第4章 3.1 对数函数的概念 3.2 对数函数y＝log2x的图象和性质-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册创新导学案Word（北师大版）

数学 必修 第一册(北师) 3.1　 对数函数的概念 3.2　对数函数y＝log2x的图象和性质 (教师独具内容) 课程标准：1.通过具体实例，了解对数函数的概念.2.能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象.3.知道对数函数y＝logax与指数函数y＝ax互为反函数(a＞0，且a≠1)． 教学重点：对数函数概念的理解及函数y＝log2x的图象和性质． 教学难点：反函数的概念及性质． 知识点一　对数函数的概念 给定正数a，且a≠1，指数函数y＝ax是定义在R上、值域为(0，＋∞)的单调函数．所以对于每一个正数y，都存在唯一确定的实数x，使得y＝ax.由函数的定义，x就是y的函数，称为以a为底的对数函数，记作x＝logay．习惯上，将自变量写成x，函数值写成y，因此，一般将对数函数写成y＝logax(a>0，且a≠1)，其中a称为底数． 由定义可知，对数函数具有以下基本性质： (1)定义域是(0，＋∞)； (2)图象过定点(1，0)． 特别地，我们称以10为底的对数函数为常用对数函数，记作y＝lg__x；称以无理数e为底的对数函数为自然对数函数，记作y＝ln__x． 知识点二　反函数 (1)指数函数y＝2x和对数函数x＝log2y刻画的是同一对变量x，y之间的关系，所不同的是：在指数函数y＝2x中，x是自变量，y是x的函数，其定义域是R；在对数函数x＝log2y中，y是自变量，x是y的函数，其定义域是(0，＋∞)．我们称对数函数x＝log2y是指数函数y＝2x的反函数，同时，也称指数函数y＝2x是对数函数x＝log2y的反函数． (2)习惯上，对数函数表示为y＝logax(a>0，且a≠1)，指数函数表示为y＝ax(a>0，且a≠1)．因此，指数函数y＝ax是对数函数y＝logax的反函数，对数函数y＝logax也是指数函数y＝ax的反函数．即它们互为反函数． 知识点三　对数函数y＝log2x和y＝logx的图象和性质 图象和性质 y＝log2x y＝logx 图象 定义域 (0，＋∞) (0，＋∞) 值域 R R 单调性 增函数 减函数 定点 (1，0)，即当x＝1时，y＝0 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对数函数的定义域为R.(　　) (2)y＝log2x2与y＝logx3都不是对数函数．(　　) (3)函数y＝log2x与y＝x2互为反函数．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)× 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)若函数y＝(a2－4a＋4)logax是对数函数，则a＝________． (2)对数函数f(x)＝logax的图象过点(2，1)，则f(8)＝________． (3)函数f(x)＝log2(x－1)的定义域为________． 答案：(1)3　(2)3　(3)(1，＋∞) 题型一　对数函数的概念 　指出下列函数哪些是对数函数？ (1)y＝3log2x；(2)y＝log6x； (3)y＝logx3；(4)y＝log2x＋1. [解]　(1)log2x的系数是3，不是1，不是对数函数． (2)符合对数函数的结构形式，是对数函数． (3)自变量在底数位置上，不是对数函数． (4)对数式log2x后又加1，不是对数函数． 【感悟提升】　判断函数是对数函数的条件 判断一个函数是对数函数必须是形如y＝logax(a>0，且a≠1)的形式，即必须满足以下条件： (1)系数为1； (2)底数为大于0且不等于1的常数； (3)对数的真数仅有自变量x. 【跟踪训练】 1．若某对数函数的图象过点(4，2)，则该对数函数的解析式为(　　) A．y＝log2x B．y＝2log4x C．y＝log2x或y＝2log4x D．不确定 答案：A 解析：设对数函数的解析式为y＝logax(a>0，且a≠1)，由题意可知loga4＝2，∴a2＝4，∴a＝2.∴该对数函数的解析式为y＝log2x. 题型二　求函数的反函数 　求下列函数的反函数： (1)y＝10x；(2)y＝； (3)y＝logx；(4)y＝log7x. [解]　(1)指数函数y＝10x，它的底数是10，它的反函数是对数函数y＝lg x. (2)指数函数y＝，它的底数是，它的反函数是对数函数y＝logx. (3)对数函数y＝logx，它的底数是，它的反函数是指数函数y＝. (4)y＝log7x的反函数是y＝7x. 【感悟提升】　反函数的求法 (1)由y＝ax(或y＝logax)解得x＝logay(或x＝ay)． (2)将x＝logay(或x＝ay)中的x与y互换位置，得y＝logax(或y＝ax)． (3)由y＝ax(或y＝logax)的值域，写出y＝logax(或y＝ax)的定义域． 【跟踪训练】 2．若函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数的图象过点(3，1)，则a＝________． 答案：3 解析：函数f(x)的反函数为y＝logax，由题意，得loga3＝1，所以a＝3. 题型三　作对数型函数的图象 　画出对数函数y＝logx和y＝log3x的图象，并说出它们的性质． [解]　列表： x … 1 3 9 … y＝logx … 1 0 －1 －2 … y＝log3x … －1 0 1 2 … 用描点法画出图象． 由图象可知，对数函数y＝logx的性质有：①定义域为(0，＋∞)；②值域为R；③过定点(1，0)；④在区间(0，＋∞)上是减函数． 对数函数y＝log3x的性质有：①定义域为(0，＋∞)；②值域为R；③过定点(1，0)；④在区间(0，＋∞)上是增函数． 【感悟提升】　作对数型函数图象的方法 (1)描点法． (2)由指数函数的图象得到对数函数的图象． (3)作函数y＝f(|x|)的图象可以先化为分段函数，再利用描点法作图，也可以用描点法只作x>0的图象，再利用偶函数的性质作出x<0的部分． (4)作函数y＝|f(x)|的图象时，先作出函数y＝f(x)的图象，然后保留函数y＝f(x)的x轴及上方图象不变，把x轴下方的图象以x轴为对称轴翻折上去即可． 【跟踪训练】 3．已知函数f(x)＝loga|x|，满足f(－5)＝1，试画出函数f(x)的图象． 解：因为f(－5)＝1，所以loga5＝1，即a＝5， 故f(x)＝log5|x|＝ 列表： x … －5 －1 1 5 … y＝log5|x| … 1 0 0 1 … 描点画图象． 题型四　对数函数单调性的简单应用 　比较下列各组数中两个值的大小： (1)log23.4，log28.5； (2)log0.51.8，log0.52.7. [解]　(1)∵y＝log2x是定义域上的增函数，且3.4＜8.5， ∴log23.4＜log28.5. (2)∵y＝log0.5x是定义域上的减函数，且1.8＜2.7， ∴log0.51.8＞log0.52.7. 【感悟提升】　比较底数相同的对数值大小的思路 比较几个底数相同、真数不同的对数值的大小时，可将这几个对数值看作同一对数函数的几个函数值，然后用对数函数的单调性比较大小． 【跟踪训练】 4．比较下列各组数中两个值的大小： (1)log1.5，log1.6； (2)log21.9，log23.2. 解：(1)∵y＝logx在(0，＋∞)上单调递减，1.5<1.6，∴log1.5>log1.6. (2)∵y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增， 1．9<3.2， ∴log21.9<log23.2. 　(1)求使不等式log(2x＋3)<log(5x－6)成立的实数x的集合． [解]　因为函数y＝logx在定义域(0，＋∞)上是减函数， 所以解得<x<3. 故使不等式log (2x＋3)<log(5x－6)成立的实数x的集合是. (2)求使不等式log3(2x－3)<－1成立的实数x的集合． [解]　由log3(2x－3)<－1可得log3(2x－3)<log3. 因为函数y＝log3x在定义域(0，＋∞)上是增函数， 所以解得<x<. 故使不等式log3(2x－3)<－1成立的实数x的集合是. 【感悟提升】　两类对数不等式的解法 (1)形如logf(x)<logg(x)的不等式． 利用函数y＝logx在定义域(0，＋∞)上是减函数可得f(x)>g(x)>0，然后解不等式可得解集． (2)形如log3f(x)<b的不等式可变形为log3f(x)<b＝log33b. 利用函数y＝log3x在定义域(0，＋∞)上是增函数可得0<f(x)<3b，然后解不等式可得解集． 【跟踪训练】 5．(1)已知log3(3x)<log3(x＋1)，则x的取值集合为(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：因为函数y＝log3x是(0，＋∞)上的增函数，所以原不等式等价于解得0<x<. (2)使不等式log(x＋3)>－2成立的实数x的集合是________． 答案：{x|－3<x<1} 解析：由不等式log(x＋3)>－2可得log(x＋3)>log.因为函数y＝logx在定义域(0，＋∞)上是减函数，所以解得－3<x<1.故使不等式log(x＋3)>－2成立的实数x的集合是{x|－3<x<1}． 题型五　与对数函数有关的值域问题 　求下列函数的值域： (1)y＝log2(x2＋4)； (2)y＝log(3＋2x－x2)． [解]　(1)∵x2＋4≥4， ∴log2(x2＋4)≥log24＝2. ∴y＝log2(x2＋4)的值域为[2，＋∞)． (2)设u＝3＋2x－x2， 则u＝－(x－1)2＋4≤4. ∵u＞0，∴0＜u≤4. 又y＝logu在(0，＋∞)上为减函数， ∴logu≥－2. ∴y＝log(3＋2x－x2)的值域为[－2，＋∞)． 【感悟提升】　求对数型函数的最值与值域问题的思路 (1)充分利用函数的单调性，若用换元法求解，则要注意中间变量的取值范围． (2)y＝logaf(x)型函数值域的求法 ①分解成y＝logat，t＝f(x)两个函数； ②根据定义域求t的取值范围； ③利用y＝logat的单调性求解． 【跟踪训练】 6．已知f(x)＝(logx)2－3logx，x∈[2，4]．试求f(x)的最大值与最小值． 解：令t＝logx，则y＝t2－3t＝－， ∵2≤x≤4， ∴log4≤logx≤log2，即－2≤t≤－1. 可知y＝－在[－2，－1]上单调递减． ∴当t＝－2时，y取得最大值，为10；当t＝－1时，y取得最小值，为4. 故f(x)的最大值为10，最小值为4. 1．下列函数是对数函数的是(　　) A．y＝loga(2x) B．y＝log22x C．y＝log2x＋1 D．y＝lg x 答案：D 解析：A，B，C中的函数都不具有“y＝logax(a>0，且a≠1)”的形式，只有D符合． 2．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝(　　) A．log2x B. C．logx D．2x－2 答案：A 解析：函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数是y＝f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，又f(2)＝1，即loga2＝1，所以a＝2，故f(x)＝log2x. 3．若对数函数的图象过点M(16，4)，则此对数函数的解析式为(　　) A．y＝log4x B．y＝logx C．y＝logx D．y＝log2x 答案：D 解析：设此对数函数的解析式为y＝logax(a>0，且a≠1)，由于此对数函数的图象过点M(16，4)，所以4＝loga16，解得a＝2.所以此对数函数的解析式为y＝log2x.故选D. 4．比较两个数的大小：log2________log2(填“＞”“＜”或“＝”)． 答案：＜ 解析：∵对数函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，且＜＜1，∴log2＜log2＜0，∴＞.又log2＝，log2＝，∴log2＜log2. 5．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且x≤0时，f(x)＝log(－x＋1)． (1)求f(0)，f(1)； (2)求函数f(x)的解析式． 解：(1)∵当x≤0时，f(x)＝log(－x＋1)， ∴f(0)＝0.又函数f(x)是定义在R上的偶函数， ∴f(1)＝f(－1)＝log[－(－1)＋1]＝log2＝－1，即f(1)＝－1. (2)令x>0，则－x<0，∴f(－x)＝log(x＋1)＝f(x)， ∴x>0时，f(x)＝log(x＋1)． ∴函数f(x)的解析式为 f(x)＝ 课后课时精练 一、选择题 1．下列函数，是对数函数的是(　　) A．y＝lg 10x B．y＝log3x2 C．y＝ln x D．y＝log(x－1) 答案：C 解析：由对数函数的定义，得y＝logax(a＞0，且a≠1)是对数函数，由此得到，y＝lg 10x，y＝log3x2，y＝log(x－1)都不是对数函数，y＝ln x是对数函数．所以C正确． 2．已知函数f(x)＝那么f的值为(　　) A．27 B. C．－27 D．－ 答案：B 解析：f＝log2＝log22－3＝－3，f＝f(－3)＝3－3＝. 3．函数y＝log3x(1≤x≤9)的值域为(　　) A．[0，＋∞) B．R C．(－∞，2] D．[0，2] 答案：D 解析：∵函数y＝log3x在区间[1，9]上是增函数，∴log31≤log3x≤log39，∴log3x∈[0，2]． 4．函数f(x)＝3x(0＜x≤2)的反函数的定义域为(　　) A．(0，＋∞) B．(1，9] C．(0，1) D．[9，＋∞) 答案：B 解析：因为0＜x≤2，所以1＜3x≤9，即函数f(x)的值域为(1，9]．故f(x)的反函数的定义域为(1，9]． 5．已知函数f(x)＝log2x，其中|f(x)|≥1，则实数x的取值范围是(　　) A. B．[2，＋∞) C.∪[2，＋∞) D.∪[2，＋∞) 答案：C 解析：因为|f(x)|≥1，所以log2x≥1或log2x≤－1.由于y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，故x≥2或x≤.所以实数x的取值范围是∪[2，＋∞)． 二、填空题 6．若f(x)＝logax＋(a2－4a－5)是对数函数，则a＝________． 答案：5 解析：由对数函数的定义可知，解得a＝5. 7．已知函数y＝log2(ax－1)在(－2，－1)上单调递减，则实数a的取值范围是________． 答案：(－∞，－1) 解析：∵函数y＝log2(ax－1)在(－2，－1)上单调递减，∴a<0，且－a－1>0，故a<－1，即实数a的取值范围是(－∞，－1)． 8．已知函数f(x)＝|logx|的定义域为，值域为[0，1]，则m的取值范围为________． 答案：[1，2] 解析：作出函数f(x)＝|logx|的图象(如图)可知，f＝f(2)＝1，f(1)＝0，由题意结合图象知，1≤m≤2. 三、解答题 9．写出下列函数的反函数． (1)y＝；(2)y＝； (3)y＝log1.2x；(4)y＝ln x. 解：(1)因为指数函数y＝的底数是，所以它的反函数是对数函数y＝logx. (2)因为指数函数y＝的底数是，所以它的反函数是对数函数y＝logx. (3)因为对数函数y＝log1.2x＝logx的底数是，所以它的反函数是指数函数y＝. (4)因为对数函数y＝ln x的底数是e，所以它的反函数是指数函数y＝ex. 10．已知幂函数f(x)＝(a2－a－1)xa－1(a∈R)在(0，＋∞)上是增函数． (1)求f(x)的解析式； (2)设函数g(x)＝loga(x＋2)－loga(x－1)，求g(x)在[2，4]上的最小值． 解：(1)因为f(x)＝(a2－a－1)xa－1是幂函数， 所以a2－a－1＝1， 解得a＝2或a＝－1. 又f(x)在(0，＋∞)上是增函数，则a－1>0，即a>1， 所以a＝2，则f(x)＝x. (2)由(1)得a＝2，所以g(x)＝log2(x＋2)－log2(x－1)＝log2＝log2. 令t＝1＋，当x∈[2，4]时，t＝1＋单调递减． 又函数y＝log2t在其定义域内单调递增， 由复合函数的单调性可得g(x)在[2，4]上单调递减， 所以g(x)min＝g(4)＝log22＝1. 11．已知函数f(x)＝log2·log2.当x∈[2，8]时，求函数f(x)的值域． 解：因为f(x)＝log2·log2＝(log2x－2)(log2x－1)， 由对数函数的单调性可知，当x∈[2，8]时，log2x∈[1，3]， 令log2x＝t，t∈[1，3]，即可得g(t)＝(t－2)(t－1)＝t2－3t＋2，t∈[1，3]， 可知g(t)＝t2－3t＋2的图象开口向上，对称轴为直线t＝， 由二次函数的性质可知，当t＝时，g(t)min＝－，当t＝3时，g(t)max＝2， 所以当x∈[2，8]时，函数f(x)的值域为. 12．已知函数f(x)＝lg |x|. (1)判断函数f(x)的奇偶性； (2)画出函数f(x)的图象草图； (3)利用定义证明函数f(x)在区间(－∞，0)上是减函数． 解：(1)要使函数有意义，x的取值需满足|x|＞0，解得x≠0，即函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)． 因为f(－x)＝lg |－x|＝lg |x|＝f(x)， 所以函数f(x)是偶函数． (2)由于函数f(x)是偶函数，则其图象关于y轴对称，将函数y＝lg x的图象对称到y轴的左侧与函数y＝lg x的图象合起来得函数f(x)的图象，如图所示． (3)证明：设x1，x2∈(－∞，0)，且x1＜x2， 则f(x1)－f(x2)＝lg |x1|－lg |x2|＝lg ＝lg . 因为x1，x2∈(－∞，0)，且x1＜x2， 所以|x1|＞|x2|＞0.所以＞1. 所以lg ＞0.所以f(x1)＞f(x2)． 所以函数f(x)在区间(－∞，0)上是减函数． 2 学科网（北京）股份有限公司 $