4.3.2 对数函数y=log2x的图象和性质（教学课件）数学北师大版2019必修第一册

该高中数学课件聚焦对数函数y=log₂x的图像和性质，遵循“解析式→图像→性质→应用”学习流程，通过联系已学指数函数y=2ˣ，以反函数关系为支架，引导学生探究对数函数图像的画法及性质。 其亮点在于融合数学眼光与思维，通过描点法和反函数对称性作图培养推理能力，结合图像观察定义域、单调性等性质发展几何直观。例如利用y=2ˣ图像对称得到y=log₂x图像，题型训练强化符号应用，小结系统梳理知识。学生能提升探究与逻辑思维，教师可借助清晰流程和例题提高教学效率。

4.3.2 对数函数 的图象和性质 第四章 对数运算与对数函数 北师大版2019必修第一册·高一 前情回顾 （2）反函数 指数函数是对数函数的反函数，对数函数是指数函数的反函数，即指数函数与对数函数互为反函数. 形如（且）的函数叫做对数函数，其中是底数，是自变量. ①定义域是（0，+∞)，值域是R. ②图象过定点（1，0) （1）对数函数 学 习 目 标 1 2 3 能够正确画出函数的图象.(重点) 掌握函数的图象和性质.(重点、难点) 能够应用对数函数图象来解决数学问题． 读教材 阅读课本P111-P113，5分钟后完成下列问题： 我们一起来探究“对数函数的图象和性质”吧！ 1.如何作出函数的图象？ 2.通过两种作图方法，你能得到哪些结论？ 3.通过观察函数的图象，能得到哪些性质呢？ 新课引入 思考：学习函数的一般方法是怎样的呢？ 解析式（定义） 图象 性质 应用 在前面一章节，我们通过画出的图像研究了此函数的性质。本节课，我们也通过这个方法来研究的性质。 学习过程 01 03 02 目录 1 函数的图象 3 题型训练 2 函数的性质 新知探究 方法一：我们可以通过函数图象的通法：描点法得到函数的图象. 方法二：我们上次课探究了指数函数与对数函数的关系，因此我们还可以利用指数函数的图象得到对数函数的图象，从而可以由的图象得到函数的图象. 思考一：如何画出函数的图象呢? 新知探究 方法一：通过描点法得到函数的图象 列表 描点 连线 1 y 2 3 4 5 6 7 8 9 –1 –2 –3 1 2 3 O x 新知探究 方法二：利用指数函数的图象得到对数函数的图象，由的图象得到函数的图象. 换一种写法用 表示 尊重习惯 自变量用 函数值用 尊重习惯 作横轴 作纵轴 对数函数和指数函数所表示的和这两个变量之间的关系是一样的，在同一系中函数和的图象是一样的（如图(1) (2)）. 习惯上用表示自变量，表示函数值，把轴和轴的字母表示互换，就得到的图象(图(3))． 习惯上轴在水平位置，轴在竖直位置，将图象翻转，得到通常的的图象(如图(4))． 1 （1） 1 （2） o 1 （3） o 1 （4） 新知探究 思考二：互为反函数的两个函数的图象关于直线对称，能不能通过同一坐标系中画出函数与函数的图象，再次验证这个结论呢？ o 对函数图象上的任意一点，有．点P关于直线的对称点是，而，即点Q总在函数的图象上(如左图)． 同样地，函数图象上任意一点，它关于直线的对称点也在的图象上 所以，函数的图象与函数的图象关于直线对称． 同底的指数函数与对数函数互为反函数 它们的图象关于直线y=x对称;反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域． 学习过程 01 03 02 目录 1 函数的图象 3 题型训练 2 函数的性质 新知探究 思考3：能不能由图象直观得到函数的性质呢？ 从函数的图象可以看出： 函数图象位于轴的右侧； 从靠近轴最下端的位置逐渐上升，过点( 1，0)，继续上升，函数值越来越大，直至无穷． 抽象概括 函数的图象及性质 图象 性质 定义域为(0,+)，值域为R. 过定点（1，0）即x=1时，y=0 在(0,+)上是增函数 当x>1时,y>0; 当0<x<1时,y<0 非奇非偶函数 牛刀小试 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”. (1)函数是对数函数.( ) (2)函数的反函数是.( ) (3)对数函数在区间上单调递增.( ) (4)若,则的函数值都大于零.( ) × × √ √ 典例剖析 例4.比较下列各题中两个数的大小: （1）；（2）． 解：(1)因为函数在定义域上是增函数， 且0.25<0.3， 所以; (2)因为函数在定义域上是增函数 且1<3.5<4.5，所以，因此． 典例剖析 例5.(1)求使不等式5成立的实数的集合； (2)己知，求的值． 解：(1)将不等式 5变形为． ∵函数在定义域上是增函数，∴． 5成立的的集合为{}． 注意： 将不等式左右两侧化成相同形式 典例剖析 例5.(1)求使不等式5成立的实数的集合； (2)己知，求的值． 解：(2)由已知等式，得． 解得． 对数要有意义，>0和0． 故不合题意，舍去．所以的值为5． 注意： 对数函数的定义域． 学习过程 01 03 02 目录 1 函数的图象 3 题型训练 2 函数的性质 题型训练 练习1：（1）利用的图像画出的图像 （2）利用的图像画出的图像。 1 0 y x 2 -1 ) 方法总结 将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象, 将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象, 即“左加右减” 题型一 函数的图象的应用 题型训练 练习2：（1）利用的图像画出的图像。（2）利用的图像画出的图像。 1 0 y x 2 方法总结 将的图象向上平移个单位长度得到函数的图象, 将的图象向下平移个单位长度得到函数的图象, 即“上加下减” 题型一 函数的图象的应用 题型训练 题型一 函数的图象的应用 练习3：(1)求函数y=log2|x|的定义域，并画出它的图象； (2)画出函数y=|log2x|的图象，并写出它的单调区间. 解：(1)函数y=log2|x|的定义域为{x|x≠0}. 函数y=log2|x|可化为其图象如图所示. 方法总结 含有绝对值的函数的图象变换是一种对称变换. 一般地，y=f(|x-a|)的图象是关于直线x=a对称的轴对称图形 题型训练 解：(2)y=|log2x|其图象如图所示， 单调递增区间为[1，+∞)，单调递减区间为(0，1). 练习3：(1)求函数y=log2|x|的定义域，并画出它的图象； (2)画出函数y=|log2x|的图象，并写出它的单调区间. 题型一 函数的图象的应用 方法总结 函数y=|f(x)|的图象是将y=f(x)的图象在x轴上方的部分保留，将在x轴下方的部分作关于x轴的对称变换得到的. 题型训练 题型二 函数的性质的应用 练习4：根据函数f(x)=log2x的图象和性质求解以下问题： (1)若f(x-1)>f(1)，求x的取值范围； (2)求y=log2(2x-1)在x∈上的最值. 解：作出函数y=log2x的图象如图所示. (1)由图象知y=log2x在(0，+∞)上是增函数. ∵f(x-1)>f(1)，∴x-1>1，解得x>2，故x的取值范围是(2，+∞). (2)∵≤x≤，∴≤2x-1≤4， ∴log2≤log2(2x-1)≤log24，∴-1≤log2(2x-1)≤2， 故函数y=log2(2x-1)在x∈上的最小值为-1，最大值为2. 题型训练 练习5：求下列函数的定义域： (1)y=； (2)y=log2(16-4x). 解：(1)要使函数式有意义，需解得x>1且x≠2. ∴函数y=的定义域是{x|x>1且x≠2}. (2)要使函数式有意义，需16-4x>0，解得x<2. ∴所求函数的定义域是{x|x<2}. 题型二 函数的定义域 题型训练 题型二 函数的定义域 课堂小结 函数的图象及性质 函数的图象及性质 图象 性质 定义域为(0,+)，值域为R. 过定点（1，0）即x=1时，y=0 在(0,+)上是增函数 当x>1时,y>0; 当0<x<1时,y<0 非奇非偶函数 感谢聆听! 解:∵函数y=log2[ax2+(a-1)x+a]的定义域为R, ∴ax2+(a-1)x+a>0对于任意的x∈R恒成立. 当a=0时,显然不成立; 当a≠0时,有 即解得a>. 故实数a的取值范围为. 练习6：若函数y=log2[ax2+(a-1)x+a]的定义域为R,则实数a的取值范围为　　　　 .  $