第3章 实数基础过关测试卷-2025-2026学年七年级数学上册高频考点题型归纳与满分必练（浙教版新教材）

第三章 实数基础过关测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1． 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．8的立方根是（   ） A．2 B． C． D．512 2．下列实数中是有理数的是（    ） A． B． C． D． 3．下列说法正确的是（   ） A．9的立方根为3 B．9开平方后的结果是3 C．是9的平方根 D．0没有平方根 4．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．如图所示，面积为5的正方形的顶点在数轴上，且点表示的数为1，若点在数轴上（点在点左侧），且，则点所表示的数为（   ） A． B． C． D． 6．估计的值（   ） A．在3和4之间 B．在2和3之间 C．在1和2之间 D．在0和1之间 7．若，，则的值约为（    ） A．1.01 B．0.101 C．0.341 D．0.0341 8．将全体自然数的算术平方根如图进行排列，如第3行第2列是，那么第101行第100列是（    ） A． B． C． D． 9．已知是5的算术平方根，则的立方根是（   ） A． B． C． D．2 10．观察下面表格，结论不正确的是（　　） 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 4.41 4.84 5.29 5.76 6.25 6.76 7.29 7.84 8.41 A．2.1的平方是4.41 B． C．5.76的算术平方根是2.4 D．当时，随着的增大，的值也增大 2． 填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．的平方根是 ． 12．若有理数a与b满足，则的立方根为 13．已知a为正整数，，则 ． 14．在数轴上，点与原点距离个单位，点和原点相距个单位，则之间的距离为 ． 15．观察下列各式：① ；②；③，……，根据规律写出第个式子： ． 16．我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：，，这三个数，，，，其结果6，3，2都是整数，所以，，这三个数称为“完美组合数”．若三个数，，是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，则的值为 ． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）计算： (1) (2) 18．（8分）已知实数的算术平方根是，的立方根是2． (1)求、的值； (2)求的平方根． 19．（8分）先填写表，通过观察后再回答问题． (1)表格中______，______． (2)从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知，，则______； ②已知，，用含m的代数式表示n，则______． 20．（8分）我国高速公路规定小型汽车行驶的速度不得超过120千米/时，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆当时行驶的速度．所用的经验公式是，其中表示车速（单位：千米/小时），表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米）表示摩擦系数，经测量，米，，请你帮助判断一下，肇事汽车当时的速度是否超出了规定的速度？ 21．（10分）如图，长方形内两个相邻正方形的面积分别为6和9． (1)小正方形的边长在哪两个连续的整数之间？请说明理由． (2)求阴影部分的面积． (3)求最大长方形的周长． 22．（10分）如图，小正方形的边长为1个单位长度，以数轴的原点为圆心，正方形的对角线的长为半径画圆，交数轴于两点． (1)写出点表示的数； (2)将点沿数轴向右移动两个单位长度得到点，求的长； (3)在（2）的情况下，若点是线段的中点，求点表示的数以及线段的长． 23．（10分）观察：，即的整数部分为2，小数部分为．规定符号表示实数的整数部分，例如：，请你运用上述规律解决下面的问题： (1)按此规定___________． (2)如果的小数部分为的整数部分为，求的值． 24．（10分）阅读材料，完成任务． 材料一 数形结合是重要的数学思想．按照图①所示将两个边长为1的小正方形进行剪拼（无缝隙不重叠的拼接）成一个大的正方形，可以得到无理数；按照图②和图③所示的两种剪拼方法将一个边长为1的正方形和一个边长为2的正方形剪拼出一个大正方形，可以得到无理数． 材料二 实数与数轴上的点一一对应．要在数轴上找到表示的点，关键是在数轴上构造线段．如图④，正方形的边长为1个单位长度，以原点为圆心，对角线长为半径画弧与数轴上分别交于点，，则点对应的数为，点对应的数为．类似的，我们可以在数轴上找到表示任意无理数的点． 任务 （1）材料1中，无理数是________； （2）如图⑤，改变图④中正方形的位置，用类似的方法作图，图⑤中点表示的数为________，点表示的数为________； （3）若，，求代数式的值，并在图⑥的数轴上作出表示这个代数式的值对应的点．（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 实数基础过关测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 1． 单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．8的立方根是（   ） A．2 B． C． D．512 【答案】A 【分析】本题考查了求一个数的立方根，根据，得出8的立方根是2，即可作答． 【详解】解：∵， ∴8的立方根是2， 故选：A． 2．下列实数中是有理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数．根据有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数，可得答案． 【详解】解：，，是无理数，只有是有理数． 故选：B． 3．下列说法正确的是（   ） A．9的立方根为3 B．9开平方后的结果是3 C．是9的平方根 D．0没有平方根 【答案】C 【分析】本题考查了平方根、立方根、算术平方根．正数的立方根是正数，正数的平方根有两个，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、9的立方根为，故该选项不符合题意； B、9开平方后的结果是，故该选项不符合题意； C、是9的平方根，故该选项符合题意； D、0有平方根，且为0，故该选项不符合题意； 故选：C． 4．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了算术平方根及平方根的运算，掌握算术平方根和平方根的区别和联系成为解题的关键． 根据算术平方根及平方根的性质逐项化简即可解答． 【详解】解：A．，故该选项不正确，不符合题意； B．，故该选项不正确，不符合题意； C．，故该选项正确，符合题意； D．，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 5．如图所示，面积为5的正方形的顶点在数轴上，且点表示的数为1，若点在数轴上（点在点左侧），且，则点所表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根的应用，实数与数轴，先根据正方形的性质，得出，则，因为点表示的数为1，若点在数轴上（点在点左侧），故点所表示的数为，即可作答． 【详解】解：∵正方形的面积为5 ， ∴， ∵， ∴， ∵点表示的数为1，若点在数轴上（点在点左侧）， ∴点所表示的数为，即 故选：D 6．估计的值（   ） A．在3和4之间 B．在2和3之间 C．在1和2之间 D．在0和1之间 【答案】D 【分析】本题主要考查了无理数的估算，准确判断是解题的关键． 先算出的范围，再计算范围即可． 【详解】， ， ， ； 故选：． 7．若，，则的值约为（    ） A．1.01 B．0.101 C．0.341 D．0.0341 【答案】A 【分析】本题考查算术平方根．根据算术平方根的性质求解即可． 【详解】解：∵被开方数由102.01到1.0201缩小了100倍 ∴结果由10.1缩小10倍，即1.01． 故选：A． 8．将全体自然数的算术平方根如图进行排列，如第3行第2列是，那么第101行第100列是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查算术平方根及规律探索问题，结合已知条件总结出规律是解题的关键．通过观察可知第n行第列：n为偶数时，n为奇数时，由此规律即可求解． 【详解】解：第2行第1列， 第3行第2列， 第4行第3列， 第5行第4列， …… 第n行第列： n为偶数时， n为奇数时， 当时，第101行第100列为． 故选：B． 9．已知是5的算术平方根，则的立方根是（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】先根据算术平方根的定义确定x的值，再计算的值，最后求其立方根． 本题主要考查了算术平方根的定义和立方根的定义，熟练掌握算术平方根的定义和立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵x是5的算术平方根， ∴， ∴， 的立方根， ∴的立方根是， 故选：C． 10．观察下面表格，结论不正确的是（　　） 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 4.41 4.84 5.29 5.76 6.25 6.76 7.29 7.84 8.41 A．2.1的平方是4.41 B． C．5.76的算术平方根是2.4 D．当时，随着的增大，的值也增大 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的估算，算术平方根的定义，乘方的计算，根据表格数据逐一验证选项的正确性，重点分析平方根的范围及函数单调性． 【详解】解：A、当时，，正确； B、由表格可知，，，因，故，原结论错误； C、，故5.76的算术平方根为2.4，正确； D、表格中x从2.1到2.9时，依次递增，正确， 故选：B． 2． 填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根的定义，熟练掌握平方根的定义（若，则叫做的平方根）是解题的关键．先将带分数化为假分数，再根据平方根的定义求解． 【详解】解：∵ 又∵ ∴ 的平方根是 故答案为：． 12．若有理数a与b满足，则的立方根为 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质及立方根，根据算术平方根和平方的非负性，求出a，b的值，再求立方根即可． 【详解】解：由题意知，， ，， ， ， 故答案为：． 13．已知a为正整数，，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查估算无理数的大小，熟练掌握算术平方根的定义是正确解答的关键．根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可． 【详解】解：∵，，而， ∴， 又∵a为正整数，， ∴． 故答案为：3． 14．在数轴上，点与原点距离个单位，点和原点相距个单位，则之间的距离为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了数轴与实数，数轴上两点间距离，由题意可得点表示的数为或，点表示的数为或，再分四种情况，利用两点距离求出即可求解，掌握数轴上两点间距离公式是解题的关键． 【详解】解：由题意得，点表示的数为或，点表示的数为或， 当点表示的数为，点表示的数为时，； 当点表示的数为，点表示的数为时，； 当点表示的数为，点表示的数为时，； 当点表示的数为，点表示的数为时，； 综上，之间的距离为或， 故答案为：或． 15．观察下列各式：① ；②；③，……，根据规律写出第个式子： ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的运算规律探究，分式的加减运算，根据题意推导规律计算求解是解题的关键． 根据题意找规律写出结果即可． 【详解】解：由， ， ， 所以． 故答案为：． 16．我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：，，这三个数，，，，其结果6，3，2都是整数，所以，，这三个数称为“完美组合数”．若三个数，，是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为12，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根，读懂题意，由，所以分两种情况讨论：当时；当时；分别计算即可，理解“完美组合数”的定义是解题的关键． 【详解】解： ， 分两种情况讨论： ①当时，， ； 且。符合题意； ②当时，， （不符合题意，舍去）； 综上，的值是， 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查算术平方根，乘方，立方根，有理数的加减，掌握知识点是解题的关键． （1）先计算算术平方根，乘方，立方根，最后再进行有理数的加减运算即可； （2）先计算算术平方根，乘方，最后再进行有理数的加减运算即可． 【详解】（1）解： ． （2） ． 18．（8分）已知实数的算术平方根是，的立方根是2． (1)求、的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，； (2) 【分析】本题考查了平方根，算术平方根，立方根，掌握这些知识点是解题的关键． （1）根据算术平方根的定义求出a的值，根据立方根的定义求出b的值； （2）将a、b的值代入中计算，再求其平方根即可． 【详解】（1）解：∵的算术平方根是， ∴， ∴， ∵的立方根是2， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴的平方根为． 19．（8分）先填写表，通过观察后再回答问题． (1)表格中______，______． (2)从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知，，则______； ②已知，，用含m的代数式表示n，则______． 【答案】(1)，； (2)①；②； 【分析】本题主要考查算术平方根的理解和规律的应用． （1）填写表格，通过计算，即可得到答案； （2）观察规律，从表格中可发现当的值扩大到原来倍时，的值扩大到原来倍，①从到被开方数扩大到原来倍，结果扩大到原来倍，即可得到答案；②根据题意可得：，可得到，进而得到答案． 【详解】（1）解：根据表格可得：∵，， ∴； ∵，， ， 故答案为：；． （2）解：①从表格中可发现当的值扩大到原来倍时，的值扩大到原来倍， ∴从到被开方数扩大到原来倍， ∵， ∴； ②∵，， ∴， ∴， ∴． 20．（8分）我国高速公路规定小型汽车行驶的速度不得超过120千米/时，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆当时行驶的速度．所用的经验公式是，其中表示车速（单位：千米/小时），表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米）表示摩擦系数，经测量，米，，请你帮助判断一下，肇事汽车当时的速度是否超出了规定的速度？ 【答案】肇事汽车当时的速度超出了规定的速度 【分析】此题考查了算术平方根，熟练掌握运算法则，把d与f代入公式计算求出v的值是解本题的关键． 【详解】解：根据题意得：（千米/小时）， ∵， ∴肇事汽车当时的速度超出了规定的速度． 21．（10分）如图，长方形内两个相邻正方形的面积分别为6和9． (1)小正方形的边长在哪两个连续的整数之间？请说明理由． (2)求阴影部分的面积． (3)求最大长方形的周长． 【答案】(1)在2和3之间，理由见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了算术平方根的应用，无理数的大小估算，实数的运算，根据算术平方根的定义求正方形的边长是解题的关键． （1）根据正方形的面积公式得到小正方形的边长，然后估算即可； （2）根据正方形的面积公式得到大正方形的边长等于3，阴影部分的面积等于边长分别为和的长方形的面积； （3）最大长方形的周长等于边长分别为和3的长方形的周长． 【详解】（1）解：∵小正方形的面积为， ∴小正方形的边长为， ∵， ∴， ∴小正方形的边长在2和3之间． （2）解：∵大正方形的面积为， ∴大正方形的边长为3， ∴阴影部分的面积． （3）解：最大长方形的周长． 22．（10分）如图，小正方形的边长为1个单位长度，以数轴的原点为圆心，正方形的对角线的长为半径画圆，交数轴于两点． (1)写出点表示的数； (2)将点沿数轴向右移动两个单位长度得到点，求的长； (3)在（2）的情况下，若点是线段的中点，求点表示的数以及线段的长． 【答案】(1)点表示的数为和 (2) (3)点表示的数为，线段的长为 【分析】本题考查了实数的运算，实数与数轴，平方根的概念理解，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先求出，再由表示出点表示的数； （2）先求出点表示的数，再由数轴上两点距离公式求解； （3）根据点是线段的中点，得到，则，即可求出，再由数轴上两点距离公式求解． 【详解】（1）解：如图，，那么4个一样的等腰直角三角形拼成一个面积为的正方形，如图： ∴， ∴（舍负）， ∴， ∴点表示的数为和； （2）解：由题意得点表示的数为， ∴； （3）解：设点表示的数为 ∵点是线段的中点， ∴， ∴， 解得， ∴． ∴点表示的数为，线段的长为． 23．（10分）观察：，即的整数部分为2，小数部分为．规定符号表示实数的整数部分，例如：，请你运用上述规律解决下面的问题： (1)按此规定___________． (2)如果的小数部分为的整数部分为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查无理数的估算，掌握无理数的估算方法是解题的关键． （1）根据无理数的估算得到，结合题意即可求解； （2）根据题意可得，，，由此得到，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵，即， ∴， ∵规定符号表示实数的整数部分， ∴， 故答案为：； （2）解：∵，即， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴． 24．（10分）阅读材料，完成任务． 材料一 数形结合是重要的数学思想．按照图①所示将两个边长为1的小正方形进行剪拼（无缝隙不重叠的拼接）成一个大的正方形，可以得到无理数；按照图②和图③所示的两种剪拼方法将一个边长为1的正方形和一个边长为2的正方形剪拼出一个大正方形，可以得到无理数． 材料二 实数与数轴上的点一一对应．要在数轴上找到表示的点，关键是在数轴上构造线段．如图④，正方形的边长为1个单位长度，以原点为圆心，对角线长为半径画弧与数轴上分别交于点，，则点对应的数为，点对应的数为．类似的，我们可以在数轴上找到表示任意无理数的点． 任务 （1）材料1中，无理数是________； （2）如图⑤，改变图④中正方形的位置，用类似的方法作图，图⑤中点表示的数为________，点表示的数为________； （3）若，，求代数式的值，并在图⑥的数轴上作出表示这个代数式的值对应的点．（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） 【答案】（1）  （2），  （3），数轴表示见解析 【分析】本题考查了图形的变换、无理数、实数与数轴、绝对值化简、熟练掌握无理数的数轴上表示是关键． （1）根据正方形的面积，求出表示的数即可； （2）根据点在数轴上的位置，直接写出点和点表示的数即可； （3）根据的值代入所求代数式化简后，在数轴上表示出来即可． 【详解】解：（1）材料一中，， ∴，（负值舍去） 故答案为：； （2）根据点在数轴上的位置及范例计算方法可得：点表示的数是，表示的数是 ， 故答案为：，； （3）由（1）可知， ∴，， ， 在数轴上表示为点，如图所示： 1 学科网（北京）股份有限公司 $