=2，b=4，c=5 D．a=3，b=4，c=5 2．△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（　　） A．∠A+∠B=∠C B．∠A：∠B：∠C=1：2：3 C．a2=c2﹣b2 D．a：b：c=3：4：6 3．三角形的三边长a，b，c满足2ab=（a+b）2﹣c2，则此三角形是（　　） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 4．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（　　） A．如果∠A﹣∠B=∠C，那么△ABC是直角三角形 B．如果a2=b﹣2c2，那么△ABC是直角三角形且∠C=90° C．如果∠A：∠B：∠C=1：3：2，那么△ABC是直角三角形 D．如果a2：b2：c2=9：16：25，那么△ABC是直角三角形 5．由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（　　） A．∠A+∠C=∠B B．a=，b=，c= C．（b+a）（b﹣a）=c2 D．∠A：∠B：∠C=5：3：2 6．用a、b、c作三角形的三边，其中不能构成的直角三角形的是（　　） A．b2=（a+c）（a﹣c） B．a：b：c=1：2： C．a=32，b=42，c=52 D．a=6，b=8，c=10 （二）填空题 7．若三角形的边长分别为6、8、10，则它的最长边上的高为　　． 8．一个三角形的三边长之比为5：12：13，它的周长为120，则它的面积是　　． 9．三角形的三边分别为a，b，c，且（a﹣b）2+（a2+b2﹣c2）2=0，则三角形的形状为　　． 10．所谓的勾股数就是指使等式a2+b2=c2成立的任何三个正整数．我国清代数学家罗士林钻研出一种求勾股数的方法，对于任意正整数m、n（m＞n），取a=m2﹣n2，b=2mn，c=m2+n2，则a、b、c就是一组勾股数．请你结合这种方法，写出85（三个数中最大）、84和　　组成一组勾股数． （三）解答题 11. 如图，是由边长为1的小正方形组成的正方形网格，设顶点在这些小正方形顶点的三角形为格点三角形，图中已给出△ABC的一边AB的位置． （1）请在所给的网格中画出边长分别为2，2，4的一个格点△ABC； （2）根据所给数据说明△ABC是直角三角形． 12.如图，在△ABC中，BD=6，AD=8，AB=10，DC=2，求AC的长． 13.如图，有一块耕地ACBD，已知AD=24m，BD=26m，AC⊥BC，且AC=6m，BC=8m．求这块耕地的面积． 14. 阅读理解并解答问题 如果a、b、c为正整数，且满足a2+b2=c2，那么，a、b、c叫做一组勾股数． （1）请你根据勾股数的意思，说明为什么3、4、5是一组勾股数； （2）写出一组不同于3、4、5的勾股数； （3）如果m表示大于1的整数，且a=2m，b=m2－1，c=m2+1，请你根据勾股数的意思，说明a、b、c为勾股数． 六．课后作业 （一）完成知识清单 1.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c（c为最长边）满足______，那么这个三角形是______三角形。 2.判定一个三角形是否为直角三角形的步骤：①确定______；②计算______的平方和；③比较该和与______的平方是否相等。 3.常见的勾股数有：3、4、5；5、12、13；7、24、25；8、15、______等。 4.若三角形三边长为k、k+1、k+2（k > 0），且为直角三角形，则。 5.勾股定理的逆定理的作用是______，勾股定理的作用是______。 （二）强化训练 一．选择题 1.下列各组线段能构成直角三角形的一组是（　　） A．30，40，50 B．7，12，13 C．5，9，12 D．3，4，6 2.下列各组数为勾股数的是（　　） A. 6，12，13 B. 3，4，7 C. 8，15，16 D. 5，12，13 3.若△ABC的三边长a,b,c满足|a-3|+|4-b|+(c-5)2=0,则△ABC是(　　) A.直角三角形　　B.等腰三角形 C.等边三角形　　D.等腰直角三角形 4.下列五组数:①4、5、6;②0.6、0.8、1;③7、24、25;④8、15、17; ⑤9、40、41. 其中是勾股数的组数为(　　) A.2　　　　B.3　　　　C.4　　　　D.5 5.古埃及人曾经用如图所示的方法画直角:把一根长绳打上等距离的13个结,然后以3个结间距,4个结间距,5个结间距的长度为边长,用木桩钉成一个三角形,其中一角便是直角,这样做的道理是(　　) A.直角三角形两个锐角互余 B.三角形内角和等于180° C.三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边 D.如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形 6.下列条件中,不能判定一个三角形是直角三角形的是(　　) A.三个角的度数比为1∶2∶3 B.三条边的长度比为1∶2∶3 C.三条边满足关系a2+c2=b2 D.三个角满足关系∠B+∠C=∠A 7．阅读理解：如果一个正整数m能表示为两个正整数a，b的平方和，即m＝a2+b2，那么称m为广义勾股数，则下面的四个结论：①7不是广义勾股数；②13是广义勾股数；③两个广义勾股数的和是广义勾股数；④两个广义勾股数的积是广义勾股数．依次正确的是（　　） A．②④ B．①②④ C．①② D．①④ 8．如果正整数a、b、c满足等式a2+b2＝c2，那么正整数a、b、c叫做勾股数，某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知x+y的值为（　　） A．47 B．62 C．79 D．98 9．在学习“勾股数”的知识时，爱动脑的小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中．则当a＝24时，b+c的值为（　　） a 6 8 10 12 14 … b 8 15 24 35 48 … c 10 17 26 37 50 … A．250 B．288 C．300 D．574 10.如图是由小正方形拼成的网格，A,B两点均在格点上，C,D两点均为小正方形一边的中点，直线AB与直线CD交于点E，则∠BED=( ) A. 60° B. 75° C.90° D.105° 二．填空题 11．若一个三角形的周长为，一边长为，其它两边之差为，则这个三角形是　 　三角形． 12.若 8，15，x是一组勾股数，则x的值为_____. 13．观察下列勾股数 第一组：3=2×1+1，4=2×1×（1+1），5=2×1×（1+1）+1 第二组：5=2×2+1，12=2×2×（2+1），13=2×2×（2+1）+1 第三组：7=2×3+1，24=2×3×（3+1），25=2×3×（3+1）+1 第四组：9=2×4+1，40=2×4×（4+1），41=2×4×（4+1）+1 …观察以上各组勾股数组成特点，第7组勾股数是　 　（只填数，不填等式） 14．如图，D为△ABC的边BC上一点，已知AB=13，AD=12，AC=15，BD=5，则BC的长为　 　. 15．有一块土地的形状如图所示，∠B=∠D=90°，AB=20m，BC=15m，CD=7m，则这块土地的面积为　 　． 16．在中，，，分别是，，所对的边．若，，，则最长边上的高是　 　． 17．在中，，，边上的中线，则的长为_____． 18．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，点、、均在格点上，则______． 19.如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，AD＝3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，则AG的长为__________ 20.下列说法:①因为 0.6，0.8，1不是勾股数，所以以0.6，0.8，1为边的三角形不是直角三角形；②若 a，b，c是勾股数，且c>b，c>a，则必有a2+b²=c2；③因以 0.5，1.2，1.3为边长的三角形是直角三角形，所以0.5，1.2，1.3是勾股数；④若三个整数 a，b，c是直角三角形的三条边，则3a，3b，3c必是勾股数其中正确的是(填序号). 三．解答题 21.图①、图②、图③是3×3的正方形网格，每个小正方形的边长都为1．线段AB的端点在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法，并保留作图痕迹． (1)在图①中以AB为直角边画一个直角三角形，使它的面积为3． (2)在图②中以AB为边画一个等腰三角形，使它的面积为3． 22.如图，△ABC中，AB的垂直平分线DE分别交AC、AB于点D，E,且AD² - DC² =BC². (1)求证:∠C=90°; (2)若AC=8，BC=4，求AD的长. 23．如图，AD是△ABC的中线，DE⊥AC于点E，DF是△ABD的中线，且CE=2，DE=4，AE=8． (1)求证：； (2)求DF的长． 24.能够成为直角三角形三边长的三个正整数，我们称之为一组勾股数，�观察下列表格所给出的三个数a，b，c，a<b<c． （1）试找出它们的共同点，并证明你的结论． （2）写出当a=17时，b，c的值． 3，4，5 32+42=52 5，12，13 52+122=132 7，24，25 72+242=252 9，40，41 92+402=412 … … 17，b，c 172+b2=c2 25.已知△ ABC的三边a=n²-1(n>1)，b=2n,c=n2+1. (1)求证:c是△ABC的最长边; (2)求证:△ABC是直角三角形; (3)直接写出一组满足△ABC的三边长，其中含正整数12. 26.若直角三角形的三边的长都是正整数，则三边的长为“勾股数”．构造勾股数，就是要寻找3个正整数，使它们满足“其中两个数的平方和（或平方差）等于第三个数的平方”，即满足以下关系：①或②，要满足以上①、②的关系，可以从乘法公式入手，我们知道：③，如果等式③的右边也能写成“”的形式，那么它就符合②的关系．因此，只要设，，③式就可化成：．于是，当，为任意正整数，且时，“，和”就是勾股数，根据勾股数的这种关系式，就可以找出勾股数． (1)当，时，该组勾股数是__________； (2)若一组勾股数中最大的数与最小的数的和为72，且，求，的值； (3)若一组勾股数中最大的数是（是任意正整数），则另外两个数分别为_____， ___（分别用含的代数式表示）． 27.【问题提出】 （1）如图1,△ABC和△DCE都是等边三角形，点D在△ABC内部，连接AD，AE，BD. ①求证:BD=AE; ②若∠ADC=150°，求证:BD² = AD² +CD2;[问题探究] （2）如图 2.△ABC和△DCE都是等边三角形，点D在△ABC外部，若BD² = AD² + CD²仍然成立，求∠ADC的度数. 28.【阅读与思考】勾股定理神秘而美妙，它的证法多种多样，其巧妙各有不同。在进行《勾股定理》一章学习时，老师带领同学们进行探究活动:如图1，这是用纸片剪成的四个全等的直角三角形(两条直角边长分别为a，b(b>a)，斜边长为c)和一个边长为c的正方形，请你将它们拼成一个图形，该图形能验证勾股定理. [任务](1)如图2，这是小敏同学拼成的图形.请你利用图2验证勾股定理， (2)一个零件的形状如图3所示，按照规定，零件中∠ABD和∠C都是直角，才是合格零件.如图4所示,工人师傅测得零件∠ABD=90°,AD=39cm,AB=36cm,BC=9cm,CD=12cm，这个零件符合要求吗?请判断并说明理由。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $