1.4点到直线的距离（题型专练）数学沪教版2020选择性必修第一册

学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.4点到直线的距离 题型一两点间的距离 题型二点到直线的距离 题型三点到直线的距离求参数 题型四直线上的点到定点距离最值问题 题型五到两点距离相等问题 基础达标题 题型六点关于直线的对称点 题型七求两点的对称轴 点到直线的距离 题型八反射光线问题 题型九平行线间的距离 题型十面积问题 题型一最值取值范围问题 能力提升题 题型二和差最值问题 题型三新定义问题 拓展培优题 基础达标题 题型一两点间的距离 1.平面上A(2,1)、B(3,2)两点的距离是 2.己知点A(2,4),B(5,4,那么A,B两点之间的距离等于 3.(2324高二上·上海奉贤区四校联考·期中)设复数-V5+2和复数2+V5i在复平面上分别对应点A和点B, 则A,B两点间的距离为」 题型二点到直线的距离 1.(24-25高二下·上海向东中学)已知直线的法向量为元=(1，-2)，且经过点P(2,0),则原点0到的距离为 1/8 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A. 8. C.25 0. 2.(24-25高二下.上海青浦区·调研)点(2,3)到直线x+y+2=0的距离为 3.(24-25高二下·上海宝山区海滨中学.期中)点P(2,-1)到直线x+y=3的距离为 4.(24-25高一下.上海奉城高级中学.期中)已知△ABC的三个顶点A、B、C的坐标分别为(1,2)、(2,3)、 (3,7),则此三角形的面积为一 5.(24-25高二下.上海高境第一中学.月考)点A(1,-V3到直线xcos0+ysin0=1的距离的最大值是 题型三点到直线的距离求参数 1.(24-25高二上·上海复旦中学·月考)直线过点P(-4,3),且原点与距离为5，则直线的方程为 2.(24-25高二上·上海华东师范大学第二附属中学)过点P(2,23且和原点距离是2的直线方程是 3.(23-24高二下.上海行知中学.月考)已知直线：x+y-3=0,点M(3,m)到直线的距离等于V2,则m= 4.(23-24高二下.上海七宝中学·月考)根据下列条件，分别求直线的方程 (1)直线经过点B(2,1),且与直线5x+2y+3=0的夹角等于45 (2)经过l1:2x+y-5=0与l2x-2y=0的交点，且点A(5,0)到直线的距离为3 题型四直线上的点到定点距离最值问题 1.己知点A(0,1),点B在直线x+y=0上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为() A.(-2 B.- c.(-1,1) D.（- 2.己知点P是直线3x-4y+2=0上任意一点，求点P与点A(3,-1)之间距离的最小值 3.(24-25高二下.上海松江一中.月考)已知点P(-3,-1)和直线：(1+2)x+(1-3)y+1-2=0,则点P 到直线1的距离最大值为· 4.(24-25高三下.上海延安中学平面直角坐标系中，点A(2,1),P是直线2x+y一7=0上的动点，则AP|的 最小值为 5.(24-25高二上·上海七宝中学期中)直线的方程为(1+2)x+(21-1)y+(1-3)=0(1∈)，当原点0到 直线的距离最大时，的值为一· 6.(23-24高二下·上海建平世纪中学·)对任意的实数入，原点0(0,0)到直线(2+)x一(1+)y-2(3+2)=0 的距离d的取值范围为 7.(23-24高二上·上海奉贤中学·期中)已知直线1：(a+3)x+y一5=0，则原点到直线1的距离的最大值 2/8 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 是 题型五到两点距离相等问题 1.已知A(-3,一4)，B(6,3)两点到直线1：ax+y+1=0的距离相等，则a的值为() A. 8.-g c.-3或- D.或- 2.(25-26高二上·上海新中高级中学)已知△ABC的三个顶点是A(-2,0),B(0,-3),C(2,1) (1)求BC边上的高所在直线的一般式方程； (2)若直线过点C,且点A,B到直线的距离相等，求直线的方程， 3.(23-24高二上·上海奉贤中学.期中)已知A(1,1),B(2,3),C(3,2) (1)求△ABC边BC上的高所在直线的一般式方程； (2)直线1经过点A,且点B、点C到直线1的距离相等，求直线1的一般式方程 4.(22-23高二上·上海育才中学.期末)已知A(1,3),B(5,7) (1)求线段AB垂直平分线所在直线方程 (2)若直线过(-1,0)，且A、B到直线距离相等，求方程 题型六点关于直线的对称点 1.(24-25高二下.上海风华中学月考)点P(2,-3)关于直线y=x+1的对称点为() A.(-3,4) B.（-4,-3) C.(-4,3) D.(-3,-4) 题型七求两点的对称轴 1.(24-25高二上上海交通大学附属中学期末)将一张坐标纸折叠一次，使点(2,0)与点(1,1)重合，此时点(m,) 与原点(0,0)重合，则m·n的值是. 2.己知点P(a,b)与点Q(b+1,a-1)关于直线对称，则直线的方程是() A.y=x-2 B.y=x+2 C.y=x+3 D.y=x-1 3.(24-25高二下·上海音乐学院附属安师实验中学)将一张坐标纸折叠一次，使点(3,2)与点(1,4)重合，则折 痕所在直线的一般式方程为 题型八反射光线问题 1.(24-25高二上·上海华东师范大学第二附属中学)直线'经过点P(2,1),在下列条件下，求直线的方程 ()直线/r与直线1x+2y+1=0的夹角为acos写 (2)经过直线'的光线被直线：2x-y+1=0反射，反射光线经过点Q(3,4. 3/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2.(24-25高二下.上海宝山区上海大学附属中学.月考)在等腰直角△ABC中，AB=AC=6,点P是边AB上异 于端点的一点，光线从点P出发经BC、CA边反射后又回到点P,若光线QR经过△ABC的重心，则△PQB的 面积等于() 0 R B P A.9 B.4 c.5 D.9 3.(25-26高二上·上海新中高级中学)一条光线经过点A(2,3)射到直线x+y+1=0上，被反射后经过点B(1,0), 则入射光线所在直线的方程为 4.(24-25高二上·上海南洋模范中学.月考)已知直线l:2x-5y+3=0,1:y=-1,直线1与l1交于点A (1)求过点A且与垂直的直线'的方程； (2)点B是直线L1上异于A的一点，若l为∠BAC的角平分线，求点C所在的直线l2的方程 5.如图，己知A(6,6W3,B(0,0),C(12,0),直线l:(k+3x-y-2k=0. (1)求直线经过的定点坐标： (2)若P(2,23,李老师站在点P用激光笔照出一束光线，依次由BC(反射点为K)、AC(反射点为I)反射后， 光斑落在P点，求入射光线PK的直线方程， 6,(23-24高二上·上海东昌中学.月考)在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4,点P是边AB上异于A,B的一 点，光线从点P出发，经BC,CA反射后又回到原点P,光线QR经过△ABC的重心G.以点A为坐标原点，以AB 为x轴(AB为正方向)，建立平面直角坐标系， 4/8 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)求△ABC的重心G的坐标，及点P的坐标； (2)求△PQR的周长， 题型九平行线间的距离 1.(24-25高二下.上海杨浦区·期中)已知直线l1:x+my-2=0与直线l2:mx+y+2=0平行，其中m∈ R,则直线l1与2之间的距离等于 2.(24-25高一上·上海复旦大学附属复兴中学期末)已知平行直线l1x-2y-7=0和l2x-ay-b=0的距离 为，则b= 3.(24-25高二下.上海格致中学)设直线l1mx+3my-6=0与l2:(4-m)x+my+m2-4m=0. (1)若l1/儿2，求1、l2之间的距离； (2)当直线l2与两坐标轴正半轴围成的三角形的面积最大时，求的值. 4.(24-25高一上·上海嘉定区中光高级中学.期中)设a、m∈R,直线1：ax-y-m=0,直线l2:2x-y-4= 0,记点P为l2与x轴的交点. (1)若直线1与2平行，且1与12的距离为5，求m的值： (2)若直线1经过点P,且与两坐标轴的正半轴所围成的三角形的面积为4，求1的方程， 5.(24-25高二上·上海海洋大学附属大团高级中学)已知a为实数，设直线l1:(a+3)x+2y+2=0,2: 2x+ay+(3a-2)=0. (1)若l11l2,求a的值； (2)若l1l2,求l1与l2的距离 题型十面积问题 1.(24-25高二下.上海杨浦高级中学期中)在平面上的线段及点P,在上取一点Q,线段PQ长度的最小值称 为点P到线段的距离，记作d(P,).设是长为2的线段，则点集D={P|d(P,)≤1所表示图形的面积是 2.(24-25高二下·上海青浦高级中学·期中)在直角坐标平面x0y中，已知两定点F1(-2,0)与F2(2,0),F1,F2 到直线的距离之差的绝对值等于2√2，则平面上不在任何一条直线上的点组成的图形面积是 5/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3.如图，射线0A、OB所在直线的方向向量分别为d1=(1,k),d2=(1,-k)(k>0),点P在LA0B内， PM⊥OA于M,PN⊥OB于N. )若k=1,P(,》,求OM的值： (2)若P(2,1),△0MP的面积是，求k的值. B 能力提升题 题型一最值取值范围问题 1.(24-25高二上·上海华东师范大学第二附属中学·)已知(m,n)为直线x+y-1=0上的一点，则Vm2+n2+ V(m+2)2+(n-1)2的最小值为() A.2V3 B.V10 C.4 D.3 2.2,23高=下上海交通大学附属中学闲行分校，月考)已知实数a>0,b<0,则，品的取值范围是 3.(23-24高一下·上海七宝中学·开学考)对任意x,yE[0,+∞)，且x≠y,不等式Vx+c-Vy+cl<|x-y川 恒成立，则实数c的取值范围为一 题型二和差最值问题 1.(23-24高二上·上海华东师范大学第二附属中学期中)已知x,y为实数，代数式1+y-2)2+ √4+(2-x)2+Vx2+y2的最小值是· 2.(24-25高二下.上海第八中学.)已知实数a,b,c,d满足3a-4b+3=0,3c-4d-7=0,则(a-c)2+ (b-d)2的最小值为() A.1 B.2 C.3 D.4 3.(24-25高二上·上海财经大学附属北郊高级中学.期中)已知点P(α，b)在直线x一y=0上，则 √a2+b2-2a+2b+2+V(a-2)2+b2的最小值为() 6/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.V5 B.V10 c.2W5 D.2√10 4.(24-25高二下.上海格致中学)已知点P(x,y)在直线x-2y+8=0上，则Vx2+y2-4x+4+ Vx2+y2+4x+4的最小值为() A.4 B.6 C.8 D.10 5.(24-25高一下.上海交通大学附属中学.期末)平面上有三点A(-1,1),B(2,1),C(0,4到直线ax+by+c=0 (a、b不全为0)距离之和的最小值为 6.(24-25高二上·上海奉贤中学·)已知点A(-2,-3),在y轴和直线y=x上各取一点B、C,则△ABC的周长 最小值为 7.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有 趣的数学问题一一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营， 怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为A(一3,0)，若将军从山脚下的点 B(-1,1)处出发，河岸线所在直线方程为x+y=1,则“将军饮马”的最短总路程为 题型三新定义问题 1.(24-25高二上·上海南洋中学新定义：如图，圆1与直线a相离，过圆心1作直线a的垂线，垂足为H,交圆 I于P、Q两点(Q在P、H之间)，我们把点Q称为圆I关于直线a的"近点”，把PQ1·HQI的值称为圆I关于直线 a的“秘钥数”根据新定义解决问题：在平面直角坐标系xOy中，直线经过点M(8,3),点F是坐标平面内一点， 以F为圆心，1为半径作圆F.若⊙F与直线相离，点N(2,0)是圆F关于直线的“近点”，且圆F关于直线的“秘 钥数”是6，则直线的表达式为一· 2.(24-25高二上·上海交通大学附属中学期中)平面直角坐标系中的点集Ω= {(x,y)Ixcost6+ysin0=4+sin0+2cos0,0∈R},则集合2中任意一点到坐标原点距离的最小值为 拓展培优题 1.(23-24高二上·上海华东师范大学第二附属中学.期末)已知直线l1mx-y+m=0,l2x+my一m(m+1) =0,3:(m+1)x-y+(m+1)=0,三条直线围成△ABC,则当△ABC面积取得最大时m的值为 2.(24-25高二上上海奉贤中学，在平面直角坐标系中，已知动点P(a,b)到两直线l1:y=2与l2y=-之x+1 7/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 的距离之和为5，则+的取值范围是 3.(24-25高二上·上海晋元高级中学期中)直线y=2x+4绕其与x轴的交点顺时针旋转45°所得的直线方程为 ,则原点(0,0)到的距离为 4.(24-25高二上·上海师范大学附属中学，)已知从点A(6,1)射出的光线经直线x+y+1=0上的点M反射后经 过点B(3,2).则|AM+1BM川= 5.(23-24高二上上海行知中学期末)已知直线的领斜角为a,c0sa=号， 且这条直线经过点A(√3,2) (1)求直线的方程： (2)直线kx-y+1-V3k=0恒过定点B,求点B到直线的距离. 6.(24-25高二上·上海闵行六校期末)如图，将一块三角形的玉石AB0置于平面直角坐标系中，己知A0=|AB引 =V5,0B=2,点P(1,1),图中阴影三角形部分为玉石上的瑕疵，为了将这块玉石雕刻成工艺品，要先将 瑕疵部分切割掉，可沿经过点P的直线MN进行切割. V (1)求直线MN的倾斜角a的取值范围 (2)是否存在直线MN,使得点A关于直线MN的对称点在线段AB上？ (3)设玉石经切割后剩余部分的面积为S,求S的取值范围， 7.若恰有三组不全为0的实数对(a,b)满足关系式2a+b+3=|5a-3b+3引=tWa2+b2,求实数t的所 有可能的值 8.己知点A(-1,0)和点B关于直线1：x+y一1=0对称.若直线1过点B,且使得点A到直线l1的距离最 大，求直线1的方程. 8/8 1.4点到直线的距离 题型一 两点间的距离 1．平面上、两点的距离是 . 【答案】 【分析】根据两点距离公式即可求解. 【详解】, 故答案为： 2．已知点，，那么两点之间的距离等于 . 【答案】3 【分析】利用平面内两点间的距离公式直接计算作答. 【详解】因为点，，则，所以两点之间的距离等于3. 故答案为：3. 3．(23-24高二上·上海奉贤区四校联考·期中)设复数和复数在复平面上分别对应点和点，则两点间的距离为 ． 【答案】 【分析】根据复数对应的点，应用两点间距离公式求解即可. 【详解】复数对应点,复数对应点， 则. 故答案为：. 题型二 点到直线的距离 1．(24-25高二下·上海向东中学·)已知直线的法向量为，且经过点，则原点到的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由直线点法式得直线方程，结合点到直线的距离公式即可求解. 【详解】根据题意，直线的法向量为， 所以直线的方程为， 即， 则原点到的距离. 所以选：C. 2．(24-25高二下·上海青浦区·调研)点到直线的距离为 . 【答案】 【分析】利用点到直线的距离公式直接求解. 【详解】 故答案为： 3．(24-25高二下·上海宝山区海滨中学·期中)点到直线的距离为 ． 【答案】 【分析】由点到线的距离公式即可求解. 【详解】点到直线的距离为， 故答案为： 4．(24-25高一下·上海奉城高级中学·期中)已知的三个顶点、、的坐标分别为、、，则此三角形的面积为 . 【答案】 【分析】先求的方程，再求A到直线的距离，再求的面积. 【详解】由直线方程的两点式得直线的方程为， 即，由两点间距离公式得， 设点A到的距离为d，即为边上的高，， 则的面积为 . 故答案为：. 5．(24-25高二下·上海高境第一中学·月考)点 到直线的距离的最大值是 【答案】3 【分析】先根据点到直线距离公式求距离，再根据三角函数性质求最大值. 【详解】因为点 到直线的距离为， 又， ，， 因此当时，取最大值，且， 故答案为：3. 题型三 点到直线的距离求参数 1．(24-25高二上·上海复旦中学·月考)直线过点，且原点与距离为5，则直线的方程为 . 【答案】 【分析】对直线的斜率分类讨论，利用点斜式设出直线的方程，利用点到直线的距离公式求解即可. 【详解】当直线的斜率不存在时，直线方程为,则原点到其距离为4，不成立； 当直线的斜率存在时，设为，则直线的方程为，即， 根据点到直线的距离公式，直线到点的距离为： ， 依题意，，即，，， 解得，因此直线的方程为，即. 故答案为：. 2．(24-25高二上·上海华东师范大学第二附属中学·)过点且和原点距离是2的直线方程是 . 【答案】或 【分析】通过斜率存在、不存在两类情况讨论即可. 【详解】依题意，当斜率不存在时，直线方程为：，此时原点到直线的距离为2，满足题意， 当斜率存在时， 所以设直线方程为，即，又原点到直线的距离等于2， 所以，解得． 所以直线方程为或． 故答案为：或． 3．(23-24高二下·上海行知中学·月考)已知直线，点到直线的距离等于，则 【答案】 【分析】利用点到直线的距离公式，列式计算即得. 【详解】依题意，，所以. 故答案为： 4．(23-24高二下·上海七宝中学·月考)根据下列条件，分别求直线的方程 (1)直线经过点，且与直线的夹角等于 (2)经过与的交点，且点到直线的距离为3 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）先根据直线的夹角公式求出直线的斜率，再写出直线的点斜式方程，化简即得所求直线的方程. （2）先求出两直线的交点，再结合点到直线的距离公式分类求解方程. 【详解】（1）设所求直线的斜率为，又直线的斜率为， 由题意得，解得，， 直线经过点， 直线的方程为或， 即或. （2）联立，解得，可得两条直线的交点为． 由点到直线的距离为3，直线可为． 直线的斜率存在时，设方程为：，即， 则，解得， 直线的方程为，即， 综上可得直线的方程为：或． 题型四 直线上的点到定点距离最值问题 1．已知点，点B在直线上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点的坐标是，则线段AB垂直直线时，线段AB最短，根据两直线垂直的斜率关系即可求解. 【详解】因为点在直线上运动， 所以可设点的坐标是， 当线段AB垂直直线时，线段AB最短， 由直线得其斜率为-1， 则，得， 所以的坐标是. 故选：A 2．已知点是直线上任意一点，求点与点之间距离的最小值． 【答案】3 【分析】依题意可知，当与直线垂直时点与点之间距离的最小，求出点到直线的距离即可. 【详解】根据题意画出图象如下图所示：    易知当与直线垂直时，点与点之间距离的最小； 其余位置如，则； 所以最小值即为点到直线的距离， 所以，点与点之间距离的最小值为3. 3．(24-25高二下·上海松江一中·月考)已知点和直线，则点P到直线l的距离最大值为 ． 【答案】 【分析】先求得直线的定点，分析可得时，点到直线的距离最大，进而求解即可. 【详解】由， 即， 令，解得，则直线恒过定点， 当时，点到直线的距离最大， 此时最大距离为. 故答案为：. 4．(24-25高三下·上海延安中学·)平面直角坐标系中，点是直线上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】当与直线垂直时，点与动点P之间距离|AP|有最小值，通过计算点A到直线的距离即可求解. 【详解】已知直线方程为，点， 根据点到直线的距离公式，代入得到： 因此，点到直线的最短距离即|AP|的最小值为. 故答案为：. 5．(24-25高二上·上海七宝中学·期中)直线的方程为，当原点O到直线的距离最大时，的值为 ． 【答案】 【分析】整理直线方程，建立方程组，求其定点的坐标，结合直线垂直的斜率公式，可得答案. 【详解】由，整理可得， 令，解得，则直线过定点， 易知当时，原点到直线的距离最大，显然此时斜率都存在， 直线的斜率，直线的斜率， 由，则，解得. 故答案为：. 6．(23-24高二下·上海建平世纪中学·)对任意的实数，原点到直线的距离的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据直线系方程先求解出直线所过的定点，然后考虑直线经过点、与定点的连线垂直直线，由此确定出的取值范围. 【详解】直线的方程可化为， 令，解得，所以直线过定点， 当直线经过时，此时，即，故， 当直线与垂直时，此时取最大值，下面证明： 当与直线垂直时，记直线为， 当不与直线垂直且直线不经过时，记直线为， 过作交于点，如下图所示， 由图可知：为直角三角形且为斜边，所以， 所以取最大值时，与直线垂直，故， 但此时的方程为，即为， 此时无论取何值都无法满足要求，故取不到， 所以， 故答案为：. 7．(23-24高二上·上海奉贤中学·期中)已知直线l：，则原点到直线l的距离的最大值是 ． 【答案】5 【分析】求出动直线所过定点，可知原点与定点的距离即为所求. 【详解】直线l：可化为， 当时，即时方程恒成立， 所以直线l恒过定点， 所以当直线l与垂直时，原点到直线的距离最大，最大值为. 故答案为：5 题型五 到两点距离相等问题 1．已知，两点到直线l：的距离相等，则a的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】法一：由点线距离公式列方程求参数值；法二：两点到直线的距离相等，则直线与两定点所在直线平行，或直线过以两定点为端点的线段的中点，列方程求参数值. 【详解】法一：因为点，到直线l：的距离相等， 所以，即， 化简得，解得或； 法二：若，由，，得直线AB的斜率为，又直线l的斜率为，故； 若在两侧，线段AB的中点，代入直线l：，得，则． 经检验，或均符合题意. 故选：C 2．(25-26高二上·上海新中高级中学·)已知的三个顶点是，，. (1)求边上的高所在直线的一般式方程； (2)若直线过点，且点，到直线的距离相等，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据垂直关系得到边上的高所在直线的斜率，然后根据点斜式求直线方程即可； （2）分斜率存在和斜率不存在两种情况考虑即可. 【详解】（1）由，可得， 故边上的高所在直线的斜率为，直线又经过点， 故方程为，即. （2）当直线斜率不存在时，此时直线为，，到直线的距离分别为4和2，不符合题意， 当直线斜率存在时，设直线方程为，即 此时，到直线的距离相等，则， 化简得，解得或， 故直线方程为或， 即或. 3．(23-24高二上·上海奉贤中学·期中)已知，，. (1)求边BC上的高所在直线的一般式方程； (2)直线l经过点A，且点B、点C到直线l的距离相等，求直线l的一般式方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由得到边上高线所在直线的斜率，进而由点斜式求出直线方程，化为一般式即可； （2）设出直线方程，利用点到直线距离公式列出方程，求出直线的斜率，从而求出直线方程. 【详解】（1）因为，，所以， 所以边上高线所在直线的斜率为，所以所求直线的方程是，即. （2）由题意得直线l斜率存在，设直线方程为，即， 因为，到直线l距离相等，所以，解得或， 所以直线方程为或， 即直线l的一般式方程为或. 4．(22-23高二上·上海育才中学·期末)已知， (1)求线段垂直平分线所在直线方程 (2)若直线过，且、到直线距离相等，求方程 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）由题可得的中点坐标，再根据互相垂直的直线斜率之间的关系及点斜式方程即得； （2）根据点到直线距离公式结合条件即得. 【详解】（1）因为点，． 所以线段的中点坐标为，直线的斜率为， 因此直线的中垂线的斜率为， 因此线段的垂直平分线所在直线方程为， 即； （2）因为直线过点，，， 当直线的斜率不存在时，显然不合题意， 设直线的方程为，即， 所以，解得或， 所以直线的方程为或. 题型六 点关于直线的对称点 1．(24-25高二下·上海风华中学·月考)点关于直线的对称点为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设点关于直线的对称点为，列出方程组，即可求解. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则满足，解得，即. 故选：C. 题型七 求两点的对称轴 1．(24-25高二上·上海交通大学附属中学·期末)将一张坐标纸折叠一次，使点与点重合，此时点与原点重合，则的值是 . 【答案】 【分析】折痕为点与点的中垂线，得方程，再根据点与原点对称可得答案. 【详解】如图：可知折痕为点与点的中垂线， 中点坐标为， 设折痕直线的斜率为，则，得， 故折痕直线方程为，即， 由题意点与原点关于折痕对称， 故得，故. 故答案为： 2．已知点与点关于直线对称，则直线的方程是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据，求出，设直线方程为，然后求出中点坐标，代入直线方程，解出即可. 【详解】 因为直线的斜率为,所以直线的斜率为1,设其方程为, 因为线段的中点坐标为, 所以,解得， 所以直线的方程是. 故选：D. 3．(24-25高二下·上海音乐学院附属安师实验中学·)将一张坐标纸折叠一次，使点与点重合，则折痕所在直线的一般式方程为 . 【答案】 【分析】利用折痕所在直线与两点连线垂直可得所求直线斜率，利用中点在折痕所在直线上可得所求直线方程. 【详解】点与点连线斜率，折痕所在直线斜率， 又点与点的中点为， 折痕所在直线方程为：，即. 故答案为：. 题型八 反射光线问题 1．(24-25高二上·上海华东师范大学第二附属中学·)直线经过点，在下列条件下，求直线的方程 (1)直线与直线的夹角为. (2)经过直线的光线被直线反射，反射光线经过点. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）由题意可设出该直线的法向量，即可得其方程，再利用向量夹角公式计算即可得； （2）设出点关于直线对称的点为，则在直线上，计算出后，借助待定系数法计算即可得解. 【详解】（1）设直线的一个法向量为，其中不同时为， 则的方程为：， 由直线与直线的夹角为， 则有，化简得    ， 则或，此时， 当时，由可得， 当时，由可得， 即； 故直线的方程或； （2）设点关于直线对称的点为， 则有，解得，即， 由题意可得点在直线上， 设直线为，则有，解得， 即直线为，即. 2．(24-25高二下·上海宝山区上海大学附属中学·月考)在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经、边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的面积等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立直角坐标系，设点P的坐标，可得P关于直线BC的对称点的坐标， 和P关于y轴的对称点的坐标，由四点共线可得直线的方程， 由于过三角形的重心，代入可得关于a的方程，解得P的坐标， 即可求得PB的长和直线方程，进而求得面积. 【详解】    建立直角坐标系，可得,故直线BC的方程为， 则三角形的重心为，即， 设,其中，则点P关于直线BC的对称点， 满足，解得，即， 易得P关于y轴的对称点，由光的反射原理可知四点共线， 直线的斜率为，故直线的方程为， 由于直线过三角形的重心，代入得， 化简得或（舍去），故,,,直线的方程为, 联立,解得,即点Q的坐标为, 则三角形的面积， 故选：A 【点睛】关键点点睛：根据题干设出点P 的坐标，根据对称性和光的反射原理可知 四点共线，进而求出点的坐标，和直线的方程，进而求出点Q的坐标，即可求得结果. 3．(25-26高二上·上海新中高级中学·)一条光线经过点射到直线上，被反射后经过点，则入射光线所在直线的方程为 . 【答案】 【分析】先根据点关于直线对称得出，求的斜率，最后结合点斜式写出直线方程即可. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，解得，所以． 又点的坐标为，所以，直线的方程为， 由对称性可知，直线即为入射光线，所以化简得入射光线所在直线的方程为． 故答案为： 4．(24-25高二上·上海南洋模范中学·月考)已知直线：，：，直线与交于点 (1)求过点且与垂直的直线的方程； (2)点是直线上异于的一点，若为的角平分线，求点所在的直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出，再写出点斜式方程即可； （2）取点，求出其关于直线的对称点坐标，再利用点斜式方程即可. 【详解】（1）令，则，解得， 则，因为直线的斜率，则， 则直线的方程为，即. （2）取点，设其关于直线的对称点， 则，解得. 则点所在的直线的方程，即.    5．如图，已知，，，直线：． (1)求直线经过的定点坐标； (2)若，李老师站在点用激光笔照出一束光线，依次由（反射点为）、（反射点为）反射后，光斑落在点，求入射光线的直线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分离参数，列方程可得直线过定点； （2）分别求点关于直线与的对称点与，进而可得，再根据对称性可得，即可得直线方程. 【详解】（1）由直线：，即， 令，解得， 故直线恒过定点； （2）设关于的对称点，则， 关于的对称点， 由直线的方程为，即， 所以，解得， 所以， 由题意得、、、四点共线，， 由对称性得， 所以入射光线的直线方程为， 即． 6．(23-24高二上·上海东昌中学·月考)在等腰直角三角形中，，点是边上异于的一点，光线从点出发，经反射后又回到原点，光线经过的重心．以点为坐标原点，以为轴（为正方向），建立平面直角坐标系． (1)求的重心的坐标，及点的坐标； (2)求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立坐标系，确定三角形顶点坐标，即可求得重心的坐标；设，关于直线的对称点分别设为，表示出的坐标，根据光线反射原理可知共线，结合重心坐标即可求得点的坐标； （2）根据对称知识可知的周长即为，利用两点间距离公式可求得答案. 【详解】（1）如图所示： 以为坐标原点，以为轴建立平面直角坐标系， 则， 故的重心的坐标为，即； 设，关于直线的对称点分别设为， 则，设， 直线的方程为，则 解得，即， 由光的反射原理可知共线，且光线经过的重心， 故，解得或（舍去）， 故点的坐标为. （2）由（1）可得，所以即为，即为， 由题意可知， 故的周长为. 题型九 平行线间的距离 1．(24-25高二下·上海杨浦区·期中)已知直线：与直线：平行，其中，则直线与之间的距离等于 ． 【答案】 【分析】利用两条直线平行的条件求出，再利用平行线间的距离公式计算得到所求距离. 【详解】由题意，直线，则且，所以. 所以：与直线：之间的距离. 故答案为：. 2．(24-25高一上·上海复旦大学附属复兴中学·期末)已知平行直线和的距离为，则 . 【答案】6或8 【分析】根据直线平行求出，再由平行线间的距离求出. 【详解】因为直线和平行， 所以， 又，解得或， 故答案为：6或8 3．(24-25高二下·上海格致中学·)设直线与. (1)若，求、之间的距离； (2)当直线与两坐标轴正半轴围成的三角形的面积最大时，求的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由直线平行的判定列方程求参数，再由平行线的距离公式求距离； （2）根据已知可得，再由三角形面积公式有，即可确定面积最大时的值. 【详解】（1）由，则，化简得，可得或， 当时，不成立， 当时，，， 此时之间的距离为. （2）直线与两坐标轴的正半轴围成三角形，，则， 与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积为， 当时，有最大. 4．(24-25高一上·上海嘉定区中光高级中学·期中)设，直线，直线，记点P为与x轴的交点． (1)若直线与平行，且与的距离为，求m的值； (2)若直线经过点P，且与两坐标轴的正半轴所围成的三角形的面积为4，求的方程． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）先根据两直线平行得出，再根据平行线间距离公式计算求出参数； （2）先求出点以及截距，进而计算面积得出参数值，即可求出直线方程. 【详解】（1）因为直线，直线，直线与平行， 所以且， 因为与的距离为，所以，所以或. （2）直线，与x轴的交点， 因为直线经过点P，所以，即. 直线，令，则， 令，则， 因为直线与两坐标轴正半轴相交，所以， 由直线与两坐标轴的正半轴所围成的三角形的面积为， 解得， 所以的方程为. 5．(24-25高二上·上海海洋大学附属大团高级中学·)已知a为实数，设直线：，：. (1)若，求a的值； (2)若，求与的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两直线的位置关系求出即可； （2）根据两直线的位置关系求出，检验并利用两平行线间的距离公式计算即可求解. 【详解】（1）由题意知，若， 则，解得. （2）若，则，即，解得或. 当时，，此时， 两平行线之间的距离为； 当时，，此时重合，不符合题意. 所以两平行线之间的距离为. 题型十 面积问题 1．(24-25高二下·上海杨浦高级中学·期中)在平面上的线段及点，在上取一点，线段长度的最小值称为点到线段的距离，记作. 设是长为2的线段，则点集所表示图形的面积是 . 【答案】 【分析】先分析出该集合所对应的图形形状，再分别计算各部分图形的面积，最后将各部分面积相加得到总面积. 【详解】已知集合所表示的图形是一个边长为的正方形和两个半径是的半圆.如图所示. 将正方形面积和圆的面积相加，可得点集所表示图形的面积. 故答案为：. 2．(24-25高二下·上海青浦高级中学·期中)在直角坐标平面中，已知两定点与，，到直线的距离之差的绝对值等于，则平面上不在任何一条直线上的点组成的图形面积是 . 【答案】/ 【分析】分直线位于直线的同侧还是两侧分类讨论，确定直线的轨迹，则面积可求得 【详解】①位于直线的同侧，如左图所示，，正方形边长为， 直线是与正方形的边平行的直线， 到直线的距离之差的绝对值为， 即正方形外与正方形各边平行的直线均符合题意; ②位于直线的异侧，如右图所示，和是半径为的圆上的两段弧， 其中， 直线是或的切线，到直线的距离之差绝对值为， 即或的切线均符合题意. 不在任何一条直线上的点组成的图形如下图阴影所示， 其面积. 故答案为：. 3．如图，射线、所在直线的方向向量分别为，，点在内，于，于． (1)若，，求的值； (2)若，的面积是，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）求出以及直线，可求出点到直线的距离，再利用勾股定理可求得的值； （2）求出以及点到直线的距离，利用三角形的面积公式可求出的值，可得出关于的方程，结合可求得的值. 【详解】（1）因为，则， 因为，则直线的一个方向向量为，所以，直线的方程为， 所以，点到直线的距离为， 所以，. （2）因为直线的一个方向向量为， 所以，直线的方程为，即. 点到直线的距离为，， ，可得或， 即或，因为，解得或. 题型一 最值取值范围问题 1．(24-25高二上·上海华东师范大学第二附属中学·)已知为直线上的一点，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．3 【答案】D 【分析】利用两点的距离公式结合“将军饮马”模型计算最值即可. 【详解】如图，为点到原点和到点的距离之和， 即． 设关于直线对称的点为， 则，解得，即， 则，当三点共线时，取到最小值， 且最小值为． 故选：D. 2．(22-23高二下·上海交通大学附属中学闵行分校·月考)已知实数，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意，设直线：，则的几何意义为，点到直线的距离，即可求出取值范围. 【详解】根据题意，设直线：，设点 那么点到直线的距离为：， 因为，所以，且直线的斜率， 当直线的斜率不存在时，，所以， 当时， ， 所以，即， 因为，所以， 故答案为：. 3．(23-24高一下·上海七宝中学·开学考)对任意，且，不等式恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】借助换元法，令，则原不等式可化为，化简可得，又表示点到的距离，表示点到的距离，，即直线上任意两不同点到原点的距离之和大于，结合，数形结合即可得解. 【详解】恒成立，恒成立， 令且， ，且恒成立， ， ， 又表示点到的距离， 表示点到的距离，， 即直线上任意两不同点到原点的距离之和大于， 当最小时，即且， 此时， 又，可取， 故实数的取值范围为. 故答案为：. 题型二 和差最值问题 1．(23-24高二上·上海华东师范大学第二附属中学·期中)已知x，y为实数，代数式的最小值是 ． 【答案】5 【分析】利用两点间的距离公式的几何意义，将代数问题转化为几何问题求解，即可得到答案. 【详解】即，几何意义为点与点的距离； 即，几何意义为点与点的距离； 即，几何意义为点与点的距离， 分别作关于轴的对称点，关于轴的对称点， 连接，则， ∴ ， 当且仅当分别为与轴，轴的交点时，等号成立， 故答案为：5. 2．(24-25高二下·上海第八中学·)已知实数满足， ， 则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据题意，结合两平行直线距离公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意可得，是直线上的点， 是直线上的点，则两直线平行， 的最小值是平行直线之间的距离的平方， 可得最小值为. 故选：D 3．(24-25高二上·上海财经大学附属北郊高级中学·期中)已知点在直线上，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】问题转化为直线上的点到点和的距离之和最小，利用对称点求解可得. 【详解】因为 表示到点和的距离之和. 又在直线上，关于的对称点为， 所以，三点共线时等号成立， 所以，所求最小值为：. 故选：B 4．(24-25高二下·上海格致中学·)已知点在直线上，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】利用两点距离公式将问题转化为点到点的距离之和的最小值，再利用将军饮马问题的解决方法，数形结合即可得解. 【详解】因为 ， 设，， 则表示点到点的距离之和， 设点关于直线的对称点为，又直线斜率为， 则，解得，则， 因为点在直线上， 所以， 当为与直线的交点时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 5．(24-25高一下·上海交通大学附属中学·期末)平面上有三点到直线（、不全为）距离之和的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】根据给定条件，利用点到直线的距离公式，结合不等式的性质求出最小值. 【详解】点到直线的距离分别为， ，则距离之和为， ，当且仅当，即时取等号，此时，； ，当且仅当，即时取等号，此时，； ，当且仅当，即时取等号，此时，， 而，因此，所以所求最小值为. 故答案为： 6．(24-25高二上·上海奉贤中学·)已知点，在轴和直线上各取一点、，则的周长最小值为 ． 【答案】 【分析】作出图形，数形结合，由两点间距离公式求解即可； 【详解】 作点关于轴的对称点，和关于直线的对称点， 连接交轴于点，交直线于点， 此时的周长最小值，最小值为， 故答案为：. 7．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为 ． 【答案】 【分析】求出关于直线对称的点，结合图形，即可求解. 【详解】设点关于直线对称的点为， 则有，解得，所以， 则，所以“将军饮马”的最短总路程为，    故答案为：. 题型三 新定义问题 1．(24-25高二上·上海南洋中学·)新定义：如图，圆与直线相离，过圆心作直线的垂线，垂足为，交圆于、两点（在、之间），我们把点称为圆关于直线的“近点”，把的值称为圆关于直线的“秘钥数”.根据新定义解决问题：在平面直角坐标系中，直线经过点，点是坐标平面内一点，以为圆心，为半径作圆.若与直线相离，点是圆关于直线的“近点”，且圆关于直线的“秘钥数”是，则直线的表达式为 . 【答案】或 【分析】分析可知，点到直线的距离为，对直线的斜率是否存在进行分类讨论，当直线的斜率不存在时，直接检验即可；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，利用点到直线的距离公式求出的值，综合可得出直线的方程. 【详解】设点到直线的距离为，因为圆关于直线的“秘钥数”是，且圆的半径为， 则根据题中定义可得，可得， 若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时，点到直线的距离为，不合乎题意； 若直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 根据题意可得，解得或， 所以，直线的方程为或. 故答案为：或. 2．(24-25高二上·上海交通大学附属中学·期中)平面直角坐标系中的点集，则集合中任意一点到坐标原点距离的最小值为 . 【答案】/ 【分析】根据点到直线的距离公式，结合辅助角公式，即可求解. 【详解】表示直线上的点构成的集合， 故原点到直线的距离为，其中为锐角且， 故的最小值为，故集合中任意一点到坐标原点距离的最小值为， 故答案为： 1．(23-24高二上·上海华东师范大学第二附属中学·期末)已知直线，，，三条直线围成，则当面积取得最大时的值为 . 【答案】1 【分析】首先判断直线和的定点，判断的形状，再求直线与直线的交点，利用点到直线的距离表示边长，再求解三角形的面积，并利用基本不等式求最值. 【详解】直线，即，恒过定点， 直线，即，也恒过定点， 所以直线与相交于定点， 由，解得，可知直线与直线相交于点， 又因为直线与直线相互垂直，所以是为直角的直角三角形， 因为点到的距离， 点到,的距离， 所以的面积， 时，的面积不可能取到最大值； 时，，当且仅当时，等号成立． 因此，当时，的面积有最大值． 故答案为：1 2．(24-25高二上·上海奉贤中学·)在平面直角坐标系中，已知动点到两直线与的距离之和为，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意可知满足为四边形的四边上任意一点，然后画图由几何意义求解即可. 【详解】将直线与的方程化为一般式为， ，所以到两直线的距离之和为：， 所以①. 当时，①式变形为：； 当时，①式变形为：； 当时，①式变形为：； 当时，①式变形为：； 则动点为如图所示的四边形的边，   的几何意义为正方形边上任意一点与连线的斜率. 易知，， ，， 所以的取值范围是， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是去绝对值符号得到点的轨迹，再由的几何意义求解即可. 3．(24-25高二上·上海晋元高级中学·期中)直线绕其与轴的交点顺时针旋转所得的直线方程为，则原点到的距离为 . 【答案】 【分析】求出直线与轴的交点坐标、斜率，利用两角差的正切公式，求出所求直线的方程，再求出原点到直线的距离. 【详解】设直线的倾斜角为，则，直线的倾斜角为， 设直线的斜率为，则， ∵直线与轴的交点为， 所以直线的方程：，即． 原点到的距离为. 故答案为：． 4．(24-25高二上·上海师范大学附属中学·)已知从点射出的光线经直线上的点反射后经过点.则 . 【答案】 【分析】设点关于直线的对称点为，列出方程组，求得，结合垂直平分线的性质，利用，即可求解. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，解得，即 因为反射光线进过点，根据垂直平分线的性质，可得： . 故答案为：. 5．(23-24高二上·上海行知中学·期末)已知直线的倾斜角为，，且这条直线经过点. (1)求直线的方程； (2)直线恒过定点，求点到直线的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出直线斜率，由点斜式求出直线方程； （2）直线变形后求出定点坐标，进而由点到直线距离公式求出答案. 【详解】（1）由，，则，， ∴直线的斜率，且直线过点， ∴由直线的点斜式方程得， 即， ∴所求直线的方程为； （2）∵直线化简得：， ∴定点， 则点到直线的距离为： ， 故到直线的距离为. 6．(24-25高二上·上海闵行六校·期末)如图，将一块三角形的玉石置于平面直角坐标系中，已知，，点，图中阴影三角形部分为玉石上的瑕疵，为了将这块玉石雕刻成工艺品，要先将瑕疵部分切割掉，可沿经过点的直线进行切割．    (1)求直线的倾斜角的取值范围． (2)是否存在直线，使得点关于直线的对称点在线段上？ (3)设玉石经切割后剩余部分的面积为，求的取值范围． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 (3) 【分析】（1）观察点运动时，直线与线段（不包括端点）有无公共点，数形结合可得出直线的倾斜角的取值范围； （2）假设存在直线，使得点关于直线的对称点在线段上，求出直线的斜率，由题意可知，求出直线的斜率，结合（1）中的结论判断即可； （3）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，当轴时，直接求出的值；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，求出点、的坐标，可求出面积的取值范围，进而可得出的取值范围，综合可得出结论. 【详解】（1）解：由图可知，点在第一象限，设点， 因为，，则， 所以，，解得，即点， 由题图可知，当点从原点沿着轴的正方向移动时，直线的倾斜角在逐渐增大， 当直线与直线重合时，设直线交轴的交点为，如下图所示：    当点在线段上运动时，直线与线段（不包括端点）没有公共点， 当点在线段（不包括点）上运动时，直线与线段（不包括端点）有公共点， 且直线的斜率为，直线的倾斜角为， 综上所述，直线倾斜角的取值范围是. （2）解：由（1）可知，、，则直线的斜率为， 假设存在直线，使得点关于直线的对称点在线段上， 此时，，则， 此时，直线的倾斜角满足，不合乎题意， 因此，不存在直线，使得点关于直线的对称点在线段上. （3）解：当轴时，此时，为线段的垂直平分线， 此时，； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，其中， 直线的方程为，即， 联立可得，即点， 联立可得，即点， 所以，， 所以， ， 因为，则，所以，， 综上所述，的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题第（3）问在求解三角形面积的取值范围时，要注意对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在设出直线的方程后，关键要求出点、的坐标，再利用三角形的面积公式以及函数思想求范围. 7．若恰有三组不全为0的实数对满足关系式，求实数t的所有可能的值． 【答案】，，． 【分析】化简得到，然后，根据情况，对进行分类讨论即可求解. 【详解】由已知得， 整理，得， 看成有且仅有三条直线满足，和）到直线：（不过原点）的距离相等．由， （1）当，此时，易得符合题意的直线为线段的垂直平分线以及直线平行的两条直线 和； （2）当时，有4条直线会使得点和到它们的距离相等，注意到不过原点，所以，当其中一条直线过原点时，会作为增根被舍去． 设点到的距离为． （1）作为增根被舍去的直线，过原点和、的中点，其方程为，此时，，符合； （2）作为增根被舍去的直线，过原点且以为方向向量，其方程为，此时， ，符合． 综上，满足题意的实数为，，． 【点睛】关键点点睛：本题的解题关键在于化简得到，将问题转化为，有且仅有三条直线满足，和到直线（不过原点）的距离相等，这是本题的解题关键. 8．已知点和点B关于直线l：对称．若直线过点B，且使得点A到直线的距离最大，求直线的方程． 【答案】 【分析】先求点B,再使得点A到直线的距离最大，则直线与过点A、B的直线垂直得出斜率即可求出直线. 【详解】设点，则，解得， 所以点关于直线l：对称的点的坐标为． 若直线过点B，且使得点A到直线的距离最大， 当为到的距离时为距离最大，其他情况距离为以为斜边的直角边， 则直线与过点A、B的直线垂直，所以， 则直线的方程为，即． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $