1.4充分条件与必要条件课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

1.4　充分条件与必要条件 学 习 目 标 1.了解真命题与推出符号的关系,领会符号语言的优越性. 2.理解充分条件、必要条件、充要条件的概念,掌握充分条件、必要条件、充要条件的判断方法. 3.理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件之间的关系. 基础落实·必备知识一遍过 重难探究·能力素养速提升 学以致用·随堂检测促达标 目 录 索 引 基础落实·必备知识一遍过 知识点1 充分条件与必要条件 一般地,“若p,则q”为真命题,就说p是q的　　　　条件,q是p的　　　条件. 这是判断充分条件、必要条件的根源 充分 必要 名师点睛 1.在逻辑推理中“p⇒q”的几种说法 (1)“如果p,那么q”为真命题. (2)p是q的充分条件. (3)q是p的必要条件. (4)p的必要条件是q. (5)q的充分条件是p. 这五种说法表示的逻辑关系是一样的,说法不同而已. 2.对充分条件的理解 (1)充分条件是某一个结论成立应具备的条件,当命题具备此条件时,就可以得出此结论或使此结论成立. (2)一般地,数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件.例如平行四边形的判定定理“如果一个四边形的一组对边平行且相等,那么这个四边形是平行四边形”,其中“一个四边形的一组对边平行且相等”是“四边形是平行四边形”成立的充分条件. 3.对必要条件的理解 (1)若q是p的必要条件,此时q是p成立的必备条件之一,但q不一定能推出p. (2)一般地,数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件.例如“如果一个四边形是菱形,那么它的对角线互相垂直”这一性质定理中,“对角线互相垂直”是“四边形是菱形”的必要条件. 思考辨析 若p是q的充分条件,p是唯一的吗?q是唯一的吗? 提示 不唯一.凡是能使结论q成立的条件都是它的充分条件,如x>2是x>1的充分条件,x>5,x>10等都是x>1的充分条件;凡是能由条件p推出的结论都是它的必要条件,如“同位角相等”是“两直线平行”的必要条件,“内错角相等”“同旁内角互补”等都是“两直线平行”的必要条件. 自主诊断 1.(多选题)使“x>3”成立的充分条件是(　　) A.x>4 B.x>5 C.x>2 D.x>1 AB 2.(人教B版教材例题)判断下列各题中,p是不是q的充分条件,q是不是p的必要条件: (1)p:x∈Z,q:x∈R; (2)p:x是矩形,q:x是正方形. 解 (1)因为整数都是有理数,从而一定也是实数,即p⇒q,因此p是q的充分条件,q是p的必要条件. (2)因为矩形不一定是正方形,即p q,因此p不是q的充分条件,q不是p的必要条件. 知识点2 充要条件 如果“若p,则q”和它的逆命题“若q,则p”均是真命题,即既有p⇒q,又有q⇒p,就记作　　　　　.此时,p既是q的充分条件,也是q的必要条件,我们说p是q的　　　　　条件,简称为充要条件.  名师点睛 1.对充要条件的三点说明 (1)p是q的充要条件意味着“p成立,则q一定成立;p不成立,则q一定不成立”. (2)p是q的充要条件,则q也是p的充要条件. (3)一般地,数学定义中的条件和结论互为充要条件. p⇔q 充分必要 2.常见的四种条件与命题真假的关系 如果有命题“若p,则q”和“若q,则p”,那么p与q的关系有以下四种情形: 命题“若p,则q” 命题“若q,则p” p与q的关系 真 真 p是q的充要条件 q是p的充要条件 真 假 p是q的充分不必要条件 q是p的必要不充分条件 假 真 p是q的必要不充分条件 q是p的充分不必要条件 假 假 p是q的既不充分也不必要条件 q是p的既不充分也不必要条件 思考辨析 定义“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”合理吗? 提示 合理.因为“四边形的一组对边平行且相等”是“四边形是平行四边形”的充要条件. 自主诊断 1.设p:x<5,q:x<6,那么p是q的(　　)条件. A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要 A 解析 由x<5能推出x<6,充分性成立;由x<6不能推出x<5,必要性不成立,故p是q的充分不必要条件.故选A. 2.(北师大版教材习题)下列各题中,试判断p是q的什么条件. (1)p: <1,q:x>1; (2)p:四边形的对角线相等,q:四边形是矩形; (3)p:一元二次函数y=ax2+c(a≠0),q:一元二次函数的图象关于y轴对称. 解 (1)必要不充分条件; (2)必要不充分条件; (3)充要条件. 重难探究·能力素养速提升 探究点一　充分条件、必要条件及充要条件的判断 【例1】 利用推出关系判断下列甲是乙的什么条件. (1)甲:x≤0,乙:x<0; 解 令A={x|x≤0},B={x|x<0},B是A的子集,但是A不是B的子集,所以甲是乙的必要不充分条件. (2)甲:x2+y2=0,乙:x=0,y=0; 解 因为x2+y2=0⇔x=0,y=0,所以甲是乙的充要条件. (3)甲:x>0,乙:|x|>0; 解 由|x|>0,可得x≠0,所以甲是乙的充分不必要条件; (4)甲:|x|≤2,乙:|x+1|<1. 解 |x|≤2⇔-2≤x≤2,|x+1|<1⇔-2<x<0,所以甲是乙的必要不充分条件. 规律方法　充分条件、必要条件的三种判断方法 (1)定义法:若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件; 若q⇒p,则p是q的必要条件,q是p的充分条件. (2)集合转化法:设p,q对应的集合分别为P,Q,则若P⊆Q,则p是q的充分条件;若P⊇Q,则p是q的必要条件;若P=Q,则p既是q的充分条件,又是q的必要条件. (3)命题判断法:①如果“若p,则q”为真命题,那么p是q的充分条件,同时q是p的必要条件. ②如果“若p,则q”为假命题,那么p不是q的充分条件,同时q也不是p的必要条件. 变式训练1　在下列命题中,试判断p是q的什么条件. (1)p:c<0,q:一元二次方程x2-2x+c=0有两个实数根; (2)已知△ABC的三边为a,b,c,p:a2+b2+c2=ab+bc+ca,q:△ABC是等边三角形. 解 (1)由q:一元二次方程x2-2x+c=0有两个实数根,得4-4c≥0,即q:c≤1. 又p:c<0,所以p是q的必要不充分条件. (2)由p:a2+b2+c2=ab+bc+ca, 即a2+b2+c2-ab-bc-ca=a2+b2-ab+a2+c2-ca+b2+c2-bc =(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2=0,所以a=b=c,所以p:a=b=c. 又q:△ABC是等边三角形,所以p⇔q,p是q的充要条件. 探究点二　充要条件的证明 【例2】 求证:关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0. 证明 先证充分性:因为a+b+c=0,所以c=-a-b,代入方程ax2+bx+c=0中,得ax2+bx-a-b=0,即(x-1)(ax+a+b)=0.所以方程有一个根为1, 所以a+b+c=0⇒方程ax2+bx+c=0有一个根为1. 再证必要性:因为方程ax2+bx+c=0有一个根为1, 所以x=1满足方程ax2+bx+c=0, 所以有a×12+b×1+c=0,即a+b+c=0. 所以方程ax2+bx+c=0有一个根为1⇒a+b+c=0. 综上,方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0. 变式探究 将例2中的条件“有一个根为1”改为“有一个正根和一个负根”, “a+b+c=0”改为“ac<0”,如何证明? 证明 充分性:因为ac<0,所以Δ=b2-4ac>0,方程ax2+bx+c=0有两个不等实根, 由根与系数关系可知这两个根的积为 <0, 所以方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根, 所以ac<0⇒方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根. 必要性:因为方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根, 由根与系数关系可知这两个根的积为 <0, 所以ac<0, 综上,方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件是ac<0. 规律方法　充要条件的证明 (1)根据充要条件的定义,证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明:一般地,证明“p成立的充要条件为q”; ①充分性:把q当作已知条件,结合命题的前提条件,推出p; ②必要性:把p当作已知条件,结合命题的前提条件,推出q. 解题的关键是分清哪个是条件,哪个是结论,然后确定推出方向,至于先证明充分性还是先证明必要性则无硬性要求. (2)在证明过程中,若能保证每一步推理都有等价性(⇔),也可以直接证明充要性. 变式训练2 已知a,b是实数,求证:“a2-b2=1”是“a4-b4-2b2=1成立”的充要条件. 证明 充分性: 若a2-b2=1,则a4-b4-2b2=(a2-b2)(a2+b2)-2b2=a2+b2-2b2=a2-b2=1成立. 必要性: 若a4-b4-2b2=1,则a4-b4-2b2-1=0,即a4-(b4+2b2+1)=0, ∴a4-(b2+1)2=0,∴(a2+b2+1)(a2-b2-1)=0. ∵a2+b2+1≠0,∴a2-b2-1=0,即a2-b2=1成立. 综上,“a2-b2=1”是“a4-b4-2b2=1成立”的充要条件. 探究点三　既不充分也不必要条件 【例3】 (1)已知x,y∈R,则“x<y”是“x2<y2”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 D 解析 由-2<1,但(-2)2>12,可知x<y推不出x2<y2; 由12<(-2)2,但1>-2,可知x2<y2推不出x<y. 故“x<y”是“x2<y2”的既不充分也不必要条件.故选D. (2)(多选题)下列命题中为真命题的是(　　) A.“x>4”是“x<5”的既不充分也不必要条件 B.“三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的必要不充分条件 C.“关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根”的充要条件是“Δ=b2-4ac≥0” D.若集合A⊆B,则“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件 AC 解析 A √ x>4 x<5且x<5 x>4 B × 正三角形一定是等腰三角形,等腰三角形不一定是正三角形,所以 “三角形为正三角形”是“三角形为等腰三角形”的充分不必要条件 C √ 一元二次方程有实数根,则Δ≥0,反之亦然 D × 当集合A=B时,应为充要条件 故选AC. 变式训练3　(1)对于变量x,条件p:x∈Q,条件q:∈R,则p是q的(　　) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 D 解析 由x∈Q,若取x=-1,则没有意义,显然不满足∈R,即p不是q的充分条件; 由∈R,若取x=π,显然不满足x∈Q,即p不是q的必要条件.故选D. (2)(多选题)对任意实数a,b,c,下列说法中正确的是(　　) A.“a=b”是“ac=bc”的充要条件 B.“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件 C.“a>b”是“a2>b2”的充分条件 D.“a<5”是“a<3”的必要条件 BD 解析 对于A,若“a=b”,则“ac=bc”为真命题,但当c=0时,若“ac=bc”,则“a=b”为假命题, 故“a=b”是“ac=bc”的充分不必要条件,故A错误; 对于B,若“a+5是无理数”,则“a是无理数”为真命题,若“a是无理数”,则“a+5是无理数”也为真命题, 故“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件,故B正确; 对于C,若“a>b”,则“a2>b2”为假命题,若“a2>b2”,则“a>b”也为假命题, 故“a>b”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件,故C错误; 对于D,{a|a<3}是{a|a<5}的真子集,故“a<5”是“a<3”的必要条件,故D正确.故选BD. 学以致用·随堂检测促达标 1 2 3 4 1.“两条直线都和第三条直线平行”是“这两条直线互相平行”的(　　) A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 A 解析 由两条直线都和第三条直线平行可得这两条直线互相平行,但由两条直线互相平行不能得出这两条直线都和第三条直线平行,故选A. 1 2 3 4 2.已知p:x>2且y>3,q:x+y>5,则p是q成立的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 A 解析 若x>2且y>3,则x+y>5.若x+y>5,不妨取x=-1,y=7,则不满足x>2且y>3,故p是q成立的充分不必要条件.故选A. 1 2 3 4 3.“a<1”是“关于x的方程x2-3x+a=0有实数根”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.既不充分也不必要条件 D.充要条件 A 解析 若关于x的方程x2-3x+a=0有实数根,则Δ=9-4a≥0,解得a≤ .则“a<1”是“关于x的方程x2-3x+a=0有实数根”的充分不必要条件,故选A. 1 2 3 4 4.证明:ac<0是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个异号实根的充要条件. 证明 充分性:若ac<0,则Δ=b2-4ac>0. 设方程有两个实根x1,x2, 根据根与系数的关系得x1x2=<0, 所以方程有两个异号实根. 必要性:设一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个异号实根x1,x2,则x1x2=<0,即ac<0.所以ac<0是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个异号实根的充要条件. $