专题17 整式的乘法【考点梳理+重点题型+中考真题】 2025-2026学年人教版（2024）八年级数学上册

专题17 整式的乘法 （重难点题型专训） 【知识考点 整式的乘法】 【解题知识必备】 1.单项式与单项式相乘 （1）法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. （2）注意：①系数：积的系数等于系数的积； ②相同字母：相同字母的幂相乘； ③单独字母：连同它的指数作为积的一个因式． 2.单项式与多项式相乘 （1）法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. （2）用式子表示： （3）注意：①依据是乘法分配律；②积的项数与多项式的项数相同；③在做乘法运算时，一定要注意单项式和多项式中每一项的符号，不要乘错。 3.多项式与多项式相乘 （1）法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把 所得的积相加. （2）用式子表示： （3）注意：①不要漏乘；②符号问题；③最后结果应化成最简形式 (是同类项的要合并). 4.同底数幂的除法 （1）法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减． （2）用式子表示：am÷an＝am﹣n（a≠0，m，n都是正整数，m＞n）． （3）同底数幂的除法性质的推广：三个及以上的的同底数幂相除，即am÷an÷ a p＝am-n-p（a≠0，m，n，p都是正整数，并且m＞n+p）． （4）同底数幂除法性质的逆用：am﹣n＝am÷an（m，n是正整数）． （5）注意：①底数a≠0，因为0不能做除数；②单独的一个字母，其指数是1，而不是0； ③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么． 5.零指数幂的意义 （1）性质：任何不等于0 的数的0次幂都等于1.即：a0 = 1 (a≠0). （2）注意：①只有当底数不为零时，它的零次幂才等于1. ②底数a可是单项式，也可以是多项式，但不能为0. 6.单项式除以单项式 （1）法则：单项式相除, 把系数与同底数的幂分别相除作为商的因式；对于在被除式里含有的字母，则连它的指数作为商的一个因式. （2）单项式除以单项式分为三个步骤： ①把系数相除，所得结果做为商的系数； ②把同底数幂分别相除，所得结果作为商的因式； ③把只在被除式里含有的字母，连同它的指数作为商的一个因式. 7.多项式除以单项式 （1）法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加． （2）用式子表示：(am+an)÷m=am÷m+b m÷n=a+b． （3）注意：①应用法则就是把多项式除以单项式转化为单项式除以单项式． ②计算时要注意符号问题，多项式中每一项都包含它前面的符号，同时还要注意单项式的符号. ③计算时不要漏项，多项式除以单项式的结果是一个多项式，其项数与被除式的项数相同． 【重难点常考题型梳理】 【题型01】 单项式乘以单项式的有关运算 【题型02】 单项式乘以多项式的有关运算 【题型03】 多项式乘以多项式的有关运算 【题型04】 同底数幂除法的有关运算及逆用 【题型05】 零指数幂法则的有关运算 【题型06】 单项式除以单项式的有关运算 【题型07】 多项式除以单项式的有关运算 【题型08】 多项式乘积中不含某项的求值问题 【题型09】 整式乘法中的规律问题 【题型10】 整式乘法中的化简求值 【题型11】 整式乘法的实际应用 【题型12】 整式的混合运算 【特训13】 综合强化提升 【特训14】 直通中考真题 【题型01】 单项式乘以单项式的有关运算 【例1】（2025-2026八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【变式1-1】（2024-2025八年级上·河南南阳·阶段练习）已知单项式与的积为，则的值为（    ） A．12 B．9 C．6 D．3 【变式1-2】（2024-2025八年级·安徽滁州·期中）若，则的值为 ． 【变式1-3】（2024-2025八年级上·湖北宜昌·阶段练习） 计算：． 【题型02】 单项式乘以多项式的有关运算 【例2】（2023-2024八年级上·吉林松原·期中）计算：． 【变式2-1】（2024-2025八年级上·河南周口·阶段练习）若，则（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【变式2-2】（2024-2025七年级下·四川成都·期末）若规定符号的意义是：，则当时，的值为 ． 【变式2-3】（2024-2025八年级·黑龙江绥化·期中）计算： （1） （2） 【题型03】 多项式乘以多项式的有关运算 【例3】（2024-2025七年级下·安徽蚌埠·期中）已知，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2024-2025八年级上·河南周口·期末）若，则的值为 ． 【变式3-2】（2024-2025七年级下·四川成都·期末）小明在数学综合实践课后，设计了以下运算．若，，且的取值与a无关，则 ． 【变式3-3】（2025-2026八年级上·全国·随堂练习）计算： （1） （2）． 【题型04】 同底数幂除法的有关运算及逆用 【例4】（2024-2025七年级·广东佛山·阶段练习）若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2024-2025八年级上·天津·期末）计算： ． 【变式4-2】（2024-2025七年级下·江苏南京·阶段练习）已知，则的值为 ，的值为 ． 【变式4-3】（2024-2025八年级上·安徽阜阳·阶段练习）已知，，． (1)求的值； (2)求的值． 【题型05】 零指数幂法则的有关运算 【例5】（2024-2025七年级下·江苏宿迁·期中）若，则应满足的条件是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2023-2024八年级上·福建福州·期中）计算：的结果是（   ）． A．0 B．1 C．－1 D．不能计算 【变式5-2】（2025-2026八年级上·全国·课后作业）如果，那么满足条件的所有整数的值为 ． 【变式5-3】（2024-2025八年级上·江苏南京·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【题型06】 单项式除以单项式的有关运算 【例6】（2024-2025八年级上·青海海北·期末）已知，则m和n的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式6-1】（2024-2025八年级上·河南周口·阶段练习）已知 ，则 的值为 ． 【变式6-2】（2024-2025八年级上·江西南昌·阶段练习）计算 【变式6-3】（2024-2025八年级上·广东东莞·期末）某科技馆中“数理世界”展厅的Wi-Fi密码被设计成如图所示的数学问题．小东在参观时认真观察，输入密码后顺利地连接到网络，则“？”处的数字是 ． 账号：shulishijie 密码：前四位：SLSJ 后四位：？ 【题型07】 多项式除以单项式的有关运算 【例7】（2025-2026八年级上·全国·课前预习）计算： （1）； （2）． 【变式7-1】（2024-2025七年级下·河南郑州·阶段练习）已知，其中n是正整数，的值是（   ） A． B．0 C．1 D．或1 【变式7-2】（2024-2025七年级下·陕西西安·期末）计算： 【变式7-3】（2024-2025八年级上·吉林通化·阶段练习） 计算：． 【题型08】 多项式乘积中不含某项的求值问题 【例8】（2024-2025八年级上·安徽合肥·阶段练习）若的展开式中不含x的二次项和一次项，求a，b的值． 【变式8-1】（2024-2025七年级下·广东梅州·期中）若的结果中不含x项与项，则代数式的值为 ． 【变式8-2】（2024-2025八年级上·甘肃天水·期中）若与的乘积中不含和的项，求m、n的值． 【变式8-3】（2024-2025七年级下·山东菏泽·期末）已知关于的代数式中不含项与项． （1）求的值； （2）求代数式的值． 【题型09】 整式乘法中的规律问题 【例9】（2024-2025八年级上·湖北襄阳·阶段练习）阅读材料一：可以展开成一个有规律的多项式： ； ； ； ； 阅读材料二：杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把二项式系数图形化．下面我们依次对展开式的各项系数进一步研究发现，当取正整数时可以单独列成表中的形式，表中每个数等于它上方两数之和．例如，在三角形中第二行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数． (1)多项式的展开式是一个 次 项式，各项系数和是 ； (2)写出的展开式： ；观察的展开式，各项系数和是 ； (3)利用材料中的规律计算：． 【变式9-1】（2024-2025八年级上·山东德州·阶段练习）已知，计算： ，，． (1)观察以上各式并猜想：_________．（为正整数） (2)根据你的猜想，计算： ①___________． ②___________．（为正整数） ③___________． (3)请根据以上猜想计算：的值． 【变式9-2】（2025-2026八年级上·山西长治·阶段练习）综合与实践 数学活动--探究日历中的数学规律 如图①是2025年8月份的日历，亮亮在其中任意画的方框，方框内的数字分别用表示（如图②），他准备计算“”的值，并探索其运算结果的规律． 【特例探究】（1）计算图①中方框内的结果：___________， ___________； 【推理演绎】（2）亮亮通过特例分析，猜想所有日历中，方框内“”的结果都不变，请你将他的证明过程补充完整； 证明：设，则． ．．．．．． 【类比应用】（3）乐乐学习亮亮的方法，借助2025年8月份的日历，继续进行如下探究：在日历中用“十字框”框住五个数（字母表示如图③所示），再探究“”的值的规律．请你帮他写出结论，并说明理由． 、 【变式9-3】（2024-2025八年级上·浙江嘉兴·期末）一般地，我们把按照确定顺序排列的一列数，，，叫做数列．若数列满足（为非零常数），我们把数列叫做等比数列，叫做公比；若数列满足，我们把数列叫做数列的“级等比数列”；若数列满足，我们把数列叫做数列的“级等比数列”；依次类推，若数列满足，我们把数列叫做数列的“级等比数列”，且为整数． (1)分别写出等比数列1，2，4，8的“2级等比数列”和“3级等比数列”； (2)若等比数列：，，，，． ①求该等比数列的所有数之和． ②设，，分别是该数列的，，级等比数列的所有数之和．若，求证：． 【题型10】 整式乘法中的化简求值 【例10】（2024-2025八年级上·内蒙古乌兰察布·期中）先化简再求值：，其中，． 【变式10-1】（2024-2025七年级下·湖南娄底·期末）若，则的值为（   ） A．17 B． C．5 D．11 【变式10-2】（2024-2025八年级上·北京·期中）先化简，再求值：，其中． 【变式10-3】（2024-2025八年级上·陕西渭南·阶段练习）先化简，再求值：，其中，． 【题型11】 整式乘法的实际应用 【例11】（2024-2025八年级上·四川绵阳·期末）如图是在一片长方形空地上设计一个长方形花圃的设计方案，已知空地的长比宽的2倍少1米，周边的道路是等宽的． (1)设空地的宽是米，周边道路的宽度是米，请表示出花圃的面积； (2)在（1）的条件下，若要求花圃的宽是米，请用表示出花圃的面积． 【变式11-1】（2024-2025七年级下·浙江衢州·期末）如图，将边长分别为2，3，5的正方形放置在长方形内，阴影部分的面积分别为，，若，则长方形的周长是 ． 【变式11-2】（2024-2025七年级下·河北石家庄·期末）如图，某小区为改善业主的居住环境，准备在一个长为米，宽为米的长方形草坪上修建两条宽为米的小路． (1)求这两条小路的总面积；（要求化成最简形式） (2)若，求这两条小路的总面积． 【变式11-3】（2024-2025八年级上·北京·期中）长方形窗户（如图1），是由上下两个长方形（长方形和长方形）的小窗户组成，在这两个小窗户上各安装了一个可以朝水平方向拉伸的遮阳帘，这两个遮阳帘的高度分别是a和（即，），其中．当遮阳帘没有拉伸时（如图1），若窗框的面积不计，则窗户的透光面积就是整个长方形窗户（即长方形）的面积．如图2，上面窗户的遮阳帘水平向右拉伸至．当下面窗户 的遮阳帘水平向左拉伸时，恰好与在同一直线上（即点G、H、P在同一直线上）． (1)求长方形窗户的总面积；（用含a、b的代数式表示） (2)如果上面窗户的遮阳帘拉伸至，下面窗户的遮阳帘拉伸至处时，窗户的透光面积恰好为长方形窗户面积的一半，求． 【题型12】 整式的混合运算 【例12】（2024-2025八年级上·江苏南通·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【变式12-1】（2024-2025七年级下·辽宁沈阳·期中）计算： (1) (2) 【变式12-2】（2024-2025七年级下·陕西宝鸡·阶段练习）已知，均为整式，小马在计算时，误把“”抄成了“”这样，他计算的正确结果为． (1)求的正确结果； (2)当时，求的值． 【变式12-3】（2025-2026八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【特训13】 综合强化提升 1.（2024-2025七年级下·陕西西安·期中）若，则的值是（   ） A． B． C．1 D．25 2.（2024-2025七年级下·浙江宁波·期末）如图，正方形和长方形的面积相等，点E，F分别在边，上，过点D，连接，的面积为1．若记长为x，长为y，当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（   ） A． B． C． D． 3.（2024-2025七年级下·重庆·期中）若，则 ． 4.（2024-2025七年级下·江苏苏州·期中）聪聪计算一道整式乘法的题：，由于聪聪将第一个多项式中的“”抄成“”，得到的结果为．这道题的正确结果是 ． 5.（2024-2025七年级下·河南郑州·期中）小郑用6个长为，宽为的小长方形按如图方式不重叠放在长方形内，未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示，其面积分别表示为，且．当的长度变化时，按照同样的放置方式，始终保持不变，则应满足的关系是 ． 6.（2024-2025七年级下·江苏苏州·期中）若等式恒成立，无论t为何值，的值始终为定值，则这个定值为 ． 7.（2024-2025七年级下·四川成都·期中）已知代数式与积是一个关于的三次多项式，且化简后含项的系数为1，则的值为 8.（2024-2025八年级·全国·假期作业）已知单项式和的积与是同类项，求的值． 9．（2025-2026八年级上·甘肃张掖·阶段练习）在计算时，小方同学看错了的值，计算结果为；小悦同学看错了的值，计算结果为． (1)求的值． (2)计算的正确结果． 10．（2024-2025八年级上·湖南衡阳·期中）李老师给学生出了一道题：当，时，求的值．题目出完后，小聪说：“老师给的条件，是多余的．”小明说：“不给这两个条件，就不能求出结果，所以不是多余的．”你认为他们谁说的有道理？为什么？ 11．（2025-2026八年级上·全国·课后作业）某市的环保局将一个长为分米，宽为分米，高为分米的长方体废水池中的满池废水注入一个正方体贮水池进行净化，请你想一想，是否存在一个正方体贮水池能将这些废水刚好装满？若存在，求出该正方体贮水池的棱长；若不存在，请说明理由． 12.（2024-2025七年级下·山东菏泽·期末）已知关于的代数式中不含项与项． (1)求的值； (2)求代数式的值． 13.（2024-2025八年级上·甘肃平凉·期末）甲、乙两人共同计算一道整式：，由于甲抄错了的符号，得到的结果是，乙漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果是． (1)求的值； (2)请计算这道题的正确结果． 14.（2024-2025七年级下·辽宁本溪·期末）已知的结果中不含项， (1)求的值； (2)在（1）的条件下，求的值； (3)计算的值． 15．（2024-2025七年级下·江苏无锡·阶段练习）先阅读材料，再解答问题： 例：已知，，试比较x、y的大小． 解：设，则，， ， 问题：已知，，试比较x，y的大小． 16.（2024-2025七年级·湖南长沙·期中）【概念学习】我们规定两数、之间的一种运算，记作：如果，那么；例如，记作． 【初步探究】（1）根据以上规定求出： ； ； 【深入思考】对于相同底数的幂的乘法运算，我们有， 例如． （2）小明发现也成立，并证明如下 设：，则 因为，所以，所以， 根据以上证明，请计算，请写清楚计算过程． （3）猜想，并说明理由． 17．（2024-2025八年级上·福建泉州·期末）某学习小组在综合实践课上，学习了“面积与代数恒等式”，知道很多代数恒等式可以用硬纸片拼成的图形面积来解释． 例如，图1可以解释．于是小明拼出如图2所示的边长为的正方形，用不同方法表示正方形的面积，即可得到一个代数恒等式．     (1)这个代数恒等式是：_____； (2)小组成员发现可利用（1）的结论解答下列问题： ①已知，，，，且．求证：a，b，c不能成为一个三角形的三条边长； ②在①的条件下，若，，且a，b，c为整数，求a，b，c的值． 18.（2024-2025八年级上·吉林·期中）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”（如图所示）就是一例．这个三角形的构造法则为：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和．事实上，这个三角形给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中各项的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应展开式中各项的系数等等．根据上面的规律，请你解答下列问题． (1)计算：________． (2)若（m，n是常数），则______，______． (3)若（x，y是常数），则______，_____． (4)直接写出式子的值． 【特训14】 直通中考真题 1．（2025·陕西·中考真题）计算的结果为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏宿迁·中考真题）下列计算结果为的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·辽宁·中考真题）下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 4．（2025·山东·中考真题）已知，则下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·青海·中考真题）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·黑龙江·中考真题）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（2025·四川广安·中考真题）下列各式运算结果为的是（   ） A． B． C． D． 8．（2024·甘肃兰州·中考真题）计算：（   ） A．a B． C． D． 9．（2023·陕西·中考真题）计算：（   ） A． B． C． D． 10．（2025·四川南充·中考真题）计算： ． 11．（2025·黑龙江绥化·中考真题）计算： ． 12．（2025·四川自贡·中考真题）若，则的值为 ． 13．（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）定义新运算：，则的运算结果是 ． 14．（2023·青海西宁·中考真题）计算： ． 15．（2025·广东深圳·中考真题）计算：． 16．（2025·浙江·中考真题）化简求值：，其中． 17．（2025·新疆·中考真题）计算： (1)； (2)． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题17 整式的乘法 （重难点题型专训） 【知识考点 整式的乘法】 【解题知识必备】 1.单项式与单项式相乘 （1）法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. （2）注意：①系数：积的系数等于系数的积； ②相同字母：相同字母的幂相乘； ③单独字母：连同它的指数作为积的一个因式． 2.单项式与多项式相乘 （1）法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. （2）用式子表示： （3）注意：①依据是乘法分配律；②积的项数与多项式的项数相同；③在做乘法运算时，一定要注意单项式和多项式中每一项的符号，不要乘错。 3.多项式与多项式相乘 （1）法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把 所得的积相加. （2）用式子表示： （3）注意：①不要漏乘；②符号问题；③最后结果应化成最简形式 (是同类项的要合并). 4.同底数幂的除法 （1）法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减． （2）用式子表示：am÷an＝am﹣n（a≠0，m，n都是正整数，m＞n）． （3）同底数幂的除法性质的推广：三个及以上的的同底数幂相除，即am÷an÷ a p＝am-n-p（a≠0，m，n，p都是正整数，并且m＞n+p）． （4）同底数幂除法性质的逆用：am﹣n＝am÷an（m，n是正整数）． （5）注意：①底数a≠0，因为0不能做除数；②单独的一个字母，其指数是1，而不是0； ③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么． 5.零指数幂的意义 （1）性质：任何不等于0 的数的0次幂都等于1.即：a0 = 1 (a≠0). （2）注意：①只有当底数不为零时，它的零次幂才等于1. ②底数a可是单项式，也可以是多项式，但不能为0. 6.单项式除以单项式 （1）法则：单项式相除, 把系数与同底数的幂分别相除作为商的因式；对于在被除式里含有的字母，则连它的指数作为商的一个因式. （2）单项式除以单项式分为三个步骤： ①把系数相除，所得结果做为商的系数； ②把同底数幂分别相除，所得结果作为商的因式； ③把只在被除式里含有的字母，连同它的指数作为商的一个因式. 7.多项式除以单项式 （1）法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加． （2）用式子表示：(am+an)÷m=am÷m+b m÷n=a+b． （3）注意：①应用法则就是把多项式除以单项式转化为单项式除以单项式． ②计算时要注意符号问题，多项式中每一项都包含它前面的符号，同时还要注意单项式的符号. ③计算时不要漏项，多项式除以单项式的结果是一个多项式，其项数与被除式的项数相同． 【重难点常考题型梳理】 【题型01】 单项式乘以单项式的有关运算 【题型02】 单项式乘以多项式的有关运算 【题型03】 多项式乘以多项式的有关运算 【题型04】 同底数幂除法的有关运算及逆用 【题型05】 零指数幂法则的有关运算 【题型06】 单项式除以单项式的有关运算 【题型07】 多项式除以单项式的有关运算 【题型08】 多项式乘积中不含某项的求值问题 【题型09】 整式乘法中的规律问题 【题型10】 整式乘法中的化简求值 【题型11】 整式乘法的实际应用 【题型12】 整式的混合运算 【特训13】 综合强化提升 【特训14】 直通中考真题 【题型01】 单项式乘以单项式的有关运算 【例1】（2025-2026八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【分析】此题考查了单项式的乘法，熟练掌握单项式乘法法则是关键． 根据单项式的运算法则逐题计算即可． 【解答】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． （4）解：原式． （5）解：原式． 【变式1-1】（2024-2025八年级上·河南南阳·阶段练习）已知单项式与的积为，则的值为（    ） A．12 B．9 C．6 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了单项式乘单项式法则：把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式，据此即可求出答案． 【解答】解， ， ，， ， 故选: C． 【变式1-2】（2024-2025八年级·安徽滁州·期中）若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查单项式乘以单项式及求值，根据单项式乘以单项式的法则进行计算，逆用幂的乘方，整体代入法进行计算即可． 【解答】解：∵， ， 故答案为：． 【变式1-3】（2024-2025八年级上·湖北宜昌·阶段练习） 计算：． 【答案】． 【分析】本题考查了整式的混合运算，根据积的乘方，单项式乘单项式的运算法则求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【解答】解： ． 【题型02】 单项式乘以多项式的有关运算 【例2】（2023-2024八年级上·吉林松原·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了整式的运算，熟练掌握运算的法则是解题的关键． 根据单项式乘多项式的乘法运算运算即可． 【解答】解： 【变式2-1】（2024-2025八年级上·河南周口·阶段练习）若，则（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】本题考查了单项式乘多项式，解决本题的关键是掌握单项式乘多项式法则；根据单项式乘多项式，可得相等的多项式，根据相等多项式的项相等，可得a，b的值，根据有理数的加法，可得答案． 【解答】解：， ， ， 故选：． 【变式2-2】（2024-2025七年级下·四川成都·期末）若规定符号的意义是：，则当时，的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，单项式乘多项式．根据题意，列出式子，再将变形为，整体代入求出结果． 【解答】解：由题意得 ． ∵， ∴， ∴原式． 故答案为：． 【变式2-3】（2024-2025八年级·黑龙江绥化·期中）计算： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，熟知单项式乘以多项式的计算法则是解题的关键． （1）根据单项式乘以多项式的计算法则求解即可； （2）先根据单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可得到答案． 【解答】解：（1）解： ； （2）解： ． 【题型03】 多项式乘以多项式的有关运算 【例3】（2024-2025七年级下·安徽蚌埠·期中）已知，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．利用整式的相应的法则对式子进行整理，再代入相应的值运算即可． 【解答】解：∵， ∴ 故选：B． 【变式3-1】（2024-2025八年级上·河南周口·期末）若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，多项式相等的条件，代数式求值，先利用多项式乘以多项式的运算法则展开左式，再根据多项式相等的条件求出的值，进而代入代数式计算即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【解答】解：， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式3-2】（2024-2025七年级下·四川成都·期末）小明在数学综合实践课后，设计了以下运算．若，，且的取值与a无关，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的乘法，整式的加减，根据新定义分别求得，进而根据的取值与a无关，得出，再代入求值，即可求解． 【解答】解： ∴ ∵的取值与a无关， ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 【变式3-3】（2025-2026八年级上·全国·随堂练习）计算： （1） （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查的是多项式乘以多项式； （1）先计算多项式乘以多项式，再合并即可； （2）按照多项式乘以多项式的运算法则计算即可． 【解答】解：（1）解： ． （2）解： ． 【题型04】 同底数幂除法的有关运算及逆用 【例4】（2024-2025七年级·广东佛山·阶段练习）若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了幂的运算，同底数幂的除法的逆应用，幂的乘方的逆应用，代数求值等知识点，解题的关键是掌握各运算的逆应用． 利用指数运算法则，将所求表达式分解为已知条件的代数式，代入计算即可． 【解答】解：， 将，代入上式得， 原式， 故选：B． 【变式4-1】（2024-2025八年级上·天津·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了积的乘方、同底数幂除法等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． 先算乘方，再按照同底数幂除法法则计算即可． 【解答】解： ． 故答案为：． 【变式4-2】（2024-2025七年级下·江苏南京·阶段练习）已知，则的值为 ，的值为 ． 【答案】 2 81 【分析】本题主要考查同底数幂的除法，根据同底数幂的除法运算法则进行计算即可． 【解答】解：∵， ∴ 又 ∴ ， 故答案为：2；81 【变式4-3】（2024-2025八年级上·安徽阜阳·阶段练习）已知，，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)40 (2)1 【分析】本题考查了幂的运算公式的逆用，能熟练利用幂的运算公式的逆用进行求解是解题的关键． （1）由同底数幂的乘法公式逆用得，即可求解； （2）由幂的乘方及同底数幂的除法公式逆用得，即可求解； 【解答】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：∵，， ∴ ． 【题型05】 零指数幂法则的有关运算 【例5】（2024-2025七年级下·江苏宿迁·期中）若，则应满足的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了零指数幂．根据零指数幂的定义，任何非零实数的零次方都等于1，因此底数必须不为零． 【解答】解：由题意，成立的条件是底数（否则无意义）． 解不等式，得． 因此，应满足的条件是， 故选：D． 【变式5-1】（2023-2024八年级上·福建福州·期中）计算：的结果是（   ）． A．0 B．1 C．－1 D．不能计算 【答案】B 【分析】本题主要考查零指数幂的计算，解题的关键是掌握． 由求解即可． 【解答】解：， 故选：B． 【变式5-2】（2025-2026八年级上·全国·课后作业）如果，那么满足条件的所有整数的值为 ． 【答案】1，或2 【分析】本题主要考查了0指数幂的性质，全面分类是解题的关键； 根据任何非0数的0次幂等于1；1的任何次幂都是1；的偶数次幂等于1这三种情况分类求解即可． 【解答】解：当且时，解得，符合题意； 当时，解得，符合题意； 当且为偶数时，解得，符合题意； 综上，满足条件的所有整数的值为1，或2； 故答案为：1，或2． 【变式5-3】（2024-2025八年级上·江苏南京·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先根据二次根式的性质、立方根的定义计算，再根据有理数的加减法则计算即可； （2）先根据零指数幂、绝对值、立方根的运算法则计算，再合并即可． 【解答】（1）解： ； （2）解： ． 【题型06】 单项式除以单项式的有关运算 【例6】（2024-2025八年级上·青海海北·期末）已知，则m和n的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了单项式除以单项式，根据单项式除以单项式法则可得，进而得到，，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【解答】解：∵， ∴， ∴，， 解得：，， 故选：D． 【变式6-1】（2024-2025八年级上·河南周口·阶段练习）已知 ，则 的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式除以单项式，以及求代数式的值，先计算积的乘方运算，再根据单项式除以单项式得出，，进而求出a，b的值，再计算单项式除以单项式，最后再代入a，b的值计算即可． 【解答】解：∵ ∴， ∴，， 解得：，， ∴ ， 【变式6-2】（2024-2025八年级上·江西南昌·阶段练习）计算 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算（包括积的乘方、单项式乘单项式、单项式除以单项式），解题的关键是熟练运用幂的运算法则（同底数幂相乘除，底数不变指数相加减；积的乘方，各因式分别乘方再相乘）． 计算积的乘方化简；按法则进行单项式乘法运算；按法则进行单项式除法运算，分步处理系数和同底数幂的指数． 【解答】解：按整式混合运算顺序计算： 故答案为：． 【变式6-3】（2024-2025八年级上·广东东莞·期末）某科技馆中“数理世界”展厅的Wi-Fi密码被设计成如图所示的数学问题．小东在参观时认真观察，输入密码后顺利地连接到网络，则“？”处的数字是 ． 账号：shulishijie 密码：前四位：SLSJ 后四位：？ 【答案】 【分析】本题考查幂的乘方，单项式乘以单项式及单项式除以单项式，先化简各式，得出密码与指数的关系即可得答案．熟练掌握运算法则，正确得出密码与指数的关系是解题关键． 【解答】解：，， ∴密码是x、y、z的指数按顺序拼接而成的数字， ∴， ∴密码是． 故答案为：． 【题型07】 多项式除以单项式的有关运算 【例7】（2025-2026八年级上·全国·课前预习）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了多项式除以单项式，正确掌握运算法则是解题的关键． 运用多项式除以单项式的法则进行计算，即可作答． 【解答】解：（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【变式7-1】（2024-2025七年级下·河南郑州·阶段练习）已知，其中n是正整数，的值是（   ） A． B．0 C．1 D．或1 【答案】D 【分析】本题考查了多项式与单项式的除法，多项式除以单项式用多项式的每一项分别与单项式相除即可．先根据多项式与单项式的除法法则把等式左边化简求出a，b的值，然后代入计算即可． 【解答】解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴或， ∴或． 故选D． 【变式7-2】（2024-2025七年级下·陕西西安·期末）计算： 【答案】 【分析】本题考查了多项式除以单项式，解题的关键是掌握运算法则．根据多项式除以单项式法则计算． 【解答】解：原式 【变式7-3】（2024-2025八年级上·吉林通化·阶段练习） 计算：． 【答案】 【分析】本题考查了多项式除以单项式，熟练掌握运算法则是解题关键．根据多项式除以单项式的计算方法求解即可． 【解答】解： ． 【题型08】 多项式乘积中不含某项的求值问题 【例8】（2024-2025八年级上·安徽合肥·阶段练习）若的展开式中不含x的二次项和一次项，求a，b的值． 【答案】； 【分析】本题考查的是多项式的乘法运算的结果中不含某项，先计算多项式的乘法，合并同类项，再根据不含某项建立方程求解即可. 【解答】解：原式， 的展开式中不含x的二次项和一次项， ， 解得． 【变式8-1】（2024-2025七年级下·广东梅州·期中）若的结果中不含x项与项，则代数式的值为 ． 【答案】0 【分析】此题考查了多项式乘多项式，以及整式的混合运算－化简求值，利用多项式乘以多项式法则计算，整理后根据积中不含和项，求出与的值，再化简代数式，然后代入求解即可，掌握其运算法则是解题的关键． 【解答】解： ， ∵的积中不含项与项， ∴，， ∴，， ∴ ； 【变式8-2】（2024-2025八年级上·甘肃天水·期中）若与的乘积中不含和的项，求m、n的值． 【答案】的值为6，的值为3 【分析】本题考查了多项式乘以多项式、二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解题关键．先计算多项式乘以多项式，再根据含和的项的系数都等于0，据此求解即可得． 【解答】解： ， ∵与的乘积中不含和的项， ∴， 解得， 所以的值为6，的值为3． 【变式8-3】（2024-2025七年级下·山东菏泽·期末）已知关于的代数式中不含项与项． （1）求的值； （2）求代数式的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了多项式乘以多项式、积的乘方的逆运算，求代数式的值，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）利用多项式乘以多项式的运算法则进行计算，然后根据题意得出，即可得出m，n的值； （2）将m，n的值代入，再利用积的乘方的逆运算进行计算即可． 【解答】解：（1）解： =， ∵不含x项与项， ∴， 解得：； （2）． 【题型09】 整式乘法中的规律问题 【例9】（2024-2025八年级上·湖北襄阳·阶段练习）阅读材料一：可以展开成一个有规律的多项式： ； ； ； ； 阅读材料二：杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把二项式系数图形化．下面我们依次对展开式的各项系数进一步研究发现，当取正整数时可以单独列成表中的形式，表中每个数等于它上方两数之和．例如，在三角形中第二行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数． (1)多项式的展开式是一个 次 项式，各项系数和是 ； (2)写出的展开式： ；观察的展开式，各项系数和是 ； (3)利用材料中的规律计算：． 【答案】(1)五；六；32 (2)；64 (3) 【分析】本题考查数字的变化类、列代数式、多项式乘多项式，解答本题的关键是明确题意，发现多项式系数的变化特点，求出所求式子的值． （1）根据表中的规律可以直接写出的展开式，再将各系数的和相加即可得出答案； （2）根据规律可以写出的展开式，再将各系数的和相加即可得出答案； （3）把，代入，即可解答本题． 【解答】（1）解：由题意可得：， 故多项式的展开式是一个五次六项式， 各项系数和为：， 故答案为：五；六；32． （2）解：由题意可得：， 各项系数和为：， 故答案为：；64． （3）解：把，代入， 得：， ∴， ∴． 【变式9-1】（2024-2025八年级上·山东德州·阶段练习）已知，计算： ，，． (1)观察以上各式并猜想：_________．（为正整数） (2)根据你的猜想，计算： ①___________． ②___________．（为正整数） ③___________． (3)请根据以上猜想计算：的值． 【答案】(1)； (2)①；②；③； (3)． 【分析】本题考查了数字的变化，有理数的混合运算，多项式的乘法，解题的关键是掌握数字的变化规律，有理数的混合运算法则，多项式的乘法法则． （1）读懂题意，寻找数字变化规律； （2）利用（1）发现的规律解决问题； （3）原式变形后，利用得出的规律计算即可得到结果． 【解答】（1）解：（n为正整数）； 故答案为：； （2）① ； ②设，（n为正整数） ， ∴， ③ ； （3）原式 ． 【变式9-2】（2025-2026八年级上·山西长治·阶段练习）综合与实践 数学活动--探究日历中的数学规律 如图①是2025年8月份的日历，亮亮在其中任意画的方框，方框内的数字分别用表示（如图②），他准备计算“”的值，并探索其运算结果的规律． 【特例探究】（1）计算图①中方框内的结果：___________， ___________； 【推理演绎】（2）亮亮通过特例分析，猜想所有日历中，方框内“”的结果都不变，请你将他的证明过程补充完整； 证明：设，则． ．．．．．． 【类比应用】（3）乐乐学习亮亮的方法，借助2025年8月份的日历，继续进行如下探究：在日历中用“十字框”框住五个数（字母表示如图③所示），再探究“”的值的规律．请你帮他写出结论，并说明理由． 、 【答案】（1）7；7；（2）见详解；（3）的值保持不变，始终为，理由见详解 【分析】本题主要考查整式的运算，熟练掌握多项式乘以多项式是解题的关键； （1）根据题意直接进行求解即可； （2）由题意可知，然后进行求解即可； （3）设，则有，然后计算的值即可． 【解答】解：，； 故答案为7；7； （2）证明：设，则， ∴ ； ∴方框内“”的结果都不变； （3）设，则有， ∴ ； ∴的值保持不变，始终为． 【变式9-3】（2024-2025八年级上·浙江嘉兴·期末）一般地，我们把按照确定顺序排列的一列数，，，叫做数列．若数列满足（为非零常数），我们把数列叫做等比数列，叫做公比；若数列满足，我们把数列叫做数列的“级等比数列”；若数列满足，我们把数列叫做数列的“级等比数列”；依次类推，若数列满足，我们把数列叫做数列的“级等比数列”，且为整数． (1)分别写出等比数列1，2，4，8的“2级等比数列”和“3级等比数列”； (2)若等比数列：，，，，． ①求该等比数列的所有数之和． ②设，，分别是该数列的，，级等比数列的所有数之和．若，求证：． 【答案】(1)级等比数列为：，，， 级等比数列为：，，， (2) ① ②证明见解析 【分析】本题主要考查了数字类规律探索，整式乘法混合运算等知识点，理解材料提示的计算方法，掌握数字规律的计算及整式乘法混合运算法则是解题的关键． （1）根据材料提示的计算方法求解即可； （2）①根据题意可得，，两室相减即可得解；②根据题意，设数列的公比为，其，，级等比数列分别为，，，分别计算出，，的值，然后按照同底数幂的乘法、幂的乘方的逆用、积的乘方的逆用、整式乘法混合运算法则计算即可得出结论． 【解答】（1）解：等比数列1，2，4，8的公比为， ∴级等比数列为：，，，； 设3级等比数列为：， ∵， ∴，，，， ∴级等比数列为：，，，； （2）①解：若等比数列：，，，，， ∵，， ∴， 即：； ②证明：根据题意，若数列满足（为非零常数），数列满足，我们把数列叫做数列的“级等比数列”，且为整数， ∴设数列的公比为，其，，级等比数列分别为，，， ∴，，， ∴，，，， ，，，， ，，，， 又∵， ∴， ， ， ∵，， ∴， ∴． 【题型10】 整式乘法中的化简求值 【例10】（2024-2025八年级上·内蒙古乌兰察布·期中）先化简再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查整式运算中的化简求值，先进行多项式乘以多项式的计算，再合并同类项，进行化简，再代值计算即可． 【解答】解：原式 ； 当，时，原式． 【变式10-1】（2024-2025七年级下·湖南娄底·期末）若，则的值为（   ） A．17 B． C．5 D．11 【答案】A 【分析】本题考查整式化简求值，先利用多项式乘以多项式、平方差公式去括号，再合并同类项即可化简，最后结合已知条件代入求值即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【解答】解： ∵， ∴原式． 故选：A． 【变式10-2】（2024-2025八年级上·北京·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的化简求值，正确的去括号是解题的关键．先去括号，再根据合并同类项化简，最后将代入到化简后的结果进行计算即可． 【解答】解： ； 当时，原式． 【变式10-3】（2024-2025八年级上·陕西渭南·阶段练习）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】此题考查了整式的混合运算——化简求值，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键； 利用多项式除以单项式法则化简，然后把x与y的值代入计算即可解答． 【解答】解： ； 当，时， ． 【题型11】 整式乘法的实际应用 【例11】（2024-2025八年级上·四川绵阳·期末）如图是在一片长方形空地上设计一个长方形花圃的设计方案，已知空地的长比宽的2倍少1米，周边的道路是等宽的． (1)设空地的宽是米，周边道路的宽度是米，请表示出花圃的面积； (2)在（1）的条件下，若要求花圃的宽是米，请用表示出花圃的面积． 【答案】(1)平方米 (2)平方米 【分析】本题考查了列代数式，单项式乘多项式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，空地的长比宽的2倍少1米，设空地的宽是米，则分别表示出花圃的宽和长，再根据面积公式列式，即可作答． （2）由（1）得花圃的面积为平方米，先整理得，然后代入计算，即可作答． 【解答】（1）解：依题意，空地的长为米， ∵周边道路的宽度是米， ∴花圃的宽是米，花圃的长是米， ∴花圃的面积为平方米； （2）解：∵花圃的宽是米，且要求花圃的宽是米， ∴， 则， ∴花圃的面积为平方米． 【变式11-1】（2024-2025七年级下·浙江衢州·期末）如图，将边长分别为2，3，5的正方形放置在长方形内，阴影部分的面积分别为，，若，则长方形的周长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘法在几何图形中的应用，设，则可得到，，据此根据长方形面积计算公式求出，，再根据，求出的值即可得到答案． 【解答】解：设， ∴，， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴长方形的周长是， 故答案为：． 【变式11-2】（2024-2025七年级下·河北石家庄·期末）如图，某小区为改善业主的居住环境，准备在一个长为米，宽为米的长方形草坪上修建两条宽为米的小路． (1)求这两条小路的总面积；（要求化成最简形式） (2)若，求这两条小路的总面积． 【答案】(1)平方米 (2)48平方米 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式的应用，正确表示出这两条小路的总面积是解题的关键． （1）这两条小路的总面积等于长为米，宽为b米的长方形面积加上长为米，宽为b米的长方形面积再减去边长为b米的正方形面积，据此求解即可； （2）把代入（1）所求式子中计算求解即可． 【解答】（1）解：两条小路的总面积为： 平方米； （2）解：当时， 平方米，即此时这两条小路的总面积为48平方米． 【变式11-3】（2024-2025八年级上·北京·期中）长方形窗户（如图1），是由上下两个长方形（长方形和长方形）的小窗户组成，在这两个小窗户上各安装了一个可以朝水平方向拉伸的遮阳帘，这两个遮阳帘的高度分别是a和（即，），其中．当遮阳帘没有拉伸时（如图1），若窗框的面积不计，则窗户的透光面积就是整个长方形窗户（即长方形）的面积．如图2，上面窗户的遮阳帘水平向右拉伸至．当下面窗户 的遮阳帘水平向左拉伸时，恰好与在同一直线上（即点G、H、P在同一直线上）． (1)求长方形窗户的总面积；（用含a、b的代数式表示） (2)如果上面窗户的遮阳帘拉伸至，下面窗户的遮阳帘拉伸至处时，窗户的透光面积恰好为长方形窗户面积的一半，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将长方形的长和宽表示出来，再根据长方形面积公式，即可求解； （3）求出透光部分的面积，再根据窗户的透光面积恰好为长方形窗户面积的一半，得出等式，即可求出的值． 本题主要考查了整式的混合运算，解题的关键是正确理解题意，根据图形列出式子进行计算，熟练掌握整式混合运算的运算顺序和运算法则是解题的关键． 【解答】（1）解：由题知：，，，， ，， ， ∴长方形窗户的总面积为． （2）解：根据题意可得， ， ， ， ， ∴ ． ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【题型12】 整式的混合运算 【例12】（2024-2025八年级上·江苏南通·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，积的乘方计算，单项式乘以单项式，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式，最后合并同类项即可得到答案； （2）先计算多项式乘以多项式，再合并同类项即可得到答案． 【解答】（1）解： ； （2）解： ． 【变式12-1】（2024-2025七年级下·辽宁沈阳·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查整式的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式先计算积的乘方和幂的乘方，然后再计算单项式的乘法和除尘运算即可； （2）原式根据多项式除以单项式运算法则进行计算即可． 【解答】（1）解： ； （2）解： ． 【变式12-2】（2024-2025七年级下·陕西宝鸡·阶段练习）已知，均为整式，小马在计算时，误把“”抄成了“”这样，他计算的正确结果为． (1)求的正确结果； (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，解题关键是熟练掌握平方差公式、合并同类项法则、多项式除以单项式法则． （1）先根据平方差公式和合并同类项法则求出，再根据，求出，最后再列出算式，利用多项式除以单项式法则和同底数幂相除法则求出即可； （2）把代入（1）中所求的，进行计算即可． 【解答】（1）解： , ∵， ， ∴, ∴ ； （2）当时， ． 【变式12-3】（2025-2026八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，单项式与单项式的乘除法计算，多项式乘以多项式，多项式除以单项式等计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式，单项式除以单项式即可； （2）先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式，最后合并同类项即可； （3）先根据多项式乘以多项式和单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可； （4）先根据多项式除以单项式和多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可． 【解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解； ． 【特训13】 综合强化提升 1.（2024-2025七年级下·陕西西安·期中）若，则的值是（   ） A． B． C．1 D．25 【答案】C 【分析】本题考查多项式乘以多项式，通过展开左边多项式并与右边比较系数，解出m和n的值，再计算即可． 【解答】解： ． ． ∴，解得；，解得； ∴， 故选C． 2.（2024-2025七年级下·浙江宁波·期末）如图，正方形和长方形的面积相等，点E，F分别在边，上，过点D，连接，的面积为1．若记长为x，长为y，当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的面积，单项式与多项式的乘法，等式的性质． 连接，，设，，根据题意可知，根据图形得到，分别求出每个三角形的面积，列等式计算即可． 【解答】解：如图，连接，， 设，， ∵，，正方形和长方形的面积相等， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即代数式的值不变的是， 故选：B． 3.（2024-2025七年级下·重庆·期中）若，则 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了整体思想，整式混合运算，整体代入到代数式中求值是解题的关键．根据条件得：，用整式乘法运算法则，求出，然后变形求出结果即可． 【解答】解：∵， ， ∴ ． 故答案为：． 4.（2024-2025七年级下·江苏苏州·期中）聪聪计算一道整式乘法的题：，由于聪聪将第一个多项式中的“”抄成“”，得到的结果为．这道题的正确结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式乘法，熟练掌握运算法则是解题关键．根据整式乘法的运算法则即可得，将代入，根据整式乘法的运算法则即可得． 【解答】解：由题意，， ∴， 解得：； ∴正确的结果是： ， 故答案为：． 5.（2024-2025七年级下·河南郑州·期中）小郑用6个长为，宽为的小长方形按如图方式不重叠放在长方形内，未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示，其面积分别表示为，且．当的长度变化时，按照同样的放置方式，始终保持不变，则应满足的关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的乘法与图形面积，整式的乘法无关类型，数形结合是解题的关键． 设，求出，根据当的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，即可求得，的数量关系． 【解答】解：设， ∴ ∵当的长度变化时，的值始终保持不变， ∴ 即， 故答案为：． 6.（2024-2025七年级下·江苏苏州·期中）若等式恒成立，无论t为何值，的值始终为定值，则这个定值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式的计算，根据多项式乘以多项式的计算法则把已给等式左边展开得到，则，据此可得，根据无论t为何值，的值始终为定值，得到，据此求出s的值即可得到答案． 【解答】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵无论t为何值，的值始终为定值， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 7.（2024-2025七年级下·四川成都·期中）已知代数式与积是一个关于的三次多项式，且化简后含项的系数为1，则的值为 【答案】 【分析】由题意列式为，利用多项式乘多项式法则展开并合并同类项，再根据积是一个关于的三次多项式，且化简后含项的系数为求得，的值，将其代入中计算即可． 【解答】解：， 代数式与积是一个关于的三次多项式，且化简后含项的系数为， ，， 解得：，， 则， 故答案为：． 8.（2024-2025八年级·全国·假期作业）已知单项式和的积与是同类项，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘以单项式和同类项的定义，注意相乘的结果仍是一个单项式，只是系数和指数发生了变化，系数相乘作为积的系数，把相同字母的指数相加，再根据同类项的定义即可求解． 【解答】解：∵ 又∵单项式和的积与是同类项， ∴   解得 ∴． ∴的值为． 9．（2025-2026八年级上·甘肃张掖·阶段练习）在计算时，小方同学看错了的值，计算结果为；小悦同学看错了的值，计算结果为． (1)求的值． (2)计算的正确结果． 【答案】(1)， (2) 【分析】此题考查了多项式乘多项式的应用，关键是能准确理解并运用该知识进行求解． （1）化简，对比结果，分别求出的值； （2）将（1）中的值代入代数式，再进行多项式乘以多项式运算即可． 【解答】（1）解：， 由题意得，，， ∴； （2）解：将，代入， 则． 10．（2024-2025八年级上·湖南衡阳·期中）李老师给学生出了一道题：当，时，求的值．题目出完后，小聪说：“老师给的条件，是多余的．”小明说：“不给这两个条件，就不能求出结果，所以不是多余的．”你认为他们谁说的有道理？为什么？ 【答案】小聪说得有道理，理由见解析 【分析】本题主要考查多项式的乘法和合并同类项，根据题意将代数式展开，将同类项合并即可知小聪说的有道理． 【解答】解：小聪说得有道理． 则此题的结果与a、b无关． 故小聪说得有道理． 11．（2025-2026八年级上·全国·课后作业）某市的环保局将一个长为分米，宽为分米，高为分米的长方体废水池中的满池废水注入一个正方体贮水池进行净化，请你想一想，是否存在一个正方体贮水池能将这些废水刚好装满？若存在，求出该正方体贮水池的棱长；若不存在，请说明理由． 【答案】存在，正方体贮水池的棱长为分米． 【分析】本题考查整式的乘法，熟练掌握单项式乘以单项式以及积的乘方的计算方法是解题的关键，根据单项式乘以单项式以及积的乘方法则计算即可得到答案． 【解答】解：存在．理由如下： ∵长方体废水池的容积为立方分米， ∴该正方体贮水池的棱长为分米． 12.（2024-2025七年级下·山东菏泽·期末）已知关于的代数式中不含项与项． (1)求的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了多项式乘以多项式、积的乘方的逆运算，求代数式的值，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）利用多项式乘以多项式的运算法则进行计算，然后根据题意得出，即可得出m，n的值； （2）将m，n的值代入，再利用积的乘方的逆运算进行计算即可． 【解答】（1）解： =， ∵不含x项与项， ∴， 解得：； （2）． 13.（2024-2025八年级上·甘肃平凉·期末）甲、乙两人共同计算一道整式：，由于甲抄错了的符号，得到的结果是，乙漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果是． (1)求的值； (2)请计算这道题的正确结果． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了多项式乘多项式，解题的关键是根据多项式乘多项式的运算法则分别进行细心计算即可． （1）按甲乙错误的说法计算得出的系数的数值求出，的值； （2）将，的值代入原式求出整式乘法的正确结果． 【解答】（1）解：甲抄错了a的符号的计算结果为：， 故, 乙漏抄了第二个多项式中x的系数，计算结果为：， 故， ∴， 解得：， ∴； （2）由（1）可知， 正确的计算结果为： ． 14.（2024-2025七年级下·辽宁本溪·期末）已知的结果中不含项， (1)求的值； (2)在（1）的条件下，求的值； (3)计算的值． 【答案】(1) (2)9 (3)999999 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式的计算，熟知多项式乘以多项式的计算法则是解题的关键． （1）根据多项式乘以多项式的计算法则求出的结果，再根据不含项，即含项的系数为0求解即可； （2）先计算出的结果，再根据（1）所求代值计算即可； （3）根据（2）所求可得原式，据此可得答案． 【解答】（1）解： ， ∵的结果中不含项， ∴ ∴； （2）解： ； （3）解：由（2）可得， ∴ ． 15．（2024-2025七年级下·江苏无锡·阶段练习）先阅读材料，再解答问题： 例：已知，，试比较x、y的大小． 解：设，则，， ， 问题：已知，，试比较x，y的大小． 【答案】 【分析】此题主要考查了整式的运算，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则，整式的加减运算法则是解决问题的关键． 设，则，，，，，进而得，，由此即可得出答案． 【解答】解：设， 则，，，，， ， ， 16.（2024-2025七年级·湖南长沙·期中）【概念学习】我们规定两数、之间的一种运算，记作：如果，那么；例如，记作． 【初步探究】（1）根据以上规定求出： ； ； 【深入思考】对于相同底数的幂的乘法运算，我们有， 例如． （2）小明发现也成立，并证明如下 设：，则 因为，所以，所以， 根据以上证明，请计算，请写清楚计算过程． （3）猜想，并说明理由． 【答案】（1）3，0；（2）42；（3）2，理由见解析 【分析】本题考查有理数的乘方、同底数幂的乘除法的逆用，理解题中运算方法是解答的关键． （1）根据题中运算方法，结合有理数的乘方求解即可； （2）类比题中例题解法步骤结合同底数幂的乘法运算求解即可； （3）类比题中例题解法步骤结合同底数幂的除法运算求解即可． 【解答】解：（1），， ，， 故答案为：3，0； （2）设：，则， ， ， ， 故答案为：42； （3）猜想，理由如下： 设：，则， ， ， ． 故答案为：2． 17．（2024-2025八年级上·福建泉州·期末）某学习小组在综合实践课上，学习了“面积与代数恒等式”，知道很多代数恒等式可以用硬纸片拼成的图形面积来解释． 例如，图1可以解释．于是小明拼出如图2所示的边长为的正方形，用不同方法表示正方形的面积，即可得到一个代数恒等式．     (1)这个代数恒等式是：_____； (2)小组成员发现可利用（1）的结论解答下列问题： ①已知，，，，且．求证：a，b，c不能成为一个三角形的三条边长； ②在①的条件下，若，，且a，b，c为整数，求a，b，c的值． 【答案】(1) (2)①见解析，②a，b，c的值分别为10，3，2． 【分析】（1）利用3个小正方形和6个长方形的面积之和等于大正方形的面积，列式即可； （2）①由，可得，结合（1）中结论、不等式的性质，变形为，再根据，可得，推出，根据三角形三边关系即可判断； ②由，，可得，结合可得，推出或或，分情况讨论即可． 【解答】（1）解：由题意得， 故答案为：； （2）①证明：由题意得，， 所以， 整理得：， 即， 所以， 所以 因为， 所以， 故，即， 所以a，b，c不能成为一个三角形的三条边长． ②解：由①得， 又， 所以， 又因为， 所以， 又为整数 即或或， 当时，， 则， 故， 所以； 当时，， 故， 又，且b，c为整数， 所以由得，， 此时， 所以； 当时，， 故， 又，且b，c为整数， 所以由得，，符合； 综上，a，b，c的值分别为10，3，2． 【点评】本题考查多项式乘多项式与几何图形的面积，三角形三边关系，不等式的性质等，正确识图，得到是解题的关键． 18.（2024-2025八年级上·吉林·期中）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”（如图所示）就是一例．这个三角形的构造法则为：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和．事实上，这个三角形给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中各项的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应展开式中各项的系数等等．根据上面的规律，请你解答下列问题． (1)计算：________． (2)若（m，n是常数），则______，______． (3)若（x，y是常数），则______，_____． (4)直接写出式子的值． 【答案】(1)1 (2)4，6 (3)5，10 (4)32 【分析】本题考查了零指数幂、多项式乘法中的规律问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据零指数幂计算即可得解； （2）由图可得：，结合题意即可得解； （3）由图可得：的各项系数为，，，，，，则，结合题意即可得解； （4）由（3）可得：，将式子变形为，计算即可得解． 【解答】（1）解：∵， ∴； （2）解：由图可得：， ∵， ∴，； （3）解：由图可得：的各项系数为，，，，，， ∴， ∵， ∴，； （4）解：由（3）可得：， ∴ ． 【特训14】 直通中考真题 1．（2025·陕西·中考真题）计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查单项式与单项式的乘法运算，根据系数相乘，同底数幂相乘，进行计算，即可作答． 【解答】解：， 故选：D． 2．（2025·江苏宿迁·中考真题）下列计算结果为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘除法，根据合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘除法逐一排除即可，熟知相关计算法则是解题的关键． 【解答】解：、与不是同类项，不可以合并，不符合题意； 、，不符合题意； 、，符合题意； 、，不符合题意； 故选：． 3．（2025·辽宁·中考真题）下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了合并同类项、单项式乘法、积的乘方、幂的乘方等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． 根据合并同类项、单项式乘法、积的乘方、幂的乘方逐项判断即可． 【解答】解：A． ，故该选项错误，不符合题意； B． ，故该选项错误，不符合题意； C． ，故该选项错误，不符合题意； D． ，故该选项正确，符合题意． 故选D． 4．（2025·山东·中考真题）已知，则下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了合并同类项、幂的乘方、同底数幂除法等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． 根据合并同类项、幂的乘方、同底数幂除法法则逐项判断即可解答． 【解答】解：A．，故该选项错误，不符合题意； B．，故该选项正确，符合题意； C．与不是同类项，无法合并为，故该选项错误，不符合题意； D．，故该选项错误，不符合题意． 故选：B． 5．（2025·青海·中考真题）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的运算，根据合并同类项，同底数幂的乘除法，积的乘方运算法则逐一验证各选项即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【解答】解：、，原选项运算错误，不符合题意； 、，原选项运算错误，不符合题意； 、，原选项运算错误，不符合题意； 、，原选项运算正确，符合题意 故选：． 6．（2025·黑龙江·中考真题）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的运算，包括幂的乘方、合并同类项、积的乘方．根据同底数幂乘法、合并同类项，单项式的乘法运算，积的乘方，逐一计算各选项的正确性即可． 【解答】A．，故选项A计算错误，不合题意； B．与是不同类项，无法合并为，故选项B计算错误，不合题意； C．，选项运算正确，符合题意； D．，故选项D计算错误，不合题意； 故选C． 7．（2025·四川广安·中考真题）下列各式运算结果为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了同底数幂的乘除法、幂的乘方及合并同类项，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．逐一计算各选项的结果，即可得到答案． 【解答】A. ，故选项正确，符合题意；     B. ，故选项错误，不符合题意； C. ，故选项错误，不符合题意； D. ，故选项错误，不符合题意； 故选：A 8．（2024·甘肃兰州·中考真题）计算：（   ） A．a B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，先计算单项式乘以多项式，再合并同类项即可． 【解答】解： 故选：D． 9．（2023·陕西·中考真题）计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用单项式乘单项式的法则进行运算即可． 【解答】解： ． 故选：B． 【点评】本题主要考查单项式乘单项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 10．（2025·四川南充·中考真题）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，合并同类项，先根据单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可得到答案． 【解答】解： ， 故答案为：． 11．（2025·黑龙江绥化·中考真题）计算： ． 【答案】0 【分析】此题考查了乘方和零指数幂，根据乘方和零指数幂计算后再计算加法即可． 【解答】解： 故答案为：0 12．（2025·四川自贡·中考真题）若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求代数式的值、整式的混合运算，由题意可得，整体代入计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【解答】解：∵， ∴， ∴， 故选：． 13．（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）定义新运算：，则的运算结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查定义新运算，整式的混合运算，根据定义新运算计算即可，解题的关键是掌握定义新运算的运算法则． 【解答】解：根据新定义可得： ， 故答案为：． 14．（2023·青海西宁·中考真题）计算： ． 【答案】 【分析】根据积的乘方和单项式的乘法计算即可． 【解答】解：， 故答案为： 【点评】此题考查了积的乘方和单项式的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 15．（2025·广东深圳·中考真题）计算：． 【答案】7 【分析】本题考查实数的混合运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键：先进行开方，去绝对值，零指数幂和乘方运算，再进行加减运算即可. 【解答】解：原式 . 16．（2025·浙江·中考真题）化简求值：，其中． 【答案】，13 【分析】本题考查了整式的混合运算，化简求值，掌握运算法则是解题的关键． 先计算单项式乘以多项式，再进行合并同类项，然后再代入求值即可． 【解答】解： ， 当时，原式． 17．（2025·新疆·中考真题）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数的运算，零指数幂，单项式乘以多项式的计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算算术平方根和零指数幂，再计算乘方和绝对值，最后计算加减法即可得到答案； （2）先根据单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可得到答案． 【解答】（1）解： ； （2）解： ． 学科网（北京）股份有限公司 $