第04讲 充分条件与必要条件（八大题型+思维导图+知识梳理+课后作业）-【暑假预科讲义】2025年新高一数学初升高暑假精品课（人教A版2019必修第一册）

第04讲 充分条件与必要条件 【人教A版2019】 1．命题及相关概念 (1)定义：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句，叫做命题. (2)命题的分类 ①真命题：判断为真的语句； ②假命题：判断为假的语句. (3)命题的形式：“若p，则q”.其中p称为命题的条件，q称为命题的结论. 【题型1 命题的概念】 【例1】（23-24高一上·广西河池·阶段练习）有下列语句，其中是命题的个数为（    ） （1）数学真有趣 （2）0是自然数 （3） （4） （5）素数都是奇数. A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1.1】（2025高一·全国·课后作业）下列语句中：①；②；③有一个根为0；④高二年级的学生；⑤今天天气好热！⑥有最小的质数吗？其中是命题的是（    ） A．①②③ B．①④⑤ C．②③⑥ D．①③ 【变式1.2】（25-26高一·江苏·假期作业）以下语句：①；②；③；④，其中命题的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1.3】（24-25高一上·江苏·课后作业）有下列语句，其中是命题的个数为（   ）． （1）这道数学题有趣吗？（2）0不可能不是自然数；（3）；（4）；（5）91不是素数；（6）上海的空气质量越来越好． A．3 B．4 C．5 D．6 【题型2 判断命题的真假】 【例2】（2024·山东·二模）下列命题是真命题的是（    ） A．且 B．或 C． D．方程有实根 【变式2.1】（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）对于命题：全等三角形的周长相等，命题：周长相等的三角形全等，下列说法中正确的是（   ） A．和都是真命题 B．和都是假命题 C．是真命题，是假命题 D．是假命题，是真命题 【变式2.2】（24-25高一·上海·课堂例题）判断下列命题的真假，并说明理由： (1)如果a、b都是奇数，那么是偶数； (2)一组对边平行且两对角线等长的四边形是平行四边形； (3)如果，那么． 【变式2.3】（24-25高一上·上海·课后作业）判断下列语句是不是命题，如果是命题，指出是真命题还是假命题． (1)任何负数都大于零； (2)与是全等三角形； (3)； (4)； (5)6是方程的解； (6)方程有实数解． 模块二 充分、必要与充要条件 1．充分条件与必要条件 命题真假 “若p,则q”是真命题 “若p,则q”是假命题 推出关系及符号表示 由p通过推理可得出q，记作：p⇒q 由条件p不能推出结论q，记作： 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件． 数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件． 2．充要条件 如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q.此时p既是q的充分条件，也是q的必要条件．我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件． 如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件． 【注】：“⇔”的传递性 若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有p⇔s，即p是s的充要条件． 3．充分、必要与充要条件的判定 (1)如果既有p⇒q，又有q⇒p，则p是q的充要条件，记为p⇔q. (2)如果p⇒且q⇒，则p是q的既不充分也不必要条件. (3)如果p⇒q且q⇒，则称p是q的充分不必要条件. (4)如p⇒且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件. (5)设与命题p对应的集合为A={x|p(x)}，与命题q对应的集合为B={x|q(x)}， 若AB，则p是q的充分条件，q是p的必要条件； 若A=B，则p是q的充要条件. 4．充分条件、必要条件的两种判定方法 (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题. (2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题. 5．充分条件、必要条件的应用 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上，解题时需注意： (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解. (2)要注意区间端点值的检验. 【题型3 充分条件、必要条件及充要条件的判定】 【例3】（24-25高一上·广东汕头·阶段练习）设， 则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3.1】（24-25高一上·福建福州·期中），且，则p是q的（    ）条件 A．必要不充分 B．充分不必要 C．充要 D．既不充分也不必要 【变式3.2】（24-25高一上·湖南永州·阶段练习）已知，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3.3】（24-25高一上·陕西宝鸡·阶段练习）若，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【题型4 充分条件、必要条件及充要条件的探索】 【例4】（24-25高一上·广东惠州·阶段练习）已知p: 则成立的一个充分不必要条件是 （   ） A． B． C． D． 【变式4.1】（24-25高一上·海南省直辖县级单位·期中）“或”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【变式4.2】（24-25高一上·山东德州·阶段练习）下列不等式中，可以作为的一个充分不必要条件的是（ ） A． B． C． D． 【变式4.3】（24-25高一上·广东河源·阶段练习）命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（   ） A． B． C． D． 【题型5 由充分条件、必要条件求参数】 【例5】（24-25高一上·江西赣州·阶段练习）命题p：，q：.若q的一个充分不必要条件是p，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5.1】（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）若“”是“”的必要不充分条件，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式5.2】（24-25高一上·陕西汉中·期中）已知非空集合，，若“”是“”的必要条件，则实数的取值范围是（） A． B． C． D． 【变式5.3】（24-25高一上·江苏连云港·期末）已知命题，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型6 由充要条件求参数】 【例6】（24-25高一上·全国·课后作业）若命题：“”是命题：“”的充要条件，则（    ） A． B． C． D． 【变式6.1】（24-25高一上·全国·课后作业）集合，集合，若“”是“”的充要条件，则（    ） A．0 B． C．3 D．5 【变式6.2】（23-24高一上·贵州黔西·期末）关于的方程有两个不相等的实数根的充要条件是（    ） A．或 B．或 C． D． 【变式6.3】（23-24高一下·湖南·期末）已知集合，若是的充要条件，则整数（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【题型7 充要条件的证明】 【例7】（24-25高一上·上海·随堂练习）设集合A，B，求证：是的充要条件． 【变式7.1】（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）求证：“关于x的方程有一个根为2”的充要条件是“”． 【变式7.2】（24-25高一上·全国·课后作业）证明：“中两边上的高相等”是“为等腰三角形”的充要条件． 【变式7.3】（24-25高一上·广东深圳·阶段练习）已知是实数，集合，． (1)若，请写出集合的所有子集； (2)求证：“”是“”的充要条件． 【题型8 充分、必要条件与集合交汇】 【例8】（24-25高一上·广东广州·期中）设集合，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式8.1】（24-25高一上·云南文山·阶段练习）已知集合（），则“”是“集合仅有1个真子集”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【变式8.2】（24-25高一上·江西宜春·期中）已知集合，集合． (1)若，求； (2)设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【变式8.3】（24-25高一上·河南郑州·阶段练习）已知集合，集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)设命题：；命题：，是否存在实数，使得命题是命题的必要不充分条件？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由． 一、单选题 1．（23-24高一上·甘肃酒泉·期中）下列语句是命题的是（    ） A．3是偶数吗? B．三角形的内角和等于180° C．这里的景色山真美啊! D． 2．（24-25高一上·甘肃甘南·期末）已知，且，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2025高一·全国·专题练习）“四边形的对角线互相垂直”是“四边形是菱形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．无法判断 D．既不充分也不必要条件 4．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（24-25高一下·湖南常德·阶段练习）已知均为实数，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 6．（24-25高一上·广东深圳·期末）设集合则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（24-25高一下·广东·阶段练习）已知是平面内不同的四点，设甲：；乙：四边形为平行四边形，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 8．（24-25高一下·山西吕梁·开学考试）下列条件中，是“”的充分不必要条件的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高一上·广东惠州·阶段练习）的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一上·云南昆明·期末）下列选项中，是的必要不充分条件的是（   ） A． B． C． D． 11．（24-25高一上·河北衡水·期中）若“或”是“”的必要不充分条件，则实数的值可以是（   ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（24-25高一下·广东湛江·阶段练习）若“”是“”的必要条件，则实数的取值范围是 . 13．（24-25高一上·贵州六盘水·阶段练习）若，则是的 条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”） 14．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为 . 四、解答题 15．（24-25高一上·全国·课堂例题）判断下列语句是否为命题？若是，请判断其真假，并说明理由． (1)求证是无理数； (2)若，则； (3)你是高一的学生吗？ (4)并非所有的人都喜欢吃苹果； (5)若xy是有理数，则x，y都是有理数； (6)． 16．（24-25高一上·上海·课后作业）下列命题中，判断条件是条件的什么条件． (1)，； (2)是直角三角形，是等腰三角形； (3)：四边形的对角线互相平分，：四边形是矩形； (4)或，； (5)，：方程有实数根． 17．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，求证：的充要条件是. 18．（24-25高一上·甘肃甘南·期末）已知集合，. (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 19．（23-24高一上·云南玉溪·期中）已知集合，非空集合． (1)若是的必要条件，求实数的取值范围； (2)是否存在实数，使是的充分条件，若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由． 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 充分条件与必要条件 【人教A版2019】 1．命题及相关概念 (1)定义：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句，叫做命题. (2)命题的分类 ①真命题：判断为真的语句； ②假命题：判断为假的语句. (3)命题的形式：“若p，则q”.其中p称为命题的条件，q称为命题的结论. 【题型1 命题的概念】 【例1】（23-24高一上·广西河池·阶段练习）有下列语句，其中是命题的个数为（    ） （1）数学真有趣 （2）0是自然数 （3） （4） （5）素数都是奇数. A．2 B．3 C．4 D．5 【解题思路】根据命题的概念逐项判断即可. 【解答过程】（1）这是一个感叹句，没有办法判断出真假，故不是命题； （2）0是自然数，显然这句话是对的，因此是命题，而且是真命题； （3）因为是正确的，所以是命题，而且是真命题； （4）不能判断是否正确，所以不是命题； （5）2是素数也是偶数，所以是命题，是假命题； 所以（1）､（4）不是命题，其余都是命题.其中，（2）是真命题；（3）是真命题；（5）是假命题. 故选：B. 【变式1.1】（2025高一·全国·课后作业）下列语句中：①；②；③有一个根为0；④高二年级的学生；⑤今天天气好热！⑥有最小的质数吗？其中是命题的是（    ） A．①②③ B．①④⑤ C．②③⑥ D．①③ 【解题思路】根据命题的定义即可求解. 【解答过程】命题是能判断真假的陈述句， 由于⑤⑥不是陈述句，故不是命题， ②④无法判断真假，故不是命题， ①③可以判断真假且是陈述句，故是命题， 故选：D. 【变式1.2】（25-26高一·江苏·假期作业）以下语句：①；②；③；④，其中命题的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【解题思路】根据命题的定义进行判断. 【解答过程】①是命题，且是假命题；②、③不能判断真假，不是命题；④不是陈述句，不是命题． 故选：B. 【变式1.3】（24-25高一上·江苏·课后作业）有下列语句，其中是命题的个数为（   ）． （1）这道数学题有趣吗？（2）0不可能不是自然数；（3）；（4）；（5）91不是素数；（6）上海的空气质量越来越好． A．3 B．4 C．5 D．6 【解题思路】根据命题的定义即可结合选项逐一求解. 【解答过程】（1）这不是一个陈述句，没有办法判断出真假，故不是命题； （2）这句话表示0是自然数，显然这句话是对的，因此是命题，而且是真命题； （3）因为是正确的，所以是命题，而且是真命题； （4）不能判断是否正确，所以不是命题； （5）因为，所以可以判断“91不是素数这句话”是正确的，所以是命题，而且是真命题； （6）不能判断上海的空气质量越来越好这句话是否正确，所以不是命题. 所以（1）、（4）、（6）不是命题，其余都是命题．其中，（2）是真命题；（3）是真命题；（5）是真命题． 故选：A. 【题型2 判断命题的真假】 【例2】（2024·山东·二模）下列命题是真命题的是（    ） A．且 B．或 C． D．方程有实根 【解题思路】根据或且命题真假性的性质即可求解. 【解答过程】对于A, 为真命题，为假命题，故且为假命题， 对于B，为假命题，为真命题，所以或为真命题， 对于C，为假命题， 对于D，,故方程没有实数根，故D错误， 故选：B. 【变式2.1】（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）对于命题：全等三角形的周长相等，命题：周长相等的三角形全等，下列说法中正确的是（   ） A．和都是真命题 B．和都是假命题 C．是真命题，是假命题 D．是假命题，是真命题 【解题思路】根据全等三角形的定义即可判断命题，对A,B,C,D进行判断即可. 【解答过程】解：对命题，全等三角形的形状和大小均相同， 故周长相等，故命题为真命题, 对命题，只要三角形三边和相等，则周长相等， 对形状和大小无要求，故周长相等的三角形不一定全等， 故命题为假命题； 对A,命题为真命题,命题为假命题，故A错； 对B，命题为真命题,命题为假命题，故B错； 对C, 命题为真命题,命题为假命题，故C对， 对D, 命题为真命题,命题为假命题,故D错. 故选：C. 【变式2.2】（24-25高一·上海·课堂例题）判断下列命题的真假，并说明理由： (1)如果a、b都是奇数，那么是偶数； (2)一组对边平行且两对角线等长的四边形是平行四边形； (3)如果，那么． 【解题思路】（1）根据数的性质即可判断； （2）举出等腰梯形即可判断； （3）推出即可判断. 【解答过程】（1）根据数的性质知如果a、b都是奇数，那么是偶数， 可设，其中，则，，则其为偶数，则其为真命题； （2）一组对边平行且两对角线等长的四边形还可能是等腰梯形，故其为假命题； （3）如果，则，则，故其为真命题. 【变式2.3】（24-25高一上·上海·课后作业）判断下列语句是不是命题，如果是命题，指出是真命题还是假命题． (1)任何负数都大于零； (2)与是全等三角形； (3)； (4)； (5)6是方程的解； (6)方程有实数解． 【解题思路】根据命题的概念、命题的真假判断即可. 【解答过程】（1）任何负数都小于零，故该语句是命题，且是假命题． （2）两个三角形为全等三角形是有条件的，本小题无法判断真假，故不是命题． （3）因为是未知数，无法判断是否大于零，所以不是命题． （4）空集是任何非空集合的真子集，集合是否为非空集合无法判断，故不是命题． （5）6是所给方程的解，故该语句是命题，且是真命题． （6）由于给定方程的判别式， 可知给定方程无实根，故该语句是命题，且为假命题. 模块二 充分、必要与充要条件 1．充分条件与必要条件 命题真假 “若p,则q”是真命题 “若p,则q”是假命题 推出关系及符号表示 由p通过推理可得出q，记作：p⇒q 由条件p不能推出结论q，记作： 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件． 数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件． 2．充要条件 如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q.此时p既是q的充分条件，也是q的必要条件．我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件． 如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件． 【注】：“⇔”的传递性 若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有p⇔s，即p是s的充要条件． 3．充分、必要与充要条件的判定 (1)如果既有p⇒q，又有q⇒p，则p是q的充要条件，记为p⇔q. (2)如果p⇒且q⇒，则p是q的既不充分也不必要条件. (3)如果p⇒q且q⇒，则称p是q的充分不必要条件. (4)如p⇒且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件. (5)设与命题p对应的集合为A={x|p(x)}，与命题q对应的集合为B={x|q(x)}， 若AB，则p是q的充分条件，q是p的必要条件； 若A=B，则p是q的充要条件. 4．充分条件、必要条件的两种判定方法 (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题. (2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题. 5．充分条件、必要条件的应用 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上，解题时需注意： (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解. (2)要注意区间端点值的检验. 【题型3 充分条件、必要条件及充要条件的判定】 【例3】（24-25高一上·广东汕头·阶段练习）设， 则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【解题思路】利用绝对值不等式的解法求出的解，然后根据充分条件与必要条件的定义即可求解. 【解答过程】若，则或， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 【变式3.1】（24-25高一上·福建福州·期中），且，则p是q的（    ）条件 A．必要不充分 B．充分不必要 C．充要 D．既不充分也不必要 【解题思路】根据必要不充分条件的定义，可得答案. 【解答过程】当时，，则不能推，故p是q的不充分条件； 当且时，恒成立，则可以推，故p是q的必要条件. 故选：A. 【变式3.2】（24-25高一上·湖南永州·阶段练习）已知，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解题思路】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【解答过程】由，得或， 由，则，即， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 【变式3.3】（24-25高一上·陕西宝鸡·阶段练习）若，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解题思路】利用推出充分性成立，举反例可说明必要性不成立. 【解答过程】，则，即， 于是，可得， 即可以推出，充分性成立； 但时，取，满足， 但，必要性不成立. 于是“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 【题型4 充分条件、必要条件及充要条件的探索】 【例4】（24-25高一上·广东惠州·阶段练习）已知p: 则成立的一个充分不必要条件是 （   ） A． B． C． D． 【解题思路】由一元二次不等式化简p，再根据充分不必要条件的定义即可得解. 【解答过程】由，得， 所以是成立的一个充分不必要条件. 故选：B. 【变式4.1】（24-25高一上·海南省直辖县级单位·期中）“或”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据集合的关系即可判断. 【解答过程】解：因为集合是集合或的真子集，其余均不满足， 所以“”是“或”的一个充分不必要条件. 故选：D. 【变式4.2】（24-25高一上·山东德州·阶段练习）下列不等式中，可以作为的一个充分不必要条件的是（ ） A． B． C． D． 【解题思路】找的真子集即可. 【解答过程】因为可以作为的一个充分不必要条件对应的集合为的真子集． 集合都不是的真子集， 只有集合是的真子集， 故选：C． 【变式4.3】（24-25高一上·广东河源·阶段练习）命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据必要不充分条件的定义即可判断. 【解答过程】由命题“，”为真命题 可得，恒成立， 即可得，则可推得，必要性成立 而推不出，充分性不成立， ，”为真命题的一个必要不充分条件是； 故选：A. 【题型5 由充分条件、必要条件求参数】 【例5】（24-25高一上·江西赣州·阶段练习）命题p：，q：.若q的一个充分不必要条件是p，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据充分不必要条件列不等式，由此求得的取值范围. 【解答过程】因为q的一个充分不必要条件是p， 则是的真子集， ∴， 故选：D. 【变式5.1】（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）若“”是“”的必要不充分条件，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据给定条件，利用必要不充分条件的定义列式求解即得. 【解答过程】“”是“”的必要不充分条件， 则或，解得或，则， 所以实数m的取值范围是. 故选：D. 【变式5.2】（24-25高一上·陕西汉中·期中）已知非空集合，，若“”是“”的必要条件，则实数的取值范围是（） A． B． C． D． 【解题思路】由题意得，据此列出不等式求解即可. 【解答过程】由题意,且, 所以,则,可得; 故选：A. 【变式5.3】（24-25高一上·江苏连云港·期末）已知命题，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据集合间的包含关系列不等式求解即可. 【解答过程】由得，即，记； 由得，解得. 因为是的充分不必要条件，所以， 所以，解得. 故选：A. 【题型6 由充要条件求参数】 【例6】（24-25高一上·全国·课后作业）若命题：“”是命题：“”的充要条件，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】将问题转化为恒成立即可求解. 【解答过程】恒成立，，所以，解得． 故选：B. 【变式6.1】（24-25高一上·全国·课后作业）集合，集合，若“”是“”的充要条件，则（    ） A．0 B． C．3 D．5 【解题思路】由题意可得，进而可求的值. 【解答过程】因为“”是“”的充要条件，所以， 又，，所以. 故选：B. 【变式6.2】（23-24高一上·贵州黔西·期末）关于的方程有两个不相等的实数根的充要条件是（    ） A．或 B．或 C． D． 【解题思路】根据题意，结合一元二次方程的性质，列出不等式，即可求解. 【解答过程】由方程关于的方程有两个不相等的实数根，则满足， 解得或，即方程有两个不相等的实数根的充要条件是或. 故选：A. 【变式6.3】（23-24高一下·湖南·期末）已知集合，若是的充要条件，则整数（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【解题思路】解绝对值不等式，根据是的充要条件，得到不等式，解得，得到答案. 【解答过程】， 由于是的充要条件，， 所以，解得， 故整数. 故选：D. 【题型7 充要条件的证明】 【例7】（24-25高一上·上海·随堂练习）设集合A，B，求证：是的充要条件． 【解题思路】利用充分性和必要性的定义即可证明. 【解答过程】证明：充分性 因为，，所以， 所以当成立时，有成立， 故充分性成立． 必要性 因为，所以． 所以当成立时，也有成立， 故必要性成立 所以是的充要条件． 【变式7.1】（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）求证：“关于x的方程有一个根为2”的充要条件是“”． 【解题思路】由充要条件的定义，分别证明充分性和必要性即可. 【解答过程】必要性：若有一个根为2，则满足方程，即， 充分性：若，则，即满足方程， 则关于x的方程有一个根为2； 综上命题得证． 【变式7.2】（24-25高一上·全国·课后作业）证明：“中两边上的高相等”是“为等腰三角形”的充要条件． 【解题思路】先由高相等，再由同一个三角形的面积相等得到证明充分性；再由和同一个三角形的面积相等得到证明必要性； 【解答过程】证明：充分性：在中，设边上的高为，边上的高为． 则， 因为，所以， 故为等腰三角形，充分性成立． 必要性：若为等腰三角形，设，边上的高为，边上的高为， 则根据三角形面积公式， 可得，必要性成立． 故“两边上的高相等”是“为等腰三角形”的充要条件． 【变式7.3】（24-25高一上·广东深圳·阶段练习）已知是实数，集合，． (1)若，请写出集合的所有子集； (2)求证：“”是“”的充要条件． 【解题思路】（1）结合子集的概念列出即可； （2）分别判断充分性和必要性，结合集合的互异性判断取值即可. 【解答过程】（1）若，则，所以的所有子集为： ，，，，，，，. （2）证明：若，则，所以，故充分性成立； 若，则，因为，所以， 解得或，当时，，不满足互异性，故舍去， 当时，，满足互异性，故必要性成立. 所以“”是“”的充要条件. 【题型8 充分、必要条件与集合交汇】 【例8】（24-25高一上·广东广州·期中）设集合，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解题思路】根据给定条件，利用充分条件，必要条件的定义判断作答. 【解答过程】由题意知当时，，此时，故充分性成立； 当时，或，即或，故必要性不成立； 综上所述：“”是“”的充分不必要条件，故A正确. 故选：A. 【变式8.1】（24-25高一上·云南文山·阶段练习）已知集合（），则“”是“集合仅有1个真子集”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【解题思路】由真子集个数得到集合M只有一个元素，分和两种情况，结合根的判别式得到或，从而得到结论. 【解答过程】集合仅有1个真子集，即集合M只有一个元素， 若，方程等价于，解得，满足条件； 若，方程要满足，有， 则集合仅有1个真子集，有或， 则时满足集合M仅有1个真子集，集合M仅有1个真子集时不一定有， 所以“”是“集合M仅有1个真子集”的充分不必要条件. 故选：B． 【变式8.2】（24-25高一上·江西宜春·期中）已知集合，集合． (1)若，求； (2)设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【解题思路】（1）求出集合，再求即可； （2）由命题是命题的必要不充分条件得集合是集合的真子集，再分、讨论可得答案. 【解答过程】（1）， 若，则集合， 所以， 则=； （2）∵命题是命题的必要不充分条件， ∴集合是集合的真子集， 当时，，解得， 当时，，或， 解得， 综上所述，实数的取值范围为． 【变式8.3】（24-25高一上·河南郑州·阶段练习）已知集合，集合． (1)若，求实数的取值范围； (2)设命题：；命题：，是否存在实数，使得命题是命题的必要不充分条件？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由． 【解题思路】（1）分、讨论，根据交集的运算和空集的定义结合不等式即可求解； （2）命题是命题的必要不充分条件可得集合是集合的真子集，再列出相应不等式组，即可求解. 【解答过程】（1）由题意可得，由， 当时，则，解得； 当时，则或，解得； 综上所述：实数的取值范围为 （2）不存在，理由如下： 假设存在使得命题是命题的必要不充分条件， 则命题是命题的必要不充分条件，可得集合是集合的真子集， 则，此不等式组无解， 所以假设不成立，即不存在. 故不存在使得命题是命题的必要不充分条件. 一、单选题 1．（23-24高一上·甘肃酒泉·期中）下列语句是命题的是（    ） A．3是偶数吗? B．三角形的内角和等于180° C．这里的景色山真美啊! D． 【解题思路】根据命题的定义逐个判断即可. 【解答过程】对于A：命题是陈述句不是疑问句，A错误； 对于B：这是陈述句，同时对事件作出判断，是命题，B正确； 对于C：这是感叹句，不是命题，C错误； 对于D：这是一个数学不等式，没有作出判断，所以D错误， 故选：B. 2．（24-25高一上·甘肃甘南·期末）已知，且，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解题思路】利用充分条件、必要条件的定义判断即可得出结论. 【解答过程】当且时，成立，但当时，且不一定成立，如且， 所以，， 所以是的必要不充分条件. 故选：B. 3．（2025高一·全国·专题练习）“四边形的对角线互相垂直”是“四边形是菱形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．无法判断 D．既不充分也不必要条件 【解题思路】对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，但菱形的对角线一定垂直. 【解答过程】“四边形的对角线互相垂直”无法推出“四边形是菱形”，反之，“四边形是菱形”可以推出“四边形的对角线互相垂直”， 所以“四边形的对角线互相垂直”是“四边形是菱形”的必要不充分条件． 故选：B． 4．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解题思路】根据充分不必要条件的定义即可求解. 【解答过程】由可得， 故“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 5．（24-25高一下·湖南常德·阶段练习）已知均为实数，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【解题思路】证明由可推出，再举例说明由不能推出，结合充分条件和必要条件的定义确定结论. 【解答过程】由于，所以和均不为， 所以可以推断； 取，可得，但 故由不能推出. 所以“”是“的充分不必要条件. 故选：B. 6．（24-25高一上·广东深圳·期末）设集合则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解题思路】根据集合交集运算及元素与集合的关系，结合充要条件的判定即可判断. 【解答过程】若，则， 所以，解得， 当时，，此时，不合题意舍去， 当 时，，此时，满足题意， 则，则充分性成立， 反之，亦得必要性成立， 则“”是“”的充要条件. 故选：C. 7．（24-25高一下·广东·阶段练习）已知是平面内不同的四点，设甲：；乙：四边形为平行四边形，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【解题思路】根据充分必要条件的定义判断. 【解答过程】一方面，时，可能四点共线，此时不构成四边形，故充分性不成立； 另一方面，四边形为平行四边形时，则，故，故必要性成立． 所以甲不能推出乙，乙能推出甲，故甲是乙的必要条件但不是充分条件. 故选：B. 8．（24-25高一下·山西吕梁·开学考试）下列条件中，是“”的充分不必要条件的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用充分不必要条件的定义即可判断. 【解答过程】因为是的真子集，即由能推出， 而推不出，所以“”的充分不必要条件的是“”． 故选：C． 二、多选题 9．（24-25高一上·广东惠州·阶段练习）的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】解不等式，得到解集，结合集合的包含关系得到AD满足要求，BC不满足要求. 【解答过程】，解得， 由于是的子集， 故是的一个必要条件，A正确， 同理，是的子集， 故是的一个必要条件，D正确， B,C选项均不满足要求. 故选：AD. 10．（23-24高一上·云南昆明·期末）下列选项中，是的必要不充分条件的是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据各项条件间的推出关系，结合充分、必要性定义即可得答案. 【解答过程】A，因为能推出，而不能推出，所以是的必要不充分条件，正确； B，因为不能推出，如；同时不能推出，如，即充分性与必要性都不成立，所以是的既不充分也不必要条件，错误； C，因为不能推出，如，即充分性不成立；可以推出，即必要性成立，正确； D，因为等价于，所以是的充要条件，错误． 故选：AC. 11．（24-25高一上·河北衡水·期中）若“或”是“”的必要不充分条件，则实数的值可以是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据必要不充分条件的定义可得推出关系，由此可构造不等式求得结果. 【解答过程】由必要不充分条件定义可知：或，或， 或，或， 实数的值可以是，和. 故选：ABD. 三、填空题 12．（24-25高一下·广东湛江·阶段练习）若“”是“”的必要条件，则实数的取值范围是 . 【解题思路】根据必要条件的定义直接求解即可. 【解答过程】由题意，“若，则”为真命题， 故实数的取值范围是. 故答案为：. 13．（24-25高一上·贵州六盘水·阶段练习）若，则是的 既不充分也不必要 条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”） 【解题思路】解出，再利用集合之间关系以及充要条件的判断方法判断即可. 【解答过程】，解得， 显然与不具备包含关系， 则是的既不充分也不必要条件. 故答案为：既不充分也不必要. 14．（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为 . 【解题思路】依据充分不必要条件求得需满足且等号不同时成立，可得. 【解答过程】根据题意可知，若p是q的充分不必要条件需满足，解得； 但且两端等号不同时成立，所以，即； 因此实数m的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高一上·全国·课堂例题）判断下列语句是否为命题？若是，请判断其真假，并说明理由． (1)求证是无理数； (2)若，则； (3)你是高一的学生吗？ (4)并非所有的人都喜欢吃苹果； (5)若xy是有理数，则x，y都是有理数； (6)． 【解题思路】（1）（2）（3）（4）（5）（6）利用命题的定义判断各个语句，再判断 命题的真假. 【解答过程】（1）是祈使句，不是命题． （2）因为，，所以可以判断其真假，是命题，而且是真命题． （3）是疑问句，不是命题． （4）是命题，而且是真命题，有的人喜欢吃苹果，有的人不喜欢吃苹果. （5）是命题，而且是假命题，如是有理数，但和都是无理数． （6）不是命题，这种含有未知数的语句，无法确定未知数的取值能否使不等式成立． 16．（24-25高一上·上海·课后作业）下列命题中，判断条件是条件的什么条件． (1)，； (2)是直角三角形，是等腰三角形； (3)：四边形的对角线互相平分，：四边形是矩形； (4)或，； (5)，：方程有实数根． 【解题思路】（1）利用绝对值的性质判断即可. （2）利用等腰三角形和直角三角形的定义判断即可. （3）利用矩形的性质判断即可. （4）解根式方程证明即可. （5）利用一元二次方程的判别式判断即可. 【解答过程】（1）∵，但，∴是的必要非充分条件． （2）∵是直角三角形是等腰三角形； 是等腰三角形是直角三角形， ∴是的既非充分又非必要条件． （3）∵四边形的对角线互相平分四边形是矩形； 四边形是矩形四边形的对角线互相平分，∴是的必要非充分条件． （4）或； 或，所以是的充要条件． （5），即方程有实根； 而方程有实根，即， 所以是的充分非必要条件． 17．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，求证：的充要条件是. 【解题思路】先分清命题条件是，结论是，再根据充要条件的定义证明即可. 【解答过程】①必要性：因为.所以. 所以. ②充分性：因为， 所以，又， 所以且. 因为. 所以，即. 综上可得，当时，的充要条件是. 18．（24-25高一上·甘肃甘南·期末）已知集合，. (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【解题思路】（1）当时，求出集合，利用补集和交集的定义可求得集合； （2）分析可知是的真子集，分、两种情况讨论，结合集合的包含关系可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围. 【解答过程】（1）当时，集合，可得或， 因为，所以. （2）若“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集， 当时，即时，此时，满足是的真子集； 当时，则满足，解得， 当时，，此时是的真子集，合乎题意； 当时，，此时是的真子集，合乎题意. 综上，实数的取值范围为. 19．（23-24高一上·云南玉溪·期中）已知集合，非空集合． (1)若是的必要条件，求实数的取值范围； (2)是否存在实数，使是的充分条件，若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由． 【解题思路】（1）由构造不等式即可求解； （2）由构造不等式即可求解； 【解答过程】（1）非空集合．可得：，解得： 由是的必要条件，可得：, 所以，解得：， 综上实数的取值范围； （2）存在，由是的充分条件，则, 所以，解得：， 所以实数的取值范围. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $$