第二十四章 投影、视图与展开图（单元测试·基础卷）数学北京版九年级下册

2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第二十四章 投影、视图与展开图（参考答案） 一、单选题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1 2 3 4 5 6 7 8 B C D C A B A D 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 9．短 10．3 11． 12．3 13．5 14．24 15．圆锥 16． 3、 解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分） 17．（5分）【详解】（1）解：连接，过D作交延长线于F， 如图，即为在阳光下的投影：    （5分） （2）解：∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴ 解得：， （5分） 18．（5分） 【详解】（1）解：如图所示，    ∴保持从正面看和左面看到的几何体的形状图都不变的情况下， 在第二层第三列最多可以拿掉个小正方体， 在第二层第二列第二行和第三行各加个，在第三层第二列第三行加个，在第三列第三行加个，即最多可以加上个小正方体， 故答案为：，． （2分） （2）解：根据图示，三视图如下，    （5分） 19．（5分） 【详解】（1） （3分） （2）由图观察可知，组合几何图形六个面的面积均为，即这个组合几何体的表面积为()， 故这个组合几何体的表面积为． （5分） 20．（6分） 【详解】解：根据三视图可知该几何体是两个圆柱体叠加在一起， 底面直径分别是和， 高分别是和， （2分） 体积为：． 答：该工件的体积是． （6分） 21．（6分） 【详解】（1）如图，连接OA，OD，过O作OE⊥AD，垂足为E， 因为弧AMD的长为底面周长的，所以扇形AMD的圆心角为360°×＝240°． ∠AOD＝360°﹣240°＝120°． 因为OE⊥AD，所以∠AOE＝×120°＝60°，AE＝AD． 因为AD＝24cm，所以AE＝12cm．在Rt△AOE中，sin∠AOE＝， 所以AO＝，即⊙O的半径为8cm． （3分） （2）设圆柱的表面积为S，则S＝2S圆＋S侧，2 S圆＝2π×（8）2＝384π（cm2）， S侧＝2π×8×25＝400π（cm2）， 所以S＝（384＋400）πcm2 答：木块的表面积为（384＋400）πcm2． （6分） 22．（5分） 【详解】（1）解：由展开图可知，数字a与数字6相对，数字b与数字-2相对，根据对面上的数字之和相等可得，，即， 故答案为：-8． （2分） （2）解：分割线如图所示： （5分） 【点睛】本题考查了正方体展开图，解题关键是明确正方体展开图的基本类型，准确判断相对的面． 23．（5分） 【详解】（1）解：将正方体的右侧面翻折，使它与前面在同一平面内，连接， 两点之间线段最短， 是最短路径， 如图所示，在中，由勾股定理得 ； （2分） （2）解：分两种情况讨论： ①将长方体的右面翻折，使它与前面在同一平面内，连接， 两点之间线段最短， 是最短路径， 如图所示，有． ②将长方体的上面翻折，使它与前面在同一平面内，连接， 两点之间线段最短， 是最短路径， 如图所示． 因为， 所以最短路程为，即最短路程为． （3）解：将长方体按下列三种方案展开： 第一种；如图④， , ∴根据勾股定理得 ； 第二种：如图⑤， ,； ∴根据勾股定理得 第三种：如图⑥， ,． ∴根据勾股定理得 ， 蚂蚁爬行的最短路程是． （5分） 24．（6分） 【详解】解：（1）由左侧两个图形可得，与2相邻的面为3，4，5，6， 故2的对面是1，即第一个图的下底面为1， 又由第一个和第三个图可得，与6相邻的面为2，4，5， 故第一个图的左面是4，后面为3， 故结合第一个和第三个图可得“？”处的点数为2； （3分） （2）由第一个图可知，4的对面是5， 故第二个图和第三个图的下底面都为5， 故这三个骰子下底面上点数和为5＋5＋1＝11． （6分） 【点睛】本题主要考查学生的空间想象能力和推理能力，注意正方体的空间图形并从相对面入手是解题的关键． 25．（5分） 【详解】（1）解：根据拼图可知，共有11个小正方体； 故答案为：11； （1分） （2）解∶分析这个图形的三视图可得：主视图面积为，左视图为，俯视图的面积为， ， 答：这个几何体喷漆的面积为； （3分） （3）解∶如果现在你还有一些棱长都为的小正方体，要求保持俯视图和左视图都不变，最多可以再添加4个小正方体． 故答案为： （5分） 26．（6分） 【详解】（1）解：∵这个几何体从正面、左面看到的形状图是长方形， ∴这个几何体是柱体． ∵这个几何体从上面看到的形状图是三角形， ∴这个几何体是三棱柱． 故答案为：三棱柱． （3分） （2）这个几何体的棱长和为（）， 表面积为（） （6分） 27．（7分） 【详解】（1）如图，过点O作、的平行线，交于H， 由题意可知，点O是的中点， ∵， ∴， ∴点H是的中点， ∵， ∴， ∴， 又∵由题意可知： ∴， ∴， 解得， ∴点O、M之间的距离等于； （3分） （2）过点O作水平线交于点J，过点B作，垂足为I，延长，使得， ∵， ∴， ∵由题意可知：， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，，， ∵在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， ∴叶片外端离地面的最大高度等于． （7分） 28．（7分） 【详解】解：∵长方体包装盒得底面积为288， ∴． ∵四边形是矩形， ∴， ∴ （3分） ∴ ∴． ∵， ∴该长方体包装盒得体积是． （7分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第二十四章 投影、视图与展开图·基础通关 建议用时：120分钟，满分：100分 1、 单选题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1．如图所示的是一个几何体零件，则该几何体的左视图是（　　） A． B． C． D． 2．在广场上，一个大型字母宣传牌垂直于地面放置，其投影如图所示，则该投影属于（   ） A．平行投影 B．既可能是平行投影，也可能是中心投影 C．中心投影 D．不能确定 3．下列各平面图形不是正方体的表面展开图的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，一只蚂蚁从边长是正方体纸箱的点沿纸箱表面爬到点，那么它需要爬行的最短路线的长是（    ） A． B． C． D． 5．一个几何体是由一些完全相同的小正方体搭成，它的几何体的主视图和俯视图如图所示，则搭成这个几何体的小正方体最多有（   ） A．9个 B．8个 C．7个 D．6个 6．当你在笔直的公路上乘车由A至E的过程中(如图所示)，发现路边有两栋建筑物，那么不能看到较高建筑物PD的路段是(　　) A．AB B．BC C．CD D．DE 7．如图是一个正三棱柱，作出它的三视图，则这个正三棱柱的体积是（   ） A． B． C． D． 8．如图，正方形ABCD的边长为3cm，以直线AB为轴，将正方形旋转一周，所得几何体的主视图的面积是（      ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 9．夜晚路灯下同样高的旗杆，离路灯越近，它的影子越 ．（填“长”或“短”） 10．如图，由三个棱长均为1cm的小立方体搭成的几何体的主视图的面积是 ． 11．如图，方格纸上每个小正方形的边长都相同，若使阴影部分能折叠成一个正方体，则需剪掉一个小正方形，剪掉的小正方形不可以是 ．（填序号） 12．如图是一个正方体的表面展开图，若，则该正方体上两点间的距离为 ． 13．用小正方体搭一个几何体，其主视图和左视图如图所示，那么搭成这样的几何体至少需要 个小正方体． 14．如图所示，水平放置的长方体的底面是长为4、宽为2的长方形，它的主视图的面积为12，则长方体的体积等于 ． 15．如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：），则这个几何体为 ．    16．在数学活动课上，老师带领同学们以“制作无盖长方体盒子”为主题展开活动．如图所示为宽，长的长方形纸板，要将其四角各剪去一个正方形，折成如图所示的高为的无盖长方体盒子（纸板厚度忽略不计）．则此无盖长方体盒子的体积为 ． 3、 解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分） 17．如图，和是直立在地面上的两根立柱．，某一时刻在阳光下的投影，在阳光下的投影长为．    (1)请你在图中画出此时在阳光下的投影． (2)根据题中信息，求出立柱的长． 18．如图是由个大小相同的小正方体搭成的几何体．    (1)在保持从正面看和左面看到的几何体的形状图都不变的情况下，最多可以拿掉__________个小正方体，最多可以加上__________个小正方体； (2)请在下面方格纸中分别画出这个几何体从正面看、从左面看、从上面看的形状图． 19．如图，下面的几何体是由若干棱长为1cm的小立方块搭成． (1)观察该几何体，画出你所看到的几何体的主视图、左视图、俯视图． (2)求这个几何体的表面积． 20．小明在参观某工厂时发现了一个工件，并画出了此工件的三视图，如图所示．求该工件的体积． 21．如图①，O为圆柱形木块底面的圆心，过底面的一条弦AD，沿母线AB剖开，得剖面矩形ABCD，AD＝24cm，AB＝25cm．若弧AMD的长为底面周长的，如图②所示． （1）求⊙O的半径； （2）求这个圆柱形木块的表面积．（结果可保留π和根号） 22． (1)图1所示的硬纸片可以折成一个无盖的正方体盒子，每个面上都标有一个数字，且相对面上的数字之和相等．则______； (2)图2为一张由的小正方形组成的长方形硬纸片，把它分制成三部分，要求每部分都能折成一个无盖的正方体盒子（要求：在图中画出分割线即可）． 23．叶老师在与学生研究“蚂蚁怎样爬最近”的课题时设计了以下问题．请你根据下面所给的条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路程（结果保留根号）． (1)如图①，正方体的棱长为，一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A处沿着正方体表面爬到点处； (2)如图②，长方体的长和宽都为，高为，一只蚂蚁从长方体底面上的点A处沿着长方体表面爬到点处； (3)如图③，长方体的长、宽、高分别 是、和，一只蚂蚁要从顶点A处沿着长方体的表面爬到长方体上和相对的顶点处． 24．如图是一颗骰子的三种不同的放置方法． （1）根据图中三种放置方法，推出“？”处的点数． （2）求这三个骰子下底面上点数和． 25．如图，在平整的地面上，用多个棱长都为的小正方体堆成一个几何体． (1)共有______个小正方体； (2)若在几何体表面露出部分不含底面喷漆，求这个几何体喷漆的面积； (3)如果现在你还有一些棱长都为的小正方体，要求保持俯视图和左视图都不变，最多可以再添加______个小正方体． 26．如图是某几何体从正面、左面、上面看到的形状图． (1)这个几何体的名称是 ； (2)根据图中数据求这个几何体的棱长和与表面积． 27．如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方．某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片，，此时各叶片影子在点M右侧成线段，测得，，设光线与地面夹角为α，测得 (1)求点O，M之间的距离． (2)转动时，求叶片外端离地面的最大高度． 28．综合与实践 主题：制作长方体包装盒． 素材：一张边长为30cm的正方表纸板． 步骤1：如图，在正方形纸板的边上取点E、F，使，以为斜边向下等腰直角三角形；在正方形纸板的边上取点P、Q，使，以为斜边向左作等腰直角三角形；分别在边上以同样的方式操作，得到四个全等的等腰直角三角形（阴影部分），剪去阴影部分． 步骤2：将剩余部分沿虚线折起，点A、B、C、D恰好重合于点O处，如图，得到一个底面为正方形的长方休包装盒． 若该长方体包装盒的底面积为288，求该长方体包装盒的体积． 试题 第3页（共10页） 试题 第4页（共10页） 试题 第1页（共10页） 试题 第2页（共10页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第二十四章 投影、视图与展开图·基础通关 建议用时：120分钟，满分：100分 1、 单选题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1．如图所示的是一个几何体零件，则该几何体的左视图是（　　） A． B． C． D． 2．在广场上，一个大型字母宣传牌垂直于地面放置，其投影如图所示，则该投影属于（   ） A．平行投影 B．既可能是平行投影，也可能是中心投影 C．中心投影 D．不能确定 3．下列各平面图形不是正方体的表面展开图的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，一只蚂蚁从边长是正方体纸箱的点沿纸箱表面爬到点，那么它需要爬行的最短路线的长是（    ） A． B． C． D． 5．一个几何体是由一些完全相同的小正方体搭成，它的几何体的主视图和俯视图如图所示，则搭成这个几何体的小正方体最多有（   ） A．9个 B．8个 C．7个 D．6个 6．当你在笔直的公路上乘车由A至E的过程中(如图所示)，发现路边有两栋建筑物，那么不能看到较高建筑物PD的路段是(　　) A．AB B．BC C．CD D．DE 7．如图是一个正三棱柱，作出它的三视图，则这个正三棱柱的体积是（   ） A． B． C． D． 8．如图，正方形ABCD的边长为3cm，以直线AB为轴，将正方形旋转一周，所得几何体的主视图的面积是（      ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 9．夜晚路灯下同样高的旗杆，离路灯越近，它的影子越 ．（填“长”或“短”） 10．如图，由三个棱长均为1cm的小立方体搭成的几何体的主视图的面积是 ． 11．如图，方格纸上每个小正方形的边长都相同，若使阴影部分能折叠成一个正方体，则需剪掉一个小正方形，剪掉的小正方形不可以是 ．（填序号） 12．如图是一个正方体的表面展开图，若，则该正方体上两点间的距离为 ． 13．用小正方体搭一个几何体，其主视图和左视图如图所示，那么搭成这样的几何体至少需要 个小正方体． 14．如图所示，水平放置的长方体的底面是长为4、宽为2的长方形，它的主视图的面积为12，则长方体的体积等于 ． 15．如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：），则这个几何体为 ．    16．在数学活动课上，老师带领同学们以“制作无盖长方体盒子”为主题展开活动．如图所示为宽，长的长方形纸板，要将其四角各剪去一个正方形，折成如图所示的高为的无盖长方体盒子（纸板厚度忽略不计）．则此无盖长方体盒子的体积为 ． 3、 解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分） 17．如图，和是直立在地面上的两根立柱．，某一时刻在阳光下的投影，在阳光下的投影长为．    (1)请你在图中画出此时在阳光下的投影． (2)根据题中信息，求出立柱的长． 18．如图是由个大小相同的小正方体搭成的几何体．    (1)在保持从正面看和左面看到的几何体的形状图都不变的情况下，最多可以拿掉__________个小正方体，最多可以加上__________个小正方体； (2)请在下面方格纸中分别画出这个几何体从正面看、从左面看、从上面看的形状图． 19．如图，下面的几何体是由若干棱长为1cm的小立方块搭成． (1)观察该几何体，画出你所看到的几何体的主视图、左视图、俯视图． (2)求这个几何体的表面积． 20．小明在参观某工厂时发现了一个工件，并画出了此工件的三视图，如图所示．求该工件的体积． 21．如图①，O为圆柱形木块底面的圆心，过底面的一条弦AD，沿母线AB剖开，得剖面矩形ABCD，AD＝24cm，AB＝25cm．若弧AMD的长为底面周长的，如图②所示． （1）求⊙O的半径； （2）求这个圆柱形木块的表面积．（结果可保留π和根号） 22． (1)图1所示的硬纸片可以折成一个无盖的正方体盒子，每个面上都标有一个数字，且相对面上的数字之和相等．则______； (2)图2为一张由的小正方形组成的长方形硬纸片，把它分制成三部分，要求每部分都能折成一个无盖的正方体盒子（要求：在图中画出分割线即可）． 23．叶老师在与学生研究“蚂蚁怎样爬最近”的课题时设计了以下问题．请你根据下面所给的条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路程（结果保留根号）． (1)如图①，正方体的棱长为，一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A处沿着正方体表面爬到点处； (2)如图②，长方体的长和宽都为，高为，一只蚂蚁从长方体底面上的点A处沿着长方体表面爬到点处； (3)如图③，长方体的长、宽、高分别 是、和，一只蚂蚁要从顶点A处沿着长方体的表面爬到长方体上和相对的顶点处． 24．如图是一颗骰子的三种不同的放置方法． （1）根据图中三种放置方法，推出“？”处的点数． （2）求这三个骰子下底面上点数和． 25．如图，在平整的地面上，用多个棱长都为的小正方体堆成一个几何体． (1)共有______个小正方体； (2)若在几何体表面露出部分不含底面喷漆，求这个几何体喷漆的面积； (3)如果现在你还有一些棱长都为的小正方体，要求保持俯视图和左视图都不变，最多可以再添加______个小正方体． 26．如图是某几何体从正面、左面、上面看到的形状图． (1)这个几何体的名称是 ； (2)根据图中数据求这个几何体的棱长和与表面积． 27．如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方．某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片，，此时各叶片影子在点M右侧成线段，测得，，设光线与地面夹角为α，测得 (1)求点O，M之间的距离． (2)转动时，求叶片外端离地面的最大高度． 28．综合与实践 主题：制作长方体包装盒． 素材：一张边长为30cm的正方表纸板． 步骤1：如图，在正方形纸板的边上取点E、F，使，以为斜边向下等腰直角三角形；在正方形纸板的边上取点P、Q，使，以为斜边向左作等腰直角三角形；分别在边上以同样的方式操作，得到四个全等的等腰直角三角形（阴影部分），剪去阴影部分． 步骤2：将剩余部分沿虚线折起，点A、B、C、D恰好重合于点O处，如图，得到一个底面为正方形的长方休包装盒． 若该长方体包装盒的底面积为288，求该长方体包装盒的体积． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第二十四章 投影、视图与展开图·基础通关 建议用时：120分钟，满分：100分 1、 单选题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1．如图所示的是一个几何体零件，则该几何体的左视图是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了几何体的三种视图和学生的空间想象能力，左视图是从物体左面看所得到的图形，解答时学生易将三种视图混淆而错误的选其它选项． 根据左视图是从左面看到的图形判定即可． 【详解】解：该几何体的左视图是： 故选：B． 2．在广场上，一个大型字母宣传牌垂直于地面放置，其投影如图所示，则该投影属于（   ） A．平行投影 B．既可能是平行投影，也可能是中心投影 C．中心投影 D．不能确定 【答案】C 【详解】设大型字母“”宣传牌上方的点A，B，C三个物点的像点为． 连接并延长相交于一点O， ∴光源在O点， ∴是中心投影． 故选：C． 3．下列各平面图形不是正方体的表面展开图的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、B、C均是正方体表面展开图； D有田字形，故不是正方体表面展开图． 故选：D． 4．如图，一只蚂蚁从边长是正方体纸箱的点沿纸箱表面爬到点，那么它需要爬行的最短路线的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平面展开最短路径问题，先将图形展开，再根据两点之间线段最短，由勾股定理计算即可得出答案，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，由题意得，， ∵展开后由勾股定理得：， ∴它需要爬行的最短路线的长是， 故选：． 5．一个几何体是由一些完全相同的小正方体搭成，它的几何体的主视图和俯视图如图所示，则搭成这个几何体的小正方体最多有（   ） A．9个 B．8个 C．7个 D．6个 【答案】A 【分析】本题考查由三视图判断几何体．如果掌握口诀“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．主视图、俯视图是分别从物体正面、上面看，所得到的图形，据此求解即可． 【详解】解：综合主视图和俯视图，可以得到如下图形： ∴底层有5个小立方体，第二层最多有4个小立方体， ∴搭成这个几何体的小正方体的个数最多是9个． 故选：A． 6．当你在笔直的公路上乘车由A至E的过程中(如图所示)，发现路边有两栋建筑物，那么不能看到较高建筑物PD的路段是(　　) A．AB B．BC C．CD D．DE 【答案】B 【分析】若不能看到建筑物PD，则PD位于此线段的盲区内，可据此进行判断． 【详解】由图知：当乘车在BC段行驶时，建筑物PD位于自己的盲区内，因此看不到建筑物PD的路段是BC段. 故选B． 【点睛】理解视点、视角和盲区的定义是解答此类题目的关键． 7．如图是一个正三棱柱，作出它的三视图，则这个正三棱柱的体积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，由题意可得，正三棱柱的底面为等边三角形，过作于点， ∴， ∴， ∴，即等边三角形的高为， ∴这个正三棱柱的体积是， 故选：． 8．如图，正方形ABCD的边长为3cm，以直线AB为轴，将正方形旋转一周，所得几何体的主视图的面积是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定几何体的主视图，得到边长分别为3cm、6cm，再根据面积公式计算得出答案. 【详解】如图，所得几何体的主视图是一个长方形，边长分别为3cm、6cm， ∴所得几何体的主视图的面积是=， 故选：D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 9．夜晚路灯下同样高的旗杆，离路灯越近，它的影子越 ．（填“长”或“短”） 【答案】短 【详解】解： 由图易得，那么离路灯越近，它的影子越短． 故答案为：短． 10．如图，由三个棱长均为1cm的小立方体搭成的几何体的主视图的面积是 ． 【答案】3 【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案． 【详解】解：从正面看，得到的图案从下往上数，第一层是两个小正方形，第二层左边是一个小正方形，所以主视图的面积是． 故答案为：3. 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图． 11．如图，方格纸上每个小正方形的边长都相同，若使阴影部分能折叠成一个正方体，则需剪掉一个小正方形，剪掉的小正方形不可以是 ．（填序号） 【答案】 【分析】本题考查了正方体展开图，熟记正方体的种展开图是解题的关键． 根据正方体的种展开图解答即可． 【详解】解：根据题意可知：剪去或或可以围成一个正方体，剪去不能围成正方体， 故答案为： ． 12．如图是一个正方体的表面展开图，若，则该正方体上两点间的距离为 ． 【答案】3 【分析】将正方体的展开图叠成一个正方体，A、B刚好是同一个面的对角线，于是可以求出结果． 【详解】将正方体的展开图叠成一个正方体，刚好是同一个面的对角线， 因为两倍对角线为6，那么对角线的长度就是， 即正方体上两点间的距离为：3， 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了正方体的展开与折叠，将正方体的展开图正确折叠是解题的关键，难点在于确定A、B两点折叠后的位置． 13．用小正方体搭一个几何体，其主视图和左视图如图所示，那么搭成这样的几何体至少需要 个小正方体． 【答案】5 【分析】根据图形，主视图的底层最少有3个小正方形．第二层最少有2个小正方形． 【详解】解：综合主视图和左视图，这个几何体的底层最少有3个小正方体，第二层最最少有2个小正方体，那么搭成这样的几何体至少需要个小正方体， 故答案为5． 【点睛】本题考查三视图，然后根据“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”来分析出小正方体的个数． 14．如图所示，水平放置的长方体的底面是长为4、宽为2的长方形，它的主视图的面积为12，则长方体的体积等于 ． 【答案】24 【分析】由主视图的面积=长×高，长方体的体积=主视图的面积×宽，得出结论． 【详解】因为主视图的面积为12cm2 ， 所以长方体的高为12÷4=3cm， 所以体积为3×4×2=24cm3． 故答案为：24 【点睛】本题考查了简单的几何体的三视图，解题的关键是明确主视图是由长和高组成的． 15．如图是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：），则这个几何体为 ．    【答案】圆锥 【分析】本题主要考查了几何体的三视图，对三视图掌握程度和灵活运用能力是解题的关键． 由主视图和左视图确定是三棱柱，再结合俯视图即可解答． 【详解】解：由主视图和左视图为三角形判断出是三棱柱，由俯视图是圆形可判断出这个几何体应该是圆锥． 故答案为：圆锥． 16．在数学活动课上，老师带领同学们以“制作无盖长方体盒子”为主题展开活动．如图所示为宽，长的长方形纸板，要将其四角各剪去一个正方形，折成如图所示的高为的无盖长方体盒子（纸板厚度忽略不计）．则此无盖长方体盒子的体积为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是长方体的展开图的认识，长方体的体积计算，数形结合是解本题的关键．根据展开图求出此无盖长方体盒子的长、宽，由长方体的体积公式进行计算即可． 【详解】解：此无盖长方体盒子的长为，宽为， 此无盖长方体盒子的体积为， 故答案为：． 3、 解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分） 17．如图，和是直立在地面上的两根立柱．，某一时刻在阳光下的投影，在阳光下的投影长为．    (1)请你在图中画出此时在阳光下的投影． (2)根据题中信息，求出立柱的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）解：连接，过D作交延长线于F， 如图，即为在阳光下的投影：    （2）解：∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴ 解得：， 18．如图是由个大小相同的小正方体搭成的几何体．    (1)在保持从正面看和左面看到的几何体的形状图都不变的情况下，最多可以拿掉__________个小正方体，最多可以加上__________个小正方体； (2)请在下面方格纸中分别画出这个几何体从正面看、从左面看、从上面看的形状图． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】（1）根据正视图、左视图的特点进行分析即可求解； （2）根据图示，结合正视图、左视图、俯视图的特点进行求解； 本题主要考查立体图形的三视图，掌握三视图的特点是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，    ∴保持从正面看和左面看到的几何体的形状图都不变的情况下， 在第二层第三列最多可以拿掉个小正方体， 在第二层第二列第二行和第三行各加个，在第三层第二列第三行加个，在第三列第三行加个，即最多可以加上个小正方体， 故答案为：，． （2）解：根据图示，三视图如下，    19．如图，下面的几何体是由若干棱长为1cm的小立方块搭成． (1)观察该几何体，画出你所看到的几何体的主视图、左视图、俯视图． (2)求这个几何体的表面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】由图可知，从正面看有3列，从左往右正方形的数目为3、1、2；从左面看有3列，从左往右正方形的数目为3、2、1；从上面看有3列，从上往下正方形的数目为3、2、1；依次画出即可． 由图观察可知，组合几何图形六个面的面积均为,将六个面相加即可求解． 【详解】（1） （2）由图观察可知，组合几何图形六个面的面积均为，即这个组合几何体的表面积为()， 故这个组合几何体的表面积为． 【点睛】本题主要考查了三视图的作法，熟练掌握其画法以及计算表面积的方法是解题的关键． 20．小明在参观某工厂时发现了一个工件，并画出了此工件的三视图，如图所示．求该工件的体积． 【答案】 【分析】本题主要考查了由三视图判断几何体，圆柱体体积的计算，正确得到几何体的形状是解题关键． 根据三视图可知该几何体是两个圆柱体叠加在一起，体积是两个圆柱体的体积的和，利用圆柱体体积的计算公式即可求解． 【详解】解：根据三视图可知该几何体是两个圆柱体叠加在一起， 底面直径分别是和， 高分别是和， 体积为：． 答：该工件的体积是． 21．如图①，O为圆柱形木块底面的圆心，过底面的一条弦AD，沿母线AB剖开，得剖面矩形ABCD，AD＝24cm，AB＝25cm．若弧AMD的长为底面周长的，如图②所示． （1）求⊙O的半径； （2）求这个圆柱形木块的表面积．（结果可保留π和根号） 【答案】（1）⊙O的半径为8cm；（2）木块的表面积为（384＋400）πcm2． 【分析】（1）根据弧AMD的长为底面周长的，可将扇形的圆心角求出，再根据弦AD的长可将⊙O的半径求出； （2）圆柱形木块的表面积S=2S圆＋S侧，将上下两个圆的面积和侧面的面积求出，相加即可． 【详解】（1）如图，连接OA，OD，过O作OE⊥AD，垂足为E， 因为弧AMD的长为底面周长的，所以扇形AMD的圆心角为360°×＝240°． ∠AOD＝360°﹣240°＝120°． 因为OE⊥AD，所以∠AOE＝×120°＝60°，AE＝AD． 因为AD＝24cm，所以AE＝12cm．在Rt△AOE中，sin∠AOE＝， 所以AO＝，即⊙O的半径为8cm． （2）设圆柱的表面积为S，则S＝2S圆＋S侧，2 S圆＝2π×（8）2＝384π（cm2）， S侧＝2π×8×25＝400π（cm2）， 所以S＝（384＋400）πcm2 答：木块的表面积为（384＋400）πcm2． 【点睛】考查圆柱的计算，解直角三角形，熟练掌握垂径定理以及锐角三角函数是解题的关键. 22． (1)图1所示的硬纸片可以折成一个无盖的正方体盒子，每个面上都标有一个数字，且相对面上的数字之和相等．则______； (2)图2为一张由的小正方形组成的长方形硬纸片，把它分制成三部分，要求每部分都能折成一个无盖的正方体盒子（要求：在图中画出分割线即可）． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据正方体相对面的数字之和相等求出a、b的值即可求解； （2）无盖的正方体盒子是由5个正方形组成，根据正方体展开图分割即可． 【详解】（1）解：由展开图可知，数字a与数字6相对，数字b与数字-2相对，根据对面上的数字之和相等可得，，即， 故答案为：-8． （2）解：分割线如图所示： 【点睛】本题考查了正方体展开图，解题关键是明确正方体展开图的基本类型，准确判断相对的面． 23．叶老师在与学生研究“蚂蚁怎样爬最近”的课题时设计了以下问题．请你根据下面所给的条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路程（结果保留根号）． (1)如图①，正方体的棱长为，一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A处沿着正方体表面爬到点处； (2)如图②，长方体的长和宽都为，高为，一只蚂蚁从长方体底面上的点A处沿着长方体表面爬到点处； (3)如图③，长方体的长、宽、高分别 是、和，一只蚂蚁要从顶点A处沿着长方体的表面爬到长方体上和相对的顶点处． 【答案】(1)蚂蚁需要爬行的最短路程为； (2)蚂蚁爬行的最短路程为； (3)蚂蚁爬行的最短路程是． 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，找出最短路径，用勾股定理来解决路径长，在进行实数大小比较是解题关键． （1）将正方体的右侧面翻折，使它与前面在同一平面内，连接，两点之间线段最短， 是最短路径，利用勾股定理求即可； （2）分两种情况讨论：①将长方体的右面翻折，使它与前面在同一平面内，连接，两点之间线段最短， 是最短路径，利用勾股定理求，②将长方体的上面翻折，使它与前面在同一平面内，连接，两点之间线段最短， 是最短路径，利用勾股定理求比较两种方法之下的，确定最短的即可． （3）将长方体按三种方案展开，画出图形，求出结果，然后进行比较即可． 【详解】（1）解：将正方体的右侧面翻折，使它与前面在同一平面内，连接， 两点之间线段最短， 是最短路径， 如图所示，在中，由勾股定理得 ； （2）解：分两种情况讨论： ①将长方体的右面翻折，使它与前面在同一平面内，连接， 两点之间线段最短， 是最短路径， 如图所示，有． ②将长方体的上面翻折，使它与前面在同一平面内，连接， 两点之间线段最短， 是最短路径， 如图所示． 因为， 所以最短路程为，即最短路程为． （3）解：将长方体按下列三种方案展开： 第一种；如图④， , ∴根据勾股定理得 ； 第二种：如图⑤， ,； ∴根据勾股定理得 第三种：如图⑥， ,． ∴根据勾股定理得 ， 蚂蚁爬行的最短路程是． 24．如图是一颗骰子的三种不同的放置方法． （1）根据图中三种放置方法，推出“？”处的点数． （2）求这三个骰子下底面上点数和． 【答案】（1）2；（2）11 【分析】（1）由左侧两个图形可得，与2相邻的面为3，4，5，6，由第一个和第三个图可得，与6相邻的面为2，4，5，据此可得结论； （2）由第一个图可知，4的对面是5，即可得到第二个图和第三个图的下底面都为5，进而得出这三个骰子下底面上点数和． 【详解】解：（1）由左侧两个图形可得，与2相邻的面为3，4，5，6， 故2的对面是1，即第一个图的下底面为1， 又由第一个和第三个图可得，与6相邻的面为2，4，5， 故第一个图的左面是4，后面为3， 故结合第一个和第三个图可得“？”处的点数为2； （2）由第一个图可知，4的对面是5， 故第二个图和第三个图的下底面都为5， 故这三个骰子下底面上点数和为5＋5＋1＝11． 【点睛】本题主要考查学生的空间想象能力和推理能力，注意正方体的空间图形并从相对面入手是解题的关键． 25．如图，在平整的地面上，用多个棱长都为的小正方体堆成一个几何体． (1)共有______个小正方体； (2)若在几何体表面露出部分不含底面喷漆，求这个几何体喷漆的面积； (3)如果现在你还有一些棱长都为的小正方体，要求保持俯视图和左视图都不变，最多可以再添加______个小正方体． 【答案】(1)11 (2) (3)4 【分析】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义，掌握简单三视图的画法是正确解答的关键． （1）根据拼图可直接得出答案； （2）求出主视图、左视图、俯视图的面积，再根据表面积的意义进行计算即可； （3）根据题意，结合俯视图和左视图，从左面看的图将多余的小正方体补进去即可． 【详解】（1）解：根据拼图可知，共有11个小正方体； 故答案为：11； （2）解∶分析这个图形的三视图可得：主视图面积为，左视图为，俯视图的面积为， ， 答：这个几何体喷漆的面积为； （3）解∶如果现在你还有一些棱长都为的小正方体，要求保持俯视图和左视图都不变，最多可以再添加4个小正方体． 故答案为： 26．如图是某几何体从正面、左面、上面看到的形状图． (1)这个几何体的名称是 ； (2)根据图中数据求这个几何体的棱长和与表面积． 【答案】(1)三棱柱 (2)， 【分析】本题考查的是由三视图还原几何体，三棱柱的表面积的计算，从三视图中得出该几何体是三棱柱是解本题的关键． （1）由三视图可得该几何体是三棱柱， （2）由表面积等于两个底面三角形的面积加上三个侧面长方形的面积即可． 【详解】（1）解：∵这个几何体从正面、左面看到的形状图是长方形， ∴这个几何体是柱体． ∵这个几何体从上面看到的形状图是三角形， ∴这个几何体是三棱柱． 故答案为：三棱柱． （2）这个几何体的棱长和为（）， 表面积为（） 27．如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方．某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片，，此时各叶片影子在点M右侧成线段，测得，，设光线与地面夹角为α，测得 (1)求点O，M之间的距离． (2)转动时，求叶片外端离地面的最大高度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点O作、的平行线，交于H，根据平行线分线段成比例得出点H是的中点，得出，再由正切函数求解即可； （2）过点O作水平线交于点J，过点B作，垂足为I，延长，使得，利用相似三角形的判定和性质得出，确定四边形是平行四边形，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）如图，过点O作、的平行线，交于H， 由题意可知，点O是的中点， ∵， ∴， ∴点H是的中点， ∵， ∴， ∴， 又∵由题意可知： ∴， ∴， 解得， ∴点O、M之间的距离等于； （2）过点O作水平线交于点J，过点B作，垂足为I，延长，使得， ∵， ∴， ∵由题意可知：， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，，， ∵在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴， ∴叶片外端离地面的最大高度等于． 28．综合与实践 主题：制作长方体包装盒． 素材：一张边长为30cm的正方表纸板． 步骤1：如图，在正方形纸板的边上取点E、F，使，以为斜边向下等腰直角三角形；在正方形纸板的边上取点P、Q，使，以为斜边向左作等腰直角三角形；分别在边上以同样的方式操作，得到四个全等的等腰直角三角形（阴影部分），剪去阴影部分． 步骤2：将剩余部分沿虚线折起，点A、B、C、D恰好重合于点O处，如图，得到一个底面为正方形的长方休包装盒． 若该长方体包装盒的底面积为288，求该长方体包装盒的体积． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形和矩形的性质，等腰三角形的性质和判定，特殊角的三角函数， 根据题意得，由四边形是矩形，可得，则再求出， 进而求出，然后根据体积公式可得答案． 【详解】解：∵长方体包装盒得底面积为288， ∴． ∵四边形是矩形， ∴， ∴ ∴ ∴． ∵， ∴该长方体包装盒得体积是． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $