专题03 幂函数十三大题型汇总（压轴题专项训练）数学人教B版2019必修第二册

专题03幂函数十三大题型汇总 目录 专题03 幂函数十三大题型汇总 类型一、求幂函数的值 类型二、求幂函数的解析式 类型三、幂函数的图像与性质 类型四、幂函数的单调性比较大小 类型五、幂函数的定义域 类型六、幂函数的值域 类型七、幂函数过定点 类型八、幂函数的单调性 类型九、幂函数的单调性解不等式 类型十、 幂函数的奇偶性 类型十一、指对幂函数的增长差异 类型十二、恒成立与存在有解问题 类型十三、指对幂的实际应用 压轴专练 类型一、求幂函数的值 例1．(24-25高一上·湖北部分恩施高中、襄阳五中、郧阳中学等学校·)已知函数（，）的图像恒过定点P，P在幂函数图象上，则的值为（   ） A．8 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】根据对数函数和幂函数的图象特点和定义求解即可. 【详解】因为函数的图象恒过点， 令，即时. 所以点的坐标为. 又点在幂函数的图象上，设， 则，所以，所以. 所以. 故选：C. 变式1-1．(多选)(24-25高一上·甘肃多校·期末)已知幂函数，函数在区间上单调递减，则下列正确的是（    ） A． B．函数的图象经过点 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】对A，根据幂函数定义结合单调性求解判断；对B，由选项A得，代入运算判断；对C，根据幂函数的单调性判断；对D，利用作差比较法，结合基本不等式判断. 【详解】对于A，由函数为幂函数，有，解得或2． 当时，，函数在单调递增，不符合题意； 当时，，函数在单调递减，符合题意．故有，故A错误； 对于B，由选项A，，可得，故B正确； 对于C，由函数为偶函数，可知函数在区间上单调递增， 可得，故C正确； 对于D，由，， 则， 可得，故D正确． 故选：BCD． 变式1-2．(24-25高一上·山东潍坊·期中)已知，则 . 【答案】7 【分析】直接利用完全平方公式求解即可. 【详解】因为， 则， 故答案为：7. 变式1-3．(24-25高一上·江苏南通如皋十校·期中)已知幂函数的图像关于轴对称，则 ． 【答案】9 【分析】首先，根据幂函数的定义，系数应为，可求出的值.然后根据函数图像关于轴对称确定的具体取值，得到函数表达式，最后将代入函数求值. 【详解】因为是幂函数，所以，即. 解得或. 当时，，，函数是奇函数，其图像关于原点对称，不符合题意. 当时，，，函数是偶函数，其图像关于轴对称，符合题意. 所以，. 将代入，可得. 故答案为：9. 类型二、求幂函数的解析式 幂函数的形式是，其中只有一个参数因此只需一个条件即可确定其解析式 例2．(24-25高一下·安徽马鞍山第八高级中学·)已知点在幂函数的图象上，则是（   ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．在上单调递减 【答案】A 【分析】根据已知求出，从而函数，根据奇偶性定义以及反比例函数得到答案． 【详解】∵点在幂函数的图象上，设， ∴，解得， ∴函数，定义域为，关于原点对称， ∴， ∴函数是奇函数，根据反比例图象在上单调递减． 故选：A． 变式2-1．(24-25高一上·河南濮阳·期末)已知幂函数的图象分别经过两点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将点的坐标代入函数解析式中可得，表示出，然后逐个分析判断. 【详解】把两点分别代入可得， 所以，， 对于A，，若，则， 得，此方程无解，所以不成立，所以A错误， 对于B，，所以B正确， 对于C，， 因为在上递减，且， 所以，即，所以，所以不成立，所以C错误， 对于D，若，则，得，显然不成立，所以，所以D错误. 故选：B． 变式2-2．（多选）(24-25高一下·河南驻马店·月考)已知幂函数（，为常数），则下列说法正确的有（   ） A． B．若，则与表示同一个函数 C．若，则为奇函数 D．若，则为偶函数 【答案】BD 【分析】由幂函数的性质，奇偶性的定义，逐项判断即可. 【详解】由为幂函数， 可得：，即，故A错误； 对于B：若，则，，故B正确； 对于C：若，则， 所以，定义域为， 显然是偶函数，故C错误； 对于D：若，则， 所以，定义域为， 又 ，故是偶函数，故D正确. 故选：BD 变式2-3．(24-25高一下·江西多校联考·)已知幂函数在区间上单调递增，定义域为的函数满足，且当时，函数. (1)求的解析式； (2)求在区间上的解析式及零点. 【答案】(1) (2)；零点为15，17 【分析】（1）由幂函数的定义结合幂函数单调性可得答案； （2）根据得函数的周期，根据周期，由，则，求出的解析式，即可得到答案. 【详解】（1）由，得或， 因为幂函数在区间上单调递增， 所以，故，所以. （2）当时，函数. 由得函数的周期， 由，则，故， 又，所以. 令，得或，故零点为15，17. 类型三、幂函数的图像与性质 在区间(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，+∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴. 例3．在同一坐标系内，函数和的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂函数和一次函数的单调性判断的正负，可判断ABC，再由一次函数与坐标轴交点坐标及单调性判断D. 【详解】对于A，函数，，函数，；二者矛盾，不可能成立； 对于B，函数，，函数，；二者矛盾，不可能成立； 对于C，函数，，函数，；可能成立； 对于D，函数，，函数，，，矛盾，不可能成立． 故选：C． 变式3-1．(24-25高一上·江苏太湖高级中学·月考)“幂函数的图象分布在第一、二象限”是“或2”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】先根据幂函数的定义求出幂函数解析式，再分析幂函数图像分布在第一、二象限与或2的推导关系即可得出答案. 【详解】由题意得，因为是幂函数， 所以，解得或. 当时，，如图所示， 图像经过第一、二象限； 当时，，如图所示， 图像分布在 第一、三象限. 故可得“幂函数的图象分布在第一、二象限”等价于“”， 于是“”可推出“或2”，而“或2”推不出“”， 于是“幂函数的图象分布在第一、二象限”是“或2”的充分不必要条件. 故选：C. 变式3-2．（多选）若实数，，满足，则下列不等关系可能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】画出，，的图象，移动直线，数形结合确定，，大小的所有可能情况，即可得. 【详解】如图，在同一平面直角坐标系中作出，，的图象，再作直线， 变换m的值发现，，，的大小关系可能为，，，，，，，故A，B，C正确，D错误． 故选：ABC 变式3-3．（多选）(24-25高二下·辽宁鞍山第二十四中学·期末)已知函数，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．两个幂函数的图像最多只有5个交点，且交点关于原点中心对称 D．当时，越小，越大 【答案】AD 【分析】结合幂函数的定义和性质，对选项进行逐一分析. 【详解】选项A:对任意，，恒成立，故A对； 选项B:时，无意义，故B错； 选项C：两个幂函数和的交点满足，解得（仅当指数非负时）、、.实数范围内最多有3个交点，且当函数为奇函数时交点关于原点对称.故C错. 选项D:当时，的值随的减小而增大，如，故D对. 故选:AD. 类型四、幂函数的单调性比较大小 在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键 例4．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用指数式与对数式互化，结合幂函数的性质比较大小. 【详解】由，设， 则，于是， 因函数在上为增函数，由，可得， 又因函数在上为增函数，由，可得， 故. 故选：B 变式4-1．(24-25高二下·重庆第八中学校·期末)已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数函数的单调性可判断，利用幂函数的单调性可判断，得解. 【详解】因为是R上的减函数，又，所以，即， 因为函数在上单调递增，，所以，即， . 故选：D. 变式4-2．(24-25高一上·江西宜春中学·期中)已知实数满足不等式，且，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数函数与幂函数的单调性比较大小即可. 【详解】易知定义域上单调递增， 在上分别为单调递减、单调递增函数. 所以，故A正确. 故选：A 变式4-3．(24-25高一上·河北盐山中学·月考)已知点在幂函数的图象上，设，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由点确定函数解析式，结合单调性，即可比较大小； 【详解】由题意可得：，所以， 所以，易知当时，单调递减， 又， 所以 ， 故选：A 类型五、幂函数的定义域 求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解;对于实际问题，定义域应使实际问题有意义. 例5．(23-24高一上·广东广州第二中学·期中)幂函数图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出幂函数，代入点坐标得到函数解析式，确定函数定义域，得到，解得答案. 【详解】设幂函数为，则，故，， 则的定义域为， 故满足，解得. 故选：A 变式5-1．(23-24高一上·上海青浦高级中学·期中)若幂函数的定义域为，求实数的值. 【答案】 【分析】由幂函数的概念建立方程，再验证定义域是否为. 【详解】因为是幂函数， 所以，解得，或. 当时，，即，定义域为，满足题意； 当时，，即，定义域为，故不满足题意. 综上所述，实数的值为. 变式5-2．(24-25高一上·安徽滁州九校联考·期中)幂函数的定义域是全体实数， (1)求的解析式； (2)若不等式的解集为，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据幂函数的定义可得出关于实数的等式，解出的值，再由函数的定义域为进行检验，即可得解； （2）分析可知，不等式对任意的实数恒成立，分、两种情况讨论，在时，直接检验即可；在时，利用二次不等式恒成立，可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）因为是幂函数，所以， 化简得，解得或， 当时，，该函数的定义域为，满足题意； 当时，的定义域为，不满足题意， 所以的解析式为． （2）不等式即，其解集为， 则对任意的实数恒成立， 当时，，得，不合题意； 当时，则有，解得． 因此，实数的取值范围是. 变式5-3．(23-24高一上·山西吕梁孝义部分学校·月考)已知幂函数的图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依据题意设出解析式，求出解析式后求解具体函数定义域即可. 【详解】是幂函数，设，将代入解析式， 得，解得，故，则， 故，解得 故选：B 类型六、幂函数的值域 这类问题就是按照求值域的思路并与已知的值域建立联系求参数的值,这个例题中，可以通过判别式法求值域，将值域的范围转化为判别式-元二次不等式中y的范围，进而利用根与系数的关系求得参数. 1、虽然这类题型往往是已知值域，但在实际做题分析时，仍然从求值域的角度入手分析 2、辨析值域为R或零到正无穷、定义域为R之间的区别 不要死记判别式的情况，因为内层函数不一定是二次函数、我们要到的是:为了让值域能达到，我们内层函数最初提供的范围，只能多不能少，因为受定义域限制，多的可以舍掉，但是提供的少了那可就真不够了 3、其他一般题型，我们建议多多尝试数形结合. 例6．(24-25高一上·江苏扬州·期末)若幂函数的图象经过点，则下列说法正确的是（   ） A．为偶函数 B．方程的实数根为 C．在上为增函数 D．的值域为 【答案】B 【分析】先代点求出幂函数的解析式，然后判断幂函数的性质即可. 【详解】设，代入点可得，所以， 所以，因为，所以，即函数的定义域为， 对于A：因为的定义域为，不关于原点对称， 所以既不是为偶函数也不是奇函数，故A错误； 对于B：令，所以，解得，故B正确； 对于C，因为，因为，所以在上为减函数，故C错误； 对于D：因为，所以，所以， 的值域为，故D错误. 故选：B. 变式6-1．(22-23高一下·湖北荆州监利·)已知定义在上的函数满足，若函数在上的值域与函数的值域相同，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】先构造函数方程组求出，再求出的值域，得的值域，得，即. 【详解】①， ②， 由①②得， ， ， 故函数的值域为，函数的值域也是， 因为，所以，即. 故选：B. 变式6-2．(多选)(24-25高一上·新疆巴音郭楞蒙古·期末)已知幂函数的图象经过点，则下列判断正确的有（    ） A．在区间上为减函数 B．的值域为R C．方程的实数根为 D．为偶函数 【答案】AD 【分析】A选项，利用待定系数法求解析式，然后判断单调性即可；B选项，根据幂函数的性质判断；C选项，解方程即可；D选项，根据奇偶性的定义判断. 【详解】由题意可设幂函数，的图象经过点， 则，解得，故，在上为减函数，故A正确； 的值域为，故B错误； ，则，解得，故C错误； ，定义域为，故为偶函数，故D正确． 故选：AD． 变式6-3．(24-25高一·浙东北·期中)已知幂函数在区间上单调递增. (1)求k的值； (2)（i）若，求的值； （ii）求的值域. 【答案】(1) (2)（i）2；（ii） 【分析】（1）由幂函数的定义可得，再利用在上单调递增，即可求解； （2）（i）根据（1）可知，将转化为有关的式子即可求解，方法二：求出代入即可求解；（ii）根据换元法可设，再根据函数的对称轴，可求出最小值.，方法二：因为在上单调递增，可求解. 【详解】（1）由已知，得或， 又因为在区间上单调递增，所以. （2）， （i）法一： 法二：可解得， 将即可求得. （ii）法一：， 令，， 对称轴，所以当时取到最小值2， 所以值域为. 方法二：因为在上单调递增. 所以，所以值域为. 类型七、幂函数过定点 例7．（多选）(24-25高一上·安徽铜陵·期末)已知幂函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的图象都经过点 B．函数的图象不经过第四象限 C．若，则函数在上单调递增 D．若，则对任意实数，有 【答案】BCD 【分析】A选项，举出反例；B选项，时，，B正确；C选项，根据幂函数性质得到C正确；D选项，作差法比较出大小. 【详解】A选项，当时，，不经过原点，A错误； B选项，当时，，故图象不经过第四象限，B正确； C选项，若，则函数在上单调递增，C正确； D选项，，， ， 故 ，当且仅当时，等号成立， 故，D正确. 故选：BCD 变式7-1．（多选）(24-25高一上·浙江金华卓越联盟·)已知函数，下列选项正确的是（    ） A．当时，的定义域为 B．当时， C．当时，为偶函数 D．当时，函数的图象恒过定点 【答案】BCD 【分析】利用具体函数定义域的求法即可判断A；利用幂函数的单调性可判断B，利用函数奇偶性的定义可判断C，利用幂函数图象恒过定点的性质可判断D，从而得解. 【详解】对于A，当时，，此时的定义域为，故A错误； 对于B，当时，，则在单调递减， 所以，故B正确； 对于C，当时，，则，为偶函数，故C正确； 对于D，当时，，则函数的图象恒过定点，故D正确. 故选：BCD. 变式7-2．（多选）(24-25高一上·广东揭阳揭东区第三中学·)已知，且，下列函数中一定经过点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】代入计算函数值即可求解. 【详解】因为时，，， 故选：BCD. 变式7-3．(24-25高一上·上海格致中学·期中)函数（是有理数）的图象过一定点，则的坐标为 . 【答案】 【分析】根据幂函数恒过定点求解. 【详解】由幂函数的性质可知，恒过定点， 故答案为： 类型八、幂函数的单调性 幂函数的增减性与奇偶性是幂函数在数轴上的两个重要特征。幂函数的增减性取决于幂数n的奇偶性以及常数a的正负性;幂函数的奇偶性取决于幂数n的奇偶性。通过对幂函数的增减性与奇偶性的分析，可以更好地理解和利用幂函数在应用问题中的性质和特点。 例8．(24-25高一上·湖北荆州八县·期末)已知函数在区间上单调递减，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复合函数单调性及二次函数对称轴与区间的关系可得a的取值范围. 【详解】由题意得，二次函数对称轴为直线，幂函数在为增函数， ∵函数区间上单调递减， ∴，解得， ∴a的取值范围是. 故选：D. 变式8-1．(24-25高一上·安徽宣城·期末)幂函数在上递减，则实数（   ） A． B． C．2 D．2或 【答案】C 【分析】根据条件，利用幂函数的定义及性质，即可求解. 【详解】因为为幂函数，则， 即，解得或， 当时，在上递减，所以满足题意， 当时，在上递增，所以不满足题意， 综上，实数， 故选：C. 变式8-2．（多选）(25-26高一上·广东佛山禅城实验高级中学·)下列函数中，不满足既是偶函数又在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用函数的奇偶性及在的单调性逐项判断即得. 【详解】对于A，函数是奇函数，不是偶函数，在上单调递增，A是； 对于B，函数是偶函数，且在上单调递增，B不是； 对于C，函数是偶函数，在上单调递减，C是； 对于D，函数不是偶函数，在上单调递增，D是. 故选：ACD 变式8-3．若函数为减函数，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】分段函数单调递减则各段均为递减函数，且左边函数的右端点值不小于右边函数的左端点值，由此建立不等式，求得的取值范围． 【详解】为上的减函数， 时，单调递减，即，则； 时，单调递减，即，则；且，即． 综上可得，的取值范围是． 故答案为：. 类型九、幂函数的单调性解不等式 在解决幂函数不等式问题之前，我们首先需要了解幂函数不等式的基本概念。幂函数不等式即是指幂函数的不等式表达式，其中包含了幂函数的变量x的取值范围。解决幂函数不等式的关键是找到x的取值范围，使得不等式成立。 例9．(25-26高一上·河南南阳六校·月考)已知幂函数f(x)的图象经过点，则不等式的解集是 . 【答案】 【分析】求出幂函数解析式，利用幂函数的单调性列不等式求解即可. 【详解】设幂函数为，代入可得， 即，解得，所以， 由函数在上单调递增，得，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为： 变式9-1．已知幂函数的图象经过点，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】利用是幂函数和图象经过点得到解析式，再根据单调性列不等式求解即可. 【详解】因为是幂函数且图象经过点， 所以，解得，所以， 易知在上单调递增，则由得， 解得，故原不等式的解集为， 故答案为： 变式9-2．已知幂函数是偶函数，且在区间上单调递减，若正数满足，求的取值范围． 【答案】 【分析】根据幂函数的单调性和奇偶性求出，则等价于，令，再根据幂函数的单调性和奇偶性列不等式求解即可. 【详解】因为在上单调递减，所以，解得， 因为，所以或2或3， 当时，；当时，；当时，， 因为幂函数为偶函数，故， 因此等价于， 因为幂函数满足，所以为偶函数， 又由幂指数得在上单调递减，则在单调递增， 所以可转化为， 又是正数，所以解得或， 故的取值范围是. 变式9-3．(24-25高一上·上海杨思高级中学·月考)已知幂函数的图像关于原点对称，且在区间上是严格增函数． (1)求幂函数的表达式； (2)令，求满足不等式的实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用幂函数在区间上是严格增函数得到，再验证其图象关于原点对称进行求值； （2）利用（1）中得出的函数的单调性解不等式即可. 【详解】（1）因为幂函数在区间上是严格增函数， 所以，解得， 又因为，所以或或， 当或时，为奇函数，图象关于原点对称； 当时，为偶函数，图象关于轴对称，图象不关于原点对称，不符合题意； 综上所述，. （2）由（1）得为奇函数，且在区间上是严格增函数， 则由得， 即， 所以满足的实数的取值范围为. 类型十、幂函数的奇偶性 例10．(24-25高一上·湖南天一联考·)已知函数，若对任意的正数a，b，总有，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数的单调性和奇偶性可得，利用乘“1”法结合基本不等式运算求解. 【详解】由题意可知：函数为定义域在上的奇函数，且为增函数， 因为，则， 可得，即，且， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：B. 变式10-1．(24-25高一上·湖北武汉部分重点中学·期末)若幂函数为偶函数，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】根据幂函数的定义和性质可得，代入解不等式即可. 【详解】因为为幂函数， 则，解得或， 若，则为偶函数，符合题意； 若，则为奇函数，不符合题意； 综上所述：. 不等式，即为，等价于，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 变式10-2．已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，求满足的的取值范围． 【答案】或 【分析】根据函数单调性及奇偶性得出参数，再结合幂函数的单调区间列不等式组计算求解. 【详解】因为函数在上单调递减，所以 ，解得，又，所以． 因为函数的图象关于轴对称，所以为偶数，故， 则原不等式可化为， 因为在，上单调递减， 所以或或， 解得或． 变式10-3．(22-23高二上·河南名校联盟·开学考)已知幂函数为奇函数. (1)求函数的解析式； (2)若，求a的取值范围. 【答案】(1). (2). 【分析】（1）根据题意得出，求得或，代入解析式，结合为奇函数，确定结论； （2）由（1）得到在上为增函数，不等式转化为，即可求解. 【详解】（1）由题意，幂函数， 可得，     即，解得或，     当时，函数为奇函数，     当时，为非奇非偶函数，     因为为奇函数，所以. （2）由（1）知，可得在上为增函数， 因为，所以，     解得，     所以a的取值范围为. 类型十一、指对幂函数的增长差异 对数函数的增长相对缓慢，增速一直比较平稳。幂函数的增长快慢取决于指数大小，指数越大增长越快。指数函数在一段时间后增长远超对数函数。对数函数无论自变量多大，增长都较为有限。函数在特定范围内可能增长快于指数函数。指数函数的增长呈现爆发式。对数函数增长像是在稳步爬坡。幂函数的增长有时会介于指数函数和对数函数之间。 例11．下列函数中，增长速度最慢的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用各个函数的增长规律特点判定. 【详解】根据指数函数、对数函数、幂函数、一次函数的增长差异，可知对数函数增长速度最慢． 故选：B. 变式11-1．(24-25高一上·四川绵阳·期末)将甲桶中的溶液缓慢注入空桶乙中，经过后甲桶中剩余的溶液量符合指数衰减曲线.假设经过甲桶和乙桶中的溶液量一样，则乙桶中的溶液达到共需要注入的时间约为（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，利用代入法求出的值，再根据所求问题列出方程，通过对数的运算法则和换底公式进行求解即可. 【详解】因为经过甲桶和乙桶中的溶液量一样， 所以，即 设乙桶中的溶液达到共需要注入的时间为， 则有 ， 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用对数的运算性质和换底公式. 变式11-2．(24-25高一上·广东深圳龙华区·期末)近年来，我国自主研发芯片的市场需求增长迅速.某公司自2020年起，每年统计其芯片的年销售数量.将2020年记为第0年，统计数据如下表所示： 年份 2020 2021 2022 2023 2024 时间年 0 1 2 3 4 年销售数量万片 100 150 225 337.5 506.25 (1)在平面直角坐标系中，以为横轴，为纵轴，根据表格中的数据画出散点图； (2)为了描述年销售数量与时间的关系，现有以下三种数学模型供选择： ①②③ （i）根据数据特点，选出最合适的函数模型，说明理由，并求出相应的函数解析式； （ii）根据（i）中所选模型，预测该公司芯片的年销售数量在哪一年会首次超过2000万片？（参考数据：） 【答案】(1)答案见解析 (2)（i）选择函数模型合适，理由见解析，； （ii）年 【分析】（1）根据表格作出散点图即可； （2）（i）根据散点图结合三种函数的增长速度即可得出结论，再将点代入所选模型即可得解； （ii）根据，结合对数的运算性质即可得解. 【详解】（1） （2）（i）由散点图可知，年销售数量呈指数型增长， 故选择函数模型合适； 将分别代入， 得，解得， 所以， 当时，；当时，；当时，， 所以； （ii）令，则， 则， 所以预测该公司芯片的年销售数量在年会首次超过2000万片. 变式11-3．随着2022年冬奥会的举行，其吉祥物“冰墩墩”非常受欢迎．假设某车间流水线每天生产的“冰墩墩”初始数量为100个，由于市场需求量增大，故该工厂决定增加生产数量，每天以的增长率进行生产，经过天后每天生产的“冰墩墩”数量为（参考数据：）． (1)该工厂每天生产“冰墩墩”的数量经过几天后会翻一番？ (2)填写下表，并根据表中的数据，说明“冰墩墩”的生产变化规律． 每天生产的“冰墩墩”数量（个） 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 经过天数（天） 0 29 37 40 43 46 【答案】(1)15天 (2)答案见解析 【分析】（1）先求出经过天后每天生产的“冰墩墩”数量为，再指数对数互化得到对数函数关系式，令计算即可； （2）由，列表观察数据规律即可. 【详解】（1）因为某车间流水线每天生产的“冰墩墩”初始数量为100个，每天以的增长率进行生产， 所以经过天后每天生产的“冰墩墩”数量为，即． 令，则， 所以该工厂每天生产“冰墩墩”的数量大约经过15天后会翻一番． （2）由得： 每天生产的“冰墩墩”数量（个） 100 200 300 400 500 经过的天数（天） 0 15 23 29 34 每天生产的“冰墩墩”数量（个） 600 700 800 900 1000 经过的天数（天） 37 40 43 46 48 由表中的数据可以发现，每天生产“冰墩墩”的数量随时间的增长而增长，但大约每增加100个所需要的时间在逐渐缩小． 类型十二、恒成立与存在有解问题 一元二次不等式在R上的恒成立问题与恒成立问题有关的词有:“任意”、“全体实数”、“都”“一切实数”等 含参一元二次不等式在区间上的恒成立问题一般通过分离参数将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题参变分离法:如果能够将参数分离出来，建立起明确的参数和变量x的关系， 例12．(23-24高一上·广东广州第二中学·期中)已知函数，若，则 ，若关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】代入数据计算，平方得到，再计算得到答案，设，得到 ，变换得到，计算最值得到答案. 【详解】，，故， . ，即， 设，，在上单调递减，在上单调递增， 故，， 故，故， 函数在上单调递减，在上单调递增， ，故. 故答案为：；. 变式12-1．(24-25高一下·广东部分学校·)已知幂函数的定义域不为. (1)求的解析式； (2)若不等式恒成立，求a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由幂函数定义求得或，再结合幂函数定义域不为验证即可； （2）结合幂函数的奇偶性、单调性列不等式求解. 【详解】（1）由幂函数的定义可得，解得或， 若，则的定义域为，不符合题意， 若，则的定义域为，符合题意， 所以的解析式为. （2）由（1）得，的定义域关于原点对称，且， 所以为奇函数， 由可得， 因为在上递减且恒负，在上递减且恒正， 所以或或， 解得或， 所以a的取值范围为． 变式12-2．已知函数，（且） (1)若，求方程的解； (2)已知，若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由求出幂函数解析式，再利用换元法，结合一元二次方程和指数与对数函数的关系求解即可； （2）由幂函数的单调性得到关于的不等式再分离参数，结合基本不等式求解即可. 【详解】（1）即解得，于是 ， 方程即为， 令，则有即， 求得（舍负） ， 所以方程的解为 . （2）由已知得， 整理得 ， 因为，所以 ， 从而对任意恒成立， 因为（当且仅当取等号）， 所以， 即实数的最大值为. 变式12-3．已知幂函数在上单调递增. (1)求实数的值； (2)若存在，使得能成立，求实数的取值范围； (3)求关于的不等式的解集. 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【分析】（1）根据幂函数的定义列方程，解出的值，再根据幂函数的单调性检验，即可得到答案； （2）分离变量，再结合基本不等式可得的范围； （3）代入，化简，因式分解，按两根的大小关系分类讨论，即得答案. 【详解】（1）因为函数为幂函数， 所以，解得或. 当时，，在上单调递增，符合题意； 当时，，在上单调递减，不符合题意； 所以. （2）因为，即转化为， 由参变量分离法可得，其中，所以，， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，所以， 综上可知，实数的取值范围为. （3）由（1）知，由， 得 . 当，即时，不等式无解； 当，即时，不等式解为； 当，即时，不等式解为. 综上可得， 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. 类型十三、指对幂函数的实际应用 例13．(25-26高一上·山东枣庄第三中学·)经销商销售某品牌新能源汽车，2015年的价格为8万元/辆，年销量是辆．现经销商计划在2016年将该汽车的销售价格降至区间，经调查，顾客的期望价格是4万元/辆．经测算，该汽车价格下降后新增的年销量与实际价格和顾客期望价格的差成反比，比例系数为．该汽车的进货成本价为3万元/辆． (1)写出该汽车价格下降后，经销商的年收益（万元）与实际价格（万元）的函数关系式； (2)设，当实际价格最低定为多少时，仍然可以保证经销商2016年的收益比2015年至少增长？ 【答案】(1)； (2)6万元/辆. 【分析】（1）先根据题意设汽车价格下降后为万元/辆，销量增加到辆，即可求出经销商的年收益与实际价格的函数关系式. （2）依题意保证经销商2016年的收益比2015年至少增长，得到关于的不等关系，解此不等式即得出结论． 【详解】（1）设该汽车价格下降后为万元/辆，销量增加到辆， 年收益. （2）当时，依题意有， 整理得，而，则， 因此当实际价格最低定为6万元/辆时，仍然可以保证经销商2016年的收益比2015年至少增长. 变式13-1．(25-26高一上·四川南充高级中学·月考)新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业公司扩大生产提供万元的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服.公司在收到政府（万元）补贴后，防护服产量将增加到（万件），其中为工厂工人的复工率，公司生产万件防护服还需投入成本（万元）. (1)将公司生产防护服的利润（万元）表示为补贴（万元）的函数；（政府补贴万元计入公司收入） (2)在复工率为时，政府补贴多少万元才能使公司的防护服利润达到最大？并求该最大值； (3)对任意的（万元），当复工率达到多少时，公司才能不产生亏损？（精确到0.01）. 【答案】(1) (2)政府补贴为2万元才能使公司的防护服利润达到最大，最大为60万元 (3) 【分析】（1）根据题意即可列出表达式， （2）利用基本不等式即可求解最值， （3）根据题意将问题转化为对都恒成立，即可利用二次函数的性质求解. 【详解】（1）由题意， 即. （2）当复工率为时 因为，所以，所以， 当且仅当，即时，等号成立. 所以 故政府补贴为2万元才能使A公司的防护服利润达到最大，最大为60万元. （3）对任意的（万元），A公司都不产生亏损，则在时恒成立， 即对都恒成立， 因函数是一条开口向上的抛物线， 所以，解得 所以当复工率达到0.65时，对任意的（万元）， A公司都不产生亏损. 变式13-2．(25-26高一上·江西南昌第二中学·月考)在当下中国足球的版图中，省内城市联赛宛如一股炽热的新兴力量，以燎原之势迅速蔓延，苏超、赣超等联赛的火爆场景，成为了各地体育文化生活中一道最为亮丽的风景线，如同一幅绚丽多彩的画卷，生动地展现着足球运动的无限魅力与城市发展的蓬勃生机.某奥体中心计划在场内建造一个高为3米，宽度为（单位：米），地面面积为81平方米的长方体形状的媒体采访区，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案：方案一：媒体采访区的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共计7200元，总计报价记为；方案二：其给出的整体报价为元，. (1)当宽度为8米时，方案二的报价为29700元，求的值； (2)求的函数解析式，并求报价的最小值； (3)若对任意的时，方案二都比方案一省钱，求的取值范围. 【答案】(1)18 (2)， (3) 【分析】（1）将代入解析式直接计算即可求解； （2）设地面长为，则，从而有，然后利用基本不等式求解最小值即可； （3）由题意时，恒成立，分离参数得，结合换元法，利用对勾函数的单调性求解最值即可得解. 【详解】（1）宽度为8米时，方案二的报价为29700元， 所以，解得， 所以的值为18. （2）设地面长为，， 所以墙面面积为， 所以， 因为，当时取等， 所以，最小值为. （3）对任意的时，方案二都比方案一省钱， 即时，恒成立， 整理得， 因为，， 设，则， 又由对勾函数性质可得在上单调递增， ， 又，所以， 所以方案二都比方案一省钱，的取值范围为. 变式13-3．(25-26高一上·山东名校考试联盟·)已知某无人机公司生产的机翼配件去年的年产量为100万组，每组机翼配件的售价为20元，今年公司第一次投入200万元科技成本，并计划以后每年比上一年多投入200万元科技成本，预计年产量每年递增10万组，第次投入后，每组机翼配件的固定成本（单位：元）与成反比，且，若机翼配件的售价保持不变，第次投入后的年利润为万元. (1)求的表达式； (2)从今年起第几年的利润最大？最大利润为多少万元？ 【答案】(1)（） (2)第10年利润最大，最大利润为（万元）. 【分析】（1）先由条件求的表达式，结合投入利润与科技成本的关系列出的表达式，化简即可； （2）利用（1）的结论和基本不等式即可求得利润最大值. 【详解】（1）设，则，则，即每组机翼配件的固定成本为元， 因每组机翼配件的售价为20元，第次投入后，年产量为万组， 科技成本投入为万元，则第次投入后的年利润为： ,()； （2）由（1） ，当且仅当，即时取等号， 故第10年利润最大，最大利润为（万元）. 压轴专练 一、单选题 1．(24-25高一上·江西科技学院附属中学·期末)已知函数，对任意的，恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】判断函数的奇偶性与单调性，根据函数性质，把函数不等式转化为代数不等式在给定区间恒成立，从而求参数的取值范围. 【详解】因为 ， 所以函数为奇函数. 又因为函数，，都是上的增函数，所以也是上的增函数. 所以 . 所以问题转化为：当时，即恒成立. 设，由时，恒成立得： . 故选：A 2．(24-25高一上·安徽芜湖·期末)幂函数过点，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，代入点解出，再由单调性和偶函数的性质解不等式即可. 【详解】设， 由题意可得，解得， 所以在上单调递增，且，为偶函数， 所以， 解得，所以不等式的解集为. 故选：C 二、多选题 3．(24-25高一上·云南昆明·期末)已知函数的图象经过点，则下列结论错误的是（    ） A．的图象经过点 B．的图象关于轴对称 C．在定义域上为减函数 D．当时，恒成立 【答案】BC 【分析】首先求出函数的解析式，根据解析式即可判断A，根据函数的奇偶性可判断B，根据函数的单调性可判断C，证明即可判断D. 【详解】因为函数经过，即，所以函数解析式为， 当时，，所以函数经过，故A正确； 为奇函数不为偶函数，图像关于原点对称，故B错误； 在和单调递减，故C错误； 当时，， 故恒成立，故D正确. 故选：BC 4．(24-25高一上·江西科技学院附属中学·期末)若，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据作差法判断AC的真假，利用指数函数、幂函数的单调性判断B的真假；利用特例验证D的真假. 【详解】对A：因为，所以 .故A正确； 对B：因为，且函数在上单调递减，所以， 又幂函数在上单调递增，所以，所以，故B正确； 对C：因为，所以，所以，故C正确. 对D：令，，则，，则，所以不一定成立，故D错误. 故选：ABC 三、填空题 5．(24-25高一上·贵州毕节赫章县·期末)已知定义在上的函数，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性以及单调性可得，即可利用二次不等式的解法得解. 【详解】由和在上都是单调递增，知在上单调递增， 又 ，则为奇函数． 由，得，即，即有，解得． 故答案为： 四、解答题 6．(24-25高一上·山东威海·期末)已知幂函数的图象关于轴对称，函数． (1)判断在上的单调性并证明； (2)设函数，．若，，求的取值范围． 【答案】(1)函数在上单调递增；证明见解析 (2) 【分析】（1）根据幂函数的性质确定的值，进而确定函数的解析式，再根据函数单调性的定义证明. （2）先根据函数的单调性，确定集合，再分情况讨论二次函数在给定区间上的最值，根据条件列出不等式求参数的取值范围. 【详解】（1）由 ，所以或， 由幂函数的图象关于轴对称，所以. 故. 所以. 函数在上单调递增，下面用单调性定义证明： 设， 则 . 因为，所以，，，所以， 所以，即. 所以函数在上单调递增. （2）因为函数在上单调递增，且， 所以，. 对，. 当即时，在上单调递增，所以， 由 . 当即时，在上单调递减，在上单调递增，所以. 由 ，无解. 当即时，在上单调递减，所以， 由 ，这与矛盾，无解. 综上可知：. 故的取值范围是：. 7．(24-25高一上·山西运城·期末)为了振兴乡村经济，某地政府利用电商平台为乡村进行直播带货，既方便了人们购物和交流，又有效地解决了农产品销售困难的问题．为了支持家乡的发展，越来越多的人注册成为某电商平台的会员进行购物和交流．已知该平台建立前3年的会员人数如下表所示： 建立平台年数x 1 2 3 会员人数y（千人） 14 20 29 为了描述建立平台年数与该平台会员人数（千人）的关系，现有以下三种函数模型供选择：①；②；③． (1)根据表中数据选出最恰当的函数模型，并说明理由，同时求出该函数的解析式； (2)根据第（1）问选择的函数模型，预计平台建立年的会员人数将超过2002千人，求的最小值． 参考数据：，，． 【答案】(1)选择模型③，理由见解析，， (2)14 【分析】（1）根据表中数据，函数为增函数，增长速度越来越快，故选择模型③，代入数据列方程组可得； （2）由得，利用对数的运算可得，进而可得. 【详解】（1）从表中数据可知，所选函数必须满足两个条件：增函数，增长速度越来越快． 因为模型①为减函数，模型②增长速度越来越慢，所以不能选择模型①和②，模型③符合两个条件，所以选择模型③． 将数据代入可得，解得 所以，函数为，． （2）由（1）知， 则．得， 故t的最小值为14． 8．(24-25高一上·湖北宜城一中、枣阳一中·期中)某学习机公司生产学习机的年固定成本为20万元，每生产1万部还需另投入16万元.设该公司一年内共生产该款学习机x万部并全部销售完，每万部的销售收入为万元，且.当该公司一年内共生产该款学习机8万部并全部销售完时，年利润为1196万元；当该公司一年内共生产该款学习机20万部并全部销售完时，年利润为2960万元. (1)求a，b； (2)写出年利润W（万元）关于年产量x（万部）的函数解析式； (3)当年产量为多少万部时，公司在该款学习机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润. 【答案】(1) (2) (3)当年产量为万部时所获得的利润最大，最大利润为万元. 【分析】（1）根据已知条件列出关于的方程组求解出结果. （2）根据利润的计算公式分别考虑当，时的解析式，由此可求解出结果. （3）利用二次函数性质分析时的最大值，利用基本不等式分析时的最大值，由此可确定出结果. 【详解】（1）依题意，，所以. （2）当时，， 当时，， 所以所求函数解析式为. （3）当时，， 此时由二次函数单调性可知； 当时，， 当且仅当，即时取等号， 因为， 所以当年产量为万部时所获得的利润最大，最大利润为万元. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03幂函数十三大题型汇总 目录 专题03 幂函数十三大题型汇总 类型一、求幂函数的值 类型二、求幂函数的解析式 类型三、幂函数的图像与性质 类型四、幂函数的单调性比较大小 类型五、幂函数的定义域 类型六、幂函数的值域 类型七、幂函数过定点 类型八、幂函数的单调性 类型九、幂函数的单调性解不等式 类型十、 幂函数的奇偶性 类型十一、指对幂函数的增长差异 类型十二、恒成立与存在有解问题 类型十三、指对幂的实际应用 压轴专练 类型一、求幂函数的值 例1．(24-25高一上·湖北部分恩施高中、襄阳五中、郧阳中学等学校·)已知函数（，）的图像恒过定点P，P在幂函数图象上，则的值为（   ） A．8 B．4 C． D． 变式1-1．(多选)(24-25高一上·甘肃多校·期末)已知幂函数，函数在区间上单调递减，则下列正确的是（    ） A． B．函数的图象经过点 C．若，则 D．若，则 变式1-2．(24-25高一上·山东潍坊·期中)已知，则 . 变式1-3．(24-25高一上·江苏南通如皋十校·期中)已知幂函数的图像关于轴对称，则 ． 类型二、求幂函数的解析式 幂函数的形式是，其中只有一个参数因此只需一个条件即可确定其解析式 例2．(24-25高一下·安徽马鞍山第八高级中学·)已知点在幂函数的图象上，则是（   ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．在上单调递减 变式2-1．(24-25高一上·河南濮阳·期末)已知幂函数的图象分别经过两点，则（   ） A． B． C． D． 变式2-2．（多选）(24-25高一下·河南驻马店·月考)已知幂函数（，为常数），则下列说法正确的有（   ） A． B．若，则与表示同一个函数 C．若，则为奇函数 D．若，则为偶函数 变式2-3．(24-25高一下·江西多校联考·)已知幂函数在区间上单调递增，定义域为的函数满足，且当时，函数. (1)求的解析式； (2)求在区间上的解析式及零点. 类型三、幂函数的图像与性质 在区间(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，+∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴. 例3．在同一坐标系内，函数和的图象可能是（   ） A． B． C． D． 变式3-1．(24-25高一上·江苏太湖高级中学·月考)“幂函数的图象分布在第一、二象限”是“或2”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 变式3-2．（多选）若实数，，满足，则下列不等关系可能成立的是（    ） A． B． C． D． 变式3-3．（多选）(24-25高二下·辽宁鞍山第二十四中学·期末)已知函数，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．两个幂函数的图像最多只有5个交点，且交点关于原点中心对称 D．当时，越小，越大 类型四、幂函数的单调性比较大小 在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键 例4．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 变式4-1．(24-25高二下·重庆第八中学校·期末)已知，，，则（   ） A． B． C． D． 变式4-2．(24-25高一上·江西宜春中学·期中)已知实数满足不等式，且，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 变式4-3．(24-25高一上·河北盐山中学·月考)已知点在幂函数的图象上，设，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 类型五、幂函数的定义域 求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解;对于实际问题，定义域应使实际问题有意义. 例5．(23-24高一上·广东广州第二中学·期中)幂函数图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 变式5-1．(23-24高一上·上海青浦高级中学·期中)若幂函数的定义域为，求实数的值. 变式5-2．(24-25高一上·安徽滁州九校联考·期中)幂函数的定义域是全体实数， (1)求的解析式； (2)若不等式的解集为，求实数的取值范围． 变式5-3．(23-24高一上·山西吕梁孝义部分学校·月考)已知幂函数的图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 类型六、幂函数的值域 这类问题就是按照求值域的思路并与已知的值域建立联系求参数的值,这个例题中，可以通过判别式法求值域，将值域的范围转化为判别式-元二次不等式中y的范围，进而利用根与系数的关系求得参数. 1、虽然这类题型往往是已知值域，但在实际做题分析时，仍然从求值域的角度入手分析 2、辨析值域为R或零到正无穷、定义域为R之间的区别 不要死记判别式的情况，因为内层函数不一定是二次函数、我们要到的是:为了让值域能达到，我们内层函数最初提供的范围，只能多不能少，因为受定义域限制，多的可以舍掉，但是提供的少了那可就真不够了 3、其他一般题型，我们建议多多尝试数形结合. 例6．(24-25高一上·江苏扬州·期末)若幂函数的图象经过点，则下列说法正确的是（   ） A．为偶函数 B．方程的实数根为 C．在上为增函数 D．的值域为 变式6-1．(22-23高一下·湖北荆州监利·)已知定义在上的函数满足，若函数在上的值域与函数的值域相同，则（    ） A．2 B．1 C． D． 变式6-2．(多选)(24-25高一上·新疆巴音郭楞蒙古·期末)已知幂函数的图象经过点，则下列判断正确的有（    ） A．在区间上为减函数 B．的值域为R C．方程的实数根为 D．为偶函数 变式6-3．(24-25高一·浙东北·期中)已知幂函数在区间上单调递增. (1)求k的值； (2)（i）若，求的值； （ii）求的值域. 类型七、幂函数过定点 例7．（多选）(24-25高一上·安徽铜陵·期末)已知幂函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的图象都经过点 B．函数的图象不经过第四象限 C．若，则函数在上单调递增 D．若，则对任意实数，有 变式7-1．（多选）(24-25高一上·浙江金华卓越联盟·)已知函数，下列选项正确的是（    ） A．当时，的定义域为 B．当时， C．当时，为偶函数 D．当时，函数的图象恒过定点 变式7-2．（多选）(24-25高一上·广东揭阳揭东区第三中学·)已知，且，下列函数中一定经过点的是（    ） A． B． C． D． 变式7-3．(24-25高一上·上海格致中学·期中)函数（是有理数）的图象过一定点，则的坐标为 . 类型八、幂函数的单调性 幂函数的增减性与奇偶性是幂函数在数轴上的两个重要特征。幂函数的增减性取决于幂数n的奇偶性以及常数a的正负性;幂函数的奇偶性取决于幂数n的奇偶性。通过对幂函数的增减性与奇偶性的分析，可以更好地理解和利用幂函数在应用问题中的性质和特点。 例8．(24-25高一上·湖北荆州八县·期末)已知函数在区间上单调递减，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式8-1．(24-25高一上·安徽宣城·期末)幂函数在上递减，则实数（   ） A． B． C．2 D．2或 变式8-2．（多选）(25-26高一上·广东佛山禅城实验高级中学·)下列函数中，不满足既是偶函数又在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 变式8-3．若函数为减函数，则实数的取值范围为 ． 类型九、幂函数的单调性解不等式 在解决幂函数不等式问题之前，我们首先需要了解幂函数不等式的基本概念。幂函数不等式即是指幂函数的不等式表达式，其中包含了幂函数的变量x的取值范围。解决幂函数不等式的关键是找到x的取值范围，使得不等式成立。 例9．(25-26高一上·河南南阳六校·月考)已知幂函数f(x)的图象经过点，则不等式的解集是 . 变式9-1．已知幂函数的图象经过点，则不等式的解集为 ． 变式9-2．已知幂函数是偶函数，且在区间上单调递减，若正数满足，求的取值范围． 变式9-3．(24-25高一上·上海杨思高级中学·月考)已知幂函数的图像关于原点对称，且在区间上是严格增函数． (1)求幂函数的表达式； (2)令，求满足不等式的实数a的取值范围． 类型十、幂函数的奇偶性 例10．(24-25高一上·湖南天一联考·)已知函数，若对任意的正数a，b，总有，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 变式10-1．(24-25高一上·湖北武汉部分重点中学·期末)若幂函数为偶函数，则不等式的解集为 . 变式10-2．已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，求满足的的取值范围． 变式10-3．(22-23高二上·河南名校联盟·开学考)已知幂函数为奇函数. (1)求函数的解析式； (2)若，求a的取值范围. 类型十一、指对幂函数的增长差异 对数函数的增长相对缓慢，增速一直比较平稳。幂函数的增长快慢取决于指数大小，指数越大增长越快。指数函数在一段时间后增长远超对数函数。对数函数无论自变量多大，增长都较为有限。函数在特定范围内可能增长快于指数函数。指数函数的增长呈现爆发式。对数函数增长像是在稳步爬坡。幂函数的增长有时会介于指数函数和对数函数之间。 例11．下列函数中，增长速度最慢的是（    ） A． B． C． D． 变式11-1．(24-25高一上·四川绵阳·期末)将甲桶中的溶液缓慢注入空桶乙中，经过后甲桶中剩余的溶液量符合指数衰减曲线.假设经过甲桶和乙桶中的溶液量一样，则乙桶中的溶液达到共需要注入的时间约为（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 变式11-2．(24-25高一上·广东深圳龙华区·期末)近年来，我国自主研发芯片的市场需求增长迅速.某公司自2020年起，每年统计其芯片的年销售数量.将2020年记为第0年，统计数据如下表所示： 年份 2020 2021 2022 2023 2024 时间年 0 1 2 3 4 年销售数量万片 100 150 225 337.5 506.25 (1)在平面直角坐标系中，以为横轴，为纵轴，根据表格中的数据画出散点图； (2)为了描述年销售数量与时间的关系，现有以下三种数学模型供选择： ①②③ （i）根据数据特点，选出最合适的函数模型，说明理由，并求出相应的函数解析式； （ii）根据（i）中所选模型，预测该公司芯片的年销售数量在哪一年会首次超过2000万片？（参考数据：） 变式11-3．随着2022年冬奥会的举行，其吉祥物“冰墩墩”非常受欢迎．假设某车间流水线每天生产的“冰墩墩”初始数量为100个，由于市场需求量增大，故该工厂决定增加生产数量，每天以的增长率进行生产，经过天后每天生产的“冰墩墩”数量为（参考数据：）． (1)该工厂每天生产“冰墩墩”的数量经过几天后会翻一番？ (2)填写下表，并根据表中的数据，说明“冰墩墩”的生产变化规律． 每天生产的“冰墩墩”数量（个） 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 经过天数（天） 0 29 37 40 43 46 每天生产的“冰墩墩”数量（个） 100 200 300 400 500 经过的天数（天） 0 15 23 29 34 每天生产的“冰墩墩”数量（个） 600 700 800 900 1000 经过的天数（天） 37 40 43 46 48 类型十二、恒成立与存在有解问题 一元二次不等式在R上的恒成立问题与恒成立问题有关的词有:“任意”、“全体实数”、“都”“一切实数”等 含参一元二次不等式在区间上的恒成立问题一般通过分离参数将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题参变分离法:如果能够将参数分离出来，建立起明确的参数和变量x的关系， 例12．(23-24高一上·广东广州第二中学·期中)已知函数，若，则 ，若关于的不等式在区间上有解，则实数的取值范围是 ． 变式12-1．(24-25高一下·广东部分学校·)已知幂函数的定义域不为. (1)求的解析式； (2)若不等式恒成立，求a的取值范围. 变式12-2．已知函数，（且） (1)若，求方程的解； (2)已知，若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的最大值. 变式12-3．已知幂函数在上单调递增. (1)求实数的值； (2)若存在，使得能成立，求实数的取值范围； (3)求关于的不等式的解集. 类型十三、指对幂函数的实际应用 例13．(25-26高一上·山东枣庄第三中学·)经销商销售某品牌新能源汽车，2015年的价格为8万元/辆，年销量是辆．现经销商计划在2016年将该汽车的销售价格降至区间，经调查，顾客的期望价格是4万元/辆．经测算，该汽车价格下降后新增的年销量与实际价格和顾客期望价格的差成反比，比例系数为．该汽车的进货成本价为3万元/辆． (1)写出该汽车价格下降后，经销商的年收益（万元）与实际价格（万元）的函数关系式； (2)设，当实际价格最低定为多少时，仍然可以保证经销商2016年的收益比2015年至少增长？ 变式13-1．(25-26高一上·四川南充高级中学·月考)新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业公司扩大生产提供万元的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防护服.公司在收到政府（万元）补贴后，防护服产量将增加到（万件），其中为工厂工人的复工率，公司生产万件防护服还需投入成本（万元）. (1)将公司生产防护服的利润（万元）表示为补贴（万元）的函数；（政府补贴万元计入公司收入） (2)在复工率为时，政府补贴多少万元才能使公司的防护服利润达到最大？并求该最大值； (3)对任意的（万元），当复工率达到多少时，公司才能不产生亏损？（精确到0.01）. 变式13-2．(25-26高一上·江西南昌第二中学·月考)在当下中国足球的版图中，省内城市联赛宛如一股炽热的新兴力量，以燎原之势迅速蔓延，苏超、赣超等联赛的火爆场景，成为了各地体育文化生活中一道最为亮丽的风景线，如同一幅绚丽多彩的画卷，生动地展现着足球运动的无限魅力与城市发展的蓬勃生机.某奥体中心计划在场内建造一个高为3米，宽度为（单位：米），地面面积为81平方米的长方体形状的媒体采访区，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案：方案一：媒体采访区的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共计7200元，总计报价记为；方案二：其给出的整体报价为元，. (1)当宽度为8米时，方案二的报价为29700元，求的值； (2)求的函数解析式，并求报价的最小值； (3)若对任意的时，方案二都比方案一省钱，求的取值范围. 变式13-3．(25-26高一上·山东名校考试联盟·)已知某无人机公司生产的机翼配件去年的年产量为100万组，每组机翼配件的售价为20元，今年公司第一次投入200万元科技成本，并计划以后每年比上一年多投入200万元科技成本，预计年产量每年递增10万组，第次投入后，每组机翼配件的固定成本（单位：元）与成反比，且，若机翼配件的售价保持不变，第次投入后的年利润为万元. (1)求的表达式； (2)从今年起第几年的利润最大？最大利润为多少万元？ 压轴专练 一、单选题 1．(24-25高一上·江西科技学院附属中学·期末)已知函数，对任意的，恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高一上·安徽芜湖·期末)幂函数过点，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．(24-25高一上·云南昆明·期末)已知函数的图象经过点，则下列结论错误的是（    ） A．的图象经过点 B．的图象关于轴对称 C．在定义域上为减函数 D．当时，恒成立 4．(24-25高一上·江西科技学院附属中学·期末)若，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 5．(24-25高一上·贵州毕节赫章县·期末)已知定义在上的函数，则关于的不等式的解集为 ． 四、解答题 6．(24-25高一上·山东威海·期末)已知幂函数的图象关于轴对称，函数． (1)判断在上的单调性并证明； (2)设函数，．若，，求的取值范围． 7．(24-25高一上·山西运城·期末)为了振兴乡村经济，某地政府利用电商平台为乡村进行直播带货，既方便了人们购物和交流，又有效地解决了农产品销售困难的问题．为了支持家乡的发展，越来越多的人注册成为某电商平台的会员进行购物和交流．已知该平台建立前3年的会员人数如下表所示： 建立平台年数x 1 2 3 会员人数y（千人） 14 20 29 为了描述建立平台年数与该平台会员人数（千人）的关系，现有以下三种函数模型供选择：①；②；③． (1)根据表中数据选出最恰当的函数模型，并说明理由，同时求出该函数的解析式； (2)根据第（1）问选择的函数模型，预计平台建立年的会员人数将超过2002千人，求的最小值． 参考数据：，，． 8．(24-25高一上·湖北宜城一中、枣阳一中·期中)某学习机公司生产学习机的年固定成本为20万元，每生产1万部还需另投入16万元.设该公司一年内共生产该款学习机x万部并全部销售完，每万部的销售收入为万元，且.当该公司一年内共生产该款学习机8万部并全部销售完时，年利润为1196万元；当该公司一年内共生产该款学习机20万部并全部销售完时，年利润为2960万元. (1)求a，b； (2)写出年利润W（万元）关于年产量x（万部）的函数解析式； (3)当年产量为多少万部时，公司在该款学习机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $