第五章 圆（知识清单）数学鲁教版五四制九年级下册

第五章 圆 1. 圆的定义 圆的定义[动态]：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆，其中，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 圆的定义[静态]：将圆心O，半径r的圆看成是同一平面内，所有到定点O的距离等于定长r的点的集合. 2. 与圆有关的概念 1）弦与直径 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦，如右图中的弦AB. 直径：经过圆心的弦叫做直径，如右图中的直径AC. 2）弧、半圆 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.，以为端点的弧记作，读作：“圆弧AB”或“弧AB”. 半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆. 3）同圆、等圆、同心圆 同圆：圆心相同，半径也相等的圆叫做同圆. 等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆. 同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆 4）圆心角与圆周角 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角，如图中的∠BOC 圆周角：顶点在圆上，且两边都和圆相交的角叫做圆周角，如图中的∠BAC. 3. 圆的对称性 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴，圆有无数条对称轴.圆也是中心对称图形，圆心是它的对称中心.圆还具有旋转不变性. 4. 垂径定理 1）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 2）垂径定理的推论 （1）平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. （2）平分弦所对的一条弧的直径垂直于弦，并且平分弦所对的另一条弧. （3）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧. 5. 弧、弦、圆心角之间的关系 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等. 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 6. 圆周角定理 1）圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.（即：圆周角=） 2）圆周角定理的推论 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等. 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；的圆周角所对的弦是直径. 7. 圆内接四边形的性质 1）圆内接四边形对角互补. 2）圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（即与该外角相邻的内角的对角）. 8. 点与圆的位置关系 9. 直线与圆的位置关系 10. 切线的性质与判定定理 切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径. 切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 11. 切线长定理 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 12. 三角形的内切圆和三角形的外接圆 13. 正多边形与圆的相关计算 1）内角：正n边形的每个内角和为. 2）外角/中心角：正n边形的每个外角/中心角为. 3）周长：正n边形的周长. 4）面积：正n边形的面积. 5）正多边形的半径，边长和边心距之间的关系为 6）正多边形的半径，边长和中心角之间的关系为 7）正多边形的半径，边心距和中心角之间的关系为 14. 弧长公式：(n为圆心角的度数，R为圆的半径). 15. 扇形的面积公式：(n为圆心角的度数，R为圆的半径)=(l是n°的圆心角所对的弧长). 16. 圆锥的侧面展开图及有关计算 设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，高为h （1）这个扇形的弧长为2πr； （2）； （3） （4） （5）圆锥侧面展开图的圆心角度数为 序号 错误 易错题型 注意 1 圆的相关概念混淆 1-5 理解圆的相关概念 2 遇到平行弦问题时未分类讨论 6-7 此类问题中两弦与圆心的相对位置往往不确定，需要分类讨论. 3 正多边形与圆的相关计算问题 8-14 正多边形的半径、边心距、边长的一半是一个直角三角形的三边长，与正多边形有关的计算常转化为解这个直角三角形，若未给出，则需要主动构造该直角三角形. 4 圆中的相关计算问题（弧长、扇形面积、圆锥相关计算） 15-20 求弧长或扇形的面积问题常结合圆锥考查，解这类问题只要抓住圆锥侧面展开即为扇形，而这个扇形的弧长等于原圆锥底面的周长，扇形的半径等于原圆锥的母线长，即2r=，来建立圆锥底面圆的半径r、圆锥母线R和侧面展开图扇形圆心角n°之间的关系. 1．（24-25九年级上·山东德州·期中）以下命题正确的是（   ） A．任何一条直径都是圆的对称轴 B．周长相等的圆是等圆 C．平分弦的直径垂直于弦 D．直径是圆上任意两点所连的线段 【答案】B 【分析】本题考查了圆的有关概念和性质，垂径定理等相关知识；需要特别注意的是轴对称图形的对称轴是一条直线． 根据圆的有关概念和性质，垂径定理等知识对各个命题进行分析，从而得到答案． 【详解】解：A、圆的直径是一条线段，而圆的对称轴是一条直线，故此选项说法错误，不符合题意； B、周长相等的圆的半径也相等，故是等圆，故此选项说法正确，符合题意； C、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，故此选项说法错误，不符合题意； D、通过圆心并且两端都在圆周上的线段叫做圆的直径，故此选项说法错误，不符合题意． 故选：B． 2．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）以下命题：（1）等弧所对的弦相等；（2）相等的圆心角所对的弧相等；（3）三点确定一个圆；（4）圆的对称轴是直径；（5）三角形的外心到三角形三边距离相等．其中正确的命题的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要查了圆周角定理，圆的基本性质等．根据圆周角定理，圆的基本性质，三角形的内心和外心，逐项判断，即可求解． 【详解】解：（1）等弧所对的弦相等，正确； （2）同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故原说法错误； （3）不在同一条直线上的三点确定一个圆，故原说法错误； （4）圆的对称轴是直径所在的直线，故原说法错误； （5）三角形的内心到三角形三边距离相等，故原说法错误． 所以正确的命题的个数是1． 故选：A 3．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）下列说法中，正确的是（    ） A．半圆是弧，弧也是半圆 B．长度相等的弧是等弧 C．弦是直径 D．在一个圆中，直径是最长的弦 【答案】D 【分析】本题考查圆的基本概念辨析．根据弧：圆上两点及其所夹的部分；弦：连接圆上两点形成的线段，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、半圆是弧，但弧不一定是半圆，故选项错误； B、在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故选项错误； C、弦不一定是直径，故选项错误； D、在一个圆中，直径是最长的弦，故选项正确； 故选D． 4．（22-23九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）有以下说法①在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等；②在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；③长度相等的弧是等弧；④直径是弦，弦是直径．其中说法错误的是（　　） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 【答案】C 【分析】根据圆周角定理对①进行判断；根据圆心角、弧、弦的关系对②进行判断；根据等弧的定义对③进行判断；根据弦、直径的定义对④进行判断． 【详解】解：在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等或互补，所以①错误； 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以②正确； 能够完全重合的弧是等弧，长度相等的弧不一定是等弧，所以③错误； 直径是弦，弦不一定是直径，所以④错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了圆周角定理． 5．（22-23九年级上·山东德州·期中）下列说法中，正确的个数为（　　） （1）在同圆或等圆中，弦相等则所对的弧相等； （2）优弧一定比劣弧长； （3）弧相等则所对的圆心角相等； （4）在同圆或等圆中，圆心角相等则所对的弦相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据圆心角，弧，弦之间的关系一一判断即可． 【详解】解：（1）在同圆或等圆中，弦相等则所对的弧相等，故错误，弦所对的弧有优弧或劣弧，不一定相等． （2）优弧一定比劣弧长，故错误，条件是同圆或等圆中； （3）弧相等则所对的圆心角相等，故正确； （4）在同圆或等圆中，圆心角相等则所对的弦相等，故正确； 故选：B． 【点睛】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，解题的关键是掌握圆心角，弧，弦之间的关系． 6．（2023九年级·全国·专题练习）在半径为10的中，弦，弦，且，则与之间的距离是 ． 【答案】2或14 【分析】由于弦与的具体位置不能确定，故应分两种情况进行讨论：①弦与在圆心同侧；②弦与在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可． 【详解】解：①当弦与在圆心同侧时，如图①，    过点O作，垂足为F，交于点E，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴由勾股定理得：，， ∴； ②当弦与在圆心异侧时，如图，    过点O作于点E，反向延长交于点F，连接， 同理，， ， 所以与之间的距离是2或14． 故答案为：2或14． 【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理，解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解． 7．（22-23九年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在圆中两条平行弦的长分别6和8，若圆的半径为5，则两条平行弦间的距离为 ． 【答案】或/7或1 【分析】如图，，，过点作于，交于点，连，根据垂径定理得，由于，，则，根据垂径定理得，然后利用勾股定理可计算出，再进行讨论即可求解． 【详解】解：如图，，， 过点作于，交于点，连， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中， ， 同理可得， 当圆心在与之间时，与的距离； 当圆心不在与之间时，与的距离． 故答案为7或1． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键． 8．（2025·山东威海·一模）已知正六边形内切圆的半径为，则正六边形的面积为（   ） A． B． C． D．6 【答案】B 【分析】此题主要考查正多边形和圆，解直角三角形等有关知识．根据正六边形的特点，通过中心作边的垂线，连接半径，结合解直角三角形的有关知识解决． 【详解】解：如图，连接；过点O作于点G． ∵是正六边形的一边， ∴，是等边三角形， 在中，，， ∵， ∴， ∴这个正六边形的面积． 故选：B． 9．（2025·山东聊城·二模）如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧的对应的弦构成一个正六边形，中心为点O，所在的圆的圆心C恰好是的内心． 若，则花窗的周长（图中实线部分的长度）为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正多边形与圆，解直角三角形，求弧长，过点C作，根据正多边形的性质得出为等边三角形，再由内心的性质确定，得出，利用余弦得出，再求弧长即可求解． 【详解】解：如图所示：过点C作于点E， ∵六条弧所对应的弦构成一个正六边形， ∴，， ∴为等边三角形， ∵圆心C恰好是的内心， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长为：， ∴花窗的周长为：； 故选：A． 10．（2025·山东枣庄·二模）刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，若用圆的内接正十二边形的面积来近似估计的面积S，设的半径为1，则的值为（    ）（） A．0.14 B．0.2 C．0.5 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形和圆，正确求出正十二边形的面积是解题的关键，根据圆的面积公式得到的面积，求得圆的内接正十二边形的面积，即可得出结论． 【详解】解： 的半径为1， 的面积， 圆的内接正十二边形的中心角为， 过点A作，如图所示： ， 圆的内接正十二边形的面积， ， 故选：A． 11．（2025·山东潍坊·一模）如图，五边形是的内接正五边形，是的直径，连接，交于点P，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正多边形与圆，圆周角定理，垂径定理等知识，根据正五边形的性质结合圆周角定理和垂径定理得，，进而可得答案． 【详解】解：∵是的直径，五边形是的内接正五边形， ∴，，， ∴， ∴， 故选：C． 12．（2025·山东济宁·二模）如图，正六边形的两条对角线和相交于点O，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】此题考查了正多边形的性质、解直角三角形、矩形的判定和性质等知识，理解题意是关键．求出，,即可得到答案． 【详解】解：连接交于点H，设正六边形的边长为a， ∵正六边形的两条对角线和相交于点O， ∴，, ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴ ∵，， ∴， ∴ ∴ 同理，， ∴, ∴ 故答案为： 13．（2025·河北保定·二模）光圈是相机镜头中一个可调节的开口，通过6片形状和大小相同叶片的闭合情况来影响中间正六边形的面积，达到控制进光量和景深的作用．如图，右图是一组不同通光量下叶片闭合情况的示意图，图中若的延长线恰好过点，圆的半径为，则叶片所占区域（阴影部分）的面积是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查正多边形与圆，解直角三角形等知识，如图，连接，作于．解直角三角形求出正六边形的半径即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，作于． 由题意， ∴是等边三角形， ∴， 设,则, 在中，则有， 解得， ∴， ∴， 故答案为：． 14．（2025·山东青岛·二模）【探究建模】 （1）如图①，是正三角形，边长为，点是的中心点，点是内任意一点，点到各边距离分别为、、．连接，由等面积法，可得______；（结果用含的式子表示） 【类比应用】 （2）如图②，五边形是正五边形，边长为，点是的中心点，点是正五边形内任意一点，点到五边形各边距离分别为，则的值为______（结果用含的式子表示）． （3）正边形的边长为，点是正边形内任意一点，点到正边形各边距离分别为，则的值为______（结果用含和的式子表示）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了代数式的规律、正多边形的性质、解直角三角形等知识点，发现相关规律成为解题的关键． （1）由题意可得、，解直角三角形可得，然后根据等面积法题意列方程求解即可； （2）如图：作于I，连接，则、，解直角三角形可得，然后根据等面积法题意列方程求解即可； （3）类比（2）的方法求解即可． 【详解】解：（1）∵是正三角形，边长为，点是的中心点， ∴，， ∴， ∵， ∴，即得：． （2）如图：作于I，连接，则，， ∴， ∴，， ∴，解得：． （3）由（2）可得正边形的面积为，， ∴，解得：． 15．（2025·福建福州·模拟预测）物理实验课上，分组研究“定滑轮可以改变用力的方向，但不能省力”的课题时，小丽发现重物上升时，滑轮上点的位置在不断改变．已知滑轮的半径为，当滑轮上点转过的度数为时，重物上升了（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了弧长的计算，熟知弧长的计算公式是解题的关键．重物上升的高度就是点旋转转过的弧长，利用弧长公式进行计算即可解决问题． 【详解】解：滑轮的半径为， 滑轮上点A转过的度数为时，所对应的弧长为：， 重物上升了 故选：B． 16．（24-25九年级下·山东青岛·期末）如图所示，已知圆锥的母线长，底面圆的半径为，一只小虫从圆锥底面的点A处绕圆锥侧面一周又回到点A处．则小虫所走的最短路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，两点之间线段最短，弧长公式，先将圆锥的侧面展开，得，，再结合弧长公式求出，运用勾股定理列式计算得，即可求出小虫所走的最短距离，即可作答． 【详解】解：圆锥的侧面展开图，如下所示： ∴， ∴ 设 ∵圆锥的母线长，底面圆的半径为， ∴ 则 解得 依题意，得， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 故选：D 17．（2025·山东潍坊·三模）已知圆锥的高为4，底面圆的半径为3，则该圆锥侧面展开图的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理，圆锥的侧面积计算，先利用勾股定理求出母线长，再根据圆锥的侧面积等于母线长乘以底面圆半径再乘以圆周率计算即可． 【详解】解：∵圆锥的高为4，底面圆的半径为3， ∴圆锥的母线长为， ∴该圆锥侧面展开图的面积是， 故选：C． 18．（2025·山东东营·一模）如图，是某几何体的三视图及相关数据，则该几何体的侧面积是 （    ） A．12 π B．15 π C．20 π D．30 π 【答案】B 【分析】此题考查了三视图、圆锥的侧面积等知识．根据三视图判断几何体为圆锥，再进行计算即可得到答案． 【详解】解：由三视图可知此几何体为圆锥， ∴圆锥的底面半径为3，母线长为5， ∵圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开扇形的弧长， ∴圆锥的底面周长圆锥的侧面展开扇形的弧长， ∴圆锥的侧面积． 故选：B． 19．（24-25九年级下·湖南永州·阶段练习）图1中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到，，则图中摆盘的面积是 ．    【答案】27π 【分析】本题考查扇形面积计算，熟练掌握扇形面积计算公式是解题关键． 本题可先求出圆心角度数，再根据已知条件得出的长度，和扇形的半径，最后根据扇形面积公式计算出摆盘的面积，摆盘的面积等于大扇形面积减去小扇形面积，即可得出结果． 【详解】解：观察图可知， 图中有个扇形，整个圆盘可看作是一个完整的圆，则每个扇形的圆心角． ∴    ∵，， ∴， ∵ ， ， ； 故答案为：． 20．（2025·山东济宁·三模）如图，将半径为8的圆形纸片剪掉4分之一，余下部分围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求圆锥的高，勾股定理， 根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长求出底面半径，再根据扇形的半径等于圆锥的母线，结合勾股定理求出答案． 【详解】解：根据题意，得，， 根据勾股定理，得， 即， 所以圆锥的高为． 故答案为：． 重难点01 利用垂径定理求解 1．（24-25九年级上·山东滨州·阶段练习）常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设小圆孔的宽口的长度是，测得钢珠顶端离零件表面的距离为，如图所示，则这个钢珠的直径为 ． 【答案】26 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理等．根据题意过圆心作的垂线，交于，连接，设半径为，在中应用勾股定理解出即可． 【详解】解：过圆心作的垂线，交于，连接， ， 设半径为，即 ∵小圆孔的宽口的长度是， ∴， ∵钢珠顶端离零件表面的距离为， ∴， ∴，即，解得：， ∴这个钢珠的直径为：， 故答案为：26． 2．（24-25九年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，半径为的经过点，，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形，垂径定理，勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线．过点作于点，连接，根据垂径定理得到，由，，可得，，，推出，再根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，连接， ， ，， ，， ， ， ， ， ， 的坐标为， 故答案为：． 重难点02 垂径定理的实际应用 3．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以为直径的半圆O，，为水面截线，，为桌面截线，． (1)作于点C，求的长； (2)将图1中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了，求此时水面截线减少了多少？ 【答案】(1)的长 (2)此时水面截线减少了 【分析】本题主要考查了垂径定理的实际应用、勾股定理的应用等知识点，理解垂径定理是解题的关键． （1）如图1：连接，由圆的性质可得，再利用垂径定理得出，再运用勾股定理计算即可解答； （2）如图2：过点O作，垂足为点D，连接，利用勾股定理求出，再利用垂径定理得出，最后与相减即可解答． 【详解】（1）解：如图1：连接， ∵， ∴                  ∵， ∴， 在中，根据勾股定理得：， ∴，解得：， ∴的长． （2）解：如图2：过点O作，垂足为点D，连接，   ∴ 由题意可知： 在中，根据勾股定理得：， ∴ ，解得：， ∴，   ∴， ∴此时水面截线减少了． 4．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽为，拱高为． (1)求桥拱的半径； (2)此桥的安全限度是拱顶点距离水面不得小于，若大雨过后，洪水泛滥到水面宽度为时，是否需要采取紧急措施？请说明理由． 【答案】(1) (2)不需要采取紧急措施，理由见解析 【分析】本题考查勾股定理，垂径定理，关键是由勾股定理，垂径定理列出关于圆半径的方程． （1）设桥拱的半径是，由垂径定理求出，而，由勾股定理得到，求出； （2）由垂径定理求出的长，由勾股定理求出的长，即可求出的长即可得解． 【详解】（1）解：如图半径，， 设桥拱的半径是， ， ， 拱高为， ， ， ， ， 桥拱的半径是； （2）解：不需要采取紧急措施，理由如下： 如图，连接， ， ， ， ， ， 不需要采取紧急措施． 5．（22-23九年级上·贵州黔南·阶段练习）高致病性禽流感是—种传染性极强的传染病． (1)养殖场有4万只鸡．假设有一只鸡得了禽流感，如果不采取任何措施，那么第二天将新增病鸡10只，到第三天又将新增病鸡100只，以后每天新增病鸡数依此类推，请问到第四天，共有多少只鸡得了禽流感？到第几天，所有的鸡都会感染禽流感？ (2)为防止禽流感蔓延，防疫部门规定：离疫点3千米范围内为捕杀区，所有的禽类全部捕杀；离疫点3~5千米范围内为免疫区，所有的禽类强制免疫；同时对捕杀区和免疫区的村庄，道路实行全封闭管理．现有一条笔直的公路通过禽流感病区．如图所示，O为疫点，到公路的最短距离为1千米，问这条公路在该免疫区内有多少千米？（结果保留根号） 【答案】(1)第四天共有只鸡得了禽流感；到第六天所有鸡都会被感染； (2) 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，数字类的规律探索： （1）根据题意可得规律第n天新增只病鸡，据此求出第四天，第五天，第六天得了禽流感的鸡的数量即可得到答案； （2）过点O作于E，利用勾股定理求出，再利用垂径定理求出的值即可． 【详解】（1）解：第一天新增1只病鸡， 第二天新增10只病鸡， 第三天新增100只病鸡， ……， 以此类推，可知，第n天新增只病鸡， ∴第四天共有只鸡得了禽流感； 到第五天得禽流感病鸡数为只 到第六天得禽流感病鸡数为， ∴到第六天所有鸡都会被感染； （2）解：如图所示，过点O作于E， 由题意得，， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得 ， 由垂径定理可得， ∴， ∴这条公路在该免疫区内有． 6．（24-25九年级下·山东济宁·期中）综合与实践 探究主题：曲柄连杆与圆 探究背景：在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”． 探究任务1：第一小组受此启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图②，两个固定长度的“连杆”的连接点P在上，当点P在上转动时，带动点A，B分别在射线上滑动，．当与相切时，点B恰好落在上，如图③．请结合图形解答下列问题． (1)求证：； 探究任务2：第二小组用电脑作图工具进行动态模拟，某种在同一平面进行传动的机械装置设计，得到如图4，图5是它的示意图．说明其工作原理是：滑块Q在平直滑道l上可以左右滑动，在Q滑动的过程中，连杆也随之运动，并且带动连杆绕固定点O摆动．在摆动过程中，两连杆的接点P在以为半径的上运动．数学兴趣小组为进一步研究其中所蕴含的数学知识，过点O作于点H，并测得分米，分米，分米． 解决问题： (2)如图6，小明同学说：“当点Q滑动到点H的位置时，与是相切的．”你认为他的判断对吗？为什么？ (3)①小丽同学发现：“当点P运动到上时，点P到l的距离最小．”事实上，还存在着点P到l距离最大的位置，此时，点P到l的距离是 分米； ②当绕点O左右摆动时，所扫过的区域为扇形，求这个扇形面积最大时圆心角的度数． 【答案】(1)见解析 (2)不对，理由见解析 (3)3；② 【分析】（1）如图：连接，延长与圆交于点C，则，由切线的性质可得，进而得到、，则；再根据等腰三角形的性质以及角的和差可得，进而证明结论； （2）先说明当Q、H重合时，，然后根据勾股定理逆定理即可证明结论； （3）如图．在绕点O左右摆动过程中所扫过的最大扇形就是．连接，交于点D，易得，均与l垂直，且，再证明四边形是矩形可得、，进而得到、，根据特殊角的三角函数值可得，则，即可证明结论． 【详解】（1）证明：如图：连接，延长与圆交于点C，则， ∵AP与相切于点P， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：不对，理由如下： ∵，，， ∴当Q、H重合时，， ∵，即， ∴与不垂直． ∴与不相切． （3）解：①因为的值永远是3，只有时，点P到直线l的距离最大，此时最大的距离是3分米； ②由①知，在上存在点P，到l的距离为3，此时，将不能再向下转动， 如图．在绕点O左右摆动过程中所扫过的最大扇形就是．连接，交于点D， ∵，均与l垂直，且， ∴四边形是矩形， ∴，． 由，， ∴，即． ∴． ∴所求最大圆心角的度数为． 【点睛】本题主要考查了切线的性质、矩形的判定与性质、三角函数、等角的余角相等、勾股定理逆定理、垂径定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 重难点03 利用弧、弦、圆心角关系求解 7．（2025·河南郑州·一模）如图，点，，，在上，若，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了弧、弦、圆心角、圆周角的关系，掌握弧、弦、圆心角、圆周角的关系是解题关键． 根据弧、弦、圆心角、圆周角的关系逐项判断即可求解． 【详解】解：A、，，该选项正确，但不符合题意； B、，，，，该选项正确，但不符合题意； C、由已知条件无法判断，故无法判断，故该选项错误，但符合题意； D、由B选项得，，该选项正确，但不符合题意． 故选：C． 8．（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，在中，是直径，C，D为上的点，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查圆周角定理、圆心角、弧、弦的关系等知识点，掌握圆心角、弧、弦的关系成为解题的关键．根据圆周角定理及圆心角、弧、弦的关系易得，从而求得的度数，再利用圆周角定理和角的和差即可解答． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 9．（24-25九年级上·山东滨州·期末）如图，是的直径，，，点B为弧的中点，点P是直径上的一个动点，则的最小值为（    ） A．4 B．8 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆心角与弧之间的关系，圆周角定理，轴对称最短路径问题，等边三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线推出能取得最小值的情形是解题的关键．作A关于的对称点Q，连接交于P，则根据两点之间线段最短，的最小值为的长度，先求出，再求出，进而由圆周角定理得到，则．证明是等边三角形，即可得到，据此可得答案． 【详解】解：作A关于的对称点Q，连接交于P，此时， 根据两点之间线段最短，的最小值为的长度， 连接， ∵点B为弧的中点， ∴， ∵A、Q关于对称， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴，即的最小值为4． 故选：A． 10．（2025·江苏苏州·一模）如图，点A，B，C，D，E在上，D是的中点，．若，，则 °．    【答案】85 【分析】本题考查圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，三角形内角和定理，等腰三角形的性质．连接，由三角形内角和定理与等腰三角形的性质得，由圆心角、弧、弦的关系求出的度数，根据圆周角定理求出的度数，从而求出的度数即可． 【详解】解：如图，连接．    ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：85． 重难点04 利用圆周角定理及其推论求解 11．（2025·山东青岛·二模）如图，，是的直径，是的中点，连接，，，，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 连接，先利用圆周角定理可得，再利用等腰三角形的性质可得，从而可得，从而可得，进而可得，最后根据圆周角定理进行计算即可解答． 【详解】解：连接， ， ， ， ， ， 是的中点， ， ， ， ． 故选：A． 12．（24-25九年级下·山东青岛·阶段练习）如图，是的直径，点A，C在上，，交于点G．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角定理以及推论，三角形的内角和定理等知识，根据直径所对的圆周角是直角得出，根据等边对等角和三角形内角和定理求出，进而求出，根据圆周角定理得出，然后根据三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解∶∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选∶C． 13．（24-25九年级下·山东潍坊·期中）如图，为的直径，点，在上，与交于点，，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】此题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，平行线的性质，由为的直径得，即得，由平行线的性质得，，进而可得，即可求解，掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：． 14．（2025·山东潍坊·三模）如图，点E在边长为2的正方形内，且，点F是边的中点，点G是边上的一动点，连接，，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】先判断出点E在以为直径的上，作点F关于直线的对称点，连接，交于E，交于G，此时，最短，因为，所以最小值为，利用勾股定理求出长即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴点E在以为直径的上， ∵点E在边长为2的正方形内， ∴点E在以直径上方的半圆弧上， 作点F关于直线的对称点，连接，交于E，交于G，如图， 此时，最短， ∵边长为2的正方形， ∴，， ∴， 由对称的性质知：，， ∴， ∴最小，最小值为， ∵点F是边的中点，点F关于直线的对称点， ∴， ∴， 由勾股定理，得， ∴最小值． 故答案为：． 【点睛】本题考了查正方形的性质，圆周角定理的推论，利用轴对称求最短路径问题，勾股定理．正确作出辅助线，得出最小值为是解题的关键． 重难点05 利用圆内接四边形的性质求解 15．（24-25九年级上·天津静海·期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质及圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．先根据圆周角定理求出，再根据圆内接四边形的对角互补计算即可． 【详解】解：， ， 四边形内接于， ， ， 故选：C． 16．（2025·山东东营·中考真题）如图，四边形内接于，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查圆周角定理和圆内接四边形的性质．根据圆周角等于同弧所对圆心角的一半求出的度数，再根据圆内接四边形的性质及平角的定义即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形内接于， ∴且， ∴， 故选：C． 17．（24-25九年级下·山东烟台·期中）如图，、是的切线，A、B为切点，点C、D在上，连接．若，则的结果为 ． 【答案】 【分析】根据切线长的性质，圆的内接四边形的性质，等腰三角形的性质解答即可． 本题考查了切线长定理，圆的内接四边形，等腰三角形的性质，熟练掌握定理和性质是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵、是的切线，A、B为切点，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 18．（24-25九年级上·山东潍坊·期中）如图，在圆内接四边形中，，，，，延长，交于点E，则 ．    【答案】/ 【分析】本题主要考查了圆内接四边形，解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相关性质．先根据圆内接四边形性质得出，解直角三角形得出，然后求出结果即可． 【详解】解：∵四边形为圆内接四边形，， 根据圆内接四边形对角互补，可得， ∵，， ∴， ∵， ∴，， 故． 故答案为：． 重难点06 点和圆的位置关系 19．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，在直角坐标系中，点O为坐标原点，一条圆弧经过，，三点，则下列说法正确的是（   ） A．这条圆弧所在圆的半径为 B．点在这条圆弧所在圆外 C．原点在这条圆弧所在圆上 D．这条圆弧所在圆的圆心为 【答案】D 【分析】本题考查点与圆的位置关系．根据点与圆的位置关系，确定圆的条件以及勾股定理进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴圆心在直线上， 设其圆心坐标为， 则，即， 由勾股定理得， 解得， ∴这条圆弧所在圆的圆心为， 半径为， ∵， ∴点在这条圆弧所在圆上， ∵， ∴原点在这条圆弧所在圆内， 观察四个选项，选项D符合题意． 故选：D． 20．（23-24九年级上·山东济宁·期中）如图，在中，，以A为圆心作一个半径为3的圆，下列结论中正确的是（   ） A．点B在内 B．直线与相离 C．点C在上 D．直线与相切 【答案】D 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，过A点作于H，如图，利用等腰三角形的性质得到，则利用勾股定理可计算出，然后根据点与圆的位置关系的判定方法对A选项和B选项进行判断；根据直线与圆的位置关系对C选项和D选项进行判断．设的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，若直线l和相交；直线l和相切；直线l和相离． 【详解】解：过A点作于H，如图， ， ， 在中， ， ， ∴B点在外，所以A选项不符合题意； ， ∴C点在外，所以C选项不符合题意； ， ∴直线与相切，所以D选项符合题意，B选项不符合题意． 故选：D． 21．（2024·河北沧州·模拟预测）小明手中有几组大小不等的三角板，分别是含度，度的直角三角板．从中选择两个各拼成如图所示的图形，则关于两图中四个顶点，，，的说法，正确的是（    ） A．甲图四点共圆，乙图四点共圆 B．甲图四点共圆，乙图四点不共圆 C．甲图四点不共圆，乙图四点共圆 D．甲图四点不共圆，乙图四点不共圆 【答案】C 【分析】本题考查圆的定义，点和圆的位置关系，直角三角形斜边中线性质，熟练掌握这些定义和性质是解题的关键．甲图中，取中点，连接，，得出，得点、、是以点为圆心，为半径的圆上，再判断点在圆外即可；乙图中，取中点，连接，，得，即可判断． 【详解】解：如甲图中，取中点，连接，， ∵， ∴， ∴点、、是以点为圆心，为半径的圆上， 为直角三角形， ∴， ∴点在圆外， ∴甲图四点不共圆； 如乙图中，取中点，连接，， ∵， ∴， ∴点、、、是以点为圆心，为半径的圆上， ∴乙图四点共圆， 综上，甲图四点不共圆，乙图四点共圆， 故选：C． 22．（22-23九年级上·江苏淮安·期末）是内一点，是上任意一点，若，则的半径为 ． 【答案】 【分析】根据点到圆上的距离分析即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵是内一点，是上任意一点，， ∴的直径为， ∴的半径为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了点到圆上的距离，熟练掌握点与圆的位置关系是解题的关键． 23．（24-25九年级下·上海普陀·阶段练习）在矩形中，与直线相切．如果与相交．且点在内，那么的半径长的取值范围为 ． 【答案】． 【分析】首先求得矩形的对角线的长，然后根据点A在上，得到此半径为5，再根据和相交，得到的半径长的范围即可； 【详解】解：在矩形中， ∴ ∵点A在上， ∴的半径为5， ∵如果与相交， ∴的半径r满足， ∵点B在内， ∴， ∴ 【点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系、点与圆的位置关系，解题的关键是读懂题意． 重难点07 点与圆的最值问题 24．（2023·四川泸州·二模）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，若点为抛物线上一点且横坐标为，点为轴上一点，点在以点为圆心，为半径的圆上，则的最小值 ． 【答案】/ 【分析】先求出点，点，作点关于轴对称的点，则点，连接交与轴于，交于，过点作轴于，连接，当点与点重合，点与点重合时，为最小，最小值为线段的长，然后可在中由勾股定理求出，进而可得，据此可得出答案． 【详解】解：对于，当时，， 解得：，， 点的坐标为， 对于，当时，， 点的坐标为， 作点关于轴对称的点，则点， 连接交与y轴于，交于，过点作轴于，连接， 当点与点重合，点与点重合时，为最小，最小值为线段的长． 理由如下： 当点与点不重合，点与点不重合时， 根据轴对称的性质可知：， ， 根据“两点之间线段最短”可知：， 即：， ， ， 即：， 当点与点重合，点与点重合时，为最小． 点，， ，，， ， 在中，，， 由勾股定理得：， ． 即为最小值为． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了二次函数与轴的交点，利用轴对称求最短路线，圆的性质，勾股定理等，解答此题的关键是准确的求出二次函数与轴的交点坐标，难点是确定当为最小时，点，的位置． 25．（24-25九年级下·山东烟台·期中）如图，在矩形中，，现有一点在直线的左侧，且，则线段的最小值为 ． 【答案】 【分析】如图所示，取中点E，中点F，连接，在线段上取点O使，连接，，，以点O为圆心，为半径画弧，首先求出，得到，然后得到点P在以为半径的圆上运动，如图所示，连接，，得到，当点B，P，O三点共线时，有最大值，即的长度，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】如图所示，取中点E，中点F，连接，在线段上取点O使，连接，，，以点O为圆心，为半径画弧， ∵在矩形中，，点E是中点 ∴，， ∵， ∴ ∵， ∴，即 ∵ ∴ ∴ ∴点P在以为半径的圆上运动，如图所示，连接，， ∴ ∴如图所示，当点B，P，O三点共线时，有最大值，即的长度 根据题意得，四边形是矩形 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴线段的最小值为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了矩形的性质和判定，勾股定理，解直角三角形，求圆外一点到圆上一点最值问题，解题的关键是掌握以上知识点． 26．（23-24九年级下·山东威海·期中）如图，在矩形中，，点P是矩形内一动点，连接，，，若，则的最小值为 ．    【答案】/ 【分析】由可得点P在以中点O为圆心为直径的圆上，连接交圆于一点即为最短距离点，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴点P在以中点O为圆心为直径的圆上，如图所示，    ∴连接交圆于点P，如图所示，此时的值最小    ∵矩形中，， ∴，， ∴， 根据勾股定理可得，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查圆上最短距离问题，勾股定理，解题的关键是熟练掌握圆外一点到圆上最短距离点为与圆心连线的交点． 重难点08 直线和圆的位置关系 27．（24-25九年级上·重庆·期中）已知圆心到直线的距离为，的半径为，若、是方程的两个根，则直线和的位置关系是（   ） A．相切 B．相离 C．相交 D．相离或相交 【答案】D 【分析】本题考查了圆与直线的位置关系，因式分解法解一元二次方程，理解圆与直线的位置关系，掌握因式分解法求一元二次方程的根是解题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系得到的值，再根据圆半径与圆心到直线的距离的关系“，相离；，相切；，相交”进行判定即可求解． 【详解】解：若、是方程的两个根， ∴， 解得，， 当时，直线和的位置关系是相交； 当时，直线和的位置关系是相离； 故选：D ． 28．（23-24九年级上·河南商丘·期末）如图，在中，，，点D为的中点，以2为半径作，则下列说法不正确的是（　　）    A．点A在圆外 B．点C在圆上 C．与直线相切 D．与直线相交 【答案】B 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，勾股定理，三角形的中位线定理，正确地作出辅助线是解题的关键．连接，由直角三角形的斜边上的中线定理得，进而得，，根据三角形中位线定理即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴， ∵D是的中点， ∴．，故点A在圆外，点C在圆外， 故选项A正确，不符合题意；选项B不正确，符合题意， 连接，作于点E，    ∴，D为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，，故与直线相切； 故选项C正确，不符合题意， 过D作于F， ∴， ∴； ∴， 故与直线相交；故选项D正确，不符合题意， 故选：B． 29．（23-24九年级下·上海崇明·期中）已知在中，，，，若以为圆心，长为半径的圆与边有交点，那么的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理、圆的基本性质．首先根据勾股定理可求，利用三角形的面积公式可求，当圆的半径为时，开始与边有交点，当时，圆与边有交点，当时，圆与边没有交点，从而确定的取值范围． 【详解】解：如下图所示，过点作， 中，，，， ， ， ， 解得：， 当以点为圆心的圆的半径时，圆经过点， 当时，圆与边没有交点， ．      故选：D ． 30．（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，在直线上有相距5cm的两点和（点在点的右侧），以为圆心作半径为1cm的圆，过点作直线．将以的速度向右移动（点始终在直线上），则与直线在 秒时相切． 【答案】2或3 【分析】本题考查了切线的判定与性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，当圆心到直线的距离等于圆的半径，则直线与圆相切．熟练掌握切线的判定与性质是解题的关键．根据切线的判定方法，当点到的距离为时，与相切，然后计算出圆向右移动的距离，然后计算出对应的时间． 【详解】解：当点到的距离为时，与相切， 开始时点到的距离为5， 当圆向右移动或时，点到的距离为，此时与相切， 或， 即与直线在2秒或3秒时相切． 故答案为：2或3． 31．（23-24九年级上·山东济宁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，以OA为直径在x轴上方作半圆，直线l的解析式为，若直线l与半圆只有一个公共点，则t的值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查圆的切线，一次函数的图象和性质，直线l与x轴的夹角为，与半圆相切时，与半圆只有一个公共点，画出示意图，求出直线l与x轴的交点坐标，即可求解． 【详解】解：如图，当直线l：与半圆相切时，与半圆只有一个公共点，设圆心为B，切点为C，直线l与x轴的交点为D，连接， 点A的坐标为， 点B的坐标为， ， 直线l与半圆相切， ， 直线l：与x轴的夹角为， 是等腰直角三角形， ， ， 点D在x轴的负半轴， 点D的坐标为， 将代入，得， 解得． 故答案为：． 重难点09 切线的判定与性质综合 32．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，是的直径，与相切于点，点是上一点，连接并延长交的延长线于点．连接、相交于点，延长交于点．若平分，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求及的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)的长为，的长为 【分析】本题考查了圆的切线的判定与性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握圆的切线的判定与性质是解题关键． （1）连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，从而可得，然后根据圆的切线的判定即可得证； （2）连接，设，则，在中，利用勾股定理可求出的值，由此即可得的长；根据全等三角形的性质可得，设，则，在中，利用勾股定理可求出的值，从而可得的长，再在中，利用勾股定理可求出的长，最后根据求解即可得． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵与相切于点， ∴，即， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线． （2）解：如图，连接， 设， ∵， ∴， 由（1）已证：， ∴在中，，即， 解得， ∴， ∴， 由（1）已证：， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴， ∴在中，， ∴， 综上，的长为，的长为． 33．（24-25九年级下·山东菏泽·期中）如图，在的边上取一点O，以O为圆心，为半径画，与边相切于点D，． (1)求证：是的切线； (2)若，求． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）连接，证明，得到，即可得出结论； （2）设与的另一交点为，连接交于点，连接，证明，得到，进一步得到，设，则，根据勾股定理得到，设，则，根据勾股定理得到，解得，再求出，证明，得到，设，则，则，求得，即可求解． 【详解】（1）证明：连接，如图： ∵与边相切于点D， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线； （2）解：设与的另一交点为，连接交于点，连接，如图： ∵， ∴， 在和， ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中，， 设，则， ∴， ∵， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得：（负值已舍去）， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得：， ∴， 在中，． 34．（2024·湖北武汉·中考真题）如图，为等腰三角形，是底边的中点，腰与半圆相切于点，底边与半圆交于，两点． (1)求证：与半圆相切； (2)连接．若，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一，角平分线的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）连接、，作交于，根据等腰三角形三线合一可知，，平分，结合与半圆相切于点，可推出，得证； （2）由题意可得出，根据，在中利用勾股定理可求得的长度，从而得到的长度，最后根据即可求得答案． 【详解】（1）证明：连接、，作交于，如图 为等腰三角形，是底边的中点 ，平分 与半圆相切于点 由 是半圆的切线 （2）解：由（1）可知， ， ， 又 ， 在中，， ， 解得： 35．（21-22九年级上·四川绵阳·阶段练习）已知：如图，在中，，E为上一点，是的角平分线，，长为半径作． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若，且，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 (3) 【分析】本题考查了切线的判定及性质，全等三角形的判定及性质，角平分线的性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质，切线长定理等； （1）过点D作于F，由切线的性质得，由角平分线的性质定理得，即可求证； （2）由可判定，由全等三角形的性质得，由线段的和差即可得证； （3）由（2）可知，，等量代换得，设，，由勾股定理得，求出的值后，可求出、，进而求出的值，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，求出，由勾股定理得，即可求解． 掌握切线的判定方法∶“作垂直，证半径”，并能熟练利用全等三角形的判定方法及性质、相似三角形的判定方法及性质，用勾股定理求解是解题的关键． 【详解】（1）证明：如图，过点D作于F； 为的切线， ， ， 平分，， ， 与相切； （2）证明：在和中， ， （）， ， 为的切线，与相切， ， ， 即； （3）解：由（2）可知，，， ， ， 设，， ， ， 解得：， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ． 重难点10 利用切线长定理求解 36．（2025·山东淄博·一模）如图，四边形是的外切四边形，且，，的半径，则四边形的面积为（   ） A．44 B．88 C．100 D．110 【答案】D 【分析】本题考查的是切线长定理的应用，如图，连接，，，，作出过切点的半径，，，，证明，再利用割补法求解面积即可. 【详解】解：如图，连接，，，，作出过切点的半径，，，， ∵四边形是的外切四边形， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形的面积为： ； 故选：D 37．（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，直线、、分别与相切于点、、且，若，，则的半径等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要是考查了切线长定理，平行线的性质，勾股定理，根据平行线的性质以及切线长定理，即可证明，再根据勾股定理即可求得的长，进而根据等面积法，即可求解． 【详解】解：连接， 根据切线长定理得：，，，；   ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴ 故选：C． 38．（24-25九年级上·广西钦州·期末）如图，⊙O的直径，和是它的两条切线，与相切于点E，并与，分别相交于D，C两点，设，，则y关于x的图象大致为（    ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】过D作交于F，由切线的性质可证四边形是矩形，，根据切线长定理得到，，则，在中根据勾股定理，就可以求出y与x的关系，再判断其函数图象即可． 【详解】解：过D作交于F， 与切于点A、B， ， 又， ， ∴四边形是矩形， ，， ， ， 切于E，与切于点A、B， ，则， 在中，由勾股定理得：， 整理为， ∴y与x的函数关系式是， y是x的反比例函数， 故选：A． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象，切线长定理，矩形的判定与性质以及勾股定理，求反比例函数的解析式，解题的关键是正确的作出辅助线，综合运用以上知识． 39．（2024·四川泸州·中考真题）如图，，是的切线，切点为A，D，点B，C在上，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆的内接四边形的性质，切线长定理，等腰三角形的性质等知识点，正确作辅助线是解题关键． 根据圆的内接四边形的性质得，由得，由切线长定理得，即可求得结果． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∵，是的切线，根据切线长定理得， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 40．（24-25九年级上·江西赣州·期末）如图，是的切线，切点为A、B，，点D，C分别是上的点，平分的半径是6，设． (1)求证：是的切线； (2)求y关于x的函数解析式； (3)梯形的面积为，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】（1）过点O作于点E，则．依据切线的性质可知，接下来证明，依据全等三角形的性质可知，可证得结论； （2）过点D作于点F，则．由切线长定理可得：，则，在中依据勾股定理可得到y与x的函数关系式； （3）设，由（2）可知，由梯形面积公式可得，再求解即可． 【详解】（1）证明：如图，过点O作于点E，则． ∵与相切于点A， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的半径， ∴是的切线； （2）解：如图，过点D作于点F， ∵是的切线， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 由切线长定理得：， ∵， ∴， 在中，，即， 化简得； （3）解：∵梯形是直角梯形，则， 设，由（2）可知， ∴， 化简得， 解得或， ∴长为或． 【点睛】本题主要考查的是切线的性质和判定，切线长定理，梯形的面积，解答本题主要应用了切线的性质和判定定理、全等三角形的性质和判定，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键． 重难点11 三角形内切圆与外接圆的综合 41．（24-25九年级上·天津河北·期中）如图，周长为的三角形纸片，小刚想用剪刀剪出它的内切圆，他先沿着与相切的剪下了一个三角形纸片，已知，则三角形纸片的周长是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的内切圆与内心、切线的性质，设三角形与相切于、、，与相切于，根据切线长定理和三角形的周长公式即可得到结论．，解题的关键是熟练掌握切线的性质． 【详解】解：设三角形与相切于、、，与相切于，如图所示： 由切线长定理可知：，，，，， ，， ，， ， 故选：D． 42．（23-24九年级上·内蒙古·阶段练习）已知的三边长为3cm，4cm，5cm，则的内切圆半径和外接圆半径分别为（   ）cm A．1，2 B．1， C．2， D．2，2 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的内切圆和外接圆等知识点，三角形的内切圆圆心到三条边的距离相等，三角形的外接圆圆心到三个顶点的距离相等，熟记相关结论即可求解.由题意得是直角三角形，设的内切圆半径和外接圆半径分别为，则，直角三角形外接圆圆心为斜边的中点，据此即可求解． 【详解】解：∵， ∴是直角三角形， 设的内切圆半径和外接圆半径分别为， 则， 解得：； ∵直角三角形外接圆圆心为斜边的中点， ∴ 故选：B 43．（2024·四川南充·一模）如图，点是外接圆的圆心．点是的内心．连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的内心和外心的概念、圆周角定理、等腰三角形的定义、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． 连接，由点是的内心可得平分，根据角平分线的定义可得，根据圆周角定理可得，根据等腰三角形的定义及三角形内角和定理进行计算即可得到答案． 【详解】如图，连接， ∵点是的内心， ∴平分， ∵， ∴， ∵点是外接圆的圆心， ∴ ， ∵， ∴ ， 故选：C． 44．（21-22九年级上·山东潍坊·期中）如图，点I和O分别是的内心和外心，若，则的度数为 ． 【答案】/140度 【分析】此题考查了三角形的内心和外心的性质，圆周角定理，三角形内角和定理等知识，解题的关键是根据题意做出的外接圆，的内切圆，进而利用三角形内心和外心的性质求解． 分别作出的外接圆，的内切圆，首先根据三角形内心的性质以及三角形内角和定理求出，进而求出，然后根据三角形内角和定理求出，最后根据圆周角定理即可求出的度数． 【详解】解：分别作出的外接圆，的内切圆， ∵点I是的内心， ∴平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点O是是外心， ∴， 故答案为：． 45．（22-23九年级上·江苏盐城·期中）如图，I是的内心，的延长线交的外接圆于点D． (1)求证：； (2)求证：； (3)连接、，求证：点D是的外心． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据三角形内心的定义得，再由圆周角与弧之间的关系即可得证； （2）连接，证出即可得证； （3）连接，，，证出即可得证． 【详解】（1）证明：点I是的内心， 平分， ， ， ， ． （2）证明：如图，连接， 点I是的内心， 平分，平分， ， 又， ， ，， ， ． （3）证明：如图，连接，，， ， ． ， ∴点D是的外心． 【点睛】本题考查了三角形内心和外心的定义，圆的基本性质中圆周角与弧之间的关系等，理解定义，掌握圆的基本性质，根据题意作出辅助线是解题的关键. 重难点12 尺规作图问题 46．（24-25九年级下·山东青岛·自主招生）请用无刻度的直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹 如图，政府准备在A、B、C、D四个小区中间的空地建造一个圆形的中心公园M，要求在、、三条道路上各开一个门，请你帮忙划定中心公园M的范围． 【答案】见解析 【分析】本题考查角平分线画法，尺规作圆，过一点作一条直线的垂线．根据题意利用角平分线性质及点到直线的距离画图即可． 【详解】解：∵要求在三条道路上各开一个门， ∴画和的角平分线交于点M，再过M作（或）的垂线，作圆M， ∴即得到中心公园M的范围，作图如下： 47．（2025·山东滨州·二模）下图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，请只用无刻度的直尺在给定网格中按要求作图.（不写作法，保留作图痕迹） (1)在图1中，的三个顶点均在格点上，请确定的外心. (2)在图2中，请作出的角平分线，交于点. (3)若图2中的，则弧的长是_____. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查无刻度直尺作垂直平分线和角平分线，弧长公式； （1）利用网格作，的垂直平分线交于点O，则点O即为所作； （2）取格点D，作射线即可； （3）连接，，根据圆周角定理求出，根据勾股定理求出长，然后利用弧长公式计算解题. 【详解】（1）解：如图，点O即为所作； （2）解：如图，点D即为所作； （3）解：如图，连接，， 则， 又∵， ∴弧的长是， 故答案为：. 48．（2025·河南周口·二模）如图，已知和点，按如下方式作图： ①连接，作线段的垂直平分线交于点； ②以点为圆心，长为半径作圆，交于点、； ③连接，交的垂直平分线于点． (1)请依据题意完成作图；（保留作图痕迹，不写作法） (2)①试判断与的位置关系，并给出证明； ②若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①是的切线，见解析；② 【分析】（1）根据步骤作图即可； （2）①连接，由直径所对圆周角为直角即可得出，即可证明是的切线． ②连接，由勾股定理求出，设，则，在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）如图， （2）①证明：连接， 是的直径， ，即于点， ∵是半径， 是的切线， ②连接， ，，， ， 为的垂直平分线， ，设，则， 在中， ， 解得：， ． 【点睛】本题考查作图—线段垂直平分线，线段垂直平分线的性质，圆周角定理的推论，切线的判定．熟练掌握上述知识是解题关键． 49．（2024·山西·中考真题）阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 关于“等边半正多边形”的研究报告 博学小组 研究对象：等边半正多边形 研究思路：类比三角形、四边形，按“概念﹣性质﹣判定”的路径，由一般到特殊进行研究． 研究方法：观察（测量、实验）﹣猜想﹣推理证明 研究内容： 【一般概念】对于一个凸多边形（边数为偶数），若其各边都相等，且相间的角相等、相邻的角不相等，我们称这个凸多边形为等边半正多边形．如图1，我们学习过的菱形（正方形除外）就是等边半正四边形，类似地，还有等边半正六边形、等边半正八边形… 【特例研究】根据等边半正多边形的定义，对等边半正六边形研究如下： 概念理解：如图2，如果六边形是等边半正六边形，那么，，，且． 性质探索：根据定义，探索等边半正六边形的性质，得到如下结论： 内角：等边半正六边形相邻两个内角的和为▲°． 对角线：… 任务： (1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容： ． (2)如图3，六边形是等边半正六边形．连接对角线，猜想与的数量关系，并说明理由； (3)如图4，已知是正三角形，是它的外接圆．请在图4中作一个等边半正六边形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】(1)240 (2)，理由见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查圆综合题，以等边半正六边形为背景，理解题意以及掌握圆和多边形的相关性质是解题关键． （1）六边形内角和为，由等边半正六边形的定义即可得出相邻两内角和为； （2）连接，，通过已知条件可证，得到，，进一步证明证出； （3）作、、的垂直平分线，在圆内线上取一点或者圆外取一点都行，切记不能取圆上，否则就是正六边形了． 【详解】（1）解：∵六边形内角和为，且，， ∴等边半正六边形相邻两个内角的和为， 故答案为：240； （2）解：． 理由如下：连接，． 六边形是等边半正六边形． ，． ． ． 在与中， ， ． ； （3）解：如图，六边形即为所求（答案不唯一）． 作法一： 作法二： ． 重难点13 直线与圆的最值问题 50．（24-25九年级上·辽宁盘锦·期末）二次函数与x轴的正半轴交于点A，与y轴交于点B，以点为圆心半径为1的上有一动点D，则面积的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，三角形的面积公式，直线和圆的位置关系，求出圆心到的距离是解的关键．连接，过点作于，先求出的坐标，根据面积桥求出到的距离，再确定点到的最小距离，最后即可求出面积的最小值． 【详解】解：如图，连接，过点作于， 对于抛物线，令，， 解得， ， 令，，则， ， 点， ， ，即点到的距离为， ， 点到的最小距离为， 的面积的最小值， 故答案为：． 51．（2021·福建龙岩·二模）直线与轴、轴分别交于A和B点，圆心为（0，2）且与轴相切的圆上有一动点P，则点P到直线AB的距离的最小值为 ． 【答案】． 【分析】过点作交于点，与圆交于点，根据直线与轴、轴分别交于和点，可得点坐标是（0，-2），点坐标是（-4，0），则有，，，再根据圆心为（0，2）的圆与轴相切，可得,，根据,可求得，利用，可求得结果． 【详解】解：如图示，过点作交于点，与圆 交于点，则点为所求， 直线与轴、轴分别交于 和点， ∴当时，， ∴点坐标是（0，-2）， ∴当时，， ∴点坐标是（-4，0）， ∴，， ∴， 又∵圆心为（0，2）的圆与轴相切， ∴,， ∴， ∴， ∴， 故答案是：． 【点睛】本题综合考查了一次函数图象性质，勾股定理，三角形的面积，求出圆心到直线的距离是解题的关键． 重难点14 计算不规则图形面积 52．（2025·山东泰安·模拟预测）如图，已知中，，与切于点，与、分别交于点、，与的延长线交于点，连接、，延长交于点，已知． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若的半径为，求图中阴影部分的面积．(结果保留π) 【答案】(1)是的切线，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据切线的性质以及全等三角形的判定和性质得出，再根据切线的判定方法进行判断即可； （2）根据平角的定义以及等腰三角形的性质求出，再根据直角三角形的边角关系求出、、，再根据进行计算即可． 【详解】（1）证明：是的切线，理由： 连接， 与相切于点， ， 在和中， ，，， ， ，即， 是的半径， 是的切线； （2）解：， ， ，， ， ， ， ， ， ， 由（）可知， ， ， ， ， ， 在中，，， ， ， 在中，，， ，， ． 【点睛】本题考查切线的性质和判定，扇形面积的计算以及等腰三角形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质，熟练掌握相关定理是解题的关键． 53．（2025·河南南阳·二模）如图，反比例函数的图象经过点，连接并延长交反比例函数的图象于点，以为对角线作正方形，以为直径画弧． (1)求反比例函数的表达式； (2)求的长度； (3)请直接写出阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由反比例函数的图象经过点，得到，求得反比例函数的表达式为； （2）根据正方形的性质得到点是四边形的中心，连接，得到，，求得所对圆心角的度数为，根据勾股定理得到所在圆的半径为，再求出弧长即可； （3）设所在圆的圆心为，与轴交于，与轴交于，连接，求得，根据全等三角形的判定得到，根据三角形的面积公式和扇形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点， ， 反比例函数的表达式为； （2）解：四边形是正方形，为对角线，， 点是四边形的中心， 连接， ，， ，为所在圆的直径， 所对圆心角的度数为：， ， ∴， ， ∴； （3）解：设所在圆的圆心为，与轴交于，与轴交于，连接， ， ，，， ， ∴， 弓形的面积扇形的面积三角形的面积 ， 图中阴影部分的面积之和半圆的面积弓形的面积 ． 【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，扇形面积的计算，勾股定理，圆周角定理，弧长计算，待定系数法求函数的解析式，正确地识别图形是解题的关键． 54．（24-25九年级上·山东日照·期中）（1）课本再现：如图1，是的两条切线，切点分别为A，B．则图中的与，与有什么关系？请说明理由． （2）知识应用：如图2，分别与相切于点A、B、C，且，连接，延长交于点M，交于点E，过点M作交于N． ①求证：是的切线； ②当时，求的半径及图中阴影部分的面积． ． 【答案】（1）；理由见解析；（2）①见解析；②半径为， 【分析】本题主要考查圆的切线的证明、扇形的面积计算等，解题的关键在于熟练掌握圆的知识点，切线的证明与性质，圆中的相关面积计算等． （1）.连接和，根据切线的性质，可得，即可得出结论； （2）①根据题意求证，即可得出，即可得出答案； ②根据，求出的长，再用三角形面积减去扇形面积即可得出答案． 【详解】解：（1）；理由如下： 如图1，连接和， ∵和是的两条切线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）①证明：∵分别与相切于点A、B、C， ∴分别平分， 又∵， ∴， ∴， ∴． ∴， 又∵， ∴， 又∵经过半径的外端点M， ∴是的切线． ②解：连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即的半径为． ∴， 综上所述：的半径为，图中阴影部分的面积是． 55．（2024·山东·中考真题）如图，在四边形中，，，．以点为圆心，以为半径作交于点，以点为圆心，以为半径作所交于点，连接交于另一点，连接． (1)求证：为所在圆的切线； (2)求图中阴影部分面积．（结果保留） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的性质和判定，圆的性质，扇形面积，等边三角形的性质等知识点，证明四边形是平行四边形是解题关键． （1）根据圆的性质，证明，即可证明四边形是平行四边形，再证明是等边三角形，再根据圆的切线判定定理即可证得结果． （2）先求出平行四边形的高，根据扇形面积公式三角形面积公式，平行四边形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：连接如图， 根据题意可知：， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴在以为直径的圆上， ∴， ∴为所在圆的切线． （2）过作于点， 由图可得：， 在中，，， ∴， ∴， 由题可知：扇形和扇形全等， ∴， 等边三角形的面积为：， ∴ 重难点15 阿氏圆问题 56．（2024年山东省泰安南关中学中考数学二模试题）如图，在中，，，，以为圆心，为半径作，为上一动点，连接、，则的最小值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，解直角三角形；懂得依题意作辅助线构造相似三角形是解题的关键．在上截取，使得，连接，，．利用相似三角形的性质证明，可得，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解：如图，在上截取，使得，连接，，． ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ， 在中，，，， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故选：C． 57．（2025·山东济南·一模）某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，进行了深入研究． （1）如图1，在中，D为上一点，．求证：． 【拓展探究】 （2）如图2，在菱形中，E，F分别为，上的点，且，射线交的延长线于点M，射线交的延长线于点N．若，．求的长； 【学以致用】 （3）如图3，在菱形中，，，以点B为圆心作半径为3的圆，其中点P是圆上的动点，请直接写出的最小值． 【答案】（1）见解析，（2），（3） 【分析】（1）由，，可得，进而有，根据比例的基本性质即可得出结论成立； （2）连接，由菱形可得，进而证明，得即可求出的长； （3）如图，过点D作垂直的延长线于点M，在上取一点Q，使得，连接，，先利用勾股定理求出，，再证明得出，从而得出即可得出最小值． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴． （2）解：连接， 在菱形中，， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， （3）解：如图，过点D作垂直的延长线于点M，在上取一点Q，使得，连接，， 菱形中，， ，， ， ， ， ， ，， ， ，，， ， ， ， ， ， 即， ， 最小值为 ． 【点睛】本题主要考查了圆的概念、三角形的两边之和大于第三边、勾股定理、相似三角形的性质和判定及菱形的性质，构造辅助线将求和的两条线段转入同一三角形中利用三角形的两边之和大于第三边求最小值是解题的关键． 58．（2025·广西梧州·二模）在中，，，，点是线段上的一个动点，以为直径作圆． (1)当时，如图1，求证：圆与相切； (2)如图2，连接，与圆相交于点，连接，请你求出的最小值并说明理由； (3)如图3，，若点是圆上的一个动点，且点在内，连接、，请你直接写出的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)最小值为，理由见解析 (3) 【分析】（1）过点O作与点，易证，求出，即可证明结论； （2）连接，取中点为，以为直径作圆弧交于点G，连接，易得点在上运动，当三点共线时，有最小值，利用勾股定理即可求解； （3）在上取点，使得，且位于点O上方，连接，证明，推出，当三点共线时，有最小值，即有最小值，最小值为的长，利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：过点O作与点， 在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点H在上，且， ∴圆与相切； （2）解：最小值为，理由如下： 连接，取中点为，以为直径作圆弧交于点G，连接， ∵， ∴， ∴点在上运动， 当三点共线时，有最小值， 此时，∵， ∴， ∴最小值为； （3）解：在上取点，使得，且位于点O上方，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当三点共线时，有最小值，即有最小值，最小值为的长， 此时，， ∴． 【点睛】本题主要考查点到圆上的最值问题，切线的判定，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，构造三角形相似是解题的关键． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 圆 1. 圆的定义 圆的定义[动态]：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O______________，另一个端点A所形成的图形叫做圆，其中，固定的端点O叫做______________，线段OA叫做______________. 圆的定义[静态]：将圆心O，半径r的圆看成是______________，所有到定点O的距离______________定长r的点的集合. 2. 与圆有关的概念 1）弦与直径 弦：连结圆上任意两点的______________叫做弦，如右图中的弦______________. 直径：经过______________的弦叫做直径，如右图中的直径______________. 2）弧、半圆 弧：圆上任意______________的部分叫做圆弧，简称弧.以为端点的弧记作，读作：“______________”或“______________”. 半圆：圆的任意一条______________的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆. 3）同圆、等圆、同心圆 同圆：______________相同，______________也相等的圆叫做同圆. 等圆：能够______________的两个圆叫做等圆. 同心圆：______________相同，______________不相等的两个圆叫做同心圆 4）圆心角与圆周角 圆心角：顶点在______________叫做圆心角，如图中的∠BOC 圆周角：顶点在______________，且两边都和圆______________的角叫做圆周角，如图中的∠BAC. 3. 圆的对称性 圆是______________，任何一条直径所在的直线都是圆的______________，圆有______________条对称轴.圆也是______________，圆心是它的______________.圆还具有______________不变性. 4. 垂径定理 1）垂径定理：______________于弦的直径平分弦，并且______________弦所对的两条弧. 2）垂径定理的推论 （1）______________的直径垂直于弦，并且______________弦所对的两条弧. （2）平分弦所对的一条弧的直径______________于弦，并且______________弦所对的另一条弧. （3）弦的垂直平分线经过______________，并且平分弦所对的______________. 5. 弧、弦、圆心角之间的关系 定理：在______________中，相等的圆心角所对的弧______________，所对的弦也______________. 推论：在______________中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量______________，那么它们所对应的其余各组量都______________. 6. 圆周角定理 1）圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的______________.（即：圆周角=） 2）圆周角定理的推论 推论1：同弧或等弧所对的圆周角______________. 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是______________；的圆周角所对的弦是______________. 7. 圆内接四边形的性质 1）圆内接四边形______________. 2）圆内接四边形的任意一个外角等于它的______________. 8. 点与圆的位置关系 9. 直线与圆的位置关系 10. 切线的性质与判定定理 切线的性质定理：圆的切线______________于经过切点的______________. 切线的判定定理：经过半径______________并且垂直于这条半径的______________是圆的切线. 11. 切线长定理 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长______________，这一点和圆心的连线______________两条切线的夹角. 12. 三角形的内切圆和三角形的外接圆 13. 正多边形与圆的相关计算 1）内角：正n边形的每个内角和为____________________________. 2）外角/中心角：正n边形的每个外角/中心角为______________. 3）周长：正n边形的周长____________________________. 4）面积：正n边形的面积____________________________. 5）正多边形的半径，边长和边心距之间的关系为____________________________ 6）正多边形的半径，边长和中心角之间的关系为______________ 7）正多边形的半径，边心距和中心角之间的关系为______________ 14. 弧长公式：______________ (n为圆心角的度数，R为圆的半径). 15. 扇形的面积公式：______________ (n为圆心角的度数，R为圆的半径)= ______________ (l是n°的圆心角所对的弧长). 16. 圆锥的侧面展开图及有关计算 设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，高为h （1）这个扇形的弧长为2πr； （2）； （3）____________________________ （4）=____________________________ （5）圆锥侧面展开图的圆心角度数为____________________________ 序号 错误 易错题型 注意 1 圆的相关概念混淆 1-5 理解圆的相关概念 2 遇到平行弦问题时未分类讨论 6-7 此类问题中两弦与圆心的相对位置往往不确定，需要分类讨论. 3 正多边形与圆的相关计算问题 8-14 正多边形的半径、边心距、边长的一半是一个直角三角形的三边长，与正多边形有关的计算常转化为解这个直角三角形，若未给出，则需要主动构造该直角三角形. 4 圆中的相关计算问题（弧长、扇形面积、圆锥相关计算） 15-20 求弧长或扇形的面积问题常结合圆锥考查，解这类问题只要抓住圆锥侧面展开即为扇形，而这个扇形的弧长等于原圆锥底面的周长，扇形的半径等于原圆锥的母线长，即2r=，来建立圆锥底面圆的半径r、圆锥母线R和侧面展开图扇形圆心角n°之间的关系. 1．（24-25九年级上·山东德州·期中）以下命题正确的是（   ） A．任何一条直径都是圆的对称轴 B．周长相等的圆是等圆 C．平分弦的直径垂直于弦 D．直径是圆上任意两点所连的线段 2．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）以下命题：（1）等弧所对的弦相等；（2）相等的圆心角所对的弧相等；（3）三点确定一个圆；（4）圆的对称轴是直径；（5）三角形的外心到三角形三边距离相等．其中正确的命题的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）下列说法中，正确的是（    ） A．半圆是弧，弧也是半圆 B．长度相等的弧是等弧 C．弦是直径 D．在一个圆中，直径是最长的弦 4．（22-23九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）有以下说法①在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等；②在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；③长度相等的弧是等弧；④直径是弦，弦是直径．其中说法错误的是（　　） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 5．（22-23九年级上·山东德州·期中）下列说法中，正确的个数为（　　） （1）在同圆或等圆中，弦相等则所对的弧相等； （2）优弧一定比劣弧长； （3）弧相等则所对的圆心角相等； （4）在同圆或等圆中，圆心角相等则所对的弦相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（2023九年级·全国·专题练习）在半径为10的中，弦，弦，且，则与之间的距离是 ． 7．（22-23九年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在圆中两条平行弦的长分别6和8，若圆的半径为5，则两条平行弦间的距离为 ． 8．（2025·山东威海·一模）已知正六边形内切圆的半径为，则正六边形的面积为（   ） A． B． C． D．6 9．（2025·山东聊城·二模）如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧的对应的弦构成一个正六边形，中心为点O，所在的圆的圆心C恰好是的内心． 若，则花窗的周长（图中实线部分的长度）为（   ） A． B． C． D． 10．（2025·山东枣庄·二模）刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，若用圆的内接正十二边形的面积来近似估计的面积S，设的半径为1，则的值为（    ）（） A．0.14 B．0.2 C．0.5 D．1 11．（2025·山东潍坊·一模）如图，五边形是的内接正五边形，是的直径，连接，交于点P，则的度数是（   ） A． B． C． D． 12．（2025·山东济宁·二模）如图，正六边形的两条对角线和相交于点O，则的值为 ． 13．（2025·河北保定·二模）光圈是相机镜头中一个可调节的开口，通过6片形状和大小相同叶片的闭合情况来影响中间正六边形的面积，达到控制进光量和景深的作用．如图，右图是一组不同通光量下叶片闭合情况的示意图，图中若的延长线恰好过点，圆的半径为，则叶片所占区域（阴影部分）的面积是 ． 14．（2025·山东青岛·二模）【探究建模】 （1）如图①，是正三角形，边长为，点是的中心点，点是内任意一点，点到各边距离分别为、、．连接，由等面积法，可得______；（结果用含的式子表示） 【类比应用】 （2）如图②，五边形是正五边形，边长为，点是的中心点，点是正五边形内任意一点，点到五边形各边距离分别为，则的值为______（结果用含的式子表示）． （3）正边形的边长为，点是正边形内任意一点，点到正边形各边距离分别为，则的值为______（结果用含和的式子表示）． 15．（2025·福建福州·模拟预测）物理实验课上，分组研究“定滑轮可以改变用力的方向，但不能省力”的课题时，小丽发现重物上升时，滑轮上点的位置在不断改变．已知滑轮的半径为，当滑轮上点转过的度数为时，重物上升了（  ） A． B． C． D． 16．（24-25九年级下·山东青岛·期末）如图所示，已知圆锥的母线长，底面圆的半径为，一只小虫从圆锥底面的点A处绕圆锥侧面一周又回到点A处．则小虫所走的最短路程为（    ） A． B． C． D． 17．（2025·山东潍坊·三模）已知圆锥的高为4，底面圆的半径为3，则该圆锥侧面展开图的面积是（   ） A． B． C． D． 18．（2025·山东东营·一模）如图，是某几何体的三视图及相关数据，则该几何体的侧面积是 （    ） A．12 π B．15 π C．20 π D．30 π 19．（24-25九年级下·湖南永州·阶段练习）图1中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到，，则图中摆盘的面积是 ．    20．（2025·山东济宁·三模）如图，将半径为8的圆形纸片剪掉4分之一，余下部分围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高是 ． 重难点01 利用垂径定理求解 1．（24-25九年级上·山东滨州·阶段练习）常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设小圆孔的宽口的长度是，测得钢珠顶端离零件表面的距离为，如图所示，则这个钢珠的直径为 ． 2．（24-25九年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，半径为的经过点，，则点的坐标为 ． 重难点02 垂径定理的实际应用 3．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以为直径的半圆O，，为水面截线，，为桌面截线，． (1)作于点C，求的长； (2)将图1中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了，求此时水面截线减少了多少？ 4．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽为，拱高为． (1)求桥拱的半径； (2)此桥的安全限度是拱顶点距离水面不得小于，若大雨过后，洪水泛滥到水面宽度为时，是否需要采取紧急措施？请说明理由． 5．（22-23九年级上·贵州黔南·阶段练习）高致病性禽流感是—种传染性极强的传染病． (1)养殖场有4万只鸡．假设有一只鸡得了禽流感，如果不采取任何措施，那么第二天将新增病鸡10只，到第三天又将新增病鸡100只，以后每天新增病鸡数依此类推，请问到第四天，共有多少只鸡得了禽流感？到第几天，所有的鸡都会感染禽流感？ (2)为防止禽流感蔓延，防疫部门规定：离疫点3千米范围内为捕杀区，所有的禽类全部捕杀；离疫点3~5千米范围内为免疫区，所有的禽类强制免疫；同时对捕杀区和免疫区的村庄，道路实行全封闭管理．现有一条笔直的公路通过禽流感病区．如图所示，O为疫点，到公路的最短距离为1千米，问这条公路在该免疫区内有多少千米？（结果保留根号） 6．（24-25九年级下·山东济宁·期中）综合与实践 探究主题：曲柄连杆与圆 探究背景：在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”． 探究任务1：第一小组受此启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图②，两个固定长度的“连杆”的连接点P在上，当点P在上转动时，带动点A，B分别在射线上滑动，．当与相切时，点B恰好落在上，如图③．请结合图形解答下列问题． (1)求证：； 探究任务2：第二小组用电脑作图工具进行动态模拟，某种在同一平面进行传动的机械装置设计，得到如图4，图5是它的示意图．说明其工作原理是：滑块Q在平直滑道l上可以左右滑动，在Q滑动的过程中，连杆也随之运动，并且带动连杆绕固定点O摆动．在摆动过程中，两连杆的接点P在以为半径的上运动．数学兴趣小组为进一步研究其中所蕴含的数学知识，过点O作于点H，并测得分米，分米，分米． 解决问题： (2)如图6，小明同学说：“当点Q滑动到点H的位置时，与是相切的．”你认为他的判断对吗？为什么？ (3)①小丽同学发现：“当点P运动到上时，点P到l的距离最小．”事实上，还存在着点P到l距离最大的位置，此时，点P到l的距离是 分米； ②当绕点O左右摆动时，所扫过的区域为扇形，求这个扇形面积最大时圆心角的度数． 重难点03 利用弧、弦、圆心角关系求解 7．（2025·河南郑州·一模）如图，点，，，在上，若，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，在中，是直径，C，D为上的点，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 9．（24-25九年级上·山东滨州·期末）如图，是的直径，，，点B为弧的中点，点P是直径上的一个动点，则的最小值为（    ） A．4 B．8 C． D． 10．（2025·江苏苏州·一模）如图，点A，B，C，D，E在上，D是的中点，．若，，则 °．    重难点04 利用圆周角定理及其推论求解 11．（2025·山东青岛·二模）如图，，是的直径，是的中点，连接，，，，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 12．（24-25九年级下·山东青岛·阶段练习）如图，是的直径，点A，C在上，，交于点G．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 13．（24-25九年级下·山东潍坊·期中）如图，为的直径，点，在上，与交于点，，，则的度数为 ． 14．（2025·山东潍坊·三模）如图，点E在边长为2的正方形内，且，点F是边的中点，点G是边上的一动点，连接，，则的最小值为 ． 重难点05 利用圆内接四边形的性质求解 15．（24-25九年级上·天津静海·期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 16．（2025·山东东营·中考真题）如图，四边形内接于，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 17．（24-25九年级下·山东烟台·期中）如图，、是的切线，A、B为切点，点C、D在上，连接．若，则的结果为 ． 18．（24-25九年级上·山东潍坊·期中）如图，在圆内接四边形中，，，，，延长，交于点E，则 ．    重难点06 点和圆的位置关系 19．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，在直角坐标系中，点O为坐标原点，一条圆弧经过，，三点，则下列说法正确的是（   ） A．这条圆弧所在圆的半径为 B．点在这条圆弧所在圆外 C．原点在这条圆弧所在圆上 D．这条圆弧所在圆的圆心为 20．（23-24九年级上·山东济宁·期中）如图，在中，，以A为圆心作一个半径为3的圆，下列结论中正确的是（   ） A．点B在内 B．直线与相离 C．点C在上 D．直线与相切 21．（2024·河北沧州·模拟预测）小明手中有几组大小不等的三角板，分别是含度，度的直角三角板．从中选择两个各拼成如图所示的图形，则关于两图中四个顶点，，，的说法，正确的是（    ） A．甲图四点共圆，乙图四点共圆 B．甲图四点共圆，乙图四点不共圆 C．甲图四点不共圆，乙图四点共圆 D．甲图四点不共圆，乙图四点不共圆 22．（22-23九年级上·江苏淮安·期末）是内一点，是上任意一点，若，则的半径为 ． 23．（24-25九年级下·上海普陀·阶段练习）在矩形中，与直线相切．如果与相交．且点在内，那么的半径长的取值范围为 ． 重难点07 点与圆的最值问题 24．（2023·四川泸州·二模）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，若点为抛物线上一点且横坐标为，点为轴上一点，点在以点为圆心，为半径的圆上，则的最小值 ． 25．（24-25九年级下·山东烟台·期中）如图，在矩形中，，现有一点在直线的左侧，且，则线段的最小值为 ． 26．（23-24九年级下·山东威海·期中）如图，在矩形中，，点P是矩形内一动点，连接，，，若，则的最小值为 ．    重难点08 直线和圆的位置关系 27．（24-25九年级上·重庆·期中）已知圆心到直线的距离为，的半径为，若、是方程的两个根，则直线和的位置关系是（   ） A．相切 B．相离 C．相交 D．相离或相交 28．（23-24九年级上·河南商丘·期末）如图，在中，，，点D为的中点，以2为半径作，则下列说法不正确的是（　　）    A．点A在圆外 B．点C在圆上 C．与直线相切 D．与直线相交 29．（23-24九年级下·上海崇明·期中）已知在中，，，，若以为圆心，长为半径的圆与边有交点，那么的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 30．（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，在直线上有相距5cm的两点和（点在点的右侧），以为圆心作半径为1cm的圆，过点作直线．将以的速度向右移动（点始终在直线上），则与直线在 秒时相切． 31．（23-24九年级上·山东济宁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，以OA为直径在x轴上方作半圆，直线l的解析式为，若直线l与半圆只有一个公共点，则t的值是 ． 重难点09 切线的判定与性质综合 32．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，是的直径，与相切于点，点是上一点，连接并延长交的延长线于点．连接、相交于点，延长交于点．若平分，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求及的长． 33．（24-25九年级下·山东菏泽·期中）如图，在的边上取一点O，以O为圆心，为半径画，与边相切于点D，． (1)求证：是的切线； (2)若，求． 34．（2024·湖北武汉·中考真题）如图，为等腰三角形，是底边的中点，腰与半圆相切于点，底边与半圆交于，两点． (1)求证：与半圆相切； (2)连接．若，，求的值． 35．（21-22九年级上·四川绵阳·阶段练习）已知：如图，在中，，E为上一点，是的角平分线，，长为半径作． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若，且，求的长． 重难点10 利用切线长定理求解 36．（2025·山东淄博·一模）如图，四边形是的外切四边形，且，，的半径，则四边形的面积为（   ） A．44 B．88 C．100 D．110 37．（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，直线、、分别与相切于点、、且，若，，则的半径等于（   ） A． B． C． D． 38．（24-25九年级上·广西钦州·期末）如图，⊙O的直径，和是它的两条切线，与相切于点E，并与，分别相交于D，C两点，设，，则y关于x的图象大致为（    ） A．B．C．D． 39．（2024·四川泸州·中考真题）如图，，是的切线，切点为A，D，点B，C在上，若，则（    ） A． B． C． D． 40．（24-25九年级上·江西赣州·期末）如图，是的切线，切点为A、B，，点D，C分别是上的点，平分的半径是6，设． (1)求证：是的切线； (2)求y关于x的函数解析式； (3)梯形的面积为，求的长． 重难点11 三角形内切圆与外接圆的综合 41．（24-25九年级上·天津河北·期中）如图，周长为的三角形纸片，小刚想用剪刀剪出它的内切圆，他先沿着与相切的剪下了一个三角形纸片，已知，则三角形纸片的周长是（　　） A． B． C． D． 42．（23-24九年级上·内蒙古·阶段练习）已知的三边长为3cm，4cm，5cm，则的内切圆半径和外接圆半径分别为（   ）cm A．1，2 B．1， C．2， D．2，2 43．（2024·四川南充·一模）如图，点是外接圆的圆心．点是的内心．连接．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 44．（21-22九年级上·山东潍坊·期中）如图，点I和O分别是的内心和外心，若，则的度数为 ． 45．（22-23九年级上·江苏盐城·期中）如图，I是的内心，的延长线交的外接圆于点D． (1)求证：； (2)求证：； (3)连接、，求证：点D是的外心． 重难点12 尺规作图问题 46．（24-25九年级下·山东青岛·自主招生）请用无刻度的直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹 如图，政府准备在A、B、C、D四个小区中间的空地建造一个圆形的中心公园M，要求在、、三条道路上各开一个门，请你帮忙划定中心公园M的范围． 47．（2025·山东滨州·二模）下图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，请只用无刻度的直尺在给定网格中按要求作图.（不写作法，保留作图痕迹） (1)在图1中，的三个顶点均在格点上，请确定的外心. (2)在图2中，请作出的角平分线，交于点. (3)若图2中的，则弧的长是_____. 48．（2025·河南周口·二模）如图，已知和点，按如下方式作图： ①连接，作线段的垂直平分线交于点； ②以点为圆心，长为半径作圆，交于点、； ③连接，交的垂直平分线于点． (1)请依据题意完成作图；（保留作图痕迹，不写作法） (2)①试判断与的位置关系，并给出证明； ②若，，求的长． 49．（2024·山西·中考真题）阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 关于“等边半正多边形”的研究报告 博学小组 研究对象：等边半正多边形 研究思路：类比三角形、四边形，按“概念﹣性质﹣判定”的路径，由一般到特殊进行研究． 研究方法：观察（测量、实验）﹣猜想﹣推理证明 研究内容： 【一般概念】对于一个凸多边形（边数为偶数），若其各边都相等，且相间的角相等、相邻的角不相等，我们称这个凸多边形为等边半正多边形．如图1，我们学习过的菱形（正方形除外）就是等边半正四边形，类似地，还有等边半正六边形、等边半正八边形… 【特例研究】根据等边半正多边形的定义，对等边半正六边形研究如下： 概念理解：如图2，如果六边形是等边半正六边形，那么，，，且． 性质探索：根据定义，探索等边半正六边形的性质，得到如下结论： 内角：等边半正六边形相邻两个内角的和为▲°． 对角线：… 任务： (1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容： ． (2)如图3，六边形是等边半正六边形．连接对角线，猜想与的数量关系，并说明理由； (3)如图4，已知是正三角形，是它的外接圆．请在图4中作一个等边半正六边形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 重难点13 直线与圆的最值问题 50．（24-25九年级上·辽宁盘锦·期末）二次函数与x轴的正半轴交于点A，与y轴交于点B，以点为圆心半径为1的上有一动点D，则面积的最小值为 ． 51．（2021·福建龙岩·二模）直线与轴、轴分别交于A和B点，圆心为（0，2）且与轴相切的圆上有一动点P，则点P到直线AB的距离的最小值为 ． 重难点14 计算不规则图形面积 52．（2025·山东泰安·模拟预测）如图，已知中，，与切于点，与、分别交于点、，与的延长线交于点，连接、，延长交于点，已知． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若的半径为，求图中阴影部分的面积．(结果保留π) 53．（2025·河南南阳·二模）如图，反比例函数的图象经过点，连接并延长交反比例函数的图象于点，以为对角线作正方形，以为直径画弧． (1)求反比例函数的表达式； (2)求的长度； (3)请直接写出阴影部分的面积． 54．（24-25九年级上·山东日照·期中）（1）课本再现：如图1，是的两条切线，切点分别为A，B．则图中的与，与有什么关系？请说明理由． （2）知识应用：如图2，分别与相切于点A、B、C，且，连接，延长交于点M，交于点E，过点M作交于N． ①求证：是的切线； ②当时，求的半径及图中阴影部分的面积． ． 55．（2024·山东·中考真题）如图，在四边形中，，，．以点为圆心，以为半径作交于点，以点为圆心，以为半径作所交于点，连接交于另一点，连接． (1)求证：为所在圆的切线； (2)求图中阴影部分面积．（结果保留） 重难点15 阿氏圆问题 56．（2024年山东省泰安南关中学中考数学二模试题）如图，在中，，，，以为圆心，为半径作，为上一动点，连接、，则的最小值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 57．（2025·山东济南·一模）某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，进行了深入研究． （1）如图1，在中，D为上一点，．求证：． 【拓展探究】（2）如图2，在菱形中，E，F分别为，上的点，且，射线交的延长线于点M，射线交的延长线于点N．若，．求的长； 【学以致用】（3）如图3，在菱形中，，，以点B为圆心作半径为3的圆，其中点P是圆上的动点，请直接写出的最小值． 58．（2025·广西梧州·二模）在中，，，，点是线段上的一个动点，以为直径作圆． (1)当时，如图1，求证：圆与相切； (2)如图2，连接，与圆相交于点，连接，请你求出的最小值并说明理由； (3)如图3，，若点是圆上的一个动点，且点在内，连接、，请你直接写出的最小值． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $