第三章 圆 单元测试 2025-2026学年北师大版（2012）数学九年级下册

北师大版九年级下册 第三章 圆 单元测试 一、选择题 1.在平面直角坐标系中，以原点O为圆心，5为半径作圆，点P的坐标是（4，3），则点P与⊙O的位置关系是（　　） A.点P在⊙O内 B.点P在⊙O外 C.点P在⊙O上 D.点P在⊙O上或在⊙O外 2.“海上生明月，天涯共此时”，如图是记录的日出美景，图中太阳与海天交界处可看成圆与直线，它们的位置关系是（　　） A.相切 B.相交 C.相离 D.平行 3.如图，⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为M，N，Q，已知∠ABC＝90°，CM＝2，AM＝3，则⊙O的半径为（　　） A. B. C.1 D.2 4.已知圆O的半径为5，同一平面内有一点P，且OP＝4，则点P与圆O的关系是（　　） A.点P在圆内 B.点P在圆外 C.点P在圆上 D.无法确定 5.如图，AB为⊙O的弦，OD⊥AB于点D，∠BOC＝57°，过点A作⊙O的切线交OD的延长线于点C，则∠C的度数为（　　） A.43° B.37° C.35° D.33° 6.已知⊙O的半径为5 cm，直线l1∥l2．若l1与⊙O相切，l1与l2的距离为10 cm，则l2与⊙O的位置关系是（　　） A.相交 B.相离 C.相切 D.相离或相切 7.如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝4，将△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到△ADE，点B经过的路径为BD，则图中阴影部分的面积为（　　） A. B. C. D. 8.我们都知道蜂巢是很多个正六边形组合来的．正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、用材最少、空间最大、也最为坚固、如图，某蜂巢的房孔是边长为6的正六边形ABCDEF，若⊙O的内接正六边形为正六边形ABCDEF，则BF的长为（　　） A.12 B. C. D. 9.如图，点O是正十二边形的中心，OM⊥FG于点M，则正确的是（　　） A.OM＝OF•sin15° B.OM＝OF•sin30° C.OM＝OF•cos15° D.OM＝OF•tan15° 10.如图，△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝2，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，连接ED，则CD的长为（　　） A.1 B. C.2 D. 11.已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于E点，BE＝1，AE＝5，∠AEC＝30°，则CD的长为（　　） A.4 B.4 C.3 D.5 12.如图，△ABC的顶点均在⊙O上，且AB＝AC，∠BAC＝120°，D为弦BC的中点，弦EF经过点D，且EF∥AB．若⊙O的半径为4，则弦EF的长是（　　） A.3 B.2 C.2 D.2 二、填空题 13.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，连结CE，若∠DCE＝20°，则∠DAB＝　     　． 14.如图，一块直角三角板的30°角的顶点P落在⊙O上，两边分别交⊙O于A，B两点，连结AO，BO，则∠AOB的度数 　   　°． 15.如图，AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD、CE分别与⊙O相切于点D、E，若AD＝2，∠DAC＝∠DCA，则CE＝　   　． 16.已知平面直角坐标系中的三个点分别为A（1，﹣1）、B（﹣2，5）、C（4，﹣6），则A、B、C这三个点 　   　确定一个圆（填“可以”或“不可以”）． 17.如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两个点，将⊙O沿弦AD折叠，圆弧AD恰好与弦CB，CA分别相切于点E，A．若AB＝4，则△ABC的面积为 　　． 三、解答题 18.已知，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以AB为直径的⊙O与BC相交于点E，在AC上取一点D，使得DE＝AD， （1）求证：DE是⊙O的切线． （2）当BC＝10，AD＝4时，求⊙O的半径． 19.已知：如图AB是⊙O的直径，AC是弦，直线EF是过点C的⊙O的切线，AD⊥EF于点D． （1）求证：∠BAC＝∠CAD； （2）若∠B＝30°，AB＝12，求AC的长． 20.如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，过点C作∠BCD＝∠ACB交⊙O于点D，连接AD交BC于点E，延长DC至点F，使CF＝AC，连接AF． （1）求证：ED＝EC； （2）求证：AF是⊙O的切线． 21.如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，连接BO并延长交⊙O于点D，连接AD，CD．在上取一点F，使＝，连接BF，CF，BF与AC交于点G． （1）试求∠ACD与∠ABC的数量关系； （2）求证：CF∥AB； 22.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB＝AC，CD⊥AB于点D，BO的延长线交CD于点E． （1）求证：∠DBE＝∠DCB； （2）若BC＝4，BE＝4，求OE的长． 北师大版九年级下册 第三章 圆 单元测试（参考答案） 一、选择题 1.在平面直角坐标系中，以原点O为圆心，5为半径作圆，点P的坐标是（4，3），则点P与⊙O的位置关系是（　　） A.点P在⊙O内 B.点P在⊙O外 C.点P在⊙O上 D.点P在⊙O上或在⊙O外 【答案】C 【解析】∵点P的坐标是（4，3）， ∴OP＝＝5， 而⊙O的半径为5， ∴OP等于圆的半径， ∴点P在⊙O上． 故选：C． 2.“海上生明月，天涯共此时”，如图是记录的日出美景，图中太阳与海天交界处可看成圆与直线，它们的位置关系是（　　） A.相切 B.相交 C.相离 D.平行 【答案】B 【解析】图中太阳与海天交界处可看成圆与直线，它们的位置关系是相交， 故选：B． 3.如图，⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为M，N，Q，已知∠ABC＝90°，CM＝2，AM＝3，则⊙O的半径为（　　） A. B. C.1 D.2 【答案】C 【解析】连接OM、ON、OQ， 根据切线长定理可得，AN＝AM＝3、CQ＝CM＝2，∠ONB＝∠OQB＝90°， 又∵ON＝OQ＝r，∠ABC＝90°， ∴四边形ONBQ为正方形，即QB＝BN＝r， 在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2， ∵CM＝2，AM＝3， ∴AB＝3+r，BC＝2+r，AC＝2+3＝5， ∴（3+r）2+（2+r）2＝52， 解得r1＝1，r2＝﹣6（舍去）， ∴⊙O的半径为1． 4.已知圆O的半径为5，同一平面内有一点P，且OP＝4，则点P与圆O的关系是（　　） A.点P在圆内 B.点P在圆外 C.点P在圆上 D.无法确定 【答案】A 【解析】设圆的半径为r， 由题意得：OP＝4＜r＝5， ∴点P与圆O的关系是：点P在圆内． 故选：A． 5.如图，AB为⊙O的弦，OD⊥AB于点D，∠BOC＝57°，过点A作⊙O的切线交OD的延长线于点C，则∠C的度数为（　　） A.43° B.37° C.35° D.33° 【答案】D 【解析】连接OA， ∵OD⊥AB于点D， ∴＝， ∴∠AOC＝∠BOC＝57°， ∵AC切圆于A， ∴半径OA⊥AC， ∴∠OAC＝90°， ∴∠C＝90°﹣∠AOC＝33°． 故选：D． 6.已知⊙O的半径为5 cm，直线l1∥l2．若l1与⊙O相切，l1与l2的距离为10 cm，则l2与⊙O的位置关系是（　　） A.相交 B.相离 C.相切 D.相离或相切 【答案】D 【解析】∵⊙O的半径为5 cm， ∴⊙O的直径为10 cm， ∵l1与l2的距离为10 cm， ∴⊙O的直径等于l1与l2的距离， ∵l1与⊙O相切， ∴圆心O到直线l1的距离等于5 cm， 当l1与l2位于⊙O的两侧时，圆心O到直线l2的距离等于10﹣5＝5 cm， ∴l2与⊙O相切； 当l1与l2位于⊙O的同侧时，圆心O到直线l2的距离等于10+5＝15 cm， ∴l2与⊙O相离， ∴l2与⊙O的位置关系是相离或相切． 故选：D． 7.如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝4，将△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到△ADE，点B经过的路径为BD，则图中阴影部分的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】∵AB＝5，AC＝3，BC＝4， ∴△ABC为直角三角形， 由题意得，△AED的面积＝△ABC的面积， 由图形可知，阴影部分的面积＝△AED的面积+扇形ADB的面积﹣△ABC的面积， ∴阴影部分的面积＝扇形ADB的面积＝＝， 故选：D． 8.我们都知道蜂巢是很多个正六边形组合来的．正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、用材最少、空间最大、也最为坚固、如图，某蜂巢的房孔是边长为6的正六边形ABCDEF，若⊙O的内接正六边形为正六边形ABCDEF，则BF的长为（　　） A.12 B. C. D. 【答案】C 【解析】如图，连接OA、OB， ∵六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形， ∴AB＝AF＝6，∠AOB＝＝60°， ∴OA⊥BF， ∴BG＝FG， 在Rt△BOG中，∠O＝60°，OB＝6， ∴BG＝OB＝3， ∴BF＝2BG＝6， 故选：C． 9.如图，点O是正十二边形的中心，OM⊥FG于点M，则正确的是（　　） A.OM＝OF•sin15° B.OM＝OF•sin30° C.OM＝OF•cos15° D.OM＝OF•tan15° 【答案】C 【解析】连接OG， ∵点O是正十二边形的中心， ∴∠FOG＝＝30°， ∵OM⊥FG， ∴∠FOM＝FOG＝15°， ∴OM＝OF•cos15°， 故选：C． 10.如图，△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝2，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，连接ED，则CD的长为（　　） A.1 B. C.2 D. 【答案】B 【解析】连接AE， ∵AB为直径， ∴AE⊥BC， ∵AB＝AC， ∴BE＝CE＝BC＝， ∵∠C＝∠C，∠CDE＝∠ABC， ∴△CDE∽△CBA， ∴＝， ∴CE•CB＝CD•CA， ∵AC＝AB＝4， ∴•2＝4CD， ∴CD＝． 故选：B． 11.已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于E点，BE＝1，AE＝5，∠AEC＝30°，则CD的长为（　　） A.4 B.4 C.3 D.5 【答案】A 【解析】作OM⊥CD于点M，连接OC，则CM＝CD， ∵BE＝1，AE＝5， ∴OC＝AB＝＝＝3， ∴OE＝OB﹣BE＝3﹣1＝2， ∵Rt△OME中，∠AEC＝30°， ∴OM＝OE＝×2＝1， 在Rt△OCM中， ∵OC2＝OM2+MC2，即32＝12+CM2，解得CM＝2， ∴CD＝2CM＝2×2＝4． 12.如图，△ABC的顶点均在⊙O上，且AB＝AC，∠BAC＝120°，D为弦BC的中点，弦EF经过点D，且EF∥AB．若⊙O的半径为4，则弦EF的长是（　　） A.3 B.2 C.2 D.2 【答案】B 【解析】连接OA、OB、OF，作OH⊥EF于点H，则∠OHD＝∠OHF＝90°， ∵AB＝AC， ∴＝， ∴OA垂直平分BC， ∵D为弦BC的中点， ∴BD＝CD，OA经过点D， ∵∠BAC＝120°， ∴∠OAB＝∠OBA＝∠BAC＝60°， ∵OA＝OB＝4， ∴△AOB是等边三角形， ∵OA⊥BC于点D， ∴OD＝AD＝OA＝2， ∵EF∥AB， ∴∠ODH＝∠OAB＝60°， ∴∠DOH＝30°， ∴DH＝OD＝1， ∴OH＝＝＝， ∵OF＝4， ∴EH＝FH＝＝＝， ∴EF＝2， 故选：B． 二、填空题 13.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，连结CE，若∠DCE＝20°，则∠DAB＝　     　． 【答案】110° 【解析】∵BE是⊙O的直径， ∴∠BCE＝90°， ∵∠DCE＝20°， ∴∠BCD＝90°﹣20°＝70°， ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠DAB＝180°﹣∠BCD＝180°﹣70°＝110°． 故答案为：110°． 14.如图，一块直角三角板的30°角的顶点P落在⊙O上，两边分别交⊙O于A，B两点，连结AO，BO，则∠AOB的度数 　   　°． 【答案】60° 【解析】由图可知：∠P＝30°， ∵＝， ∴∠AOB＝2∠P＝60°， 故答案为：60°． 15.如图，AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD、CE分别与⊙O相切于点D、E，若AD＝2，∠DAC＝∠DCA，则CE＝　   　． 【答案】2 【解析】∵CD、CE分别与⊙O相切于点D、E， ∴CD＝CE， ∵∠DAC＝∠DCA， ∴AD＝CD， ∴AD＝CE， ∵AD＝2， ∴CE＝2． 16.已知平面直角坐标系中的三个点分别为A（1，﹣1）、B（﹣2，5）、C（4，﹣6），则A、B、C这三个点 　   　确定一个圆（填“可以”或“不可以”）． 【答案】可以 【解析】可以．理由如下： 设直线AB的解析式为y＝kx+b， 把A（1，﹣1），B（﹣2，5）代入得 ， 解得， 所以直线AB的解析式为y＝﹣2x+1， 当x＝4时，y＝﹣2x+1＝﹣8+1＝﹣7， 所以点C（4，﹣6）不在直线AB上， 即点A、B、C不共线， 所以过A、B、C这三个点可以确定一个圆． 17.如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两个点，将⊙O沿弦AD折叠，圆弧AD恰好与弦CB，CA分别相切于点E，A．若AB＝4，则△ABC的面积为 　　． 【答案】解：设弧AED所在圆的圆心为Q，连接QA，QE，QO，如图所示： ∵CB，CA分别与弧AED相切于点E，A， ∴QA⊥CA，QE⊥BC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠C＝90°， ∴四边形ACEQ为矩形， 又∵QA＝QE， ∴四边形ACEQ为正方形， 由折叠的性质可知：弧AED和弧AD关于直线AD对称， ∴点Q和点O关于直线AD对称， ∴AD是QO的垂直平分线， ∴AQ＝AO， ∴AC＝AO， ∴AC＝AB＝2， 在Rt△ABC中，AC＝2，AB＝4， 由勾股定理得：BC＝＝， ∴S△ABC＝AC•BC＝×2×＝． 故答案为：． 三、解答题 18.已知，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以AB为直径的⊙O与BC相交于点E，在AC上取一点D，使得DE＝AD， （1）求证：DE是⊙O的切线． （2）当BC＝10，AD＝4时，求⊙O的半径． 【答案】（1）证明：连接OE、OD， 在△AOD和△EOD中， ∴△AOD≌△EOD（SSS）， ∴∠OED＝∠BAC＝90°， ∴DE是⊙O的切线； （2）解：∵△AOD≌△EOD， ∴∠AOD＝∠EOD， ∵OB＝OE， ∴∠B＝∠OEB， ∵∠AOE＝∠B+∠OEB， ∴∠BEO＝∠EOD， ∴OD∥BC，又AO＝BO， ∴OD＝BC＝5， 由勾股定理得，AO＝＝3， 则⊙O的半径为3． 19.已知：如图AB是⊙O的直径，AC是弦，直线EF是过点C的⊙O的切线，AD⊥EF于点D． （1）求证：∠BAC＝∠CAD； （2）若∠B＝30°，AB＝12，求AC的长． 【答案】（1）证明：连接OC，如图， ∵DE为切线， ∴OC⊥DE， 而AD⊥EF， ∴OC∥AD， ∴∠OCA＝∠CAD， ∵OA＝OC， ∴∠BAC＝∠OCA， ∴∠BAC＝∠CAD； （2）解：∵AB为直径， ∴∠ACB＝90°， 在Rt△ABC中，∵∠B＝30°， ∴AC＝AB＝×12＝6． 20.如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，过点C作∠BCD＝∠ACB交⊙O于点D，连接AD交BC于点E，延长DC至点F，使CF＝AC，连接AF． （1）求证：ED＝EC； （2）求证：AF是⊙O的切线． 【答案】证明：（1）∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， 又∵∠ACB＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC， ∴∠BCD＝∠ADC， ∴ED＝EC； （2）如图，连接OA， ∵AB＝AC， ∴， ∴OA⊥BC， ∵CA＝CF， ∴∠CAF＝∠CFA， ∴∠ACD＝∠CAF+∠CFA＝2∠CAF， ∵∠ACB＝∠BCD， ∴∠ACD＝2∠ACB， ∴∠CAF＝∠ACB， ∴AF∥BC， ∴OA⊥AF， ∴AF为⊙O的切线． 21.如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，连接BO并延长交⊙O于点D，连接AD，CD．在上取一点F，使＝，连接BF，CF，BF与AC交于点G． （1）试求∠ACD与∠ABC的数量关系； （2）求证：CF∥AB； 【答案】解：（1）∠ACD+∠ABC＝90°．理由如下： ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB． ∵∠ACB＝∠ADB， ∴∠ABC＝∠ADB． ∵BD是直径， ∴∠BAD＝90°， ∴∠ADB+∠ABD＝90°． ∵∠ACD＝∠ABD， ∴∠ACD+∠ABC＝90°． （2）证明：连接AF，DF， ∵DF＝AD， ∴BD垂直平分AF， ∴AB＝BF， ∴∠BAF＝∠AFB． ∵∠ACB＝∠AFB＝∠ABC，∠CAF＝∠CBF， ∴∠BAF﹣∠CAF＝∠ABC﹣∠CBF， ∴∠BAC＝∠ABF， ∵∠BAC＝∠BFC， ∴∠ABF＝∠BFC， ∴AB∥CF． 22.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB＝AC，CD⊥AB于点D，BO的延长线交CD于点E． （1）求证：∠DBE＝∠DCB； （2）若BC＝4，BE＝4，求OE的长． 【答案】（1）证明：延长BE交⊙O于点F，连接CF， ∵BF是⊙O的直径， ∴∠BCF＝90°， ∴∠F+∠FBC＝90°， ∵CD⊥AB， ∴∠BDC＝∠ADC＝90°， ∴∠A+∠ACD＝90°， ∵∠A＝∠F， ∴∠ACD＝∠FBC， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∴∠ABC﹣∠FBC＝∠ACB﹣∠ACD， ∴∠DBE＝∠DCB； （2）解：∵∠BDC＝90°， ∴∠DBE+∠DEB＝90°， ∵∠FCB＝90°， ∴∠FCE+∠DCB＝90°， ∵∠DBE＝∠DCB， ∴∠DEB＝∠FCE， ∵∠DEB＝∠FEC， ∴∠FEC＝∠FCE， ∴FE＝FC， 设FE＝FC＝x， 在Rt△CBF中，BC＝4，BF＝BE+EF＝4+x， ∴BC2+CF2＝BF2， ∴32+x2＝（4+x）2， 解得：x＝2， ∴BF＝4+x＝6， ∴OB＝BF＝3， ∴OE＝BE﹣OB＝4﹣3＝1， ∴OE的长为1． 学科网（北京）股份有限公司 $