1.3第1课时并集和交集课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

1.3　第1课时　并集和交集 学 习 目 标 1.理解两个集合的并集与交集的含义. 2.能求两个集合的并集与交集及其综合运算. 3.能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算,体会图形对理解抽象概念的作用. 基础落实·必备知识一遍过 重难探究·能力素养速提升 学以致用·随堂检测促达标 目 录 索 引 基础落实·必备知识一遍过 知识点1 并集 文字语言 符号语言 图形语言 由　　　　属于集合A 　　 　属于集合B的元素组成的集合,称为集合A与B的并集  A∪B={x|x∈A,或x∈B} 两个集合取并集后,两个重复的元素仅看作一个元素   A∪B 所有 或 名师点睛 对并集概念的理解 (1)A∪B仍是一个集合,A∪B由所有属于集合A或属于集合B的元素组成. (2)并集符号语言中的“或”与生活中的“或”字含义有所不同.生活中的“或”是只取其一,并不兼存;而并集中的“或”连接的并列成分之间可能是兼存的, “x∈A或x∈B”包括下列三种情况:①x∈A,且x∉B;②x∉A,且x∈B;③x∈A,且x∈B.可用下图所示形象地表示. (3)并集的运算性质 性质 说明 A∪B=B∪A 满足交换律 A∪⌀=A 任何集合与空集的并集仍为集合本身 A∪A=A 集合与集合本身的并集仍为集合本身 若A∪B=B,则A⊆B   可利用性质进行等价转化 并集关系与子集关系的转化 A⊆(A∪B),B⊆(A∪B) 任何集合都是该集合与另一集合并集的子集 思考辨析 1.如果A⊆B,那么A∪B=B成立吗? 2.若两个集合的并集是空集,则这两个集合有什么特征? 提示 成立. 提示 若两个集合的并集是空集,则这两个集合都是空集. 自主诊断 1.(2024全国甲,文1)集合A={1,2,3,4,5,9},B={x|x+1∈A},则A∩B=(　　) A.{1,2,3,4} B.{1,2,3} C.{2,3,4} D.{1,2,3,4,5} 2.已知集合A={-1,0,1},B={x|x2-3x+2=0},则A∪B=(　　) A.{1} B.{1,2} C.{-1,0,1} D.{-1,0,1,2} A D 解析 由B={x|x2-3x+2=0}={1,2}, 又A={-1,0,1},可知A∪B={-1,0,1,2}.故选D. 3.已知A={x|x>1},B={x|x=1},那么A∪B=　　　　　.  {x|x≥1} 知识点2 交集 文字语言 符号语言 图形语言 由　　　　属于集合A 　　　 　属于集合B的元素组成的集合,称为集合A与B的交集  A∩B=　　 　    所有 且 {x|x∈A,且x∈B} 名师点睛 对交集概念的理解 (1)A∩B仍是一个集合,A∩B由所有属于集合A且属于集合B的元素组成. (2)对于“A∩B={x|x∈A,且x∈B}”,包含以下两层意思:①A∩B中的任一元素都是A与B的公共元素;②A与B的公共元素都属于A∩B,这就是文字定义中“所有”二字的含义,如A={1,2,3},B={2,3,4},则A∩B={2,3},而不是{2}或{3}. (3)并不是任意两个集合总有公共元素,当集合A与集合B没有公共元素时,不能说集合A与集合B没有交集,而是A∩B=⌀. (4)当A=B时,A∩B=A和A∩B=B同时成立. (5)交集的运算性质 性质 说明 A∩B=B∩A 满足交换律 A∩⌀=⌀ 空集与任何集合的交集都为空集 A∩A=A 集合与集合本身的交集仍为集合本身 若A∩B=A,则A⊆B 交集关系与子集关系的转化 (A∩B)⊆A,(A∩B)⊆B 两个集合的交集是其中任一集合的子集 思考辨析 “如果两个集合的交集是空集,那么这两个集合至少有一个是空集”,这种说法对吗? 提示 不一定.例如A={1,2},B={3,4},A∩B=⌀,但A,B都不是空集. 自主诊断 1.(苏教版教材例题改编)已知A={-1,0,1},B={0,1,2,3},那么A∩B=　 . {0,1} 解析 A∩B={-1,0,1}∩{0,1,2,3}={0,1}. 2.(苏教版教材习题)已知A={1,2,3,4,5,6,7,8},B={2,4,6,8}. (1)B⊆A成立吗?A⊆B成立吗? 解 B⊆A成立,A⊆B不成立. (2)求A∩B和A∪B. 解 A∩B=B,A∪B=A. 重难探究·能力素养速提升 探究点一　集合的并集与交集的概念及运算 【例1—1】 已知集合A={6,8,9},B={1,3,7,8,9},C={2,6,8,9},求: (1)A∩B∩C; 解 因为集合A={6,8,9},B={1,3,7,8,9},C={2,6,8,9}, 所以A∩B={8,9},所以A∩B∩C={8,9}. (2)A∪B∪C; 解 因为集合A={6,8,9},B={1,3,7,8,9},C={2,6,8,9}, 所以A∪B={1,3,6,7,8,9},所以A∪B∪C={1,2,3,6,7,8,9}. (3)A∩(B∪C); 解 因为集合A={6,8,9},B={1,3,7,8,9},C={2,6,8,9},所以B∪C={1,2,3,6,7,8,9}, 所以A∩(B∪C)={6,8,9}. (4)(A∩B)∪(A∩C). 解 因为集合A={6,8,9},B={1,3,7,8,9},C={2,6,8,9},所以A∩B={8,9},A∩C={6,8,9}, 所以(A∩B)∪(A∩C)={6,8,9}. 【例1—2】 已知集合A={x|-2≤x≤4},B={x|-4<x<-2},求A∪B,A∩B. 解 因为A={x|-2≤x≤4},B={x|-4<x<-2}, 所以A∪B={x|-4<x≤4},A∩B=⌀. 规律方法　求两个集合交集、并集的方法 若是用列举法表示的数集,可以根据交集、并集的定义直接观察或用Venn图表示出集合运算的结果,要注意若集合不是最简形式,需要先化简集合,求并集时,不是单纯的合并元素,相同的元素只能写一次;若是用描述法表示的数集,可借助数轴分析写出结果,利用数轴时,要注意端点的取舍及表示. 变式训练1 (1)(北师大版教材例题)已知集合A={x|-1≤x<2}, B={x|0≤x≤3},求A∩B,A∪B. 解 在数轴上表示出集合A,B(如图),则 A∩B={x|-1≤x<2}∩{x|0≤x≤3}={x|0≤x<2}; A∪B={x|-1≤x<2}∪{x|0≤x≤3}={x|-1≤x≤3}. (2)(苏教版教材习题)①设A={(x,y)|y=-4x+6},B={(x,y)|y=5x-3},求A∩B. ②设A={x|x=2k-1,k∈Z},B={x|x=2k,k∈Z},求A∩B,A∪B. 解 由题意,集合A为奇数集,集合B为偶数集,所以A∪B=Z,A∩B=⌀. 探究点二　已知集合的交集、并集求参数的值或取值范围 【例2—1】 设集合A={x|x2-3x+2=0},集合B={x|x2+2(a-1)x+a2-5=0}. (1)若A∩B={2},求实数a的值; (2)若A∪B=A,求实数a的取值范围. 解 (1)由题意得A={x|x2-3x+2=0}={1,2}. ∵A∩B={2}, ∴2∈B,∴22+2(a-1)×2+a2-5=0,即4+4a-4+a2-5=0,化简得a2+4a-5=0, 即(a+5)(a-1)=0,解得a=-5或a=1, 经检验当a=-5,B={x|x2-12x+20=0}={2,10},满足A∩B={2}. 当a=1,B={x|x2-4=0}={-2,2},满足A∩B={2}. 故a=-5或a=1. (2)∵A∪B=A,故B⊆A. 当B为空集时,则Δ<0,即4(a-1)2-4(a2-5)<0,得a>3; 当B为单元素集时,则Δ=0,即4(a-1)2-4(a2-5)=0,得a=3,当a=3时,B={-2},舍去; ③当B为双元素集时,B=A={1,2},则有无解. 综上,实数a的取值范围为{a|a>3}. 规律方法　已知两个有限集运算结果求参数值的方法 对于这类已知两个有限集的运算结果求参数值的问题,一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系,再列方程求解.另外,在处理有关含参数的集合问题时,要注意对求解结果进行检验,以避免违背集合中元素的有关特性,尤其是互异性. 【例2—2】 集合A={x|-1<x<1},B={x|x<a}. (1)若A∩B=⌀,求a的取值范围; (2)若A∪B={x|x<1},求a的取值范围. 解 (1)A={x|-1<x<1},B={x|x<a},且A∩B=⌀,把集合A与B都表示在数轴上,如图①所示. ∴数轴上点x=a在点x=-1左侧,且可以包含点x=-1, ∴{a|a≤-1}. (2)A={x|-1<x<1},B={x|x<a}, 且A∪B={x|x<1},把集合A与B都表示在数轴上, 如图②所示,∴数轴上点x=a在点x=-1和点x=1之间, 不包含点x=-1,但包含点x=1.∴{a|-1<a≤1}. 变式探究　本例(1)中,把“A∩B=⌀”改为“A∩B≠⌀”,求a的取值范围. 解 利用数轴(略)表示出两个集合,数形结合知,要使A∩B≠⌀,需数轴上点x=a在点x=-1右侧且不包含点x=-1,所以{a|a>-1}. 规律方法　已知集合运算求参数的取值范围的思路 此类问题常借助数轴解决,首先根据集合间的关系画出数轴,然后根据数轴列出关于参数的不等式(组)求解,特别要注意端点值的取舍.当集合的元素离散时,常借助集合的关系列关于参数的方程(组)求解,但求解后要代入检验是否符合题意. 探究点三　根据集合的交集、并集结果求集合元素的个数 【例3】 (1)满足条件{1,2}∪A={1,2,3,4,5}的集合A的个数为　　　　　. 4 解析 由题意得{3,4,5}⊆A⊆{1,2,3,4,5}, 从而满足条件的集合A有{3,4,5},{1,3,4,5},{2,3,4,5},{1,2,3,4,5}共4个. (2)某学校100名学生在一次语文、数学和英语的三科竞赛中,参加语文竞赛的有39人,参加数学竞赛的有49人,参加英语竞赛的有41人,既参加语文竞赛又参加数学竞赛的有15人,既参加数学竞赛又参加英语竞赛的有13人,既参加语文竞赛又参加英语竞赛的有9人,1人三项都没有参加,则三项都参加的有　　　　人.  7 解析 设三项都参加的有x人,因为有一人三项均未参加, 则由已知39+49+41-15-13-9+x=100-1,解得x=7. (3)集合A={x∈Z|x2-px+15=0},B={x∈Z|x2-5x+q=0},如果A∪B={2,3,5},则A=　　　　　,B=　　　　　.  {3,5} {2,3} 解析 因为x2-px+15=0,x2-5x+q=0,所以集合A中的方程两实数根之积等于15,B中方程两实数根之和为5.又A∪B={2,3,5},x∈Z,所以A={3,5},B={2,3}. 变式训练2　(1)已知集合A={1,2,3},B={1,2},则满足A∩C=B∪C的集合C有 　　　个.  2 解析 由条件A∩C=B∪C可知B⊆(B∪C)=(A∩C)⊆C⊆(B∪C)=(A∩C)⊆A, 则符合条件的集合C为{1,2}或{1,2,3},共2个. ★★(2)已知集合A={x|x2-px-2=0},B={x|x2+qx+r=0},且A∪B={-2,1,5}, A∩B={-2},则p+q+r=　　　　.  -14 解析 因为A∩B={-2},所以-2∈A,将x=-2代入x2-px-2=0,得p=-1, 此时方程x2-px-2=0即为x2+x-2=0,解得x=1或x=-2,所以A={1,-2}. 因为A∪B={-2,1,5},A∩B={-2}, 所以B={-2,5},所以q=-[(-2)+5]=-3,r=(-2)×5=-10, 所以p+q+r=-14. 学以致用·随堂检测促达标 1 2 3 4 1.(2024新高考Ⅰ,1)已知集合A={x|-5<x3<5},B={-3,-1,0,2,3},则A∩B=(　　) A.{-1,0} B.{2,3} C.{-3,-1,0} D.{-1,0,2} A 1 2 3 4 2.已知集合A={-1,0,1},B={x|-1≤x<1},则A∩B=(　　) A.{0} B.{-1,0} C.{0,1} D.{-1,0,1} B 1 2 3 4 3.已知集合A={x|x-a>0},B={x|2-x<0},且A∪B=B,则实数a满足的条件是 　　　　.  a≥2 解析 由题意得A={x|x>a},B={x|x>2}, 因为A∪B=B,所以A⊆B. 在数轴上分别表示出集合A,B,如图所示, 则在数轴上实数a必须在2的右边或与2重合,所以a≥2. 1 2 3 4 4.已知全集U=R,集合A={x∈R|2x-3≥0},B={x|1<x<2},求A∪B. ∴A∪B={x|x>1}. 解 由方程组所以A∩B={(1,2)}. 图① 图② 解 由2x-3≥0可知x≥,因此集合A=,B={x|1<x<2}, $